《4.1.1圆的标准方程》教学案1

第四章圆与方程本章教材分析上一章，学生已经学习了直线与方程，知道在直角坐标系中，直线可以用方程表示，通过方程，可以研究直线间的位置关系、直线与直线的交点坐标、点到直线的距离等问题，对数形结合的思想方法有了初步体验.本章将在上章学习了直线与方程的基础上，学习在平面直角坐标系中建立圆的代数方程，运用代数方法研究点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系，了解空间直角坐标系，以便为今后的坐标法研究空间的几何对象奠定基础，这些知识是进一步学习圆锥曲线方程、导数和微积分的基础，在这个过程中进一步体会数形结合的思想，形成用代数方法解决几何问题的能力.通过方程，研究直线与圆、圆与圆的位置关系是本章的重点内容之一，坐标法不仅是研究几何问题的重要方法，而且是一种广泛应用于其他领域的重要数学方法，通过坐标系把点和坐标、曲线和方程联系起来，实现了形和数的统一，因此在教学过程中，要始终贯穿坐标法这一重要思想，不怕反复.用坐标法解决几何问题时，先用坐标和方程表示相应的几何元素:点、直线、圆；然后对坐标和方程进行代数运算；最后把运算结果“翻译”成相应的几何结论.这就是坐标法解决几何问题的三步曲.坐标法还可以与平面几何中的综合方法、向量方法建立联系，同时可以推广到空间，解决立体几何问题.本章教学时间约需9课时，具体分配如下(仅供参考):《4.1.1圆的标准方程》教学案1一、教材分析在初中曾经学习过圆的有关知识，本节内容是在初中所学知识及前几节内容的基础上，进一步运用解析法研究圆的方程，它与其他图形的位置关系及其应用.同时，由于圆也是特殊的圆锥曲线，因此，学习了圆的方程，就为后面学习其他圆锥曲线的方程奠定了基础.也就是说，本节内容在教材体系中起到承上启下的作用，具有重要的地位，在许多实际问题中也有着广泛的应用.由于“圆的方程”一节内容的基础性和应用的广泛性，对圆的标准方程要求层次是“掌握”，为了激发学生的主体意识，教学生学会学习和学会创造，同时培养学生的应用意识，本节内容可采用“引导探究”型教学模式进行教学设计，所谓“引导探究”是教师把教学内容设计为若干问题，从而引导学生进行探究的课堂教学模式，教师在教学过程中，主要着眼于“引”，启发学生“探”，把“引”和“探”有机的结合起来.教师的每项教学措施，都是给学生创造一种思维情境，一种动脑、动手、动口并主动参与的学习机会，激发学生的求知欲，促使学生解决问题.二、教学目标1．知识与技能(1)掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程.(2)会用待定系数法求圆的标准方程.2．过程与方法进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力，渗透数形结合思想，通过圆的标准方程解决实际问题的学习，注意培养学生观察问题发现问题和解决问题的能力.3．情感态度与价值观通过运用圆的知识解决实际问题的学习，从而激发学生学习数学的热情和兴趣.三、教学重点与难点教学重点：圆的标准方程的推导过程和圆的标准方程特点的明确.教学难点:会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程.四、课时安排1课时五、教学设计(一)导入新课思路1.课前准备：(用淀粉在一张白纸上画上海和山)说明:在白纸上要表演的是一个小魔术，名称是《日出》，所以还缺少一个太阳，请学生帮助在白纸上画出太阳.要求其他学生在自己的脑海里也构画出自己的太阳.课堂估计：一种是非尺规作图(指出数学作图的严谨性)；一种作出后有同学觉得不够美(点评:其实每个人心中都有一个自己的太阳，每个人都有自己的审美观点然后上升到数学层次：不同的圆心和半径对应着不同的圆，进而对应着不同的圆的方程.从用圆规作图复习初中所学圆的定义：到定点的距离等于定长的点的轨迹.那么在给定圆心和半径的基础上，结合我们前面所学的直线方程的求解，应该如何建立圆的方程？教师板书本节课题:圆的标准方程.思路2.同学们，我们知道直线可以用一个方程表示，那么，圆可以用一个方程表示吗？圆的方程怎样来求呢？这就是本堂课的主要内容，教师板书本节课题:圆的标准方程.(二)推进新课、新知探究、提出问题①已知两点A (2，-5)，B (6，9)，如何求它们之间的距离？若已知C (3，-8)，D (x ，y )，又如何求它们之间的距离？②具有什么性质的点的轨迹称为圆？③图1中哪个点是定点？哪个点是动点？动点具有什么性质？圆心和半径都反映了圆的什么特点？图1④我们知道，在平面直角坐标系中，确定一条直线的条件是两点或一点和倾斜角，那么，决定圆的条件是什么？⑤如果已知圆心坐标为C (a ，b )，圆的半径为r ，我们如何写出圆的方程？⑥圆的方程形式有什么特点？当圆心在原点时，圆的方程是什么？ 