高中江苏省南通市西亭高级中学高一上学期第二次阶段性测试数学试题

江苏省南通市西亭高级中学【精品】高一上学期第二次阶段
性测试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．cos1830的值为（ ）
A ．12
-
B ．
C ．
12
D 2．已知点P (cos α，tan α)在第三象限，则角α的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限
D ．第四象限
3．若一扇形的圆心角为108，半径为10cm ，则扇形的面积为（ ） A ．230cm π
B ．260cm π
C ．25400cm π
D ．210800cm π
4．设log 3a π=，0.3b π=，0.3log c π=，则（ ） A ．a b c >>
B ．a c b >>
C ．b c a >>
D ．b a c >>
5．函数(01)||
x
xa y a x =<<的图像的大致形状是（ ） A ． B ．
C ．
D ．
6．已知函数1,3()lg(3),30101,0x x f x x x x ≤-⎧⎪
=+-<≤⎨⎪->⎩
，若(1)2f a -=，则实数a =（ ）
A ．1
B ．lg 3
C ．lg30
D ．lg300
7．先将函数sin y x =图象向右平移
6
π
个单位，再将得到的函数图象上的每一个点的横坐标变为原来的
1
2
(纵坐标不变)，则所得图形对应的函数为（ ） A ．sin(2)3
y x π
=-
B ．sin(2)6
y x π
=-
C ．1sin()2
12
y x π
=-
D ．1sin()2
6
y x π
=-
8．若函数()()01x x
a f x a a
a ->=-≠且在R 上为减函数，则函数
2()log (23)a f x x x =+-的单调递增区间( )
A ．(),1-∞-
B ．(1,)-+∞
C ．(),3-∞-
D ．(3,)-+∞ 9．已知函数22
,1
()2,1
x kx x f x x x ⎧-+≤=⎨>⎩，若存在,R a b ∈，且a b ，使得()()f a f b =成
立，则实数k 的取值范围是（ ） A ．(,2)(3,)-∞⋃+∞ B ．(,2)(3,)-∞-⋃+∞ C ．(,2)-∞- D ．(2,3)
10．设2
1
()51x
f x x
=-+，则使得(21)()f x f x +>成立的x 的取值范围是（ ） A ．1(1,)3
--
B ．(3,1)--
C ．(1,)
-+∞ D ．1
(,1)
(,)3
-∞--+∞
二、填空题
11．7log 23log lg25lg47++-=______.
12．函数y 的定义域为________． 13．方程103x
e x =-的解(,1),Z x k k k ∈+∈，则k =_______.
14．已知tan 3α=，则
2221
sin cos 34
αα+=_______. 15．将函数()sin(2)4
f x x π
=-
的图象向左平移(0)m m >个单位后，所得函数的图象关
于y 轴对称，则m 的最小值为______.
16．已知函数 a
y x x
=+
有如下性质：常数0a >，那么函数在（上是单调递减函
数， )
+∞上是单调增函数．如果函数()4
f x x m m x
=+-+在区间[1，4]上的最小值为7，则实数m 的值是______．
三、解答题
17．已知角α终边在第四象限，与单位圆的交点A 的坐标为
0y ⎫
⎪⎭
，且终边上有一
点P （1）求0y 的值和P 点的坐标；
（2）求()()3tan 3cos cos 2παππαα⎛⎫
--+- ⎪⎝⎭
的值. 18．已知集合3{|0log 1}A x x =≤≤，{|2cos 1,[0,2)}3
B x x x π
π=<∈．
（1）分别求A
B ；
（2）已知集合{}|22C x a x a =<<+，若C A ⊆，求实数a 的取值范围． 19．已知某商品在过去20天的日销售量和日销售价格均为销售时间t(天)的函数,日销售量(单位:件)近似地满足: ()30(120,)f t t t t N *
=-+≤≤∈,日销售价格(单位:元)近似地满
足: 240,110,()15,1120,t t t N g t t t N
*
*
⎧+≤≤∈≤=⎨≤≤∈⎩ (I)写出该商品的日销售额S 关于时间t 的函数关系; (Ⅱ)当t 等于多少时,日销售额S 最大?并求出最大值
20．函数()()2sin f x x ωϕ=+（其中0,2
π
ωϕ><），若函数()f x 的图象与x 轴的
任意两个相邻交点间的距离为2
π
，且函数()f x 的图象过点()0,1． （1）求()f x 的解析式； （2）求()f x 的单调增区间：
（3）求()()2sin f x x ωϕ=+在,02π⎛⎫
- ⎪⎝⎭
的值域．
21．已知函数()426x x f x a =-⋅-，R a ∈且为常数. （1）当5a =时，求()0f x >的解集；
（2）当[]
0,2x ∈，恒有()0f x >，求实数a 的取值范围. （3）若()0f x >在[]
0,2x ∈上有解，求实数a 的取值范围. 22．已知函数||
()(0)x a f x a x -=
>，且满足1()12
f =. （1）判断函数()f x 在(1,)+∞上的单调性，并用定义证明；
（2）设函数()()g x f x c =-，若()g x 在(0,)+∞上有两个不同的零点，求实数c 的取值范围；
（3）若存在实数m ，使得关于x 的方程222()||20x a x x a mx ---+=恰有4个不同 的正根，求实数m 的取值范围.
