高中数学圆与方程知识点
高中数学有关圆-椭圆-双曲线-抛物线的详细知识点
<一>圆的方程(x-a)^2+(y-b)^2=r^2，圆心O（a，b），半径r。
（1）圆的一般式方程：x^2+y^2+Dx+Ey+F=0此方程可用于解决两圆的位置关系：配方化为标准方程：（x+D/2）^2.+(y+E/2)^2=(D^2+E^2-4F)/4其圆心坐标：（-D/2,-E/2）半径为r=√[（D^2+E^2-4F）]/2此方程满足为圆的方程的条件是:D^2+E^2-4F>0若不满足,则不可表示为圆的方程（2）点与圆的位置关系点P（X1,Y1) 与圆(x－a)^2+(y－b) ^2=r^2的位置关系：⑴当(x1－a)^2+(y1－b) ^2>r^2时，则点P在圆外。
⑵当(x1－a)^2+(y1－b) ^2=r^2时，则点P在圆上。
⑶当(x1－a)^2+(y1－b) ^2<r^2时，则点P在圆内。
圆与直线的位置关系判断平面内，直线Ax+By+C=0与圆x^2+y^2+Dx+Ey+F=0的位置关系判断一般方法是：1.由Ax+By+C=0，可得y=(-C-Ax)/B，（其中B不等于0），代入x^2+y^2+Dx+Ey+F=0，即成为一个关于x的一元二次方程f（x）=0。
利用判别式b^2-4ac的符号可确定圆与直线的位置关系如下：如果b^2-4ac>0，则圆与直线有2交点，即圆与直线相交。
如果b^2-4ac=0，则圆与直线有1交点，即圆与直线相切。
如果b^2-4ac<0，则圆与直线有0交点，即圆与直线相离。
2.如果B=0即直线为Ax+C=0，即x=-C/A，它平行于y轴（或垂直于x 轴），将x^2+y^2+Dx+Ey+F=0化为 (x－a)^2+(y－b) ^2=r^2。
令y=b，求出此时的两个x值x1、x2，并且规定x1<x2，那么：当x=-C/A<x1或x=-C/A>x2时，直线与圆相离；当x1<x=-C/A<x2时，直线与圆相交；半径r，直径d在直角坐标系中，圆的解析式为：(x-a)^2+(y-b)^2=r^2;x^2+y^2+Dx+Ey+F=0=> (x+D/2)^2+(y+E/2)^2=(D^2+E^2-4F)/4=> 圆心坐标为(-D/2,-E/2)其实只要保证X方Y方前系数都是1就可以直接判断出圆心坐标为(-D/2,-E/2)这可以作为一个结论运用的且r=根号（圆心坐标的平方和-F）<二>椭圆的标准方程椭圆的标准方程分两种情况：当焦点在x轴时,椭圆的标准方程是：x^2/a^2+y^2/b^2=1，(a>b>0)；当焦点在y轴时,椭圆的标准方程是：y^2/a^2+x^2/b^2=1，(a>b>0)；其中a>0，b>0。
高中数学圆及其方程
圆及其方程一、公式及相关内容（1）圆的标准方程：222()()x a y b r -+-= （圆心及半径）（2）圆的一般方程：220x y Dx Ey F ++++= （无xy 项，22,x y 系数相等且不为零）（3）圆的参数方程：cos sin x a r y b r θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）上述方程中均有三个字母系数，因此确定一个圆需要三个独立的条件。
（4）过圆 222x y r +=上一点00(,)P x y 的切线方程为200xx yy r +=圆 222xy r +=的斜率为k 的切线方程为y kx =± （掌握推导方法）（5）经过两圆：221110x y D x E y F ++++=，222220x y D x E y F ++++=交点的圆的方程为2222111222()0x y D x E y F x y D x E y F λ+++++++++= 当1λ=-时，得到两圆公共弦所在直线方程121212()()()0D D x E E y F F -+-+-=（6）判断点与圆的位置关系：取决于点与圆心的距离与圆半径的比较结果 （7）直线与圆的位置关系：一：圆心到直线的距离与圆半径比较二：直线与圆方程组成的方程组的解的个数：∆法（8）圆与圆位置关系：圆心距d 与两圆半径,R r 的比较：d R r d R r R r d R r d R r d R r>+⎧⎪=+⎪⎪-<<+⎨⎪=-⎪<-⎪⎩（9）公切线求法：通过比例求得公切线与连心线的交 点A 的坐标，用点斜式设公切线的 方程，然后求得斜率k ，得到公切 线方程。
