2018版高中数学第二章平面解析几何初步2.3.1圆的标准方程学业分层测评
2018版高中数学 第二章 平面解析几何初步 2.3.1 空间直角坐标系学业分层测评 苏教版必修2
2.3.1 空间直角坐标系(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．若点P(a，b，c)既在平面xOy内，又在平面yOz内，则a＋c＝________.【解析】点P在平面xOy与平面yOz的交线Oy上，由其上点的特征知a＝0，c＝0，b∈R.【答案】02．在空间直角坐标系中，已知点P(x，y，z)，关于下列叙述：①点P关于x轴对称的点的坐标是P1(x，－y，z)；②点P关于yOz平面对称的点的坐标是P2(x，－y，－z)；③点P关于y轴对称的点的坐标是P3(x，－y，z)；④点P关于原点对称的点的坐标是P4(－x，－y，－z)．其中叙述正确的序号是________．【解析】由图形几何性质知①②③错，④正确．【答案】④3.如图2－3－3所示，多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEFG所截而得，其中AB＝4，BC＝1，BE＝3，CF＝4，按图建立空间直角坐标系，则G的坐标为________．图2－3－3【解析】∵长方体的对面互相平行，且被截面AEFG所截，∴交线AG∥EF.又∵BE＝3，CF＝4，∴DG＝1，故G的坐标为(0,0,1)．【答案】(0,0,1)4.如图2－3－4，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，已知点B1的坐标为(a，a，a)，则点D1的坐标为________．图2－3－4【解析】 由点B 1的坐标为(a ，a ，a )知点D 1的坐标为(0,0，a )． 【答案】 (0,0，a )5．已知点M 到三个坐标平面的距离都是1，且点M 的三个坐标同号，则点M 的坐标为________．【解析】 根据点M 到三个坐标平面的距离均为1，结合点的对称性，知M (1,1,1)或(－1，－1，－1)．【答案】 (1,1,1)或(－1，－1，－1)6．已知点P ′在x 轴正半轴上，OP ′＝2，PP ′在xOz 平面上，且垂直于x 轴，PP ′＝1，则点P ′和P 的坐标分别为________，________.【导学号：41292118】【解析】 由于P ′在x 轴的正半轴上，故点P ′的坐标为(2,0,0)，又PP ′在xOz 平面上，且垂直于x 轴，故P 点坐标为(2,0，±1)．【答案】 (2,0,0) (2,0，±1)7.正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′的棱长为1，且|BP |＝13|BD ′|，建立如图2－3－5所示的空间直角坐标系，则P 点的坐标为________．图2－3－5【解析】 如图所示，过P 分别作平面xOy 和z 轴的垂线，垂足分别为E ，H ，过E 分别作x 轴和y 轴的垂线，垂足分别为F ，G ，由于|BP |＝13|BD ′|，所以|DH |＝13|DD ′|＝13，|DF |＝23|DA |＝23，|DG |＝23|DC |＝23，所以P 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，13. 【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，138.如图2－3－6, M －OAB 是棱长为a 的正四面体，顶点M 在底面OAB 上的射影为H ，则M 的坐标是________．图2－3－6【解析】 由M －OAB 是棱长为a 的正四面体知B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ，12a ，0，A (0，a,0)，O (0,0,0)． 又点H 为△OAB 的中心知H ⎝ ⎛⎭⎪⎫36a ，12a ，0， 从而得M 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫36a ，12a ，63a . 【答案】 ⎝⎛⎭⎪⎫36a ，a2，63a二、解答题9．在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面ABC ，所有的棱长都是1，建立适当的坐标系，并写出各点的坐标.【导学号：41292119】【解】 如图所示，取AC 的中点O 和A 1C 1的中点O 1，连结BO ，OO 1，可得BO ⊥AC ，BO ⊥OO 1，分别以OB ，OC ，OO 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．∵各棱长均为1，∴OA ＝OC ＝O 1C 1＝O 1A 1＝12，OB ＝32.∵A ，B ，C 均在坐标轴上，∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，0.∵点A 1，C 1均在yOz 平面内， ∴A 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，1，C 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，1. ∵点B 1在xOy 面内的射影为点B ，且BB 1＝1， ∴B 1⎝⎛⎭⎪⎫32，0，1.10．如图2－3－7，已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，AB ＝2，AA 1＝1，直线BD 与平面AA 1B 1B 所成的角为30°，AE 垂直BD 于点E ，F 为A 1B 1的中点，请建立适当的空间直角坐标系，求出点A ，B ，C ，D ，E ，F 的坐标．图2－3－7【解】 ∵ABCD －A 1B 1C 1D 1为长方体，∴可以以顶点A 为原点，以棱AB ，AD ，AA 1所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．∵AD ⊥平面AA 1B 1B ，∴∠ABD 就是直线BD 与平面AA 1B 1B 所成的角，∠ABD ＝30°， ∴Rt △BAD 中，由AB ＝2，AE ⊥BD ，∠ABD ＝30°可解得AD ＝AB ·tan 30°＝2×33＝233，BD ＝2AD ＝433，AE ＝1. 过点E 在平面ABCD 内作AB 的垂线EM ，垂足为点M ，∴Rt △AEM 中，EM ＝AE ·sin 60°＝32， AM ＝AE ·cos 60°＝12.又长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝1，F 为A 1B 1的中点，∴A (0,0,0)，B (2,0,0)，A 1(0,0,1)，B 1(2,0,1)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，233，0，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，233，0， E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，0，F (1,0,1)． [能力提升]1．空间两点A ，B 的坐标分别为(x ，－y ，z )，(－x ，－y ，－z )，则A ，B 两点的位置关系是________．【解析】 由A ，B 两点的坐标可知关于y 轴对称． 【答案】 关于y 轴对称2．在空间直角坐标系中，点M 的坐标是(4,7,6)，则点M 关于y 轴的对称点在坐标平面xOz 上的射影的坐标为________．【解析】 点M 关于y 轴的对称点是M ′(－4,7，－6)，点M ′在坐标平面xOz 上的射影是(－4,0，－6)．【答案】 (－4,0，－6)3.如图2－3－8所示，四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 是边长为1的菱形，∠BCD ＝60°，E 是CD 的中点，PA ⊥底面ABCD ，PA ＝2.试建立适当的空间直角坐标系，写出A ，B ，C ，D ，P ，E 的坐标．图2－3－8A ________，B ________，C ________，D ________，P ________，E ________.【解析】 如图所示，以A 为原点，以AB 所在直线为x 轴，AP 所在直线为z 轴，与过点A 与AB 垂直的直线AG 所在直线为y 轴，建立空间直角坐标系．则相关各点的坐标分别是A (0,0,0)，B (1,0,0)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32，0，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，0，P (0,0,2)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，0. 【答案】 (0,0,0) (1,0,0) ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32，0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，0 (0,0,2) ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，0(答案不唯一)4.如图2－3－9所示，AF ，DE 分别是圆O ，圆O 1的直径，AD 与两圆所在的平面均垂直，AD ＝8，BC 是圆O 的直径，AB ＝AC ＝6，OE ∥AD ，试建立适当的空间直角坐标系，求出点A ，B ，C ，D ，E ，F 的坐标.【导学号：41292120】图2－3－9【解】因为AD与两圆所在的平面均垂直，OE∥AD，所以OE⊥平面ABC.又AF⊂平面ABC，BC⊂平面ABC，所以OE⊥AF，OE⊥BC，又BC是圆O的直径，所以OB＝OC，又AB＝AC＝6，所以OA⊥BC，BC＝6 2.所以OA＝OB＝OC＝OF＝3 2.如图所示，以O为原点，以OB，OF，OE所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，所以A(0，－32，0)，B(32，0,0)，C(－32，0,0)，D(0，－32，8)，E(0,0,8)，F(0,32，0)．。
2018版高中数学第二章平面解析几何初步2.2.1第2课时圆的一般方程学案苏教版必修2(含解析)
2.2.1 第2课时 圆的一般方程1．了解圆的一般方程的特点，会由一般方程求圆心和半径．(易错点)2．会根据给定的条件求圆的一般方程，并能用圆的一般方程解决简单问题．(重点、难点)[基础·初探]教材整理 圆的一般方程的定义 阅读教材P 109，完成下列问题． 1．圆的一般方程的定义(1)当D 2＋E 2－4F >0时，方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0叫做圆的一般方程，其圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2，半径为12D 2＋E 2－4F . (2)当D 2＋E 2－4F ＝0时，方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示点⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2.(3)当D 2＋E 2－4F <0时，方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0不表示任何图形． 2．点与圆的位置关系已知点M (x 0，y 0)和圆的方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)，则其位置关系如下表：1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)圆的一般方程可以化为圆的标准方程．(√)(2)二元二次方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0一定是某个圆的方程．(×) (3)方程x 2＋y 2－2x ＋Ey ＋1＝0表示圆，则E ≠0.(√)(4)二元二次方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆应满足的条件是①A ＝C ≠0；②B ＝0；③D 2＋E 2－4F >0.(√)2．圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＋3＝0化为标准形式为_____________________． 【解析】 由x 2＋y 2－2x ＋4y ＋3＝0，得(x －1)2＋(y ＋2)2＝2. 故圆的标准形式为(x －1)2＋(y ＋2)2＝2. 【答案】 (x －1)2＋(y ＋2)2＝23．方程x 2＋y 2＋4x －2y ＋5m ＝0表示圆的条件是______________． 【解析】 由题意可知，16＋(－2)2－20m ＞0，解得m ＜1. 【答案】 (－∞，1)[小组合作型]二元二次方程的曲线与圆的关系下列方程能否表示圆？若能，求出圆心坐标和半径． (1)2x 2＋y 2－7x ＋5＝0； (2)x 2－2xy ＋y 2＋6x ＋7y ＝0； (3)x 2＋y 2－2x －4y ＋10＝0； (4)2x 2＋2y 2－4y ＝0；(5)ax 2＋ay 2－4(a －1)x ＋4y ＝0(a ≠0)．【精彩点拨】 根据二元二次方程表示圆的条件判断． 【自主解答】 (1)∵A ≠B ，∴不能表示圆． (2)∵xy 前的系数不等于0，∴不能表示圆． (3)∵D 2＋E 2－4F ＝(－2)2＋(－4)2－4×10<0， ∴不能表示圆．(4)方程变形为x 2＋y 2－2y ＝0. 配方得x 2＋(y －1)2＝1，故方程表示圆，其圆心为(0,1)，半径为1. (5)法一：∵a ≠0，∴原方程可化为x 2＋y 2－4 a －1ax ＋4a y ＝0，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －2 a －1 a2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋2a 2＝4[ a －1 2＋1]a 2. ∵4[ a －1 2＋1]a2>0，∴原方程表示圆，此时圆心坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2 a －1 a ，－2a ，半径r ＝2a 2－2a ＋2|a |.法二：∵a ≠0，∴原方程可化为x 2＋y 2－4 a －1ax ＋4ay ＝0. ∵D 2＋E 2－4F ＝16 a －1 2a 2＋16a2 ＝16 a －1 2＋16a2>0， ∴原方程表示圆， 此时圆心坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2 a －1 a ，－2a ，半径r ＝2a 2－2a ＋2|a |.形如x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0的二元二次方程，判定其是否表示圆时有如下两种方法： (1)由圆的一般方程的定义判断D 2＋E 2－4F 是否为正．若D 2＋E 2－4F >0，则方程表示圆，否则不表示圆．(2)将方程配方变形成“标准”形式后，根据圆的标准方程的特征，观察是否可以表示圆．[再练一题]1．讨论方程x 2＋y 2＋2ay ＋1＝0(a ∈R )表示曲线的形状．【解】 当a <－1或a >1时，此方程表示的曲线是圆心为(0，－a )，半径为a 2－1的圆；当a ＝±1时，此方程表示的曲线是一个点，坐标为(0，－a )； 当－1<a <1时，此方程不表示任何曲线．圆的一般方程的求法已知△ABC 三个顶点的坐标为A (1,3)，B (－1，－1)，C (－3,5)，求这个三角形外接圆的一般方程，并判断点M (1,2)，N (4,5)，Q (2,3)与圆的位置关系．【精彩点拨】 解答本题，可设出圆的一般方程，用待定系数法求解．也可根据圆的性质，求圆心、半径，再写方程．【自主解答】 (1)法一：设所求圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)．∵此圆过A ，B ，C 三点，∴⎩⎪⎨⎪⎧12＋32＋D ＋3E ＋F ＝0， －1 2＋ －1 2－D －E ＋F ＝0， －3 2＋52－3D ＋5E ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝4，E ＝－4，F ＝－2.∴圆的方程为x 2＋y 2＋4x －4y －2＝0. 法二：设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，则⎩⎪⎨⎪⎧1－a 2＋ 3－b 2＝r 2， ① －1－a 2＋ －1－b 2＝r 2， ② －3－a 2＋ 5－b 2＝r 2， ③②－①，③－①得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b －2＝0，2a －b ＋6＝0，解得a ＝－2，b ＝2. ∴r 2＝10.∴圆的方程为(x ＋2)2＋(y －2)2＝10. 即圆的一般式方程为x 2＋y 2＋4x －4y －2＝0. 法三：AB 的中垂线方程为y －1＝－12(x －0)，BC 的中垂线方程为y －2＝13(x ＋2)，联立解得圆心坐标为(－2,2)．设圆的半径为r ，则r 2＝(1＋2)2＋(3－2)2＝10， ∴圆的方程为(x ＋2)2＋(y －2)2＝10， 即圆的一般式方程为x 2＋y 2＋4x －4y －2＝0. 法四：由于k AB ＝－1－3－1－1＝2，k AC ＝5－3－3－1＝－12，∴k AB ·k AC ＝－1，∴AB ⊥AC ，∴△ABC 是以∠A 为直角的直角三角形，∴外接圆圆心为BC 的中点，即(－2,2)， 半径r ＝12|BC |＝10，∴圆的方程为(x ＋2)2＋(y －2)2＝10. 即圆的一般式方程为x 2＋y 2＋4x －4y －2＝0. (2)∵M (1,2)，∴12＋22＋4×1－4×2－2＝－1<0， ∴点M (1,2)在圆内． ∵N (4,5)，∴42＋52＋4×4－4×5－2＝35>0， ∴点N (4,5)在圆外． ∵Q (2,3)，∴22＋32＋4×2－4×3－2＝7>0， ∴点Q (2,3)在圆外．本题法一、法二中采用了待定系数法．用待定系数法求圆的方程时：(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a ，b ，r .(2)如果已知条件和圆心或半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D ，E ，F .法三则是充分利用了圆的性质：“弦的中垂线过圆心”．通过求两条弦的中垂线的交点求出圆心，再求出半径后写出圆的标准方程，再将标准方程化成一般方程．圆的标准方程和一般方程有如下关系：(1)由圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，可以直接看出圆心坐标(a ，b )和半径r ，圆的几何特征明显．(2)由圆的一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)，知道圆的方程是一种特殊的二元二次方程，圆的代数特征明显．(3)[再练一题]2．已知圆C ：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋3＝0，圆心在直线x ＋y －1＝0上，且圆心在第二象限，半径为2，求圆的一般方程．。