参考答案
1．D 【分析】
利用诱导公式将cos1830中的角度转换成30即可. 【详解】
()cos 360cos1830530cos302
=︒⨯+︒=︒=
故选：D 【点睛】
本题主要考查了三角函数的诱导公式,属于基础题型. 2．B 【分析】
利用点所在象限，推出三角函数的符号，然后判断角所在象限． 【详解】
由题意可得00cos tan αα<⎧⎨
<⎩,则0
sin cos αα>⎧⎨<⎩,所以角α的终边在第二象限，故选B. 【点睛】
本题考查角所在象限以及点所在象限的判断，基本知识的考查． 3．A 【分析】
计算扇形所在的圆的面积再乘以108占360︒的比例即可. 【详解】 扇形的面积为221083
101003036010
cm πππ︒⨯⨯=⨯=︒ 故选：A 【点睛】
本题主要考查了扇形的面积公式,属于基础题型. 4．D 【分析】
根据对数函数的单调性得到1log log 3log 10ππππ=>>=和0.30.30log 1log π=>，根据
指数函数的单调性可得0.301ππ>=，从而比较出大小得到结果. 【详解】
由对数函数底数1π>，故对数函数log y x π=在(0,)+∞上单调递增，故有
1log log 3log 10ππππ=>>=；由指数函数底数1π>，故指数函数x y π=在
上单调递
增，故0.301ππ>=；由对数函数底数0.31<，故对数函数0.3log y x =在(0,)+∞上单调递减，故0.30.30log 1log π=>.综上所述，10b a c >>>>. 故本题正确答案为D. 【点睛】
本题主要考查指数函数的单调性，对数函数的单调性，考查学生的逻辑推理能力和运算求解能力，属基础题. 5．D 【分析】
化简函数解析式，利用指数函数的性质判断函数的单调性，即可得出答案. 【详解】 根据01a <<
(01)
||
x
xa y a x =<<
,0,0
x x a x y a x ⎧>∴=⎨-<⎩
01a <<，
∴x y a =是减函数，x y a =-是增函数.
(01)||
x
xa y a x =<<在(0)+∞，
上单调递减，在()0-∞，上单调递增 故选：D . 【点睛】
本题主要考查了根据函数表达式求函数图象，解题关键是掌握指数函数图象的特征，考查了分析能力和计算能力，属于中档题. 6．C
【分析】
利用分段函数中的三个区间分别讨论对(1)2f a -=进行求解即可.
【详解】 当13a -≤-时,
(1)2f a -=显然无解.
当310a -<-≤时,
(1)2f a -=有lg(31)22100,98a a a +-=⇒+==不满足310a -<-≤.
当10a ->时,
(1)2f a -=有113101211lg30lg30a a a a --=⇒-=⇒=-=⇒满足10a ->.
故选：C 【点睛】
本题主要考查了分段函数的运用与指对数的运算,属于基础题型. 7．B 【分析】
根据三角函数图像平移伸缩的的方法求解即可. 【详解】
函数sin y x =图象向右平移
6π
个单位得到sin 6y x π⎛⎫=- ⎪⎝
⎭再将得到的函数图象上的每一个点的横坐标变为原来的12
(纵坐标不变)得到sin(2)6y x π=-.