外离 外切 相交 内切 内含二 求圆的方程1. 求经过两点(1,4),(3,2)A B -，且圆心在y 轴上的圆的方程。
（标准方程法，垂径弦性质）2.（1）已知圆经过(2,3)A -和(2,5)B --两点，若圆心在直线230x y --=上，求圆的方程； （2）求过点(1,0),(3,0),(0,1)A B C -的圆的方程。
【高中数学】高一数学必修二《圆与方程》知识点整理[1]
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【高中数学】高一数学必修二《圆与方程》知识点整理[1]高一数学必修二《圆与方程》知识点整理一、标准方程x a2y b r 221.求标准方程的方法――关键是求出圆心a,b和半径r①待定系数：往往已知圆上三点坐标，例如教材P119例2 ②利用平面几何性质往往涉及到直线与圆的位置关系，特别是：相切和相交相切：利用到圆心与切点的连线垂直直线相交：利用到点到直线的距离公式及垂径定理2.特殊位置的圆的标准方程设法（无需记，关键能理解）条件方程形式圆心在原点 x y r r0 222过原点x a y b a2b2a2b20圆心在x 轴上x a y r22222rr00圆心在y轴上 x y b r222圆心在x轴上且过原点x a y a222a0b02圆心在y轴上且过原点 x y b b2222与x轴相切x a y b b 222b0a0与y轴相切x a y b a与两坐标轴都相切x a y b a二、一般方程x y Dx Ey F0D E4F0 22222222a b01.Ax By Cxy Dx Ey F0表示圆方程则⎧⎧⎧A=B≠0⎧A=B≠0⎧⎧C=0⇔⎨⎨C=0⎧⎧D2+E2-4AF>022⎧DEF⎧⎧⎧⎧⎧>0 ⎧+ ⎧-4⋅⎧AAA⎧⎧⎧⎧⎧2.求圆的一般方程一般可采用待定系数法：如教材P122例r43.D2+E2-4F>0常可用来求有关参数的范围三、点与圆的位置关系1.判断方法：点到圆心的距离d与半径r的大小关系dr⇒点在圆外2.涉及最值：（1）圆外一点B，圆上一动点P，讨论PB的最值PBPB=BN=BC-r =BM=BC+rminmax（2）圆内一点A，圆上一动点P，讨论PA的最值Pmin= PmaxA=A=rr C C=思考：过此A点作最短的弦？（此弦垂直AC）四、直线与圆的位置关系1.判断方法（d为圆心到直线的距离）（1）相离⇔没有公共点⇔∆<0⇔d>r（2）相切切⇔只有一个公共点⇔∆=0⇔d=r（3）相交⇔有两个公共点⇔∆>0⇔d这一知识点可以出如此题型：告诉你直线与圆相交让你求有关参数的范围. 2.直线与圆相切（1）知识要点①基本图形感谢您的阅读，祝您生活愉快。
高中数学圆的方程
【解析】(1)∵ k AB
1 , AB 中点为 (0,4) ， 2
∴ AB 中垂线方程为 y 4 2 x ， 即 2x y 4 0 ，
x 1, 2 x y 4 0 由 ，解得 y 2. x 2 y 3 0
∴圆心为 (1,2) .由两点间的距离公式， 得半径 r 10 ,
知识梳理
1．圆的定义 ⑴在平面内，到 定点 的距离等于 定长 的点的轨迹叫做圆． ⑵确定一个圆最基本的要素是 圆心 和 半径 ． 2．圆的方程 圆的标准方程 方程 条件 圆心 半径 圆的一般方程
( x a)2 ( y b)2 r 2
r0
（a，b）
x 2 y 2 Dx Ey F 0
2
2 2 ( x 1) ( y 2) 10 . ∴所求的圆的方程为
(2)要使圆的面积最小，则 AB 为圆的直径， ∴所求圆的方程为： x ( y 4) 5 .
