人教版圆的标准方程教案
高中数学圆的标准方程教案 高中数学圆与方程教案三
高中数学圆的标准方程教案高中数学圆与方程教案三高中数学圆的标准方程教案高中数学圆与方程教案篇七一、具体目标：1.获得必要的数学基础知识和基本技能，理解基本的数学概念、数学结论的本质，了解概念、结论等产生的背景、应用，体会其中所蕴涵的数学思想和方法，以及它们在后续学习中的作用。
通过不同形式的自主学习、探究活动，体验数学发现和创造的历程。
2.提高空间想像、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理等基本能力。
3.提高数学地提出、分析和解决问题(包括简单的实际问题)的能力，数学表达和交流的能力，发展独立获取数学知识的能力。
4.发展数学应用意识和创新意识，力求对现实世界中蕴涵的一些数学模式进行思考和作出判断。
5.提高学习数学的兴趣，树立学好数学的信心，形成锲而不舍的钻研精神和科学态度。
6.具有一定的数学视野，逐步认识数学的科学价值、应用价值和文化价值，形成批判性的思维习惯，崇尚数学的理性精神，体会数学……二、本学期要达到的教学目标1.双基要求：在基础知识方面让学生掌握高一有关的概念、性质、法则、公式、定理以及由其内容反映出来的数学思想和方法。
在基本技能方面能按照一定的程序与步骤进行运算、处理数据、能使用计数器及简单的推理、画图。
2.能力培养：能运用数学概念、思想方法，辨明数学关系，形成良好的思维品质;会根据法则、公式正确的进行运算、处理数据，并能根据问题的情景设计运算途径;会提出、分析和解决简单的带有实际意义的或在相关学科、生产和生活的数学问题，并进行交流，形成数学的意思;从而通过独立思考，会从数学的角度发现和提出问题，进行探索和研究。
3.思想教育：培养高一学生，学习数学的兴趣、信心和毅力及实事求是的科学态度，勇于探索创新的精神，及欣赏数学的美学价值，并懂的数学来源于实践又反作用于实践的观点;数学中普遍存在的对立统一、运动变化、相互联系、相互转化等观点。
高中数学圆的标准方程教案高中数学圆与方程教案篇八高一下学期数学教学计划精选本学期担任高一(9)(10)两班的数学教学工作，两班学生共有120人，初中的基础参差不齐，但两个班的学生整体水平不高;部分学生学习习惯不好，很多学生不能正确评价自己，这给教学工作带来了一定的难度，为把本学期教学工作做好，制定如下教学工作计划。
高二数学 7.6圆的方程(第一课时)大纲人教版必修
7.6 圆的方程课时安排3课时从容说课圆是同学们比较熟悉的曲线.本节将介绍圆的标准方程、一般方程和参数方程，其中标准方程和一般方程又统称为圆的普通方程.三种方程各有特点，且可互化.所以通过对本节的学习，应熟练掌握圆的三种方程，并能相互灵活转化.在初中几何课中己学习过圆的性质，这里只是用解析法研究它的方程与其他图形的位置关系及一些应用.●课题§7.6.1 圆的方程（一）●教学目标（一）教学知识点圆的标准方程.（二）能力训练要求1.掌握圆的标准方程；2.能根据圆心坐标、半径熟练地写出圆的标准方程；3.从圆的标准方程熟练地求出圆心和半径.（三）德育渗透目标1.渗透数形结合思想；2.培养学生的思维素质；3.提高学生的思维能力.●教学重点已知圆的圆心为（a,b)，半径为r，则圆的标准方程是(x-a)2+(y-b)2=r2.特别地，a=b=0时，它表示圆心在原点，半径为r的圆：x2+y2=r2.●教学难点根据条件，利用待定系数法确定圆的三个参数a、b、r，从而求出圆的标准方程.●教学方法引导法引导学生按照求曲线方程的一般步骤根据条件归纳出圆的标准方程.●教具准备投影片两张第一张：§7.6.1 A第二张：§7.6.1 B例：如图所示是圆拱桥的一孔圆拱的示意图.该圆拱跨度AB=20 m，拱高OP=4 m，在建造时每隔4 m需用一个支柱支撑，求支柱A2P2的高度.（精确到0.01 m）.●教学过程Ⅰ.课题导入我们知道，平面内与定点距离等于定长的点的集合（轨迹）是圆.定点就是圆心，定长就是半径.那么，圆是否也可用一个方程来表示呢？Ⅱ.讲授新课（打出投影片§7.7.1 A)请同学们试着来求一下圆心是C (a ,b )，半径是r 的圆的方程. ［师］（引导学生分析）：根据圆的定义，不难得出圆C 就是到圆心C (a ,b )的距离等于定长r 的所有点所组成的集合.［师］这个集合是怎样的一个集合呢？是否可用数学语言把它描述出来？［生］圆C 就是集合P ={M ｜｜MC ｜=r }.［师］这样的话，不妨设M （x ,y )是圆上任意一点，由两点间的距离公式，点M 适合的条件可表示为……［生］（回答）：r b y a x =-+-22)()(.［师］整理此式，可得到……［生］(x -a )2+(y -b )2=r 2.［师］这个方程就是圆心为C (a ,b )，半径为r 的圆的方程，我们把它叫做圆的标准方程.如果圆心在坐标原点，这时a =0,b =0,则圆的方程是……［生］x 2+y 2=r 2.［师］看来，只要已知圆心坐标和半径，便可写出圆的标准方程.下面，我们看一些例子.［例1］求以C （1，3）为圆心，并且和直线3x -4y -7=0相切的圆的方程.分析：要想写出圆的方程，需知圆心坐标和半径，圆心为C （1，3），而半径需根据已知条件求得，因为圆C 和直线3x -4y -7=0相切，所以半径r 等于圆心C 到这条直线的距离，而后可写出圆C 的方程.解：已知圆心是C （1，3），∵圆C 和直线3x -4y -7=0相切，∴半径r 等于圆心C 到这条直线的距离.由点到直线距离公式，可得r =516)4(3734132=-+-⨯-⨯. ∴所求的圆的方程是(x -1)2+(y -3)2=25256. ［例2］已知圆的方程是x 2+y 2=r 2，求经过圆上一点M （x 0,y 0）的切线的方程.分析：欲求过M 的直线方程，只要求出此直线斜率即可.解：设切线的斜率为k ，半径OM 的斜率为k 1，∵圆的切线垂直于过切点的半径，∴k =-11k . ∵k 1=00x y .∴k =-00y x .∴经过点M 的切线方程是：y -y 0=-00y x (x -x 0),整理得x 0x +y 0y =x 02+y 02.又∵点M （x 0,y 0)在圆上，∴x 02+y 02=r 2.∴所求切线方程是x 0x +y 0y =r 2.当点M 在坐标轴上时，切线方程为： x =x 0或y =y 0.可看出上面方程也同样适用.（打出投影片§7.7.1 B)［例3］这是一实际应用例子.分析：首先我们应建立恰当的坐标系，将这一问题转化为数学问题.解：建立坐标系，圆心在y 轴上，设圆心的坐标是(0,b )，圆的半径是r ，那么圆的方程是x 2+(y -b )2=r 2.∵P 、B 都在圆上，所以它们的坐标（0，4）、（10，0）都是这个圆的方程的解.∴⎩⎨⎧=-+=-+.)0(10,)4(0222222r b r b 解得：b =-10.5,r 2=14.52∴圆方程为：x 2+(y +10.5)2=14.52.把点P 2的横坐标x =-2代入这个圆方程，得（-2）2+（y +10.5)2=14.52,∵P 2的纵坐标y ＞0∴y +10.5=22)2(5.14--即y =22)2(5.14---10.5≈14.36-10.5=3.86 (m)答：支柱A 2P 2的高度约为3.86 m.Ⅲ.课堂练习［生］课本P 77,练习1，2，3，4.1.写出下列各圆的方程：（1）圆心在原点，半径是3；解：x 2+y 2=9.（2）圆心在点C （3，4），半径是5；解：（x -3）2+(y -4)=5.(3)经过点P （5，1），圆心在点C （8，-3）解：r =｜PC ｜=5)31()85(22=++-圆方程为：(x -8)2+(y +3)2=252.已知一个圆的圆心在原点，并与直线4x +3y -70=0相切，求圆的方程.解：∵圆的半径r 为原点到直线4x +3y -70=0的距离. ∴r =14347022=+.∴圆方程为：x 2+y 2=196.3.写出过圆x 2+y 2=10上一点M (2,6)的切线的方程. 解：利用例2结论可得：切线方程为2x +6y =10.4.已知圆的方程是x 2+y 2=1,求：（1）斜率等于1的切线的方程.（2）在y 轴上截距是2的切线的方程.解：（1）设切点坐标为M (x 0,y 0)则k OM =-1=0x y又∵x 02+y 02=1 ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==222222220000y x y x 或∴切线方程为y ＋22=x -22或y -22=x +22即:y =x ±2.（2）设切点M （x 0,y 0），切线与y 轴交点B （0，2）则：k OM ·k BM =-1 即00002x y x y -⋅=-1x 02+y 02-2y 0=0又∵x 02+y 02=1(x -a ) 2+(y -b ) 2=r 2 ［例3］ ∴或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==222200x y ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==222200x y ∴切线方程为y =±x +2.Ⅳ.课时小结 通过本节学习，首先要掌握根据圆心坐标和圆的半径可写出圆的标准方程.其次，根据圆的标准方程可求得圆心坐标和半径.另外，还要会变通一些条件，从而求得圆的半径或圆心坐标，以便写出圆的标准方程.还需了解的是过圆x 2+y 2=r 2上一点(x 0,y 0)的切线方程为：x 0x +y 0y =r 2.最后，还要注意结合初中所学的平面几何知识和前面所学的直线方程的有关知识解决一些综合性问题.Ⅴ.课后作业（一）课本P 81习题7.6 1,2,3,4.(二）1.预习内容：课本P 77～792.预习提纲：（1）圆的一般方程有何特点？（2）圆的标准方程和圆的一般方程如何互化？●板书设计§7．6．1 圆的方程（一）一、圆的标准方程［例1］［例2］。