故选：B 【点睛】
本题主要考查了三角函数的图像变换,属于基础题型. 8．C 【分析】
由题意可得01a <<，令2230t x x =+->，求得()f x 的定义域为(,3)(1,)-∞-⋃+∞，函数()log a f x t =是减函数，本题即求函数t 在(,3)(1,)-∞-⋃+∞上的减区间，再利用二次函数的性质可得结果. 【详解】
由函数()()01x
x
f x a a
a a -=->≠且在R 上为减函数，可得01a <<，
令2230t x x =+->，求得()f x 的定义域为(,3)(1,)-∞-⋃+∞， 且函数()log a f x t =是减函数，
所以本题即求函数t 在(,3)(1,)-∞-⋃+∞上的减区间，
利用二次函数的性质可得函数t 在(,3)(1,)-∞-⋃+∞上的减区间是(,3)-∞-， 故选C. 【点睛】
该题考查的是有关对数型函数的单调区间，在解题的过程中，注意首先根据题意确定出参数的取值范围，之后根据复合函数的单调性法则以及结合函数的定义域求得结果. 9．A 【分析】
依题意,在定义域内,()f x 不是单调函数,结合二次函数图像的性质与分段函数的单调性即可. 【详解】
依题意,在定义域内,()f x 不是单调函数,由2
()2,1f x x x =>为增函数,且当1x =时,
222x =得,当1x ≤时,二次函数对称轴小于1或者(1)2f >.
即
12
k
<或12k -+>,解得2k <或3k > 故选：A 【点睛】
本题主要考查了分段函数的应用,分类讨论的思想等,属于中等题型. 10．D 【分析】 由21
()51x
f x x
=-+是偶函数且在[)0,+∞上单调递增求解即可. 【详解】 由()
2
2
11
()5
5()11x x
f x f x x x --=-
=-
=++-,故()f x 是偶函数. 又当0x ≥时,5x
y =为增函数,211y x =
+为减函数,故2
1()51x
f x x
=-+为增函数.
故(21)()f x f x +>则21x x +>, 故
()
()()()2
2
22212103110x x x x x x +>⇒+->⇒++>.
解得1
(,1)(,)3
x ∈-∞--+∞ 故选：D 【点睛】
本题主要考查了利用函数的奇偶性与单调性求解不等式的问题,偶函数的不等式一般用绝对值去求解,属于中等题型. 11．
32
【分析】
根据指对数的运算法则求解即可. 【详解】
7log 233133log lg 25lg 47log 27lg100222222
+-=
+-=+-= 故答案为：3
2
【点睛】
本题主要考查了指对数的基本运算,属于基础题型. 12．[4,][0,]ππ--⋃ 【分析】
根据函数的解析式，列出使函数解析式有意义的不等式组2160
sin 0
x x ⎧-≥⎨≥⎩，求出解集即可．
【详解】
∵函数y =
∴2160sin 0
x x ⎧-≥⎨≥⎩，解得44
22x k x k k Z πππ-≤≤⎧⎨≤≤+∈⎩，， 即4x π-≤≤-或0x π≤≤；
∴函数y 的定义域为[][]4,0,ππ--⋃，故答案为[][]
4,0,ππ--⋃. 【点睛】
本题考查了求函数定义域的应用问题，解题的关键是根据函数解析式列出不等式组，解不等
式组为该题的难点，属于中档题． 13．1 【分析】 方程103x
e x =-即3100x e x +-=,利用()310x
f x e x =+-的单调性与零点存在定理求
解即可. 【详解】 方程103x e x =-即3100x e x +-=,设()310x
f x e x =+-则函数()f x 为增函数,
且
(1)3100f e =+-<,2(2)6100f e =+->,又解(,1),Z x k k k ∈+∈.则1k =.
故答案为：1 【点睛】
本题主要考查了零点存在定理的应用,属于基础题型. 14．
58
【分析】 将
2221
sin cos 34
αα+整体除以22sin cos αα+再分子分母除以2cos α求解即可. 【详解】
222222222221212125
sin cos tan 32153434344sin cos 34sin cos tan 131108
αααααααα++⨯+
+=====+++ 故答案为：5
8
【点睛】
本题主要考查了三角函数同角关系的应用,属于基础题型. 15．
38
π 【分析】
利用正余弦关于y 轴对称则当0x =时,正余弦函数取得对称轴的表达式求解即可. 【详解】
将函数()sin(2)4
f x x π
=-
的图象向左平移(0)m m >个单位后
()()sin 2sin 2244f x x m x m ππ⎡⎤⎛
⎫=+-=+- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝
⎭.又所得函数的图象关于y 轴对称,
则当0x =时,222,()4
4
2
x m m k k Z π
π
π
π+-=-
=+
∈.
