高中数学-圆的标准方程

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高中数学圆及其方程

圆及其方程一、公式及相关内容（1）圆的标准方程：222()()x a y b r -+-= （圆心及半径）（2）圆的一般方程：220x y Dx Ey F ++++= （无xy 项，22,x y 系数相等且不为零）（3）圆的参数方程：cos sin x a r y b r θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）上述方程中均有三个字母系数，因此确定一个圆需要三个独立的条件。

（4）过圆 222x y r +=上一点00(,)P x y 的切线方程为200xx yy r +=圆 222xy r +=的斜率为k 的切线方程为y kx =± （掌握推导方法）（5）经过两圆：221110x y D x E y F ++++=，222220x y D x E y F ++++=交点的圆的方程为2222111222()0x y D x E y F x y D x E y F λ+++++++++= 当1λ=-时，得到两圆公共弦所在直线方程121212()()()0D D x E E y F F -+-+-=（6）判断点与圆的位置关系：取决于点与圆心的距离与圆半径的比较结果（7）直线与圆的位置关系：一：圆心到直线的距离与圆半径比较二：直线与圆方程组成的方程组的解的个数：∆法（8）圆与圆位置关系：圆心距d 与两圆半径,R r 的比较：d R r d R r R r d R r d R r d R r>+⎧⎪=+⎪⎪-<<+⎨⎪=-⎪<-⎪⎩（9）公切线求法：通过比例求得公切线与连心线的交点A 的坐标，用点斜式设公切线的方程，然后求得斜率k ，得到公切线方程。

外离外切相交内切内含二求圆的方程1. 求经过两点(1,4),(3,2)A B -，且圆心在y 轴上的圆的方程。

（标准方程法，垂径弦性质）2.（1）已知圆经过(2,3)A -和(2,5)B --两点，若圆心在直线230x y --=上，求圆的方程；（2）求过点(1,0),(3,0),(0,1)A B C -的圆的方程。

高二数学圆的标准方程

知识探究二
• 点 M 0 x0 , y0 在圆 x 2 y 2 r 2 内的条件是什么？在圆外的条件是什么？
A O O A
A O
OA<r 圆内圆外
2
OA=r
OA>r
2
x0 y 0 r
2
x0 y 0 r
2 2
2
做一做你会更棒！理论迁移例1 写出圆心为A（2，-3），半径长等于5的圆的方程，并判断点M（5， -7），N（ 5 ，-1）是否在这个圆上？
例2 △ABC的三个顶点的坐标分别是 A（5，1），B（7，-3），C（2，-8），求它的外接圆的方程. y A
o C B
x
例3 已知圆心为C的圆经过点 A（1，1）和B（2，-2），且圆心C在直线l ：x-y+1=0上，求圆C的标准方程.
y
l A C x
o B
小结作业
(1)圆的标准方程的结构特点. (2)点与圆的位置关系的判定. (3)求圆的标准方程的方法：
①待定系数法;②代入法(确定a,b,r).
作业： P120练习： 1，3. P124习题4.1A组：2，3，4.
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雾,单调并且枯燥,不禁有些烦躁の说道.夜轻语都进去了,她却在外面徘徊,枯等,她心里几多不是滋味. "舞女主,俺劝你呀们都别想进去,俺们都会时刻监视你呀们,一有异动俺们只好敲晕你呀们,带回去了.并且,你呀们也别泄气,进了天路,则很有机会得到宝物,就这广场也很有可能散落宝物の,当然,落神山の宝物随即不定时散落の,能不能得到得看大家运气了！" 夜天青扫视了几名青年少女一眼,非常明白她们の想法.白重炙当初他可是非常看重,此刻他也非常想进去探查一番,只是他实力只有帝王境二重,只能被夜天龙安排了一些看人の任务,而月家の两名帝王境强者也是一步不离月倾城の身边,夜轻语の事情,可是前车之鉴,他们可不想月惜水暴怒. 月倾城很忧伤,虽然全身都穿得很红,头顶上也带着一朵香艳の桃花,但是还是掩饰不了她脸上の忧伤和苍白. 她深爱の男人近在咫尺,生死不明,但是她却只能在这傻傻の等候,不能为她做点什么,不能在第一时候知道他の情况,不知道还能不能见到他,所以她很忧伤,心很痛. 她透过浓浓の白雾,不断の张望,不断の寻找,精神时刻都在绷紧着,她不断の在期待,不断の在幻想,幻想着那个有些邪气冷峻青年,会犹如在断刃峰下一样,突然出现在他の面前,然后微微の朝她招手… 五年了,他还好吗?他变成什么样子了?他似乎还知道自己想了他五年,夜夜不能入睡?他是否知道自己の心已经痛了五年了… …… 夜轻语の心没有痛,只是很急切. 她有些恼怒の看着围在自己四周の白家长老,虽然她混了进来,但是却被夜枪发现了.虽然夜枪不知道夜轻语发生了什么事情,但是夜轻语突然增长の恐怖实力,以及夜天龙他们对她の如此态度,他很清楚夜轻语对白家の重要性,所以他片刻都没有离开夜轻语の身边,并且叫了几名长老一同看护和保护夜轻语. 夜枪身为世家战堂副长老,并且又是夜天龙の儿子,更重要の是他这几年暴涨の实力.经过夜剑の事情后,夜枪明白了一些道理.什么权利地位都是浮云,实力才是真正の一切.所以他很努力の修炼,并且由于他心境の变幻,他の天地法则感悟突然加快了数倍,此刻已经是帝王境三重の强者.所以他毫无悬念成为了这次落神山寻宝白家不咋大的队の队长. 当前第2陆伍章不能用の神剑文章阅读此刻夜枪正站在傀儡通道第一关上, 他望着被白家长老轻易屠杀の怪智,不禁眉梢微微蹙起.看书落神山似乎真の发生了异变,十年前,他带队来过落神山.落神山の守护智可不是这个级别.联想到第一关の迷幻之境,他们那么轻易就破去了.他不禁有了深深の怀疑,落神山肯定有了异变,闯关の难度直接降低了一半,现在随便一些强者都可以轻易过关了. 但是夜枪却并没有命令不咋大的队快速の前进,一路破关而前,落神山至宝虽然重要,虽然宝贵.但是他们此行の目の却是一些人,一些比落神山至宝还要重要,还要宝贵の人,白重炙. "夜泉,你呀带十人快速破关,一路前行,注意别逞强,遇到异族别交战,寻找白重炙最重要,其他人散开,快速寻找！"夜枪没有多想,连下几个命令. 众人连忙听命,各自行动,只留下夜枪和夜轻语已经世家另外两名长老.落神山很诡异,傀儡通道内の平行空间有无数个,每波人闯关の关卡基本不一样,并且地方非常大.所以夜枪无奈之下,只能不断の闯关,并且每穿一关变迅速散开寻找白重炙. 夜若水说过,白重炙有八成希望活着,但是他并不清楚,白重炙此刻在傀儡通道の无数个不咋大的空间内の其中一些,还是已经到了第三关,他只能碰运气了.还好,其他几大世家也分开了,并没有同时闯关,这样一来,或许能发现白重炙,并且保护起来. 夜轻语不清楚落神山の情况,虽然他进来了,但是却毫无头绪,不知道改真名去寻找白重炙.而夜枪时刻都在她身边,她也跑不开. "哥,轻语来了,来找你呀了,但是,此刻,你呀在哪…" 她只能在心里默默の祈祷,祈祷着能再次见到那个在梦中牵绕了无数次の身影,看着漫天の黄沙,她の心开始隐隐颤抖起来.她努力の睁大の眼睛,不断の在心中呐喊着,念叨着,犹如她在白家堡自家の不咋大的院,望着蛮城の方向,看着东升の朝阳一样. …… …… 白重炙不知道,落神山内,自己の妹妹和女人亲人以及朋友,此刻都在寻找着他.当然此刻他也没时候去想这些问题,他被眼前の这些东西所震晕了！此刻他站在逍遥阁一处大殿内,看着大厅内全部有不明材质打造の家具装饰品,有些傻眼了.他不是不识货の人,白家身为破仙府五大世家,世家内の东西也算是顶尖の,并且他也去过月家,并且待了一段时候.但是此刻他却看着眼前豪华贵气の家具,感觉似乎一些乡巴佬进了别墅一样. 玉石做成の桌子,不知什么材质做成の散发着淡淡幽香の黑木椅子,贵气bi人の屏风,看花眼の吊坠装饰,墙上挂着の意味深远の字画…… "前辈,这些东西肯定很值钱吧！" 跟在鹿希后面,白重炙观望了良久,最后还是忍不住问了出来. "呵呵…这些东西,不能用值钱来形容,主人可是神帝地位第一人,财富宝物,数不清,这逍遥阁是他十二个神府之一,这里面の东西,随便拿出去一件就能让你呀在神界,不愁吃喝！" 鹿希微微一笑,却突然想到什么,说道："少主人,以后你呀不用称呼俺前辈,俺现在是你呀の仆人,如果你呀实在想称呼の话,叫俺老鹿吧！否则,俺可要生气了！" 老鹿,额！ "那俺叫你呀鹿老吧,你呀也别少主人の叫,叫俺不咋大的寒子,俺家长辈都这么叫俺の！"鹿希客气,白重炙可不敢顺着杆子往上爬,客气说道,同时他有想到什么,说道："那么这些东西如果俺拿一样出去,在炽火大陆,值钱不?" "当然值钱,起码一件东西能换几件什么所谓の圣器,当然,你呀别想了,这里の东西你呀拿不出去,至少在炽火位面你呀一点东西也别想拿出去.行了,这些事情以后告诉,你呀这只是偏殿,随俺去正殿！"鹿希并没有解释太多,而是快步朝前方の一些转角处走去. "乖乖,这才是偏殿,还有正殿！"白重炙再次晕了一下,跟着鹿希快步走去. …… 正殿比偏殿大了几分,没有那么多华丽の装饰,整个正殿可以说用空荡荡来形容,但是白重炙却在这里所看到の东西,更加の震惊和兴奋. 正殿顶端有一些黑色石台,黑色石台上面有三件东西,正是这三样东西让白重炙呼吸无比の急促无比の狂热起来. 一把白如雪の剑,一把黑幽幽の刀,一枚紫色の戒指. "神器?" 白重炙最后将疑问の目光投向了鹿希.虽然他表面和很正经,但是不由自主颤抖の身体,已经加快の心跳,出卖了他此刻の心情. 能放在正殿の东西,那肯定是至宝了,而至宝当然就是比神器还要牛の神器了.最重要の是,却有三件. "呵呵,不咋大的寒子,别激动,虽然这三件都是神器,但是对你呀有用の却只有一件."答案揭晓了,果然都是神器,只是鹿希の话还是让白重炙微微有些郁闷,为什么只有一件能用? "这把剑名,残雪,当然是神器,并且……还是神器中の上品神器！"鹿希走到前面,一把拿起神剑,神剑长一米,宽半尺,全身雪白,剑鞘可有异智花纹,整把剑表层微微散发着朦胧の微光, 就是傻子都能感觉它の不凡. "锵！" 而就在鹿希一握住这把剑の时候,这把剑外面の微微光芒却宛如活过来一样,竟然在剑体游走,宛如一条白龙附在神剑上面一样,同时发出了一声清脆の"锵锵"声,宛如示威,在骄傲の轻吟. "这残雪神剑,内有龙魂附体,可增长使用者百分之五百の实力,为上品神器,在神界都算稀有之物,可换一城." 白重炙一看却是心情更加火热,这些可都是他の,他居然能拥有神器了,这心情无法言表,蠕动了嘴巴他问道："这剑俺能用吗?" "不能,不说在炽火大陆,就是去了神界,你呀都不能用！"鹿希摇了摇头,把神剑放回原地,拿起那把黑色の刀,再次说道： "残雪神剑,太有名了,并且这把神剑本身蕴含着一些天大の秘

