高中数学-圆的标准方程教案
人教版高中数学《圆的标准方程》教学设计
课题：“圆的标准方程”教材：高中数学第二册（上册）第七章《直线和圆的方程》中的第六节“圆的方程”的第一课时一、教材分析在学习了“曲线与方程“之后，作为一般曲线典型的例子，安排了本节的“圆的方程”圆是学生比较熟悉的曲线，在初中曾经学习过圆的有关知识，本节内容是在初中所学知识及前几节内容的基础上，进一步运用解析法研究圆的方程，圆与其他图形的位置关系及其应用同时，由于圆也是特殊的圆锥曲线，因此，学习了圆的方程，就为后面学习其它圆锥曲线的方程奠定了基础也就是说，本节内容在教材体系中起到承上启下的作用，具有重要的地位，在许多实际问题中也有着广泛的应用同时，由于“圆的方程”一节内容的基础性和应用的广泛性，对圆的标准方程和一般方程的要求层次是“掌握”。
遵循从特殊到一般的原则，只有把圆的标准方程学透了，再过渡到学圆的一般方程也就不难了，它们可以通过形式上的互相转化而解决。
可见圆的标准方程在“圆的方程”一节中非常重要。
依照大纲，本节分为三个课时进行教学第一课时讲解圆的标准方程结合本节的内容的特点，和对学生的初步了解，我准备将这个课时分解为两个课时来完成。
第一课时主要是以轨迹思想探讨圆的标准方程，再以待定系数法求解圆方程为核心，让学生从中去体会数与形之间的关系，强化数形结合思想的运用。
二、学情分析此前，学生已经学习了“曲线的方程”和“方程的曲线”、直线方程等内容，对运用代数的方法来解决几何的问题（即解析法）有了一定的了解。
现在要运用解析法来研究另一种（学生熟悉的）几何图形——圆，自然是水到渠成，对学生而言难度不会太大。
因此老师在教学中可以大胆的引导学生独立自主的去探索、发现所要学习的知识。
学生对待定系数法的运用会感到困难，因为圆的标准方程中的三个参数a，b，r （尤其是r）的给出形式变化很多，再加上学生对圆的许多几何性质可能都忘记了，不能灵活运用几何性质优化运算，所以通过对“待定系数法”的讲解，一方面可以复习圆的一些主要性质；另一方面还可以对代数法与几何法进行比较，使学生从中数与形的和谐美。
高中数学圆的标准方程教案 高中数学圆与方程教案三
高中数学圆的标准方程教案高中数学圆与方程教案三高中数学圆的标准方程教案高中数学圆与方程教案篇七一、具体目标：1.获得必要的数学基础知识和基本技能，理解基本的数学概念、数学结论的本质，了解概念、结论等产生的背景、应用，体会其中所蕴涵的数学思想和方法，以及它们在后续学习中的作用。
通过不同形式的自主学习、探究活动，体验数学发现和创造的历程。
2.提高空间想像、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理等基本能力。
3.提高数学地提出、分析和解决问题(包括简单的实际问题)的能力，数学表达和交流的能力，发展独立获取数学知识的能力。
4.发展数学应用意识和创新意识，力求对现实世界中蕴涵的一些数学模式进行思考和作出判断。
5.提高学习数学的兴趣，树立学好数学的信心，形成锲而不舍的钻研精神和科学态度。
6.具有一定的数学视野，逐步认识数学的科学价值、应用价值和文化价值，形成批判性的思维习惯，崇尚数学的理性精神，体会数学……二、本学期要达到的教学目标1.双基要求：在基础知识方面让学生掌握高一有关的概念、性质、法则、公式、定理以及由其内容反映出来的数学思想和方法。
在基本技能方面能按照一定的程序与步骤进行运算、处理数据、能使用计数器及简单的推理、画图。
2.能力培养：能运用数学概念、思想方法，辨明数学关系，形成良好的思维品质;会根据法则、公式正确的进行运算、处理数据，并能根据问题的情景设计运算途径;会提出、分析和解决简单的带有实际意义的或在相关学科、生产和生活的数学问题，并进行交流，形成数学的意思;从而通过独立思考，会从数学的角度发现和提出问题，进行探索和研究。
3.思想教育：培养高一学生，学习数学的兴趣、信心和毅力及实事求是的科学态度，勇于探索创新的精神，及欣赏数学的美学价值，并懂的数学来源于实践又反作用于实践的观点;数学中普遍存在的对立统一、运动变化、相互联系、相互转化等观点。
高中数学圆的标准方程教案高中数学圆与方程教案篇八高一下学期数学教学计划精选本学期担任高一(9)(10)两班的数学教学工作，两班学生共有120人，初中的基础参差不齐，但两个班的学生整体水平不高;部分学生学习习惯不好，很多学生不能正确评价自己，这给教学工作带来了一定的难度，为把本学期教学工作做好，制定如下教学工作计划。
圆的方程教案
合用学科合用地区知识点教课目的高中数学合用年级高二人教版地区课不时长（分钟） 2 课时1.圆的标准方程及其求法2.圆的一般方程及其特色3.圆的一般方程的求法4.点与圆的地点关系1.掌握确立圆的几何因素,掌握圆的标准方程与圆的一般方程.2.会依据条件求圆的标准方程和一般方程.教课要点教课难点圆的标准方程与圆的一般方程的理解;依据条件求圆的标准方程和一般方程.依据条件求圆的标准方程和一般方程.【教课建议】在初中，学生们就学过圆及它的一些性质和定理的应用，高中则进一步学习圆的方程。
是学生系统学习直线方程后的平面分析几何基础部分的第二个知识点，为下一步学习平面解析几何其余部分确立基础.对于圆的方程，学生的学习困难主要在解题思想方面：第一将几何问题代数化，用代数的语言描绘几何因素及其关系，从而将几何问题转变为代数问题 ;办理代数问题；剖析代数问题的几何含义，最后解决几何问题。
这类思想贯串平面分析几何解题教课的一直，而代数法和几何法大多会同时出此刻一道题的解法中，开始学惯用代数法和几何法解决问题，这样的转变对高一的学生是比较困难的；帮助学生不停地体会“数形联合”的思想方法.【知识导图】教课过程一、导入【教课建议】导入是一节课必备的一个环节，是为了激发学生的学习兴趣，帮助学生赶快进入学习状态。
导入的方法好多，仅举两种方法：①情境导入，比方讲一个和本讲内容有关的生活现象；②温故知新，在知识系统中，从学生已有知识下手，揭露本节知识与旧知识的关系，帮学生成立知识网络。
供给一个教课方案供讲课老师参照：1、复习预习（1）初中圆的定义（2）两点间的距离公式两点 p1(x1, y1), p2 ( x2 , y2 ) 间距离公式：2、察看引入同学们 , 我们知道直线能够用一个方程表示, 那么 , 圆能够用一个方程表示吗?圆的方程如何来求呢 ?这就是本堂课的主要内容.设计企图：由初中知识自然过分到今日要学的知识，对初中知识进行深入，激起学生新的认知矛盾，从而调换学生踊跃性.3、步步深入问题1：已知两点 A 2,-5 ,B 6,9 ,如何求它们之间的距离?若已知C 3,-8 , D x, y , 又如何求它们之间的距离?问题 2：拥有什么性质的点的轨迹称为圆?问题 3：图中哪个点是定点？哪个点是动点?动点拥有什么性质?圆心和半径都反应了圆的什么特色 ?设计企图：经过启迪式发问, 实现学生从图形语言到文字语言到符号语言多方面研究圆, 实现“形”到“数”的变换, 从而会用方程形式来描绘圆.二、知识解说【考教点学建1议】圆通的过方前途面的指引，获得圆的标准方程；获得标准方程后，能够让学生自己来推出经过配方和拆方将一般方程和标准方程互相转变：(1)标准方程： x2y2r 2 a b此中圆心为 (a, b)，半径为r.特别地，以原点为圆心，半径为r r0的圆的标准方程为 x2y2r 2.(2)一般方程： x 2y2Dx Ey F0 .此中圆心为 (D , E) , 半径为 r1 D2 E 2 4F . 222DE22E24F2y 2Dx Ey F 0 可变形为 ( x2D, 故有：方程 x2 )y42当 D 2 E 24F 0 时，方程表示以D ,E 为圆心， r D 2 E 24F 为半径的2 22 圆；当 D 2 E 2 4F 0 时，方程表示一个点；当 D 2E 24F0 时，方程不表示任何图形．考点 2点与圆的地点关系P x 0 , y 0 与圆 xa 2y2br 2 r 0 的地点关系(1) 若 x 02y 0 b22 , 则点 P 在圆外； ar若 x 02y 0 b 22 ，则点 P 在圆上；(2) ar若 x 0 2y 0 b22 ，则点 P 在圆内．(3) a r 三 、例题精析种类一 圆的标准方程例题 1依据以下条件，求圆的方程：(1) 经过 A 6,5 , B 0,1 两点，并且圆心在直线 3x 10 y 9 0 上；(2) 经过 P 2,4 ,Q 3, 1 两点，并且在x 轴上截得的弦长等于 6.【分析】 (1)∵ AB 的中垂线方程为3x 2y 15 0 ，由 3x2 y 15 0 ， 3x 10y 9 0 ，解得 x7, y3∴圆心为 C 7,3 ,又CB65 ，x 72265,故所求圆的方程为 y 3(2) 设圆的方程为 x 2y 2 Dx Ey F 0 ，将 P 、Q 点的坐标分别代入，得2D 4E F 20 3D EF①②又令 y0 ，得 x 2Dx F 0 . ③设 x1、x2是方程③的两根，由 x1 x26有D24F36.④由①、②、④解得D2, E4, F8 或 D6, E8, F0故所求圆的方程为x2y 22x 4 y8 0 或 x2y26x 8y0 .【总结与反省】求圆的方程时，应依据条件采用适合的圆的方程．一般来说，求圆的方程有两种方法：①几何法，经过研究圆的性质从而求出圆的基本量．②代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解种类二圆的一般方程例题 1已知平面上三个定点A1,0，B3,0，C1,4．求经过 A 、 B 、C三点的圆的方程．已知三点A 1,3 , B4,2,C1,7 ，则ABC外接圆的圆心到原点的距离为（）【答案】 D【分析】设圆的方程为x2y2Dx Ey F0(D 2 E 24F 0),圆M过三点10d3e f0A 1,3, B4,2 ,C 1, 7, 可得204d2e f0 解方程可得50d7e f0D2, E4,F20 ，即圆的方程为x2y22x4y0 ，即为x 12225,圆心1,2 5 .y 2到原点的距离为应选 D.【总结与反省】确立圆的方程主要方法是待定系数法, 大概步骤为：(1)依据题意，选择标准方程或一般方程；(2)依据条件列出对于 a,b, r 或 D , E, F 的方程组；(3)解出 a, b, r 或 D, E, F 代入标准方程或一般方程．种类三圆的几何性质例题 122假如实数 x, y 知足方程 x 3y 36,求：( 1)y的最大值与最小值 ;(2)xy 的最大值与最小值．x【分析】 (1) 设方程2y 2x 3 36 所表示的圆 C 上的随意一点 P x, y ．y的几何意义就是直线 OP 的斜率 ,x设yk , 则直线 OP 的方程为 y kx .x由图①可知，当直线 OP 与圆相切时，斜率取最值．所以点 C 到直线 ykx 的距离 d3k 36 ,k 2 =1即 k 32 2 时，直线 OP 与圆相切．所以 y的最大值与最小值分别是3 2 2 与 3 2 2 .x(2) 设 xy b , 则 y x b , 由图②知 , 当直线与圆 C 相切时 , 截距 b 取最值 . 而圆心 C 到直线 yx b 的距离为 d 6 b.26 b6 ，即 b6 2 3 时，直线 yx b 与圆 C 相切 , 所以 x y 的最因为当2大值与最小值分别为6 23与6 2 3.【总结与反省 】与圆有关的最值问题, 常有的有以下几种种类:(1 ) 形如 u y bx a 形式的最值问题 , 可转变为动直线斜率的最值问题； (2) 形如 tax by 形式的最值问题 , 可转变为动直线截距的最值问题；22(3) 形如 x a y b 形式的最值问 题，可转变为动点到定点的距离的平方的最值问题．种类四 点与圆的地点关系例题 2求过两点 A 1,4 ,B3,2 且圆心在直线y0 上的圆的标准方程 , 并判断点 P 2,4 与圆的关系 .【分析】设圆的标准方程为 2y22 ,x abr y 0b 022r2. .∴ 圆的方程为x ay∵该圆过 A 1,4 , B 3,2两点，∴解之得 a1,r 220 .∴所求圆的方程为x 1 2y220.将P 2,4代入圆方程得 2 1 2422520P在圆外【总结与反省】合理的使用待定系数法例题 22点 P 5a1,12a 在圆 x 1 1 的内部，则a的取值范围是()y2【答案】Ｄ【分析】∵P在圆的内部，∴P到圆心的距离小于半径.∴(5a)2(12a)21,1a11313【总结与反省】 P x0 , y0与圆 x2y2r 2r0a b的地点关系(1) 若x02y0b22, 则点P在圆外；a r(2) 若x02y0b22，则点 P 在圆上；a r(3) 若x02y0b22，则点 P 在圆内．a r例题 32y k 2k (k0) 相切,则k的取值范围若过点3,1 总能够作两条直线和圆x 2k 是（）.【答案】 D3,1x2k 2y k2【分析】若过点总能够作两条直线和圆k(k 0) 相切，3,12y k20) 外.则点在圆x 2k k (k所以圆 321k20) ,解得k 1 或 k 2 . 2k k( k又 k0, 所以 k的取值范围是0,1 U 2,.应选 D.【总结与反省】这个题目观察的是点和圆的地点关系的应用:点在圆上能作圆的一条切线，点在圆外能够作圆的两条切线;点在圆外，则将点坐标代入方程大于O 即可；点在圆内，则将点坐标代入方程，小于O即可.种类五轨迹方程例题 1方程 (x y2 2 y 8) x y 0 表示的曲线为（）A. 一条直线和一个圆B.一条线段与半圆C .一条射线与一段劣弧D .