即3,()28k m k Z π
π=
+∈.又0m >,故当0k =时, m 取最小值为38
π. 故答案为：38
π
【点睛】
本题主要考查了三角函数图像变换以及图像性质问题,属于中等题型. 16．6 【分析】 设4
t x x
=+
且t ∈[4，5],则可化()f x 为y =|t -m |+m 在区间[4，5]上的最小值为7,分别讨论5m >,[]4,5m ∈,4m <时的解析式,进而求得m 的值
【详解】 设4
t x x
=+
在[1，2]上单调递减,在[2，4]上单调递增,所以t ∈[4，5], 问题化为y t m m =-+在区间[4，5]上的最小值为7,
当m ＞5时,2y m t m m t =-+=-,则()min 5257y y m ==-=,m =6；
当m ∈[4，5]时,由绝对值的非负性,则()min 7y y m m m m m ==-+==（舍去）； 当m ＜4时,y t m m t =-+=,()min 447y y m m ==-+=,不成立 故答案为：6 【点睛】
本题考查最值问题,通过换元将问题化为绝对值函数在闭区间上的最小值问题,接下来根据对称轴在闭区间的右侧、中间、左侧分三类讨论即可
17．（1）0y =()1,2P -；（2【分析】
(1)由单位圆可利用A 到原点的距离为1计算0y .由A 算得的三角函数值计算P 的坐标即可. (2)先用诱导公式化简式子,再代入角α的三角函数值进行计算即可. 【详解】
(1)
20415y =⇒=,因为角α终边在第四象限,
故0y =
故sin 55αα=-=,
故())1,525P ⎛-= ⎝-⎭
(2) ()(
)3tan 3cos cos tan (cos )sin 2sin 2παππαααααα⎛⎫
--+-=⋅--=-= ⎪⎝⎭
【点睛】
本题主要考查了三角函数的基本定义以及诱导公式的运用等,属于基础题型. 18．（1）{|15}x x ≤<；（2）{|2a a ≥或1
1}2
a ≤≤. 【分析】
(1)分别求出,A B 再求出A
B 即可.
(2)分C =∅与C ≠∅两种情况进行讨论即可. 【详解】
（1）因为{}{}3|0log 1|13A x x x x =≤≤=≤≤,
{|2cos
1,[0,2)}3
B x x x π
π=<∈={|15}x x <<；
所以{|15}A B x x ⋃=≤<.
（2）因为C A ⊆,当C =∅时,22a a ≥+,即2a ≥,
当C ≠∅时,则22
21
23
a a a a <+⎧⎪
≥⎨⎪+≤⎩
,即112a ≤≤； 综上,实数a 的取值范围是{|2a a ≥或1
1}2
a ≤≤. 【点睛】
本题主要考查了集合的基本运算与集合之间的关系,同时也考查了对数函数与三角函数的表达式求解.属于中等题型.
19．（I ）见解析；（II ）当t ＝5时，日销售额S 最大，最大值为1250元．
【解析】
试题分析：（1）通过S ＝f (t )·
g (t )求出函数的解析式． （2）利用函数的解析式，通过求1≤t ≤10和11≤t ≤20两段上函数的最大值．从而得函数的最大值.
试题解析：（I ）由题意知，S ＝f (t )·
g (t )＝
（II ）当1≤t ≤10，t ∈N*时，S ＝(2t ＋40)(－t ＋30)＝－2 t 2＋20t ＋1200＝－2 (t －5)2＋1250． 因此，当t ＝5时，S 最大值为1250；
当11≤t ≤20，t ∈N *时，S ＝15(－t ＋30)＝－15t ＋450为减函数， 因此，当t ＝11时，S 最大值为285．
综上，当t ＝5时，日销售额S 最大，最大值为1250元． 20．（1）2sin(2)6y x π
=+；（2）,,36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦
；（3）[)2,1-
【分析】
（1）依据题意可得函数周期为π，利用周期公式算出ω，又函数过定点()0,1，即可求出ϕ，进而得出解析式；（2）利用正弦函数的单调性代换即可求出函数()f x 的单调区间；（3）利用换元法，设26
t x π
=+
，结合2sin y t =在5,66t ππ⎛⎫
∈-
⎪⎝
⎭上的图象即可求出函数()()2sin f x x ωϕ=+在,02
π
⎛⎫
- ⎪⎝
⎭
的值域
【详解】
（1）因为函数()f x 的图象与x 轴的任意两个相邻交点间的距离为2
π
，所以函数()f x 的周期为π，由2T π
πω
=
=，得2ω=，又函数()f x 的图象过点()0,1，
所以(0)1f =，即2sin 1=ϕ，而，所以6
π=
ϕ， 故()f x 的解析式为2sin(2)6
y x π
=+
．
（2）由sin y x =的单调增区间是2,2,22k k k Z ππππ⎡⎤
-
++∈⎢⎥⎣⎦
可得
2222
6
2
k x k π
π
π
ππ-
+≤+
≤
+，解得3
6
k x k π
π
ππ-
+≤≤
+
故故函数()f x 的单调递增区间是,,36k k k Z ππ
ππ⎡⎤
-++∈⎢⎥⎣⎦．
（3）设 26t x π
=+
，,02x π⎛⎫
∈- ⎪⎝⎭，则5,66t ππ⎛⎫∈-
⎪⎝⎭ ，由2sin y t =在5,66t ππ⎛⎫∈- ⎪⎝
⎭上的图象知，当2
t π
=-
时，min 2f =- 当t 趋于
6
π
时，函数值趋于1， 故()()2sin f x x ωϕ=+在,02π⎛⎫
- ⎪⎝⎭
的值域为[
)2,1- ．
【点睛】
本题主要考查正弦型函数解析式的求法，正弦函数性质的应用，以及利用换元法结合图象解决给定范围下的三角函数的范围问题，意在考查学生数学建模以及数学运算能力． 21．（1）{}2|log 6x x >；（2）5a <-；（3）5
2
a <. 【分析】
(1)令2x t =代入原式化简成二次函数的形式再进行求解即可.
