浙教版(九上)第4章质量评估试卷上册(含答案)

第4章质量评估试卷
[时间：90分钟分值：120分]
一、选择题(每题3分，共30分)
1．下列四条线段成比例的是(A) A．a＝2，b＝5，c＝15，d＝2 3
B．a＝2，b＝3，c＝2，d＝ 3
C．a＝4，b＝6，c＝5，d＝10
D．a＝2，b＝8，c＝15，d＝11
【解析】∵2
5
＝
23
15
，∴A中的四条线段成比例，应选A.其他选项四条线段
不成比例．
2．在△ABC与△A′B′C′中，有下列条件：
(1)
AB
A′B′
＝
BC
B′C′
；(2)
BC
B′C′
＝
AC
A′C′
；
(3)∠A＝∠A′；(4)∠C＝∠C′.
如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断△ABC∽△A′B′C′的共有(C) A．1组B．2组C．3组D．4组
【解析】(1)(2)，(3)(4)，(2)(4)能判定△ABC∽△A′B′C′，故选C.
3．如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，E为AB上一点，且ED 平分∠ADC，EC平分∠BCD，则下列结论中错误的有(C) A．∠ADE＝∠CDE
B．DE⊥EC
C．AD·BC＝BE·DE
D．CD＝AD＋BC
图1 图2
4．如图2，ABCD 是平行四边形，则图中与△DEF 相似的三角形共有 ( B ) A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
【解析】∵DE ∥AB ∴△DEF ∽△ABF ； ∵AD ∥BC ， ∴△EDF ∽△ECB ；
因此与△DEF 相似的三角形有2个．
5．如图3，P 是△ABC 的边AC 上一点，连结BP ，以下条件中不能判定△ABP ∽△ACB 的是
( B )
图3
A.AB AP ＝AC AB
B.AC AB ＝BC BP C ．∠ABP ＝∠C
D ．∠APB ＝∠ABC
【解析】A 正确，符合两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似；
B 不正确，不符合两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似；
C 正确，符合有两组角对应相等的两个三角形相似；
D 正确，符合有两组角对应相等的两个三角形相似． 故选B.
6．两个相似多边形的面积比是9∶16，其中较小多边形的周长为36 cm ，则较大多边形的周长为
( A )
A ．48 cm
B ．54 cm
C ．56 cm
D ．64 cm
7．如图4，在△ABC 中，DE ∥BC ，AD ∶DB ＝1∶2，下列选项正确的是 ( B )
图4
A ．DE ∶BC ＝1∶2
B ．AE ∶A
C ＝1∶3 C ．B
D ∶AB ＝1∶3 D ．S △AD
E ∶S △ABC ＝1∶4
【解析】 ∵AD ∶DB ＝1∶2，∴AD ∶AB ＝1∶3，BD ∶AB ＝2∶3.∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，∴AE ∶AC ＝AD ∶AB ＝DE ∶BC ＝1∶3，S △ADE ∶S △ABC ＝ ⎝ ⎛⎭
⎪⎫132
＝1∶9. 8．如图5，A ，B ，C ，D 是⊙O 上的四个点，AB ＝AC ，AD 交BC 于点E ，AE ＝3，ED ＝4，则AB 的长为
( C )
图5
A.7
B ．43
C.21
D ．7
【解析】∵AB ＝AC ，∴∠ACB ＝∠ABC ＝∠D ， ∵∠BAD ＝∠BAD ， ∴△ABD ∽△AEB ， ∴AB AE ＝AD AB ， ∴AB 2＝3×7＝21， ∴AB ＝21. 故选C.
9．如图6所示，在等边△ABC 中，D 为BC 边上一点，E 为AC 边上一点，且∠ADE ＝60°，BD ＝3，CE ＝2，则△ABC 的边长为
( A )
A ．9
B ．12
C ．15
D ．18
【解析】 因为∠ADC ＝∠B ＋∠BAD ＝∠ADE ＋∠CDE ，∠ADE ＝∠B ＝60°，所以∠BAD ＝∠CDE .又∠B ＝∠C ，所以△ABD ∽△DCE ，所以AB DC ＝BD
CE ，即AB
AB －3
＝3
2，解得AB ＝9.