人教版高中数学必修2-4.1《圆的标准方程》教学设计
4.1圆的方程4.1.1圆的标准方程（熊用兵）一、教学目标（一）核心素养通过本节课的学习，掌握圆的定义，并根据此定义得出圆的标准方程.（二）学习目标掌握圆的定义及圆的标准方程，会利用条件求圆的标准方程.（三）学习重点利用各种条件求圆的标准方程.（四）学习难点根据圆的定义推导圆的标准方程以及求圆的标准方程.二、教学设计（一）课前设计1.预习任务读一读：阅读教材第118页到119页，填空：确定一个圆的最基本的要素是圆心和半径；圆心为点(,)a b ，半径为r 的圆的标准方程为222()()x a y b r -+-=.2.预习自测（1）圆心在点(1,2)，半径为5的圆的标准方程为（ ）A.22(1)(2)5x y +++=B.22(1)(2)25x y +++=C.22(1)(2)5x y -+-=D.22(1)(2)25x y -+-=【知识点】圆的标准方程.【解题过程】由条件知1,2,5a b r ===，代入标准方程得：22(1)(2)25x y -+-=【思路点拨】熟记圆的标准方程，明确各字母的具体含义.【答案】D（2）若点(15,)M a a +在圆22(1)26x y -+=上，则实数a =（ ）A.1B. 1±C.2D.【知识点】点与圆的位置关系.【解题过程】由条件，将点M 的坐标代入圆的方程得21a =，故1a =±【思路点拨】点000(,)M x y 与圆C ：222()()x a y b r -+-=的位置关系：（1）点0M 在圆C 上⇔22200()()x a y b r -+-=；（2）点0M 在圆C 内⇔22200()()x a y b r -+-<；（3）点0M 在圆C 外⇔22200()()x a y b r -+->；【答案】B（3）已知点(1,1),(1,1)A B --，则以线段AB 为直径的圆的标准方程为（ ）A.221x y +=B. 22x y +=C. 222x y +=D. 224x y +=【知识点】圆的标准方程.【解题过程】由线段AB 为直径，所以圆心为(0,0)，半径r 圆的标准方程为222x y +=【思路点拨】求圆的标准方程就是要找出圆心坐标和半径.【答案】C（二）课堂设计1.知识回顾：（1）在直角坐标平面中确定一条直线的方法有哪些？两点可以确定一条直线；一点和倾斜角可以确定一条直线；横、纵截距可以确定一条直线等等.（2）直角坐标平面中两点间的距离公式：设点1122(,)(,)A x y B x y 、，则这两点间2.问题探究探究一 圆的定义•活动① 在直角坐标平面中，如何确定一个圆？显然，当圆心位置和半径大小确定后，这个圆也就唯一确定了.因此，确定一。
数学：7.7.1 圆的标准方程(一)教案(旧人教版高二上)
7.7。
1 圆的标准方程（一）教学要求:理解圆的轨迹定义,掌握简单条件下求圆的标准方程，掌握圆与点、直线的位置关系。
教学重点：掌握圆的标准方程。
教学过程：一、复习准备:求经过两条曲线x2＋y2＋3x－y＝0个3x2＋3y2＋2x＋y＝0的交点的直线方程。
分析：用曲线系解答,即设过交点的曲线为F1(x,y）＋λF2（x，y)＝0二、讲授新课：1。
教学标准方程：①回顾：圆是怎样定义的?（平面内到定点的距离等于定长的点的集合）②出示例:求以(a，b)为圆心，r为半径为圆的方程.③学生试讲述解答过程。
④提出定义：圆的标准方程。
⑤指出下列圆的圆心的坐标、半径：(x＋1)2＋（y－2)2＝4 (x＋3)2＋（y＋1)2＝m2(2x＋1）2＋（2y－2）2＝4⑥写出下列已知条件的圆的标准方程: 圆心在（0,0)，半径为r；圆心在（-3,4)，半径为5; 圆心在(0，-2)，且与x轴相切。
⑦出示例:已知P1（4，—9）和P2(-6,1),求以P1P2为直径的圆的方程,并判断点M(—1,6)、N(5,10)、Q(-3，—10)与它的位置关系。
⑧学生试练→订正→小结。
⑨出示例：求以点C(1,3)为圆心，并且和直线3x－4y－1＝0相切的圆的方程。
⑩先由学生分析思路→试练→讨论其他解法。
2.练习：求下列各圆的标准方程：①与圆(x－2)2+（y＋3）2＝2同心,且过点（—1,1）②以点（0,2）为圆心，且与直线y＝x相切③以A(2,5）、B(-4,1)为直径三、巩固练习：1。
求过点A(—1，3)、B(—6，-2），圆心在直线x－y－4＝0上圆。
2。
已知圆C1：（x－1）2＋（y－3）2＝1，C2：(x－3）2＋(y－1)2＝9，直线L：3x＋4y－9＝0，判别C1与C2、C1与L的位置关系。
3。
课堂作业：书P77 2、3、4题。
人教版高中数学教案圆的标准方程
人教版高中数学教案圆的标准方程教学目标：1. 理解圆的标准方程的概念和意义。
2. 学会利用圆的标准方程解决实际问题。
3. 掌握圆的标准方程的推导和应用方法。
教学内容：1. 圆的标准方程的定义和意义。
2. 圆的标准方程的推导过程。
3. 圆的标准方程的应用实例。
教学步骤：第一章：圆的标准方程的概念和意义1.1 引入圆的概念：引导学生回顾初中阶段学习的圆的概念，复习圆的性质和特点。
1.2 圆的标准方程的定义：介绍圆的标准方程的定义，解释圆的标准方程的意义。
1.3 圆的标准方程的意义：引导学生理解圆的标准方程在数学中的重要作用，以及它在实际问题中的应用。
第二章：圆的标准方程的推导过程2.1 圆的参数方程：介绍圆的参数方程的概念，引导学生理解参数方程与圆的标准方程的关系。
2.2 圆的标准方程的推导：引导学生通过转化思想，将圆的参数方程转化为标准方程。
2.3 圆的标准方程的简化：引导学生学会简化圆的标准方程，理解圆的标准方程的不同形式。
第三章：圆的标准方程的应用实例3.1 圆的方程与圆的性质：引导学生利用圆的标准方程研究圆的性质，如半径、直径等。
3.2 圆的方程与圆的位置关系：引导学生利用圆的标准方程研究圆与圆的位置关系，如相离、相切等。
3.3 圆的方程与圆的面积：引导学生利用圆的标准方程计算圆的面积，理解圆的面积与半径的关系。
教学评价：1. 通过课堂讲解和练习，评价学生对圆的标准方程的概念和意义的理解程度。
2. 通过课后作业和练习题，评价学生对圆的标准方程的推导和应用能力。
3. 通过小组讨论和问题解答，评价学生对圆的标准方程的实际应用和创新能力。
教学资源：1. 教学PPT：制作精美的教学PPT，展示圆的标准方程的概念和意义，以及推导和应用过程。
2. 练习题库：准备丰富的练习题库，包括不同难度和类型的题目，以供学生课后练习和巩固知识。
3. 教学案例：提供一些与圆的标准方程相关的实际案例，引导学生将理论知识应用于实际问题中。
最新人教版高中数学必修2第四章《圆的标准方程》教学设计
教学设计4．1.1圆的标准方程整体设计一、教学背景分析1．教材结构分析圆是学生比较熟悉的一类曲线，而且是一种对称、和谐的图形，具有很多优美的几何性质．本节内容首先通过圆的定义，求解圆的标准方程，进而变化出圆的一般方程，其次运用代数的方法探讨直线与圆，圆与圆的位置关系，进一步提高学生对解析几何问题研究方法的深入理解．2．教材地位与作用圆作为常见的简单几何图形，在实际生活和生产实践中有着广泛的应用．本节内容安排在学生学习直线方程之后，旨在更加深刻的体会曲线和方程的关系，为后继学习做好准备．同时有关圆的问题，特别是圆和直线的位置关系问题，是解析几何的基本问题．这些问题的解决为圆锥曲线问题的解决提供了基本的思想方法．圆的方程也属于解析几何学的基础知识，是研究二次曲线的开始，对后继直线与圆的位置关系、圆锥曲线等内容的学习，无论在知识上还是方法上都有积极的意义．所以本节内容在解析几何中起着承前启后的作用．3．学情分析学生在初中已经学习了圆的概念和基本性质，在高中又掌握了求直线方程的一般方法，但由于学生以往注重从几何的角度理解圆的性质，而且学习解析几何的时间还不长、学习程度较浅，尚未建立牢固的数形结合的思想，对于解析法运用还不够熟练，在学习过程中难免会出现困难．另外学生在探索问题的能力，合作交流的意识等方面有待加强．4.教学目标(1)知识目标：①在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程；②会由圆的方程写出圆的半径和圆心，能根据条件写出圆的方程．(2)能力目标：①进一步培养学生用解析法研究几何问题的能力；②使学生加深对数形结合思想和待定系数法的理解；③增强学生用数学的意识．(3)情感目标：培养学生主动探究知识、合作交流的意识，在体验数学美的过程中激发学生的学习兴趣．5．教学重点、难点(1)教学重点：圆的标准方程的求法及其应用．