2018版高中数学第二章平面解析几何初步2.1.1数轴上的基本公式学业分层测评新人教B版必修2201
2.1.1 数轴上的基本公式学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.给出以下几个命题，其中正确命题的个数是( )①数轴上起点相同的向量方向相同；②数轴上相等的向量，若起点不同，则终点一定不同；③数轴上不相等的向量，终点一定不相同；④零向量没有方向.A.1B.2C.3D.4【解析】 起点相同的向量，它的终点位置不定，所以方向不一定相同，故①错；相等的向量，若终点不同，则起点一定不同，故②对；向量的相等与起点、终点无关，因此不相等的向量，终点完全可以相同，故③错；零向量是方向不确定的向量，不是没有方向，若没有方向，则它就不是向量了，故④错.综上，正确的只有②.【答案】 A2.在数轴上M 、N 、P 的坐标分别是3、－1、－5，则MP －PN 等于( )A.－4B.4C.－12D.12【解析】 MP ＝(－5)－3＝－8，PN ＝(－1)－(－5)＝4，MP －PN ＝－8－4＝－12.【答案】 C3.若A ，B ，C ，D 是数轴上的四个点，且BA ＝6，BC ＝－2，CD ＝6，则AD ＝( )A.0B.－2C.10D.－10【解析】 由题意知AD ＝AB ＋BC ＋CD＝－BA ＋BC ＋CD ＝－6－2＋6＝－2，故选B.【答案】 B4.数轴上向量AB →的坐标为－8，且B (－5)，则点A 的坐标为( )A.1B.2C.3D.4【解析】 由AB ＝x B －x A ，得－5－x A ＝－8，解得x A ＝3.【答案】 C5.对于数轴上任意三点A ，B ，O ，如下关于线段的数量关系不恒成立的是( )A.AB ＝OB －OAB.AO ＋OB ＋BA ＝0C.AB ＝AO ＋OBD.AB ＋AO ＋BO ＝0【解析】 由有向线段数量关系的运算知：AB ＝OB －OA ，AB ＝AO ＋OB ，AO ＋OB ＋BA ＝AB ＋BA ＝0，所以A 、B 、C 都恒成立，而对于D ，AB ＋AO ＋BO ＝OB －OA ＋AO ＋BO ＝2AO ，故选D.【答案】 D二、填空题6.若在直线坐标系中，有两点A (5)，B (－2)，且AB ＋CB ＝0，则C 点的坐标为________.【解析】 设C 点的坐标为x ，则－2－5＋(－2－x )＝0，解得x ＝－9.【答案】 －97.已知数轴上点A ，B 的坐标分别为x 1，x 2，若x 2＝－1，且|AB |＝5，则x 1的值为________.【解析】 |AB |＝|x 2－x 1|＝5，即|x 1＋1|＝5，解得x 1＝－6或x 1＝4.【答案】 －6或48.已知点A (2x )，B (x 2)，且点A 在点B 右侧，则x 的取值范围是________.【解析】 ∵A 在B 点的右侧，∴2x >x 2，即x 2－2x <0，∴0<x <2.【答案】 (0,2)三、解答题9.已知函数f (x )＝|x －2|－|x －5|，若关于x 的不等式f (x )≥k 有解，求k 的最大值.【解析】 |x －2|表示x 与2的距离，|x －5|表示x 与5的距离， f (x )＝|x －2|－|x －5|表示x 与两点2和5的距离之差.当x ≤2时，f (x )为－3；当2<x <5时，f (x )的范围为(－3,3)；当x ≥5时，f (x )为3，∴－3≤|x －2|－|x －5|≤3.要使不等式f (x )≥k 有解，则k ≤3，∴k max ＝3.10.已知数轴上有A 、B 两点，A 、B 之间的距离为1，点A 与原点O 的距离为3.(1)求向量OA →、AB →的数量；(2)求所有满足条件的点B 到原点O 的距离之和.【解】 (1)∵A 与原点的距离为3，∴A (3)或A (－3).当A (3)时，∵A 、B 距离为1，∴B (2)或B (4)，这时OA →的数量为3，AB →的数量为－1或1，当A (－3)时，∵A 、B 距离为1，所以B (－4)或B (－2)，此时OA →的数量为－3，AB →的数量为－1或1.(2)满足条件的所有点B 到原点的距离和为2＋4＋4＋2＝12.[能力提升]1.三个不相等的实数a ，b ，c 在数轴上分别对应点A ，B ，C ，如果|a －b |＋|b －c |＝|a －c |，则点B 在点( )A.A ，C 的右边B.A ，C 的左边C.A ，C 之间D.A 或C 上【解析】 ①若点B 在A ，C 右边，则b >a ，b >c ，则有|a －b |＋|b －c |＝b －a ＋b －c ＝2b －(a ＋c )，不一定等于|a －c |；②若点B 在A ，C 左边，则b <a ，b <c 所以|a －b |＋|b －c |＝a －b ＋c －b ＝(a ＋c )－2b 也不一定与|a －c |相等；③若点B 在点A ，C 之间，则a <b <c 或c <b <a ，则有|a －b |＋|b －c |＝|a －b ＋b －c |＝|a －c |；④∵a ，b ，c 不相等，故点B 不可能在点A ，C 上.【答案】 C2.若点A ，B ，C ，D 在一条直线上，BA ＝－6，BC ＝－2，CD ＝6，则AD 等于( )A.0B.－2C.10D.－10【解析】 由BA ＝－6知AB ＝6，∴AD ＝AB ＋BC ＋CD ＝10.【答案】 C3.数轴上任取不同的三个点P ，Q ，R ，则下列各式中一定为0的值的是________.①PQ ＋PR ；②PQ ＋RQ ；③PQ ＋PR ＋QR ；④PQ ＋QR ＋RP .【解析】 由向量加法公式可得.【答案】 ④4.已知数轴上有点A (－2)，B (1)，D (3)，点C 在直线AB 上，且有AC BC ＝12.问：在线段DC 上是否存在点E ，使d C ，E d E ，D ＝14？若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由. 【解】 设点C 的坐标为x ，点E 的坐标为x ′，则AC BC ＝x －－x －1＝12，即x ＝－5， ∴点C 的坐标为－5.又点E 在线段DC 上，∴d C ，E d E ，D ＝CE ED ＝x ′－－3－x ′＝14， 即4x ′＋20＝3－x ′，解得x ′＝－175∈(－5,3). ∴在线段DC 上存在点E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－175，使d C ，E d E ，D ＝14.。
2018版高中数学第二章平面解析几何初步2.3.4圆与圆的位置关系学业分层测评新人教B版
2.3.4 圆与圆的位置关系学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．已知两圆的圆心距是6，两圆的半径分别是方程x2－6x＋8＝0的两个根，则这两个圆的位置关系是( )A．外离B．外切C．相交D．内切【解析】由已知两圆半径的和为6，与圆心距相等，故两圆外切．【答案】 B2．半径为5且与圆x2＋y2－6x＋8y＝0相切于原点的圆的方程为( )【导学号：45722115】A．x2＋y2－6x－8y＝0B．x2＋y2＋6x－8y＝0C．x2＋y2＋6x＋8y＝0D．x2＋y2－6x－8y＝0或x2＋y2－6x＋8y＝0【解析】已知圆的圆心为(3，－4)，半径为5，所求圆的半径也为5，由两圆相切于原点，知所求圆的圆心与已知圆的圆心关于原点对称，即为(－3,4)，可知选B.【答案】 B3．点P在圆C1：x2＋y2－8x－4y＋11＝0上，点Q在圆C2：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0上，则|PQ|的最小值是( )A．5 B．1C．35－5 D．35＋5【解析】圆C1：x2＋y2－8x－4y＋11＝0，即(x－4)2＋(y－2)2＝9，圆心为C1(4,2)；圆C2：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0，即(x＋2)2＋(y＋1)2＝4，圆心为C2(－2，－1)，两圆相离，|PQ|的最小值为|C1C2|－(r1＋r2)＝35－5.【答案】 C4．设两圆C1、C2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离|C1C2|＝( ) A．4 B．4 2C．8 D．8 2【解析】∵两圆与两坐标轴都相切，且都经过点(4,1)，∴两圆圆心均在第一象限且横、纵坐标相等．设两圆的圆心分别为(a ，a )，(b ，b )，则有(4－a )2＋(1－a )2＝a 2，(4－b )2＋(1－b )2＝b 2，即a ，b 为方程(4－x )2＋(1－x )2＝x 2的两个根，整理得x 2－10x ＋17＝0. ∴a ＋b ＝10，ab ＝17，∴(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab ＝100－4×17＝32. ∴|C 1C 2|＝a －b2＝32×2＝8.【答案】 C5．过点P (2,3)向圆C ：x 2＋y 2＝1上作两条切线PA ，PB ，则弦AB 所在的直线方程为( ) A ．2x －3y －1＝0 B ．2x ＋3y －1＝0 C ．3x ＋2y －1＝0 D ．3x －2y －1＝0【解析】 弦AB 可以看作是以PC 为直径的圆与圆x 2＋y 2＝1的交线，而以PC 为直径的圆的方程为(x －1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝134.根据两圆的公共弦的求法，可得弦AB 所在的直线方程为：(x －1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322－134－(x 2＋y 2－1)＝0，整理可得2x ＋3y －1＝0，故选B.【答案】 B 二、填空题6．两圆C 1：x 2＋y 2＋4x －4y －1＝0，C 2：x 2＋y 2－4x －10y ＋13＝0的公切线有________条.【导学号：45722116】【解析】 圆C 1：(x ＋2)2＋(y －2)2＝9， 圆C 2：(x －2)2＋(y －5)2＝16，圆心C 1(－2,2)，圆心C 2(2,5)，r 1＝3，r 2＝4. 则|C 1C 2|＝－2－2＋－2＝5<3＋4，故r 2－r 1<|C 1C 2|<r 2＋r 1， 两圆相交，则有两条公切线． 【答案】 两7．过两圆x 2＋y 2－x －y －2＝0与x 2＋y 2＋4x －4y －8＝0的交点和点(3,1)的圆的方程是________．【解析】 设所求圆的方程为 (x 2＋y 2－x －y －2)＋λ(x 2＋y 2＋4x －4y －8)＝0(λ≠－1)，将(3,1)代入得λ＝－25，故所求圆的方程为x 2＋y 2－133x ＋y ＋2＝0.【答案】 x 2＋y 2－133x ＋y ＋2＝08．两圆相交于两点A (1,3)和B (m ，－1)，两圆圆心都在直线x －y ＋c ＝0上，则m ＋c 的值为________．【解析】 由题意知，线段AB 的中点在直线x －y ＋c ＝0上， 且k AB ＝41－m ＝－1，即m ＝5，又点⎝⎛⎭⎪⎫1＋m 2，1在该直线上，所以1＋m 2－1＋c ＝0，所以c ＝－2，所以m ＋c ＝3.【答案】 3 三、解答题9．求圆心为(2,1)且与已知圆x 2＋y 2－3x ＝0的公共弦所在直线经过点(5，－2)的圆的方程．【解】 设所求圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝r 2， 即x 2＋y 2－4x －2y ＋5－r 2＝0， ① 已知圆的方程为x 2＋y 2－3x ＝0，②②－①得公共弦所在直线的方程为x ＋2y －5＋r 2＝0，又此直线经过点(5，－2)，∴5－4－5＋r 2＝0，∴r 2＝4，故所求圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4.10．有相距100 km 的A ，B 两个批发市场，商品的价格相同，但在某地区居民从两地运回商品时，A 地的单位距离的运费是B 地的2倍．问怎样确定A ，B 两批发市场的售货区域对当地居民有利？【解】 建立以AB 所在直线为x 轴，AB 中点为原点的直角坐标系，则A (－50,0)，B (50,0)．设P (x ，y )，由2|PA |＝|PB |，得x 2＋y 2＋5003x ＋2 500＝0，所以在圆x 2＋y 2＋5003x ＋2 500＝0内到A 地购物合算；在圆x 2＋y 2＋5003x ＋2 500＝0外到B 地购物合算；在圆x 2＋y 2＋5003x ＋2 500＝0上到A ，B 两地购物一样合算．[能力提升]1．已知0＜r ＜2＋1，则两圆x 2＋y 2＝r 2与(x －1)2＋(y ＋1)2＝2的位置关系是( ) A ．外切 B ．相交 C ．外离D ．内含【解析】 设圆(x －1)2＋(y ＋1)2＝2的圆心为O ′，则O ′(1，－1)．圆x 2＋y 2＝r 2的圆心O (0,0)，两圆的圆心距离d OO ′＝12＋－2＝ 2.显然有|r －2|＜2＜2＋r .所以两圆相交．【答案】 B2．以圆C 1：x 2＋y 2＋4x ＋1＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋2x ＋2y ＋1＝0相交的公共弦为直径的圆的方程为( )A ．(x －1)2＋(y －1)2＝1 B ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1C.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋352＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋652＝45 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －352＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －652＝45【解析】 两圆方程相减得公共弦所在直线的方程为x －y ＝0，因此所求圆的圆心的横、纵坐标相等，排除C ，D 选项，画图(图略)可知所求圆的圆心在第三象限，排除A.故选B.【答案】 B3．与直线x ＋y －2＝0和曲线x 2＋y 2－12x －12y ＋54＝0都相切的半径最小的圆的标准方程是________．【解析】 曲线化为(x －6)2＋(y －6)2＝18，其圆心C 1(6,6)到直线x ＋y －2＝0的距离为d ＝|6＋6－2|2＝5 2.过点C 1且垂直于x ＋y －2＝0的直线为y －6＝x －6，即y ＝x ，所以所求的最小圆的圆心C 2在直线y ＝x 上，如图所示，圆心C 2到直线x ＋y －2＝0的距离为52－322＝2，则圆C 2的半径长为 2.设圆心C 2的坐标为(x 0，y 0)，则|x 0＋y 0－2|2＝2，解得x 0＝2(x 0＝0舍去)，所以圆心坐标为(2,2)， 所以所求圆的标准方程为(x －2)2＋(y －2)2＝2. 【答案】 (x －2)2＋(y －2)2＝24．已知圆O 1的方程为x 2＋(y ＋1)2＝4，圆O 2的圆心O 2(2,1)． (1)若圆O 2与圆O 1外切，求圆O 2的方程，并求内公切线方程． (2)若圆O 2与圆O 1交于A ，B 两点，且AB ＝22，求圆O 2的方程.【导学号：45722117】【解】 (1)由两圆外切，所以|O 1O 2|＝r 1＋r 2r 2＝|O 1O 2|－r 2＝2(2－1)故圆O 2的方程及(x －2)2＋(y －1)2＝4(2－1)2两圆的方程相减，即得两圆内公切线的方程为x ＋y ＋1－22＝0. (2)设圆O 2的方程为：(x －2)2＋(y －1)2＝r 22， 因为圆O 1的方程为：x 2＋(y ＋1)2＝4，此两圆的方程相减，即得两圆公共弦AB 所在直线的方程： 4x ＋4y ＋r 22－8＝0.①作O 1H ⊥AB ，则AH ＝12AB ＝2，O 1H ＝2，由圆心(0，－1)到直线①的距离得|r 22－12|42＝2，得r 22＝4或r 22＝20， 故圆O 2的方程为：(x －2)2＋(y －1)2＝4或(x －2)2＋(y －1)2＝20.。
