河北省承德市第一中学2021届高三数学上学期10月月考试题 理(含解析).doc

河北省承德市第一中学2021届高三数学上学期10月月考试题 理（含
解析）
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

第Ⅰ卷1至2页。

第Ⅱ卷3至4页。

全卷满分150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一.选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将正确答案选项涂在答题卡上) 1.已知集合4
1|22x A x -⎧
⎫
=≥⎨⎬⎩
⎭
，集合{}2|3100B x x x =--≤，求A B =（ ） A. ∅ B. [3,5]
C. [2,3]-
D. (3,5)
【答案】B 【解析】 【分析】
解出集合A 、B ，再利用集合交集运算律可求出集合A B 。

【详解】解不等式4
11
2
22
x --≥
=，即41x -≥-，解得3x ≥，{}3A x x ∴=≥. 解不等式23100x x --≤，解得25x -≤≤，{}
25B x x ∴=-≤≤， 因此，[]3,5A
B =，故选：B 。

【点睛】本题考查集合的交集运算，解出不等式得出两个集合是解题的关键，考查计算能力，属于基础题。

2.命题“α∃∈R ，sin 0α=”的否定是（ ）
A. α∃∈R ，sin 0α≠
B. α∀∈R ，sin 0α≠
C. α∀∈R ，sin 0α<
D. α∀∈R ，sin 0α>
【答案】B 【解析】 【分析】
根据特称量词的否定得到结果.
【详解】根据命题否定的定义可得结果为：R α∀∈，sin 0α≠ 本题正确选项：B
【点睛】本题考查含量词的命题的否定问题，属于基础题. 3.设3log 2a =，5log 2a =，2log πc =，则（ ）． A. a c b >>
B. b c a >>
C. c b a >>
D.
c a b >>
【答案】C 【解析】 因为321log 2log 3a ==
，521
log 2log 5
b ==， 而22log 3log 21
c =>=，2log 51>， 所以01a <<，01b <<， 又22log 5log 31>>， 所以
2211log 5log 3
<， 即01b a <<<， 所以有c a b >>． 故选C ．
4.若角α的终边经过点()1,1P -，则（ ） A. sin 1α= B. tan 1α=-
C. cos 2α=
D. sin 2
α=-
【答案】B 【解析】 【分析】
利用三角函数的定义可得α的三个三角函数值后可得正确的选项. 【详解】因为角α的终边经过点()1,1P -
，故r OP ==
所以sin ,cos tan 122
ααα=
=-=-，故选B. 【点睛】本题考查三角函数的定义，属于基础题.
5.将函数24y x π⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭的图象向右平移12π单位后，所得图象对应的函数解析式为
（ ）
A. 5212y x π⎛
⎫=
- ⎪⎝
⎭
B. 5212y x π⎛
⎫=
+ ⎪⎝
⎭
C. 212y x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭
D. 212y x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭
【答案】D 【解析】 【分析】
先将函数24y x π⎛⎫=
+ ⎪⎝
⎭中x 换为x-12π
后化简即可.
【详解】2()124y x ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭化解为212y x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭
故选D
【点睛】本题考查三角函数平移问题,属于基础题目,解题中根据左加右减的法则,将x 按要求变换.
6.平面向量a 与b 的夹角为60︒.(2.0)a =,1b ||=,则||2a b +等于( )
B. C. 4
D. 12
【答案】B 【解析】 【分析】
利用数量积定义,利用2|2|(2)a b a b +=+,求解即可. 【详解】
(2,0)|,|1b a ==，向量a 与b 的夹角为60︒，
2||202a ∴=+=，cos601o
a b a b ⋅==，
2|2|(2)a b a b ∴+=+==，
故选B.
【点睛】本题考查了向量的模，一般处理的方式是把模平方，再结合向量的夹角能求出向量
的数量积，计算即可求模，考查了运算能力，属于中档题.
7.已知0,0x y >> ，且111
12
x y +=+，则x y +的最小值为( ) A. 3 B. 5
C. 7
D. 9
【答案】C 【解析】 【分析】
运用乘1法，可得由x +y ＝（x +1）+y ﹣1＝[（x +1）+y ]•（11
1x y
++）﹣1，化简整理再由基本不等式即可得到最小值． 【详解】由x +y ＝（x +1）+y ﹣1 ＝[（x +1）+y ]•1﹣1
＝[（x +1）+y ]•2（111x y
++）﹣1 ＝2（2()11x y x y
++
+-+）1
=7． 当且仅当x 3=，y ＝4取得最小值7． 故选：C ．
【点睛】本题考查基本不等式运用：求最值，注意乘1法和满足的条件：一正二定三等，考查运算能力，属于中档题．
8.在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB
A. 31
44AB AC B. 13
44AB AC C. 31
4
4AB
AC D. 13
4
4
AB
AC 【答案】A 【解析】
分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得11
22
BE BA BC =
+，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到BC BA AC =+，之后将其合并，得到
3144BE BA AC =
+，下一步应用相反向量，求得31
44
EB AB AC =-，从而求得结果. 详解：根据向量的运算法则，可得
()
111111