(2)教学难点：会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程以及选择恰当的坐标系解决与圆有关的实际问题．二、教法分析高一学生，在教师的引导下，已经具备一定探究与研究问题的能力．所以在设计问题时应考虑全面性和灵活性，采用对比、启发、探究等方式，师生共同探讨，共同参与、共同研究，让学生积极思考，主动学习．在教学过程中采取小组讨论法，向学生提供具备启发性和思考性的问题．因此，要求学生在课堂上小组讨论，然后小组汇报讨论成果，提高学生的探究、推理、想象、表达、分析和总结归纳等方面的能力．因为本节课是在学生对圆的基本性质认识的基础上，再对圆进行代数研究．针对学生的学习过程、认知水平，在遵循参与式教学的基础上，调动全班学生积极参与，认真思考，努力体现学生学习的主体性地位．在学习过程中让学生积极思考，动手计算，不仅在“思维中参与”而且在“行动中参与”，养成主动性的学习习惯．三、学法分析为了重点培养学生分析问题、解决问题的能力．因此，要求学生在学习中遇到问题时，不要急于求成，而是通过求圆的标准方程，理解必须具备三个独立的条件才可以确定一个圆．通过推导圆的标准方程，加深用解析法求轨迹方程的理解．还要会根据问题提供的信息回忆所学知识，采用转化思想、数形结合的思想，选择最佳方案解决．四、教学基本流程及其说明结合教材与新课程标准本节课采用以下流程(一)、教师在理解教材的编写意图的基础上，应发挥主观能动性，对教材资源进行再加工、再创造，这样教学方法更有利于学生的认知结构，也有利于学生从深层次理解和掌握圆的标准方程．(二)、在整个教学过程中，主要着眼于“引”，启发学生“探”，把“引”和“探”有机结合起来，教师的每项措施都是力求给学生创造一种思维情境，动手、动脑、动口并且主动参与学习的机会，激发学生求知欲望，促使学生在不知不觉中掌握知识，解决问题．(三)、培养思维，提高能力，激励创新在问题的设计中，利用一题多解的探究，纵向挖掘知识深度，横向加强知识间的联系，培养了学生的创新精神，并且使学生的有效思维量加大，随时对所学知识和方法产生注意，使能力与知识的形成相伴而行．五、教学情境设计圆是学生比较熟悉的曲线，初中平面几何对圆的基本性质作了比较系统的研究，因此这节课的重点确定为用解析法研究圆的标准方程及其简单应用．首先，在已有圆的定义和求曲线方程的一般步骤的基础上，用实际问题引导学生探究获得圆的标准方程，然后，利用圆的标准方程由浅入深的解决问题，并通过圆的方程在实际问题中的应用，增强学生用数学的意识．另外，为了培养学生的理性思维，设计了由特殊到一般的学习思路，培养学生的归纳概括能力．在问题的设计中，用一题多解的探究，纵向挖掘知识深度，横向加强知识间的联系，培养了学生的创新精神，并且使学生的有效思维量加大，随时对所学知识和方法产生有意注意，能力与知识的形成相伴而行，这样的设计不但突出了重点，更使难点的突破水到渠成．本节课设计了六个环节，以问题为纽带，以探究活动为载体，使学生在问题的指引下、教师的指导下把探究活动层层展开、步步深入，充分体现以教师为主导，以学生为主体的指导思想．应用启发式的教学方法把学生学习知识的过程转变为学生观察问题、发现问题、分析问题、解决问题的过程，在解决问题的同时锻炼了思维、提高了能力、培养了兴趣、增强了信心．。
高二数学圆的标准方程教案 人教版 教案
高二数学圆的标准方程教案一、教学目标(一)知识教学点使学生掌握圆的标准方程的特点，能根据所给有关圆心、半径的具体条件准确地写出圆的标准方程，能运用圆的标准方程正确地求出其圆心和半径，解决一些简单的实际问题，并会推导圆的标准方程．(二)能力训练点通过圆的标准方程的推导，培养学生利用求曲线的方程的一般步骤解决一些实际问题的能力．(三)学科渗透点圆基于初中的知识，同时又是初中的知识的加深，使学生懂得知识的连续性；通过圆的标准方程，可解决一些如圆拱桥的实际问题，说明理论既来源于实践，又服务于实践，可以适时进行辩证唯物主义思想教育．二、教材分析1．重点：(1)圆的标准方程的推导步骤；(2)根据具体条件正确写出圆的标准方程．(解决办法：(1)通过设问，消除难点，并详细讲解；(2)多多练习、讲解．)2．难点：运用圆的标准方程解决一些简单的实际问题．(解决办法：使学生掌握分析这类问题的方法是先弄清题意，再建立适当的直角坐标系，使圆的标准方程形式简单，最后解决实际问题．)三、活动设计问答、讲授、设问、演板、重点讲解、归纳小结、阅读．四、教学过程(一)复习提问前面，大家学习了圆的概念，哪一位同学来回答？问题1：具有什么性质的点的轨迹称为圆？平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆(教师在黑板上画一个圆)．问题2：图2-9中哪个点是定点？哪个点是动点？动点具有什么性质？圆心和半径都反映了圆的什么特点？圆心C是定点，圆周上的点M是动点，它们到圆心距离等于定长|MC|=r，圆心和半径分别确定了圆的位置和大小．问题3：求曲线的方程的一般步骤是什么？其中哪几个步骤必不可少？求曲线方程的一般步骤为：(1)建立适当的直角坐标系，用(x，y)表示曲线上任意点M的坐标，简称建系设点；图2-9(2)写出适合条件P的点M的集合P={M|P(M)|}，简称写点集；(3)用坐标表示条件P(M)，列出方程f(x，y)=0，简称列方程；(4)化方程f(x，y)=0为最简形式，简称化简方程；(5)证明化简后的方程就是所求曲线的方程，简称证明．其中步骤(1)(3)(4)必不可少．下面我们用求曲线方程的一般步骤来建立圆的标准方程．(二)建立圆的标准方程1．建系设点由学生在黑板上画出直角坐标系，并问有无不同建立坐标系的方法．教师指出：这两种建立坐标系的方法都对，原点在圆心这是特殊情况，现在仅就一般情况推导．因为C是定点，可设C(a，b)、半径r，且设圆上任一点M坐标为(x，y)．2．写点集根据定义，圆就是集合P={M||MC|=r}．3．列方程由两点间的距离公式得：4．化简方程将上式两边平方得：(x-a)2+(y-b)2=r2． (1)方程(1)就是圆心是C(a，b)、半径是r的圆的方程．我们把它叫做圆的标准方程．这时，请大家思考下面一个问题．问题5：圆的方程形式有什么特点？当圆心在原点时，圆的方程是什么？这是二元二次方程，展开后没有xy项，括号内变数x，y的系数都是1．点(a，b)、r分别表示圆心的坐标和圆的半径．当圆心在原点即C(0，0)时，方程为 x2+y2=r2．教师指出：圆心和半径分别确定了圆的位置和大小，从而确定了圆，所以，只要a，b，r 三个量确定了且r＞0，圆的方程就给定了．这就是说要确定圆的方程，必须具备三个独立的条件．注意，确定a、b、r，可以根据条件，利用待定系数法来解决．(三)圆的标准方程的应用例1写出下列各圆的方程：(请四位同学演板)(1)圆心在原点，半径是3；(3)经过点P(5，1)，圆心在点C(8，-3)；(4)圆心在点C(1，3)，并且和直线3x-4y-7=0相切．教师纠错，分别给出正确答案：(1)x2+y2=9；(2)(x-3)2+(y-4)2=5；指出：要求能够用圆心坐标、半径长熟练地写出圆的标准方程．例2说出下列圆的圆心和半径：(学生回答)(1)(x-3)2+(y-2)2=5；(2)(x+4)2+(y+3)2=7；(3)(x+2)2+ y2=4教师指出：已知圆的标准方程，要能够熟练地求出它的圆心和半径．例3 (1)已知两点P1(4，9)和P2(6，3)，求以P1P2为直径的圆的方程；(2)试判断点M(6，9)、N(3，3)、Q(5，3)是在圆上，在圆内，还是在圆外？解(1)：分析一：从确定圆的条件考虑，需要求圆心和半径，可用待定系数解决．解法一：(学生口答)设圆心C(a，b)、半径r，则由C为P1P2的中点得：又由两点间的距离公式得：∴所求圆的方程为：(x-5)2+(y-6)2=10分析二：从图形上动点P性质考虑，用求曲线方程的一般方法解决．解法二：(给出板书)∵直径上的四周角是直角，∴对于圆上任一点P(x，y)，有PP1⊥PP2．化简得：x2+y2-10x-12y+51=0．即(x-5)2+(y-6)2=10为所求圆的方程．解(2)：(学生阅读课本)分别计算点到圆心的距离：因此，点M在圆上，点N在圆外，点Q在圆内．这时，教师小结本题：1．求圆的方程的方法(1)待定系数法，确定a，b，r；(2)轨迹法，求曲线方程的一般方法．2．点与圆的位置关系设点到圆心的距离为d，圆半径为r：(1)点在圆上d=r；(2)点在圆外d＞r；(3)点在圆内d＜r．3．以A(x1，y1)、B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0(证明留作作业)例4图2-10是某圆拱桥的—孔圆拱的示意图．该圆拱跨度AB=20m，拱高OP=4m，在建造时每隔4m需用一个支柱支撑，求支柱A2P2的长度(精确到)．此例由学生阅读课本，教师巡视并做如下提示：(1)先要建立适当直角坐标系，使圆的标准方程形式简单，便于计算；(2)用待定系数法求圆的标准方程；(3)要注意P2的横坐标x=-2＜0，纵坐标y＞0，所以A2P2的长度只有一解．(四)本课小结1．圆的方程的推导步骤；2．圆的方程的特点：点(a，b)、r分别表示圆心坐标和圆的半径；3．求圆的方程的两种方法：(1)待定系数法；(2)轨迹法．五、布置作业1．求下列条件所决定的圆的方程：(1)圆心为 C(3，-5)，并且与直线x-7y+2=0相切；(2)过点A(3，2)，圆心在直线y=2x上，且与直线y=2x+5相切．2．已知：一个圆的直径端点是A(x1，y1)、B(x2，y2)．证明：圆的方程是(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0．3．一个等腰三角形底边上的高等于5，底边两端点的坐标是(-4，0)和(4，0)，求它的外接圆的方程．4．赵州桥的跨度是，圆拱高约为，求这座圆拱桥的拱圆的方程．作业答案：1．(1)(x-3)2+(y+5)2= 322．因为直径的端点为A(x1，y1)、B(x2，y2)，则圆心和半径分别为所以圆的方程为化简得：x2-(x1+x2)x+x1x2+y2-(y1+y2)y+y1y2=0即(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=04．如图2-11建立坐标系，得拱圆的方程：≤y≤0)六、板书设计。