图6 图7
10．如图7，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，点P 在BC 边上运动，连结DP ，过点A 作AE ⊥DP ，垂足为E ，设DP ＝x ，AE ＝y ，则能反映y 与x 之间函数关系的大致图象是
( C )
【解析】 由题意可知△ADE ∽△DPC ，∴AD DP ＝AE DC ，即4x ＝y 3，∴xy ＝12，y ＝12
x ，为反比例函数，应从C ，D 里面进行选择．由于x 最小应不小于CD ，最大不超过BD ，∴3≤x ≤5.故选C. 二、填空题(每题4分，共24 分)
11．如图8所示，DE 与△ABC 的边AB ，AC 分别相交于D ，E 两点，且DE ∥BC .若DE ＝2 cm ，BC ＝3 cm ，EC ＝2
3
cm ，则AC ＝
__2__cm.
图8
【解析】 设AE ＝x ，∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，∴AE AC ＝DE BC ，∴x x ＋23＝2
3，解得x
＝43(cm)，∴AC ＝AE ＋EC ＝43＋2
3
＝2(cm)．
图9
12．如图9，在▱ABCD 中，∠ABC 的平分线BE 交AD 边于点E ，交对角线AC 于点F ，若AB BC ＝35，则AF AC ＝__3
8__.
【解析】 ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∴∠EBC ＝∠AEB .∵BE 是∠ABC 的角平分线，∴∠EBC ＝∠ABE ，∴∠ABE ＝∠AEB ，∴AB ＝AE .∵AB BC ＝3
5，∴AE BC ＝35.∵AD ∥BC ，∴△AFE ∽△CFB ，∴AE BC ＝AF FC ＝35，∴AF AF ＋FC ＝
33＋5
＝38，∴AF AC ＝3
8.
13．如图10所示，把△ABC 沿AB 边平移到△A ′B ′C ′的位置，使得它们重叠(即图中阴影部分)的面积是△ABC
面积的一半，若AB ＝2，则此三角形移动的距离AA ′是
． 【解析】 ∵△A ′BD ∽△ABC ，∴S △A ′BD S △ABC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫A ′B AB 2，∴12
＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫A ′B 22
，∴A ′B ＝1，∴AA ′＝2－1. 14. 如图11，△ABC 中，D ，KE 分别为AC ，BC 边上的点，AB ∥DE ，CF 为AB 边上的中线，若AD ＝5，CD ＝3，DE ＝4
，则BF 的长为__16
3__．
图11
【解析】∵AB ∥DE ，∴△CDE ∽△CAB ，
∵AD ＝5，CD ＝3，DE ＝4，∴AC ＝CD ＋AD ＝8， ∴CD AC ＝DE AB ，即38＝4AB ， ∴AB
＝323.
又CF 为AB 边上的中线，
图10
∴F 为AB 的中点， ∴BF ＝12AB ＝163.
15．将三角形纸片(△ABC )按如图12所示的方式折叠，使点B 落在边AC 上，记为点B ′，折痕为EF ，已知AB ＝AC ＝3，BC ＝4，若以点B ′，F ，C 为顶点的三角形与△ABC 相似，那么BF 的长度是__12
7或2__．
【解析】 分两种情况讨论，设BF ＝B ′F ＝x ， (1)当∠B ′FC ＝∠B 时，△CB ′F ∽△CAB ， ∴CF BC ＝B ′F AB ，即4－x 4＝x 3，解得x ＝12
7； (2)当∠B ′FC ＝∠A 时，△FB ′C ∽△ABC ， ∴B ′F AB ＝FC AC ，即x 3＝4－x
3，解得x ＝2. ∴BF 的长为12
7或2.