一条线段与一段劣弧【答案】 D【分析】∵ (x y22y 8) x y 0,∴ x y22y 8 或x y 0 2 y 4 ,∴ x2y 1 29 x 0 或x y 2 y 4 ．应选 D ．【总结与反省】曲线与方程. “数形联合”的思想要逐渐转变.长为例题 2的线段AB的两个端点 A 和 B 分别在x轴和y轴上滑动，求线段AB的中点的轨迹2 a方程．【答案】 x2y2a2【分析】点M 运动时，到原点的距离为定长，即Rt△ AOB 斜边上的中线长．因为 AB 2 a ，即点M M | OM a ，所以点 M 的轨迹是以O为圆心，a为半径长的圆．依据圆的标准方程，点M 的轨迹方程为x2y2a2．【总结与反省】曲线与方程. 该题观察的是圆的定义.【教课建议】曲线和方程方面，可加入一些简单的求轨迹方程的方法，如有关点法，为下一步学习平面分析几何做准备 .四、讲堂运用基础1.在平面直角坐标系中,经过三点0,0 ,1,1, 2,0的圆的方程为__________．2.已知圆 x2 y2 4x my 4 0 有两点对于直线l :2 x 2 y m 0对称，则圆的半径是__________．223. P 1,1到圆x 4y 51 上的随意点的最大距离是__________．4.求圆心在直线3x y 50上 , 并且经过原点和点3,1 的圆的方程．答案与分析1.【答案】 x2y22x0【分析】设圆的方程为x2y2Dx Ey F 0,圆经过三点0,0 , 1,1 , 2,0 ,则：F0D21 1 D E F0,解得E0402DF0F0则圆的方程为 x2y 2 2 x0 .【总结与反省】求圆的方程，主要有两种方法：(1)几何法：详细过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理．如：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；②圆心在随意弦的中垂线上；③两圆相切时，切点与两圆心三点共线．(2)待定系数法：依据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出有关量．一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，不然，选择一般式．无论是哪一种形式，都要确立三个独立参数，所以应当有三个独立等式．2.【答案】 3【分析】圆 x2y24x my 4 0 的圆心坐标为2,m2∵圆 x2y24x my40有两点对于直线 l : 2x2y m0 对称∴将 2, m代入直线 l : 2x 2 y m 0可得 4 m m0 ,m 2 . 2∴圆 x2y24x my 40 为 ( x 2) 2( y 1)29∴圆的半径是33.【答案】 6【分析】设圆心为O,O4,5,∴ P 到圆的最大距离为OP r 5164. 【答案】( x 1)2( y2) 25【分析】设所求圆的方程为( x a) 2( y b) 2r 2．a2b2r 2由已知 ,得a32b2r 213a b 5 0解此方程组，得a1,b2, r 2 5 ．所以 , 经过原点和点3,1，并且圆心在直线 3x y50上的圆的方程是 ( x 1)2( y2) 25稳固1. 直线x y20分别与 x 轴，y轴交于A, B两点，点P在圆 (x 2)2y22上，则ABP 面积的取值范围是（）2. 已知圆的方程为x2y26x8 y 16 0，设该圆过点3,5的最长弦和最短弦分别为 AC 和BD，则四边形 ABCD的面积为（）3.已知A3,0 ,B0,4,点C在圆2y2 1 上运动，若ABC 的面积的最小值x m为5, 实数m的值为（）24. P为圆x2y2 1 上的动点，则点 P 到直线3x4y100的距离是最小值为（）．5. 已知椭圆x2y21 的左右焦点分别为F1、F2，过 F1的直线 l1与过 F2的直线 l 2交于点32P ，设 P 点的坐标x0 , y 0，若 l1l2，则以下结论中不正确的选项是（）答案与分析1. 【答案】A.【分析】直线 x y20分别与 x 轴，y轴交于A, B两点A 2,0 ,B 0,2,则AB22Q 点 P 在圆 x22y2 2 上2,02022圆心为,则圆心到直线距离d122故点 P 到直线x y20的距离d2的范围为2，22 3则 SABP 1AB d2d22,6 22故答案选 A.2. 【答案】A.x 223，4, 半径是 3, 圆心到点【分析】圆的方程可化为3y 49 ,故该圆圆心是3，5的距离为 1, 依据题意 , 知最短弦BD和最长弦 ( 即圆的直径 )AC垂直 ,且BD23214 2 ,AC6, 所以四边形 ABCD 的面积为1AC BD1642122,22应选 A.3.【答案】 D.【分析】直线 AB : xy1，即 4x 3 y120 34若ABC 的面积最小，则点 C 到直线AB的距离 d 最短，dmin 4m12ABC 的面积的最小值为 5 ，1,又52∴ 154m 125即 4m12101252应选： D.【总结与反省】当直线与圆相离时，常常波及圆上点到直线的距离的最值问题，方法为：过圆心向直线作垂线，与圆交于两点，这两点到直线的距离即最大值与最小值.4.【答案】 C.【分析】由已知得圆的圆心为0,0 ，半径为1，圆心到直线3x4y100 的距离d10211 ．2 1，直线与圆相离，故圆上的点到直线的最小距离为3242应选 C.5.【答案】 A.【分析】Q l1l2 ,x0 , y0在以F1F2为直径的圆上，圆心坐标为0,0，半径为 c 1 ，Q c 23,x0, y0x02y02x02y02在椭圆内，必定有 1 ，故31不正确，322应选 A.拔高1. 在长方体ABCD A B C D中,已知底面 ABCD 为正方形,P为 A D的中点，AD 2, AA1 3 ,点 Q 是正方形ABCD所在平面内的一个动点，且QC2QP ,则线段 BQ 的长度的最大值为___.2. 已知圆O : x2y 225 ,圆 O1的圆心为O1m,0,圆O与圆O1交于点P 3,4，过点P 3,4且斜率为 k k 0的直线 l 分别交圆 O 、圆 O1于点A, B．（1）若k1且BP7 2 ，求圆O1的方程；（2）过点P作垂直于l的直线l1分别交圆O、圆O1于点C, D，当m为常数时，试判断22AB CD 能否为定值？假如，求出这个定值；若不是，请说明原因．3. 已知z C , z2 1 ，则 z 2 5i的最大值和最小值分别是（）A.411和411B.3和1C.5 2和34 D .39和34. 已知正ABC的边长为2 3 ，在平面ABC中，动点 P,M 知足 AP 1,M是 PC的中点，则线段 BM 的最小值为（）答案与分析1. 【答案】 6【分析】如图（ 1）所示，取AD的中点为D，连结SQ，则 PS平面 ABCD，因 SQ平面 ABCD，所以 PS SQ，所以PQ2PS 2SQ2，也就是1QC23SQ2，如图（2）所示，把正方形ABCD搁置在平面直角坐标系中，2S 0,1，C2,2，设 Q x, y x 22y262x22，则2 2 y 1，整理得 x2y24x0 ，也就是圆x2y2 4 ，故BQ的最大值为 6 . 2图（ 1）图（ 2）【总结与反省】QC2QP 是空间中的两条线段之间的关系，经过AD 的中点S能够转变到同一平面上QS与 QC 的关系，再把正方形ABCD搁置在平面直角坐标系中，经过研究 Q的轨迹(是圆)获得 BQ的最大值.2. 【答案】（ 1）x2y2137 ；（2）定值为 4m2. 14【分析】（ 1） k1 时，直线 l 的方程为 x y 1 0 ，m 22由 BP7 2 ，得17 22 2 ，解得 m 14或m2m342因为 m 0 ，所以 m 14即圆 O 1 的方程为 x 142137y 2 （2）直线 l 的方程为 y 4 k x3x 2 y 225消去 y 得： 1 k2x28k 6k 2 x 9k2k 9 0由4 k x3 y1 替代上式中的24m 24m 2 k 2因为直线 l 1 垂直于 l ，所以用k ，得 CD21 k 2k11k2CD 2所以 AB=4m 2 。
高中数学学案 圆的标准方程
4.1 圆的方程4.1.1 圆的标准方程学习目标核心素养1.会用定义推导圆的标准方程；掌握圆的标准方程的特点．(重点) 2．会根据已知条件求圆的标准方程．(重点、难点)3．能准确判断点与圆的位置关系．(易错点) 通过对圆的标准方程的学习,提升直观想象、逻辑推理、数学运算的数学素养.1．圆的标准方程(1)圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆,定点称为圆心,定长称为圆的半径．(2)确定圆的基本要素是圆心和半径,如图所示．(3)圆的标准方程：圆心为A(a,b),半径长为r的圆的标准方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2．当a＝b＝0时,方程为x2＋y2＝r2,表示以圆点O为圆心、半径为r的圆．思考：平面内确定圆的要素是什么？[提示]圆心坐标和半径．2. 点与圆的位置关系设点P到圆心的距离为d,半径为r.d与r的大小点与圆的位置d<r 点P在圆内d＝r 点P在圆上d>r 点P在圆外1．圆(x－2)2＋(y＋3)2＝2的圆心和半径分别是( )A．(－2,3),1 B．(2,－3),3C．(－2,3), 2 D．(2,－3), 2D [由圆的标准方程可得圆心为(2,－3),半径为 2.] 2．以原点为圆心,2为半径的圆的标准方程是( ) A ．x 2＋y 2＝2B ．x 2＋y 2＝4 C ．(x －2)2＋(y －2)2＝8D ．x 2＋y 2＝ 2B [以原点为圆心,2为半径的圆,其标准方程为x 2＋y 2＝4.] 3．点P(m,5)与圆x 2＋y 2＝24的位置关系是( ) A ．在圆外 B ．在圆内 C ．在圆上D ．不确定A [∵m 2＋25＞24,∴点P 在圆外．]4．点(1,1)在圆(x ＋2)2＋y 2＝m 上,则圆的方程是________．(x ＋2)2＋y 2＝10 [因为点(1,1)在圆(x ＋2)2＋y 2＝m 上,故(1＋2)2＋12＝m,∴m ＝10.即圆的方程为(x ＋2)2＋y 2＝10.]求圆的标准方程【例1】 求过点A(1,－1),B(－1,1)且圆心在直线x ＋y －2＝0上的圆的方程．思路探究：法一：利用待定系数法,设出圆的方程,根据条件建立关于参数方程组求解；法二：利用圆心在直线上,设出圆心坐标,根据条件建立方程组求圆心坐标和半径,从而求圆的方程；法三：借助圆的几何性质,确定圆心坐标和半径,从而求方程．[解] 法一：设所求圆的标准方程为 (x －a)2＋(y －b)2＝r 2,由已知条件知⎩⎪⎨⎪⎧（1－a ）2＋（－1－b ）2＝r 2，（－1－a ）2＋（1－b ）2＝r 2，a ＋b －2＝0，解此方程组,得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1，r 2＝4.故所求圆的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4. 法二：设点C 为圆心,∵点C 在直线x ＋y －2＝0上, ∴可设点C 的坐标为(a,2－a)． 又∵该圆经过A,B 两点, ∴|CA|＝|CB|.∴（a －1）2＋（2－a ＋1）2＝（a ＋1）2＋（2－a －1）2, 解得a ＝1.∴圆心坐标为C(1,1),半径长r ＝|CA|＝2. 故所求圆的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4. 法三：由已知可得线段AB 的中点坐标为(0,0), k AB ＝1－（－1）－1－1＝－1,所以弦AB 的垂直平分线的斜率为k ＝1,所以AB 的垂直平分线的方程为y －0＝1·(x－0), 即y ＝x.则圆心是直线y ＝x 与x ＋y －2＝0的交点,由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，x ＋y －2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1， 即圆心为(1,1),圆的半径为（1－1）2＋[1－（－1）]2＝2, 故所求圆的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4.确定圆的方程的方法：确定圆的标准方程就是设法确定圆心C(a,b)及半径r,其求解的方法：一是待定系数法,如法一,建立关于a,b,r 的方程组,进而求得圆的方程；二是借助圆的几何性质直接求得圆心坐标和半径,如法二、法三．一般地,在解决有关圆的问题时,有时利用圆的几何性质作转化较为简捷．1．求下列圆的标准方程： (1)圆心是(4,0),且过点(2,2)；(2)圆心在y 轴上,半径为5,且过点(3,－4)；(3)过点P(2,－1)和直线x －y ＝1相切,并且圆心在直线y ＝－2x 上． [解] (1)r 2＝(2－4)2＋(2－0)2＝8, ∴圆的标准方程为(x －4)2＋y 2＝8.(2)设圆心为C(0,b),则(3－0)2＋(－4－b)2＝52, ∴b ＝0或b ＝－8,∴圆心为(0,0)或(0,－8),又r ＝5, ∴圆的标准方程为x 2＋y 2＝25或x 2＋(y ＋8)2＝25. (3)∵圆心在y ＝－2x 上,设圆心为(a,－2a), 设圆心到直线x －y －1＝0的距离为r. ∴r ＝|a ＋2a －1|2,① 又圆过点P(2,－1),∴r 2＝(2－a)2＋(－1＋2a)2,②由①②得⎩⎨⎧a ＝1，r ＝2或⎩⎨⎧a ＝9，r ＝132，∴圆的标准方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝2或(x －9)2＋(y ＋18)2＝338.