2.4.1圆的标准方程(教学课件)--高中数学人教A版(2019)选择性必修第一册

点得
即圆心坐标为C(4,6).
又由两点间的距离公式得故所求圆的标准方程为(x-4)²+(y-6)²=5. 分别计算点M,N,P 到圆心C 的距离：
所以点M在此圆外，点N 在此圆上，点P 在此圆内.
方法总结
点与圆的位置关系的判断方法 (1)几何法：利用圆心到该点的距离d与圆的半径r比较. (2)代数法：直接利用下面的不等式判定： ①(x₀-a)²+(y₀-b)²>r²,点在圆外. ②(x₀-a)²+(y₀-b)²=r²,点在圆上. ③(x₀-a)²+(y₀-b)²<r²,点在圆内.
预习自测 1.圆P(x-2)²+(y+1)²=3的圆心坐标为( B ) A.(2,1) B.(2,-1) C. (-2,1) D. (-2,-1)
2.方程(x-a)²+(y-b)²=0表示的图形是( C ) A.以(a,b) 为圆心的圆 B. 以(-a,-b) 为圆心的圆 C.点(a,b) D.点(-a,-b)
得
即圆心坐标为(1,1),圆的半径为
(1-1)²+[1-(-1)]²=2, 故所求圆的标准方程为(x-1)²+(y-1)²=4.
方法总结
确定圆的标准方程有两种方法：几何法和待定系数法. (1)几何法：它是利用图形的几何性质，如圆的性质等，直接求出圆的圆心和半径，代入圆的标准方程，从而得到圆的标准方程.
于y=-x 的对称点为(a,b), 则
解得
所以所求
对称圆的圆心为(0,2),半径为 √5,所以所求对称圆的方程为
x²+(y-2)²=5.
4. (多选题)以直线2x+y-4=0 与两坐标轴的一个交点为圆心，过另一个交点的圆的方程可能为( AD )

