广州初三培优易错试卷一元二次方程组辅导专题训练

广州初三培优易错试卷一元二次方程组辅导专题训练
一、一元二次方程
1．如图，A、B、C、D为矩形的4个顶点，AB＝16cm，BC＝6cm，动点P、Q分别以
3cm/s、2cm/s的速度从点A、C同时出发，点Q从点C向点D移动．
(1)若点P从点A移动到点B停止，点P、Q分别从点A、C同时出发，问经过2s时P、Q 两点之间的距离是多少cm？
(2)若点P从点A移动到点B停止，点Q随点P的停止而停止移动，点P、Q分别从点A、C 同时出发，问经过多长时间P、Q两点之间的距离是10cm？
(3)若点P沿着AB→BC→CD移动，点P、Q分别从点A、C同时出发，点Q从点C移动到点D停止时，点P随点Q的停止而停止移动，试探求经过多长时间△PBQ的面积为12cm2？
【答案】（1）PQ=62cm；（2）8
5
s或
24
5
s；（3）经过4秒或6秒△PBQ的面积为
12cm2．
【解析】
试题分析：（1）作PE⊥CD于E，表示出PQ的长度，利用PE2+EQ2=PQ2列出方程求解即可；
（2）设x秒后，点P和点Q的距离是10cm．在Rt△PEQ中，根据勾股定理列出关于x的方程（16-5x）2=64，通过解方程即可求得x的值；
（3）分类讨论：①当点P在AB上时；②当点P在BC边上；③当点P在CD边上时．试题解析：（1）过点P作PE⊥CD于E．
则根据题意，得
EQ=16-2×3-2×2=6（cm），PE=AD=6cm；
在Rt△PEQ中，根据勾股定理，得
PE2+EQ2=PQ2，即36+36=PQ2，
∴
cm ；
∴经过2s 时P 、Q 两点之间的距离是
； （2）设x 秒后，点P 和点Q 的距离是10cm ． （16-2x-3x ）2+62=102，即（16-5x ）2=64， ∴16-5x=±8， ∴x 1=
85，x 2=245；
∴经过85
s 或
24
5
sP 、Q 两点之间的距离是10cm ； （3）连接BQ ．设经过ys 后△PBQ 的面积为12cm 2． ①当0≤y≤16
3
时，则PB=16-3y ， ∴
12PB•BC=12，即1
2×（16-3y ）×6=12， 解得y=4；
②当
163
＜x≤223时，
BP=3y-AB=3y-16，QC=2y ，则
12B P•CQ=1
2
（3y-16）×2y=12， 解得y 1=6，y 2=-2
3
（舍去）； ③
22
3
＜x≤8时， QP=CQ-PQ=22-y ，则
12QP•CB=1
2
（22-y ）×6=12， 解得y=18（舍去）．
综上所述，经过4秒或6秒△PBQ 的面积为 12cm 2． 考点：一元二次方程的应用．
2．使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点．例如，对于函数1y x =-，令y=0，可得x=1，我们就说1是函数1y x =-的零点． 己知函数2
22(3)y x mx m =--+(m m 为常数)．
（1）当m =0时，求该函数的零点；
（2）证明：无论m 取何值，该函数总有两个零点；
（3）设函数的两个零点分别为1x 和2x ，且121114
x x +=-，此时函数图象与x 轴的交点分
别为A 、B(点A 在点B 左侧)，点M 在直线10y x =-上，当MA+MB 最小时，求直线AM 的函数解析式．
【答案】（1）当m =0时，该函数的零点为6和6-． （2）见解析,
（3）AM 的解析式为1
12
y x =--． 【解析】 【分析】
（1）根据题中给出的函数的零点的定义，将m=0代入y=x 2-2mx-2（m+3），然后令y=0即可解得函数的零点；
（2）令y=0，函数变为一元二次方程，要想证明方程有两个解，只需证明△＞0即可； （3）根据题中条件求出函数解析式进而求得A 、B 两点坐标，个、作点B 关于直线y=x-10的对称点B′，连接AB′，求出点B ′的坐标即可求得当MA+MB 最小时，直线AM 的函数解析式 【详解】
（1）当m =0时，该函数的零点为6和6-．
（2）令y=0，得△=
∴无论m 取何值，方程
总有两个不相等的实数根．
即无论m 取何值，该函数总有两个零点． （3）依题意有，
由
解得
．
∴函数的解析式为．
令y=0，解得
∴A(
)，B(4,0)
作点B 关于直线10y x =-的对称点B’，连结AB’， 则AB’与直线10y x =-的交点就是满足条件的M 点．
易求得直线10y x =-与x 轴、y 轴的交点分别为C （10,0），D （0,10）． 连结CB’，则∠BCD=45° ∴BC=CB’=6，∠B’CD=∠BCD=45° ∴∠BCB’=90° 即B’（106-，）
设直线AB’的解析式为y kx b =+，则
20{106k b k b -+=+=-，解得112
k b =-=-， ∴直线AB’的解析式为1
12
y x =--， 即AM 的解析式为1
12
y x =-
-．
3．解下列方程： （1）x 2﹣3x=1． （2）
1
2
（y+2）2﹣6=0． 【答案】(1)12313313
,22
x x +-==
;(2)12223,223y y =-+=-- 【解析】
试题分析：（1）利用公式法求解即可； （2）利用直接开方法解即可；