2018版高中数学第二章平面解析几何初步2.2.1第1课时圆的标准方程学业分层测评苏教版必修2201
2.2.1 第1课时圆的标准方程(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．以A(1,2)，B(3,0)的中点为圆心，以5为半径的圆的方程为________．【解析】AB中点为(2,1)，所以圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.【答案】(x－2)2＋(y－1)2＝52．点P(－2，－2)和圆x2＋y2＝4的位置关系是________．【解析】∵(－2)2＋(－2)2＝8>4，∴P点在圆外．【答案】P在圆外3．若圆C的半径为1，其圆心与点(1,0)关于直线y＝x对称，则圆C的标准方程为________．【解析】由题意知圆C的圆心为(0,1)，半径为1，所以圆C的标准方程为x2＋(y－1)2＝1.【答案】x2＋(y－1)2＝14．圆(x＋2)2＋y2＝5关于原点P(0,0)对称的圆的方程为________．【解析】已知圆的圆心为(－2,0)，它关于P(0,0)的对称点为(2,0)，所以关于P对称的圆的方程为(x－2)2＋y2＝5.【答案】(x－2)2＋y2＝55．直线y＝ax＋1与圆x2＋y2－2x－3＝0的位置关系是__________.【导学号：41292099】【解析】∵直线y＝ax＋1恒过定点(0,1)，又点(0,1)在圆(x－1)2＋y2＝4的内部，故直线与圆相交．【答案】相交6．若过点A(a，a)可作圆x2＋y2－2ax＋a2＋2a－3＝0的两条切线，则实数a的取值范围为__________．【解析】圆的方程化为(x－a)2＋y2＝3－2a，∵过点A(a，a)可作圆的两条切线，∴点A(a，a)在圆外，3可得Error!解得a<－3或1<a< .23【答案】(－∞，－3)∪(1，2 )7．已知一圆的圆心为点A(2，－3)，一条直径的端点分别在x轴和y轴上，则圆的方程是1________________．【解析】设直线端点为B(x0,0)，C(0，y0)，x0＋0 0＋y0则＝2，∴x0＝4，＝－3，∴y0＝－6，2 2r＝4－22＋0＋32＝13，∴圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝13.【答案】(x－2)2＋(y＋3)2＝138．已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为________．【解析】设P(x,0)，设C1(2,3)关于x轴的对称点为C1′(2，－3)，那么|PC1|＋|PC2|＝|PC1′|＋|PC2|≥|C′1C2|＝2－32＋－3－42＝5 2.而|PM|＝|PC1|－1，|PN|＝|PC2|－3，∴|PM|＋|PN|＝|PC1|＋|PC2|－4≥52－4.【答案】 5 2－4二、解答题9．已知平面直角坐标系中有四个点A(0,1)，B(2,1)，C(3,4)，D(－1,2)，这四个点能否在同一个圆上？为什么？【解】设经过A，B，C三点的圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)．代入三点的坐标得Error!解方程组，得Error!所以经过A，B，C三点的圆的标准方程为(x－1)2＋(y－3)2＝5.将D点坐标代入圆的标准方程的左边，得(－1－1)2＋(2－3)2＝5，所以点D在圆上，所以A，B，C，D四点在同一个圆上．10．如图2－2－2 所示，一隧道内设双行线公路，其截面由一段圆弧和一个长方形构成．已知隧道总宽度AD为6 3 m，行车道总宽度BC为2 11 m，侧墙EA，FD高为2 m，弧顶高MN 为5 m.图2－2－2(1)建立直角坐标系，求圆弧所在的圆的方程；(2)为保证安全，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少要有0.5 m．请计算车辆通过隧道的限制高度是多少．【解】(1)法一以EF所在直线为x轴，以MN所在直线为y轴，以1 m为单位长度建立2直角坐标系．(略)则有 E (－3 3，0)，F (3 3，0)，M (0,3)．由于所求圆的圆心在 y 轴上，所以设圆的方程为(x －0)2＋(y －b )2＝r 2，∵F (3 3，0)，M (0,3)都在圆上，∴Error!解得 b ＝－3，r 2＝36.所以圆的方程是 x 2＋(y ＋3)2＝36.法二 以 EF 所在直线为 x 轴，以 MN 所在直线为 y 轴，以 1 m 为单位长度建立直角坐标系 (略)．设所求圆的圆心为 G ，半径为 r ，则点 G 在 y 轴上，在 Rt△GOE 中，|OE |＝3 3，|GE |＝r ，|OG |＝r －3，由勾股定理，r 2＝(3 3)2＋(r －3)2，解得 r ＝6，则圆心 G 的坐标为(0，－3)，圆的方程是 x 2＋(y ＋3)2＝36.(2)设限高为 h ，作 CP ⊥AD ，交圆弧于点 P (略)，则|CP |＝h ＋0.5.将点 P 的横坐标 x ＝ 11代入圆的方程，得 112＋(y ＋3)2＝36，解得 y ＝2，或 y ＝－ 8(舍)．所以 h ＝|CP |－0.5＝(y ＋|DF |)－0.5＝(2＋2)－0.5＝3.5(m)．即车辆的限制高度为 3.5 m.[能力提升]1．已知三点A (1,0)，B (0， 3)，C (2， 3)，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为________．【解析】 在坐标系中画出△ABC (如图)，利用两点间的距离公式可得|AB |＝|AC |＝|BC |＝ 2(也可以借助图形直接观察得出)，所以△ABC 为等边三角形．设 BC 的中点为 D ，点 E 为外心， 2 2 3 4 21 同时也是重心．所以|AE |＝ |AD |＝ ，从而|OE |＝ |OA |2＋|AE |2＝ 1＋ ＝ . 3 3 3 3【答案】 2132 ． 若 圆 C 经 过 (1,0) ， (3,0) 两 点 ， 且 与 y 轴 相 切 ， 则 圆 C 的 方 程 为 __________________.【导学号：41292100】【解析】 设圆 C 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)，由题意得Error!3解得Error!∴圆C的方程为(x－2)2＋(y± 3)2＝4.【答案】(x－2)2＋(y± 3)2＝4y＋33．已知实数x，y满足y＝9－x2，则t＝的取值范围是___________．x＋1【解析】y＝9－x2表示上半圆，t可以看作动点(x，y)与定点(－1，－3)连线的斜率．3 3 如图，A(－1，－3)，B(3,0)，C(－3,0)，则k AB＝，k AC＝－，4 23 3∴t≤－或t≥.2 43 3【答案】t≤－或t≥2 44．已知实数x，y满足方程(x－2)2＋y2＝3.y(1)求的最大值和最小值；x(2)求y－x的最大值和最小值；(3)求x2＋y2的最大值和最小值．y【解】(1)原方程表示以点(2,0)为圆心，以3为半径的圆，设＝k，即y＝kx，x|2k－0|当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值和最小值，此时＝3，解得k＝± 3.k 2＋1y故的最大值为3，最小值为－ 3.x(2)设y－x＝b，即y＝x＋b，当y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取最大值和最小值，|2－0＋b|此时＝3，即b＝－2± 6.2故y－x的最大值为－2＋6，最小值为－2－ 6.(3)x2＋y2表示圆上的点与原点距离的平方，由平面几何知识知，它在原点与圆心所在直线与圆的两个交点处取得最大值和最小值，又圆心到原点的距离为2，故(x2＋y2)max＝(2＋3)2＝7＋4 3，(x2＋y2)min＝(2－3)2＝7－4 3.4。
2018版高中数学 第二章 平面解析几何初步 2.1.2 平面直角坐标系中的基本公式学业分层测评 新
2.1.2 平面直角坐标系中的基本公式学业分层测评 (建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.已知线段AB 的中点在坐标原点，且A (x,2)，B (3，y )，则x ＋y 等于( ) A.5 B.－1 C.1 D.－5 【解析】 易知x ＝－3，y ＝－2.∴x ＋y ＝－5. 【答案】 D2.已知△ABC 的顶点A (2,3)，B (－1,0)，C (2,0)，则△ABC 的周长是( ) A.2 3 B.3＋2 3 C.6＋3 2D.6＋10【解析】 由题意知|AB |＝＋2＋32＝32，|AC |＝－2＋32＝3，|BC |＝－1－2＋02＝3.∴|AB |＋|AC |＋|BC |＝6＋3 2. 【答案】 C3.已知A (3,1)，B (2,4)，C (1,5)，且点A 关于点B 的对称点为D ，则|CD |＝( ) A.2 B.4 C.342D.344【解析】 由题意知，设D (x ，y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋32＝2，y ＋12＝4，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝7，∴D (1,7). ∴|CD |＝－2＋－2＝2，故选A.【答案】 A4.已知A (x,5)关于C (1，y )的对称点是B (－2，－3)，则P (x ，y )到原点的距离为( ) A.4 B.13 C.15 D.17【解析】 由题意知点C 是线段AB 的中点，则⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝2，2y ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝1.∴|OP |2＝17，∴|OP |＝17.【答案】 D5.光线从点A (－3,5)射到x 轴上，经反射以后经过点B (2,10)，则光线从A 到B 的路程为( )A.5 2B.2 5C.510D.10 5【解析】 (－3,5)关于x 轴的对称点为A ′(－3，－5)，则|A ′B |＝＋2＋＋2＝510.【答案】 C 二、填空题6.在△ABC 中，设A (3,7)，B (－2,5)，若AC ，BC 的中点都在坐标轴上，则C 点坐标为________.【解析】 设C (a ，b )，则AC 的中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋a 2，7＋b 2，BC 的中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2＋a 2，5＋b 2，若AC 的中点在x 轴上，BC 的中点在y轴上，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－7；若AC 的中点在y 轴上，BC 的中点在x 轴上，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝－5.【答案】 (2，－7)或(－3，－5)7.已知三角形的三个顶点A (7,8)，B (10、4)，C (2，－4)，则BC 边上的中线AM 的长为________.【解析】 设BC 边的中点M 的坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝10＋22＝6，y ＝4＋－2＝0，即M 的坐标为(6,0)，所以|AM |＝－2＋－2＝65.【答案】658.点A (1，－2)关于原点对称的对称点到(3，m )的距离是25，则m 的值是________. 【解析】 A 的对称点A ′(－1,2) 25＝－1－2＋m －2解得m ＝2或－6. 【答案】 2或－6 三、解答题9.已知A (1,2)，B (4，－2)，试问在x 轴上能否找到一点P ，使∠APB 为直角？【解】 假设在x 轴上能找到点P (x,0)，使∠APB 为直角， 由勾股定理可得 |AP |2＋|BP |2＝|AB |2，即(x －1)2＋4＋(x －4)2＋4＝25， 化简得x 2－5x ＝0， 解得x ＝0或5.所以在x 轴上存在点P (0,0)或P (5,0)，使∠APB 为直角. 10.求证：三角形的中位线长度等于底边长度的一半.【证明】 如图所示，D ，E 分别为边AC 和BC 的中点，以A 为原点，边AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系.设A (0,0)，B (c,0)，C (m ，n )， 则|AB |＝c ，又由中点坐标公式，可得D ⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2，n 2，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋m 2，n 2， 所以|DE |＝c ＋m 2－m 2＝c2，所以|DE |＝12|AB |，即三角形的中位线长度等于底边长度的一半.[能力提升]1.以A (1,5)，B (5,1)，C (－9，－9)为顶点的三角形是( ) A.等边三角形 B.等腰三角形 C.不等边三角形D.直角三角形【解析】 根据两点的距离公式， |AB |＝－2＋－2＝42， |AC |＝＋2＋＋2＝296， |BC |＝＋2＋＋2＝296，∴|AC |＝|BC |≠|AB |，∴△ABC 为等腰三角形. 【答案】 B2.已知点A (－1,3)，B (3,1)，点C 在坐标轴上，∠ACB ＝90°，则满足条件的点C 的个数是( )A.1B.2C.3D.4【解析】 若点C 在x 轴上， 设C (x,0)，由∠ACB ＝90°， 得|AB |2＝|AC |2＋|BC |2，即[3－(－1)]2＋(1－3)2＝(x ＋1)2＋32＋(x －3)2＋12，解得x ＝0或x ＝2. 若点C 在y 轴上，设C (0，y )，同理可求得y ＝0或y ＝4， 综上，满足条件的点C 有3个.故选C. 【答案】 C3.已知点A (5,2a －1)，B (a ＋1，a －4)，则当|AB |取得最小值时，实数a 等于________.【解析】 |AB |2＝(5－a －1)2＋(2a －1－a ＋4)2＝2a 2－2a ＋25＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋492，所以当a ＝12时， |AB |取得最小值.【答案】 124.求函数y ＝x 2＋4＋x 2－2x ＋2的最小值. 【解】 原函数化为y ＝x －2＋－2＋x －2＋＋2，设A (0,2)，B (1，－1)，P (x,0)，借助于几何图形可知它表示x 轴上的点P 到两个定点A 、B 的距离的和，当A 、P 、B 三点共线时，函数取得最小值.∴y min ＝|AB |＝10.。
2017-2018学年高中数学人教B版必修2学业分层测评：第2章 2-3-1 圆的标准方程 含答案 精品
学业分层测评(建议用时：45分钟)一、选择题1．圆心为(1，－2)，半径为3的圆的方程是( )A．(x＋1)2＋(y－2)2＝9B．(x－1)2＋(y＋2)2＝3C．(x＋1)2＋(y－2)2＝3D．(x－1)2＋(y＋2)2＝9【解析】由圆的标准方程得(x－1)2＋(y＋2)2＝9.【答案】 D2．若圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2过原点，则( )A．a2＋b2＝0B．a2＋b2＝r2C．a2＋b2＋r2＝0D．a＝0，b＝0【解析】由题意得(0－a)2＋(0－b)2＝r2，即a2＋b2＝r2.【答案】 B3．圆x2＋y2＝1上的点到点M(3,4)的距离的最小值是( )A．1 B．4C．5 D．6【解析】圆心(0,0)到M的距离|OM|＝32＋42＝5，所以所求最小值为5－1＝4.【答案】 B4．若直线y＝ax＋b通过第一、二、四象限，则圆(x＋a)2＋(y＋b)2＝1的圆心位于( ) A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解析】(－a，－b)为圆的圆心，由直线经过第一、二、四象限，得到a＜0，b＞0，即－a＞0，－b＜0，再由各象限内点的坐标的性质得解，D正确．【答案】 D5．当a为任意实数时，直线(a－1)x－y＋a＋1＝0恒过定点C，则以C为圆心，5为半径的圆的方程为( )【导学号：45722099】A．(x－1)2＋(y＋2)2＝5B．(x＋1)2＋(y＋2)2＝5C ．(x ＋1)2＋(y －2)2＝5 D ．(x －1)2＋(y －2)2＝5【解析】 直线方程变为(x ＋1)a －x －y ＋1＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝0，－x －y ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2，∴C (－1,2)，∴所求圆的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5.【答案】 C 二、填空题6．已知A (－1,4)，B (5，－4)，则以AB 为直径的圆的标准方程是________． 【解析】 由题意知圆心坐标为⎝⎛⎭⎪⎫－1＋52，4－42，即(2,0)，半径为12 －1－5 2＋ 4＋4 2＝5，故所求圆的标准方程为(x －2)2＋y 2＝25. 【答案】 (x －2)2＋y 2＝257．若点P (5a ＋1,12a )在圆(x －1)2＋y 2＝1的外部，则a 的取值范围为________.【导学号：45722100】【解析】 ∵P 在圆外，∴(5a ＋1－1)2＋(12a )2>1,169a 2>1，a 2>1169，∴|a |>113，即a >113或a <－113.