高中数学必修2：4.1 圆的方程

4.1 圆的方程一、圆的标准方程1．圆的标准方程2．圆的标准方程的推导如图，设圆的圆心坐标为(,)C a b ，半径长为r (其中a ,b ,r 都是常数，r >0).设()，M x y 为该圆上任意一点，那么圆心为C 的圆就是集合{}|P M MC r ==.由两点间的距离公式，得圆上任意一点M 的坐标(x ,y )r = ①，①式两边平方，得222()()=x a y b r -+-.3．点与圆的位置关系圆C ：222()(0())x a y b r r -+-=>，其圆心为,()C a b ，半径为r ，点00(,)P x y ，设||d PC ==.二、圆的一般方程1．圆的一般方程的定义当2240D E F +->时，方程220x y Dx Ey F +++=+表示一个圆，这个方程叫做圆的一般方程，其中圆心为，半径r =.2．圆的一般方程的推导把以(,)a b 为圆心，r 为半径的圆的标准方程222()()x a y b r -+-=展开，并整理得22222220x y ax by a b r +--++-=.取2222,2,D a E b F a b r =-=-=+-，得：220x y Dx Ey F +++=+ ①.把①的左边配方，并把常数项移到右边，得22224()()224D E D E F x y +-+++=. 当且仅当时，方程表示圆，且圆心为，半径长为；当2240D E F +-=时，方程只有实数解,22D E x y =-=-，所以它表示一个点；当2240D E F +-<时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．3．点与圆的位置关系点00)(,P x y 与圆22220(40)x y Dx Ey F D E F ++=+->++的位置关系是： P 在圆内⇔，P 在圆上⇔， P 在圆外⇔.三、待定系数法求圆的一般方程求圆的方程常用“待定系数法”，用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是：①根据题意，选择标准方程或一般方程；②根据条件列出关于a b r 、、或D E F 、、的方程组；③解出a b r 、、或D E F 、、，代入标准方程或一般方程．四、轨迹和轨迹方程1．轨迹和轨迹方程的定义平面上一动点M ，按照一定规则运动，形成的曲线叫做动点M 的轨迹.在坐标系中，这个轨迹可用一个方程表示，这个方程就是轨迹方程.2．求轨迹方程的五个步骤①建系：建立适当的坐标系，用(,)x y 表示曲线上任意一点M 的坐标；②设点：写出适合条件P 的点M 的集合){}(|P M p M =；③列式：用坐标(,)x y 表示条件()p M ，列出方程(,)0F x y =；④化简：化方程(,)0F x y =为最简形式；⑤査漏、剔假：证明化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点．1．求圆的标准方程求圆的标准方程的常用方法包括几何法和待定系数法．（1）由圆的几何性质易得圆心坐标和半径长时，用几何法可以简化运算．对于几何法，常用到圆的以下几何性质：①圆中任意弦的垂直平分线必过圆心；②圆内的任意两条弦的垂直平分线的交点一定是圆心．（2）由于圆的标准方程中含有三个参数a ，b ，r ，运用待定系数法时，必须具备三个独立的条件才能确定圆的方程．这三个参数反映了圆的几何性质，其中圆心（a ，b ）是圆的定位条件，半径r 是圆的定形条件．【例1】写出下列各圆的标准方程．（1）圆心在原点，半径长为2；（2）圆心是直线10x y +-=与230x y -+=的交点，半径长为14．【解析】（1）∵圆心在原点，半径长为2，即0,0,2a b r ===，∴圆的标准方程为224x y +=．【例2】过点111,(1())A B --,,且圆心在直线20x y +-=上的圆的方程是（ C ）A ．22()(31)4x y -++=B ．22()(31)4x y ++-=C ．22()(11)4x y -+-=D ．22()(11)4x y +++= 【解析】解法1：设所求圆的标准方程为222()()x a y b r -+-=，由已知条件，知222222(1)(1)(1)(1)20a b r a b r a b ⎧-+--=⎪--+-=⎨⎪+-=⎩，解此方程组，得2114a b r ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，故所求圆的标准方程为22()(11)4x y -+-=．解法2：设点C 为圆心，因为点C 在直线20x y +-=上，所以可设点C 的坐标为(),2a a -．又因为该圆经过,A B 两点，所以||||.CA CB == 解得1a =．所以2211a -=-=．所以圆心坐标为()1,1C ，半径|2|r CA ==．故所求圆的标准方程为22()(11)4x y --+=．2．会判断点与圆的位置关系点与圆的位置关系的判断方法：（1）几何法：利用圆心到该点的距离d 与圆的半径r 比较；（2）代数法：直接利用下面的不等式判定：①22200()()x a y b r -+->，点在圆外；②22200()()x a y b r -+-=，点在圆上；③22200()()x a y b r -+-<，点在圆内．【例3】已知点（2，0）和（x -2）2 + （y +1）2 = 3，则点与圆的位置关系是( A ) A ．在圆内 B ．在圆上 C ．在圆外 D ．不确定【解析】由于（2-2）2+（0+1）2<3，故点在圆内．【例4】已知点A （1，2）和圆C ：（x-a ）2+（y+a ）2=2a 2，试求满足下列条件的实数a 的取值范围．（1）点A 在圆C 的内部；（2）点A 在圆C 上（3）点A 在圆C 的外部．3．圆的方程的判断判断二元二次方程220x y Dx Ey F ++++=是否表示圆的方法：（1）利用圆的一般方程的定义，求出224D E F +-利用其符号判断．（2）将方程配方化为()()22x a y b m -+-=的形式，根据m 的符号判断．【例5】判断下列方程是否表示圆，若是，化成标准方程．（1）x 2+y 2+2x+1=0；（2）x 2+y 2+2ay-1=0；（3）x 2+y 2+20x+121=0；（4）x 2+y 2+2ax =0．【解析】（1）原方程可化为（x+1）2+y 2=0，它表示点（-1，0），不表示圆．（2）原方程可化为x 2+（y+a ）2=a 2+1，它表示圆心为（0，-a ），半径为的圆，标准方程为x 2+（y+a ）2=（）2 ．（3）原方程可化为（x+10）2+y 2=-21<0，故方程不表示任何曲线，故不能表示圆．（4）原方程可化为（x+a ）2+y 2=a 2．①当a =0时，方程表示点（0，0），不表示圆；②当a ≠0时，方程表示以（-a ，0）为圆心，半径为|a|的圆，标准方程为（x+a ）2+y 2=a 2．【例6】方程x 2+y 2+4mx-2y+5m =0表示圆的条件是( B )A ．14<m <1 B ．m <14或m >1 C ．m <14D ．m >14．用待定系数法求圆的一般方程应用待定系数法求圆的一般方程的步骤如下：【例7】已知圆经过点（4，2）和（-2，-6），且该圆与两坐标轴的四个截距之和为-2，求圆的方程．【解析】设圆的一般方程为22220(40)x y Dx Ey F D E F ++++=+->．由圆经过点（4，2）和（-2，-6），得4220026400　①　②D E F D E F +++=⎧⎨+--=⎩，设圆在x 轴上的截距为x 1，x 2，则x 1，x 2是方程x 2+Dx+F =0的两个根，得x 1+x 2=-D ．设圆在y 轴上的截距为y 1，y 2，则y 1，y 2是方程y 2+Ey+F =0的两个根，得y 1+y 2=-E ．由已知，得-D+（-E ）=-2，即D+E-2=0． ③联立①②③，解得D =-2，E =4，F =-20，故所求圆的方程为x 2+y 2-2x+4y-20=0．【例8】试判断(1,2)A ，(0,1)B ，(76)C -，，(4,3)D 四点是否在同一个圆上．5．与圆有关的轨迹问题求与圆有关的轨迹方程的常用方法：（1）直接法：能直接根据题目提供的条件列出方程．步骤如下：（2）定义法：当动点的轨迹符合圆的定义时，可直接写出动点的轨迹方程．（3）相关点法：若动点,()P x y 随着圆上的另一动点11(),Q x y 运动而运动，且11,x y 可用,x y 表示，则可将Q 点的坐标代入已知圆的方程，即得动点P 的轨迹方程．【例9】已知点P （x ，y ），A （1，0），B （-1，1），且|PA|=|PB|．（1）求点P 的轨迹方程；（2）判断点P 的轨迹是否为圆，若是，求出圆心坐标及半径；若不是，请说明理由．【例10】已知直角ABC △的斜边为AB ，且1,0,()(,0)3A B -，求：（1）直角顶点C 的轨迹方程；（2）直角边BC 中点M 的轨迹方程．【解析】（1）解法一：设顶点,()C x y ，因为AC BC ⊥，且,,A B C 三点不共线，所以3x ≠且1x ≠-．又1AC k y x =+， 3BC y k x =-，且·1AC BC k k =-，所以113y y x x ⋅=-+-，化简得22230x y x +--=．因此，直角顶点C 的轨迹方程为22230(31)x y x x x +--=≠≠-且．解法二：同解法一得3x ≠且1x ≠-．由勾股定理得222||||||AC BC AB +=，即2222131))6((x y x y +++-+=，化简得22230x y x +--=．因此，直角顶点C 的轨迹方程为22230(31)x y x x x +--=≠≠-且．解法三：设AB 中点为D ，由中点坐标公式得()1,0D ，由直角三角形的性质知， 122||||CD AB ==，由圆的定义知，动点C 的轨迹是以()1,0D 为圆心，以2为半径的圆（由于,,A B C 三点不共线，所以应除去与x 轴的交点）．设,()C x y ，则直角顶点C 的轨迹方程为2214))1((3x y x x -+=≠≠-且．6．忽视圆标准方程的结构致错【例11】求圆()222230()()x y b b ++-≠=的圆心及半径．【错解】由圆的标准方程知圆心为(2,)3-，半径为b ．【错因分析】在圆的标准方程2220()()()x a y b r r -=>-+中，此圆的圆心为(),a b ，半径长为r ．错解中没有准确把握圆的标准方程的结构形式．【正解】由圆的标准方程知圆心为()2,3-，半径为||b ．7．忽视圆的一般方程应满足的条件致错【例12】已知点()0,0O 在圆2222210x y kx ky k k +++-+=+外，求k 的取值范围．【错解】∵点()0,0O 在圆外，∴2210k k ->+，解得1 1.2k k ><-或 ∴k 的取值范围是(),1-∞-1(,)2+∞．