试题解析：解：（1）将原方程化为一般式，得x 2﹣3x ﹣1=0， ∵b 2﹣4ac=13＞0 ∴．
∴12313313,22
x x +-=
=．
（2）（y+2）2=12， ∴
或
，
∴12223,223
y y =-+=--
4．已知关于x 的一元二次方程（x ﹣3）（x ﹣4）﹣m 2=0． （1）求证：对任意实数m ，方程总有2个不相等的实数根； （2）若方程的一个根是2，求m 的值及方程的另一个根．
【答案】（1）证明见解析；（2）m 的值为2，方程的另一个根是5． 【解析】 【分析】
（1）先把方程化为一般式，利用根的判别式△=b 2-4ac 证明判断即可；
（2）根据方程的根，利用代入法即可求解m 的值，然后还原方程求出另一个解即可. 【详解】 （1）证明：
∵（x ﹣3）（x ﹣4）﹣m 2=0，
∴x2﹣7x+12﹣m2=0，
∴△=（﹣7）2﹣4（12﹣m2）=1+4m2，
∵m2≥0，
∴△＞0，
∴对任意实数m，方程总有2个不相等的实数根；
（2）解：∵方程的一个根是2，
∴4﹣14+12﹣m2=0，解得m=±，
∴原方程为x2﹣7x+10=0，解得x=2或x=5，
即m的值为±，方程的另一个根是5．
【点睛】
此题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程的根的判别式与根的关系是关键.
当△=b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；
当△=b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；
当△=b2-4ac＜0时，方程没有实数根.
5．“父母恩深重，恩怜无歇时”，每年5月的第二个星期日即为母亲节，节日前夕巴蜀中学学生会计划采购一批鲜花礼盒赠送给妈妈们．
（1）经过和花店卖家议价，可在原标价的基础上打八折购进，若在花店购买80个礼盒最多花费7680元，请求出每个礼盒在花店的最高标价；（用不等式解答）
（2）后来学生会了解到通过“大众点评”或“美团”同城配送会在（1）中花店最高售价的基础上降价25%，学生会计划在这两个网站上分别购买相同数量的礼盒，但实际购买过程
中，“大众点评”网上的购买价格比原有价格上涨5
2
m%，购买数量和原计划一样：“美团”网
上的购买价格比原有价格下降了9
20
m元，购买数量在原计划基础上增加15m%，最终，在
两个网站的实际消费总额比原计划的预算总额增加了15
2
m%，求出m的值．
【答案】（1）120；（2）20．
【解析】
试题分析：（1）本题介绍两种解法：
解法一：设标价为x元，列不等式为0.8x•80≤7680，解出即可；
解法二：根据单价=总价÷数量先求出1个礼盒最多花费，再除以折扣可求出每个礼盒在花店的最高标价；
（2）先假设学生会计划在这两个网站上分别购买的礼盒数为a个礼盒，表示在“大众点评”
网上的购买实际消费总额：120a（1﹣25%）（1+5
2
m%），在“美团”网上的购买实际消费
总额：a[120（1﹣25%）﹣9
20
m]（1+15m%）；根据“在两个网站的实际消费总额比原计划
的预算总额增加了
15
2
m %”列方程解出即可． 试题解析：（1）解：解法一：设标价为x 元，列不等式为0.8x •80≤7680，x ≤120； 解法二：7680÷80÷0.8=96÷0.8=120（元）． 答：每个礼盒在花店的最高标价是120元；
（2）解：假设学生会计划在这两个网站上分别购买的礼盒数为a 个礼盒，由题意得：120×0.8a （1﹣25%）（1+52
m %）+a [120×0.8（1﹣25%）﹣920m ]（1+15m %）=120×0.8a
（1﹣25%）×2（1+ 152m %），即72a （1+ 52
m %）+a （72﹣ 9
20m ）（1+15m %）=144a （1+
15
2m %），整理得：0．0675m 2﹣1.35m =0，m 2﹣20m =0，解得：m 1=0（舍），m 2=20．
答：m 的值是20．
点睛：本题是一元二次方程的应用，第二问有难度，正确表示出“大众点评”或“美团”实际消费总额是解题关键．
6．有一个人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感． （1）求每轮传染中平均一个人传染了几个人？ （2）如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？ 【答案】（1）5；（2）180 【解析】 【分析】
（1）设平均一人传染了x 人，根据有一人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感，列方程求解即可；
（2）根据每轮传染中平均一个人传染的人数和经过两轮传染后的人数，列出算式求解即可． 【详解】
（1）设每轮传染中平均一个人传染了x 个人，根据题意得： x+1+（x+1）x ＝36，
解得：x ＝5或x ＝﹣7（舍去）．
答：每轮传染中平均一个人传染了5个人； （2）根据题意得：5×36＝180（个）， 答：第三轮将又有180人被传染． 【点睛】
本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是能根据题意找到等量关系并列方程.