圆的标准方程
《圆的标准方程》教学设计人教版高二上学期数学必修2《圆的标准方程》教学设计课标依据本节是普通高中课程标准实验教科书《数学必修2》第四章第一节的内容。
本章将学习在平面直角坐标系中建立圆的代数方程，运用代数方法研究直线与圆、圆与圆的位置关系，体会数形结合的思想。
圆是学生比较熟悉的曲线，在初中曾经学习过圆的有关知识，本节内容是在初中所学知识及直线方程内容的基础上，进一步运用解析法研究圆的方程，它与直线的位置关系及应用同时，由于圆也是特殊的圆锥曲线，因此，学习了圆的方程，就为后面学习其它圆锥曲线的方程奠定基础。
可以说本节在教材中起到了承上启下的作用。
学情分析学生在初中已经对圆的概念以及圆的性质有所了解，而在前一章直线的方程中又学习了建立平面直角坐标系求直线的方程，这为本节课的学习做好的铺垫。
但学生接触解析几何的时间不长，学习的程度较浅，故在学习本节内容也会遇到一定的困难。
设计思路本节以生活中常见的实例—圆作为研究对象，因为已经有了前面直线的相关知识做铺垫，因此学生在探究过程中不会遇到太大的障碍，在合作探究的基础上基本能完成导学案。
本节主要采取的是启发式教学和问题—探究式的教学方法。
教学目标1、知识与技能（1）掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程。
（2）会用待定系数法求圆的标准方程。
2、过程与方法（1）培养学生用坐标法研究几何问题的能力（2）使学生加深对数形结合思想和待定系数法的理解。
3、情感态度与价值观目标（1）培养学生主动探究知识、合作交流的意识；（2）在体验数学美的过程中激发学生的学习兴趣。
教学重难点及突破方法教学重点：(1)圆的标准方程的推导步骤；(2)根据具体条件正确写出圆的标准方程。
突破方法：(1)通过设问，突破难点，并详细讲解；(2)多多练习、讲解。
教学难点：会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程。
运用圆的标准方程解决一些简单的实际问题。
突破方法：使学生掌握分析这类问题的方法是先弄清题意，再建立适当的直角坐标系，使圆的标准方程形式简单，最后解决实际问题。
圆的标准方程(优质课比赛)课件
圆的标准方程(优质课比赛)课件一、教学内容本节课的教学内容选自人教版小学数学教材六年级下册的“圆”章节。
具体内容为：圆的标准方程。
通过本节课的学习，让学生掌握圆的标准方程的推导过程，理解圆的标准方程的含义，并能运用圆的标准方程解决实际问题。
二、教学目标1. 让学生掌握圆的标准方程的推导过程，理解圆的标准方程的含义。
2. 培养学生运用圆的标准方程解决实际问题的能力。
3. 培养学生的逻辑思维能力和团队协作能力。
三、教学难点与重点重点：圆的标准方程的推导过程，圆的标准方程的含义。
难点：圆的标准方程在实际问题中的应用。
四、教具与学具准备教具：多媒体课件、黑板、粉笔。
学具：笔记本、文具。
五、教学过程1. 情景引入：利用多媒体课件展示生活中的圆形物体，如硬币、篮球等，引导学生观察这些圆形物体的共同特点。
2. 知识讲解：讲解圆的定义，引导学生理解圆的概念。
然后，通过推导，讲解圆的标准方程的得出过程，让学生理解圆的标准方程的含义。
3. 例题讲解：出示例题，如“已知一个圆的半径为5cm，求该圆的标准方程。
”引导学生运用所学的知识解决实际问题。
4. 随堂练习：出示随堂练习题，让学生独立完成，检测学生对圆的标准方程的掌握情况。
5. 课堂小结：六、板书设计板书内容：圆的标准方程板书设计：圆的标准方程：(x a)² + (y b)² = r²其中，a为圆心的横坐标，b为圆心的纵坐标，r为圆的半径。
七、作业设计1. 题目：已知一个圆的圆心坐标为(2,3)，半径为4cm，求该圆的标准方程。
答案：(x 2)² + (y 3)² = 162. 题目：已知一个圆的圆心坐标为(3,1)，半径为5cm，求该圆的标准方程。
答案：(x + 3)² + (y 1)² = 25八、课后反思及拓展延伸本节课通过生活中的圆形物体引入圆的概念，引导学生理解圆的标准方程的含义，并通过例题讲解和随堂练习，让学生掌握圆的标准方程的运用。
《圆的标准方程》省优质课比赛优秀教案
圆的标准方程一、教材分析本小节是人教版数学必修2第四章的起始节，只安排一个课时.本节的学习是建立在初中已经学习的圆的有关知识以及前面几节内容的基础之上的.同时由于圆是一种特殊的圆锥曲线，所以学习了圆的方程，也为后面学习其他的圆锥曲线的方程奠定了必要的基础.本节内容在教材体系中起到承上启下的作用，有着不可忽视的重要地位，同时在实际生活中也有着很广泛的应用.本节的学习将培养学生的数学应用意识和数学探究能力.二、教学目标分析1.知识与能力：掌握圆的标准方程并依据不同条件求得圆的方程；培养学生观察、发现和解决问题的能力.2.过程与方法：理解圆的标准方程的推导过程，体会数形结合思想，形成代数方法处理几何问题的思维方式.3.情感、态度与价值观：通过圆在实际问题中的应用，激发学习的热情和兴趣；欣赏和体验圆的对称性，培养数学美感.三、教学重、难点分析重点：圆的标准方程的推导过程和圆的标准方程特点的明确.难点：根据不同条件求圆的标准方程.由于本节内容具有很强的基础性，为了激发学生的学习主动性，建议采用“引导探究”的教学方式进行教学设计.师生的有效互动将使学生容易理解圆的标准方程的推导过程，明确圆的标准方程的特点.教学时充分利用课本上提供的两个例题，引导学生做好总结，通过例题的妥善解决使学生初步熟悉根据不同条件求圆的标准方程的一般方法.四、学情分析由于本节课用到初中的圆的知识和前面几节的内容，因此在课前必须先做好充分的预习，让学生带着疑问听课，以提高听课效率.采取学生共同探究问题的学习方法，先让学生带着问题预习课文，对圆的方程有个初步的认识，在教学过程中，主要采用启发性原则，发挥学生的思维能力、空间想象能力.在教学中，还不时补充练习题，以巩固学生对新知识的理解，并紧紧与考试相结合.五、教学环境分析由于本节的内容具有基础性，学生比较熟悉且容易接受，因此不需要采用多媒体课件辅助.建议在普通教室教学即可.六、教学过程（一）直接导入引言：我们知道直线可以用一个方程表示，那么圆是否也可以用一个方程表示呢？那么圆的方程如何求呢？【设计意图】通过直线想到圆，引出课题——圆的标准方程.（二）新课探究1.旧知回顾：（1）已知两点A （1，-2），B （3,5），如何求它们之间的距离？若已知C （3，-8），D （x ，y ），又如何求C 、D 的距离？（2）具有什么性质的点的轨迹称为圆？（3）在平面直角坐标系中，确定一条直线的条件是什么？那么确定一个圆的条件是什么呢？【设计意图】复习已经学过的有关知识，为圆的标准方程的推导做铺垫.2.新知探究：探究1：已知圆C 的圆心坐标C （a ，b ），圆的半径为r ，我们能否写出圆C 的方程？师生活动：学生自主探究圆C 的方程，教师引导提示.学生不难找出圆的方程为222)()(r b y a x =-+-.（*）【设计意图】引导学生根据上面复习过的有关知识推导圆的标准方程.培养学生的自主学习能力和探究能力.教师引导学生讨论：（1）若点),(y x M 在圆C 上，则点M 的坐标满足方程（*）吗？（2）若点),(y x M 坐标满足方程（*），则点M 在圆C 上吗？【设计意图】让学生验证探究出来的圆的方程具有充分性和完备性两个方面.教师指出：方程（*）就是圆心在C （a ，b ），半径为r 的圆的标准方程.探究2：圆的标准方程有什么特点？师生活动：学生观察求出的方程（*），找出它所具有的特征.可以请学生合作交流.个别学生展示答案，教师总结归纳.【设计意图】让学生明确圆的标准方程的特点，为识记和熟练应用做准备.培养学生的观察能力、分析能力和合作交流能力.探究3：如果要求一个圆的标准方程，必须知道哪些条件？怎样确定一个圆的标准方程呢？师生活动：学生自主分析、总结.教师请个别学生回答，及时鼓励评价.【设计意图】进一步明确圆的标准方程的特点，分析寻找圆的标准方程的思路，为圆的标准方程的熟练应用做铺垫.探究4：在直角坐标平面内，点与圆的位置关系有几种？如何判断呢？师生活动：教师引导学生结合图形分析：点到圆心的距离d和圆的半径之间的大小关系对点与圆的位置关系的影响.学生总结点与圆的位置关系的三种情形及判断方法.【设计意图】让学生明确圆的标准方程在判断点与圆的位置关系时的方便之处，体会到圆的标准方程的优点和魅力.