【错因分析】本题忽视了圆的一般方程220x y Dx Ey F +++=+表示圆的条件为2240D E F +->，【正解】∵方程表示圆，∴222()(2420)1k k k k +-+>-，即23440k k -<+，解得22.3k -<<又∵点()0,0O 在圆外，∴2210k k ->+，解得12k >或1k <-．综上所述，k 的取值范围是1()(22,3)12--，．基础训练1．圆心在y 轴上，半径为1，且过点（1，3）的圆的方程为（ A ）A ．x 2+（y –3）2=1B ．x 2+（y +3）2=1C ．（x –3）2+y 2=1D ．（x +3）2+y 2=12．已知圆C ：（x –6）2+（y –8）2=4，O 为坐标原点，则以OC 为直径的圆的方程为（ C ）A ．（x –3）2+（y +4）2=100B ．（x +3）2+（y –4）2=100C．（x–3）2+（y–4）2=25 D．（x+3）2+（y–4）2=253．（x+1）2+（y–1）2=1的圆心在（B ）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4．圆心为点（3，4）且过点（0，0）的圆的方程是（C ）A．x2+y2=25 B．x2+y2=5 C．（x–3）2+（y–4）2=25 D．（x+3）2+（y+4）2=255．以两点A（–3，–1）和B（5，5）为直径端点的圆的方程是（A ）A．（x–1）2+（y–2）2=25 B（x+1）2+（y+2）2=25 C．（x+1）2+（y+2）2=100 D．（x–1）2+（y–2）2=1006．已知圆心在点P（–2，3），并且与y轴相切，则该圆的方程是（B ）A．（x–2）2+（y+3）2=4 B．（x+2）2+（y–3）2=4 C．（x–2）2+（y+3）2=9 D．（x+2）2+（y–3）2=9 7．圆x2+y2–2x+4y=0的圆心坐标为（B ）A．（1，2）B．（1，–2）C．（–1，2）D．（–1，–2）8．已知圆的方程x2+y2+2ax+9=0圆心坐标为（5，0），则它的半径为（D ）A．3 B C．5 D．49．圆x2+y2–4x+2y+4=0的半径和圆心坐标分别为（C ）A．r=1；（–2，1）B．r=2；（–2，1）C．r=1；（2，–1）D．r=2；（2，–1）10．圆x2+y2–2x+2y=0的周长是（A ）A．B．2πC D．4π11．圆心为（1，1）且过原点的圆的方程是（x–1）2+（y–1）2=2_．12．圆（x+1）2+（y–3）2=36的圆心C坐标（–1，3），半径r=___6_____．13．求圆心在直线y=–2x上，并且经过点A（0，1），与直线x+y=1相切的圆的标准方程．14．已知圆经过点A（2，4）、B（3，5）两点，且圆心C在直线2x–y–2=0上．求圆C的方程．∵圆C经过点A（2，4）、B（3，5）两点，∴点C在线段AB的垂直平分线y=–x+7，又∵圆心C在直线2x–y–2=0上，∴联立7220y xx y=-+⎧⎨--=⎩，得C（3，4）．圆C的半径r=|AC|==1，∴圆C的方程是（x–3）2+（y–4）2=1．15．求过三点O（0，0），A（1，1），B（4，2）的圆的方程，并求这个圆的半径和圆心坐标．设圆的方程为：x2+y2+Dx+Ey+F=0，则2042200FD E FD E F=⎧⎪+++=⎨⎪+++=⎩，解得D=–4，E=3，F=0，∴圆的方程为x2+y2–8x+6y=0，化为（x–4）2+（y+3）2=25，可得：圆心是（4，–3）、半径r=5．16．求过三点A（–1，0），B（1，–2），C（1，0）的圆的方程．17．已知方程x2+y2–2x+t2=0表示一个圆．（1）求t的取值范围；（2）求该圆的半径r最大时圆的方程．(1）由圆的一般方程，得4–4t2>0，∴–1<t<1；（2）r=t=0时，r最大为1．∴圆的方程：（x–1）2+y2=1．能力18．如图，在直角坐标系xOy中，坐标轴将边长为4的正方形ABCD分割成四个小正方形，若大圆为正方形ABCD的外接圆，四个小圆分别为四个小正方形的内切圆，则图中某个圆的方程是( B )A．x2+y2–x+2y+1=0 B．x2+y2+2x–2y+1=0 C．x2+y2–2x+y–1=0 D．x2+y2–2x+2y–1=019．若方程a2x2+（a+2）y2+2ax+a=0表示圆，则a的值为( C )A．a=1或a=–2 B．a=2或a=–1 C．a=–1 D．a=220．若方程x2+y2–4x+2y+5k=0表示圆，则实数k的取值范围是( A )A．（–∞，1）B．（–∞，1] C．[1，+∞）D．R21．圆（x–1）2+（y–2）2=1关于直线x–y–2=0对称的圆的方程为( A )A．（x–4）2+（y+1）2=1 B．（x+4）2+（y+1）2=1 C．（x+2）2+（y+4）2=1 D．（x–2）2+（y+1）2=122．由方程x2+y2+x+（m–1）y+12m2=0所确定的圆中，最大面积是( B )A B．34πC．3πD．不存在23．若圆x2+y2–4x+2y+m+6=0与y轴的两交点A，B位于原点的同侧，则实数m的取值范围是( C ) A．m<–1 B．m>–6 C．–6<m<–5 D．m<–524．已知圆的方程为x2+y2–2x+6y+8=0，那么通过圆心的一条直线方程是( C )A．2x–y–1=0 B．2x–y+1=0 C．2x+y+1=0 D．2x+y–1=025．已知三点A（1，3），B（4，2），C（1，–7），则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为( D )A．10 B．C．5 D26．由方程x2+y2–4tx–2ty+5t2–4=0（t为参数）所表示的一组圆的圆心轨迹是( D )A．一个定点B．一个椭圆C．一条抛物线D．一条直线27．已知点A（–3，0），B（–1，–2），若圆（x–2）2+y2=r2（r>0）上恰有两点M，N，使得△MAB和△NAB的面积均为4，则r的取值范围是）．28．已知圆C：（x–3）2+（y–4）2=1和两点A（–m，0），B（m，0）（m>0），若圆C上存在点P使得∠APB=90°，则m的最大值为_____6_____．29．已知函数f（x）=13x2–43x+1的图象与坐标轴的交点均在圆M上，则圆M的标准方程为（x–2）2+（y+1）2=5．30．已知动点A在圆P：x2+y2=1上运动，点Q为定点B（–3，4）与点A距离的中点，则点Q的轨迹方程为x2+y2+3x–4y+6=0_．31．已知点A，B的坐标分别为（–1，0），（1，0）．直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之和是2，则点M的轨迹方程为x2–xy–1=0（x≠±1）．32．如图，直角△OAB中，OA═4，斜边AB上的高为OC，M为OA的中点，过B点且垂直于y轴的直线交直线MC于点N，则点N的轨迹方程为y2=8x，（x≠0）_．33．已知直线l1：mx–y=0，l2：x+my–m–2=0．当m在实数范围内变化时，l1与l2的交点P恒在一个定圆上，则定圆方程是_（x–1）2+（y–12）2=54_．34．已知函数y=x2–4x+3与x轴交于M、N两点，与y轴交于点P，圆心为C的圆恰好经过M、N、P三点．（1）求圆C的方程；（2）若圆C与直线x–y+n=0交于A、B两点，且线段|AB|=4，求n的值．（1）由题意与坐标轴交点为M （3，0），N （1，0），P （0，3），设圆的方程为：（x –a ）2+（y –b ）2=r 2代入点，得222222222(3)(0)(1)(0)(0)(3)a b r a b ra b r ⎧-+-=⎪-+-=⎨⎪-+-=⎩，解得a =2，b =2，r（x –2）2+（y –2）2=5．（2）由题意|AB |=4：设圆心到直线距离为d ，则222()2ABr d =+，即：1d ==，解得n =35．已知线段AB 的端点B 的坐标为（1，3），端点A 在圆C ：（x +1）2+y 2=4上运动，求线段AB 的中点M 的轨迹．36．已知圆C 过A （1，4）、B （3，2）两点，且圆心在直线y =0上．（1）求圆C 的方程；（2）判断点P （2，4）与圆C 的位置关系．（1）∵圆心在直线y =0上，∴设圆心坐标为C （a ，0），则|AC |=|BC |=，即（a –1）2+16=（a –3）2+4，解得a =–1，即圆心为（–1，0），半径r =|AC== 则圆的标准方程为（x +1）2+y 2=20；（2）∵|PC5===>r ，∴点P （2，4）在圆C 外． 37．已知曲线C 的方程：x 2+y 2–4x +2y +5m =0（1）当m 为何值时，此方程表示圆？（2）若m =0，是否存在过点P （0，2）的直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，且|PA |=|AB |，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．1）方程：x 2+y 2–4x +2y +5m =0可化为（x –2）2+（y +1）2=5–5m ∵方程表示圆，∴5–5m >0，即m <1；（2）设A （a ，b ），则B （2a ，2b –2），代入圆的方程，可得a 2+b 2–4a +2b =0，且4a 2+（2b –2）2–8a +2（2b –2）=0，∴a =0，或a =2413，∵直线l 过点P （0，2），∴直线l 的方程为x =0或5x +12y –24=0． 38．求圆x 2+y 2–2x –6y +9=0关于直线2x +y +5=0对称的圆的方程．39．已知圆过点A （–2，4），半径为5，并且以M （–1，3）为中点的弦长为设所求的圆的方程是（x –a ）2+（y –b ）2=25，根据题设知（a +2）2+（b –4）2=25，再由弦长公式得：（a +1）2+（b –3）2+12=25，联立解得21a b =⎧⎨=⎩或10a b =⎧⎨=⎩所以圆的方程为：（x –2）2+（y –1）2=25或（x –1）2+y 2=25． 40．圆（x +1）2+y 2=2的圆心到直线y =x +3的距离为( C )A ．1B ．2CD ．41．圆x 2+y 2–2x –8y +13=0的圆心到直线ax +y –1=0的距离为1，则a =( A )A ．–43B ．–34CD ．242．在平面直角坐标系中，经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆的方程为（x –1）2+y 2=1（或x 2+y 2–2x =0）_________．43．已知a ∈R ，方程a 2x 2+（a +2）y 2+4x +8y +5a =0表示圆，则圆心坐标是（–2，–4），半径是_5_．。