讨论结果：①根据两点之间的距离公式221221)()(y y x x -+-，得|AB |=212)59()62(22=++-，|CD |=22)8()3(++-y x .②平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆，定点是圆心，定长是半径(教师在黑板上画一个圆).③圆心C 是定点，圆周上的点M 是动点，它们到圆心距离等于定长|MC |=r ，圆心和半径分别确定了圆的位置和大小.④确定圆的条件是圆心和半径，只要圆心和半径确定了，那么圆的位置和大小就确定了. ⑤确定圆的基本条件是圆心和半径，设圆的圆心坐标为C (a ，b )，半径为r (其中a 、b 、r 都是常数，r ＞0).设M (x ，y )为这个圆上任意一点，那么点M 满足的条件是(引导学生自己列出)P ={M ||MA |=r }，由两点间的距离公式让学生写出点M 适合的条件22)()(b y a x -+-=r .①将上式两边平方得(x -a )2+(y -b )2=r 2.化简可得(x -a )2+(y -b )2=r 2.②若点M (x ，y )在圆上，由上述讨论可知，点M 的坐标满足方程②，反之若点M 的坐标满足方程②，这就说明点M 与圆心C 的距离为r ，即点M 在圆心为C 的圆上.方程②就是圆心为C (a ，b )，半径长为r 的圆的方程，我们把它叫做圆的标准方程.⑥这是二元二次方程，展开后没有xy 项，括号内变数x ，y 的系数都是1.点(a ，b )、r 分别表示圆心的坐标和圆的半径.当圆心在原点即C (0， 0)时，方程为x 2+y 2=r 2.提出问题①根据圆的标准方程说明确定圆的方程的条件是什么？②确定圆的方程的方法和步骤是什么？③坐标平面内的点与圆有什么位置关系？如何判断？讨论结果：①圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2=r 2中，有三个参数a 、b 、r ，只要求出a 、b 、r 且r ＞0，这时圆的方程就被确定，因此确定圆的标准方程，需三个独立条件，其中圆心是圆的定位条件，半径是圆的定形条件.②确定圆的方程主要方法是待定系数法，即列出关于a 、b 、r 的方程组，求a 、b 、r 或直接求出圆心(a ，b )和半径r ，一般步骤为：1°根据题意，设所求的圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2=r 2；2°根据已知条件，建立关于a 、b 、r 的方程组；3°解方程组，求出a 、b 、r 的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程. ③点M (x 0，y 0)与圆(x -a )2+(y -b )2=r 2的关系的判断方法：当点M (x 0，y 0)在圆(x -a )2+(y -b )2=r 2上时，点M 的坐标满足方程(x -a )2+(y -b )2=r 2.当点M (x 0，y 0)不在圆(x -a )2+(y -b )2=r 2上时，点M 的坐标不满足方程(x -a )2+(y -b )2=r 2.用点到圆心的距离和半径的大小来说明应为:1°点到圆心的距离大于半径，点在圆外⇔(x 0-a )2+(y 0-b )2＞r 2，点在圆外；2°点到圆心的距离等于半径，点在圆上⇔(x 0-a )2+(y 0-b )2=r 2，点在圆上；3°点到圆心的距离小于半径，点在圆内⇔(x 0-a )2+(y 0-b )2＜r 2，点在圆内.(三)应用示例思路1例1 写出下列各圆的标准方程：(1)圆心在原点，半径是3；⑵圆心在点C (3，4)，半径是5；(3)经过点P (5，1)，圆心在点C (8，-3)；(4)圆心在点C (1， 3)，并且和直线3x -4y -7=0相切.解:(1)由于圆心在原点，半径是3，所以圆的标准方程为(x -0)2+(y -0)2=32，即x 2+y 2=9.(2)由于圆心在点C (3，4)，半径是5，所以圆的标准方程是(x -3)2+(y -4)2=(5)2，即(x -3)2+(y -4)2=5.(3)方法一:圆的半径r =|CP |=25)31()85(22=++-=5，因此所求圆的标准方程为(x -8)2+(y +3)2=25.方法二:设圆的标准方程为(x -8)2+(y +3)2=r 2，因为圆经过点P (5，1)，所以(5-8)2+(1+3)2=r 2，r 2=25，因此所求圆的标准方程为(x -8)2+(y +3)2=25.这里方法一是直接法，方法二是间接法，它需要确定有关参数来确定圆的标准方程，两种方法都可，要视问题的方便而定.(4)设圆的标准方程为(x -1)2+(y -3)2=r 2，由圆心到直线的距离等于圆的半径，所以r =25|16|25|7123|=--.因此所求圆的标准方程为(x -1)2+(y -3)2=25256. 