（三）应用分析例1.写出下列各圆的标准方程.（1）圆心坐标为（-4，-3）半径为6；（2）圆心坐标为（2，5）半径为3；（3）经过点P（1,2），且圆心在（2，-1）；（4）圆心在C（1,3），且和直线0+yx相切.-1=师生活动：（1）（2）学生口答，教师给予积极的评价.（3）（4）可以让学生思考作答，教师在需要时给予提示.教师展示学生解答，并板书详细过程.【设计意图】熟悉圆的标准方程的简单应用.提高分析解决问题的能力.例2.写出圆心在A（-2,1），半径为2的圆的标准方程，并判断点M（0,2）和N（-1,1）和圆的位置关系.师生活动：学生自主完成本题.教师巡查指导解决疑难.【设计意图】巩固判断点与圆的位置关系的方法，进一步熟悉圆的标准方程的简单应用.例3.△ABC的三个顶点坐标分别为A（5,1），B（7，-3）），C（2,-8），求它的外接圆的方程.师生活动：学生先思考，找出思路，教师分析总结.学生写出解答过程，教师展示个别学生答案，并给予评价和鼓励.然后教师板书完整解答过程.最后教师总结提炼方法——待定系数法.【设计意图】让学生体会待定系数法在求圆的方程的应用.培养学生分析和解决综合问题的能力和计算能力，培养学生用代数方法解决几何问题的思维方式.（四）练习巩固本节练习1、2.师生活动：学生独立完成，教师巡查指导，展示答案，及时评价.【设计意图】及时巩固本节所学的知识，提升分析问题、解决问题的能力.（五）课堂小结（1）本节课你学习了哪些知识点？（2）本节课你学会了哪些数学思想方法？（3）你还有什么疑问或者还有什么话想说吗？师生活动：学生总结，教师及时评价鼓励.【设计意图】回顾本节所学的知识点和数学方法，让学生养成及时总结反思的好习惯，提高学生的总结、反思能力.（六）作业巩固习题4.1第2、3、4题.【设计意图】课后复习巩固本节所学的知识，提升迁移能力.七、教学反思：新课标倡导积极主动、勇于探索的学习方式，强调形成积极主动的学习态度，使获得知识与技能的过程成为学会学习、形成正确价值观的过程.因此在教学中，我设计一系列探究问题，引导学生自主探索、积极思考、主动学习，适时安排小组讨论活动，让他们阐述自己的见解.本节课的设计通过适当的创设情境，调动学生的学习兴趣，然后以问题做链，环环相扣，运用前段时间学习的求曲线的方法引导学生探索方程,使学生的探究活动贯穿始终.从圆的标准方程的推导到标准方程的求解都是在问题的指引下，通过我的适度引导、侧面帮助、不断肯定，由学生探究完成并走向成功.。
人教版九年级上24.1.1圆(教案)
其次，在讲解切线和割线时，我发现学生们对这两个概念容易混淆。为了帮助学生区分，我计划在下节课中增加一些图示和实物操作，比如用绳子模拟切线和割线，让学生亲自感受两者的不同。通过这样的实践活动，我相信学生们能够更清晰地理解这些几何关系。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了圆的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对圆的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
五、教学反思
在今天的教学中，我发现学生们对圆的概念和性质掌握得还不错，但在圆的方程和切线割线的理解上存在一些困难。这让我意识到，需要从以下几个方面进行反思和调整。
我还注意到，在小组讨论环节，有些学生参与度不高，可能是由于主题不够吸引他们或者他们对自己的观点不够自信。为了提高学生的参与度，我打算在下次讨论前，先给学生提供一些背景资料和思考问题，激发他们的兴趣，并在讨论过程中给予更多的鼓励和支持。
另外，实践活动虽然能够帮助学生加深对圆的理解，但我也发现有些学生在操作过程中关注了操作本身，却忽略了背后的数学原理。因此，我计划在下次实践活动中，增加一些引导性的问题和任务，让学生在动手操作的同时，思考这些操作与圆的性质和公式之间的联系。
-圆的面积与周长计算：掌握面积和周长的公式，是实际应用中必不可少的技能。
举例：圆以及如何根据实际问题的条件建立圆的方程。
2.教学难点
-圆的方程理解：学生需要理解方程背后的几何意义，以及如何将实际问题转化为方程求解。
人教版高中数学《圆的标准方程》说课稿
问题3：求曲线的方程的一般步骤是什么？ 其中哪几个步骤必不可少？
（1）建立适当的坐标系，用有序实数对例如(x,y)表示曲线上 任意一点M的坐标； （2）写出适合条件 p 的点M的集合P={M|p(M)}； （3）用坐标表示条件p(M)，列出方程f(x,y)=0； （4）化方程f(x,y)=0为最简形式； （5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点． 其中步骤(1)(3)(4)必不可少．
下面我们用求曲线方程的一般步骤来建立圆的标准方程．
求圆心是C(a, b)，半径是r的圆的方程。
解：设M(x,y)是圆上任意一点， 根据圆的定义|MC|=r 由两点间距离公式，得
y M
．
r C
x a
2
y b r
2
①
x 说明： 1.特点：明确给出了圆心和 半径。 2.确定圆的方程必须具备三个 独立的条件。 O
问题1：具有什么性质的点的轨迹称为圆？ 平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆. 问题2：图中哪个点是定点？哪个点是动点？动点具有什么 性质？圆心和半径都反映了圆的什么特点？ 圆心C是定点，圆周上的点M是动点，它 们到圆心距离等于定长|MC|=r，圆心和半径分 别确定了圆的位置(定位）和大小（定型）．
x 3
x 8
2
2
y 4 5
2
2
（3）经过点P(5,1)，圆心在点C(8,-3)
y 3 25
练习2.写出下列各圆的圆心坐标和半径 （1）
2 x 1 y 6 2
2 2
1, 0
a,0
6
3
（2） x 1 y 2 9 （3） x a
“兴趣是最好的老师!”可利用生活中的实例：小学课 本中所学习的《赵州桥》、学生在游乐场见过的摩天轮 等，以两个圆的模型为背景，激发学生学习圆的兴趣.
人教版高中数学2.4.1圆的标准方程教学案
2.4.1圆的标准方程
一、学习目标：1会用定义推导圆的标准方程,并掌握圆的标准方程的特征.
2.能根据所给条件求圆的标准方程.
3.掌握点与圆的位置关系并能解决相关问题.
学习重点：圆的标准方程，点与圆的位置关系
学习难点：圆的标准方程，点与圆的位置关系
二、导学指导与检测
【A 层】
1、求圆心在直线032=--y x 上,且过点)52()32(---，，，B A 的圆的标准方程.
【B 层】
2、若点(1,1)在圆4)()22=++-a y a x C ：（的内部,求a 的取值范围.
【C 层】
3、已知AOB ∆的顶点坐标分别是)0,0()3,0()0,4(O B A ，，，求AOB ∆外接圆的方程.
闯关题：设定点)4,3(-M ，动点N 在圆422=+y x 上运动，以ON OM ，为邻边作平行四边形MONP ，求点P 的轨迹.。
人教版高中必修2(B版)2.3.1圆的标准方程教学设计
人教版高中必修2(B版)2.3.1圆的标准方程教学设计教学目标1.掌握圆的标准方程的概念及其应用。
2.能够通过已知圆心坐标和半径求解圆的标准方程。
3.能够利用圆的标准方程解决实际问题。
教学重点1.圆心坐标及半径的概念。
2.圆的标准方程的推导及应用。
3.实际问题的解决。
教学难点1.圆的标准方程的推导。
2.实际问题的解决。
教学准备1.教学PPT。
2.教案。
3.圆板、圆规、直尺等几何工具。
4.笔、纸等文具。
教学步骤步骤一：引入通过PPT展示圆的图片及其应用场景，引出本次授课的主题：圆的标准方程。
让学生了解圆是几何学中的重要概念，具有广泛的应用价值。
步骤二：概念讲解1.通过PPT讲解圆心的概念，引导学生认识圆心在圆上的位置关系，并在黑板上画出圆心的示意图。
2.通过PPT讲解半径的概念，引导学生从几何角度认识“半径”这个概念，并在黑板上画出半径的示意图。
3.通过PPT介绍圆的标准方程的概念及应用场景，引导学生了解这一概念与几何学中圆的相关问题的解决有着密切的联系。
步骤三：标准方程的推导1.通过PPT讲解圆的标准方程的定义，即：以圆心为原点，半径为r的圆所对应的点的坐标满足x^2 + y^2 = r^2，引导学生根据定义推导出圆的标准方程的数学表达式。
2.在黑板上进行推导，让学生理解标准方程的求解过程。
步骤四：标准方程的应用1.引导学生使用标准方程求解已知圆心坐标和半径的圆的方程。
2.调动学生的学科知识，结合相关实例进行讲解，让学生感知标准方程在解决实际问题中的应用。
3.引导学生掌握使用标准方程解决实际问题的基本方法和技巧，以及提高学生对几何思维的理解和应用能力。
教学方法1.让学生主动参与课堂讨论，边讲解边呈现相关习题和实际问题的解决方案。
2.引导学生多思考、多探究，开展适当形式的小组活动，提高学生的动手实践能力。
3.针对学生的不同程度，采取灵活多样的教学方法，如“三人小组集训法”，“错题集法”，“比赛法”等等，使每位学生都能够有效参与课堂，并在圆的标准方程学习过程中有所收获。
高中数学圆的标准方程教案新人教版必修2
〔用垂径定理〕线段AB的垂直平分线方程为 ，由 ，得圆心 的坐标为 ，所以所求圆的半径 ，故圆的方程为 .
