2020版高考数学一轮复习课后限时集训49双曲线理含解析新人教A版2

课后限时集训(四十九)　双曲线
(建议用时：40分钟)A 组　基础达标
一、选择题
1．(2019·福州模拟)已知双曲线E ：mx 2－y 2＝1的两顶点间的距离为4，则E 的渐近线方程为( )
A ．y ＝±
B ．y ＝±
x
4x
2
C ．y ＝±2x
D ．y ＝±4x
B [因为
E ：mx 2－y 2＝1
的两顶点间的距离为4，所以m ＝，所以E 的方程为－y 2
＝1，所以E
14x 24
的渐近线方程为y ＝±，故选B.]
x
2
2．(2015·全国卷Ⅰ)已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点，
x 2
2
若·＜0，则y 0的取值范围是( )MF 1→ MF 2→
A.
B.(－33，33
)
(
－36，
36)
C. D.(
－
223，
22
3
)
(
－
233，233
)
A [由题意知a ＝，b ＝1，c ＝，∴F 1(－，0)，F 2(，0)，∴＝(－－x 0，－y 0)，
2333MF 1→
3＝(－x 0，－y 0)．MF 2→
3∵·<0，∴(－－x 0)(－x 0)＋y <0，MF 1→ MF 2→
3320即x －3＋y <0.
2020∵点M (x 0，y 0)在双曲线上，∴－y ＝1，即x ＝2＋2y ，∴2＋2y －3＋y <0，∴－<y 0<.
x 2
22020202020
333
3故选A.]
3．(2019·云南模拟)P 为双曲线C ：－＝1(a ＞0)上一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右
x 2a 2y 2
9
焦点，∠F 1PF 2＝60°，则|PF 1|·|PF 2|的值为( )A ．6 B ．9C ．18
D ．36
D [不妨设点P 在双曲线的右支上，则由双曲线的定义，得|PF 1|－|PF 2|＝2a ，两边平方，整理得|PF 1|2＋|PF 2|2＝4a 2＋2|PF 1||PF 2|.在△PF 1F 2中，由余弦定理，得cos∠F 1PF 2＝，即＝，解得|PF 1||PF 2|＝36，故选D.]
|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|4a 2＋2|PF 1||PF 2|－4 a 2＋9 2|PF 1||PF 2|1
2
4．已知双曲线－＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线的夹角θ满足sin θ＝，焦点到渐近线
x 2a 2y 2b 24
5
的距离为1，则该双曲线的焦距为( )A. B.或55
25C.或2
D ．2555
C [因为双曲线－＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线的夹角θ满足sin θ＝，所以tan θ＝
x 2a 2y 2b 24
5
，不妨设双曲线经过第一、三象限的渐近线的倾斜角为α，则θ＝2α或θ＝π－2α，tan 4
3
θ＝±tan 2α＝±＝，得tan α＝2或，所以＝2或.设右焦点为(c,0)，其中
2tan α1－tan 2α4312b a 1
2一条渐近线方程为y ＝x ，则焦点到渐近线的距离d ＝＝b ＝1，又b 2＝c 2－a 2＝1，解得c ＝b a |bc |
a 2＋
b 2或，所以双曲线的焦距为或2.]5
2
5555．(2019·惠州一调)已知F 1和F 2分别是双曲线－＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点，A 和B 是
x 2a 2y 2
b
2以坐标原点O 为圆心，以|OF 1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F 2AB 是等边三角形，则该双曲线的离心率为( )A.
B.－13＋123
C.＋1
D ．2
3C [由题意知|F 1F 2|＝2c ，∵△F 2AB 是等边三角形，∴∠AF 2F 1＝30°.连接AF 1，∴|AF 1|＝c ，|AF 2|＝c ，∴a ＝，33c －c
2
∴e ＝＝＋1.故选C.]
c a
36．已知双曲线C ：－＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，以F 为圆心和双曲线的渐近线相切
x 2a 2y 2
b
2的圆与双曲线的一个交点为M ，且MF 与双曲线的实轴垂直，则双曲线C 的离心率为( )A. B.525C.
D ．2
2C [易知双曲线的渐近线方程为y ＝±x ，则点F (c,0)到渐近线的距离为
＝＝b ，即b a
|bc |
a 2＋b
2
bc
c
圆F 的半径为b .令x ＝c ，则y ＝±b ＝±，由题意，得b ＝，即a ＝b ，所以双曲线
c 2
a 2－1
b 2a b 2a 的离心率e ＝＝，故选C.]
1＋b 2
a
227．已知F 1，F 2分别为双曲线－＝1的左、右焦点，P (3,1)为双曲线内一点，点A 在双曲
x 25
y 2
4
线上，则|AP |＋|AF 2|的最小值为( )
A.＋4
B.－43737
C.－2
D.＋2375375
C [由题意知，|AP |＋|AF 2|＝|AP |＋|AF 1|－2a ，要求|AP |＋|AF 2|的最小值，只需求|AP |＋
|AF 1|的最小值，
当A ，P ，F 1三点共线时，取得最小值，则|AP |＋|AF 1|＝|PF 1|＝，
37∴|AP |＋|AF 2|的最小值为|AP |＋|AF 1|－2a ＝－2.]375二、填空题
8.如图，F 1，F 2是双曲线－＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，过F 1的
x 2a 2y 2
b
2直线l 与C 的左、右两个分支分别交于点B ，A .若△ABF 2为等边三角形，则双曲线的离心率为________．　[∵△ABF 2为等边三角形，7∴|AB |＝|AF 2|＝|BF 2|，∠F 1AF 2＝60°.