点与圆的位置关系【例2】 已知圆心为点C(－3,－4),且经过原点,求该圆的标准方程,并判断点P 1(－1,0),P 2(1,－1),P 3(3,－4)和圆的位置关系．[解] 因为圆心是C(－3,－4),且经过原点, 所以圆的半径r ＝（－3－0）2＋（－4－0）2＝5, 所以圆的标准方程是(x ＋3)2＋(y ＋4)2＝25.因为|P 1C|＝（－1＋3）2＋（0＋4）2＝4＋16＝25<5, 所以P 1(－1,0)在圆内；因为|P 2C|＝（1＋3）2＋（－1＋4）2＝5, 所以P 2(1,－1)在圆上；因为|P 3C|＝（3＋3）2＋（－4＋4）2＝6>5, 所以P 3(3,－4)在圆外．1．判断点与圆的位置关系的方法(1)只需计算该点与圆的圆心距离,与半径作比较即可；(2)把点的坐标代入圆的标准方程,判断式子两边的符号,并作出判断． 2．灵活运用若已知点与圆的位置关系,也可利用以上两种方法列出不等式或方程,求解参数范围．2．已知点A(1,2)不在圆C ：(x －a)2＋(y ＋a)2＝2a 2的内部,求实数a 的取值范围． [解] 由题意,点A 在圆C 上或圆C 的外部, ∴(1－a)2＋(2＋a)2≥2a 2, ∴2a ＋5≥0,∴a ≥－52.∵a≠0,∴a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－52， 0∪(0,＋∞)．与圆有关的最值问题[探究问题]1．怎样求圆外一点到圆的最大距离和最小距离？[提示] 可采用几何法,先求出该点到圆心的距离,再加上或减去圆的半径,即可得距离的最大值和最小值．2．若点P(x, y)是圆C ：(x －2)2＋(y ＋2)2＝1上的任一点,如何求点P 到直线x －y ＝0的距离的最大值和最小值？[提示] 可先求出圆心(2,－2)到直线x －y ＝0的距离,再将该距离加上或减去圆的半径1,即可得距离的最大值和最小值．【例3】 已知x 和y 满足(x ＋1)2＋y 2＝14,试求x 2＋y 2的最值．思路探究：首先观察x 、y 满足的条件,其次观察所求式子的几何意义,求出其最值．[解] 由题意知x 2＋y 2表示圆上的点到坐标原点距离的平方,显然当圆上的点与坐标原点的距离取最大值和最小值时,其平方也相应取得最大值和最小值．原点O(0,0)到圆心C(－1,0)的距离d ＝1,故圆上的点到坐标原点的最大距离为1＋12＝32,最小距离为1－12＝12.因此x 2＋y 2的最大值和最小值分别为94和14.1．本例条件不变,试求yx的取值范围．[解] 设k ＝y x ,变形为k ＝y －0x －0,此式表示圆上一点(x, y)与点(0, 0)连线的斜率,由k ＝y x ,可得y ＝kx,此直线与圆有公共点,圆心到直线的距离d≤r ,即|－k|k 2＋1≤12,解得－33≤k≤33.即y x 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33. 2．本例条件不变,试求x ＋y 的最值．[解] 令y ＋x ＝b 并将其变形为y ＝－x ＋b,问题转化为斜率为－1的直线在经过圆上的点时在y 轴上的截距的最值．当直线和圆相切时在y 轴上的截距取得最大值和最小值,此时有|－1－b|2＝12,解得b ＝±22－1,即最大值为22－1,最小值为－22－1.与圆有关的最值问题的常见类型及解法：(1)形如u ＝y －bx －a 形式的最值问题,可转化为过点(x, y)和(a, b)的动直线斜率的最值问题．(2)形如l ＝ax ＋by 形式的最值问题,可转化为动直线y ＝－a b x ＋lb截距的最值问题．(3)形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题,可转化为动点(x, y)到定点(a, b)的距离的平方的最值问题．1．确定圆的方程主要方法是待定系数法,即列出关于a,b,r的方程组求a,b,r或直接求出圆心(a,b)和半径r.另依据题意适时运用圆的几何性质解题可以化繁为简,提高解题效率．2．讨论点与圆的位置关系可以从代数特征(点的坐标是否满足圆的方程)或几何特征(点到圆心的距离与半径的关系)去考虑,其中利用几何特征较为直观、简捷．3．与圆有关的最值问题,常借助于所求式的几何意义,利用数形结合的思想解题,渗透着直观形象的数学素养．1．圆心为(0,4),且过点(3,0)的圆的方程为( )A．x2＋(y－4)2＝25 B．x2＋(y＋4)2＝25C．(x－4)2＋y2＝25 D．(x＋4)2＋y2＝25A[由题意,圆的半径r＝（0－3）2＋（4－0）2＝5,则圆的方程为x2＋(y－4)2＝25.]2．设P是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点,Q是直线x＝－3上的动点,则|PQ|的最小值为( ) A．6 B．4 C．3 D．2B[由题意,知 |PQ|的最小值即为圆心到直线x＝－3的距离减去半径长,即|PQ|的最小值为6－2＝4,故选B.]3．经过原点,圆心在x轴的负半轴上,半径为2的圆的方程是________．(x＋2)2＋y2＝4 [由题意知,圆心是(－2,0),半径是2,所以圆的方程是(x＋2)2＋y2＝4.]4．点(5a＋1,a)在圆(x－1)2＋y2＝26的内部,则a的取值范围是________．[0,1)[由于点在圆的内部,所以(5a＋1－1)2＋(a)2＜26,即26a＜26,又a≥0,解得0≤a＜1.] 5．△ABC的三个顶点的坐标分别为A(1,0),B(3,0),C(3,4),求△ABC的外接圆方程．[解]易知△ABC是直角三角形,∠B＝90°,所以圆心是斜边AC的中点(2,2),半径是斜边长的一半,即r＝5,所以外接圆的方程为(x－2)2＋(y－2)2＝5.。
人教A版高中数学必修二《圆的标准方程》教学设计
一、内容及其解析
本节课的教学内容是圆的标准方程，圆是平面解析几何中重要的几何模型，是研究圆锥曲线与方程的重要基础.
坐标法不仅是研究几何问题的重要方法，而且是一种广泛应用于其他领域的重要数学方法。通过建立平面直角坐标系,把点和坐标、曲线和方程联系起来.因此在教学过程中，要始终贯穿坐标法中一重要思想,在学习圆与方程这一章节后,使学生初步形成坐标法的基本思想和步骤.用坐标法解决几何问题时,先用坐标和方程表示相应的几何元素:点、直线、圆；然后对坐标和方程进行代数运算；最后将代数运算结果“翻译”成相应的几何结论。
解此方程组,得
所以 的外接圆的方程是
练习2：已知圆心为 的圆经过点 ，且圆心 在直线 上，求圆心为 的圆的标准方程.
设计意图：进一步强化圆的标准方程的运用，使学生在不同的背景中熟悉常见的几何模型，能根据题设条件选择适当的方法来解决问题.
师生活动：激活学生思维，借助图形，让学生分析题设的几何特征，描述本题的算法，教师同步展示解答过程.启发引导学生思考教科书第120页的问题，归纳求圆的标准方程的两种方法.最后可以让学生尝试运用另一种方法解答问题7和问题8.
半径 的大小等于圆上任意一点 到圆心 的距离,
圆心为 的圆就是集合
由两点间距离公式,点 的坐标适合的条件可以表示为
式两边平方,得
(1)
若点 在圆上,则由上述讨论知,点 的坐标适合方程(1);反之,若点 的坐标适合方程(1),这说明点 与圆心 的距离为 ,即点 在圆心为 的圆上.我们把方程(1)称为圆心为 ,半径为 的圆的方程,把它叫做圆的标准方程.
3.能力素养：重点提升学生的数学抽象、数学建模、直观想象能力。通过具体事例，让学生在自己的操作与思考中，抽象并概括圆的标准方程的概念、建立圆的标准方程的代数模型，学会利用几何图形理解和解决数学问题.关注现代信息技术工具的运用.
人教版高中数学必修2-4.1《圆的标准方程》教学设计
4.1圆的方程4.1.1圆的标准方程（熊用兵）一、教学目标（一）核心素养通过本节课的学习，掌握圆的定义，并根据此定义得出圆的标准方程.（二）学习目标掌握圆的定义及圆的标准方程，会利用条件求圆的标准方程.（三）学习重点利用各种条件求圆的标准方程.（四）学习难点根据圆的定义推导圆的标准方程以及求圆的标准方程.二、教学设计（一）课前设计1.预习任务读一读：阅读教材第118页到119页，填空：确定一个圆的最基本的要素是圆心和半径；圆心为点(,)a b ，半径为r 的圆的标准方程为222()()x a y b r -+-=.2.预习自测（1）圆心在点(1,2)，半径为5的圆的标准方程为（ ）A.22(1)(2)5x y +++=B.22(1)(2)25x y +++=C.22(1)(2)5x y -+-=D.22(1)(2)25x y -+-=【知识点】圆的标准方程.【解题过程】由条件知1,2,5a b r ===，代入标准方程得：22(1)(2)25x y -+-=【思路点拨】熟记圆的标准方程，明确各字母的具体含义.【答案】D（2）若点(15,)M a a +在圆22(1)26x y -+=上，则实数a =（ ）A.1B. 1±C.2D.【知识点】点与圆的位置关系.【解题过程】由条件，将点M 的坐标代入圆的方程得21a =，故1a =±【思路点拨】点000(,)M x y 与圆C ：222()()x a y b r -+-=的位置关系：（1）点0M 在圆C 上⇔22200()()x a y b r -+-=；（2）点0M 在圆C 内⇔22200()()x a y b r -+-<；（3）点0M 在圆C 外⇔22200()()x a y b r -+->；【答案】B（3）已知点(1,1),(1,1)A B --，则以线段AB 为直径的圆的标准方程为（ ）A.221x y +=B. 22x y +=C. 222x y +=D. 224x y +=【知识点】圆的标准方程.【解题过程】由线段AB 为直径，所以圆心为(0,0)，半径r 圆的标准方程为222x y +=【思路点拨】求圆的标准方程就是要找出圆心坐标和半径.【答案】C（二）课堂设计1.知识回顾：（1）在直角坐标平面中确定一条直线的方法有哪些？两点可以确定一条直线；一点和倾斜角可以确定一条直线；横、纵截距可以确定一条直线等等.（2）直角坐标平面中两点间的距离公式：设点1122(,)(,)A x y B x y 、，则这两点间2.问题探究探究一 圆的定义•活动① 在直角坐标平面中，如何确定一个圆？显然，当圆心位置和半径大小确定后，这个圆也就唯一确定了.因此，确定一。
“圆的标准方程”教学设计——第十届高中青年数学教师课例展示与培训活动展示课
２０２３年７月上半月㊀生态数学㊀㊀㊀㊀圆的标准方程 教学设计第十届高中青年数学教师课例展示与培训活动展示课◉上海市七宝中学㊀王奎彩㊀㊀摘要:本文中呈现了 圆的标准方程 的教学设计,并对教学实践中的具体过程和问题进行总结和反思,针对教学环节的目标和设计方法进行详细阐述,同时在多次设计学生提出问题的环节,初步尝试学生提出问题的教学方式．关键词:教学设计;圆的标准方程;问题提出１单元整体分析解析几何的本质是利用代数的方法研究几何图形的性质,体现数形结合的思想．基于 平面直角坐标系中的直线 的学习,体会了平面直角坐标系中直线方程的意义和求法,进一步通过直线方程研究了直线有关性质以及直线与直线的位置关系,初步了解了平面直角坐标系中曲线方程的意义．圆作为本单元的第二课时,起着承上启下的作用．而本节课立足于学生的 最近发展区 ,通过探究圆的标准方程,实现研究曲线与方程方法的延伸,并初步体验用代数方法研究曲线的相关内容,构建研究方法,形成解析几何的基本研究框架并用于解决相关问题,进而为后续椭圆㊁双曲线和抛物线等的研究方法奠定基础．２教学内容分析圆作为平面内相对比较简单的曲线,能充分体现解析几何研究的两大问题．在本节课中进一步体会求曲线方程的本质是寻求曲线上动点的横㊁纵坐标所满足的关系式;用代数的方法研究圆的性质时,形成用代数方法研究几何性质的思维模式,提高发现问题㊁提出问题㊁分析问题和解决问题的能力,为后续研究直线与圆及其他二次曲线的位置关系和性质提供方法和思路．因此,本节课有着承上启下㊁展示研究思路㊁渗透研究方法的作用,能够提升学生的数学抽象㊁数学运算及数学建模等核心素养．３教学目标(１)通过回顾圆的定义,探求并掌握圆的标准方程,进一步巩固求曲线方程的方法,并会用代数方程刻画圆的圆心和半径;(２)通过探究过圆上一点的圆的切线方程,体会解析几何的研究思路和方法,形成用代数方法研究几何问题的基本思想,渗透转化的观念;(３)通过用圆的标准方程解决实际问题,增强数学的应用意识,渗透数形结合思想,认识到数学从实际生活中来,到实际生活中去,增强数学研究和应用意识,提高数学学习兴趣．教学重点:圆的标准方程及其推导过程．教学难点:圆的标准方程的应用．４教学过程４．１导入新课我们先来回顾一下圆的定义．(１)圆的定义定义:平面内到一个定点的距离等于定长(大于零)的点的轨迹就是圆,这个定点就是圆心,定长就是半径．(２)圆的几何要素问题１㊀确定一个圆的条件有哪些?学生思考:圆心定位置,半径定大小．得到圆的两个几何要素:圆心㊁半径．设计意图:通过初中圆的定义回顾及问题１,强化对圆的几何要素的认识,为研究圆的标准方程作铺垫．欣赏四张形状各异㊁大小不同的圆拱形吊桥图片,拱桥造型优美,曲线圆润,富有动态感．通过图片发现拱形桥需要立柱支撑,请同学们思考:在已知圆拱桥的一些条件下,如何知道每根立柱的高度?