7．如图，在Rt ABC V 中，90B =o ∠，10AC cm =，6BC cm =，现有两点P 、Q 的分别从点A 和点B 同时出发，沿边AB ，BC 向终点C 移动．已知点P ，Q 的速度分别为
2/cm s ，1/cm s ，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动，设P ，Q 两点移动时间为xs ．问是否存在这样的x ，使得四边形APQC 的面积等于216cm ？若存在，请
求出此时x 的值；若不存在，请说明理由．
【答案】假设不成立，四边形APQC 面积的面积不能等于216cm ，理由见解析 【解析】 【分析】
根据题意，列出BQ 、PB 的表达式，再列出方程，判断根的情况. 【详解】
解：∵90B ∠=o ，10AC =，6BC =， ∴8AB =．
∴BQ x =，82PB x =-；
假设存在x 的值，使得四边形APQC 的面积等于216cm ， 则
()11
68821622
x x ⨯⨯--=， 整理得：2480x x -+=， ∵1632160=-=-<V ，
∴假设不成立，四边形APQC 面积的面积不能等于216cm ． 【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握方程根的判别方法、理解方程的意义是本题的解题关键.
8．已知关于x 的一元二次方程x 2－（2k ＋1）x ＋k 2＋2k ＝0有两个实数根x 1，x 2． （1）求实数k 的取值范围；
（2）是否存在实数k ，使得x 1·x 2－x 12－x 22≥0成立？若存在，请求出k 的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)当k≤1
4
时，原方程有两个实数根(2)不存在实数k ，使得x 1·
x 2－x 12－x 22≥0成立 【解析】
试题分析：（1）根据一元二次方程根的判别式列出不等式，解之即可；（2）本题利用韦达定理解决. 试题解析：
（1）∆= ()()
2
2
21420k k k +-+≥，解得14
k ≤
（2）由22
12120x x x x --≥得 2121230x x x x （）-
+≥， 由根与系数的关系可得：2
121221,2x x k x x k k +=+=+
代入得：22364410k k k k +---≥， 化简得：()2
10k -≤， 得1k =.
由于k 的取值范围为14
k ≤
， 故不存在k 使22
12120x x x x --≥．
9．已知1x 、2x 是关于x 的方程222(1)50x m x m -+++=的两个不相等的实数根. (1)求实数m 的取值范围;
(2)已知等腰ABC ∆的一边长为7，若1x 、2x 恰好是ABC ∆另外两边长，求这个三角形的周长.