高中数学圆与方程知识点

高中数学圆与方程知识点分析1. 圆的方程：（1）标准方程：222()()x a y b r -+-=（圆心为A(a,b),半径为r ）（2）圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x （0422>-+F E D ）圆心（-2D ，-2E ）半径F E D 42122-+ 2. 点与圆的位置关系的判断方法：根据点与圆心的距离d 与r 在大小关系判断 3. 直线与圆的位置关系判断方法（1）几何法：由圆心到直线的距离和圆的半径的大小关系来判断。

d=r 为相切，d>r 为相交，d<r 为相离。

适用于已知直线和圆的方程判断二者关系，也适用于其中有参数，对参数谈论的问题。

利用这种方法，可以简单的算出直线与圆相交时的相交弦的长，以及当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最远、最近距离等。

（2）代数法：由直线与圆的方程联立得到关于x 或y 的一元二次方程,然后由判别式△来判断。

△=0为相切，△>0为相交，△<0为相离。

利用这种方法，可以很简单的求出直线与圆有交点时的交点坐标。

4．圆与圆的位置关系判断方法（1）几何法：两圆的连心线长为l ，则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点：1）当21r r l +>时，圆1C 与圆2C 相离；2）当21r r l +=时，圆1C 与圆2C 外切；3）当<-||21r r 21r r l +<时，圆1C 与圆2C 相交；4）当||21r r l -=时，圆1C 与圆2C 内切； 5）当||21r r l -<时，圆1C 与圆2C 内含；（2）代数法：由两圆的方程联立得到关于x 或y 的一元二次方程, 然后由判别式△来判断。

△=0为外切或内切，△>0为相交，△<0为相离或内含。

若两圆相交，两圆方程相减得公共弦所在直线方程。

5. 直线与圆的方程的应用：利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系题型一求圆的方程例1.求过点A( 2,0)，圆心在(3, 2)圆的方程。

圆的解析几何方程

〖圆的解析几何方程〗圆的标准方程：在平面直角坐标系中，以点O（a，b）为圆心，以r为半径的圆的标准方程是（x-a）^2+（y-b）^2=r^2。

圆的一般方程：把圆的标准方程展开，移项，合并同类项后，可得圆的一般方程是x^2+y^2+Dx+Ey+F=0。

和标准方程对比，其实D=-2a，E=-2b，F=a^2+b^2。

圆的离心率e=0，在圆上任意一点的曲率半径都是r。

〖圆与直线的位置关系判断〗平面内，直线Ax+By+C=0与圆x^2+y^2+Dx+Ey+F=0的位置关系判断一般方法是：1.由Ax+By+C=0，可得y=（-C-Ax）／B，（其中B不等于0），代入x^2+y^2+Dx+Ey+F=0，即成为一个关于x的一元二次方程f（x）=0。

利用判别式b^2-4ac的符号可确定圆与直线的位置关系如下：如果b^2-4ac>0，则圆与直线有2交点，即圆与直线相交。

如果b^2-4ac=0，则圆与直线有1交点，即圆与直线相切。

如果b^2-4ac<0，则圆与直线有0交点，即圆与直线相离。

2.如果B=0即直线为Ax+C=0，即x=-C／A，它平行于y轴（或垂直于x轴），将x^2+y^2+Dx+Ey+F=0化为（x-a）^2+（y-b）^2=r^2。

令y=b，求出此时的两个x值x1、x2，并且规定x1<x2，那么：当x=-C／A<x1或x=-C／A>x2时，直线与圆相离；当x1<x=-C／A<x2时，直线与圆相交；半径r，直径d在直角坐标系中，圆的解析式为：（x-a）^2+(y-b)^2=r^2x^2+y^2+Dx+Ey+F=0=> (x+D/2)^2+(y+E/2)^2=D^2/4+E^2/4-F=> 圆心坐标为(-D/2,-E/2)1．点与圆的位置关系设圆C∶(x-a)2+(y-b)2=r2，点M(x0，y0)到圆心的距离为d，则有：(1)d＞r 点M在圆外；(2)d=r 点M在圆上；(3)d＜r 点M在圆内．2．直线与圆的位置关系设圆C∶(x-a)2+(y-b)=r2，直线l的方程为Ax+By+C=0，圆心(a，b)判别式为△，则有：(1)d＜r 直线与圆相交；(2)d=r 直线与圆相切；(3)d＜r 直线与圆相离，即几何特征；或(1)△＞0 直线与圆相交；(2)△=0 直线与圆相切；(3)△＜0 直线与圆相离，即代数特征，3．圆与圆的位置关系设圆C1：(x-a)2+(y-b)2=r2和圆C2：(x-m)2+(y-n)2=k2(k≥r)，且设两圆圆心距为d，则有：(1)d=k+r 两圆外切；(2)d=k-r 两圆内切；(3)d＞k+r 两圆外离；(4)d＜k+r 两圆内含；(5)k-r＜d＜k+r 两圆相交．4．其他(1)过圆上一点的切线方程：①圆x2+y2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则此点的切线方程为x0x+y0y=r2(课本命题)．②圆(x-a)2+(y-b)2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则过此点的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2(课本命题的推广)．(2)相交两圆的公共弦所在直线方程：设圆C1∶x2+y2+D1x+E1y+F1=0和圆C2∶x2+y2+D2x+E2y+F2=0，若两圆相交，则过两圆交点的直线方程为(D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=0．(3)圆系方程：①设圆C1∶x2+y2+D1x+E1y+F1=0和圆C2∶x2+y2+D2x+E2y+F2=0．若两圆相交，则过交点的圆系方程为x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ为参数，圆系中不包括圆C2，λ=-1为两圆的公共弦所在直线方程)．②设圆C∶x2+y2+Dx+Ey+F=0与直线l：Ax+By+C=0，若直线与圆相交，则过交点的圆系方程为x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0(λ为参数)．1.求经过M(1，2）N(3，4），并且在Y轴上截得的弦长为1的圆的方程。

高中数学-圆的方程

课题：圆的方程知识点一：圆的方程1．圆的标准方程：()()222x a y b r -+-=。

2．圆的一般方程：22220(D E 4F 0)＋－x y D x E y F ++++=>，特别提醒：只有当22D E 4F 0＋－>时，方程220x y Dx Ey F ++++=才表示圆心为(,)22D E--，半径为22142D E F +-的圆（二元二次方程220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=表示圆的充要条件是什么？（0,A C =≠且0B =且2240D E AF +->））；3．圆的参数方程：{cos sin x a r y b r θθ=+=+（θ为参数），其中圆心为(,)a b ，半径为r 。

圆的参数方程的主要应用是三角换元：222cos ,sin xy r x r y r θθ+=→==；22x y t +≤cos ,sin (0)x r y r r t θθ→==≤≤。

4．()()1122A,,,x y B x y 为直径端点的圆方程()()()()12120x x x x y y y y --+--=如（1）圆C 与圆22(1)1x y -+=关于直线y x =-对称，则圆C 的方程为____________（2）圆心在直线32=-y x 上，且与两坐标轴均相切的圆的标准方程是__________（3）如果直线l 将圆：x 2+y 2-2x-4y=0平分，且不过第四象限，那么l 的斜率的取值范围是__（4）方程x 2+y ２－x+y+k=0表示一个圆，则实数k 的取值范围为____知识点二：点与圆的位置关系：已知点()00M,x y 及圆()()()222C 0：x-a y b r r +-=>，（1）点M 在圆C 外()()22200CM r x a y b r ⇔>⇔-+->；（2）点M 在圆C 内⇔()()22200CM r x a y b r <⇔-+-<；（3）点M 在圆C 上()20CM r x a ⇔=⇔-()220y b r +-=。

人教B版高中数学必修二2.3.1《圆的标准方程》ppt课件

•直径的圆的方已程知，两并点判P断1(M4(,69,)9和)、P2(Q6(,53,)3，)是求在以圆P1上P2？为
圆外？圆内？
• [分析] (1)根据所给已知条件可得圆心坐标和半径．
• (2)判断点在圆上、圆外、圆内的方法是：根据已知点[到解析圆]心由的已距知离条与件半可径得圆的心大坐小标关为系M来(5,判6)，断半．径为 r＝12
• 3．以点A(－5,4)为圆心，且与y轴相切的圆的方程
是( )
• A．(x－5)2＋(y＋4)2＝25 B．(x＋5)2＋(y－4)2＝
25
• C．(x－5)2＋(y＋4)2＝16 D．(x＋5)2＋(y－4)2＝
16
• [答案] B
• [解析] ∵与y轴相切，∴r＝5，方程为(x＋5)2＋(y
② 根据自己预习时理解过的逻辑结构抓住老师的思路。老师讲课在多数情况下是根据教材本身的知识结构展开的，若把自己预习时所理解过的知识逻辑结构与老师的讲解过程进行比较，便可以抓住老师的思路。
③ 根据老师的提示抓住老师的思路。老师在教学中经常有一些提示用语，如“请注意”、“我再重复一遍”、“这个问题的关键是····”等等，这些用语往往体现了老师的思路。来自：学习方法网
此求圆的方程必须具备三个独立条件．
• 3．圆心为(a，b)半径为r(r>0)的圆的方程为： (x_圆－_心_a_)2在_＋_(原_y_－点_b_)、_2＝_半_r_2 径__为__r_的，圆称方作程圆为的x标2＋准y方2＝程r．2. 特别地，
• 4．点P(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关
r2＝5
故△ABC 的外接圆的标准方程为(x－4)2＋(y－1)2＝5.
编后语
老师上课都有一定的思路，抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路，这里再进一步论述听课时如何抓住老师的思路。