图１提出问题㊀圆拱桥的圆拱如图１所示,该圆拱的跨度A B＝２０m,拱高C P＝４m,在建造时每隔４m需用一个支柱支撑,求出支柱A２B２的长度(精确到０．０１m)．设计意图:通过情境引导学生体会数学来源于实际生活,是具体事物的抽象与概括;利用图片展示提出问题,进而抽象出数学问题,引发学生思考如何借助代数方法研究圆的问题,激发学习兴趣,引出本节课的基本内容,提升学生的数学抽象和逻辑思维素养．３Copyright©博看网. All Rights Reserved.生态数学２０２３年７月上半月㊀㊀㊀４．２自主探究推导４．２．１圆的标准方程在上一节 曲线与方程 的学习中,我们知道解析几何就是在直角坐标系中将曲线用方程表示出来,再利用曲线的方程来研究曲线的性质．探究１㊀已知以C (a ,b )为圆心,半径为r (r ＞０)的圆,求圆C 的方程．解:设圆上任意一点M 的坐标为(x ,y ),由两点间的距离公式,得|M C |＝(x －a )２＋(y －b )２＝r (r ＞０)．两边同时平方,得㊀㊀㊀㊀(x －a )２＋(y －b )２＝r ２．①所以,点M 的坐标(x ,y )是方程①的解．设计意图:通过启发诱导激发学生的求知欲,在学生的最近发展区让学生尝试自我探究．已知平面直角坐标系,让学生体会建立曲线方程的基本方法．体现数学素材和学生已有的知识经验相结合,提升学生数学抽象核心素养．问题２㊀以方程①的解为坐标的点都在圆上吗?证明:设点P 的坐标(x １,y １)是方程①的解,则有(x １－a )２＋(y １－b )２＝r ２(r ＞０)．即|P C |２＝r ２,则|P C |＝r ．所以,点P 在以点C (a ,b )为圆心,以r 为半径的圆上．设计意图:通过问题２激发学生对方程的曲线和曲线的方程概念的深化理解,提高逻辑的严谨性,提升逻辑推理核心素养．综上,得到圆C 的方程为(x －a )２＋(y －b )２＝r ２(r ＞０)．方程①叫做圆的标准方程,它充分刻画了圆的两个几何要素:圆心和半径．特别地,当a ＝b ＝０,即以原点为圆心时,圆的标准方程为x ２＋y ２＝r ２(r ＞０)．点M (x ０,y ０)在以C (a ,b )为圆心,以r 为半径的圆上⇔(x ０－a )２＋(y ０－b )２＝r ２;点M (x ０,y ０)在以C (a ,b )为圆心,以r 为半径的圆内⇔(x ０－a )２＋(y ０－b )２＜r ２;点M (x ０,y ０)在以C (a ,b )为圆心,以r 为半径的圆外⇔(x ０－a )２＋(y ０－b )２＞r ２．设计意图:引导学生分析和归纳,从问题出发,在已有认知结构的基础上建构新知识,培养学生分析问题的能力,强化数形结合思想．４．２．２练一练(１)指出下列各圆的圆心坐标和半径．①(x －５)２＋(y －２)２＝９;②x ２＋(y ＋３)２＝m ２(m ʂ０)．(２)写出下列圆的标准方程．①以原点为圆心,半径为３;②以点C (２,－３)为圆心,半径为５．设计意图:通过上述练习,强化学生由圆的标准方程可以得到圆的两个几何要素,反之,在给定圆心坐标和半径大小后可以写出圆的标准方程,体会数与形的转化,提升数形结合意识．４．３应用巩固例１㊀求以C (－１,２)为圆心,且和直线l :２x －３y －５＝０相切的圆的方程．解:由圆心到切线的距离为半径,可得r ＝|２ˑ(－１)－３ˑ２－５|２２＋(－３)２＝１３．所以圆的标准方程为(x ＋１)２＋(y －２)２＝１３．设计意图:通过例１,强化对圆的标准方程的认知,落实教材,强化对圆的标准方程几何意义的理解,体会数形结合的重要性．问题解决:解决导入新课环节提出的问题．图２解法１:以A B 所在直线为x 轴,以弦A B 的中垂线为y 轴,建立如图２所示的平面直角坐标系,则P (０,４),A (－１０,０),A ２(－２,０)．设圆的半径为r ,圆心为点M ．连接AM ,由勾股定理,得１０２＋(r －４)２＝r２,解得r ＝２９２．故圆弧A B ︵的方程为x ２＋(y ＋２１２)２＝(２９２)２(y ȡ０)．由点B ２(－２,y ０)在圆上,可得y ０ʈ３．８６(m )．答:支柱A ２B ２的长度约为３．８６m ．图３解法２:设圆弧A B ︵的半径为r ,以弦A B 的中垂线为y 轴,在y 轴上取点O ,使得|O P |＝r ,建立如图３所示的平面直角坐标系．连接A O ,由勾股定理,得１０２＋(r －４)２＝r ２．解得r ＝２９２,则|O C |＝２１２,即A ２(－２,２１２)．所以,圆弧A B ︵的方程为x ２＋y ２＝(２９２)２(２１２ɤy ɤ２９２)．由点B ２(－２,y ０)在圆上,可得|A ２B ２|＝y ０－２１２ʈ３．８６(m )．设计意图:问题的解决,既能与引入相呼应,又能充分体现利用圆的标准方程解决该问题的简洁性,使学生体会到学习圆的标准方程的必要性,强化对圆的标准方程的认知,同时又能体会数形结合的重要性．４．４思考与延伸问题３㊀请同学们根据表１设计适当的条件,使４Copyright ©博看网. All Rights Reserved.２０２３年７月上半月㊀生态数学㊀㊀㊀㊀之可以求出圆的标准方程．表１条件圆心坐标及圆的一条切线方程圆心及圆上一点的坐标直径两端点坐标圆心坐标和圆的面积不共线的三个点的坐标㊀㊀设计意图:通过练习发现,知道圆心和半径可以确定圆,而学生通过独立思考或者小组讨论的方式,将问题发散,充分发挥想象力,深化对圆的两个要素的理解,体会只要条件能够转化为圆心和半径都可以作为确定圆的方程的条件,同时提高转化与化归能力．通过前面的研究我们发现,利用方程可以刻画圆的位置和大小．在上一章中,学习直线的方程以后,利用直线方程研究了直线与直线的位置关系㊁点到直线的距离等问题．这里我们对过圆上一点作圆的切线问题进行探究．探究２㊀已知M (x ０,y ０)为圆C :x ２＋y ２＝r ２上一点,求过点M 的圆的切线l 的方程．图４解法１:如图４,因为M 是圆C 与l 的切点,所以O M ʅl ,即O M ң是切线l 的法向量,于是可得,切线l 的点法向式方程为x ０(x －x ０)＋y ０(y －y ０)＝０．整理,得㊀㊀x ０x ＋y ０y ＝x ２０＋y ２０．又因为点M (x ０,y ０)在圆上,所以x ２０＋y ２０＝r ２．故过点M (x ０,y ０)的圆C 的切线l 的方程为x ０x ＋y ０y ＝r ２．解法２:当切线斜率k 存在,且y ０ʂ０时,由O M ʅl ,得k O M k ＝－１,即k ＝－x ０y ０(y ０ʂ０)．所以,切线l 的点斜式方程为y －y ０＝－x ０y ０(x －x ０)．整理,得x ０x ＋y ０y ＝x ２０＋y ２０．又因为点M (x ０,y ０)在圆上,所以x ２０＋y ２０＝r ２,可得x ０x ＋y ０y ＝r ２．当切线斜率k 不存在时,则l :x ＝x ０．当y ０＝０时,直线l 方程为x ＝x ０．综上可得,过点M (x ０,y ０)的圆C 的切线l 的方程为x ０x ＋y ０y ＝r ２．结论:过圆C :x ２＋y ２＝r ２上点M (x ０,y ０)的圆的切线方程为x ０x ＋y ０y ＝r ２．设计意图:通过过圆上一点作圆的切线,研究求圆的切线方程的一般方法．由于切线垂直于过切点的半径,因此求切线方程的思路多样化,而各种方法都是平面几何中有关结论的代数化表述,从而优化学生的知识结构,培养灵活的数学思维．对比圆的标准方程,总结切线方程的特点,既能快速记忆,同时也为问题４作铺垫．问题４㊀我们在探究２中,研究了过圆上一点求圆的切线方程问题,其中圆心在原点,并且切线过圆上的定点,你能提出一般性的问题吗?(１)已知M (x ０,y ０)为圆C :(x －a )２＋(y －b )２＝r ２上一点,求过点M 的圆的切线l 的方程．(２)已知点M (x ０,y ０)为圆C :x ２＋y ２＝r ２外一点,求过点M 的圆的切线l 的方程．(３)已知点M (x ０,y ０)为圆C :(x －a )２＋(y －b )２＝r ２外一点,求过点M 的圆的切线l 的方程．设计意图:由探究２到问题４引发学生由特殊到一般的思考,发散学生思维,引导学生提出一般性的问题,培养由特殊到一般的思想方法和提出问题的意识．４．５小结与作业(１)小结①体会圆的两个几何要素,并探求圆的标准方程,体会圆的代数形式与几何要素的关系;②利用由圆的标准方程求过圆上的点的切线方程;③体会类比㊁从特殊到一般㊁数形结合及转化与化归的思想方法,提升数学抽象㊁逻辑推理㊁数学运算等学科核心素养．(２)课后作业布置(略)５教学体会本节课通过具体的实例引出学习圆的方程的必要性,在学生已有曲线和方程的知识和方法储备的条件下,引导学生自主探究圆的标准方程,并自然过渡到利用方程判断点与圆的位置关系,通过具体的实例进一步体会用代数的手段研究曲线性质的方法．由于教材中本节内容相对简单,教学方法又比较单一,因此在设计过程中思考怎样才能使这节课简单而又不平凡,所以突出了学生在课堂中的主体作用,让问题提出贯穿于整节课堂．课堂中,通过特殊问题的解决,多次引导学生提出一般性问题并对问题进行归纳㊁猜测及证明,将教师提出的问题与学生的问题提出进行融合,既能丰富课堂形式,又能调动学生积极性,引导学生深入思考不同的问题,了解和发现学生对概念的理解深度,在交流㊁讨论及教师引导和辨析过程中完善所提问题,共同提高．由于问题提出的发散性,因此本节课对教师和学生都带来了极大的挑战．同时,本节课知识容量大,同时利用标准方程研究了点与圆㊁直线与圆,对于多数学生来讲,在一节内充分理解和吸收这些内容确实存在困难．这也为不同的学生提供了课后拓展和延伸的问题,使学生的学习不仅仅停留在课堂上,课后也能够延续．Z５Copyright ©博看网. 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人教版高中数学教案圆的标准方程
人教版高中数学教案圆的标准方程教学目标：1. 理解圆的标准方程的概念和意义。
2. 学会利用圆的标准方程解决实际问题。
3. 掌握圆的标准方程的推导和应用方法。
教学内容：1. 圆的标准方程的定义和意义。
2. 圆的标准方程的推导过程。
3. 圆的标准方程的应用实例。
教学步骤：第一章：圆的标准方程的概念和意义1.1 引入圆的概念：引导学生回顾初中阶段学习的圆的概念，复习圆的性质和特点。
1.2 圆的标准方程的定义：介绍圆的标准方程的定义，解释圆的标准方程的意义。
1.3 圆的标准方程的意义：引导学生理解圆的标准方程在数学中的重要作用，以及它在实际问题中的应用。
第二章：圆的标准方程的推导过程2.1 圆的参数方程：介绍圆的参数方程的概念，引导学生理解参数方程与圆的标准方程的关系。
2.2 圆的标准方程的推导：引导学生通过转化思想，将圆的参数方程转化为标准方程。
2.3 圆的标准方程的简化：引导学生学会简化圆的标准方程，理解圆的标准方程的不同形式。
第三章：圆的标准方程的应用实例3.1 圆的方程与圆的性质：引导学生利用圆的标准方程研究圆的性质，如半径、直径等。
3.2 圆的方程与圆的位置关系：引导学生利用圆的标准方程研究圆与圆的位置关系，如相离、相切等。
3.3 圆的方程与圆的面积：引导学生利用圆的标准方程计算圆的面积，理解圆的面积与半径的关系。
教学评价：1. 通过课堂讲解和练习，评价学生对圆的标准方程的概念和意义的理解程度。
2. 通过课后作业和练习题，评价学生对圆的标准方程的推导和应用能力。
3. 通过小组讨论和问题解答，评价学生对圆的标准方程的实际应用和创新能力。
教学资源：1. 教学PPT：制作精美的教学PPT，展示圆的标准方程的概念和意义，以及推导和应用过程。
2. 练习题库：准备丰富的练习题库，包括不同难度和类型的题目，以供学生课后练习和巩固知识。
3. 教学案例：提供一些与圆的标准方程相关的实际案例，引导学生将理论知识应用于实际问题中。
最新人教版高中数学必修2第四章《圆的标准方程》教学设计