(2)参变分离有6a t t <-,故求6
t t -在区间上的最小值即可. (3)参变分离后有6a t t <-故求6
t t
-在区间上的最大值即可.
【详解】
(1) 令2x t =,则0t >当5a =时,有20(6)(6151)0t t t t t >⇒-+>⇒-<--或6t >.
因为0t >,所以226log 6x
x >⇒>.
(2)当[]0,2x ∈时令[]21,4x t =∈.恒有()0f x >即恒有2
660t at a t t
-->⇒<-
在[]1,4t ∈上恒成立.因为6()g t t t =-在[]1,4t ∈上单调递增,故min 6
()(1)151
g t g ==-=-.
故5a <-.
(3)同(2)有6a t t <-在[]1,4t ∈上有解.因为6
()g t t t
=-在[]1,4t ∈上单调递减, 故max 65
()(4)442g t g ==-=.故52
a <
【点睛】
本题主要考查了有关二次函数的复合函数问题,需要换元进行求解,同时也考查了在区间上恒成立与能成立问题,参变分离求最值即可.属于中等题型.
22．（1）()f x 在(1,)+∞上为增函数；证明见解析；（2）()0,1；（3）1
(0,)16
. 【分析】
(1)由1()12
f =与0a >可得1a =,再判断函数()f x 在(1,)+∞上的单调性即可.
(2)根据(1)中的单调性,再求解()f x 在(0,1)上的单调性,再根据函数性质进行范围分析即可. (3)将方程化简为22()()20f x f x m -+=,利用复合函数零点的方法,先分析关于()t f x =的二次函数的根的问题,再根据零点存在性定理列式求不等式即可. 【详解】
（1）由1|
|
12()=112
2
a f -=
，得1a =或0. 因为0a >，所以1a =，所以|1|
()x f x x
-=. 当1x >时，11
()=1x f x x x
-=-，任取12,(1,)x x ∈+∞，且12x x <， 则121221
121212
11(1)(1)()()=x x x x x x f x f x x x x x ------=
- 12212212(1)(1)=
x x x x x x ---12
12
=x x x x -，
因为121x x <<，则1212<0,0x x x x ->，12())0(f x f x -<， 所以()f x 在(1,)+∞上为增函数；
（2）由（1）可知，()f x 在(1,)+∞上为增函数,当(1,)x ∈+∞时，1
()=1(0,1)f x x
-∈ 同理可得()f x 在(0,1)上为减函数，当(0,1)x ∈时，1()=1(0,)f x x
-∈+∞. 所以(0,1)c ∈；
（3）方程2
2
2(1)|1|20x x x mx ---+=可化为22|1||1|
220x x m x x
---+=，
即2
2()()20f x f x m -+=.
设()t f x =,方程可化为2220t t m -+=. 要使原方程有4个不同的正根，
则方程2220t t m -+=在(0,1)有两个不等的根12,t t ，
则有211602021120
m m m ->⎧⎪>⎨⎪⨯-+>⎩
，解得1016m <<，
所以实数m 的取值范围为1(0,)16
. 【点睛】
本题主要考查了函数的单调性问题以及函数值范围的问题,同时也考查了复合函数零点问题以及零点存在性定理,属于难题.。