【答案】 a >113或a <－1138．圆(x －1)2＋(y －1)2＝1上的点到直线x －y ＝2的距离的最大值是________． 【解析】 圆(x －1)2＋(y －1)2＝1的圆心为(1,1)，圆心到直线x －y ＝2的距离为|112|1＋1＝2，圆心到直线的距离加上半径就是圆上的点到直线的最大距离，即最大距离为1＋ 2.【答案】 1＋ 2 三、解答题9．已知圆C 过点A (4,7)，B (－3,6)，且圆心C 在直线l ：2x ＋y －5＝0上，求圆C 的方程．【解】 法一 设圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)， ∵A ，B ∈圆C ，C ∈l ，∴⎩⎪⎨⎪⎧4－a 2＋ 7－b 2＝r 2， －3－a 2＋ 6－b 2＝r 2，2a ＋b －5＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3，r ＝5.故圆C 的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝25.法二 设圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)，∵C ∈l ， ∴2a ＋b －5＝0，则b ＝5－2a ， ∴圆心为C (a,5－2a )． 由圆的定义得|AC |＝|BC |， 即 a －4 2＋ 5－2a －7 2＝ a ＋3 2＋ 5－2a －6 2.解得a ＝1，从而b ＝3，即圆心为C (1,3)，半径r ＝|CA |＝ 4－1 2＋ 7－3 2＝5. 故圆C 的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝25.10．求圆⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋(y ＋1)2＝54关于直线x －y ＋1＝0对称的圆的方程．【解】 圆⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋(y ＋1)2＝54的圆心为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1，半径r ＝52.设所求圆的圆心为(m ，n )，∵它与⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1关于直线x －y ＋1＝0对称，∵⎩⎪⎨⎪⎧n ＋1m －12×1＝－1，m ＋122－n －12＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2，n ＝32.∴所求圆的圆心坐标为⎝⎛⎭⎪⎫－2，32，半径r ＝52.∴对称圆的方程是(x ＋2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝54.1．若直线x ＋y －3＝0始终平分圆(x －a )2＋(y －b )2＝2的周长，则a ＋b 等于( ) A ．3 B ．2 C ．5D ．1【解析】 由题可知，圆心(a ，b )在直线x ＋y －3＝0上，所以a ＋b －3＝0，即a ＋b ＝3，故选A.【答案】 A2．已知两点A (－1,0)，B (0,2)，点P 是圆(x －1)2＋y 2＝1上任意一点，则△PAB 面积的最大值与最小值分别是( )A ．2，12(4－5)B.12(4＋5)，12(4－5) C.5，4－ 5D.12(5＋2)，12(5－2) 【解析】 点A (－1,0)，B (0,2)所在的直线方程为2x －y ＋2＝0，圆(x －1)2＋y 2＝1的圆心到直线的距离为|2－0＋2|22＋ －1 2＝455，又|AB |＝5，所以△PAB 面积的最大值为12×5×⎝⎛⎭⎪⎫455＋1＝12(4＋5)，最小值为12×5×⎝ ⎛⎭⎪⎫455－1＝12(4－5)，选B.【答案】 B3．已知圆C 经过A (5,1)，B (1,3)两点，圆心在x 轴上，则圆C 的方程为________． 【解析】 设圆C 的方程为(x －a )2＋y 2＝r 2(r >0)，则⎩⎪⎨⎪⎧5－a 2＋1＝r 2，1－a 2＋9＝r 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，r 2＝10.所以圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝10. 【答案】 (x －2)2＋y 2＝104．设P (0,0)，Q (5,0)，R (0，－12)，求△PQR 的内切圆的方程和外接圆的方程.【导学号：45722101】【解】 |PQ |＝5，|PR |＝12，|QR |＝13， ∴|PQ |2＋|PR |2＝|QR |2，∴△PQR 为直角三角形，且∠P 为直角， ∴内切圆的半径r 1＝5＋12－132＝2，圆心为C 1(2，－2)．∴内切圆的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝4. ∵外接圆的半径r 2＝132，圆心为C 2⎝ ⎛⎭⎪⎫52，－6， ∴外接圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －522＋(y ＋6)2＝1694.。
2018版高中数学第二章平面解析几何初步2.2.1第2课时圆的一般方程学业分层测评苏教版必修2
2.2.1 第2课时 圆的一般方程(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．方程x 2＋y 2－x ＋y ＋k ＝0表示一个圆，则实数k 的取值范围为________．【解析】 方程表示圆⇔1＋1－4k >0⇔k <12.【答案】⎝⎛⎭⎪⎫－∞，122．圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋m ＝0的直径为3，则m 的值为________．【解析】∵(x ＋1)2＋(y －2)2＝5－m ，∴r ＝5－m ＝32，∴m ＝114.【答案】1143．动圆x 2＋y 2－2x －k 2＋2k －2＝0的半径的取值范围是____________．【解析】 圆的半径r ＝124＋－2k ＋＝k2－2k ＋3＝－＋2≥ 2.【答案】 [2，＋∞)4．若直线3x －4y ＋5＝0与圆x 2＋y 2＝r 2(r >0)相交于A ，B 两点，且∠AOB ＝120°(O 为坐标原点)，则r ＝__________.【解析】 如图，过点O 作OD ⊥AB 于点D ，则|OD |＝532＋－＝1.∵∠AOB ＝120°，OA ＝OB ，∴∠OBD ＝30°，∴|OB |＝2|OD |＝2，即r ＝2.【答案】 25．圆x 2＋y 2－4x －5＝0的弦AB 的中点为P (3,1)，则直线AB 的方程为________．【解析】 圆(x －2)2＋y 2＝9，圆心C (2,0)，半径为3.AB ⊥CP ，k CP ＝1－03－2＝1，∴k AB ＝－1，∴直线AB 的方程为y －1＝－1(x －3)，即x ＋y －4＝0.【答案】x ＋y －4＝06．已知两点A (－2,0)，B (0,2)，点C 是圆x 2＋y 2－2x ＝0上任意一点，则△ABC 的面积的最小值是________．【解析】 直线AB 的方程为x －y ＋2＝0，圆心到直线AB 的距离为d ＝|1－0＋2|2＝322，所以圆到直线AB 的最小距离为322－1，S △ABC ＝12×AB ×⎝⎛⎭⎪⎫322－1＝12×22×⎝ ⎛⎭⎪⎫322－1＝3－ 2.【答案】 3－27．若圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0关于直线l 1：x －y ＋4＝0和直线l 2：x ＋3y ＝0都对称，则D ＋E 的值为__________.【导学号：41292103】【解析】∵l 1，l 2过圆心， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－D 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－E 2＋4＝0，－D 2＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫－E 2＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧D ＝6，E ＝－2，∴D ＋E ＝4.【答案】 48．圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0关于直线2ax －by ＋2＝0(a ，b ∈R )对称，则ab 的取值范围是________．【解析】 圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0关于直线2ax －by ＋2＝0(a ，b ∈R )对称，则圆心在直线上，求得a ＋b ＝1，ab ＝a (1－a )＝－a 2＋a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋14≤14，ab 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，14. 【答案】⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，14二、解答题9．设A (－c,0)，B (c,0)(c >0)为两定点，动点P 到A 点的距离与到B 点的距离的比为。
2018版高中数学第二章平面解析几何初步2.1.2第1课时直线的点斜式学业分层测评苏教版必修220170722281
2.1.2 第1课时直线的点斜式(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．下列关于方程y＝k(x－2)的说法正确的是______．(填序号)①表示通过点(－2,0)的所有直线；②表示通过点(2,0)的所有直线；③表示通过点(2,0)且不垂直于x轴的直线；④通过(2,0)且除去x轴的直线．【解析】直线x＝2也过(2,0)，但不能用y＝k(x－2)表示．【答案】③2．斜率与直线y＝2x＋1的斜率互为负倒数，且在y轴上的截距为4的直线的斜截式方程是________．【解析】直线y＝2x＋1的斜率为2，1 ∴所求直线的斜截式方程为y＝－x＋4.21【答案】y＝－x＋4213．方程y＝ax＋表示的直线可能是图2－1－2中的________．(填序号)a①②③④图2－1－21 1【解析】直线y＝ax＋的斜率是a，在y轴上的截距.当a>0时，斜率a>0，在y轴上a a1 1的截距>0，则直线y＝ax＋过第一、二、三象限，四个都不符合；当a<0时，斜率a<0，在ya a1 1轴上的截距<0，则直线y＝ax＋过第二、三、四象限，仅有②符合．a a【答案】②4．直线kx－y＋1＝3k，当k变化时，所有直线都通过一个定点，则这个定点的坐标是________.【导学号：41292069】【解析】直线方程可化为y－1＝k(x－3)，∴直线过定点(3,1)．【答案】(3,1)5．直线经过点(1,2)，在y轴上截距的取值范围是(0,3)，则其斜率k的取值范围是1__________．【解析】设直线l的方程为：y＝kx＋b.由已知2＝k＋b，∴b＝2－k，∴0<2－k<3，∴－1<k<2.【答案】(－1,2)6．如图2－1－3所示，在同一直角坐标系中，正确的表示直线l1：y＝ax与l2：y＝x＋a 图象的大致情况的是________．(1)(2)(3)(4)图2－1－3【解析】直线l2：y＝x＋a的斜率为1，则倾斜角为45°，故(2)(4)不正确；若a>0，直线l1：y＝ax的图象在一、三象限，直线l2的图象应在一、二、三象限，故(1)不正确；若a<0，直线l1的图象在二、四象限，直线l2的图象在一、三、四象限，故(3)正确.【答案】(3)7．直线y＝kx＋b经过二、三、四象限，则斜率k和纵截距b满足的条件为k________0，b________0(填“>”或“<”)．【解析】由图象(略)知，直线y＝kx＋b过二、三、四象限时k<0，b<0.【答案】<<18．已知直线y＝x＋k与两坐标轴围成的三角形的面积不小于1，则实数k的取值范围是2________．【解析】令y＝0，则x＝－2k.令x＝0，则y＝k，则直线与两坐标轴围成的三角形的面1积为S＝|k|·|－2k|＝k2.2由题意知，三角形的面积不小于1，可得k2≥1，所以k的取值范围是k≥1或k≤－1.【答案】k≥1或k≤－1二、解答题9．已知△ABC在第一象限中，A(1,1)，B(5,1)，∠A＝60°，∠B＝45°，求：(1)AB边所在直线的方程；(2)AC边，BC边所在直线的方程．【解】(1)∵A(1,1)，B(5,1)，∴直线AB的方程是y＝1.2(2)由图可知，k AC＝tan 60°＝3，∴直线AC的方程是y－1＝3(x－1)，即3x－y－3＋1＝0.∵k BC＝tan(180°－45°)＝－1，∴直线BC的方程是y－1＝－(x－5)，即x＋y－6＝0.10．已知等腰△ABC的顶点A(－1,2)，AC的斜率为3，点B(－3,2)，求直线AC，BC及∠A的平分线所在直线的方程．【解】直线AC的方程：y＝3x＋2＋ 3.∵AB∥x轴，AC的倾斜角为60°，∴BC的倾斜角为30°或120°.3当α＝30°时，BC的方程为y＝x＋2＋3，3∠A平分线的倾斜角为120°，∴所在直线方程为y＝－3x＋2－3.当α＝120°时，BC的方程为y＝－3x＋2－3 3.∠A平分线的倾斜角为30°，3 3∴所在直线方程为y＝x＋2＋.3 3[能力提升]1．直线l过点P(－1,1)，且与直线l′：2x－y＋3＝0及x轴围成底边在x轴上的等腰三角形，则直线l的方程为__________．【解析】根据题意可知，所求直线l的斜率是－2.又因为直线l过点P(－1,1)，所以直线l的方程为2x＋y＋1＝0.【答案】2x＋y＋1＝012．直线y＝ax－的图象如图2－1－4所示，则a＝________.a图2－1－4【解析】由图象知，直线斜率为－1，在y轴上的截距为1，故a＝－1.3【答案】－133．直线l1过点P(－1,2)，斜率为－，把l1绕点P按顺时针方向旋转30°角得直线l2，3求直线l1和l2的方程．【解】直线l1的方程是3y－2＝－(x＋1)．33∵k1＝－＝tan α1，3∴α1＝150°.如图，l 1绕点P按顺时针方向旋转30°，得到直线l2的倾斜角为α2＝150°－30°＝120°，∴k 2＝tan 120°＝－3，∴l2的方程为y－2＝－3(x＋1)，即3x＋y－2＋3＝0.4．过点P(4,6)作直线l分别交x，y轴的正半轴于A，B两点，(1)当△AOB的面积为64时，求直线l的方程；(2)当△AOB的面积最小时，求直线l的方程.【导学号：41292070】【解】设直线l的方程为y－6＝k(x－4)(k<0)．6令x＝0，y＝6－4k，令y＝0，x＝4－.k1 6(1)S＝×(6－4k)×＝64，2 (4－k)1 9解得k＝－或k＝－.2 2故直线l的方程为x＋2y－16＝0或9x＋2y－48＝0.1 6 18(2)S＝2×(6－4k)×(4－k)＝24－8k－，k∴8k2＋(S－24)k＋18＝0.由Δ＝(S－24)2－4×8×18≥0，得S≥48或S≤0.3∴面积的最小值为48，此时k＝－.243 ∴直线l的方程为y－6＝－(x－4)．2即3x＋2y－24＝0.5。
2018版高中数学第二章平面解析几何初步2.2.3圆与圆的位置关系学业分层测评苏教版必修2