点评：要求能够用圆心坐标、半径长熟练地写出圆的标准方程.例2 写出圆心为A (2，-3)，半径长等于5的圆的方程，并判断点M 1(5，-7)，M 2(-5，-1)是否在这个圆上.解:圆心为A (2，-3)，半径长等于5的圆的标准方程是(x -2)2+(y +3)2=25，把点M 1(5，-7)，M 2(-5，，-1)分别代入方程(x -2)2+(y +3)2=25，则M 1的坐标满足方程，M 1在圆上.M 2的坐标不满足方程，M 2不在圆上.点评:本题要求首先根据坐标与半径大小写出圆的标准方程，然后给一个点，判断该点与圆的关系，这里体现了坐标法的思想，根据圆的坐标及半径写方程——从几何到代数；根据坐标满足方程来看在不在圆上——从代数到几何.例3 △ABC 的三个顶点的坐标是A (5，1)，B (7，-3)，C (2，-8)，求它的外接圆的方程. 活动：教师引导学生从圆的标准方程(x -a )2+(y -b )2=r 2入手，要确定圆的标准方程，可用待定系数法确定a 、b 、r 三个参数.另外可利用直线AB 与AC 的交点确定圆心，从而得半径，圆的方程可求，师生总结、归纳、提炼方法.解法一:设所求的圆的标准方程为(x -a )2+(y -b )2=r 2，因为A (5，1)，B (7，-3)，C (2，-8)都在圆上，它们的坐标都满足方程(x -a )2+(y -b )2=r 2，于是⎪⎩⎪⎨⎧=--+-=--+-=-+-)3(.)8()2()2()3()7()1(,)1()5(222222222r b a rb a r b a 解此方程组得⎪⎩⎪⎨⎧=-==.5,3,2r b a 所以△ABC 的外接圆的方程为(x -2)2+(y +3)2=25.解法二:线段AB 的中点坐标为(6，-1)，斜率为-2，所以线段AB 的垂直平分线的方程为y +1=21(x -6). 同理线段AC 的中点坐标为(3.5，-3.5)，斜率为3，所以线段AC 的垂直平分线的方程为y +3.5=3(x -3.5).解由①②组成的方程组得x =2，y =-3，所以圆心坐标为(2，-3)，半径r =22)31()25(++-=5，所以△ABC 的外接圆的方程为(x -2)2+(y +3)2=25.点评:△ABC 外接圆的圆心是△ABC 的外心，它是△ABC 三边的垂直平分线的交点，它到三顶点的距离相等，就是圆的半径，利用这些几何知识，可丰富解题思路.思路2例1 图2是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图，该圆拱跨度AB =20 m ，拱高OP =4 m ，在建造时每隔4 m 需用一个支柱支撑，求支柱A 2P 2的长度(精确到0.01 m ).图2解:建立坐标系如图，圆心在y 轴上，由题意得P (0，4)，B (10， 0).设圆的方程为x 2+(y -b )2=r 2，因为点P (0，4)和B (10，0)在圆上，所以⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-+.)0(10,)4(0222222r b r b 解得⎩⎨⎧=-=,5.14,5.1022r b 所以这个圆的方程是x 2+(y +10.5)2=14.52.设点P 2(-2，y 0)，由题意y 0＞0，代入圆方程得(-2)2+(y 0+10.5)2=14.52，解得y 0=2225.14--10.5≈14.36-10.5=3.86(m ).答：支柱A 2P 2的长度约为3.86 m .例2 求与圆x 2+y 2-2x =0外切，且与直线x +3y =0相切于点(3，-3)的圆的方程.活动:学生审题，注意题目的特点，教师引导学生利用本节知识和初中学过的几何知识解题.首先利用配方法，把已知圆的方程写成标准方程，再利用两圆外切及直线与圆相切建立方程组，求出参数，得到所求的圆的方程.解:设所求圆的方程为(x -a )2+(y -b )2=r 2.圆x 2+y 2-2x =0的圆心为(1，0)，半径为1.因为两圆外切，所以圆心距等于两圆半径之和，即22)0()1(-+-b a =r +1， ①由圆与直线x +3y =0相切于点(3，-3)，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-=-•-+)3(.)3(1|3|)2(,1)31(332r b a a b 解得a =4，b =0，r =2或a =0，b =-43，r =6.故所求圆的方程为(x -4)2+y 2=4或x 2+(y +43)2=36.点评:一般情况下，如果已知圆心(或易于求出)或圆心到某一直线的距离(或易于求出)，可用圆的标准方程来求解，用待定系数法，求出圆心坐标和半径.变式训练一圆过原点O 和点P (1，3)，圆心在直线y =x +2上，求此圆的方程.