教学设计4．1.1圆的标准方程整体设计一、教学背景分析1．教材结构分析圆是学生比较熟悉的一类曲线，而且是一种对称、和谐的图形，具有很多优美的几何性质．本节内容首先通过圆的定义，求解圆的标准方程，进而变化出圆的一般方程，其次运用代数的方法探讨直线与圆，圆与圆的位置关系，进一步提高学生对解析几何问题研究方法的深入理解．2．教材地位与作用圆作为常见的简单几何图形，在实际生活和生产实践中有着广泛的应用．本节内容安排在学生学习直线方程之后，旨在更加深刻的体会曲线和方程的关系，为后继学习做好准备．同时有关圆的问题，特别是圆和直线的位置关系问题，是解析几何的基本问题．这些问题的解决为圆锥曲线问题的解决提供了基本的思想方法．圆的方程也属于解析几何学的基础知识，是研究二次曲线的开始，对后继直线与圆的位置关系、圆锥曲线等内容的学习，无论在知识上还是方法上都有积极的意义．所以本节内容在解析几何中起着承前启后的作用．3．学情分析学生在初中已经学习了圆的概念和基本性质，在高中又掌握了求直线方程的一般方法，但由于学生以往注重从几何的角度理解圆的性质，而且学习解析几何的时间还不长、学习程度较浅，尚未建立牢固的数形结合的思想，对于解析法运用还不够熟练，在学习过程中难免会出现困难．另外学生在探索问题的能力，合作交流的意识等方面有待加强．4.教学目标(1)知识目标：①在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程；②会由圆的方程写出圆的半径和圆心，能根据条件写出圆的方程．(2)能力目标：①进一步培养学生用解析法研究几何问题的能力；②使学生加深对数形结合思想和待定系数法的理解；③增强学生用数学的意识．(3)情感目标：培养学生主动探究知识、合作交流的意识，在体验数学美的过程中激发学生的学习兴趣．5．教学重点、难点(1)教学重点：圆的标准方程的求法及其应用．(2)教学难点：会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程以及选择恰当的坐标系解决与圆有关的实际问题．二、教法分析高一学生，在教师的引导下，已经具备一定探究与研究问题的能力．所以在设计问题时应考虑全面性和灵活性，采用对比、启发、探究等方式，师生共同探讨，共同参与、共同研究，让学生积极思考，主动学习．在教学过程中采取小组讨论法，向学生提供具备启发性和思考性的问题．因此，要求学生在课堂上小组讨论，然后小组汇报讨论成果，提高学生的探究、推理、想象、表达、分析和总结归纳等方面的能力．因为本节课是在学生对圆的基本性质认识的基础上，再对圆进行代数研究．针对学生的学习过程、认知水平，在遵循参与式教学的基础上，调动全班学生积极参与，认真思考，努力体现学生学习的主体性地位．在学习过程中让学生积极思考，动手计算，不仅在“思维中参与”而且在“行动中参与”，养成主动性的学习习惯．三、学法分析为了重点培养学生分析问题、解决问题的能力．因此，要求学生在学习中遇到问题时，不要急于求成，而是通过求圆的标准方程，理解必须具备三个独立的条件才可以确定一个圆．通过推导圆的标准方程，加深用解析法求轨迹方程的理解．还要会根据问题提供的信息回忆所学知识，采用转化思想、数形结合的思想，选择最佳方案解决．四、教学基本流程及其说明结合教材与新课程标准本节课采用以下流程(一)、教师在理解教材的编写意图的基础上，应发挥主观能动性，对教材资源进行再加工、再创造，这样教学方法更有利于学生的认知结构，也有利于学生从深层次理解和掌握圆的标准方程．(二)、在整个教学过程中，主要着眼于“引”，启发学生“探”，把“引”和“探”有机结合起来，教师的每项措施都是力求给学生创造一种思维情境，动手、动脑、动口并且主动参与学习的机会，激发学生求知欲望，促使学生在不知不觉中掌握知识，解决问题．(三)、培养思维，提高能力，激励创新在问题的设计中，利用一题多解的探究，纵向挖掘知识深度，横向加强知识间的联系，培养了学生的创新精神，并且使学生的有效思维量加大，随时对所学知识和方法产生注意，使能力与知识的形成相伴而行．五、教学情境设计圆是学生比较熟悉的曲线，初中平面几何对圆的基本性质作了比较系统的研究，因此这节课的重点确定为用解析法研究圆的标准方程及其简单应用．首先，在已有圆的定义和求曲线方程的一般步骤的基础上，用实际问题引导学生探究获得圆的标准方程，然后，利用圆的标准方程由浅入深的解决问题，并通过圆的方程在实际问题中的应用，增强学生用数学的意识．另外，为了培养学生的理性思维，设计了由特殊到一般的学习思路，培养学生的归纳概括能力．在问题的设计中，用一题多解的探究，纵向挖掘知识深度，横向加强知识间的联系，培养了学生的创新精神，并且使学生的有效思维量加大，随时对所学知识和方法产生有意注意，能力与知识的形成相伴而行，这样的设计不但突出了重点，更使难点的突破水到渠成．本节课设计了六个环节，以问题为纽带，以探究活动为载体，使学生在问题的指引下、教师的指导下把探究活动层层展开、步步深入，充分体现以教师为主导，以学生为主体的指导思想．应用启发式的教学方法把学生学习知识的过程转变为学生观察问题、发现问题、分析问题、解决问题的过程，在解决问题的同时锻炼了思维、提高了能力、培养了兴趣、增强了信心．。
高中数学必修二《圆的标准方程》优秀教学设计
4.1.1圆的标准方程教学设计1．内容和内容解析：内容：圆的标准方程。
内容解析：解析几何是17世纪数学发展的重大成果之一，其本质是用代数方法研究图形的几何性质，体现数形结合的重要思想方法。
其中圆的标准方程的教学目标主要是：一是经历通过平面直角坐标系建立圆的代数方程的过程，在这个过程中进一步体会坐标法研究几何问题的思想和步骤；二是用两种方法求解圆的方程。
圆是解析几何中一类重要的曲线，在学生学习了直线与方程的基础知识之后，知道了在直角坐标系中通过建立方程可以达到研究图形性质，圆的标准方程正是这一知识运用的延续，处于直线与方程和点，直线与圆的关系的结合点和交汇点上。
学好圆的方程可以为圆锥曲线的学习奠定基础，有利于学生进一步体会数形结合的思想，形成用代数法解决几何问题的能力。
也是培养学生运用能力和运算能力的重要素材。
从知识的结构和内容上都起到相当重要的作用。
2．教学目标：知识与技能（1）在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程；（2）能根据圆心坐标、半径及其特殊情况熟练地写出圆的标准方程；（3）会根据条件选择并求出圆的方程；过程与方法（1）通过平面直角坐标系建立圆的代数方程的过程，让学生进一步体会坐标法在研究几何问题的思想和步骤；（2）通过类比直线方程的学习，发现并理解圆的方程与直线方程学习中相同的知识结构，进一步体会类比的思想；（3）通过求解圆标准的方程，进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力，渗透数形结合思想；情感态度与价值观通过与直线方程的对比，体会类比思想的应用，让学生学会用联系的观点分析问题，认识事物之间的相互联系与转化；3．教学重难点：重点：（1）类比直线方程的学习，掌握圆的标准方程；难点：（1）圆的代数方程的建立过程；（2）圆的标准方程的灵活应用；落实的途径：（1）通过表格，建立直线与方程，圆与方程的结构图，在复习旧知的同时帮助学生经历坐标法建立圆的代数方程的如下过程：首先将几何问题代数化，用代数语言描述几何要素及其关系，进而将几何问题转化为代数问题，处理代数问题，分析代数结果的几何含义，最终解决几何问题。
高中数学《圆的方程》教案
高中数学《圆的方程》教案作为一位默默奉献的教育工作者，常常会需要准备好教案，通过教案准备可以更好地根据具体情形对教学进程做适当的必要的调剂。
优秀的教案都具有一些什么特点呢?这里给大家分享一些关于高中数学圆的方程教案，方便大家学习。
高中数学《圆的方程》教案1、教学目标(1)知识目标：1、在平面直角坐标系中，探索并掌控圆的标准方程;2、会由圆的方程写出圆的半径和圆心，能根据条件写出圆的方程;3、利用圆的方程解决与圆有关的实际问题。
(2)能力目标：1、进一步培养学生用解析法研究几何问题的能力;2、使学生加深对数形结合思想和待定系数法的知道;3、增强学生用数学的意识。
(3)情感目标：培养学生主动探究知识、合作交换的意识，在体验数学美的进程中激发学生的学习爱好。
2、教学重点、难点(1)教学重点：圆的标准方程的求法及其运用。
(2)教学难点：①会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程②挑选恰当的坐标系解决与圆有关的实际问题。
3、教学进程(一)创设情境(启发思维)问题一：已知隧道的截面是半径为4m的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为2。
7m，高为3m的货车能不能驶入这个隧道?[引导]：画图建系[学生活动]：尝试写出曲线的方程(对求曲线的方程的步骤及圆的定义进行提示性复习)解：以某一截面半圆的圆心为坐标原点，半圆的直径AB所在直线为x轴，建立直角坐标系，则半圆的方程为x2+y2=16(y≥0)将x=2。
7代入，得即在离隧道中心线2。
7m处，隧道的高度低于货车的高度，因此货车不能驶入这个隧道。
(二)深入探究(获得新知)问题二：1、根据问题一的探究能不能得到圆心在原点，半径为的圆的方程?答：x2+y2=r22、如果圆心在，半径为时又如何呢?[学生活动]：探究圆的方程。
[教师预设]：方法一：坐标法如图，设M(x，y)是圆上任意一点，根据定义点M到圆心C的距离等于r，所以圆C就是集合P={M||MC|=r}由两点间的距离公式，点M合适的条件可表示为①把①式两边平方，得(x―a)2+(y―b)2=r2方法二：图形变换法方法三：向量平移法(三)运用举例(巩固提高)I.直接运用(内化新知)问题三：1、写出下列各圆的方程(课本P77练习1)(1)圆心在原点，半径为3;(2)圆心在，半径为(3)经过点，圆心在点2、根据圆的方程写出圆心和半径II.灵活运用(提升能力)问题四：1、求以为圆心，并且和直线相切的圆的方程。
(完整版)圆的一般方程教案(正式)
4.2.1圆的一般方程一、复习提问，引入课题问题：求过三点(0,0)，(1.1)，(4,2)的圆的方程？【师生互动】学生在教师指导下展开小组讨论，回顾旧知识，最后得出运用圆的知识很难解决问题。
因为圆的标准方程很麻烦，用直线的知识解决又有其简单的局限性。
于是老师提问，有没有其他的解决方法呢？带着这个问题我们共同研究圆的一般方程。
【辅助手段】：多媒体课件幻灯片展示问题。
二、探索研究，讲授新课 请同学们写出圆的标准方程：222()()x a y b r -+-=、圆心(a ，b)、半径r把圆的标准方程展开，并整理:22222220x y ax by a b r +--++-= 取D=-2a E=-2b F=222a b r +-220x y Dx Ey F ++++=这个方程就是圆的方程.反过来给出一个形如220x y Dx Ey F ++++=的方程，它表示的曲线一定是圆吗？把220x y Dx Ey F ++++=配方得： 222224()()224D E D E Fx y +-+++= 【师生互动】配方和展开由学生完成，教师最后展示结果。
问题：这个方程是不是表示圆？⑴当2224D E F +-﹥0时，方程表示以(-2D ，2E)为圆心，以22142D E F +-为半径的圆. ⑴以复习回顾的形式提出新难题，引出新课程，指出本节课的主要内容. ⑵质疑提问，小组讨论，提高了学生学习的兴趣.⑴学生动笔、思考，老师引导、启发，让学生学会独立分析问题，解决问题，初步体会数学的魅力.⑵引导学生自己探索寻找圆的一般方程在什么时候表示圆，形成分类讨论、等价转化等数学思想，培养学生思维的多样性、创造性，体验成功解决问题的喜悦.⑶通过对一个方程的讨论，得出圆的一般方程，并指出不是所有的方程都可以 表示圆。
使得学生的认识不断加深，同时一般方程则只需确定三个系数，而条件给出了三个坐标，不妨试着先写出圆的一般方程。
【教师讲解】设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=∵A(0,0)，B(1,1)，C(4,2)在圆上，所以它们的坐标是方程的解，代入方程得到：2042200F D E F D E F =⎧⎪+++=⎨⎪+++=⎩即D=-8 E=6 F=O∴所求的方程为22860x y x y +-+=222142r D E F =+-=5、2D -=4、2E-=-3∴圆心坐标为(4,-3)或将220x y Dx Ey F ++++=化为圆的标准方程： 22(4)(3)25x y -++=【归纳总结】应用待定系数法的一般步骤 ⑴根据条件，选择是标准方程还是一般方程。
高中圆的标准方程教案文档
高中圆的标准方程教案文档一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解圆的定义及相关概念；（2）掌握圆的标准方程及其推导过程；（3）能够运用圆的标准方程解决实际问题。
2. 过程与方法：（1）通过观察、分析、推理等方法，探究圆的标准方程的形成；（2）运用数学符号、图形等工具，表示圆的位置和大小；（3）培养学生的逻辑思维能力和几何直观能力。
3. 情感态度与价值观：（1）培养学生对数学的兴趣和好奇心；（2）培养学生勇于探索、积极思考的精神；（3）培养学生合作交流的能力。
二、教学内容1. 圆的定义及相关概念：（1）圆的定义；（2）圆心、半径、直径等概念；（3）圆的性质。
2. 圆的标准方程：（1）圆的标准方程的推导；（2）圆的标准方程的形式；（3）圆的标准方程的应用。
三、教学重点与难点1. 教学重点：（1）圆的定义及相关概念的理解；（2）圆的标准方程的推导和应用。
2. 教学难点：（1）圆的标准方程的推导过程；（2）圆的标准方程在实际问题中的应用。
四、教学方法与手段1. 教学方法：（1）采用问题驱动法，引导学生主动探究；（2）运用分组讨论法，培养学生的合作能力；（3）采用案例分析法，让学生感受数学与生活的联系。
2. 教学手段：（1）利用多媒体课件，直观展示圆的定义和性质；（2）运用几何画板，动态演示圆的标准方程的形成；（3）提供实际问题，引导学生运用圆的标准方程解决。
五、教学过程1. 导入新课：（1）复习相关概念：点、线、角等；（2）引入圆的定义，引导学生观察生活中的圆；（3）提出问题：如何用数学语言表示圆的位置和大小？2. 探究圆的标准方程：（1）引导学生通过观察、分析、推理等方法，探究圆的标准方程的形成；（2）讲解圆的标准方程的推导过程，引导学生理解并掌握；（3）让学生运用圆的标准方程，解决实际问题。
3. 巩固练习：（1）提供一些有关圆的标准方程的练习题，让学生独立完成；（2）组织学生进行小组讨论，共同解答练习题；（3）教师对学生的解答进行点评和指导。
高中数学 4.1.1圆的标准方程教案 新人教A版必修2