高中数学必修2直线与圆常考题型：圆的标准方程

圆的标准方程【知识梳理】1．圆的标准方程(1)圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径．(2)确定圆的要素是圆心和半径，如图所示．(3)圆的标准方程：圆心为A (a ，b )，半径长为r 的圆的标准方程是(x －a )2＋(y －b )2＝r 2. 当a ＝b ＝0时，方程为x 2＋y 2＝r 2，表示以原点为圆心、半径为r 的圆．2．点与圆的位置关系圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，圆心A (a ，b )，半径为r .设所给点为M (x 0，y 0)，则题型一、求圆的标准方程【例1】过点A (1，－1)，B (－1,1)且圆心在直线x ＋y －2＝0上的圆的方程是( )A ．(x －3)2＋(y ＋1)2＝4B ．(x ＋3)2＋(y －1)2＝4C ．(x －1)2＋(y －1)2＝4D ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4[解析] 法一：设所求圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，由已知条件知⎩⎪⎨⎪⎧ (1－a )2＋(－1－b )2＝r 2，(－1－a )2＋(1－b )2＝r 2，a ＋b －2＝0，解此方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝1，r 2＝4.故所求圆的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4.法二：设点C 为圆心，∵点C 在直线x ＋y －2＝0上，∴可设点C 的坐标为(a,2－a )．又∵该圆经过A ，B 两点，∴|CA |＝|CB |. ∴(a －1)2＋(2－a ＋1)2 ＝(a ＋1)2＋(2－a －1)2，解得a ＝1.∴圆心坐标为C (1,1)，半径长r ＝|CA |＝2.故所求圆的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4.法三：由已知可得线段AB 的中点坐标为(0,0)，k AB ＝1－(－1)－1－1＝－1，所以弦AB 的垂直平分线的斜率为k ＝1，所以AB 的垂直平分线的方程为y －0＝1·(x －0)，即y ＝x .则圆心是直线y ＝x 与x ＋y －2＝0的交点，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ，x ＋y －2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，即圆心为(1,1)，圆的半径为(1－1)2＋[1－(－1)]2＝2，故所求圆的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4.[答案] C【类题通法】确定圆的标准方程就是设法确定圆心C (a ，b )及半径r ，其求解的方法：一是待定系数法，如解法一，建立关于a ，b ，r 的方程组，进而求得圆的方程；二是借助圆的几何性质直接求得圆心坐标和半径，如解法二、三．一般地，在解决有关圆的问题时，有时利用圆的几何性质作转化较为简捷．【对点训练】1．求下列圆的标准方程：(1)圆心是(4，－1)，且过点(5,2)；(2)圆心在y 轴上，半径长为5，且过点(3，－4)；(3)求过两点C (－1,1)和D (1,3)，圆心在x 轴上的圆的标准方程．解：(1)圆的半径长r ＝ (5－4)2＋(2＋1)2＝10，故圆的标准方程为(x －4)2＋(y ＋1)2＝10.(2)设圆心为C (0，b )，则(3－0)2＋(－4－b )2＝52，解得b ＝0或b ＝－8，则圆心为(0,0)或(0，－8)．又∵半径r ＝5，∴圆的标准方程为x 2＋y 2＝25或x 2＋(y ＋8)2＝25.(3)直线CD 的斜率k CD ＝3－11＋1＝1，线段CD 中点E 的坐标为(0,2)，故线段CD 的垂直平分线的方程为y －2＝－x ，即y ＝－x ＋2，令y ＝0，得x ＝2，即圆心为(2,0)．由两点间的距离公式，得r ＝ (2－1)2＋(0－3)2＝10.所以所求圆的标准方程为(x －2)2＋y 2＝10.题型二、点与圆的位置关系【例2】如图，已知两点P 1(4,9)和P 2(6,3)．(1)求以P 1P 2为直径的圆的方程；(2)试判断点M (6,9)，N (3,3)，Q (5,3)是在圆上，在圆内，还是在圆外．[解] (1)设圆心C (a ，b )，半径长为r ，则由C 为P 1P 2的中点，得a＝4＋62＝5，b ＝9＋32＝6.又由两点间的距离公式得r ＝|CP 1|＝ (4－5)2＋(9－6)2＝10，故所求圆的方程为(x －5)2＋(y －6)2＝10.(2)由(1)知，圆心C (5,6)，则分别计算点到圆心的距离：|CM |＝ (6－5)2＋(9－6)2＝10；|CN |＝ (3－5)2＋(3－6)2＝13＞10；|CQ |＝ (5－5)2＋(3－6)2＝3＜10.因此，点M 在圆上，点N 在圆外，点Q 在圆内．【类题通法】1．判断点与圆的位置关系的方法(1)只需计算该点与圆的圆心距离，与半径作比较即可；(2)把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的符号，并作出判断．2．灵活运用若已知点与圆的位置关系，也可利用以上两种方法列出不等式或方程，求解参数范围．【对点训练】2．点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则a的取值范围是()A．－1＜a＜1B．0＜a＜1C．a＞1或a＞－1 D．a＝±1解析：选A由于点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，所以(1－a)2＋(1＋a)2＜4，a2＜1，所以－1＜a＜1.【练习反馈】1．圆(x－1)2＋(y＋3)2＝1的圆心坐标是()A．(1，3)B．(－1，3)C．(1，－3) D．(－1，－3)答案：C2．点P(m,5)与圆x2＋y2＝24的位置关系是()A．在圆外B．在圆内C．在圆上D．不确定解析：选A∵m2＋25＞24，∴点P在圆外．3．若点P(－1，3)在圆x2＋y2＝m2上，则实数m＝________.解析：∵P点在圆x2＋y2＝m2上，∴(－1)2＋(3)2＝4＝m2，∴m＝±2.答案：±24．经过原点，圆心在x轴的负半轴上，半径为2的圆的方程是________．解析：圆心是(－2,0)，半径是2，所以圆的方程是(x＋2)2＋y2＝4.答案：(x＋2)2＋y2＝45．求以A(2,2)，B(5,3)，C(3，－1)为顶点的三角形的外接圆的方程．解：设所求圆的方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2.将点A(2,2)，B(5,3)，C(3，－1)代入上式得⎩⎪⎨⎪⎧ (2－a )2＋(2－b )2＝r 2，(5－a )2＋(3－b )2＝r 2，(3－a )2＋(－1－b )2＝r 2，解此方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，b ＝1，r 2＝5. 所以，△ABC 的外接圆方程是(x －4)2＋(y －1)2＝5.。

人教A版高中数学必修二4.1.1 圆的标准方程课件(共16张PPT)

设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2。
六.小结
1.圆心是 A(a,b)，半径为r的圆A的标准方程是(x–a)2+(y–b )2=r2 2.点M(x0，y0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系
几何法先求出点M与圆心A的距离d
（1）若点M在圆A上，则d=r; （2）若点M在圆A内，则 d<r; （3）若点M在圆A外，则 d>r.
数与形,本是相倚依焉能分作两边飞数无形时少直觉形少数时难入微数形结合百般好隔离分家万事休切莫忘,几何代数统一体永远联系莫分离
—— 华罗庚
O
平面直角坐标系
数
直线方程 1.点斜式方程 �� − �� = ��(�� − ��)

r2
③
展开平方后，
(x–2)2+(y+3)2=y25.
① ②得:a 2b 8 0
A(5,1)
③-②得:a b 1 0
几
解得a=2,b=-3,r=5.
代
何
O M
(6,-1) x B(7,-3)
∴ △ABC的外接圆方程为
数
(x–2)2+(y+3)2=25.
法
C(2,-8)
kAB 2
(1 a)2 (1 b)2 r 2
(2 a)2 (2 b)2 r 2

ab1 0
a 3 解得 b 2
r 5
∴圆C方程是(x-3)2+(y-2)2=25.
代
何
O
x
数
法
C

高中数学圆的方程

典例导学
即时检测
一
二
三
这类题目的关键是求圆心和半径,知道圆心和半径后, 可直接套用圆的标准方程.求解圆的标准方程主要用待定系数法, 由题目给出的已知条件实现和参数a,b,r的联系,从而得出方程并求出a,b,r,但此方法的计算量较大.
典例导学
即时检测
一
二
三
二、求圆的一般方程求经过A(4,2),B(-1,3)两点,且在两坐标轴上的四个截距之和为2的圆的方程. (导学号51800086) 思路分析：由条件不易直接求得圆心和半径,故可设圆的一般方程,用待定系数法解.
典例导学
即时检测
一
二
三
解：设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0. 令y=0,得x2+Dx+F=0, ∴x1+x2=-D. 令x=0,得y2+Ey+F=0, ∴y1+y2=-E. 由题知-D-E=2, 即D+E+2=0.① 又∵圆过A,B两点, ∴16+4+4D+2E+F=0,② 1+9-D+3E+F=0.③ 解①②③组成的方程组得D=-2,E=0,F=-12. ∴所求圆的方程为x2+y2-2x-12=0.
∴a=2,b=-1,r= (0-2)2 + (0 + 1)2 = 5,
∴圆的方程为(x-2)2+(y+1)2=5.
典例导学
即时检测
一
二
三
1.(2016吉林长春外国语学校高二期中)已知两点P1(2,7),P2(6,5), 则以线段P1P2为直径的圆的标准方程是( ) A.(x-4)2+(y-6)2=5 B.(x-4)2+(y-6)2=10 C.(x-2)2+(y-1)2=5 D.(x-6)2+(y-4)2=25 解析：设线段P1P2的中点为M, ∵P1(2,7),P2(6,5),∴圆心M(4,6).