222424BE BA BD BA BC BA BA AC =
+=+=++ 11131
24444
BA BA AC BA AC =++=+， 所以31
44EB AB AC =-，故选A.
点睛：该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.
9.在等差数列{}n a 中，公差0d <，n S 为{}n a 的前n 项和，且57S S =，则当n 为何值时，
n S 达到最大值.( )
A. 8
B. 7
C. 6
D. 5
【答案】C 【解析】 【分析】
先根据0d <，57S S =，得到670,0,a a ><进而可判断出结果. 【详解】因为在等差数列{}n a 中，57S S =，所以67750a a S S +=-=，
又公差0d <，所以67a a >，故670,0,a a >< 所以数列{}n a 的前6项为正数，从第7项开始为负数； 因此，当6n =时，n S 达到最大值. 故选C
【点睛】本题主要考查求使等差数列前n 项和最大的n ，熟记等差数列的性质与求和公式即可，属于常考题型.
10.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（ ）
A. 185+
B. 545+
C. 90
D. 81
【答案】B 【解析】 试题分析：
解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的斜四棱柱， 其底面面积为：3×6=18， 前后侧面的面积为：3×6×2=36，
左右侧面的面积为：223362185+=， 故棱柱的表面积为：183********++=+． 故选：B ．
点睛：本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键，由三视图判断空间几何体（包括多面体、旋转体和组合体）的结构特征是高考中的热点问题.
【此处有视频，请去附件查看】
11. 某旅行社租用A 、B 两种型号的客车安排900名客人旅行，A 、B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1600元/辆和2400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B 型车不多于A 型车7辆．则租金最少为（ ） A. 31200元 B. 36000元
C. 36800元
D. 38400
元 【答案】C 【解析】
设租A 型车x 辆，B 型车y 辆时租金为z 元 则z ＝1600x ＋2400y
x 、y 满足
画出可行域观察可知，直线
过点A(5,12)时纵截距最小，
∴z min ＝5×1 600＋2 400×12＝36800， 故租金最少为36800元．选C. 【此处有视频，请去附件查看】
12.已知函数2,0,()2,0,
x x f x x x x ⎧≥⎪=⎨+<⎪⎩若函数()()g x f x a =-有4个零点，则实数a 的取
值范围是（ ） A. 0a < B. 01a <<
C. 1a >
D. 1a ≥
【答案】B 【解析】 【分析】
令g(x)=0得f(x)=a,再利用函数的图像分析解答得到a 的取值范围. 【详解】令g(x)=0得f(x)=a, 函数f(x)的图像如图所示，
当直线y=a 在x 轴和直线x=1之间时，函数y=f(x)的图像与直线y=a 有四个零点， 所以0＜a ＜1. 故选：B
【点睛】本题主要考查函数的图像和性质，考查函数的零点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于中档题.
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13.已知复数z 满足()1234i z i +=+，则z 等于______. 5【解析】 【分析】
先求出复数z,再求|z|. 【详解】由题得2234(34)(12)112112
,()()512(12)(12)555
i i i i z z i i i ++--=
==∴=+-=++-. 故答案
5【点睛】（1）本题主要考查复数的计算和复数的模的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和基本的计算能力.(2) 复数(,)z a bi a b R =+∈的模22||z a b +14.△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若3a =
2b =4
B π
=
，则A =_______
【答案】3
A π
=或23
A π=
【解析】 【分析】
由正弦定理求解即可
. 【详解】因为3a =
，2b =，4
B π
=
，
由正弦定理sin sin a b A B
=，可得2
3sin 32sin 22
a B A
b ⋅
===， 所以3
A π
=
或23
A π
=
；且都满足A B π+<. 【点睛】本题主要考查了正弦定理的应用，已知两边及一边的对角采用正弦定理，属于基础题.
15.已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛
⎫=+>< ⎪⎝
⎭的部分图象如图所示，则ϕ=_______.
【答案】6
π
- 【解析】 【分析】
由图可得T π=，即可求得：2ω=，再由图可得：当3
x π
=时，()f x 取得最大值，即可
列方程13f π⎛⎫
=
⎪⎝⎭，整理得：sin 2133f ππϕ⎛⎫⎛⎫
=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，解得：2232k ππϕπ
⨯+=+（k Z ∈），结合2
π
ϕ<
即可得解.
【详解】由图可得：
7212122T πππ=-=，所以2T π
πω
==，解得：2ω= 由图可得：当
7121223
x πππ+==
时，()f x 取得最大值，即：13f π⎛⎫
= ⎪⎝⎭
整理得：sin 2133f ππϕ⎛⎫⎛⎫
=⨯+= ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
，所以 2232k ππϕπ⨯+=+（k Z ∈） 又2
π
ϕ<
，所以6
π
ϕ=-
【点睛】本题主要考查了三角函数图象的性质及观察能力，还考查了转化思想及计算能力，属于中档题。