由双曲线的定义，得|AF 1|－|AF 2|＝2a ，∴|BF 1|＝2a .又|BF 2|－|BF 1|＝2a ，∴|BF 2|＝4a ，
∴|AF 2|＝4a ，|AF 1|＝6a .
在△AF 1F 2中，由余弦定理，得|F 1F 2|2＝|AF 1|2＋|AF 2|2－2|AF 2|·|AF 1|cos 60°，∴(2c )2＝(6a )2＋(4a )2－2×4a ×6a ×，化简得c 2＝7a 2，
1
2
∴e ＝＝＝.]
c a c 2
a
279．设双曲线与椭圆
＋
＝1有共同的焦点，且与椭圆相交，一个交点的坐标为(，4)，
x 2
27
y 2
36
15则此双曲线的标准方程是________．
－＝1　[椭圆＋＝1的焦点坐标为(0，±3)．y 24
x 2
5x 227y 2
36
设双曲线的标准方程为－＝1(a ＞0，b ＞0)，
y 2a 2x 2
b
2由双曲线的定义得
2a ＝|－| 15－0 2＋ 4－3 2 15－0 2＋ 4＋3 2＝4，
故a ＝2，b 2＝32－22＝5，
故所求双曲线的标准方程为－＝1.]
y 24x 2
510．(2019·武汉模拟)已知双曲线
x 2－
＝1的左顶点为A 1，右焦点为F 2，P 为双曲线右支上
y 2
3
一点，则·的最小值为________．
PA 1→ PF 2→
－2　[由题可知A 1(－1,0)，F 2(2,0)．设P (x ，y )(x ≥1)，
则＝(－1－x ，－y )，＝(2－x ，－y )，·＝x 2－x －2＋y 2＝x 2－x －2＋3(x 2－1)＝PA 1→ PF 2→ PA 1→ PF 2→
4x 2－x －5.因为x ≥1，函数f (x )＝4x 2－x －5
的图象的对称轴为x ＝，所以当x ＝1时，·取得最
1
8PA 1→ PF 2→
小值－2.]
B 组　能力提升
1．已知双曲线C ：－y 2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 2的直线与双曲线C 的右支相
x 2
3交于P ，Q 两点，且点P 的横坐标为2，则△PF 1Q 的周长为( )A ．4 B.31433C ．5
D.31633
D [由双曲线方程得a 2＝3，b 2＝1，所以c 2＝a 2＋b 2＝4，
所以c ＝2，所以右焦点F 2(2,0)，因为x P ＝2且PQ 过点F 2，所以PQ ⊥x 轴，如图，
由此得Error!⇒|PF 1|＋|PF 2|＝，
83
3
所以△PF 1Q 的周长为2(|PF 1|＋|PF 2|)＝.故选D.]
163
3
2．(2018·全国卷Ⅲ)设F 1，F 2是双曲线C ：－＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，O 是坐标
x 2a 2y 2
b
2原点．过F 2作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P .若|PF 1|＝|OP |，则C 的离心率为( )6A. B ．25C.
D.32
C [不妨设一条渐近线的方程为y ＝x ，则F 2到y ＝x 的距离d ＝
＝b ，在Rt△F 2PO 中，|F 2O |
b
a b a
|bc |
a 2＋
b 2
＝c ，所以|PO |＝a ，所以|PF 1|＝a .又|F 1O |＝c ，所以在△F 1PO 与Rt△F 2PO 中，根据余弦定
6理得cos∠POF 1＝＝－cos∠POF 2＝－，即3a 2＋c 2－(a )2＝0，得3a 2＝c 2，
a 2＋c 2－ 6a 2
2ac
a c 6所以e ＝＝.]
c
a
33．已知F 1，F 2分别是双曲线C ：－＝1的左、右焦点，若F 2关于渐近线的对称点恰落在
x 2a 2y 2
b
2以F 1为圆心，|OF 1|为半径的圆上，则双曲线C 的离心率为________．
2　[由题意，得F 1(－c,0)，F 2(c,0)，一条渐近线方程为y ＝x ，则F 2到渐近线的距离为
＝b .
b
a
bc b 2＋a 2
设F 2关于渐近线的对称点为M ，F 2M 与渐近线交于点A ，则|MF 2|＝2b ，A 为F 2M 的中点．又O 是F 1F 2的中点，∴OA ∥F 1M ，∴∠F 1MF 2为直角，∴△MF 1F 2为直角三角形，∴由勾股定理，得4c 2＝c 2＋4b 2，∴3c 2＝4(c 2－a 2)，∴c 2＝4a 2，∴c ＝2a ，∴e ＝2.]
4．已知点A (a,0)，点P 是双曲线C ：－y 2＝1右支上任意一点，若|PA |的最小值为3，则a ＝
x 2
4________.
－1或5　[设P (x ，y )(x ≥0)，
2则|PA |2＝(x －a )2＋y 2＝(x －a )2＋＝2
＋a 2－1.
(x 2
4－1)54(
x －4
5a )
15a ≥时，取x ＝a ，得|PA |2的最小值为a 2－1＝9，所以a ＝5；
52451
52a ＜时，这个关于x 的二次函数在x ∈[2，＋∞)上单调递增，5
2取x ＝2，得|PA |最小值为
＝|2－a |＝3，所以a ＝－1. 2－a 2＋02综上，得a ＝－1或5.]
2。