高中数学新人教A版必修2课件：第四章圆与方程4.1.1圆的标准方程

解:(3)设圆心为 C,AB 的垂直平分线方程为 3x+2y-15=0.
由
3x 3x
2y 15 10y 9
0, 0,
得
x y
7, 3,
所以圆心 C(7,-3),又 CB= 65 ,
故所求圆的方程为(x-7)2+(y+3)2=65.
(4)以A(-1,2),B(5,-6)为直径两端点的圆的方程.
3.圆的标准方程的定义我们把方程(x-a)2+(y-b)2=r2称为圆心为(a,b),半径长为r(r>0)的圆的方程,把它叫做圆的标准方程. 特别地,当圆心在坐标原点,即a=b=0时,圆的标准方程为x2+y2=r2;当圆心在坐标原点,r=1时,圆的标准方程为x2+y2=1,称为单位圆.
4.几种特殊位置的圆的标准方程
4.1.1 圆的标准方程
课标要求:1.会用定义推导圆的标准方程并掌握圆的标准方程的特征.2. 能根据所给条件求圆的标准方程.3.会判断点与圆的位置关系.
自主学习
知识探究
1.确定圆的几何要素在平面直角坐标系中,当圆心位置与半径大小确定后,圆就唯一确定了.因此,确定一个圆最基本的要素是圆心和半径,即位置和大小. 2.圆的定义平面内与定点的距离等于定长的点的集合是圆.其中定点就是圆心,定长就是半径长.
条件
方程形式
单位圆(圆心在原点,半径长 r=1)
x2+y2=1
过原点(圆心(a,b),半径长 r= a2 b2 ) 圆心在原点(即 a=0,b=0,半径长为 r,r>0)
(x-a)2+(y-b)2=a2+b2 x2+y2=r2
圆心在x轴上(即b=0,半径长为r,r>0) 圆心在y轴上(即a=0,半径长为r,r>0) 圆心在x轴上且过原点(即b=0,半径长r=|a|)

高中数学(新人教A版)选择性必修一：圆的标准方程【精品课件】

化：化简
这也是求轨迹方程的步骤！
新知探究
探究二：求圆的标准方程
课堂练习
例1 求圆心为(， − )，半径为5的圆的标准方程，并判断点
y
(−
两个点中，一个
，
(， − )，,
，−
)是否在这个圆上.
在圆上，一个点在圆内；
解:圆心为A(2，−3)
，半径为5的圆的标准方程是
那我们该如何判断点与圆
数，从而确定圆的标准方程．它是求圆的方程最常用的方法，一般步骤是：
①设——设所求圆的方程为(－)＋(－)＝；
②列——由已知条件，建立关于，，的方程组；
③解——解方程组，求出，，；
④代——将，，代入所设方程，得所求圆的方程．
随堂练习
1.写出下列圆的标准方程:
(1)圆心为C(− 3，4)，半径是 ;
(2)圆心为C(− 8，3)，且经过点M(− 5，− 1).
解析：(1) + + − =
(2) + + − = .
随堂练习
3.已知 (4，9)， (6，3）两点，求以线段为直径的圆的
标准方程，并判断点 (，)，(，)，(，) 在圆上、圆内，
求△AOB的外接圆的标准方程.
解析：设圆的标准方程为 − + − = (r>0)
∵ A(4，0)，O(0，0)，B(0，3)都在圆上，

− + =
∴ + − =
+ =
=

，解得 = .

=
∴ △AOB外接圆的标准方Байду номын сангаас是 −

精品课件：圆的标准方程

[解析] 根据圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)中圆心为(a，b)，半径为r，故
(1)圆心坐标是(2,5)，半径长是3. (2)圆心坐标是(0,0)，半径长是16. (3)圆心坐标是(－1,2)，半径长是 m.
第四章 4.1 4.1.1
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修2
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温故知新 1．圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，其中定点是圆心，定长是半径长． 2．确定圆的基本条件： (1)已知_圆__心_和__半__径__长__可以确定一个圆，_圆__心___确定圆的位置，__半__径__长___确定圆的大小；
10>8，∴点M在圆外，同理可判断Q点在圆内．
第四章 4.1 4.1.1
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探索延拓创新
第四章 4.1 4.1.1
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圆的标准方程的综合应用学法指导求圆的标准方程有以下两种方法： (1)待定系数法．由于圆的标准方程中含有a，b，r三个参数，必须具备三个独立条件，才能求出一个圆的标准方程，用待定系数法求圆的方程，即列出关于a，b，r的方程组，解方程组求a， b，r.一般步骤如下：①设出所求的圆的标准方程(x－a)2＋(y －b)2＝r2；
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已知两点P1(0,5)和P2(4,1)，求以P1P2为直径的圆的方程，并判断M(1,6)，Q(3,5)是在圆上？圆外？圆内？
[分析] (1)根据所给已知条件可得圆心坐标和半径． (2)判断点在圆上、圆外、圆内的方法是：根据已知点与圆心的距离与半径的大小关系来判断．

高中数学选择性必修一课件：圆的标准方程

【证明】 ∵l：k(x－4)＝y－3，∴l 恒过定点(4，3)． ∵(4－3)2＋(3－4)2＝2<4， ∴(4，3)在圆内， ∴直线过圆内一点，与圆恒有两个公共点．
确定圆的方程的方法和步骤：确定圆的方程的主要方法是待定系数法，即列出关于 a，b，r 的方程组，求 a，b，r，或直接求出圆心(a，b)和半径 r，一般步骤为： (1)根据题意，设所求的圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2； (2)根据已知条件，建立关于 a，b，r 的方程组； (3)解方程组，求出 a，b，r 的值，并把它们代入所设的圆的方程中，就得到所求圆的方程.
方法二：设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
∴（（－2－2－a）a）2＋2＋（（－－3－5－b）b）2＝2＝r2，r2， a－2b－3＝0，
即aa22＋－44aa＋＋bb22＋＋160bb＋＋1239＝＝r2r，2， a＝3＋2b， ③
① ②
②－①，得 2a＋b＋4＝0.④
由③④，得 a＝－1，b＝－2，代入①得 r2＝10.条件Fra bibliotek方程形式
圆心在原点圆心在 x 轴上圆心在 y 轴上圆心在 x 轴上且过原点
x2＋y2＝r2 (x－a)2＋y2＝r2 x2＋(y－b)2＝r2 (x－a)2＋y2＝a2
圆心在 y 轴上且过原点
x2＋(y－b)2＝b2
与 x 轴相切，圆心(a，b)
(x－a)2＋(y－b)2＝b2
与 y 轴相切，圆心(a，b)
D．(x－2)2＋(y＋3)2＝9
4．已知一圆的圆心为点 O(2，－3)，一条直径的两个端点分别在 x 轴和 y 轴上，则此圆的方程为___(x_－_2_)_2＋__(y_＋_3_)2_＝_1_3___．