2 2
【变式】若圆 C 经过坐标原点和点 (4, 0) ,且与直线 则圆 C 的方程是 .
y 1 相切,
【解析】∵圆 C 经过坐标原点和点 (4, 0) , ∴可设圆 C 的方程为 ( x 2)2 ( y b)2 r 2 (r 0) ，
2
y （1） 的最大值； x
（2） x
2
y
2
的取值范围．
【解析】圆的方程可化为 ( x 2) y 3 ．
2 2
y （1）设 k ，即 y kx ， x
当相切时， k 取得最大值或最小值，
| 2k |
∴
1 k
2
3 ，解得 k 3 或 k 3 ，
∴
圆系方程-高中数学知识点讲解
圆系方程
1．圆系方程
【知识点的知识】
所谓圆系方程指的是所有的圆都有相同的圆心，但圆的半径不同的圆的总和，还可以是圆的半径相同，但圆心
不同，我们把满足这两种情况的圆的总和就叫做圆系方程；除了圆系，还有直线系（过某一定点）等等．
【例题解析】
例：已知圆系方程x2+y2+2kx+（4k+10）y+5k2+20k＝0（k∈R），是否存在斜率为 2 的直线l 被圆系方程表示的任意一圆截得的弦长是定值45？如果存在，试求直线l 的方程；如果不存在，请说明理由．
解：假设存在满足条件的直线方程为y＝2x+m，
圆的方程配方可得：（x+k）2+（y+2k+5）2＝25．
所以圆心到直线的距离d =1
5|―2푘+2푘+5+푚|=
|5+푚|
，
5
|5+푚|
由垂径定理可得：(2=52―(25)2，
5)
解得m＝0 或m＝﹣10，
故存在满足条件的直线方程，方程为y＝2x 或y＝2x﹣10．
这个题可以看出，遇到圆系方程的题，只需知道其概念就可以了，关键还是看圆心、半径、圆心到直线的距离这三个因素，常用的方法就是待定系数法．
【考点分析】
本考点也是在初中就已经学过，对于高考来说，算是个冷门，但也偶尔会考，还是希望大家了解这些基本的概念，争取不漏死角．
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高中数学 必修2：4.1 圆的方程
4.1 圆的方程一、圆的标准方程1．圆的标准方程2．圆的标准方程的推导如图，设圆的圆心坐标为(,)C a b ，半径长为r (其中a ,b ,r 都是常数，r >0).设()，M x y 为该圆上任意一点，那么圆心为C 的圆就是集合{}|P M MC r ==.由两点间的距离公式，得圆上任意一点M 的坐标(x ,y )r = ①，①式两边平方，得222()()=x a y b r -+-.3．点与圆的位置关系圆C ：222()(0())x a y b r r -+-=>，其圆心为,()C a b ，半径为r ，点00(,)P x y ，设||d PC ==.二、圆的一般方程1．圆的一般方程的定义当2240D E F +->时，方程220x y Dx Ey F +++=+表示一个圆，这个方程叫做圆的一般方程，其中圆心为，半径r =.2．圆的一般方程的推导把以(,)a b 为圆心，r 为半径的圆的标准方程222()()x a y b r -+-=展开，并整理得22222220x y ax by a b r +--++-=.取2222,2,D a E b F a b r =-=-=+-，得：220x y Dx Ey F +++=+ ①.把①的左边配方，并把常数项移到右边，得22224()()224D E D E F x y +-+++=. 当且仅当时，方程表示圆，且圆心为，半径长为； 当2240D E F +-=时，方程只有实数解,22D E x y =-=-，所以它表示一个点； 当2240D E F +-<时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．3．点与圆的位置关系点00)(,P x y 与圆22220(40)x y Dx Ey F D E F ++=+->++的位置关系是： P 在圆内⇔，P 在圆上⇔， P 在圆外⇔.三、待定系数法求圆的一般方程 求圆的方程常用“待定系数法”，用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是：①根据题意，选择标准方程或一般方程；②根据条件列出关于a b r 、、或D E F 、、的方程组；③解出a b r 、、或D E F 、、，代入标准方程或一般方程．四、轨迹和轨迹方程1．轨迹和轨迹方程的定义平面上一动点M ，按照一定规则运动，形成的曲线叫做动点M 的轨迹.在坐标系中，这个轨迹可用一个方程表示，这个方程就是轨迹方程.2．