【推荐下载】高考数学总复习函数的极值和最值提高知识梳理

函数的极值和最值
【考纲要求】
1.掌握函数极值的定义。

2.了解函数的极值点的必要条件和充分条件
. 3.会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值和极小值4.会求给定闭区间上函数的最值。

【知识网络】
【考点梳理】
要点一、函数的极值
函数的极值的定义
一般地，设函数)(x f 在点0x x 及其附近有定义，
（1）若对于0x 附近的所有点，都有
)()(0x f x f ，则)(0x f 是函数)(x f 的一个极大值，记作)(0x f y 极大值；
（2）若对0x 附近的所有点，都有)()
(0x f x f ，则)(0x f 是函数)(x f 的一个极小值，记作)(0x f y 极小值.
极大值与极小值统称极值.
在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值
. 要点诠释：
求函数极值的的基本步骤：
①确定函数的定义域；
②求导数)(x f ；
③求方程0)(x f 的根；
④检查'()f x 在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则
f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，则f(x)在这个根处取得极小值
.(最好通过列表法)
要点二、函数的最值
1.函数的最大值与最小值定理函数的极值和最值函数在闭区间上的最大值和最小值
函数的极值
函数极值的定义
函数极值点条件求函数极值
若函数()y f x 在闭区间],[b a 上连续，则)(x f 在],[b a 上必有最大值和最小值；
在开区间),(b a 内连续的函数)(x f 不一定有最大值与最小值
.如1()(0)f x x x .
要点诠释：①函数的最值点必在函数的极值点或者区间的端点处取得。

②函数的极值可以有多个，但最值只有一个。

2.通过导数求函数最值的的基本步骤：
若函数()y f x 在闭区间],[b a 有定义，在开区间(,)a b 内有导数，则求函数()y f x 在],[b a 上的最大值和最小值的步骤如下：
（1）求函数)(x f 在),(b a 内的导数)(x f ；
（2）求方程0)(x f 在),(b a 内的根；
（3）求在),(b a 内使0)
(x f 的所有点的函数值和)(x f 在闭区间端点处的函数值)(a f ，)(b f ；（4）比较上面所求的值，其中最大者为函数()y f x 在闭区间],[b a 上的最大值，最小者为函数()y f x 在闭区间],[b a 上的最小值.
【典型例题】
类型一：利用导数解决函数的极值等问题
【高清课堂：函数的极值和最值394579 典型例题一】
例1.已知函数.,33)(23R m x x mx x f 若函数1)(x x f 在处取得极值，试求m 的值，并求)(x f 在点))1(,1(f M 处的切线方程；
【解析】
2'()363,.f x mx x m R 因为1)(x x f 在处取得极值
所以'(1)
3630f m 所以3m。

又(1)3,'(1)12
f f 所以)(x f 在点))1(,1(f M 处的切线方程
312(1)y x 即1290x y .。