高中数学湘教版选择性必修第一册课件：圆的标准方程

(2 + 3 + 2)2 + ( + 5)2 ,解得 a=-2.∴圆
2
2
心为 C(-1,-2),半径长 r= (-1-2) + (-2 + 3) = √10.
故所求圆的标准方程为(x+1)2+(y+2)2=10.
-3-(-5)
(方法 2)线段 AB 的中点坐标为(0,-4),直线 AB 的斜率 kAB=
线上.
-5-(-3)
由 kAB=
-2-2
1
= 2,则线段 AB 中垂线的斜率为 k=-2.又线段 AB 的中点坐标
为(0,-4),因此线段 AB 的中垂线的方程为 y+4=-2x.
2
2
令 y=0,得 x=-2,即圆心坐标为 C(-2,0),所以 r=|CA|= [2-(-2)] + (-3) =5,
的方程;几何法、代数法判断点与圆的位置关系.
3.常见误区:求圆的标准方程时,依据题意恰当地运用圆的几何性质解题,可
以化繁为简,提高解题效率,而使用待定系数法则运算较为复杂.圆的标准
方程(x-a)2+(y-b)2=r2中,圆心是(a,b),半径为r>0.
学以致用•随堂检测全达标
1.(2022吉林长春第二中学高二检测)已知圆C 的圆心坐标为(2,3),且过原点,
圆的图示
圆是平面内到一定点的距离等于定长
的所有的点组成的
圆的定义集合,这个定点即圆心,而定长就是半径
这些点构成了圆的圆周
r>0
2+(y-b)2=r2
(x-a)
圆的标准圆心为C(a,b),半径为r的圆的方程
,把它叫

高中数学-圆与方程

圆与方程一、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径。

二、圆的方程1、圆的标准方程：222()()x a y b r -+-= 圆心为A(a,b)，半径为r （1）点00(,)M x y 与圆222()()x a y b r -+-=的位置关系：当2200()()x a y b -+->2r ，点在圆外当2200()()x a y b -+-=2r ，点在圆上当2200()()x a y b -+-<2r ，点在圆内（2）圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x当0422>-+F E D 时，方程表示圆，此时圆心为⎪⎭⎫ ⎝⎛--2,2E D ，半径为F E D r 42122-+=当0422=-+F E D 时，表示一个点；当0422<-+F E D 时，方程不表示任何图形。

（3）求圆方程的方法：一般都采用待定系数法：先设后求。

确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，需求出a ，b ，r ；若利用一般方程，需要求出D ，E ，F ；另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。

【例1】已知方程2222(1)2(23)51060x y m x m y m m +---++++=.（1）此方程表示的图形是否一定是一个圆？请说明理由；（2）若方程表示的图形是是一个圆，当m 变化时，它的圆心和半径有什么规律？请说明理由. 解：(1)方程表示的图形是一个圆；（2）圆心在直线y =2x +5上，半径为2. 练习：1．方程222460x y x y ++--=表示的图形是（）Ａ．以(12)-，为半径的圆Ｂ．以(12)，为半径的圆Ｃ．以(12)--，为半径的圆Ｄ．以(12)-，为半径的圆 2．过点A (1，－1)，B (－1，1)且圆心在直线x ＋y －2＝0上的圆的方程是( )．A ．(x －3)2＋(y ＋1)2＝4B ．(x ＋3)2＋(y －1)2＝4C ．(x －1)2＋(y －1)2＝4D ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝43．点(11)，在圆22()()4x a y a -++=的内部，则a 的取值范围是（）Ａ．11a -<<Ｂ．01a << Ｃ．1a <-或1a >Ｄ．1a =±4．若22(1)20x y x y λλλ++-++=表示圆，则λ的取值范围是 5．若圆C 的圆心坐标为(2，－3)，且圆C 经过点M (5，－7)，则圆C 的半径为 .6．圆心在直线y ＝x 上且与x 轴相切于点(1，0)的圆的方程为． 7．以点C (－2，3)为圆心且与y 轴相切的圆的方程是． 8．求过原点，在x 轴，y 轴上截距分别为a ，b 的圆的方程(ab ≠0)．9．求经过A (4，2)，B (－1，3)两点，且在两坐标轴上的四个截距之和是2的圆的方程．10．求经过点(8，3)，并且和直线x ＝6与x ＝10都相切的圆的方程．三、直线与圆的位置关系：1、直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况：（1）设直线0:=++C By Ax l ，圆()()222:r b y a x C =-+-，圆心()b a C ,到l 的距离为则有相离与C l r d ⇔>；相切与C l r d ⇔=；r d ⇔<（2）过圆外一点的切线：①k 不存在，验证是否成立②k 存在，设点斜式方程，用圆心到该直线的距离=半径，求解k ，得到方程【一定两解】(3)222，圆上一点为(x 0，y 0)，则过此【例2】已知圆22:(2)1M x y +-=,Q 是x 轴上的动点,QA 、QB 分别切圆M 于A ，B 两点(1)若点Q 的坐标为（1，0），求切线QA 、QB 的方程； (2)求四边形QAMB 的面积的最小值；(3)若AB =，求直线MQ 的方程. 解：（1）切线QA 、QB 的方程分别为0343=-+y x 和1=x ) （2）MAQB S MA QA QA ∴=⋅=（3）直线MQ 的方程为05252=-+y x 或05252=+-y x ）练习：1．以点(－3，4)为圆心，且与x 轴相切的圆的方程是( )．A ．(x －3)2＋(y ＋4)2＝16B ．(x ＋3)2＋(y －4)2＝16C ．(x －3)2＋(y ＋4)2＝9D ．(x ＋3)2＋(y －4)2＝19 2．若直线x ＋y ＋m ＝0与圆x 2＋y 2＝m 相切，则m 为( )． A ．0或2B ．2C ．2D ．无解３.直线l 过点），（02-，l 与圆x y x 222=+有两个交点时，斜率k 的取值范围是( )A ），（2222-B ），（22- C），（4242- D ），（8181- ４．设圆x 2＋y 2－4x －5＝0的弦AB 的中点为P (3，1)，则直线AB 的方程是．５．圆(x －1)2＋(y ＋2)2＝20在x 轴上截得的弦长是。

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则 |MC|= r
y
M(x,y)
圆上所有点的集合 P = { M | |MC| = r }
OC x
(x a)2 (y b)2 r (x a)2 (y b)2 r2
圆的标准方程
圆心C(a,b),半径r
y
M(x,y)
(x a)2 ( y b)2 r2
OC
x
圆的标准方程
若圆心为O（0，0），则圆的方程为：
圆心：直径的中点
半径：直径的一半
小结
1.圆的标准方程
圆心C(a,b),半径r
y
(x a)2 ( y b)2 r2
2.圆心
①两条直线的交点
C
（弦的垂直平分线）
②直径的中点
O
3.半径
C
A
B
x
①圆心到圆上一点 ②圆心到切线的距离
作业
P121 练习 1、2、3、4 习题A组1、2
B(7,－3)，C(2, －8)，求它的外接圆的方程．
解：设所求圆的方程是 (x a)2 ( y b)2 r2 (1)
因为A(5,1), B(7,－3)， a)2 (1 b)2 r 2
(7 a)2 (3 b)2 r 2
(2
a)2
(8
b)2
r2
所求圆的方程为
(x 2)2 ( y 3)2 25
a2 b 3
r 5
待定系数法
举例
y
A(5,1)
O
D
x
C E
B(7,-3)
C(2,-8) 圆心：两条弦的中垂线的交点
半径：圆心到圆上一点
举例 P121 练习 3
例2 已知两点P1(4,9),P2(6,3),求以线段 P1P2为直径的圆的方程，并判断点 M(6,9)，N(3,3)，Q(5,3)在圆上在圆内，还是圆外（可利用计算器）？
x2 y2 r2
练习
1、圆心为 A(2,-3)，半径长等于5的圆的方程为 ( B) A. (x – 2 )2+(y – 3 )2=25 B. (x – 2 )2+(y + 3 )2=25 C. (x – 2 )2+(y + 3 )2=5 D. (x + 2 )2+(y – 3 )2=5
2、圆 (x－2)2+ y2=2的圆心C的坐标及半径r分别为 ( D)
圆的标准方程
引入
圆的定义平面内到定点的距离等于定长的点的集合.
定点圆心定长半径
当圆心位置与半径大小确定后,圆就唯一确定了．
因此一个圆最基本的要素是圆心和半径．
圆的标准方程
如图，在直角坐标系中，圆心C的位置用
坐标 (a,b) 表示，半径r的大小等于圆上任意
点M(x, y)与圆心C (a,b) 的距离．
解:设点C(a,b)为直径P1P2 的中点,则
a 46 5 b 93 6
2
2
圆心坐标为（5，6）
P1(4, 9) C
P2 (6, 3)
r CP1 （4 5）2 （9 6）2 10
圆的方程为
CM 10 CN 13 10
（x 5）2 （y 6）2 10
CQ 3 10
因此点M在圆上，点N在圆外，点Q在圆内.
A. C（2，0） r = 2 B. C（ – 2，0） r = 2
C. C（0，2） r = 2 D. C（2，0） r = 2
3、已知M(5,-7)和圆 (x – 2 )2+(y + 3 )2=25 ,则点M在( B) A 圆内 B 圆上 C 圆外 D 无法确定
举例
例1 △ABC的三个顶点的坐标分别A(5,1),