学业分层测评(二十二)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．圆x 2＋y 2＋4x －4y ＋7＝0与圆x 2＋y 2－4x －10y －7＝0的位置关系是________．【解析】 圆x 2＋y 2＋4x －4y ＋7＝0的圆心是C 1(－2,2)，半径长r 1＝1；圆x 2＋y 2－4x－10y －7＝0的圆心是C 2(2,5)，半径长r 2＝6，则|C 1C 2|＝5＝r 2－r 1，故两圆内切．【答案】 内切2．两圆相交于点A (1,3)，B (m ，－1)，两圆的圆心均在直线l ：x －y ＋c ＝0上，则m ＋c ＝________.【解析】 由题意可知，AB ⊥l ，由于k l ＝1，故k AB ＝－1，即3＋11－m＝－1，解得m ＝5.又AB 的中点在直线l 上，故3－1＋c ＝0，解得c ＝－2，所以m ＋c ＝5－2＝3.【答案】 33．两圆x 2＋y 2＝r 2与(x －3)2＋(y ＋1)2＝r 2外切，则正实数r 的值是__________．【解析】 由题意，得2r ＝32＋－＝10，∴r ＝102. 【答案】1024．圆C 1：(x ＋2)2＋(y －m )2＝9与圆C 2：(x －m )2＋(y ＋1)2＝4相切，则m 的值为________.【导学号：41292113】【解析】 圆C 1：(x ＋2)2＋(y －m )2＝9的圆心为(－2，m )，半径长为3，圆C 2：(x －m )2＋(y ＋1)2＝4的圆心为(m ，－1)，半径长为2.当C 1，C 2外切时有－2－＋＋＝3＋2，即m 2＋3m －10＝0，解得m ＝2或m ＝－5；当C 1，C 2内切时有－2－＋＋＝3－2，即m 2＋3m ＋2＝0，解得m ＝－1或m ＝－2.【答案】 －5，－2，－1,25．已知半径为1的动圆与圆(x －5)2＋(y ＋7)2＝16相切，则动圆圆心的轨迹方程是________________．【解析】 动圆圆心的轨迹是以已知圆的圆心(5，－7)为圆心，以3或5为半径的圆． 【答案】 (x －5)2＋(y ＋7)2＝25或(x －5)2＋(y ＋7)2＝96．两个圆C 1：x 2＋y 2＋2x ＋2y ＋1＝0与C 2：x 2＋y 2－4x －2y ＋3＝0的公切线有且仅有________条．【解析】C 1：(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1，C 2：(x －2)2＋(y －1)2＝2.圆心距d ＝C 1C 2＝＋＋＋＝13.d >r 1＋r 2＝1＋2，∴两圆C 1与C 2相外离有4条公切线． 【答案】 47．点P 在圆x 2＋y 2－8x －4y ＋11＝0上，点Q 在圆x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0上，则PQ 的最小值是__________．【解析】 若两圆相交或相切，则最小值为0；若两圆外离，则最小值为C 1C 2－r 1－r 2.(x －4)2＋(y －2)2＝9的圆心为C 1(4,2)，半径r 1＝3；(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝4的圆心为C 2(－2，－1)，半径r 2＝2.又C 1C 2＝35，显然两圆外离，所以PQ 的最小值是35－5.【答案】 35－58．与直线x ＋y －2＝0和曲线x 2＋y 2－12x －12y ＋64＝0都相切的半径最小的圆的标准方程是________.【解析】 依题意，已知曲线为一个圆，其标准方程为(x －6)2＋(y －6)2＝8，所以所求圆的圆心在直线y ＝x 上，直径为已知圆圆心到直线x ＋y －2＝0的距离减去已知圆半径，即|6＋6－2|2－22＝32，设所求圆的圆心为(a ，b )， 则⎩⎪⎨⎪⎧b ＝a ，－＋－＝22＋322，得a ＝b ＝52，所以所求圆的标准方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －522＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －522＝92. 【答案】⎝ ⎛⎭⎪⎫x －522＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －522＝92二、解答题9．圆C 的半径为3，圆心C 在直线2x ＋y ＝0上且在x 轴的下方，x 轴被圆C 截得的弦长BD 为2 5.(1)求圆C 的方程；(2)若圆E 与圆C 关于直线2x －4y ＋5＝0对称，试判断两圆的位置关系． 【解】 (1)设圆心坐标为(a ，－2a )，则圆的方程为(x －a )2＋(y ＋2a )2＝9，。
2018版高中数学第二章平面解析几何初步章末综合测评苏教版必修220170722269
(二)平面解析几何初步(时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在题中横线上)1．直线l：x－3y＋1＝0的倾斜角为________．3 3 3【解析】l：y＝x＋，k＝，∴α＝30°.3 3 3【答案】30°2．过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2＋y2－4y＝0所截得的弦长为________．【解析】直线方程为y＝3x, 圆的方程化为x2＋(y－2)2＝22，∴r＝2，圆心(0,2)到直线y＝3x的距离为d＝1，∴半弦长为22－1＝3，∴弦长为2 3.【答案】 2 33．直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝1的位置关系是__________．|－1－m＋1| |m|【解析】圆心(0,1)到直线l的距离d＝＝<1＝r.故直线l与圆C相m2＋1 m2＋1交．【答案】相交14．关于x的方程4－x2＝(x－2)＋3解的个数为________个.21 1【解析】作出y＝4－x2和y＝(x－2)＋3＝x＋2的图象(略)．可看出直线与半圆有两2 2个公共点．【答案】 25．若直线l与直线3x＋y－1＝0垂直，且它在x轴上的截距为－2，则直线l的方程为________．1【解析】因为直线3x＋y－1＝0的斜率为－3，所以直线l的斜率为.又直线在x轴上31 的截距为－2，即直线l与x轴的交点为(－2,0)，所以直线l的方程为y－0＝(x＋2)，即x－33y＋2＝0.【答案】x－3y＋2＝06．若曲线(x－1)2＋(y－2)2＝4上相异两点P，Q关于直线kx－y－2＝0对称，则k的值为__________．【解析】依题意得，圆心(1,2)在直线kx－y－2＝0上，于是有k－4＝0，解得k＝4.【答案】 417．已知点M(a，b)在直线3x＋4y＝15上，则a2＋b2的最小值为________．|0＋0－15| 【解析】a2＋b2的最小值为原点到直线3x＋4y＝15的距离：d＝＝3.32＋42【答案】 38．空间直角坐标系中，点A(－3,4,0)和B(x，－1,6)的距离为86，则x的值为________．【解析】(x＋3)2＋(－1－4)2＋(6－0)2＝86，解得x＝2或－8.【答案】2或－89．直线l1：y＝x＋a和l2：y＝x＋b将单位圆C：x2＋y2＝1分成长度相等的四段弧，则a2＋b2＝________.【解析】依题意，不妨设直线y＝x＋a与单位圆相交于A，B两点，则∠AOB＝90°.如图，此时a＝1，b＝－1.满足题意，所以a2＋b2＝2.【答案】 210．在平面直角坐标系内，到点A(1,2)，B(1,5)，C(3,6)，D(7，－1)的距离之和最小的点的坐标是________．【解析】设平面上的点为P，易知ABCD为凸四边形，设对角线AC与BD的交点为P′，则|PA|＋|PC|≥|AC|＝|AP′|＋|P′C|，|PB|＋|PD|≥|BD|＝|BP′|＋|P′D|，当且仅当P与P′重合时，上面两式等号同时成立，由AC和BD的方程解得P′(2,4)．【答案】(2,4)11．若直线l1：ax＋3y＋1＝0与l2：2x＋(a＋1)y＋1＝0平行，则l1与l2距离为________．a 3 1【解析】由l1∥l2可知＝≠，2 a＋1 1解得a＝－3或a＝2(舍)，∴a＝－3.1 ∴l1：－3x＋3y＋1＝0，即x－y－＝0，31 l2：2x－2y＋1＝0，即x－y＋＝0，21 1|－－2|35 2∴l1与l2间的距离d＝＝.2 1225 2【答案】1212．若圆O：x2＋y2＝4与圆C：x2＋y2＋4x－4y＋4＝0关于直线l对称，则直线l的方程是__________．【解析】由圆C的方程x2＋y2＋4x－4y＋4＝0可得圆心C(－2,2)，由题意知直线l过OC 的中点(－1,1)，又直线OC的斜率为－1，故直线l的斜率为1，所以直线l的方程为y－1＝x＋1，即x－y＋2＝0.【答案】x－y＋2＝013．过点(3,1)作圆(x－1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为________．【解析】设P(3,1)，圆心C(1,0)，切点为A、B，则P、A、C、B四点共圆，且PC为圆1 5 的直径，∴四边形PACB的外接圆方程为(x－2)2＋(y－2 )2＝，①4圆C：(x－1)2＋y2＝1，②①－②得2x＋y－3＝0，此即为直线AB的方程．【答案】2x＋y－3＝014．设集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤4}，B＝{(x，y)|(x－1)2＋(y－1)2≤r2(r>0)}，当A∩B＝B时，r的取值范围是________.【解析】∵A＝{(x，y)|x2＋y2≤4}，B＝{(x，y)|(x－1)2＋(y－1)2≤r2(r>0)}均表示圆及其内部的点，由A∩B＝B可知两圆内含或内切．∴2≤2－r，即0<r≤2－ 2.【答案】(0,2－2]二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)已知圆C的方程为：x2＋y2－2x－4y＋m＝0，(1)求m的取值范围；(2)若直线x－2y－1＝0与圆C相切，求m的值．【解】(1)由圆的方程的要求可得，22＋42－4m＞0，∴m＜5.(2)圆心(1,2)，半径r＝5－m，|1－4－1|因为圆和直线相切，所以有＝5－m，12＋－229所以m＝.516．(本小题满分14分) 直线l在两坐标轴上的截距相等，且P(4,3)到直线l的距离为3 2，求直线l的方程．【解】若l在两坐标轴上截距为0，|4k－3|设l：y＝kx，即kx－y＝0，则＝3 2.1＋k2333 解得 k ＝－6±.此时 l 的方程为 y ＝ x ；14(－6 ±14) 22 若 l 在两坐标轴上截距不为 0， x y设 l ： ＋ ＝1，a a|4＋3－a | 即 x ＋y －a ＝0，则 ＝3 2. 12＋12 解得 a ＝1或 13.此时 l 的方程为 x ＋y －1＝0或 x ＋y －13＝0.3综上，直线 l 的方程为 y ＝(－6 ±14)x 或 x ＋y －1＝0或 x ＋y －13＝0.217．(本小题满分 14分)一个长方体的 8个顶点坐标分别为(0,0,0)，(0,1,0)，(3,0,0)， (3,1,0)，(3,1,9)，(3,0,9)，(0,0,9)，(0,1,9)．(1)在空间直角坐标系中画出这个长方体； (2)求这个长方体外接球的球心坐标；(3)求这个长方体外接球的体积． 【解】 (1)如图．(2)因为长方体的体对角线长是其外接球的直径，3＋0 0＋1 0＋93 1 9所以球心坐标为(，即 . ， ， ， ， 2) (2)222 2(3)因为长方体的体对角线长 d ＝ －32＋12＋92＝91，d 91 所以其外接球的半径 r ＝ ＝ . 2 2 44 91391π 所以其外接球的体积 V 球＝πr 3＝ π＝.3(2 )913618．(本小题满分 16分)已知圆 C 的圆心与 P (0,1)关于直线 y ＝x ＋1对称，直线 3x ＋4y ＋ 1＝0与圆 C 相交于 E ，F 两点，且|EF |＝4.(1)求圆 C 的标准方程；(2)设直线 l ：mx －y ＋1－m ＝0(m ∈R )与圆 C 的交点 A ，B ，求弦 AB 的中点 M 的轨迹方程． 【解】 (1)点 P (0,1)关于直线 y ＝x ＋1的对称点，即圆心 C 的坐标为(0,1)，|0＋4＋1| 圆心C到直线3x＋4y＋1＝0的距离为d＝＝1.5所以r2＝12＋22＝5，得圆C的方程为x2＋(y－1)2＝5.4(2)联立得Error!消去y，得(1＋m2)x2－2m2x＋m2－5＝0.由于Δ＝4m4－4(1＋m2)(m2－5)＝16m2＋20>0，故l与圆C必交于两点．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，则Error!1 2 1消去m，得(x2)＋(y0－1)2＝.0－41 2 1∴M点的轨迹方程为(x－2 )＋(y－1)2＝.419．(本小题满分16分)已知M为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点，且点Q(－2,3)．(1)求|MQ|的最大值和最小值；n－3(2)若M(m，n)，求的最大值和最小值．m＋2【解】(1)由题意知，圆C的标准方程为(x－2)2＋(y－7)2＝8，∴圆心C的坐标为(2,7)，半径r＝2 2.又|QC|＝[2－－2]2＋7－32＝4 2>2 2，∴|MQ|max＝4 2＋2 2＝6 2，|MQ|min＝4 2－2 2＝2 2.n－3(2)因为表示直线MQ的斜率，m＋2n－3所以设直线MQ的方程为y－3＝k(x＋2)(k＝m＋2)，即kx－y＋2k＋3＝0.由题意知直线MQ与圆C有交点，|2k－7＋2k＋3|所以≤22，1＋k2解得2－3≤k≤2＋3，n－3所以的最大值为2＋3，最小值为2－ 3.m＋220．(本小题满分16分)如图1，已知△ABC中A(－8,2)，AB边上的中线CE所在直线的方程为x＋2y－5＝0，AC边上的中线BD所在直线的方程为2x－5y＋8＝0，求直线BC的方程.图1x0－8 y0＋2【解】设B(x0，y0)，则AB中点E的坐标为( ， 2 )，由条件可得：2Error!得Error!5解得Error!即B(6,4)，同理可求得C点的坐标为(5,0)．y－0 x－5故所求直线BC的方程为＝，4－0 6－5即4x－y－20＝0.6。
(全国通用版)2018-2019高中数学 第二章 平面解析几何初步 2.3.1 圆的标准方程练习 新人教B版必修2
2.3.1 圆的标准方程1圆(x-3)2+(y+2)2=13的周长是()A.πB.2πC.2πD.2π,故周长为2π·=2π.2圆(x-2)2+(y+3) 2=2上的点与点(0,-5)的最大距离为()A. B.2 C.4 D.3(2,-3),点(0,-5)与圆心的距离为=2,又圆的半径为,故所求最大距离为2=3.3从点P(3,b)向圆(x+2)2+(y+2)2=1作切线,则切线长的最小值为()A.5B.4C.5.5D.2d=,故当b=-2时,d取最小值2.4三颗地球通讯卫星发射的信号即可覆盖全球,若设赤道大圆的方程为x2+y2=R2(R为地球半径),三颗卫星均可分布于赤道上空,则三颗卫星所在位置确定的圆的方程为()A.x2+y2=2R2B.x2+y2=4R2C.x2+y2=8R2D.x2+y2=9R2R,则方程为x2+y2=4R2.故选B.5方程y=-表示的曲线是()A.一条射线B.一个圆C.两条射线D.半个圆y2=12-x2,于是x2+y2=12,但y≤0,故该方程表示的曲线是一个半圆,即圆x2+y2=12位于x轴下方的部分.6圆心在直线2x-y-7=0上的圆C与y轴交于两点A(0,-4),B(0,-2),则圆C的方程为.C(a,b),则即且|AC|=|BC|=r=.故(x-2)2+(y+3)2=5为所求.x-2)2+(y+3)2=57圆(x-3)2+(y+1)2=1关于直线x+2y-3=0对称的圆的方程是.x+2y-3=0对称的两圆半径相等,圆心连线被直线x+2y-3=0垂直平分.设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=1.由题意得解得故所求圆的方程为=1.=18已知线段AB的端点B的坐标为(4,0),端点A在圆x2+y2=1上运动,则线段AB的中点的轨迹方程为.x-2)2+y2=9若半径为1的圆分别与y轴的正半轴和射线y=x(x≥0)相切,试求这个圆的标准方程.23(1,b )(b>0).根据该圆与直线y=x 相切,得=1⇒⇒b=,故所求圆的方程为(x-1)2+(y-)2=1. 10已知点A (0,2)和圆C :(x-6)2+(y-4)2=,一条光线从点A 出发射到x 轴上后沿圆的切线方向反射,求这条光线从点A 到切点所经过的路程.D ,点A 关于x 轴的对称点的坐标为A 1(0,-2),则光线从点A 到切点所走的路程为|A 1D|.在Rt △A 1CD 中,|A 1D|2=|A 1C|2-|CD|2=(-6)2+(-2-4)2-. 所以|A 1D|=,即光线从A 点到切点所经过的路程是. 11已知点P 是圆C :(x-3)2+(y-4)2=1上的任意一点,点A (-1,0),B (1,0),试求|PA|2+|PB|2的最大值和最小值.,转化为求圆C 上的点与原点距离的最值.P (x ,y ),则有|PA|2+|PB|2=(x+1)2+y 2+(x-1)2+y 2=2x 2+2y 2+2=2()2+2=2[]2+2=2|OP|2+2, 由题意得|OP|的最大值是|OC|+r=5+1=6,最小值是|OC|-r=5-1=4.所以|PA|2+|PB|2的最大值是2×62+2=74,最小值是2×42+2=34.★12有一种大型商品,A ,B 两地都有出售,且价格相同,某地居民从两地之一购得商品后,回运的费用是:每单位距离A 地的运费是B 地运费的3倍,已知A ,B 两地距离10千米,顾客选A 或B 地购买这件商品的标准是:包括运费和价格的总费用较低,求A ,B 两地售货区域的分界线的曲线形状,并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购货地点.,以A ,B 所确定的直线为x 轴,A ,B 中点O 为坐标原点,建立直角坐标系,则A (-5,0),B (5,0).设某地P的坐标为(x,y),且P地居民选择A地购买商品便宜并设A地的运费为3a元/千米,B 地的运费为a元/千米.价格+每单位距离运费×到A地的距离≤价格+每单位距离运费×到B地的距离,即3a≤a,∵a>0,∴3,即+y2≤.∴以点C为圆心,为半径的圆是这两地购货的分界线.圆C内的居民从A地购货便宜.圆C外的居民从B地购货便宜.圆C上的居民从A,B两地购货的总费用相等,因此,可随意从A,B两地之一购货.4百度文库是百度发布的供网友在线分享文档的平台。
18学年高中数学第二章平面解析几何初步2.3.2圆的一般方程学案新人教B版必修2