求轨迹方程的五个步骤①建系：建立适当的坐标系，用(,)x y 表示曲线上任意一点M 的坐标；②设点：写出适合条件P 的点M 的集合){}(|P M p M =；③列式 ：用坐标(,)x y 表示条件()p M ，列出方程(,)0F x y =；④化简：化方程(,)0F x y =为最简形式；⑤査漏、剔假：证明化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点．1．求圆的标准方程求圆的标准方程的常用方法包括几何法和待定系数法．（1）由圆的几何性质易得圆心坐标和半径长时，用几何法可以简化运算．对于几何法，常用到圆的以下几何性质：①圆中任意弦的垂直平分线必过圆心；②圆内的任意两条弦的垂直平分线的交点一定是圆心．（2）由于圆的标准方程中含有三个参数a ，b ，r ，运用待定系数法时，必须具备三个独立的条件才能确定圆的方程．这三个参数反映了圆的几何性质，其中圆心（a ，b ）是圆的定位条件，半径r 是圆的定形条件．【例1】写出下列各圆的标准方程．（1）圆心在原点，半径长为2；（2）圆心是直线10x y +-=与230x y -+=的交点，半径长为14． 【解析】（1）∵圆心在原点，半径长为2，即0,0,2a b r ===，∴圆的标准方程为224x y +=．【例2】过点111,(1())A B --,,且圆心在直线20x y +-=上的圆的方程是（ C ）A ．22()(31)4x y -++=B ．22()(31)4x y ++-=C ．22()(11)4x y -+-=D ．22()(11)4x y +++= 【解析】解法1：设所求圆的标准方程为222()()x a y b r -+-=，由已知条件，知222222(1)(1)(1)(1)20a b r a b r a b ⎧-+--=⎪--+-=⎨⎪+-=⎩，解此方程组，得2114a b r ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，故所求圆的标准方程为22()(11)4x y -+-=．解法2：设点C 为圆心，因为点C 在直线20x y +-=上，所以可设点C 的坐标为(),2a a -． 又因为该圆经过,A B 两点，所以||||.CA CB == 解得1a =．所以2211a -=-=．所以圆心坐标为()1,1C ，半径|2|r CA ==．故所求圆的标准方程为22()(11)4x y --+=．2．会判断点与圆的位置关系点与圆的位置关系的判断方法：（1）几何法：利用圆心到该点的距离d 与圆的半径r 比较；（2）代数法：直接利用下面的不等式判定：①22200()()x a y b r -+->，点在圆外；②22200()()x a y b r -+-=，点在圆上；③22200()()x a y b r -+-<，点在圆内．【例3】 已知点（2，0）和（x -2）2 + （y +1）2 = 3，则点与圆的位置关系是( A ) A ．在圆内 B ．在圆上 C ．在圆外 D ．不确定【解析】由于（2-2）2+（0+1）2<3，故点在圆内．【例4】已知点A （1，2）和圆C ：（x-a ）2+（y+a ）2=2a 2，试求满足下列条件的实数a 的取值范围．（1）点A 在圆C 的内部；（2）点A 在圆C 上 （3）点A 在圆C 的外部．3．圆的方程的判断判断二元二次方程220x y Dx Ey F ++++=是否表示圆的方法：（1）利用圆的一般方程的定义，求出224D E F +-利用其符号判断．（2）将方程配方化为()()22x a y b m -+-=的形式，根据m 的符号判断．【例5】判断下列方程是否表示圆，若是，化成标准方程．（1）x 2+y 2+2x+1=0；（2）x 2+y 2+2ay-1=0；（3）x 2+y 2+20x+121=0；（4）x 2+y 2+2ax =0．【解析】（1）原方程可化为（x+1）2+y 2=0，它表示点（-1，0），不表示圆．（2）原方程可化为x 2+（y+a ）2=a 2+1，它表示圆心为（0，-a ），半径为的圆，标准方程为x 2+（y+a ）2=（）2 ． （3）原方程可化为（x+10）2+y 2=-21<0，故方程不表示任何曲线，故不能表示圆．（4）原方程可化为（x+a ）2+y 2=a 2．①当a =0时，方程表示点（0，0），不表示圆；②当a ≠0时，方程表示以（-a ，0）为圆心，半径为|a|的圆，标准方程为（x+a ）2+y 2=a 2．【例6】 方程x 2+y 2+4mx-2y+5m =0表示圆的条件是( B )A ．14<m <1 B ．m <14或m >1 C ．m <14D ．m >14．