《必修2：圆的标准方程》教案

⑴根据题意||，选择标准方程或一般方程||；
⑵根据条件列出关于 或 的方程组||；
⑶解出 或 ||，代入标准方程或一般方程.
1．若直线ax＋by＝1与圆x2＋y2＝1相交||，则P(a||，b)和圆的关系为__________．
2．已知圆C：x2＋y2＋mx－4＝0上存在两点关于直线x－y＋3＝0对称||，则实数m的值为________．
将P、Q点的坐标分别代入得
又令y＝0||，得x2＋Dx＋F＝0.③
设x1||，x2是方程③的两根||，由|x1－x2|＝6有D2－4F＝36||，④
由①、②、④解得D＝－2||，E＝－4||，F＝－8||，或D＝－6||，E＝－8||，F＝0.
故所求圆的方程为 x2＋y2－2x－4y－8＝0||，或x2＋y2－6x－8y＝0.
3．【解析】 ||，点M1在圆上||，点M2不在圆上
4．【解析】（x-2）2+（y+3）2=25
256
25
5．【解析】(x-1)2+(y-3)2=
1.圆关于 关于原点 对称的圆的方程.
2.过点 向圆 所引的切线方程.
3.过点 ||，圆心在 轴上的圆的方程是.
4.求过三点 的圆的方程||，并求这个圆的半径长和圆心坐标.
①x2和y2的系数相同且为1||；②没有含xy的二次项．③D2＋E2－4F＞0.
类型一求圆的方程
在平面直角坐标系 中||，记二次函数 （ ）与两坐标轴有三个交点．经过三个交点的圆记为 ．
（1）求实数 的取值范围||；
（2）求圆 的方程||；
（3）问圆 是否经过定点（其坐标与 的无关）？请证明你的结论．
1.已知圆的圆心在直线 上||，且与直线 切于点 ||，求圆的标准方程.
2.已知圆 求：⑴过点 的切线方程.⑵过点 的切线方程
3.设直线 和圆 相交于 ||，求弦 的垂直平分线方程.
4.求经过点 且与直线 相切于点 的圆的方程.
5.根据下列条件||，求圆的方程：
(1)经过P(－2||，4)、Q(3||，－1)两点||，并且在x轴上截得的弦长等于6||；
⑵根据确定圆的要素||，以及题设条件||，分别求出圆心坐标和半径大小||，然后再写出圆的标准方程.
三．待定系数法是数学中常用的一种方法||，在以前也已运用过.例如：由已知条件确定二次函数||，利用根与系数的关系确定一元二次方程的系数等.这种方法在求圆的方程有着广泛的运用||，要求熟练掌握.
四.使用待定系数法的一般步骤：
5.已知一个圆的直径端点是 ||，试求此圆的方程.
答案与解析
1．【解析】（x-2）2+y2=5
2．【解析】x=2或3x-4y+10=0
3．【解析】（x-2）2+y2=10
4．【解析】圆心坐标为（4||，-3）圆的半径r=5圆的标准方程为：（x-4）2+（y+3）2=25
5．【解析】(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0
(2)方法一如图||，设圆心(x0||，－4x0)||，依题意得 ＝1||，
∴x0＝1||，即圆心坐标为(1||，－4)||，半径r＝2 ||，
故圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.
方法二设所求方程为(x－x0)2＋(y－y0)2＝r2||，
根据已知条件得 .
因此所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.
5．【解析】由圆的几何性质知kPQkOM＝－1.∵kOM＝2||，∴kPQ＝－ ||，故直线PQ的方程为y－2＝－ (x－1)||，即x＋2y－5＝0.
1．过原点的直线与圆 相交所得弦的长为 ||，则该直线的方程为________．
2．圆 内一点 ||，过点 的直线 的倾斜角为 ||，直线 交圆于 两点．
所以 ＝2||，整理得：|3m＋4|＝10||，解得m＝2或m＝－ (舍去)||，
故所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝4.
4．【解析】圆的方程化为(x＋1)2＋(y－2)2＝5－a||，∴其圆心为(－1||，2)||，且5－a>0||，即a<5.
又圆关于直线y＝2x＋b成轴对称||，∴2＝－2＋b||，∴b＝4.∴a－b＝a－4<1.
3．已知实数x、y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.
(1)求 的最大值和最小值||；
(2)求y－x的最大值和最小值．
4.设定点M(－3||，4)||，动点N在圆x2＋y2＝4上运动||，以OM、ON为两边作平行四边形MONP||，求点P的轨迹．
答案与解析
1．【解析】
2．【解析】
3．【解析】(1)原方程化为(x－2)2＋y2＝3||，表示以点(2||，0)为圆心||，以 为半径的圆．设 ＝k||，即y＝kx||，当直线y＝kx与圆相切时||，斜率k取最大值和最小值||，此时 ＝ ||，解得k＝± .故 的最大值为 ||，最小值为－ .