4、求圆心在直线 上，且与 轴相切于点 的圆的标准方程。
解：由题意可得：圆心为 ，半径为 ，故圆的方程为
变：圆心在直线 上，且与直线 切于点 ,求圆的标准方程。
解：可由待定系数法得 即为所求圆的方程。
选练：〔1〕两条直线 与 的交点 在圆 上，求常数 的值。
解：1或
〔2〕点 在圆 的内部，那么实数 的取值X围是
四、回顾反思：
圆的标准方程〔x―a)2＋(y―b)2＝r2
教学反思
二次备课
3、情感问题的兴趣。
教学重点圆的标准方程的理解、掌握。
教学难点圆的标准方程的应用。
教学准备预习书P96-97
教学过程
一、问题情境：
1、某某省赵县的赵州桥是世界上历史最悠久的石拱桥，如果知道赵州桥的跨度和圆拱高度，如何写出这个圆拱所在的圆的方程？
练：〔1〕设圆方程 ，那么圆心，半径
〔2〕求以下圆的方程
①圆心在原点，半径为
②圆心在 ，半径为
三、数学应用：
1、P97例1
2、隧道的截面是半径为 的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为 ，高为 的货车能不能驶入这个隧道？
变：假设货车的最大宽度为 ，那么货车要驶入该隧道，限高为多少？
解：
3、求过点 ，且圆心 在直线 上的圆的方程。
圆的标准方程
教学目标
1、知识技能目标：掌握圆的标准方程：根据圆心坐标、半径熟练地写出圆的标准方程，能从圆的标准方程中熟练地求出圆心坐标和半径；
会选择适当的坐标系解决与圆有关的实际问题；
人教版高中数学必修二教案：2.3.1 圆的标准方程
2.3.1 圆的标准方程一.三维目标:1.知识与技能:掌握圆的标准方程,会根据不同条件选择合适的方法(几何法或待定系数法)求圆的标准方程;能从圆的标准方程中直接读取它的圆心和半径;会判断点和圆的位置关系;能运用圆的标准方程解决一些简单的实际问题.2.过程与方法:经历圆的标准方程的探究过程,体验数形结合、化归等数学思想方法在问题解决中的运用;培养学生的观察、比较、分析、概括、批判等思维品质;借助实例体会科学的探究方法.3.情感、态度与价值观通过合作交流,自主探究,提高数学学习的兴趣,激发求知欲,培养科学精神,需要.)二.知识生发:1.问题情境(1)如何用轨迹的观点描述圆?平面内到一定点的距离等于定长的点的轨迹是圆.定点是圆心,定长为半径.(2)如何建立以C(a,b)为圆心,r为半径的圆的方程?2.圆的标准方程(图1)(1)以C(a,b)为圆心,r为半径的圆的标准方程为_________________.(x-a)2+(y-b)2=r2①如何求曲线方程(轨迹问题)②(x2+y2−1)(x−2)=0是以原点为圆心,半径为1的圆的方程吗?一个方程是圆的方程,需明确两点:其一,…;其二,…③圆的标准方程的特点(2)圆心在坐标原点,半径为r的圆的标准方程为_________________.x2+y2=r23.点和圆的位置关系(图1、2、3)问题:研究P (x 0,y 0)和圆C :(x −a )2+(y −b )2=r 2(r >0)的位置关系方法:比较P 点到圆心C 的距离d (P ,C )与半径r 的大小关系结论:①点P 在圆C 上⇔d (P ,C )=r ⇔(x 0−a )2+(y 0−b )2=r 2;②点P 在圆C 内⇔d (P ,C )<r ⇔(x 0−a )2+(y 0−b )2<r 2;③点P 在圆C 外⇔d (P ,C )>r ⇔(x 0−a )2+(y 0−b )2>r 2.4.圆划分平面区域(图1、2、3)①圆上点的集合:{(x ,y )|(x -a )2+(y -b )2=r 2}②圆内点的集合:{(x ,y )|(x -a )2+(y -b )2<r 2}②圆外点的集合:{(x ,y )|(x -a )2+(y -b )2>r 2}三.典例导引:例1.根据下列条件,求圆的方程:(1)圆心在C (−3,2),并过点A (1,−1);(2)圆心在点C (-3,2),并与直线4x −3y −7=0相切;(3)过点A (1,−1)和点B (0,−2),半径为5;(4)过点B (0,−2),D (−7,5),且圆心在直线l :x -3y +9=0上.赵州桥的跨度是2a2−b2m,圆拱高为a+b m,其中正数a,b 是常数.建立适当的坐标系,求这座圆拱桥的拱圆方程.(注:赵州桥坐落于河北省赵县洨河,建于隋炀帝大业年间,至今已有1400年的历史,是今天世界上最古老、+b四.精练掌控:3.设实数a,b,c,d,λ都是常数,若(ax−b)2+(cy−d)2=λ是某个圆的方程,则( )C(A)a=c=1,且λ>0(B)a=c≠0,且λ≠0(C)|a|=|c|≠0,且λ>0(D)acλ≠04.下列圆(其中a,b是常数,ab≠0)中,经过坐标原点的是( )D(A)(x−a)2+(y−b)2=a2(B)(x−a)2+(y−b)2=b2(C)(x−a)2+(y−b)2=a2+b2(D)(x−a)2+(y−b)2=a2+b25.半径为r,圆心在第四象限,并且与坐标轴都相切的圆是( )B(A)(x−r)2+(y−r)2=r2(B)(x−r)2+(y+r)2=r2(C)(x+r)2+(y−r)2=r2(D)(x+r)2+(y+r)2=r26.设点P(3,−6)到圆(x+3)2+(y−2)2=25上各点的距离为d,则d的最大值是( )C(A)5 (B)10 (C)15 (D)537.若曲线C的方程是(y2)(x−21+4y−y2+3)=0,则曲线C的长度为(A)10π(B)152π(C)5π(D)52π五.课堂小结:________________________________六.作业回馈:9.已知点A(−7,5),B(1,−1),以线段AB为直径的圆的方程是________.(x+3)2+(y−2)2=2510.经过点A(−6,6),B(1,−1),C(0,−2)三点的圆的方程是________.(x+3)2+(y−2)2=2511.圆C过点(0,6)且与直线l1:x=2和l2:y=−3都相切,若使圆C的半径最小,则圆C的方程是________.(x+3)2+(y−2)2=2512.已知圆C:(x−2)2+(y+3)2=25,圆C′与圆C关于直线l:x−y=0对称,则圆C′的方程是________.(x+3)2+(y−2)2=2513.已知等腰三角形的顶点A(−3,2),一底角顶点B(2,2),则另一底角顶点C(x,y)的轨迹方程为________.(x+3)2+(y−2)2=25(x≠2且x≠−8)14.已知点A(−6,0),点P是圆x2+(y−4)2=100上的动点,M为线段PA的中点,当点P在圆上运动时,求动点M的轨迹方程. (x+3)2+(y−2)2=253,−6x 22。
高中数学人教版必修2 4.1.1圆的标准方程 教案(系列三)
圆的标准方程【教学目标】1.使学生掌握圆的标准方程,能根据圆心、半径写出圆的标准方程,能根据圆的标准方程写出圆的圆心、半径,进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力,渗透数形结合思想,注意培养学生观察问题、发现问题和解决问题的能力.2.会用待定系数法求圆的标准方程,通过圆的标准方程解决实际问题的学习,形成代数方法处理几何问题的能力,从而激发学生学习数学的热情和兴趣,培养学生分析、概括的思维能力.3.理解掌握圆的切线的求法.包括已知切点求切线,从圆外一点引切线,已知切线斜率求切线等.把握运动变化原则,培养学生树立相互联系、相互转化的辩证唯物主义观点,欣赏和体验圆的对称性,感受数学美.【重点难点】教学重点：圆的标准方程的推导过程和圆的标准方程特点的明确.教学难点:会根据不同的已知条件,利用待定系数法求圆的标准方程.【课时安排】1课时【教学过程】导入新课课前准备：(用淀粉在一张白纸上画上海和山)说明:在白纸上要表演的是一个小魔术,名称是《日出》,所以还缺少一个太阳,请学生帮助在白纸上画出太阳.要求其他学生在自己的脑海里也构画出自己的太阳.课堂估计：一种是非尺规作图(指出数学作图的严谨性)；一种作出后有同学觉得不够美(点评:其实每个人心中都有一个自己的太阳,每个人都有自己的审美观点).然后上升到数学层次：不同的圆心和半径对应着不同的圆,进而对应着不同的圆的方程.从用圆规作图复习初中所学圆的定义：到定点的距离等于定长的点的轨迹.那么在给定圆心和半径的基础上,结合我们前面所学的直线方程的求解,应该如何建立圆的方程？教师板书本节课题:圆的标准方程.推进新课新知探究提出问题①已知两点A(2,-5),B(6,9),如何求它们之间的距离?若已知C(3,-8),D(x,y),又如何求它们之间的距离?②具有什么性质的点的轨迹称为圆？③图1中哪个点是定点？哪个点是动点？动点具有什么性质？圆心和半径都反映了圆的什么特点？图1④我们知道,在平面直角坐标系中,确定一条直线的条件是两点或一点和倾斜角,那么,决定圆的条件是什么?⑤如果已知圆心坐标为C(a,b),圆的半径为r,我们如何写出圆的方程?⑥圆的方程形式有什么特点？