解法一：因为圆心在直线y =x +2上，所以设圆心坐标为(a ，a +2).则圆的方程为(x -a )2+(y -a -2)2=r 2.因为点O (0，0)和P (1，3)在圆上，所以⎪⎩⎪⎨⎧=--+-=--+-,)23()1(,)20()0(222222r a a r a a 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=.825,412r a 所以所求的圆的方程为(x +41)2+(y -47)2=825. 解法二：由题意：圆的弦OP 的斜率为3，中点坐标为(21，23)， 所以弦OP 的垂直平分线方程为y -23=-31(x -21)，即x +3y -5=0. 因为圆心在直线y =x +2上，且圆心在弦OP 的垂直平分线上，所以由⎩⎨⎧=-++=,053,2y x x y 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=,47,41y x ，即圆心坐标为C (-41，47). 又因为圆的半径r =|OC |=825)47()41(22=+-， 所以所求的圆的方程为(x +41)2+(y -47)2=825. 点评:(1)圆的标准方程中有a 、b 、r 三个量，要求圆的标准方程即要求a 、b 、r 三个量，有时可用待定系数法.(2)要重视平面几何中的有关知识在解题中的运用.例3 求下列圆的方程:(1)圆心在直线y =-2x 上且与直线y =1-x 相切于点(2，-1).(2)圆心在点(2，-1)，且截直线y =x -1所得弦长为22.解:(1)设圆心坐标为(a ，-2a )，由题意知圆与直线y =1-x 相切于点(2，-1)，所以2222)12()2(11|12|+-+-=+--a a a a ，解得a =1.所以所求圆心坐标为(1，-2)，半径r =22)12()21(+-+-=2.所以所求圆的标准方程为(x -1)2+(y +2)2=2.(2)设圆的方程为(x -2)2+(y +1)2=r 2(r ＞0)，由题意知圆心到直线y =x -1的距离为d =2211|112|+-+=2.又直线y =x -1被圆截得弦长为22，所以由弦长公式得r 2-d 2=2，即r =2.所以所求圆的标准方程为(x -2)2+(y +1)2=4.点评:本题的两个题目所给条件均与圆心和半径有关，故都利用了圆的标准方程求解，此外平面几何的性质的应用，使得解法简便了许多，所以类似问题一定要注意圆的相关几何性质的应用，从确定圆的圆心和半径入手来解决.(四)知能训练课本本节练习1、2.(一)拓展提升1.求圆心在直线y =2x 上且与两直线3x +4y -7=0和3x +4y +3=0都相切的圆的方程.活动:学生思考交流，教师提示引导，求圆的方程，无非就是确定圆的圆心和半径，师生共同探讨解题方法.解:首先两平行线的距离d =2221B A C C +-=2，所以半径为r =2d =1. 方法一：设与两直线3x +4y -7=0和3x +4y +3=0的距离相等的直线方程为3x +4y +k =0，由平行线间的距离公式d =2221||B A C C +-，得222234|3|43|7|+-=++k k ，即k =-2，所以直线方程为3x +4y -2=0.解3x +4y -2=0与y =2x 组成的方程组⎩⎨⎧==-+,2,0243x y y x 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==,114,112y x ，因此圆心坐标为(112，114).又半径为r =1，所以所求圆的方程为(x -112)2+(y -114)2=1..精选doc 方法二：解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⎩⎨⎧==++⎩⎨⎧==-+.113,116117,1114,2,0343,2,0743x y x y x y y x x y y x 和得与因此圆心坐标为(112，114).又半径r =1，所以所求圆的方程为(x -112)2+(y -114)2=1. 点评:要充分考虑各几何元素间的位置关系，把它转化为代数问题来处理.(六)课堂小结①圆的标准方程.②点与圆的位置关系的判断方法.③根据已知条件求圆的标准方程的方法.④利用圆的平面几何的知识构建方程.⑤直径端点是A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)的圆的方程是(x -x 1)(x -x 2)+(y -y 1)(y -y 2)=0.(七)作业1.复习初中有关点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系有关内容.2.预习有关圆的切线方程的求法.3.课本习题4.1 A 组第2、3题.。