16.已知S n 表示等比数列{a n }的前n 项和，5101
3
S S =，则1020S S =__________． 【答案】
1
5
【解析】 【分析】
由等比数列的前n 项和公式化简
5101
3
S S =，得到公比，再次利用等比数列的的前n 项和公式表示10
20
S S ，化简即可得到答案.
【详解】若数列为等比数列，很明显，1q ≠ ，
据此有
()()
5110
1111131a q q q
a q --⨯
=--，解得：5
=2q 1010201020111
115
S q S q q -===-+ 【点睛】本题主要考查了等比数列的前n 项和公式的应用，计算时要细心，属于基础题. 三、解答题：(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.
已知函数()4cos sin()16
f x x x π
=+-.
（Ⅰ）求()
f x 最小正周期：
（Ⅱ）求()f x 在区间,64ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣
⎦上的最大值和最小值. 【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）2，1-．
【解析】
【详解】（Ⅰ）因为()4cos sin f x x = 16x π⎛
⎫
+
- ⎪⎝
⎭
1
4cos cos 122x x x ⎛⎫=⋅+- ⎪ ⎪⎝⎭
22cos 1cos22sin 26x x x x x π⎛
⎫=+-=+=+ ⎪⎝
⎭，
故()f x 最小正周期为π （Ⅱ）因为6
4
x π
π
-
≤≤
，所以226
6
3
x π
π
π
-
≤+
≤
． 于是，当26
2
x π
π
+=
，即6
x π
=
时，()f x 取得最大值2；
当ππ266
x
，即6x π
=-时，()f x 取得最小值1-．
点睛：本题主要考查了两角和的正弦公式，辅助角公式，正弦函数的性质，熟练掌握公式是解答本题的关键.
18.已知数列{}n a 为递增的等差数列，其中35a =，且125,,a a a 成等比数列． （1）求{}n a 的通项公式； （2）设()()1111n n n b a a +=++记数列{}n b 的前n 项和为n T ，求使得n m
T 5
<成立的m 的最
小正整数．
【答案】（1）21n a n =-；（2）2. 【解析】 【分析】
（1）利用待定系数法，设出首项1a 和公差d ，依照题意列两个方程，即可求出{}n a 的通项公式； （2）由()()11
11n n n b a a +=
++，容易想到裂项相消法求{}n b
的前n 项和为n T ，然后，恒成
立问题最值法求出m 的最小正整数．
【详解】（1）在等差数列中，设公差为d ≠0，
由题意，得，
解得．
∴a n＝a1+（n﹣1）d＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1；
（2）由（1）知，a n＝2n﹣1．
则＝，
∴T n＝＝．
∵T n+1﹣T n＝＝＞0，
∴{T n}单调递增，而，
∴要使成立，则，得m，
又m∈Z，则使得成立的m的最小正整数为2．
【点睛】本题主要考查等差、等比数列的基本性质和定义，待定系数法求通项公式，裂项相消求数列的前n项和，以及恒成立问题的一般解法，意在考查学生综合运用知识的能力。