【答案】（1）m>2; (2)17 【解析】
试题分析：（1）由根的判别式即可得；
（2）由题意得出方程的另一根为7，将x =7代入求出x 的值，再根据三角形三边之间的关系判断即可得．
试题解析：解：（1）由题意得△=4（m +1）2﹣4（m 2+5）=8m －16＞0，解得：m ＞2； （2）由题意，∵x 1≠x 2时，∴只能取x 1=7或x 2=7，即7是方程的一个根，将x =7代入得：49﹣14（m +1）+m 2+5=0，解得：m =4或m =10．
当m =4时，方程的另一个根为3，此时三角形三边分别为7、7、3，周长为17； 当m =10时，方程的另一个根为15，此时不能构成三角形； 故三角形的周长为17．
点睛：本题主要考查判别式、三角形三边之间的关系，熟练掌握韦达定理是解题的关键．
10．已知关于x 的方程mx 2+(3﹣m)x ﹣3=0(m 为实数，m≠0)． (1) 试说明：此方程总有两个实数根．
(2) 如果此方程的两个实数根都为正整数，求整数m 的值. 【答案】(1)()2
243b ac m -=+≥0；(2)m=-1,-3. 【解析】
分析: （1）先计算判别式得到△=（m -3）2-4m •（-3）=（m +3）2，利用非负数的性质得到△≥0，然后根据判别式的意义即可得到结论； （2）利用公式法可求出x 1=3
m
，x 2=-1，然后利用整除性即可得到m 的值． 详解: （1）证明：∵m ≠0，
∴方程mx 2+（m -3）x -3=0（m ≠0）是关于x 的一元二次方程，
∴△=（m-3）2-4m×（-3）=（m+3）2，
∵（m+3）2≥0，即△≥0，∴方程总有两个实数根；
（2）解：∵x=
()() 33
2
m m
m
--±+
，
∴x1=-3
m
，x2=1，
∵m为正整数，且方程的两个根均为整数，
∴m=-1或-3．
点睛: 本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了解一元二次方程．
11．若关于x的一元二次方程x2﹣3x+a﹣2＝0有实数根．
（1）求a的取值范围；
（2）当a为符合条件的最大整数，求此时方程的解．
【答案】（1）a≤17
4
；（2）x=1或x=2
【解析】
【分析】（1）由一元二次方程有实数根，则根的判别式△=b2﹣4ac≥0，建立关于a的不等式，即可求出a的取值范围；
（2）根据（1）确定出a的最大整数值，代入原方程后解方程即可得.
【详解】（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+a﹣2=0有实数根，
∴△≥0，即（﹣3）2﹣4（a﹣2）≥0，解得a≤17
4
；
（2）由（1）可知a≤17
4
，
∴a的最大整数值为4，
此时方程为x2﹣3x+2=0，
解得x=1或x=2．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式以及解一元二次方程，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．
12．若两个一次函数的图象与x轴交于同一点，则称这两个函数为一对“x牵手函数”，这个交点为“x牵手点”．
（1）一次函数y＝x﹣1与x轴的交点坐标为；一次函数y＝ax+2与一次函数y＝x﹣1为一对“x牵手函数”，则a＝；
（2）已知一对“x牵手函数”：y＝ax+1与y＝bx﹣1，其中a，b为一元二次方程x2﹣kx+k﹣4＝0的两根，求它们的“x牵手点”．
【答案】（1）（1，0），a＝﹣2；（2）“x牵手点”为（
1
2
-，0）或（
1
2
，0）.
【解析】
【分析】
（1）根据x轴上点的坐标特征可求一次函数y=x-1与x轴的交点坐标；把一次函数y=x-1与x轴的交点坐标代入一次函数y=ax+2可求a的值；
（2）根据“x牵手函数”的定义得到a+b=0，根据根与系数的关系求得k=0，可得方程x2-
4=0，解得x1=2，x2=-2，再分两种情况：①若a=2，b=-2，②若a=-2，b=2，进行讨论可求它们的“x牵手点”．
【详解】
解：（1）当y＝0时，即x﹣1＝0，
所以x＝1，即一次函数y＝x﹣1与x轴的交点坐标为（1，0），
由于一次函数y＝ax+2与一次函数y＝x﹣1为一对“x牵手函数”，
所以0＝a+2，
解得a＝﹣2；
（2）∵y＝ax+1与y＝bx﹣1为一对“x牵手函数”
∴11
a b
-=，
∴a+b＝0．
∵a，b为x2﹣kx+k﹣4＝0的两根
∴a+b＝k＝0，
∴x2﹣4＝0，
∴x1＝2，x2＝﹣2．
①若a＝2，b＝﹣2则y＝2x+1与y＝﹣2x﹣1的“x牵手点”为
1
,0
2
⎛⎫- ⎪⎝⎭
；
②若a＝﹣2，b＝2则y＝﹣2x+1与y＝2x﹣1的“x牵手点”为（1
2
，0 ）
∴综上所述，“x牵手点”为
1
,0
2
⎛⎫
- ⎪
⎝⎭
或（
1
2
，0）
【点睛】
本题考查了根与系数的关系、一次函数的性质和一次函数图象上点的坐标特征的运用．
13．某产品每件成本为20元，经过市场调研发现，这种产品在未来20天内的日销售量m （单位：件）是关于时间t（单位：天）的一次函数，调研所获的部分数据如下表：
这20天中，该产品每天的价格y （单位：元/件）与时间t 的函数关系式为：1254y t =+（t 为整数），根据以上提供的条件解决下列问题：
（1）直接写出m 关于t 的函数关系式；
（2）这20天中哪一天的日销售利润最大，最大的销售利润是多少？
（3）在实际销售的20天中，每销售一件商品就捐赠a 元（4a <）给希望工程，通过销售记录发现，这20天中，每天扣除捐赠后的日销利润随时间t 的增大而增大，求a 的取值范围.