2.3.2 圆的一般方程[学习目标] 1.正确理解圆的方程的形式及特点，会由一般式求圆心和半径.2.会在不同条件下求圆的一般式方程.[知识链接]1.圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，它的圆心坐标为(a ，b )，半径为r .2.点与圆的位置关系有点在圆外、点在圆上、点在圆内，可以利用代数法与几何法进行判断. [预习导引]1.方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0配方得：⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋D 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋E 22＝D 2＋E 2－4F 4. (1)当D 2＋E 2－4F ＝0时，方程表示一个点，该点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2；(2)当D 2＋E 2－4F <0时，方程不表示任何图形；(3)当D 2＋E 2－4F >0时，方程表示的曲线为圆，它的圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2，半径等于12.2.比较二元二次方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0和圆的一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，可以得出以下结论：当二元二次方程具有条件： (1)x 2和y 2的系数相同，且不等于0，即A ＝C ≠0； (2)没有xy 项，即B ＝0；(3)D 2＋E 2－4AF >0时，它才表示圆.要点一 圆的一般方程的概念例1 下列方程能否表示圆？若能表示圆，求出圆心和半径. (1)2x 2＋y 2－7y ＋5＝0； (2)x 2－xy ＋y 2＋6x ＋7y ＝0； (3)x 2＋y 2－2x －4y ＋10＝0； (4)2x 2＋2y 2－5x ＝0.解 (1)∵方程2x 2＋y 2－7y ＋5＝0中x 2与y 2的系数不相同，∴它不能表示圆.(2)∵方程x 2－xy ＋y 2＋6x ＋7y ＝0中含有xy 这样的项. ∴它不能表示圆.(3)方程x 2＋y 2－2x －4y ＋10＝0化为(x －1)2＋(y －2)2＝－5， ∴它不能表示圆.(4)方程2x 2＋2y 2－5x ＝0化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －542＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫542，∴它表示以⎝ ⎛⎭⎪⎫54，0为圆心，54为半径长的圆. 规律方法 二元二次方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆，应满足的条件是：①A ＝C ≠0，②B ＝0，③D 2＋E 2－4AF >0.跟踪演练1 如果x 2＋y 2－2x ＋y ＋k ＝0是圆的方程，则实数k 的范围是________. 答案 ⎝⎛⎭⎪⎫－∞，54解析 由题意可知(－2)2＋12－4k >0， 即k <54.要点二 求圆的一般方程例2 已知△ABC 的三个顶点为A (1,4)，B (－2,3)，C (4，－5)，求△ABC 的外接圆方程、圆心坐标和外接圆半径.解 方法一 设△ABC 的外接圆方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，∵A ，B ，C 在圆上， ∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋16＋D ＋4E ＋F ＝0，4＋9－2D ＋3E ＋F ＝0，16＋25＋4D －5E ＋F ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝2，F ＝－23，∴△ABC 的外接圆方程为x 2＋y 2－2x ＋2y －23＝0， 即(x －1)2＋(y ＋1)2＝25.∴圆心坐标为(1，－1)，外接圆半径为5. 方法二 设△ABC 的外接圆方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，∵A 、B 、C 在圆上， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－a 2＋－b 2＝r 2，－2－a 2＋－b 2＝r 2，－a 2＋－5－b 2＝r 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1，r ＝5，即外接圆的圆心为(1，－1)，半径为5，∴圆的标准方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝25，展开易得其一般方程为x 2＋y 2－2x ＋2y －23＝0. 方法三 ∵k AB ＝4－31＋2＝13，k AC ＝4＋51－4＝－3，∴k AB ·k AC ＝－1，∴AB ⊥AC .∴△ABC 是以角A 为直角的直角三角形. ∴圆心是线段BC 的中点， 坐标为(1，－1)，r ＝12|BC |＝5.∴外接圆方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝25. 展开得一般方程为x 2＋y 2－2x ＋2y －23＝0. 规律方法 应用待定系数法求圆的方程时：(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a ，b ，r .(2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D 、E 、F .跟踪演练2 已知A (2,2)，B (5,3)，C (3，－1)，求三角形ABC 的外接圆的方程. 解 设三角形ABC 外接圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2D ＋2E ＋F ＋8＝0，5D ＋3E ＋F ＋34＝0，3D －E ＋F ＋10＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－8，E ＝－2，F ＝12，即三角形ABC 的外接圆方程为x 2＋y 2－8x －2y ＋12＝0. 要点三 求动点的轨迹方程例3 等腰三角形的顶点是A (4,2)，底边一个端点是B (3,5)，求另一个端点C 的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么？解 设另一端点C 的坐标为(x ，y ).依题意，得|AC |＝|AB |.由两点间距离公式，得x －2＋y －2＝－2＋－2，整理得(x －4)2＋(y －2)2＝10.这是以点A (4,2)为圆心，以10为半径的圆，如图所示，又因为A 、B 、C 为三角形的三个顶点，所以A 、B 、C 三点不共线.即点B 、C 不能重合且B 、C 不能为圆A 的一直径的两个端点.因为点B 、C 不能重合，所以点C 不能为(3,5). 又因为点B 、C 不能为一直径的两个端点， 所以x ＋32≠4，且y ＋52≠2，即点C 不能为(5，－1).故端点C 的轨迹方程是(x －4)2＋(y －2)2＝10(除去点(3,5)和(5，－1))，它的轨迹是以点A (4,2)为圆心，10为半径的圆，但除去(3,5)和(5，－1)两点. 规律方法 求与圆有关的轨迹问题常用的方法.①直接法：根据题目的条件，建立适当的平面直角坐标系，设出动点坐标，并找出动点坐标所满足的关系式.②定义法：当列出的关系式符合圆的定义时，可利用定义写出动点的轨迹方程.③相关点法：若动点P (x ，y )随着圆上的另一动点Q (x 1，y 1)运动而运动，且x 1，y 1可用x ，y 表示，则可将Q 点的坐标代入已知圆的方程，即得动点P 的轨迹方程.跟踪演练3 已知直角△ABC 的两个顶点A (－1,0)和B (3,0)，求直角顶点C 的轨迹方程. 解 方法一 设顶点C (x ，y )， 因为AC ⊥BC ，且A ，B ，C 三点不共线， 所以x ≠3且x ≠－1. 又k AC ＝y x ＋1，k BC ＝yx －3.且k AC ·k BC ＝－1， 所以y x ＋1·yx －3＝－1， 化简得x 2＋y 2－2x －3＝0. 因此，直角顶点C 的轨迹方程为x 2＋y 2－2x －3＝0(x ≠3且x ≠－1).方法二 △ABC 是以C 为直角顶点的直角三角形，设顶点C (x ，y )，因为A ，B ，C 三点不共线，所以x ≠3且x ≠－1.由勾股定理得|AC |2＋|BC |2＝|AB |2， 即(x ＋1)2＋y 2＋(x －3)2＋y 2＝16， 化简得x 2＋y 2－2x －3＝0. 因此，直角顶点C 的轨迹方程为x 2＋y 2－2x －3＝0(x ≠3且x ≠－1).1.圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0的圆心坐标是( ) A.(2,3) B.(－2,3) C.(－2,－3) D.(2,－3)答案 D解析 －D 2＝2，－E2＝－3，∴圆心坐标是(2，－3).2.方程x 2＋y 2－x ＋y ＋k ＝0表示一个圆，则实数k 的取值范围为( ) A.k ≤12B.k ＝12C.k ≥12D.k <12答案 D解析 方程表示圆⇔1＋1－4k >0⇔k <12.3.方程x 2＋y 2＋2ax ＋2by ＋a 2＋b 2＝0表示的图形为( ) A.以(a ，b )为圆心的圆 B.以(－a ，－b )为圆心的圆 C.点(a ，b ) D.点(－a ，－b )答案 D解析 原方程可化为：(x ＋a )2＋(y ＋b )2＝0.所以它表示点(－a ，－b ). 4.圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋m ＝0的直径为3，则m 的值为________. 答案114解析 ∵(x ＋1)2＋(y －2)2＝5－m ， ∴r ＝5－m ＝32，∴m ＝114.5.圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋4＝0的圆心到直线3x ＋4y ＋4＝0的距离d ＝________. 答案 3解析 圆心(1,2)到直线3x ＋4y ＋4＝0的距离为|3×1＋4×2＋4|5＝3.1.圆的一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，来源于圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.在应用时，注意它们之间的相互转化及表示圆的条件.2.圆的方程可用待定系数法来确定，在设方程时，要根据实际情况，设出适当方程，以便简化解题过程.3.曲线的轨迹问题，要作简单地了解，能够求出简单的曲线的轨迹方程，并掌握求轨迹方程的一般步骤.。
2018版高中数学第二章平面解析几何初步章末分层突破学案苏教版
第二章 平面解析几何初步[自我校对] ①y 2－y 1x 2－x 1(x 2≠x 1) ②点斜式 ③两点式 ④一般式 ⑤|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2__________________________________________________________ __________________________________________________________ __________________________________________________________ __________________________________________________________ __________________________________________________________ __________________________________________________________ __________________________________________________________ __________________________________________________________ __________________________________________________________直线方程及两直线的位置关系 1.直线方程的五种形式及其选取直线方程的五种形式各有优劣，在使用时要根据题目条件灵活选择，尤其在选用四种特殊形式的方程时，注意其适用条件，必要时要对特殊情况进行讨论．2．两条直线的平行与垂直两条直线的平行与垂直是解析几何中两条直线最基本的位置关系，其判定如下：的绝对值为1，求这两条直线的方程.【精彩点拨】 考虑直线斜率是否存在，不存在时可直接求出，存在时设方程利用截距关系求k .【规范解答】 (1)当两条直线的斜率不存在时，两条直线的方程分别为x ＝－1，x ＝0，它们在x 轴上截距之差的绝对值为1，满足题意；(2)当直线的斜率存在时，设其斜率为k ，则两条直线的方程分别为y ＝k (x ＋1)，y ＝kx ＋2.令y ＝0，分别得x ＝－1，x ＝－2k.由题意得⎪⎪⎪⎪⎪⎪－1＋2k ＝1，即k ＝1.则直线的方程为y ＝x ＋1，y ＝x ＋2， 即x －y ＋1＝0，x －y ＋2＝0.综上可知，所求的直线方程为x ＝－1，x ＝0，或x －y ＋1＝0，x －y ＋2＝0. [再练一题]1．求经过两直线2x －3y －3＝0和x ＋y ＋2＝0的交点且与直线3x －y －1＝0平行的直线l 的方程．【解】 法一 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y －3＝0，x ＋y ＋2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－35，y ＝－75.∵直线l 和直线3x －y －1＝0平行， ∴直线l 的斜率k ＝3，∴根据点斜式有y －⎝ ⎛⎭⎪⎫－75＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －⎝ ⎛⎭⎪⎫－35.即所求直线方程为15x －5y ＋2＝0.法二 ∵直线l 过两直线2x －3y －3＝0和x ＋y ＋2＝0的交点，∴可设直线l 的方程为：2x －3y －3＋λ(x ＋y ＋2)＝0，即(λ＋2)x ＋(λ－3)y ＋2λ－3＝0.∵直线l 与直线3x －y －1＝0平行， ∴λ＋23＝λ－3－1≠2λ－3－1，解得λ＝74. 从而所求直线方程为15x －5y ＋2＝0.直线与圆、圆与圆的位置关系1.直线与圆的位置关系是高考考查的重点，切线问题更是重中之重，判断直线与圆的位置关系以几何法为主，解题时应充分利用圆的几何性质以简化解题过程．2．解决圆与圆的位置关系的关键是抓住它的几何特征，利用两圆圆心距与两圆半径的和、差的绝对值的大小来确定两圆的位置关系，以及充分利用它的几何图形来形象直观地分析问题．如图2－1所示，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 1：(x ＋3)2＋(y －1)2＝4和圆C 2：(x －4)2＋(y －5)2＝4.图2－1(1)若直线l 过点A (4,0)，且被圆C 1截得的弦长为23，求直线l 的方程；(2)设P 为平面上的点，满足：存在过点P 的无穷多对互相垂直的直线l 1和l 2，它们分别与圆C 1和圆C 2相交，且直线l 1被圆C 1截得的弦长与直线l 2被圆C 2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P 的坐标．【精彩点拨】 (1)设出方程，求出弦心距，由点到直线的距离公式求k .(2)设出方程，由直线与圆的位置关系及几何性质列方程求出参数．【规范解答】 (1)由于直线x ＝4与圆C 1不相交，所以直线l 的斜率存在．设直线l 的方程为y ＝k (x －4)，圆C 1的圆心到直线l 的距离为d ，因为直线l 被圆C 1截得的弦长为23，所以d ＝22－32＝ 1.由点到直线的距离公式得d ＝|1－k －3－1＋k2，从而k (24k ＋7)＝0，即k ＝0或k ＝－724，所以直线l 的方程为y ＝0或7x ＋24y －28＝0.(2)设点P (a ，b )满足条件，不妨设直线l 1的方程为y －b ＝k (x －a )，k ≠0，则直线l 2的方程为y －b ＝－1k(x －a )．因为圆C 1和圆C 2的半径相等，且直线l 1被圆C 1截得的弦长与直线l 2被圆C 2截得的弦长相等，所以圆C 1的圆心到直线l 1的距离和圆C 2的圆心到直线l 2的距离相等，即|1－k －3－a －b |1＋k2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪5＋1k－a －b 1＋1k2，整理得|1＋3k ＋ak －b |＝|5k ＋4－a －bk |，从而1＋3k ＋ak －b ＝5k ＋4－a －bk 或1＋3k ＋ak －b ＝－5k －4＋a ＋bk ， 即(a ＋b －2)k ＝b －a ＋3或(a －b ＋8)k ＝a ＋b －5， 因为k 的取值范围有无穷多个，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b －2＝0，b －a ＋3＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋8＝0，a ＋b －5＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝52，b ＝－12或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－32，b ＝132.这样点P 只可能是点P 1⎝ ⎛⎭⎪⎫52，－12或点P 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，132.经检验点P 1和P 2满足题目条件． [再练一题]2．如图2－2，平面直角坐标系中，已知以点A (－1,2)为圆心的圆与直线l 1：x ＋2y ＋7＝0相切．过点B (－2,0)的动直线l 与圆A 相交于M ，N 两点，图2－2(1)求圆A 的方程；(2)当MN ＝219时，求直线l 的方程．【解】 (1)设圆A 的半径为R .由于圆A 与直线l 1：x ＋2y ＋7＝0相切，∴R ＝|－1＋4＋7|5＝2 5.∴圆A 的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝20.(2)①当直线l 与x 轴垂直时，易知x ＝－2符合题意；②当直线l 与x 轴不垂直时，设MN 的中点为Q ，直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＝0.连结AQ ，则AQ ⊥MN .∵MN ＝219，∴AQ ＝20－19＝1， 则由AQ ＝|k －2|k 2＋1＝1，得k ＝34.直线方程为3x －4y ＋6＝0.综上，直线l 的方程为x ＝－2或3x －4y ＋6＝0.