4.1.1 圆的标准方程一、教学目标1、目标：（1）学生掌握圆的标准方程,能根据圆心、半径写出圆的标准方程,能根据圆的标准方程写出圆的圆心、半径；（2）会用待定系数法求圆的标准方程,通过圆的标准方程解决实际问题的学习,形成代数方法处理几何问题的能力；（3）理解掌握圆的切线的求法.包括已知切点求切线,从圆外一点引切线,已知切线斜率求切线等.2、解析：由于“圆的方程”一节内容的基础性和应用的广泛性,对圆的标准方程要求层次是“掌握”,为了激发学生的主体意识,教学生学会学习和学会创造,同时培养学生的应用意识,本节内容可采用“引导探究”型教学模式进行教学设计,所谓“引导探究”是教师把教学内容设计为若干问题,从而引导学生进行探究的课堂教学模式,教师在教学过程中,主要着眼于“引”,启发学生“探”,把“引”和“探”有机的结合起来.教师的每项教学措施,都是给学生创造一种思维情境,一种动脑、动手、动口并主动参与的学习机会,激发学生的求知欲,促使学生解决问题.二、预习导引1、圆的定义平面内到的距离等于（）的点的集合（轨迹）是圆，定点是（），定常是（）。
2、圆的标准方程圆心为C（a,b),半径为r 的圆的标准方程是（）三、问题引领，知识探究问题一：我们知道直线可以用方程表示,那么,圆可以用方程表示吗？如果能圆的方程怎样来求呢?.问题2：具有什么性质的点的轨迹称为圆？问题3：图1中哪个点是定点？哪个点是动点？动点具有什么性质？圆心和半径都反映了圆的什么特点？图1问题4：我们知道,在平面直角坐标系中,确定一条直线的条件是两点或一点和倾斜角,那么,决定圆的条件是什么?问题5：如果已知圆心坐标为C(a ,b ),圆的半径为r ,我们如何写出圆的方程?问题6：圆的方程形式有什么特点？当圆心在原点时,圆的方程是什么？问题7：根据圆的标准方程说明确定圆的方程的条件是什么?问题8：确定圆的方程的方法和步骤是什么?问题9：坐标平面内的点与圆有什么位置关系?如何判断?师生活动：学生思考，回答。
教学设计1：2.4.1 圆的标准方程
2.4.1圆的标准方程教材分析本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修第一册》第二章《直线和圆的方程》，本节课主要学习圆的标准方程.在初中曾经学习过圆的有关知识，本节内容是在初中所学知识及前一章内容的基础上，在平面直角坐标系中建立圆的代数方程，它与其他图形的位置关系及其应用.在这一过程中，进一步体会数形结合的思想，形成用代数的方法解决几何问题的能力.同时，由于圆也是特殊的圆锥曲线，因此，学习了圆的方程，就为后面学习其它圆锥曲线的方程奠定了基础.也就是说，本节内容在教材体系中起到承上启下的作用，具有重要的地位.坐标法不仅是研究几何问题的重要方法，而且是一种广泛应用于其他领域的重要数学方法.通过坐标系，把点和坐标、曲线和方程联系起来，实现了形和数的统一.教学目标与核心素养重点难点重点：会用定义推导圆的标准方程，掌握点与圆的位置关系难点：根据所给条件求圆的标准方程课前准备多媒体教学过程一、情境导学 《古朗月行》 唐 李白小时不识月，呼作白玉盘. 又疑瑶台镜，飞在青云端.月亮,是中国人心目中的宇宙精灵,古代人们在生活中崇拜、敬畏月亮,在文学作品中也大量描写、如果把天空看作一个平面,月亮当做一个圆，建立一个平面直角坐标系,那么圆的坐标方程如何表示? 二、探究新知思考1 圆是怎样定义的？确定它的要素又是什么呢？各要素与圆有怎样的关系？定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径.确定圆的因素：圆心和半径 圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小.思考2 已知圆心为A(a,b),半径为你能推导出圆的方程吗？|MA |＝r ,由两点间的距离公式,得22()()x a y b -+-＝r ,化简可得：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2. 一、 圆的标准方程通过古诗中关于月亮的描述，引出建立圆的方程的问题，同时类比直线方程的建立过程，帮助学生通过类比建立圆的标准方程.学会联系旧知，制定解决问题的策略.让学生进一步感悟运用坐标法研究几何问题的方法.较,二是代入圆的标准方程,判断与r 2的大小关系.通过点与圆的位置关系建立方程或不等式可求参数值或参数的取值范围.跟踪训练3 若点(1,1)在圆(x-a )2+(y+a )2=4的内部,则a 的取值范围是( ) A .a<-1或a>1B .-1<a<1C .0<a<1D .a=±1解析:由题意可知,(1-a )2+(1+a )2<4,解得a 2<1,故-1<a<1. 答案:B金题典例 1.若P (x ，y )为圆C (x ＋1)2＋y 2＝14上任意一点，请求出P (x ，y )到原点的距离的最大值和最小值．[提示] 原点到圆心C (－1,0)的距离d ＝1，圆的半径为12，故圆上的点到坐标原点的最大距离为1＋12＝32，最小距离为1－12＝12.2．若P (x ，y )是圆C (x －3)2＋y 2＝4上任意一点，请求出P (x ，y )到直线x －y ＋1＝0的距离的最大值和最小值．[提示] P (x ，y )是圆C 上的任意一点，而圆C 的半径为2，圆心C (3,0)，圆心C 到直线x －y ＋1＝0的距离d ＝|3－0＋1|12＋(－1)2＝22，所以点P到直线x －y ＋1＝0的距离的最大值为22＋2，最小值为22－2.3. 已知x ，y 满足x 2＋(y ＋4)2＝4，求(x ＋1)2＋(y ＋1)2的最大值与最小值.思路探究：x ，y 满足x 2＋(y ＋4)2＝4，即点P (x ，y )是圆上的点．而(x ＋1)2＋(y ＋1)2表示点(x ，y )与点(－1，－1)的距离．故此题可以转四、小结五、课时练教学反思在本节课的教学中，引导学生回顾确定直线的几何要素——两点（或者一点和斜率）的基础上，类比得到圆的几何要素——圆心位置和半径大小.由直线方程类比得到从圆心坐标和半径大小入手探究圆的标准方程.这一过程提升逻辑推理、数学抽样等数学素养.在求解圆的标准方程中，注意几何法与代数法的比较，提升学生数学运算素养.。
圆的标准方程教案高中数学
圆的标准方程教案高中数学
一、教学目标：
1. 熟练掌握圆的标准方程的概念和计算方法；
2. 能够根据给定的信息，求解圆的标准方程；
3. 进一步理解圆的性质和应用。
二、教学内容：
1. 圆的标准方程的定义和示例；
2. 求解圆的标准方程的步骤；
3. 圆的相关性质和应用。
三、教学步骤：
1. 引入：通过举例说明圆的标准方程的重要性和应用场景；
2. 讲解：介绍圆的标准方程的定义和推导过程；
3. 演示：通过实例演示如何求解圆的标准方程；
4. 练习：让学生进行练习，巩固所学知识；
5. 总结：总结圆的标准方程的相关性质和应用。
四、教学材料：
1. 教科书《高中数学》；
2. 白板和彩色粉笔；
3. 课件PPT。
五、教学评估：
1. 学生通过练习题的答题情况；
2. 学生对于圆的标准方程的理解和应用程度。
六、拓展延伸：
1. 让学生自主探究圆的标准方程的推导过程；
2. 引导学生应用圆的标准方程解决实际问题。
通过以上教学方案，相信学生能够更好地掌握圆的标准方程的相关知识和技巧，为今后学习和工作打下坚实的基础。
《圆的标准方程》说课稿和教案
《圆的标准方程》的说课稿各位评委、老师们，大家好！今天我说课的题目是《圆的标准方程》，按大纲要求《圆的方程》这一节共分三课时，我今天要说的是第一课时的内容——圆的标准方程.下面我将从三个方面来阐述我对这节课的教学认识，分别是，教学背景分析、教法学法分析、和从纵、横两条主线分别阐述我的教学过程与设计.首先，我对本节课的教学背景进行一些分析：在这里我分四小点进行说明.【一】教学背景分析1、教材结构分析《圆的方程》安排在高中数学第二册（上）第七章第六节.圆作为常见的简单几何图形，在实际生活和生产实践中有着广泛的应用.圆的方程属于解析几何学的基础知识，是研究二次曲线的开始，对后续直线与圆的位置关系、圆锥曲线等内容的学习，无论在知识上还是方法上都有着积极的意义，所以本节内容在整个解析几何中起着承前启后的作用.2.学情分析圆的方程是学生在初中学习了圆的概念和基本性质后，又掌握了求曲线方程的一般方法的基础上进行研究的. 但由于学生学习解析几何的时间还不长、学习程度较浅，且对坐标法的运用还不够熟练，在学习过程中难免会出现困难.另外学生在探究问题的能力,合作交流的意识等方面有待加强.根据上述教材结构与内容分析，考虑到学生已有的认知结构和心理特征，我制定如下教学目标：3．教学目标(1) 知识目标：①掌握圆的标准方程；②会由圆的标准方程写出圆的半径和圆心坐标，能根据条件写出圆的标准方程；③利用圆的标准方程解决简单的实际问题.(2) 能力目标：①进一步培养学生用代数方法研究几何问题的能力；②加深对数形结合思想的理解和加强对待定系数法的运用；③增强学生用数学的意识.(3) 情感目标：①培养学生主动探究知识、合作交流的意识；②在体验数学美的过程中激发学生的学习兴趣.根据以上对教材、教学目标及学情的分析，我确定如下的教学重点和难点：4. 教学重点与难点(1)重点: 圆的标准方程的求法及其应用.(2)难点：①会根据不同的已知条件求圆的标准方程；②选择恰当的坐标系解决与圆有关的实际问题.为使学生能达到本节设定的教学目标，我再从教法和学法上进行分析：【二】教法学法分析1．教法分析为了充分调动学生学习的积极性，本节课采用“启发式”问题教学法，用环环相扣的问题将探究活动层层深入，使教师总是站在学生思维的最近发展区上.另外我恰当的利用多媒体课件进行辅助教学，借助信息技术创设实际问题的情境既能激发学生的学习兴趣，又直观的引导了学生建模的过程.2．学法分析通过推导圆的标准方程，加深对用坐标法求轨迹方程的理解.通过求圆的标准方程，理解必须具备三个独立的条件才可以确定一个圆.通过应用圆的标准方程，熟悉用待定系数法求r、的过程.ba、下面我就对具体的教学过程和设计加以说明：【三】教学过程与设计整个教学过程是由七个问题组成的问题链驱动的，共分为五个环节：创设情境启迪思维深入探究获得新知应用举例巩固提高反馈训练形成方法小结反思拓展引申下面我从纵横两方面叙述我的教学程序与设计意图.首先：纵向叙述教学过程（一）创设情境——启迪思维问题一已知隧道的截面是半径为4m的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为2.7m，高为3m的货车能不能驶入这个隧道？0x y r M(x,y)C(a,b)通过对这个实际问题的探究，把学生的思维由用勾股定理求线段CD 的长度转移为用曲线的方程来解决.一方面帮助学生回顾了旧知——求轨迹方程的一般方法，另一方面，在得到汽车不能通过的结论的同时学生自己推导出了圆心在原点，半径为4的圆的标准方程，从而很自然的进入了本课的主题.用实际问题创设问题情境，让学生感受到问题来源于实际，应用于实际，激发了学生的学习兴趣和学习欲望.这样获取的知识，不但易于保持，而且易于迁移.通过对问题一的探究，抓住了学生的注意力，把学生的思维引到用坐标法研究圆的方程上来，此时再把问题深入，进入第二环节.（二）深入探究——获得新知问题二 1．根据问题一的探究能不能得到圆心在原点，半径为r 的圆的方程？2．如果圆心在),(b a ，半径为r 时又如何呢？ 这一环节我首先让学生对问题一进行归纳，得到圆心在原点，半径为4的圆的标准方程后，引导学生归纳出圆心在原点，半径为r 的圆的标准方程.然后再让学生对圆心不在原点的情况进行探究.我预设了三种方法等待着学生的探究结果，分别是：坐标法、图形变换法、向量平移法.得到圆的标准方程后，我设计了由浅入深的三个应用平台，进入第三环节.（三）应用举例——巩固提高I ．直接应用 内化新知问题三 1．写出下列各圆的标准方程：（1）圆心在原点，半径为3；（2）经过点)1,5(P ，圆心在点)3,8( C . yx0B A 2.74C D2．写出圆222)2()2(-=++y x 的圆心坐标和半径.我设计了两个小问题，第一题是直接或间接的给出圆心坐标和半径求圆的标准方程，第二题是给出圆的标准方程求圆心坐标和半径，这两题比较简单，可以安排学生口答完成，目的是先让学生熟练掌握圆心坐标、半径与圆的标准方程之间的关系，为后面探究圆的切线问题作准备.II ．灵活应用 提升能力问题四 1．求以点)3,1(C 为圆心，并且和直线0743=--y x 相切的圆的方程.2．求过点)4,1(C ，圆心在直线03=-y x 上且与y 轴相切的圆的方程.3．已知圆的方程为2522=+y x ，求过圆上一点)3,4(-A 的切线方程.你能归纳出具有一般性的结论吗？已知圆的方程是222r y x =+，经过圆上一点),(00y x M 的切线的方程是什么？ 我设计了三个小问题，第一个小题有了刚刚解决问题三的基础，学生会很快求出半径，根据圆心坐标写出圆的标准方程.第二个小题有些困难，需要引导学生应用待定系数法确定圆心坐标和半径再求解，从而理解必须具备三个独立的条件才可以确定一个圆.第三个小题解决方法较多，我预设了四种方法再一次为学生的发散思维创设了空间.最后我让学生由第三小题的结论进行归纳、猜想，在论证经过圆上一点圆的切线方程的过程中，又一次模拟了真理发现的过程，使探究气氛达到高潮.III ．实际应用 回归自然问题五 如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图，该圆拱跨度AB=20m ，拱高OP=4m ，在建造时每隔4m 需用一个支柱支撑，求支柱22P A 的长度（精确到0.01m ）.我选用了教材的例3，它是待定系数法求出圆的三个参数r b a 、、的又一次应用，同时也与引例相呼应，使学生形成解决实际问题的一般方法，培养了学生建模的习惯和用数学的意识.（四）反馈训练——形成方法问题六 1．