用待定系数法求圆的一般方程应用待定系数法求圆的一般方程的步骤如下：【例7】已知圆经过点（4，2）和（-2，-6），且该圆与两坐标轴的四个截距之和为-2，求圆的方程．【解析】设圆的一般方程为22220(40)x y Dx Ey F D E F ++++=+->． 由圆经过点（4，2）和（-2，-6），得4220026400 ① ②D E F D E F +++=⎧⎨+--=⎩， 设圆在x 轴上的截距为x 1，x 2，则x 1，x 2是方程x 2+Dx+F =0的两个根，得x 1+x 2=-D ．设圆在y 轴上的截距为y 1，y 2，则y 1，y 2是方程y 2+Ey+F =0的两个根，得y 1+y 2=-E ．由已知，得-D+（-E ）=-2，即D+E-2=0． ③联立①②③，解得D =-2，E =4，F =-20，故所求圆的方程为x 2+y 2-2x+4y-20=0．【例8】试判断(1,2)A ，(0,1)B ，(76)C -，，(4,3)D 四点是否在同一个圆上．5．与圆有关的轨迹问题求与圆有关的轨迹方程的常用方法：（1）直接法： 能直接根据题目提供的条件列出方程．步骤如下：（2）定义法：当动点的轨迹符合圆的定义时，可直接写出动点的轨迹方程．（3）相关点法：若动点,()P x y 随着圆上的另一动点11(),Q x y 运动而运动，且11,x y 可用,x y 表示，则可将Q 点的坐标代入已知圆的方程，即得动点P 的轨迹方程．【例9】已知点P （x ，y ），A （1，0），B （-1，1），且|PA|=|PB|． （1）求点P 的轨迹方程；（2）判断点P 的轨迹是否为圆，若是，求出圆心坐标及半径；若不是，请说明理由．【例10】已知直角ABC △的斜边为AB ，且1,0,()(,0)3A B -，求：（1）直角顶点C 的轨迹方程；（2）直角边BC 中点M 的轨迹方程．【解析】（1）解法一：设顶点,()C x y ，因为AC BC ⊥，且,,A B C 三点不共线，所以3x ≠且1x ≠-． 又1AC k y x =+， 3BC y k x =-，且·1AC BC k k =-，所以113y y x x ⋅=-+-，化简得22230x y x +--=． 因此，直角顶点C 的轨迹方程为22230(31)x y x x x +--=≠≠-且．解法二：同解法一得3x ≠且1x ≠-．由勾股定理得222||||||AC BC AB +=，即2222131))6((x y x y +++-+=，化简得22230x y x +--=．因此，直角顶点C 的轨迹方程为22230(31)x y x x x +--=≠≠-且．解法三：设AB 中点为D ，由中点坐标公式得()1,0D ，由直角三角形的性质知， 122||||CD AB ==， 由圆的定义知，动点C 的轨迹是以()1,0D 为圆心，以2为半径的圆（由于,,A B C 三点不共线，所以应除去与x 轴的交点）．设,()C x y ，则直角顶点C 的轨迹方程为2214))1((3x y x x -+=≠≠-且．6．忽视圆标准方程的结构致错【例11】求圆()222230()()x y b b ++-≠=的圆心及半径．【错解】由圆的标准方程知圆心为(2,)3-，半径为b ．【错因分析】在圆的标准方程2220()()()x a y b r r -=>-+中，此圆的圆心为(),a b ，半径长为r ．错解中没有准确把握圆的标准方程的结构形式．【正解】由圆的标准方程知圆心为()2,3-，半径为||b ．7．忽视圆的一般方程应满足的条件致错【例12】已知点()0,0O 在圆2222210x y kx ky k k +++-+=+外，求k 的取值范围．【错解】∵点()0,0O 在圆外，∴2210k k ->+，解得1 1.2k k ><-或 ∴k 的取值范围是(),1-∞-1(,)2+∞． 【错因分析】本题忽视了圆的一般方程220x y Dx Ey F +++=+表示圆的条件为2240D E F +->，【正解】∵方程表示圆，∴222()(2420)1k k k k +-+>-，即23440k k -<+，解得22.3k -<<又∵点()0,0O 在圆外，∴2210k k ->+，解得12k >或1k <-．综上所述，k 的取值范围是1()(22,3)12--，．基础训练1．圆心在y 轴上，半径为1，且过点（1，3）的圆的方程为（ A ）A ．x 2+（y –3）2=1B ．x 2+（y +3）2=1C ．（x –3）2+y 2=1D ．（x +3）2+y 2=12．已知圆C ：（x –6）2+（y –8）2=4，O 为坐标原点，则以OC 为直径的圆的方程为（ C ）A ．（x –3）2+（y +4）2=100B ．