圆有关的最值问题与圆有关的最值问题，往往是已知圆的方程f (x ，y )＝0，求yx，y －x ，x 2＋y 2等量的最值或范围．解决的方法是：设(x ，y )是圆上任意一点，分别把给定的式子y x，y －x ，x 2＋y2赋予一定的几何意义，这样就把有关最值问题转化成点、直线与圆的位置关系问题，再根据圆的几何性质确定最值．已知实数x ，y 满足关系式：x 2＋y 2－6x －4y ＋12＝0，点P (x ，y )，A (－1,0)，B (1,0)．(1)求y x的最大值和最小值； (2)求x －y 的最大值和最小值；(3)求PA 2＋PB 2的最大值和最小值．【精彩点拨】 (1)转化为过圆上的点(x ，y )和原点(0,0)的直线的斜率问题．(2)令m ＝x －y ，转化为直线与圆相切的问题．(3)令PA 2＋PB 2＝m 2，化简后转化为两圆相切问题．【规范解答】 根据题意，设圆C ：(x －3)2＋(y －2)2＝1，圆心C (3,2)．(1)设y x ＝k ，则当直线y ＝kx 与圆C 相切时，y x 取得最值．此时|3k －2|1＋k 2＝1，k ＝3±34， ∴y x 的最大值为3＋34，最小值为3－34. (2)设x －y ＝m ，则当直线y ＝x －m 与圆C 相切时，x －y 取得最值． 此时|3－2－m |2＝1，∴m ＝1±2，∴x －y 的最大值为1＋2，最小值为1－ 2. (3)设PA 2＋PB 2＝m 2，则有x 2＋y 2＝m 2－22，m 2≥2.当圆x 2＋y 2＝m 2－22与圆C 相切时，PA 2＋PB 2取得最值，此时m 2－22±1＝13，解得m 2＝30±413.∴PA 2＋PB 2的最大值为30＋413，最小值为30－413. [再练一题]3．如果实数x ，y 满足方程(x －3)2＋(y －3)2＝6，求： (1)yx的最大值与最小值； (2)x ＋y 的最大值与最小值．【解】 (1)设方程(x －3)2＋(y －3)2＝6所表示的圆C 上的任意一点P (x ，y ).y x的几何意义就是直线OP 的斜率，设y x＝k ，则直线OP 的方程为y ＝kx .由图(1)可知，当直线OP 与圆相切时，斜率取最值．因为点C 到直线y ＝kx 的距离d ＝|3k －3|k 2＋1，所以当|3k －3|k 2＋1＝6，即k ＝3±22时，直线OP 与圆相切．所以y x的最大值与最小值分别是3＋22与3－2 2.(1) (2)(2)设x ＋y ＝b ，则y ＝－x ＋b ，由图②知，当直线与圆C 相切时，截距b 取最值．而圆心C 到直线y ＝－x ＋b 的距离为d ＝|6－b |2.因为当|6－b |2＝6，即b ＝6±23时，直线y ＝－x ＋b 与圆C 相切，所以x ＋y 的最大值与最小值分别为6＋23与6－2 3.待定系数法的应用待定系数法，就是所研究的式子(方程)的结构是确定的，但它的系数(部分或全部)是待定的，然后根据题目所给条件来确定这些系数的方法．本章中求直线和圆的方程常用待定系数法，采用待定系数法求圆的方程的一般步骤为： ①选择圆的方程的某一形式；②由题意得a ，b ，r (或D ，E ，F )的方程(组)； ③解出a ，b ，r (或D ，E ，F )； ④代入所设方程．求直线方程时一般有以下几类：①知过定点，设点斜式(注意斜率不存在的情况)； ②知斜率，设斜截式； ③与截距有关设截距式；④知与已知直线平行或垂直，设一般式(或斜截式、点斜式)．如图2－3，在平面直角坐标系xOy 中，点A (0,3)，直线l ：y ＝2x －4.设圆C的半径为1，圆心在l 上．(1)若圆心C 也在直线y ＝x －1上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程； (2)若圆C 上存在点M ，使MA ＝2MO ，求圆心C 的横坐标a 的取值范围．图2－3【精彩点拨】 (1)求出圆心C ，设出直线的方程，利用圆心到直线的距离等于半径，结合待定系数法求解．(2)设出圆的方程，化简条件MA ＝2MO ，将问题转化为两圆相交问题．【规范解答】 (1)由题设，圆心C 是直线y ＝2x －4和y ＝x －1的交点，解得点C (3,2)，于是切线的斜率必存在．设过A (0,3)的圆C 的切线方程为y ＝kx ＋3，由题意，得|3k ＋1|k 2＋1＝1，解得k ＝0或－34，故所求切线方程为y ＝3或3x ＋4y －12＝0. (2)因为圆心在直线y ＝2x －4上，所以圆C 的方程为(x －a )2＋[y －2(a －2)]2＝1. 设点M (x ，y )，因为MA ＝2MO ， 所以x 2＋y －2＝2x 2＋y 2，化简得x 2＋y 2＋2y －3＝0，即x 2＋(y ＋1)2＝4，所以点M 在以D (0，－1)为圆心，2为半径的圆上．由题意，点M (x ，y )在圆C 上，所以圆C 与圆D 有公共点， 则|2－1|≤CD ≤2＋1，即1≤a 2＋a －2≤3，化简得⎩⎪⎨⎪⎧5a 2－12a ＋8≥0，5a 2－12a ≤0，由5a 2－12a ＋8≥0，得a ∈R ； 由5a 2－12a ≤0，得0≤a ≤125. 所以点C 的横坐标a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，125.[再练一题]4．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆P 在x 轴上截得线段长为22，在y 轴上截得线段长为2 3.(1)求圆心P 的轨迹方程； (2)若P 点到直线y ＝x 的距离为22，求圆P 的方程. 【解】 (1)设P (x ，y )，圆P 的半径为r . 由题设得y 2＋2＝r 2，x 2＋3＝r 2.从而y 2＋2＝x 2＋3. 故P 点的轨迹方程为y 2－x 2＝1. (2)设P (x 0，y 0)，由已知得 |x 0－y 0|2＝22. 又P 在曲线y2－x 2＝1上，从而得⎩⎪⎨⎪⎧|x 0－y 0|＝1，y 20－x 20＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧x 0－y 0＝1，y 20－x 20＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝－1.此时，圆P 的半径r ＝ 3.由⎩⎪⎨⎪⎧x 0－y 0＝－1，y 20－x 20＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝1.此时，圆P 的半径r ＝ 3.故圆P 的方程为x 2＋(y －1)2＝3或x 2＋(y ＋1)2＝3.1．圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1，则a ＝________. 【解析】 将圆的方程化为标准方程，根据点到直线距离公式求解．圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的标准方程为(x －1)2＋(y －4)2＝4，由圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1可知|a ＋4－1|a 2＋12＝1，解得a ＝－43.【答案】 －432．已知直线l 过圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心，且与直线x ＋y ＋1＝0垂直，则l 的方程是________．【解析】 圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心为点(0,3)，又因为直线l 与直线x ＋y ＋1＝0垂直，所以直线l 的斜率k ＝1.由点斜式得直线l ：y －3＝x －0，化简得x －y ＋3＝0.【答案】 x －y ＋3＝03．如图2－4，已知圆C 与x 轴相切于点T (1,0)，与y 轴正半轴交于两点A ，B (B 在A 的上方)，且|AB |＝2.图2－4(1)圆C 的标准方程为________；(2)圆C 在点B 处的切线在x 轴上的截距为________． 【解析】 (1)取AB 的中点D ，连接CD ，则CD ⊥AB . 由题意|AD |＝|CD |＝1，故|AC |＝|CD |2＋|AD |2＝2，即圆C 的半径为 2.又因为圆C 与x 轴相切于点T (1,0)，所以圆心C 的坐标为(1，2)，故圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝2.(2)令(x －1)2＋(y －2)2＝2中的x ＝0，解得y ＝2±1，故B (0，2＋1)．直线BC 的斜率为2＋1－20－1＝－1，故切线的斜率为1，切线方程为y ＝x ＋2＋1.令y ＝0，解得x＝－2－1，故所求截距为－2－1.【答案】 (1)(x －1)2＋(y －2)2＝2 (2)－2－14．已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1和两点A (－m,0)，B (m,0)(m >0)，若圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则m 的最大值为__________．【解析】 根据题意，画出示意图，如图所示，则圆心C 的坐标为(3,4)，半径r ＝1，且|AB |＝2m .因为∠APB ＝90°，连接OP ，易知|OP |＝12|AB |＝m .要求m 的最大值，即求圆C上的点P 到原点O 的最大距离．因为|OC |＝32＋42＝5，所以|OP |max ＝|OC |＋r ＝6，即m 的最大值为6.【答案】 65．圆心在直线x －2y ＝0上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为23，则圆C 的标准方程为______________________．【解析】 设圆C 的圆心为(a ，b )(b >0)，由题意得a ＝2b >0，且a 2＝(3)2＋b 2，解得a ＝2，b ＝1.∴所求圆的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4. 【答案】 (x －2)2＋(y －1)2＝46．如图2－5，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆M ：x 2＋y 2－12x －14y ＋60＝0及其上一点A (2,4)．图2－5(1)设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线x ＝6上，求圆N 的标准方程；(2)设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B ，C 两点，且BC ＝OA ，求直线l 的方程；(3)设点T (t,0)满足：存在圆M 上的两点P 和Q ，使得TA →＋TP →＝TQ →，求实数t 的取值范围．【解】 圆M 的标准方程为(x －6)2＋(y －7)2＝25，所以圆心M (6,7)，半径为5.(1)由圆心N 在直线x ＝6上，可设N (6，y 0)．因为圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，所以0<y 0<7，圆N 的半径为y 0，从而7－y 0＝5＋y 0，解得y 0＝1.因此，圆N 的标准方程为(x －6)2＋(y －1)2＝1.(2)因为直线l ∥OA ，所以直线l 的斜率为4－02－0＝2. 设直线l 的方程为y ＝2x ＋m ，即2x －y ＋m ＝0，则圆心M 到直线l 的距离d ＝|2×6－7＋m |5＝|m ＋5|5. 因为BC ＝OA ＝22＋42＝25，而MC 2＝d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫BC 22， 所以25＝m ＋25＋5，解得m ＝5或m ＝－15.故直线l 的方程为2x －y ＋5＝0或2x －y －15＝0.(3)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．因为A (2,4)，T (t,0)，TA →＋TP →＝TQ →，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＝x 1＋2－t ，y 2＝y 1＋4.①因为点Q 在圆M 上，所以(x 2－6)2＋(y 2－7)2＝25.②将①代入②，得(x 1－t －4)2＋(y 1－3)2＝25.于是点P (x 1，y 1)既在圆M 上，又在圆[x －(t ＋4)]2＋(y －3)2＝25上，从而圆(x －6)2＋(y －7)2＝25与圆[x －(t ＋4)]2＋(y －3)2＝25有公共点，所以5－5≤t ＋－6]2＋－2≤5＋5，解得2－221≤t ≤2＋221.因此，实数t 的取值范围是[2－221，2＋221]．7．已知过原点的动直线l 与圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相交于不同的两点A ，B .(1)求圆C 1的圆心坐标；(2)求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；(3)是否存在实数k ，使得直线L ：y ＝k (x －4)与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由．【解】 (1)把圆C 1的方程化为标准方程得(x －3)2＋y 2＝4，∴圆C 1的圆心坐标为C 1(3,0)．(2)设M (x ，y )，∵A ，B 为过原点的直线l 与圆C 1的交点，且M 为AB 的中点，∴由圆的性质知：MC 1⊥MO ，∴MC 1→·MO →＝0.又∵MC 1→＝(3－x ，－y )，MO →＝(－x ，－y )，∴由向量的数量积公式得x 2－3x ＋y 2＝0.易知直线l 的斜率存在，∴设直线l 的方程为y ＝mx ，当直线l 与圆C 1相切时，d ＝|3m －0|m 2＋1＝2， 解得m ＝±255. 把相切时直线l 的方程代入圆C 1的方程化简得9x 2－30x ＋25＝0，解得x ＝53. 当直线l 经过圆C 1的圆心时，M 的坐标为(3,0)．又∵直线l 与圆C 1交于A ，B 两点，M 为AB 的中点，∴53<x ≤3. ∴点M 的轨迹C 的方程为x 2－3x ＋y 2＝0，其中53<x ≤3，其轨迹为一段圆弧． (3)由题意知直线L 表示过定点(4,0)，斜率为k 的直线，把直线L 的方程代入轨迹C的方程x 2－3x ＋y 2＝0，其中53<x ≤3， 化简得(k 2＋1)x 2－(3＋8k 2)x ＋16k 2＝0，其中53<x ≤3，记f (x )＝(k 2＋1)x 2－(3＋8k 2)x ＋16k 2，其中53<x ≤3. 若直线L 与曲线C 只有一个交点，令f (x )＝0.当Δ＝0时，解得k 2＝916，即k ＝±34，此时方程可化为25x 2－120x ＋144＝0，即(5x －12)2＝0，解得x ＝125∈⎝ ⎛⎦⎥⎤53，3，∴k ＝±34满足条件． 当Δ>0时，①若x ＝3是方程的解，则f (3)＝0⇒k ＝0⇒另一根为x ＝0<53，故在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤53，3上有且仅有一个根，满足题意．②若x ＝53是方程的解，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫53＝0⇒k ＝±257⇒另外一根为x ＝6423，53<6423≤3，故在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤53，3上有且仅有一个根，满足题意． ③若x ＝3和x ＝53均不是方程的解，则方程在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫53，3上有且仅有一个根，只需f ⎝ ⎛⎭⎪⎫53·f (3)<0⇒－257<k <257.故在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤53，3上有且仅有一个根，满足题意． 综上所述，k 的取值范围是－257≤k ≤257或k ＝±34.。
2018版高中数学 第二章 平面解析几何初步 2.3.2 圆的一般方程学案(含解析)新人教B版必修2