16.如图13，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，BA ＝BC .点D 是AB 的中点，连结CD ，过点B 作BG ⊥CD ，分别交CD ，CA 于点E ，F ，与过点A 且垂直于AB 的直线相交于点G ，连结DF .给出以下四个结论：①AG AB ＝FG FB ；②FG ＝1
2FB ；③AF ＝
2
3
AB ；④S △ABC ＝5S △BDF ，其中正确结论的序号是__①②③__．
【解析】 ∵在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°， ∴AB ⊥BC .∵AG ⊥AB ， ∴AG ∥BC ，
图12
图13
∴△AFG ∽△CFB ， ∴AG CB ＝FG FB . ∵BA ＝BC ， ∴AG AB ＝FG FB ， 故①正确；
∵∠ABC ＝90°，BG ⊥CD ，
∴∠ABG ＋∠BDE ＝∠BDE ＋∠BCD ＝90°， ∴∠ABG ＝∠BCD .
在△ABG 与△BCD 中，∠GAB ＝∠DBC ＝90°，∠ABG ＝∠BCD ， ∴△ABG ∽△BCD ，∴AG BD ＝AB BC ，∴AG AB ＝BD BC . ∵AB ＝CB ，点D 是AB 的中点， ∴BD ＝12AB ＝1
2CB ， ∴AG AB ＝12. ∵AG AB ＝FG FB ，
∴FG ＝1
2FB ， 故②正确； ∵△AFG ∽△CFB ，
∴AF ∶CF ＝AG ∶BC ＝AG ∶AB ＝1∶2， ∴AF ＝13AC . ∵AC ＝2AB ， ∴AF ＝2
3AB ， 故③正确；
∵BD ＝12AB ，AF ＝1
3AC ， ∴S △BDF ＝12S △ABF ，S △ABF ＝1
3S △ABC ， ∴S △ABC ＝6S △BDF ， 故④错误． 故答案为：①②③. 三、解答题(共66分)
17．(6分)如图14，BD 与CE 相交于点A ，已知AB ＝6，AC ＝4，AD ＝3，且△ABC ∽△ADE ，求AE 的长．
图14
解：∵△ABC ∽△ADE ，∴AB AD ＝AC AE ，∴63＝4
AE ，∴AE ＝2. 18．(6分)已知a b ＝c d ＝e f ＝2
3，求下列各式的值： (1)a ＋c b ＋d ；(2)2a －c ＋3e 2b －d ＋3f . 解：(1)∵a b ＝c d ＝23，∴a ＋c b ＋d ＝23.
(2)∵a b ＝c d ＝e f ＝23，∴2a 2b ＝－c －d ＝3e 3f ＝23，
∴2a －c ＋3e 2b －d ＋3f
＝23.
图15
19．(6分)如图15，O 为矩形ABCD 的中心，M 为BC 边上一点，N 为DC 边上一点，ON ⊥OM ，若AB ＝6，AD ＝4，设OM ＝x ，ON ＝y ，求y 与x 的函数关系式．
解：作OF ⊥BC 于点F ，OE ⊥CD 于点E ， ∵四边形ABCD 为矩形， ∴∠C ＝90°.
∵OF ⊥BC ，OE ⊥CD ，即∠OFC ＝∠OEC ＝90°， ∴∠EOF ＝90°， ∴∠EON ＋∠FON ＝90°.
∵ON ⊥OM ，∴∠FOM ＋∠FON ＝90°， ∴∠EON ＝∠FOM ， ∴△OEN ∽△OFM ， ∴OE OF ＝ON OM .
∵O 为矩形ABCD 的中心， ∴OF OE ＝AB AD ＝64＝32， ∴OM ON ＝32，
即y ＝23x .
20．(8分)如图16，已知△ABC 中，D 是AC 边上一点，∠A ＝
36°，∠C＝72°，∠ADB＝108°.
求证：(1)AD＝BD＝BC；
(2)点D是线段AC的黄金分割点．
证明：(1)∵∠A＝36°，∠C＝72°，
∴∠ABC＝72°.
∵∠A＝36°，∠ADB＝108°，
∴∠ABD＝36°，
∴∠DBC＝∠ABC－∠ABD＝36°，
∴∠BDC＝180°－∠DBC－∠C＝72°，
∴△ADB、△BDC是等腰三角形，
∴AD＝BD＝BC.
(2)∵∠DBC＝∠A＝36°，∠C＝∠C，
∴△ABC∽△BDC，∴BC∶DC＝AC∶BC.