19.在平面四边形ABCD中， AB＝2，BD＝5，AB⊥BC，∠BCD＝2∠ABD，△ABD的面积为2．
(1)求AD的长；
(2)求△CBD的面积．
【答案】（15（2）5 8
【解析】
【分析】
（1）利用面积公式可以求出sin∠ABD的值，利用同角三角函数的关系求出cos∠ABD的值，利用余弦定理，求出AD的长；
（2）利用AB⊥BC，可以求出以sin∠CBD的大小，利用∠BCD＝2∠ABD，可求出sin∠BCD
的大小，通过角之间的关系可以得到所以△CBD 为等腰三角形，利用正弦定理，可求出CD 的大小，最后利用面积公式求出△CBD 的面积． 【详解】(1)由已知ABD S ∆＝12AB·BD·sin∠ABD ＝1
2
sin ∠ABD ＝2， 可得sin∠A BD
，又∠AB D ∈(0,)2
π，所以cos∠ABD
， 在△ABD 中，由余弦定理AD 2
＝AB 2
＋BD 2
－2·AB·BD·cos∠ABD ， 可得AD 2＝5，所以AD
(2)由AB⊥BC ，得∠ABD＋∠CB D ＝
2
π，所以sin∠CBD＝cos∠ABD
，
又∠BCD＝2∠ABD ，所以sin∠BCD＝2sin∠ABD·cos∠ABD ＝
45
， ∠BDC ＝π－∠CBD－∠BCD＝π－(
)2
ABD π
-∠－2∠ABD ＝
2
π
－∠ABD＝∠CBD ， 所以△CB D 为等腰三角形，即CB ＝CD ，在△CBD 中，由正弦定理
sin sin BD CD
BCD CBD
=∠∠，
得
CD BD sin CBD
554sin BCD
45
⋅∠=
=
=∠， 所以1554524458
CBD S ∆=
⨯⨯⨯=. 【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理、面积公式.
20.已知数列{}n a 满足：1120n n n n a a a a --+-=(2,)n n N ≥∈，11a =，数列{}n b 满足：
1n
n n
na b a =
+（*n N ∈）． （1）证明：数列11n a ⎧⎫
+⎨⎬⎩⎭
是等比数列； （2）求数列{}n b 的前n 项和n S ，并比较n S 与2的大小. 【答案】（1）见证明；（2）见解析 【解析】 【分析】
(1)将原式变形为11112(1)n n a a -+=+，进而得到结果；（2）根据第一问得到2
n n n b =，错位相减得到结果.
【详解】（1）由条件得1120n n n n a a a a --+-=112n n n n a a a a --⇒=+，易知0n a ≠，两边同
除以6π
得1
1121n n a a -=⨯+11112(1)n n a a -⇒+=+，又1112a +=， 故数列11n a ⎧⎫
+⎨
⎬⎩⎭
是
等比数列，其公比为2. （2）由（1）知112n n a +=11212n n n n n n a a a a +⇒=⇒=+()n *∈N ⇒2n n
n b =，则 231111
232222n n S n =
+⨯+⨯++⨯……① 231111112(1)22222
n n n n
S n +=⨯+⨯++-⨯+……② 两式相减得
2
3
1
1
111122
2222n
n
n
n S 2
111112222n n n
n S -⇒=+
+++
- 即112222*********
n n n n n n n n n S -
+=
-=--=-<-. 【点睛】这个题目考查的是数列通项公式的求法及数列求和的常用方法；数列通项的求法中有常见的已知n S 和n a 的关系，求n a 表达式，一般是写出1n S -做差得通项，但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用；数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等。