2.3.2 圆的一般方程1．了解圆的一般方程的特点，会由一般方程求圆心和半径．(重点)2．会根据给定的条件求圆的一般方程，并能用圆的一般方程解决简单问题．(重点) 3．灵活选取恰当的方法求圆的方程．(难点)[基础·初探]教材整理 圆的一般方程阅读教材P 97至P 98“例1”以上内容，完成下列问题． 1．圆的一般方程的概念当D 2＋E 2－4F ＞0时，二元二次方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0叫做圆的一般方程． 2．圆的一般方程对应的圆心和半径圆的一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)表示的圆的圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2，半23．对方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0的说明判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)任何一个圆的方程都能写为一个二元二次方程．( ) (2)圆的一般方程和标准方程可以互化．( )(3)方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，－a ，半径为12－3a 2－4a ＋4的圆．( )(4)若点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0外，则x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0＋F >0.( ) 【解析】 (1)正确．圆的方程都能写成一个二元二次方程． (2)正确．圆的一般方程和标准方程是可以互化的．(3)错误．当a 2＋(2a )2－4(2a 2＋a －1)>0，即－2<a <23时才表示圆．(4)正确．因为点M (x 0，y 0)在圆外，所以⎝⎛⎭⎪⎫x 0＋D 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 0＋E 22>D 2＋E 2－4F 4，即x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0＋F >0.【答案】 (1)√ (2)√ (3)× (4)√[小组合作型](1)实数m 的取值范围； (2)圆心坐标和半径.【导学号：45722102】【精彩点拨】 (1)根据表示圆的条件求m 的取值范围； (2)将方程配方，根据圆的标准方程求解． 【自主解答】 (1)据题意知D 2＋E 2－4F ＝(2m )2＋(－2)2－4(m 2＋5m )＞0，即4m 2＋4－4m 2－20m ＞0，解得m ＜15，故m 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，15. (2)将方程x 2＋y 2＋2mx －2y ＋m 2＋5m ＝0写成标准方程为(x ＋m )2＋(y －1)2＝1－5m ， 故圆心坐标为(－m,1)，半径r ＝1－5m .解答该类型的题目，一般先看这个方程是否具备圆的一般方程的特征，当它具备圆的一般方程的特征时，再看它能否表示圆，此时有两种途径，一看D 2＋E 2－4F 是否大于零，二是直接配方变形，看方程等号右端是否为大于零的常数.[再练一题]1．下列方程各表示什么图形？若表示圆，求其圆心和半径． (1)x 2＋y 2＋x ＋1＝0；(2)x 2＋y 2＋2ax ＋a 2＝0(a ≠0)； (3)2x 2＋2y 2＋2ax －2ay ＝0(a ≠0)． 【解】 (1)∵D ＝1，E ＝0，F ＝1， ∴D 2＋E 2－4F ＝1－4＝－3＜0， ∴方程不表示任何图形． (2)∵D ＝2a ，E ＝0，F ＝a 2， ∴D 2＋E 2－4F ＝4a 2－4a 2＝0， ∴方程表示点(－a,0)．(3)两边同除以2，得x 2＋y 2＋ax －ay ＝0，D ＝a ，E ＝－a ，F ＝0，∵a ≠0，∴D 2＋E 2－4F ＝2a 2＞0，∴方程表示圆，它的圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，a2， 半径r ＝12D 2＋E 2－4F ＝22|a |.圆C 过点A (1,2)，B (3,4)，且在x 轴上截得的弦长为6，求圆C 的方程．【精彩点拨】 由条件，所求圆的圆心、半径均不明确，故设出圆的一般方程，用待定系数法求解．【自主解答】 设所求圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0. ∵圆过A (1,2)，B (3,4)，∴D ＋2E ＋F ＝－5， ① 3D ＋4E ＋F ＝－25.②令y ＝0，得x 2＋Dx ＋F ＝0.设圆C 与x 轴的两个交点的横坐标为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－D ，x 1x 2＝F .∵|x 1－x 2|＝6，∴(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝36， 即D 2－4F ＝36.③由 ①②③得D ＝12，E ＝－22，F ＝27，或D ＝－8，E ＝－2，F ＝7. 故所求圆的方程为x 2＋y 2＋12x －22y ＋27＝0，或x 2＋y 2－8x －2y ＋7＝0.如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用设圆的一般方程，再用待定系数法求D 、E 、F .[再练一题]2．已知A (2,2)，B (5,3)，C (3，－1)，求三角形ABC 的外接圆的方程． 【解】 设三角形ABC 外接圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2D ＋2E ＋F ＋8＝0，5D ＋3E ＋F ＋34＝0，3D －E ＋F ＋10＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－8，E ＝－2，F ＝12，即三角形ABC 的外接圆方程为x 2＋y 2－8x －2y ＋12＝0.[探究共研型]探究1 2倍，你能求出点M 的轨迹方程吗？【提示】 设M (x ，y )，则(x －8)2＋y 2＝2(x －2)2＋y 2，整理可得点M 的轨迹方程为x 2＋y 2＝16.探究2 已知直角△ABC 的斜边为AB ，且A (－1,0)，B (3,0)，请求出直角顶点C 的轨迹方程．【提示】 设AB 的中点为D ，由中点坐标公式得D (1,0)，由直角三角形的性质知，|CD |＝12|AB |＝2，由圆的定义知，动点C 的轨迹是以D (1,0)为圆心，以2为半径长的圆(由于A ，B ，C 三点不共线，所以应除去与x 轴的交点)．设C (x ，y )，则直角顶点C 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝4(x ≠3且x ≠－1)．已知△ABC 的边AB 长为4，若BC 边上的中线AD 为定长3，求顶点C 的轨迹方程．【精彩点拨】 先建立适当坐标系，求出BC 边上的中点D 满足的关系式，然后用动点C 的坐标表示出点D 的坐标，再代入点D 满足的关系式并化简即可．【自主解答】 以直线AB 为x 轴，AB 的中垂线为y 轴建立坐标系(如图)，则A (－2,0)，B (2,0)，设C (x ，y )，BC 中点D (x 0，y 0)．∴⎩⎪⎨⎪⎧2＋x 2＝x 0，0＋y 2＝y 0.①∵|AD |＝3，∴(x 0＋2)2＋y 20＝9. ②将①代入②，整理得(x ＋6)2＋y 2＝36. ∵点C 不能在x 轴上，∴y ≠0.综上，点C 的轨迹是以(－6,0)为圆心，6为半径的圆，去掉(－12,0)和(0,0)两点． ∴顶点C 的轨迹方程为(x ＋6)2＋y 2＝36(y ≠0)．求与圆有关的轨迹问题常用的方法1．直接法：根据题目的条件，建立适当的平面直角坐标系，设出动点坐标，并找出动点坐标所满足的关系式．2．定义法：当列出的关系式符合圆的定义时，可利用定义写出动点的轨迹方程． 3．相关点法：若动点P (x ，y )随着圆上的另一动点Q (x 1，y 1)运动而运动，且x 1，y 1可用x ，y 表示，则可将Q 点的坐标代入已知圆的方程，即得动点P 的轨迹方程．[再练一题]3．已知定点A (4,0)，P 点是圆x 2＋y 2＝4上一动点，Q 点是AP 的中点，求Q 点的轨迹方程．【解】 设Q 点坐标为(x ，y )，P 点坐标为(x ′，y ′)，则x ＝4＋x ′2且y ＝0＋y ′2，即x ′＝2x －4，y ′＝2y . 又P 点在圆x 2＋y 2＝4上，∴x ′2＋y ′2＝4，将x ′＝2x －4，y ′＝2y 代入得(2x －4)2＋(2y )2＝4， 即(x －2)2＋y 2＝1.故Q 点的轨迹方程为(x －2)2＋y 2＝1.1．圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0的圆心坐标是( ) A ．(2,3)B ．(－2,3)C ．(－2，－3)D ．(2，－3)【解析】 圆的方程化为(x －2)2＋(y ＋3)2＝13，圆心为(2，－3)，选D. 【答案】 D2．已知方程x 2＋y 2－2x ＋2k ＋3＝0表示圆，则k 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1)B ．(3，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(3，＋∞)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，＋∞ 【解析】 方程可化为：(x －1)2＋y 2＝－2k －2，只有－2k －2＞0，即k ＜－1时才能表示圆．【答案】 A3．若方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示以(2，－4)为圆心，4为半径的圆，则F ＝________. 【解析】 以(2，－4)为圆心，4为半径的圆的方程为(x －2)2＋(y ＋4)2＝16，即x 2＋y 2－4x ＋8y ＋4＝0，故F ＝4.【答案】 44．已知A ，B 是圆O ：x 2＋y 2＝16上的两点，且|AB |＝6，若以AB 为直径的圆M 恰好经过点C (1，－1)，则圆心M 的轨迹方程是________．【解析】 设圆心为M (x ，y )，由|AB |＝6知，圆M 的半径r ＝3，则|MC |＝3，即(x －1)2＋(y ＋1)2＝3，所以(x －1)2＋(y ＋1)2＝9. 【答案】 (x －1)2＋(y ＋1)2＝95．求经过三点A (1，－1)，B (1,4)，C (4，－2)的圆的一般方程.【导学号：45722103】【解】 设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，将A ，B ，C 三点的坐标代入方程整理可得⎩⎪⎨⎪⎧D －E ＋F ＝－2，D ＋4E ＋F ＝－17，4D －2E ＋F ＝－20，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－7，E ＝－3，F ＝2.故所求的圆的一般方程为x 2＋y 2－7x －3y ＋2＝0.。
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2.3.1 圆的标准方程
学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．圆心为(1，－2)，半径为3的圆的方程是( )
A．(x＋1)2＋(y－2)2＝9
B．(x－1)2＋(y＋2)2＝3
C．(x＋1)2＋(y－2)2＝3
D．(x－1)2＋(y＋2)2＝9
【解析】由圆的标准方程得(x－1)2＋(y＋2)2＝9.
【答案】 D
2．若圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2过原点，则( )
A．a2＋b2＝0
B．a2＋b2＝r2
C．a2＋b2＋r2＝0
D．a＝0，b＝0
【解析】由题意得(0－a)2＋(0－b)2＝r2，即a2＋b2＝r2.
【答案】 B
3．圆x2＋y2＝1上的点到点M(3,4)的距离的最小值是( )
A．1 B．4
C．5 D．6
【解析】圆心(0,0)到M的距离|OM|＝32＋42＝5，所以所求最小值为5－1＝4.
【答案】 B
4．若直线y＝ax＋b通过第一、二、四象限，则圆(x＋a)2＋(y＋b)2＝1的圆心位于( ) A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
【解析】(－a，－b)为圆的圆心，由直线经过第一、二、四象限，得到a＜0，b＞0，即－a＞0，－b＜0，再由各象限内点的坐标的性质得解，D正确．
【答案】 D
5．当a为任意实数时，直线(a－1)x－y＋a＋1＝0恒过定点C，则以C为圆心，5为半径的圆的方程为( )
A．(x－1)2＋(y＋2)2＝5
B ．(x ＋1)2＋(y ＋2)2
＝5 C ．(x ＋1)2
＋(y －2)2
＝5 D ．(x －1)2
＋(y －2)2
＝5
【解析】 直线方程变为(x ＋1)a －x －y ＋1＝0. 由⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＋1＝0，
－x －y ＋1＝0，
得⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝－1，y ＝2，
∴C (－1,2)，∴所求圆的方程为(x ＋1)2
＋(y －
2)2
＝5.
【答案】 C 二、填空题
6．已知A (－1,4)，B (5，－4)，则以AB 为直径的圆的标准方程是________． 【解析】 由题意知圆心坐标为⎝
⎛⎭⎪⎫－1＋52
，4－42，即(2,0)，半径为1
2 －1－5 2
＋ 4＋4 2
＝5，故所求圆的标准方程为(x －2)2
＋y 2
＝25. 【答案】 (x －2)2
＋y 2
＝25
7．若点P (5a ＋1,12a )在圆(x －1)2
＋y 2
＝1的外部，则a 的取值范围为________. 【解析】 ∵P 在圆外，∴(5a ＋1－1)2＋(12a )2>1,169a 2
>1，a 2>1169，∴|a |>113，即a >
113或a <－1
13
.
【答案】 a >113或a <－1
13
8．圆(x －1)2
＋(y －1)2
＝1上的点到直线x －y ＝2的距离的最大值是________． 【解析】 圆(x －1)2
＋(y －1)2
＝1的圆心为(1,1)，圆心到直线x －y ＝2的距离为|112|
1＋1＝2，圆心到直线的距离加上半径就是圆上的点到直线的最大距离，即最大距离为1＋ 2.
【答案】 1＋ 2 三、解答题
9．已知圆C 过点A (4,7)，B (－3,6)，且圆心C 在直线l ：2x ＋y －5＝0上，求圆C 的方程．
【解】 法一 设圆C ：(x －a )2
＋(y －b )2
＝r 2
(r >0)， ∵A ，B ∈圆C ，C ∈l ，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
4－a 2
＋ 7－b 2
＝r 2
， －3－a 2＋ 6－b 2＝r 2，2a ＋b －5＝0，
解得⎩⎪⎨⎪
⎧
a ＝1，
b ＝3，
r ＝5.
故圆C 的方程为(x －1)2＋(y －3)2
＝25.
法二 设圆C ：(x －a )2
＋(y －b )2
＝r 2
(r >0)，∵C ∈l ， ∴2a ＋b －5＝0，则b ＝5－2a ， ∴圆心为C (a,5－2a )． 由圆的定义得|AC |＝|BC |， 即 a －4 2
＋ 5－2a －7 2
＝ a ＋3 2
＋ 5－2a －6 2
.
解得a ＝1，从而b ＝3，即圆心为C (1,3)，半径r ＝|CA |＝ 4－1 2
＋ 7－3 2
＝5. 故圆C 的方程为(x －1)2
＋(y －3)2
＝25.
10．求圆⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －122
＋(y ＋1)2
＝54关于直线x －y ＋1＝0对称的圆的方程．
【解】 圆⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋(y ＋1)2
＝54的圆心为M ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，－1，
半径r ＝52.设所求圆的圆心为(m ，n )，
∵它与⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，－1关于直线x －y ＋1＝0对称，
∵⎩⎪⎨⎪⎧
n ＋1
m －12
×1＝－1，m ＋
1
22－n －12＋1＝0，
解得⎩⎪⎨⎪
⎧
m ＝－2，n ＝3
2
.
∴所求圆的圆心坐标为⎝
⎛⎭⎪⎫－2，32，半径r ＝52.
∴对称圆的方程是(x ＋2)2
＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322
＝54
.
[能力提升]
1．若直线x ＋y －3＝0始终平分圆(x －a )2
＋(y －b )2
＝2的周长，则a ＋b 等于( ) A ．3 B ．2 C ．5
D ．1
【解析】 由题可知，圆心(a ，b )在直线x ＋y －3＝0上，所以a ＋b －3＝0，即a ＋b ＝3，故选A.
【答案】 A
2．已知两点A (－1,0)，B (0,2)，点P 是圆(x －1)2
＋y 2
＝1上任意一点，则△PAB 面积的最大值与最小值分别是( )
A ．2，1
2(4－5)
B.12(4＋5)，1
2(4－5) C.5，4－ 5
D.12(5＋2)，1
2
(5－2) 【解析】 点A (－1,0)，B (0,2)所在的直线方程为2x －y ＋2＝0，圆(x －1)2
＋y 2
＝1的圆心到直线的距离为
|2－0＋2|
22＋ －1 2
＝455，又|AB |＝5，所以△PAB 面积的最大值为1
2×5×⎝
⎛⎭⎪⎫455＋1＝12(4＋5)，最小值为12×5×⎝ ⎛⎭⎪⎫455－1＝1
2(4－5)，选B.
【答案】 B
3．已知圆C 经过A (5,1)，B (1,3)两点，圆心在x 轴上，则圆C 的方程为________． 【解析】 设圆C 的方程为(x －a )2
＋y 2
＝r 2
(r >0)，
则⎩⎪⎨⎪⎧
5－a 2
＋1＝r 2
，
1－a 2＋9＝r 2
，
解得⎩
⎪⎨⎪⎧
a ＝2，r 2
＝10.
所以圆C 的方程为(x －2)2
＋y 2
＝10. 【答案】 (x －2)2
＋y 2
＝10
4．设P (0,0)，Q (5,0)，R (0，－12)，求△PQR 的内切圆的方程和外接圆的方程. 【解】 |PQ |＝5，|PR |＝12，|QR |＝13， ∴|PQ |2
＋|PR |2
＝|QR |2，
∴△PQR 为直角三角形，且∠P 为直角， ∴内切圆的半径r 1＝5＋12－132＝2，
圆心为C 1(2，－2)．
∴内切圆的方程为(x －2)2
＋(y ＋2)2
＝4. ∵外接圆的半径r 2＝13
2
，
圆心为C 2⎝ ⎛⎭
⎪⎫52，－6， ∴外接圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －522
＋(y ＋6)2
＝1694.。