∵BC＝AD，∴AD∶DC＝AC∶AD，
∴点D是线段AC的黄金分割点．
21．(8分)某社区拟筹资2 000元，计划在一块上、下底分别是10 m，20 m的梯形空地上种植花木，如图17所示，他们想在△AMD和△BMC地带种植单价为10元/m2的太阳花，当△AMD地带种满花后，已经花了500元，请你预算一下，若继续在△BMC地带种植同样的太阳花，资金是否够用？并说明理由．
图17
【解析】求出△BMC的面积后，就能知道资金是否够用，而△BMC的面积
可由△AMD 的面积求得．
解：梯形ABCD 中，
∵AD ∥BC ，∴△AMD ∽△CMB .
又AD ＝10 m ，BC ＝20 m ，
∴S △AMD S △BMC ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫AD BC 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫10202＝14. ∵S △AMD ＝500÷10＝50(m 2)，
∴S △BMC ＝200 m 2，
∴还需要资金200×10＝2000(元)，而剩余资金为2000－500＝1500(元)<2000(元)，
∴资金不够用．
22．(10分)如图18所示，在△ABC 中，D 是BC 边上一点，E 是AC 边上一点，且满足AD ＝AB ，∠ADE ＝∠C .
求证：(1)∠AED ＝∠ADC ，∠DEC ＝∠B ；
(2)AB 2＝AE ·AC .
图18
证明：(1)在△ADE 和△ACD 中，
∵∠ADE ＝∠C ，∠DAE ＝∠DAE ，
∴△ADE ∽△ACD ，∴∠AED ＝∠ADC .
∵∠AED ＋∠DEC ＝180°，
∠ADB ＋∠ADC ＝180°，
∴∠DEC ＝∠ADB .
又∵AB ＝AD ，∴∠ADB ＝∠B ，
∴∠DEC ＝∠B .
(2)∵△ADE ∽△ACD ，∴AD AC ＝AE AD ，
即AD 2＝AE ·AC .
又∵AB ＝AD ，∴AB 2＝AE ·AC .
23．(10分)在圆内接四边形ABCD 中，CD 为△BCA 外角的平分线，F 为弧AD 上一点，BC ＝AF ，延长DF 与BA 的延长线交于点E .
求证：(1)△ABD 为等腰三角形；
(2)AC ·AF ＝DF ·FE .
图19
证明：(1)由“圆的内接四边形的外角等于它的内对角”知∠MCD ＝∠BAD .又∠DCA ＝∠DBA ，
∠MCD ＝∠DCA ，∴∠DBA ＝∠DAB ，
∴△ABD 为等腰三角形．
(2)∵∠DBA ＝∠DAB ，∴AD ︵＝BD ︵.
又∵BC ＝AF ，∴BC ︵＝AF ︵，
∴CD ︵＝DF ︵，∴CD ＝DF .
再由“圆的内接四边形的外角等于它的内对角”知，
∠AFE ＝∠DCA ，∠F AE ＝∠BDE ，
∴∠CDA ＝∠CDB ＋∠BDA ＝∠FDA ＋∠BDA ＝∠BDE ＝∠F AE ，∴△DCA ∽△AFE ，
∴AC ∶FE ＝CD ∶AF ，∴AC ·AF ＝CD ·FE .
∵CD ＝DF ，∴AC ·AF ＝DF ·FE .
24．(12分)如图20，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径的⊙O 交AC 于点E ，交BC 于点D .
求证：(1)D 是BC 的中点；
(2)△BEC ∽△ADC ；
(3)BC 2＝2AB ·CE .
图20
证明：(1)∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°，
即AD 是底边BC 上的高，
又∵AB ＝AC ，
∴△ABC 是等腰三角形，
∴D 是BC 的中点；
(2)∵∠CBE 与∠CAD 是DE ︵所对的圆周角，
∴∠CBE ＝∠CAD ，
又∵∠BCE ＝∠ACD ，
∴△BEC ∽△ADC ；
(3)由△BEC∽△ADC，知CD
CE＝
AC
BC，
即CD·BC＝AC·CE，
∵D是BC的中点，∴CD＝BD，
又∵AB＝AC，∴CD·BC＝AC·CE＝BD·BC＝AB·CE，即BC2＝2AB·CE.。