【答案】（1）2100m t =-+；（2）在第15天时日销售利润最大，最大利润为612.5元；（3）2.54a ≤<.
【解析】
【分析】
（1）从表格可看出每天比前一天少销售2件，即可确定一次函数关系式；
（2）根据日利润=日销售量×每件利润列出函数解析式，然后根据函数性质求最大值，即可确定答案；
（3）根据20天中每天扣除捐赠后的日销售利润，根据函数性质求a 的取值范围
【详解】
（1）设该函数的解析式为:m=kx+b
由题意得:98=k b 94=3k b
+⎧⎨+⎩ 解得:k=-2,b=100
∴m 关于t 的函数关系式为:2100m t =-+.
（2）设前20天日销售利润为W 元，由题意可知，
()1210025204W t t ⎛⎫=-++- ⎪⎝⎭ 21151002
t t =-++ ()2115612.52t =-
-+ ∵102
<，∴当15t =时，612.5W =最大. ∴在第15天时日销售利润最大，最大利润为612.5元. （3）由题意得：()1210025204W t t a ⎛⎫=-++--
⎪⎝⎭ ()211525001002
t a t a =-+++-， ∴对称轴为：152t a =+，
∵每天扣除捐赠后的日销利润随时间t 的增大而增大，且120t ≤≤，
∴15220a +≥，
∴ 2.5a ≥，
∴2.54a ≤<.
【点睛】
本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握各函数的性质和图象特征，掌握解决最值问题的方法是解答本题的关键.
14．已知关于x 的方程()()2
12310k x k x k -+-++=有两个不相等的实数根1x ，2x ． ()1求k 的取值范围．
()2是否存在实数k ，使方程的两实数根互为相反数？
【答案】(1)13
12k <且1k ≠；(2) k 不存在,理由见解析 【解析】
【分析】
（1）因为方程（k ﹣1）x 2+（2k ﹣3）x +k +1=0有两个不相等的实数根x 1，x 2．得出其判别式△＞0，可解得k 的取值范围；
（2）假设存在两根的值互为相反数，根据根与系数的关系，列出对应的不等式即可求出k 的值．
【详解】
（1）方程（k ﹣1）x 2+（2k ﹣3）x +k +1=0有两个不相等的实数根x 1，x 2，可得：k ﹣1≠0且△=﹣12k +13＞0，解得：k ＜1312
且k ≠1； （2）假设存在两根的值互为相反数，设为 x 1，x 2．
∵x 1+x 2=0，∴﹣
231k k --=0，∴k =32． 又∵k ＜1312
且k ≠1，∴k 不存在． 【点睛】
本题主要考查了根与系数的关系，属于基础题，关键掌握x 1，x 2是方程x 2+px +q =0的两根时，x 1+x 2=﹣p ，x 1x 2=q ．
15．将进货单价为40元的商品按50元售出，能售出500件，如果该商品涨价1元，其销售量就要减少10件，为了赚取8000元的利润，售价应定为多少元？这时应进货多少件？
【答案】要赚取8000元的利润，售价应定为60元或80元．售价定为60元时，应进货400件；售价定为80元时，应进货200件．
【解析】
【分析】
设每件商品涨价x 元，能赚得8000元的利润；销售单价为(50)x +元，销售量为(50010)x -件；每件的利润为根据为（50+x-40）元，根据总利润=销售量×每个利润，可列方程求解
【详解】
解：设每件商品涨价x 元，则销售单价为(50)x +元，销售量为(50010)x -件． 根据题意，得(50010)[(50)40]8000x x -+-=．
解得110x =，230x =．
经检验，110x =，230x =都符合题意．
当10x =时，5060x +=，50010400x -=；
当30x =时，5080x +=，50010200x -=．
所以，要赚取8000元的利润，售价应定为60元或80元．售价定为60元时，应进货400件；售价定为80元时，应进货200件．
【点睛】
本题考查一元二次方程的应用，关键看到售价和销售量的关系，然后以利润做为等量关系列方程求解。