当圆心在原点时,圆的方程是什么？讨论结果：①根据两点之间的距离公式221221)()(y y x x -+-,得 |AB|=212)59()62(22=++-, |CD|=22)8()3(++-y x .②平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆,定点是圆心,定长是半径(教师在黑板上画一个圆).③圆心C 是定点,圆周上的点M 是动点,它们到圆心距离等于定长|MC|=r,圆心和半径分别确定了圆的位置和大小.④确定圆的条件是圆心和半径,只要圆心和半径确定了,那么圆的位置和大小就确定了.⑤确定圆的基本条件是圆心和半径,设圆的圆心坐标为C(a,b),半径为r(其中a 、b 、r 都是常数,r ＞0).设M(x,y)为这个圆上任意一点,那么点M 满足的条件是(引导学生自己列出)P={M||MA|=r},由两点间的距离公式让学生写出点M 适合的条件22)()(b y a x -+-=r.①将上式两边平方得(x-a)2+(y-b)2=r 2.化简可得(x-a)2+(y-b)2=r 2.②若点M(x,y)在圆上,由上述讨论可知,点M 的坐标满足方程②,反之若点M 的坐标满足方程②,这就说明点M与圆心C 的距离为r,即点M 在圆心为C 的圆上.方程②就是圆心为C(a,b),半径长为r 的圆的方程,我们把它叫做圆的标准方程.⑥这是二元二次方程,展开后没有xy 项,括号内变数x,y 的系数都是1.点(a,b)、r 分别表示圆心的坐标和圆的半径.当圆心在原点即C(0,0)时,方程为x 2+y 2=r 2.提出问题①根据圆的标准方程说明确定圆的方程的条件是什么?②确定圆的方程的方法和步骤是什么?③坐标平面内的点与圆有什么位置关系?如何判断?讨论结果：①圆的标准方程(x －a)2＋(y －b)2=r 2中,有三个参数a 、b 、r,只要求出a 、b 、r 且r ＞0,这时圆的方程就被确定,因此确定圆的标准方程,需三个独立条件,其中圆心是圆的定位条件,半径是圆的定形条件.②确定圆的方程主要方法是待定系数法,即列出关于a 、b 、r 的方程组,求a 、b 、r 或直接求出圆心(a,b)和半径r,一般步骤为：1°根据题意,设所求的圆的标准方程(x －a)2＋(y －b)2=r 2；2°根据已知条件,建立关于a 、b 、r 的方程组；3°解方程组,求出a 、b 、r 的值,并把它们代入所设的方程中去,就得到所求圆的方程.③点M(x 0,y 0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r 2的关系的判断方法：当点M(x 0,y 0)在圆(x-a)2+(y-b)2=r 2上时,点M 的坐标满足方程(x-a)2+(y-b)2=r 2.当点M(x 0,y 0)不在圆(x-a)2+(y-b)2=r 2上时,点M 的坐标不满足方程(x-a)2+(y-b)2=r 2.用点到圆心的距离和半径的大小来说明应为:1°点到圆心的距离大于半径,点在圆外⇔(x 0-a)2+(y 0-b)2＞r 2,点在圆外;2°点到圆心的距离等于半径,点在圆上⇔(x 0-a)2+(y 0-b)2=r 2,点在圆上;3°点到圆心的距离小于半径,点在圆内⇔(x 0-a)2+(y 0-b)2＜r 2,点在圆内.应用示例例1 写出下列各圆的标准方程：(1)圆心在原点,半径是3；⑵圆心在点C(3,4),半径是5;(3)经过点P(5,1),圆心在点C(8,-3)；(4)圆心在点C(1,3),并且和直线3x-4y-7=0相切.解:(1)由于圆心在原点,半径是3,所以圆的标准方程为(x-0)2+(y-0)2=32,即x 2+y 2=9.(2)由于圆心在点C(3,4),半径是5,所以圆的标准方程是(x-3)2+(y-4)2=(5)2,即(x-3)2+(y-4)2=5.(3)方法一:圆的半径r=|CP|=25)31()85(22=++-=5,因此所求圆的标准方程为(x-8)2+(y+3)2=25.方法二:设圆的标准方程为(x-8)2+(y+3)2=r 2,因为圆经过点P(5,1),所以(5-8)2+(1+3)2=r 2,r 2=25,因此所求圆的标准方程为(x-8)2+(y+3)2=25.这里方法一是直接法,方法二是间接法,它需要确定有关参数来确定圆的标准方程,两种方法都可,要视问题的方便而定.(4)设圆的标准方程为(x-1)2+(y-3)2=r 2,由圆心到直线的距离等于圆的半径,所以r=25|16|25|7123|=--.因此所求圆的标准方程为(x-1)2+(y-3)2=25256. 点评：要求能够用圆心坐标、半径长熟练地写出圆的标准方程.例2 写出圆心为A(2,-3),半径长等于5的圆的方程,并判断点M 1(5,-7),M 2(-5,-1)是否在这个圆上.解:圆心为A(2,-3),半径长等于5的圆的标准方程是(x-2)2+(y+3)2=25,把点M 1(5,-7),M 2(-5,,-1)分别代入方程(x-2)2+(y+3)2=25,则M 1的坐标满足方程,M 1在圆上.M 2的坐标不满足方程,M 2不在圆上.点评:本题要求首先根据坐标与半径大小写出圆的标准方程,然后给一个点,判断该点与圆的关系,这里体现了坐标法的思想,根据圆的坐标及半径写方程——从几何到代数；根据坐标满足方程来看在不在圆上——从代数到几何.例3 △ABC 的三个顶点的坐标是A(5,1),B(7,-3),C(2,-8),求它的外接圆的方程.活动：教师引导学生从圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r 2入手,要确定圆的标准方程,可用待定系数法确定a 、b 、r 三个参数.另外可利用直线AB 与AC 的交点确定圆心,从而得半径,圆的方程可求,师生总结、归纳、提炼方法.解法一:设所求的圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r 2,因为A(5,1),B(7,-3),C(2,-8)都在圆上,它们的坐标都满足方程(x-a)2+(y-b)2=r 2,于是⎪⎩⎪⎨⎧=--+-=--+-=-+-)3(.)8()2()2()3()7()1(,)1()5(222222222r b a rb a r b a 解此方程组得⎪⎩⎪⎨⎧=-==.5,3,2r b a 所以△ABC 的外接圆的方程为(x-2)2+(y+3)2=25.解法二:线段AB 的中点坐标为(6,-1),斜率为-2,所以线段AB 的垂直平分线的方程为y+1=21(x-6). ①同理线段AC 的中点坐标为(3.5,-3.5),斜率为3,所以线段AC 的垂直平分线的方程为y+3.5=3(x-3.5). ②解由①②组成的方程组得x=2,y=-3,所以圆心坐标为(2,-3),半径r=22)31()25(++-=5,所以△ABC 的外接圆的方程为(x-2)2+(y+3)2=25.点评:△ABC 外接圆的圆心是△ABC 的外心,它是△ABC 三边的垂直平分线的交点,它到三顶点的距离相等,就是圆的半径,利用这些几何知识,可丰富解题思路.拓展提升1.求圆心在直线y=2x 上且与两直线3x+4y-7=0和3x+4y+3=0都相切的圆的方程.活动:学生思考交流,教师提示引导,求圆的方程,无非就是确定圆的圆心和半径,师生共同探讨解题方法. 解:首先两平行线的距离d=2221B A C C +-=2,所以半径为r=2d =1. 方法一：设与两直线3x+4y-7=0和3x+4y+3=0的距离相等的直线方程为3x+4y+k=0,由平行线间的距离公式d=2221||B A C C +-,得222234|3|43|7|+-=++k k ,即k=-2,所以直线方程为3x+4y-2=0.解3x+4y-2=0与y=2x 组成的方程组⎩⎨⎧==-+,2,0243x y y x 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==,114,112y x ,因此圆心坐标为(112,114).又半径为r=1,所以所求圆的方程为(x-112)2+(y-114)2=1. 方法二：解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⎩⎨⎧==++⎩⎨⎧==-+.113,116117,1114,2,0343,2,0743x y x y x y y x x y y x 和得与因此圆心坐标为(112,114).又半径r=1,所以所求圆的方程为(x-112)2+(y-114)2=1. 点评:要充分考虑各几何元素间的位置关系,把它转化为代数问题来处理.课堂小结①圆的标准方程.②点与圆的位置关系的判断方法.③根据已知条件求圆的标准方程的方法.④利用圆的平面几何的知识构建方程.⑤直径端点是A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)的圆的方程是(x-x 1)(x-x 2)+(y-y 1)(y-y 2)=0.作业1.复习初中有关点与圆的位置关系,直线与圆的位置关系,圆与圆的位置关系有关内容.2.预习有关圆的切线方程的求法.3.课本习题4.1 A 组第2、3题.。