21.已知函数()()1ln a
f x a x x x
=++-，其中.a R ∈ （Ⅰ）求()f x 的单调区间；
（Ⅱ）若在[]1,e 上存在0x ，使得()00f x <成立，求a 的取值范围.
【答案】（1）见解析（2）()()1,1,.1e e e ⎛⎫
+-∞-⋃+∞ ⎪-⎝⎭
【解析】
试题分析：（1）函数的单调区间与导数的符号相关，而函数的导数为()()()2
1'x x a f x x ++=
，
故可以根据a 的符号讨论导数的符号，从而得到函数的单调区间.（2）若不等式()0f x < 在
[]1,e 上有解，那么在[]1,e 上，()min 0f x <.但()f x 在[]1,e 上的单调性不确定，故需分
1,1,a e a a e ≥--<<-≤- 三种情况讨论.
解析：（1）()()()()2
222111'1,0x a x a x x a a a f x x x x x x
++++++=++==>， ①当0a ≥时，在()0,x ∈+∞上()'0f x >，()f x 在()0,∞+上单调递增； ②当0a <时，在()0,x a ∈-上()'0f x <；在(),x a ∈-+∞上()'0f x >；所以()f x 在
()0,a -上单调递减，在(),a -+∞上单调递增.
综上所述，当0a ≥时，()f x 的单调递增区间为()0,∞+，当0a <时，()f x 的单调递减区间为()0,a -，单调递增区间为(),a -+∞.
（2）若在[]1,e 上存在0x ，使得()0f x 成立，则()f x 在[]1,e 上的最小值小于0. ①当1a -≤，即1a ≥-时，由（1）可知()f x 在[]1,e 上单调递增，()f x 在[]1,e 上的最小值为()1f ，由()110f a =-<，可得1a >，
②当a e -≥，即a e ≤-时，由（1）可知()f x 在[]1,e 上单调递减，()f x 在[]1,e 上的最小值为()f e ，由()()10a
f e a e e =++-
<，可得()11
e e a e +<-- ； ③当1a e <-<，即1e a -<<-时，由（1）可知()
f x 在()1,a -上单调递减，在(),a e -上单调递增，()f x 在[]1,e 上的最小值为()()()1ln 1f a a a a -=+--+，因为
0ln()1a <-<，所以()()()11ln 0a a a +<+-<，即
()()()1ln 1112a a a a a +--+>+-+=，即()2f a ->，不满足题意，舍去.
综上所述，实数a 的取值范围为()()1,1,1e e e ⎛⎫
+-∞-
⋃+∞ ⎪-⎝
⎭
. 点睛：函数的单调性往往需要考虑导数的符号，通常情况下，我们需要把导函数变形，找出能决定导数正负的核心代数式，然后就参数的取值范围分类讨论.又不等式的恒成立问题和
有解问题也常常转化为函数的最值讨论，比如：“()0f x <在[],a b 上有解”可以转化为“在[],a b 上，有()min 0f x <”，而“()0f x <在[],a b 恒成立”可以转化为“在[],a b 上，有()max 0f x <”.
选做题：本小题满分10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，则按所做的第一题计分。

22.在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为12,
(2x t t y t
=+⎧⎨
=-⎩为参数），以原点O 为极
点，以x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，两坐标系取相同的长度单位。

曲线C 的极坐标方程为 2
2cos 4sin 40ρρθρθ+++=. （1）求l 的普通方程和C 的直角坐标方程；
（2）已知点M 是曲线C 上任一点，求点M 到直线l 距离的最大值.
【答案】（1）:10l x y +-=； 2
2
(1)(2)1x y +++=;（2）
1
【解析】 【分析】
（1）消参数得l 的普通方程，根据2
2
2
,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==得C 的直角坐标方程（2）根据直线与圆位置关系得最值.
【详解】（1）12,
2x t y t
=+⎧⎨
=-⎩10x y ∴+-= 因为2
2
2
,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==，
所以2
2
2440x y x y ++++=，即2
2
(1)(2)1x y +++=
（2）因
圆心(1,2)--到直线10x y +-=
=，
所以点M 到直线l 距离的最大值为 1.r =
【点睛】本题考查参数方程化普通方程、极坐标方程化直角坐标方程以及直线与圆位置关系，考查综合分析求解能力，属中档题. 23.已知()f x x a x =++.
（1）当1a =时，求不等式()3f x <的解集；
（2）设关于x 的不等式()3f x <有解，求a 的取值范围. 【答案】（1）(2,1)-；（2）33a -<<. 【解析】 【分析】
（1）当1a =时，利用零点分段法去绝对值，将()f x 转化为分段函数的形式，并由此解出不等式的解集.（2）先利用绝对值不等式求得()f x 的最小值，这个最小值小于3，由此列不等式，解不等式求得a 的取值范围.
【详解】解：（1）当1a =时，不等式13x x ++<等价于()113x x x <-⎧⎨-+-<⎩，
或()10
13x x x -≤≤⎧⎨+-<⎩，
或()013x x x >⎧⎨++<⎩
，
解得21x -<<-或10x -≤<，即01x <<. 所以不等式()3f x x +<的解集是()2,1-. （2）由题意得()min 3f x <，
因为()f x x a x x a x a =++≥+-=，故3,33a a <-<<.
【点睛】本小题主要考查零点分段法解绝对值不等式，考查不等式存在性问题的求解方法，属于中档题.。