已知线段 的端点 的坐标是 ||，端点 在圆上 运动||，求线段 的中点 的轨迹方程.
【解析】设点M的坐标为（x||，y）||，点A的坐标为（x0||，y0）
由于点B的坐标是（4||，3）||，且点M是线段AB的中点||，
所以 ||，
于是有 ||， ①
因为点A在圆 上运动||，所以点A的坐标满足方程
即 ②
把①代入②得
整理得
所以||，点M的轨迹方程为 。
【总结与反思】方程 中含有三个参变数||，因此必须具备三个独立的条件||，才能确定一个圆||，还要注意圆的一般式方程与它的标准方程的转化.
1.已知圆经过点 ||，圆心在点 的圆的标准方程.
2.判断下列二元二次方程是否表示圆的方程？如果是||，请求出圆的圆心及半径.
【解析】（1）令 ||，得抛物线于 轴的交点是
令 ||，得 ||，由题意 且 ||，解得 且
（2）设所求圆的一般方程为
令 ||，得 ||，这与 是同一个方程||，故 ||，
令 ||，得 ||，此方程有一个根为 ||，代入得
所以圆 的方程为
（3）圆 必过定点 ||，
证明如下：将 代入圆 的方程||，得左边 ||，右边
(1)当 时||，求AB的长||；
(2)当弦 被点 平分时||，求直线 的方程．
2.已知AC、BD为圆O：x2＋y2＝4的两条相互垂直的弦||，垂足为M(1||， )||，则四边形ABCD的面积的最大值为________．
3.已知圆C和直线x－6y－10＝0相切于点(4||，－1)||，且经过点(9||，6)||，求圆C的方程．
适用学科
高中数学
适用年级
高二
适用区域
苏教版区域
课时时长（分钟）
2课时
知识点
圆的标准方程和一般方程||，求圆的方程的一般方法
教学目标
会用待定系数法求圆的方程
教学重点
求圆的方程
教学难点
选取适当的圆的方程
【教学建议】
圆的方程是在直线的基础上进一步让学生建立方程研究几何图形性质的思想。充分调动学生学习数学的热情||，激发学生自主探究问题的兴趣。
(2)圆心在直线y＝－4x上||，且与直线l：x＋y－1＝0相切于点P(3||，－2)．
答案与解析
1．【解析】（x-1）2+（y+2）2=2
2．【解析】（1）4x-3y-25=0（2）21x-20y+145=0或x=-5
3．【解析】3x-2y-3=0
4．【解析】x2+y2-11x+3y-30=0
5．【解析】(1)设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0||，
故所求圆的方程为x2＋y2－(k＋2)x－(2k＋1)y＋2k＝0||，圆心坐标为 .
∵圆C在点P处的切线斜率为1||，∴kCP＝－1＝ ||，∴k＝－3.
∴D＝1||，E＝5||，F＝－6.
∴所求圆C的方程为x2＋y2＋x＋5y－6＝0.
1．直线 与圆 相切||，则实数 ________．
2．过原点且倾斜角为 的直线被圆 所截得的弦长为________．
(2) .
3．【解析】如图||，取AC的中点F||，BD的中点E||，
则OE⊥BD||，OF⊥AC.又AC⊥BD||，
∴四边形OEMF为矩形||，设OF＝d1||，OE＝d2||，
∴d ＋d ＝OM2＝3.
又AC＝2 ||，BD＝2 ||，
∴S四边形ABCD＝ AC·BD＝2 · ＝2 .
∵0≤d ≤3.∴当d ＝ 时||，S四边形ABCD有最大值是5.
4．【解析】因为圆C和直线x－6y－10＝0相切于点(4||，－1)||，
所以过点(4||，－1)的直径所在直线的斜率为－ ＝－6||，
其方程为y＋1＝－6(x－4)||，即y＝－6x＋23.
又因为圆心在以(4||，－1)||，(9||，6)两点为端点的线段的中垂线 ||，
即5x＋7y－50＝0上||，由 解得圆心坐标为(3||，5)||，
【知识导图】
1.如何写出圆心在原点||，半径为 的圆的方程？
2.如果圆心在 ||，半径为 时又如何呢？
3.把圆的方程化简之后形式如何？
4.这种化简之后的形式有没有限制条件？
方程（x―a)2＋(y―b)2＝r2 叫做以 为圆心||， 为半径的圆的标准方程。
特别地||，当圆心在原点||，半径为r时||，圆的标准方程为：x2+y2=r2.
（3）当D2＋E2－4F<0时时||，方程没有实数解||，因而它不表示任何图形
综上所述||，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0表示的曲线不一定是圆 ||，只有当D2＋E2－4F＞0时||，它表示的曲线才是圆。
我们把形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0 (D2＋E2－4F＞0)的方程称为圆的一般方程 ||，其特点为：
一．方法规纳