人教版高中数学教案圆的标准方程
人教版高中数学教案圆的标准方程教学目标：1. 理解圆的标准方程的概念及其意义。
2. 学会运用圆的标准方程解决实际问题。
3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
教学重点：圆的标准方程的概念及其运用。
教学难点：理解圆的标准方程的推导过程。
教学准备：圆的模型、黑板、粉笔、PPT。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 利用圆的模型，引导学生回顾圆的定义。
2. 提问：我们已经学过圆的哪些性质和公式？3. 引导学生思考：如何用数学公式来表示圆的性质？二、新课讲解（15分钟）1. 引入圆的标准方程的概念，给出圆的标准方程的定义。
2. 通过PPT展示圆的标准方程的推导过程。
3. 解释圆的标准方程中的各个符号的含义。
4. 举例说明如何运用圆的标准方程解决实际问题。
三、课堂练习（10分钟）1. 让学生独立完成教材上的练习题。
2. 引导学生思考如何将实际问题转化为圆的标准方程问题。
四、巩固提高（10分钟）1. 让学生分组讨论，思考圆的标准方程在实际应用中的拓展。
2. 邀请学生分享他们的思考成果。
五、总结（5分钟）1. 回顾本节课所学的内容，让学生总结圆的标准方程的概念和运用。
2. 强调圆的标准方程在数学和实际生活中的重要性。
教学反思：本节课通过导入、新课讲解、课堂练习、巩固提高和总结等环节，让学生掌握了圆的标准方程的概念和运用。
在教学过程中，注意引导学生思考，激发学生的学习兴趣，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
通过课堂练习和巩固提高环节，让学生将所学知识运用到实际问题中，提高了学生的应用能力。
总体来说，本节课达到了预期的教学目标。
六、实例分析（10分钟）1. 展示几个实际问题，让学生运用圆的标准方程解决。
2. 引导学生分析问题，列出方程，并求解。
3. 让学生分享解题过程和答案，讨论解题方法。
七、练习与拓展（15分钟）1. 让学生独立完成教材上的练习题。
2. 鼓励学生尝试解决更复杂的相关问题，进行拓展训练。
八、课堂小结（5分钟）1. 回顾本节课所学内容，让学生总结圆的标准方程的应用。
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圆的标准方程
教学目标
(一)知识目标
1.掌握圆的标准方程：根据圆心坐标、半径熟练地写出圆的标准方程，能从圆的标准方程中熟练地求出圆心坐标和半径；
2.理解并掌握切线方程的探求过程和方法。
(二)能力目标
1．进一步培养学生用坐标法研究几何问题的能力；
2. 通过教学，使学生学习运用观察、类比、联想、猜测、证明等合情推理方法，提高学生运算能力、逻辑思维能力.
(三)情感目标
充分调动学生学习数学的热情，激发学生自主探究问题的兴趣，同时培养学生勇于探索、坚忍不拔的意志品质。
教学重、难点
(一)教学重点
圆的标准方程的理解、掌握。
(二)教学难点
圆的标准方程的应用。
教学过程
Ⅰ.复习提问、引入课题
师：前面我们学习了曲线和方程的关系及求曲线方程的方法。
请同学们考虑：如何求适合某种条件的点的轨迹？
生：①建立适当的直角坐标系，设曲线上任一点M的坐标为(x，y)；
②写出适合某种条件p的点M的集合P＝｛M ︳p（M）｝；③用坐标表示条件，列出方程f(x,y)=0；④化简方程f(x,y)=0为最简形式。
⑤证明以化简后方程的解为坐标的点都是曲线上的点（一般省略）。
［多媒体演示］
师：这就是建系、设点、列式、化简四步曲。
用这四步曲我们可以求适合某种条件的任何曲线方程，今天我们来看圆这种曲线的方程。
［给出标题］
师：前面我们曾证明过圆心在原点，半径为5的圆的方程：x2+y2=52即x2+y2=25.
若半径发生变化，圆的方程又是怎样的？能否写出圆心在原点，半径为r的圆的方程？
生：x2+y2=r2.
师：你是怎样得到的？（引导启发）圆上的点满足什么条件？
生：圆上的任一点到圆心的距离等于半径。
即，亦即 x2+y2=r2. 师：x2+y2=r2表示的圆的位置比较特殊：圆心在原点，半径为r.有时圆心不在原点，若此圆的圆心移至C（a,b）点（如图），方程又是怎样的？
生：此圆是到点C(a,b)的距离等于半径r的点的集合，
由两点间的距离公式得
即：（x-a）2+(y-b)2= r2
Ⅱ.讲授新课、尝试练习
师：方程（x-a）2+(y-b)2= r2叫做圆的标准方程.
特别：当圆心在原点，半径为r时，圆的标准方程为：x2+y2=r2.师：圆的标准方程由哪些量决定？
生：由圆心坐标（a,b）及半径r决定。
师：很好！实际上圆心和半径分别决定圆的位置和大小。
由此可见，要确定圆的方程，只需确定a、b、r这三个独立变量即可。
1、写出下列各圆的标准方程：［多媒体演示］
①圆心在原点，半径是3 ：________________________
②圆心在点C（3，4），半径是：______________________
③经过点P（5，1），圆心在点C（8，－3）：_______________________
2、变式题［多媒体演示］
①求以C（1，3）为圆心，并且和直线3x-4y-7=0相切的圆的方程。
答案：(x-1)2 + (y-3)2 =
②已知圆的方程是 (x-a)2 +y2 = a2 ,写出圆心坐标和半径。
答案： C（a,0）, r=|a|
Ⅲ.例题分析、巩固应用
师:下面我们通过例题来看看圆的标准方程的应用.
［例1］已知圆的方程是 x2+y2=17，求经过圆上一点P（，）的切线的方程。
师：你打算怎样求过P点的切线方程？
生：要求经过一点的直线方程，可利用直线的点斜式来求。
师：斜率怎样求？
生：。
师：已知条件有哪些？能利用吗？不妨结合图形来看看（如图）
生：切线与过切点的半径垂直，故斜率互为负倒数
半径OP的斜率 K1＝，所以切线的斜率 K＝－＝－
所以所求切线方程：y-= －(x-)
即：x+y=17 (教师板书)
师：对照圆的方程x2+y2=17和经过点P（，）的切线方程x+y=17，你能作出怎样的猜想？
生：。
师：由x2+y2=17怎样写出切线方程x+y=17,与已知点P（，）有何关系？
（若看不出来，再看一例）
［例1/］圆的方程是x2+y2=13，求过此圆上一点（2，3）的切线方程。
答案：2x+3y=13 即：2x+3y－13＝0
师：发现规律了吗？（学生纷纷举手回答）
生：分别用切点的横坐标和纵坐标代替圆方程中的一个x和一个y，便得到了切线方程。
师：若将已知条件中圆半径改为r，点改为圆上任一点（x o,y o）,则结论将会发生怎样的变化？大胆地猜一猜！
生：x o x+y o y=r2.
师：这个猜想对不对？若对，可否给出证明？
生：。
［例2］已知圆的方程是 x2+y2=r2，求经过圆上一点P（x o,y o）的切线的方程。
解：如图(上一页)，因为切线与过切点的半径垂直，故半径OP的斜率与切线的斜率互为负倒数
∵半径OP的斜率 K1＝，∴切线的斜率 K＝－＝－
∴所求切线方程：y-y o= －(x-x o)
即：x o x+y o y=x o2+y o2亦即：x o x+y o y=r2. (教师板书)
当点P在坐标轴上时，可以验证上面方程同样适用。
归纳总结：圆的方程可看成 x.x+y.y=r2,将其中一个x、y用切点的坐标x o、y o替换，可得到切线方程
［例3］右图为某圆拱桥的一孔圆拱的示意图.该圆拱跨度AB＝20M，拱高OP＝4M，在建造时每隔4M需用一个支柱支撑，求支柱A2P2的长度。
（精确到0.01M）
引导学生分析，共同完成解答。
师生分析：①建系；②设圆的标准方程（待定系数）；③求系数（求出圆的标准方程）；④利用方程求A2P2的长度。
解：以AB所在直线为X轴，O为坐标原点，建立如图所示的坐标系。
则圆心在Y轴上，设为
（0，b）,半径为r，那么圆的方程是 x2+(y-b)2=r2.
∵P(0,4),B(10,0)都在圆上，于是得到方程组：
解得：b=-10.5 ,r2=14.52
∴圆的方程为 x2+(y＋10.5)2=14.52.
将P2的横坐标x=-2代入圆的标准方程
且取y>0
得：y=
≈14.36-10.5=3.86 (M)
答：支柱A2P2的长度约为3.86M。
Ⅳ.课堂练习、课时小结
课本Ｐ77练习2，3
师：通过本节学习，要求大家掌握圆的标准方程，理解并掌握切线方程的探求过程和方法，能运用圆的方程解决实际问题.
Ⅴ.问题延伸、课后作业
(一)若P（x o,y o）在圆（x-a）2+(y-b)2= r2上时，試求过P点的圆的切线方程。
课本Ｐ81习题7.7 : 1，2，3，4
(二)预习课本Ｐ77～Ｐ79。