求过原点和点),(11P ，且圆心在直线0132=++y x 上的圆的标准方程.2．求圆1322=+y x 过点)3,2(-P 的切线方程.3．求圆2522=+y x 过点)2,5(-B 的切线方程.接下来是第四环节——反馈训练.这一环节中，我设计三个小题作为巩固性训练，给学生一块“用武”之地，让每一位同学体验学习数学的乐趣，成功的喜悦，找到自信，增强学习数学的愿望与信心.另外第3题是我特意安排的一道求过圆外一点的圆的切线方程，由于学生刚刚归纳了过圆上一点圆的切线方程，因此很容易产生思维的负迁移，另外这道题目有两解，学生容易漏掉斜率不存在的情况，这时引导学生用数形结合的思想，结合初中已有的圆的知识进行判断，这样的设计对培养学生思维的严谨性具有良好的效果.（五）小结反思——拓展引申1．课堂小结把圆的标准方程与过圆上一点圆的切线方程加以小结，提炼数形结合的思想和待定系数的方法①圆心为),(b a C ，半径为r 的圆的标准方程为：222)()(r b y a x =-+- ；圆心在原点时，半径为r 的圆的标准方程为：222r y x =+.②已知圆的方程是222r y x =+，经过圆上一点),(00y x M 的切线的方程是：200r y y x x =+.2．分层作业 （A ）巩固型作业：教材P81-82：（习题7.6）1，2，4.（B ）思维拓展型作业：试推导过圆222)()(r b y a x =-+-上一点),(00y x M 的切线方程.3．激发新疑问题七 1．把圆的标准方程展开后是什么形式？2．方程0208622=++-+y x y x 表示什么图形？在本课的结尾设计这两个问题，作为对这节课内容的巩固与延伸，让学生体会知识的起点与终点都蕴涵着问题，旧的问题解决了，新的问题又产生了.在知识的拓展中再次掀起学生探究的热情.另外它为下节课研究圆的一般方程作了重要的准备.以上是我纵向的教学过程及简单的设计意图，接下来，我从三个方面横向的进一步阐述我的教学设计：横向阐述教学设计（一）突出重点抓住关键突破难点求圆的标准方程既是本节课的教学重点也是难点，为此我布设了由浅入深的学习环境，先让学生熟悉圆心、半径与圆的标准方程之间的关系，逐步理解三个参数的重要性，自然形成待定系数法的解题思路，在突出重点的同时突破了难点.第二个教学难点就是解决实际应用问题，这是学生固有的难题，主要是因为应用问题的题目冗长，学生很难根据问题情境构建数学模型，缺乏解决实际问题的信心，为此我首先用一道题目简洁、贴近生活的实例进行引入，激发学生的求知欲，同时我借助多媒体课件的演示，引导学生真正走入问题的情境之中，并从中抽象出数学模型，从而消除畏难情绪，增强了信心.最后再形成应用圆的标准方程解决实际问题的一般模式，并尝试应用该模式分析和解决第二个应用问题——问题五.这样的设计，使学生在解决问题的同时，形成了方法，难点自然突破.（二）学生主体教师主导探究主线本节课的设计用问题做链，环环相扣，使学生的探究活动贯穿始终.从圆的标准方程的推导到应用都是在问题的指引、我的指导下，由学生探究完成的.另外，我重点设计了两次思维发散点，分别是问题二和问题四的第三问，要求学生分组讨论，合作交流，为学生设立充分的探究空间，学生在交流成果的过程中，既体验了科学研究和真理发现的复杂与艰辛，又在我的适度引导、侧面帮助、不断肯定下顺利完成了探究活动并走向成功，在一个个问题的驱动下，高效的完成本节的学习任务.（三）培养思维提升能力激励创新为了培养学生的理性思维，我分别在问题一和问题四中，设计了两次由特殊到一般的学习思路，培养学生的归纳概括能力.在问题的设计中，我利用一题多解的探究，纵向挖掘知识深度，横向加强知识间的联系，培养了学生的创新精神，并且使学生的有效思维量加大，随时对所学知识和方法产生有意注意，使能力与知识的形成相伴而行.以上是我对这节课的教学预设，具体的教学过程还要根据学生在课堂中的具体情况适当调整，向生成性课堂进行转变.最后我以赫尔巴特的一句名言结束我的说课,发挥我们的创造性，力争“使教育过程成为一种艺术的事业”.谢谢大家！《圆的标准方程》教案一、教学目标(一)知识教学点使学生掌握圆的标准方程的特点，能根据所给有关圆心、半径的具体条件准确地写出圆的标准方程，能运用圆的标准方程正确地求出其圆心和半径，解决一些简单的实际问题，并会推导圆的标准方程．(二)能力训练点通过圆的标准方程的推导，培养学生利用求曲线的方程的一般步骤解决一些实际问题的能力．(三)学科渗透点圆基于初中的知识，同时又是初中的知识的加深，使学生懂得知识的连续性；通过圆的标准方程，可解决一些如圆拱桥的实际问题，说明理论既来源于实践，又服务于实践，可以适时进行辩证唯物主义思想教育．二、教材分析1．重点：(1)圆的标准方程的推导步骤；(2)根据具体条件正确写出圆的标准方程．(解决办法：(1)通过设问，消除难点，并详细讲解；(2)多多练习、讲解．)2．难点：运用圆的标准方程解决一些简单的实际问题．(解决办法：使学生掌握分析这类问题的方法是先弄清题意，再建立适当的直角坐标系，使圆的标准方程形式简单，最后解决实际问题．)三、活动设计问答、讲授、设问、演板、重点讲解、归纳小结、阅读．四、教学过程(一)复习提问前面，大家学习了圆的概念，哪一位同学来回答？问题1：具有什么性质的点的轨迹称为圆？平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆(教师在黑板上画一个圆)．问题2：图2-9中哪个点是定点？哪个点是动点？动点具有什么性质？圆心和半径都反映了圆的什么特点？圆心C是定点，圆周上的点M是动点，它们到圆心距离等于定长|MC|=r，圆心和半径分别确定了圆的位置和大小．问题3：求曲线的方程的一般步骤是什么？其中哪几个步骤必不可少？求曲线方程的一般步骤为：(1)建立适当的直角坐标系，用(x，y)表示曲线上任意点M的坐标，简称建系设点；图2-9(2)写出适合条件P的点M的集合P={M|P(M)|}，简称写点集；(3)用坐标表示条件P(M)，列出方程f(x，y)=0，简称列方程；(4)化方程f(x，y)=0为最简形式，简称化简方程；(5)证明化简后的方程就是所求曲线的方程，简称证明．其中步骤(1)(3)(4)必不可少．下面我们用求曲线方程的一般步骤来建立圆的标准方程．(二)建立圆的标准方程1．建系设点由学生在黑板上画出直角坐标系，并问有无不同建立坐标系的方法．教师指出：这两种建立坐标系的方法都对，原点在圆心这是特殊情况，现在仅就一般情况推导．因为C是定点，可设C(a，b)、半径r，且设圆上任一点M坐标为(x，y)．2．写点集根据定义，圆就是集合P={M||MC|=r}．3．列方程由两点间的距离公式得：4．化简方程将上式两边平方得：(x-a)2+(y-b)2=r2．(1)方程(1)就是圆心是C(a，b)、半径是r的圆的方程．我们把它叫做圆的标准方程．这时，请大家思考下面一个问题．问题5：圆的方程形式有什么特点？当圆心在原点时，圆的方程是什么？这是二元二次方程，展开后没有xy项，括号内变数x，y的系数都是1．点(a，b)、r分别表示圆心的坐标和圆的半径．当圆心在原点即C(0，0)时，方程为 x2+y2=r2．教师指出：圆心和半径分别确定了圆的位置和大小，从而确定了圆，所以，只要a，b，r三个量确定了且r＞0，圆的方程就给定了．这就是说要确定圆的方程，必须具备三个独立的条件．注意，确定a、b、r，可以根据条件，利用待定系数法来解决．(三)圆的标准方程的应用例1写出下列各圆的方程：(请四位同学演板)(1)圆心在原点，半径是3；(3)经过点P(5，1)，圆心在点C(8，-3)；(4)圆心在点C(1，3)，并且和直线3x-4y-7=0相切．教师纠错，分别给出正确答案：(1)x2+y2=9；(2)(x-3)2+(y-4)2=5；指出：要求能够用圆心坐标、半径长熟练地写出圆的标准方程．例2说出下列圆的圆心和半径：(学生回答)(1)(x-3)2+(y-2)2=5；(2)(x+4)2+(y+3)2=7；(3)(x+2)2+ y2=4教师指出：已知圆的标准方程，要能够熟练地求出它的圆心和半径．例3 (1)已知两点P1(4，9)和P2(6，3)，求以P1P2为直径的圆的方程；(2)试判断点M(6，9)、N(3，3)、Q(5，3)是在圆上，在圆内，还是在圆外？解(1)：分析一：从确定圆的条件考虑，需要求圆心和半径，可用待定系数解决．解法一：(学生口答)设圆心C(a，b)、半径r，则由C为P1P2的中点得：又由两点间的距离公式得：∴所求圆的方程为：(x-5)2+(y-6)2=10分析二：从图形上动点P性质考虑，用求曲线方程的一般方法解决．解法二：(给出板书)∵直径上的四周角是直角，∴对于圆上任一点P(x，y)，有PP1⊥PP2．化简得：x2+y2-10x-12y+51=0．即(x-5)2+(y-6)2=10为所求圆的方程．解(2)：(学生阅读课本)分别计算点到圆心的距离：因此，点M在圆上，点N在圆外，点Q在圆内．这时，教师小结本题：1．求圆的方程的方法(1)待定系数法，确定a，b，r；(2)轨迹法，求曲线方程的一般方法．2．点与圆的位置关系设点到圆心的距离为d，圆半径为r：(1)点在圆上d=r；(2)点在圆外d＞r；(3)点在圆内d＜r．3．以A(x1，y1)、B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0(证明留作作业)例4图2-10是某圆拱桥的—孔圆拱的示意图．该圆拱跨度AB=20m，拱高OP=4m，在建造时每隔4m需用一个支柱支撑，求支柱A2P2的长度(精确到0.01m)．此例由学生阅读课本，教师巡视并做如下提示：(1)先要建立适当直角坐标系，使圆的标准方程形式简单，便于计算；(2)用待定系数法求圆的标准方程；(3)要注意P2的横坐标x=-2＜0，纵坐标y＞0，所以A2P2的长度只有一解．(四)本课小结1．圆的方程的推导步骤；2．圆的方程的特点：点(a，b)、r分别表示圆心坐标和圆的半径；3．求圆的方程的两种方法：(1)待定系数法；(2)轨迹法．五、布置作业1．求下列条件所决定的圆的方程：(1)圆心为 C(3，-5)，并且与直线x-7y+2=0相切；(2)过点A(3，2)，圆心在直线y=2x上，且与直线y=2x+5相切．2．已知：一个圆的直径端点是A(x1，y1)、B(x2，y2)．证明：圆的方程是(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0．3．一个等腰三角形底边上的高等于5，底边两端点的坐标是(-4，0)和(4，0)，求它的外接圆的方程．4．赵州桥的跨度是37.4m，圆拱高约为7.2m，求这座圆拱桥的拱圆的方程．作业答案：1．(1)(x-3)2+(y+5)2= 322．因为直径的端点为A(x1，y1)、B(x2，y2)，则圆心和半径分别为所以圆的方程为化简得：x2-(x1+x2)x+x1x2+y2-(y1+y2)y+y1y2=0即(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=04．如图2-11建立坐标系，得拱圆的方程：x2+(y+27.88)2=27.882(-7.2≤y≤0)六、板书设计。
人教版高中数学教案圆的标准方程
人教版高中数学教案圆的标准方程教学目标：1. 理解圆的标准方程的概念及其意义。
2. 学会运用圆的标准方程解决实际问题。
3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
教学重点：圆的标准方程的概念及其运用。
教学难点：理解圆的标准方程的推导过程。
教学准备：圆的模型、黑板、粉笔、PPT。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 利用圆的模型，引导学生回顾圆的定义。
2. 提问：我们已经学过圆的哪些性质和公式？3. 引导学生思考：如何用数学公式来表示圆的性质？二、新课讲解（15分钟）1. 引入圆的标准方程的概念，给出圆的标准方程的定义。
2. 通过PPT展示圆的标准方程的推导过程。
3. 解释圆的标准方程中的各个符号的含义。
4. 举例说明如何运用圆的标准方程解决实际问题。
三、课堂练习（10分钟）1. 让学生独立完成教材上的练习题。
2. 引导学生思考如何将实际问题转化为圆的标准方程问题。
四、巩固提高（10分钟）1. 让学生分组讨论，思考圆的标准方程在实际应用中的拓展。
2. 邀请学生分享他们的思考成果。
五、总结（5分钟）1. 回顾本节课所学的内容，让学生总结圆的标准方程的概念和运用。
2. 强调圆的标准方程在数学和实际生活中的重要性。
教学反思：本节课通过导入、新课讲解、课堂练习、巩固提高和总结等环节，让学生掌握了圆的标准方程的概念和运用。
在教学过程中，注意引导学生思考，激发学生的学习兴趣，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
通过课堂练习和巩固提高环节，让学生将所学知识运用到实际问题中，提高了学生的应用能力。
总体来说，本节课达到了预期的教学目标。
六、实例分析（10分钟）1. 展示几个实际问题，让学生运用圆的标准方程解决。
2. 引导学生分析问题，列出方程，并求解。
3. 让学生分享解题过程和答案，讨论解题方法。
七、练习与拓展（15分钟）1. 让学生独立完成教材上的练习题。
2. 鼓励学生尝试解决更复杂的相关问题，进行拓展训练。
八、课堂小结（5分钟）1. 回顾本节课所学内容，让学生总结圆的标准方程的应用。
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第四章 圆与方程4.1.1 圆的标准方程三维目标：知识与技能：1、掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程。
2、会用待定系数法求圆的标准方程。
过程与方法：进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力，渗透数形结合思想，通过圆的标准方程解决实际问题的学习，注意培养学生观察问题、发现问题和解决问题的能力。
情感态度与价值观：通过运用圆的知识解决实际问题的学习，从而激发学生学习数学的热情和兴趣。
教学重点：圆的标准方程教学难点：会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程。
教学过程：1、情境设置：在直角坐标系中，确定直线的基本要素是什么？圆作为平面几何中的基本图形，确定它的要素又是什么呢？什么叫圆？在平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示，那么，原是否也可用一个方程来表示呢？如果能，这个方程又有什么特征呢？ 探索研究：2、探索研究：确定圆的基本条件为圆心和半径，设圆的圆心坐标为A(a,b)，半径为r 。
（其中a 、b 、r 都是常数，r>0）设M(x,y)为这个圆上任意一点，那么点M 满足的条件是（引导学生自己列出）P={M||MA|=r},由两点间的距离公式让学生写出点M 适合的条件r = ①化简可得：222()()x a y b r -+-= ②引导学生自己证明222()()x a y b r -+-=为圆的方程，得出结论。
方程②就是圆心为A(a,b),半径为r 的圆的方程，我们把它叫做圆的标准方程。
3、知识应用与解题研究例（1）：写出圆心为(2,3)A -半径长等于5的圆的方程，并判断点12(5,7),(1)M M --是否在这个圆上。
分析探求：可以从计算点到圆心的距离入手。
探究：点00(,)M x y 与圆222()()x a y b r -+-=的关系的判断方法：（1）2200()()x a y b -+->2r ，点在圆外 （2）2200()()x a y b -+-=2r ，点在圆上 （3）2200()()x a y b -+-<2r ，点在圆内例（2）： ABC 的三个顶点的坐标是(5,1),(7,3),(2,8),A B C --求它的外接圆的方程师生共同分析：从圆的标准方程222()()x a y b r -+-= 可知，要确定圆的标准方程，可用待定系数法确定a b r 、、三个参数.（学生自己运算解决）例(3):已知圆心为C 的圆:10l x y -+=经过点(1,1)A 和(2,2)B -,且圆心在:10l x y -+=上,求圆心为C 的圆的标准方程.师生共同分析: 如图确定一个圆只需确定圆心位置与半径大小.圆心为C 的圆经过点(1,1)A 和(2,2)B -,由于圆心C 与A,B 两点的距离相等，所以圆心C 在险段AB 的垂直平分线m 上，又圆心C在直线l 上，因此圆心C 是直线l 与直线m 的交点，半径长等于CA 或CB 。
（教师板书解题过程。
）总结归纳：（教师启发，学生自己比较、归纳）比较例（2）、例(3)可得出ABC 外接圆的标准方程的两种求法：①、根据题设条件，列出关于a b r 、、的方程组，解方程组得到a b r 、、得值，写出圆的标准方程. 根据确定圆的要素，以及题设条件，分别求出圆心坐标和半径大小，然后再写出圆的标准方程.提炼小结：1、 圆的标准方程。
2、 点与圆的位置关系的判断方法。
3、 根据已知条件求圆的标准方程的方法。
作业：课本p习题4.1第2、3、4题教学反思：1304.1.2圆的一般方程三维目标：知识与技能：(1)在掌握圆的标准方程的基础上，理解记忆圆的一般方程的代数特征，由圆的一般方程确定圆的圆心半径．掌握方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0表示圆的条件．(2)能通过配方等手段，把圆的一般方程化为圆的标准方程．能用待定系数法求圆的方程。
(3):培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力。
过程与方法：通过对方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0表示圆的条件的探究，培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力。
情感态度价值观：渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法，提高学生的整体素质，激励学生创新，勇于探索。
教学重点：圆的一般方程的代数特征，一般方程与标准方程间的互化，根据已知条件确定方程中的系数，D、E、F．教学难点：对圆的一般方程的认识、掌握和运用教具：多媒体、实物投影仪教学过程：课题引入：问题：求过三点A（0，0），B（1，1），C（4，2）的圆的方程。
利用圆的标准方程解决此问题显然有些麻烦，得用直线的知识解决又有其简单的局限性，那么这个问题有没有其它的解决方法呢？带着这个问题我们来共同研究圆的方程的另一种形式——圆的一般方程。
探索研究：请同学们写出圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2=r2，圆心(a，b)，半径r．把圆的标准方程展开，并整理：x 2＋y 2－2ax －2by ＋a 2＋b 2－r 2=0．取222,2,2r b a F b E a D -+=-=-=得022=++++F Ey Dx y x ①这个方程是圆的方程．反过来给出一个形如x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F=0的方程，它表示的曲线一定是圆吗？ 把x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F=0配方得44)2()2(2222F E D E y D x -+=+++ ② (配方过程由学生去完成)这个方程是不是表示圆？(1)当D 2＋E 2－4F ＞0时，方程②表示（1）当0422>-+F E D 时，表示以（-2D ，-2E）为圆心,F E D 42122-+为半径的圆； （2）当0422=-+F E D 时，方程只有实数解2D x -=，2E y -=，即只表示一个点（-2D ，-2E）; （3）当0422<-+F E D 时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形综上所述，方程022=++++F Ey Dx y x 表示的曲线不一定是圆只有当0422>-+F E D 时，它表示的曲线才是圆，我们把形如022=++++F Ey Dx y x 的表示圆的方程称为圆的一般方程()2214x y ++=我们来看圆的一般方程的特点：(启发学生归纳) (1)①x 2和y 2的系数相同，不等于0． ②没有xy 这样的二次项．(2)圆的一般方程中有三个特定的系数D 、E 、F ，因之只要求出这三个系数，圆的方程就确定了．(3)、与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显。
知识应用与解题研究：例1：判断下列二元二次方程是否表示圆的方程？如果是，请求出圆的圆心及半径。
()()222214441290244412110x y x y x y x y +-++=+-++= 学生自己分析探求解决途径：①、用配方法将其变形化成圆的标准形式。
②、运用圆的一般方程的判断方法求解。
但是，要注意对于()2214441290x y x y +-++=来说，这里的91,3,4D E F =-==而不是D=-4,E=12,F=9.例2：求过三点A （0，0），B （1，1），C （4，2）的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标。
分析：据已知条件，很难直接写出圆的标准方程，而圆的一般方程则需确定三个系数，而条件恰给出三点坐标，不妨试着先写出圆的一般方程解：设所求的圆的方程为：022=++++F Ey Dx y x∵(0,0),(11A B ，）,C(4,2)在圆上，所以它们的坐标是方程的解.把它们的坐标代入上面的方程，可以得到关于F E D ,,的三元一次方程组，即⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=02024020F E D F E D F 解此方程组，可得：0,6,8==-=F E D∴所求圆的方程为：06822=+-+y x y x542122=-+=F E D r ；32,42-=-=-FD得圆心坐标为（4，-3）.或将06822=+-+y x y x 左边配方化为圆的标准方程，25)3()4(22=++-y x ,从而求出圆的半径5=r ，圆心坐标为(4,-3)学生讨论交流，归纳得出使用待定系数法的一般步骤：①、根据提议，选择标准方程或一般方程；②、根据条件列出关于a 、b 、r 或D 、E 、F 的方程组； ③、解出a 、b 、r 或D 、E 、F ，代入标准方程或一般方程。
例3、已知线段AB 的端点B 的坐标是（4，3），端点A 在圆上()2214x y ++=运动，求线段AB 的中点M 的轨迹方程。
分析：如图点A 运动引起点M 运动，而点A 在已知圆上运动，点A 的坐标满足方程()2214x y ++=。
建立点M 与点A 坐标之间的关系，就可以建立点M 的坐标满足的条件，求出点M 的轨迹方程。
解：设点M 的坐标是（x,y ）,点A的坐标是()()00,.B 43M AB x y 由于点的坐标是，且是线段的重点，所以000043,,2224,23x y x y x x y y ++===-=-于是有 ① 因为点A 在圆()2214x y ++=上运动，所以点A 的坐标满足方程()2214x y ++=,即()220014x y ++= ()220014x y ++= ②把①代入②，得130p()()22241234,x y -++-=22312y ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3整理，得x-2M ⎛⎫⎪⎝⎭33所以，点的轨迹是以，为圆心，半径长为1的圆22课堂练习：课堂练习130p 第1、2、3题小结 ：1．对方程022=++++F Ey Dx y x 的讨论(什么时候可以表示圆) 2．与标准方程的互化3．用待定系数法求圆的方程 4．求与圆有关的点的轨迹。
课后作业：130p 习题4.1第2、3、6题教学反思：4.2.1 直线与圆的位置关系一、教学目标1、知识与技能（1）理解直线与圆的位置的种类；（2）利用平面直角坐标系中点到直线的距离公式求圆心到直线的距离； （3）会用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系． 2、过程与方法设直线l ：0=++c by ax ，圆C ：022=++++F Ey Dx y x ，圆的半径为r ，圆心)2,2(ED --到直线的距离为d ，则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点：（1）当r d >时，直线l 与圆C 相离； （2）当r d =时，直线l 与圆C 相切； （3）当r d <时，直线l 与圆C 相交； 3、情态与价值观让学生通过观察图形，理解并掌握直线与圆的位置关系，培养学生数形结合的思想． 二、教学重点、难点：重点：直线与圆的位置关系的几何图形及其判断方法． 难点：用坐标法判直线与圆的位置关系． 三、教学设想教学反思：4.2.2 圆与圆的位置关系一、教学目标1、知识与技能（1）理解圆与圆的位置的种类；（2）利用平面直角坐标系中两点间的距离公式求两圆的连心线长； （3）会用连心线长判断两圆的位置关系． 2、过程与方法设两圆的连心线长为l ，则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点： （1）当21r r l +>时，圆1C 与圆2C 相离； （2）当21r r l +=时，圆1C 与圆2C 外切；（3）当<-||21r r 21r r l +<时，圆1C 与圆2C 相交； （4）当||21r r l -=时，圆1C 与圆2C 内切； （5）当||21r r l -<时，圆1C 与圆2C 内含； 3、情态与价值观让学生通过观察图形，理解并掌握圆与圆的位置关系，培养学生数形结合的思想． 二、教学重点、难点：重点与难点：用坐标法判断圆与圆的位置关系． 三、教学设想教学反思：4.2.3 直线与圆的方程的应用一、教学目标1、知识与技能（1）理解直线与圆的位置关系的几何性质；（2）利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系；（3）会用“数形结合”的数学思想解决问题．2、过程与方法用坐标法解决几何问题的步骤：第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论．3、情态与价值观让学生通过观察图形，理解并掌握直线与圆的方程的应用，培养学生分析问题与解决问题的能力．二、教学重点、难点：重点与难点：直线与圆的方程的应用．三、教学设想教学反思：。