（x +3）2+（y –4）2=100C．（x–3）2+（y–4）2=25 D．（x+3）2+（y–4）2=253．（x+1）2+（y–1）2=1的圆心在（B ）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4．圆心为点（3，4）且过点（0，0）的圆的方程是（C ）A．x2+y2=25 B．x2+y2=5 C．（x–3）2+（y–4）2=25 D．（x+3）2+（y+4）2=255．以两点A（–3，–1）和B（5，5）为直径端点的圆的方程是（A ）A．（x–1）2+（y–2）2=25 B（x+1）2+（y+2）2=25 C．（x+1）2+（y+2）2=100 D．（x–1）2+（y–2）2=1006．已知圆心在点P（–2，3），并且与y轴相切，则该圆的方程是（B ）A．（x–2）2+（y+3）2=4 B．（x+2）2+（y–3）2=4 C．（x–2）2+（y+3）2=9 D．（x+2）2+（y–3）2=9 7．圆x2+y2–2x+4y=0的圆心坐标为（B ）A．（1，2）B．（1，–2）C．（–1，2）D．（–1，–2）8．已知圆的方程x2+y2+2ax+9=0圆心坐标为（5，0），则它的半径为（D ）A．3 B C．5 D．49．圆x2+y2–4x+2y+4=0的半径和圆心坐标分别为（C ）A．r=1；（–2，1）B．r=2；（–2，1）C．r=1；（2，–1）D．r=2；（2，–1）10．圆x2+y2–2x+2y=0的周长是（A ）A．B．2πC D．4π11．圆心为（1，1）且过原点的圆的方程是（x–1）2+（y–1）2=2_．12．圆（x+1）2+（y–3）2=36的圆心C坐标（–1，3），半径r=___6_____．13．求圆心在直线y=–2x上，并且经过点A（0，1），与直线x+y=1相切的圆的标准方程．14．已知圆经过点A（2，4）、B（3，5）两点，且圆心C在直线2x–y–2=0上．求圆C的方程．∵圆C经过点A（2，4）、B（3，5）两点，∴点C在线段AB的垂直平分线y=–x+7，又∵圆心C在直线2x–y–2=0上，∴联立7220y xx y=-+⎧⎨--=⎩，得C（3，4）．圆C的半径r=|AC|==1，∴圆C的方程是（x–3）2+（y–4）2=1．15．求过三点O（0，0），A（1，1），B（4，2）的圆的方程，并求这个圆的半径和圆心坐标．设圆的方程为：x2+y2+Dx+Ey+F=0，则2042200FD E FD E F=⎧⎪+++=⎨⎪+++=⎩，解得D=–4，E=3，F=0，∴圆的方程为x2+y2–8x+6y=0，化为（x–4）2+（y+3）2=25，可得：圆心是（4，–3）、半径r=5．16．求过三点A（–1，0），B（1，–2），C（1，0）的圆的方程．17．已知方程x2+y2–2x+t2=0表示一个圆．（1）求t的取值范围；（2）求该圆的半径r最大时圆的方程．(1）由圆的一般方程，得4–4t2>0，∴–1<t<1；（2）r=t=0时，r最大为1．∴圆的方程：（x–1）2+y2=1．能力18．如图，在直角坐标系xOy中，坐标轴将边长为4的正方形ABCD分割成四个小正方形，若大圆为正方形ABCD的外接圆，四个小圆分别为四个小正方形的内切圆，则图中某个圆的方程是( B )A．x2+y2–x+2y+1=0 B．x2+y2+2x–2y+1=0 C．x2+y2–2x+y–1=0 D．x2+y2–2x+2y–1=019．若方程a2x2+（a+2）y2+2ax+a=0表示圆，则a的值为( C )A．a=1或a=–2 B．a=2或a=–1 C．a=–1 D．a=220．若方程x2+y2–4x+2y+5k=0表示圆，则实数k的取值范围是( A )A．（–∞，1）B．（–∞，1] C．[1，+∞）D．R21．圆（x–1）2+（y–2）2=1关于直线x–y–2=0对称的圆的方程为( A )A．（x–4）2+（y+1）2=1 B．（x+4）2+（y+1）2=1 C．（x+2）2+（y+4）2=1 D．（x–2）2+（y+1）2=122．由方程x2+y2+x+（m–1）y+12m2=0所确定的圆中，最大面积是( B )A B．34πC．3πD．不存在23．若圆x2+y2–4x+2y+m+6=0与y轴的两交点A，B位于原点的同侧，则实数m的取值范围是( C ) A．m<–1 B．m>–6 C．–6<m<–5 D．m<–524．已知圆的方程为x2+y2–2x+6y+8=0，那么通过圆心的一条直线方程是( C )A．2x–y–1=0 B．2x–y+1=0 C．2x+y+1=0 D．2x+y–1=025．已知三点A（1，3），B（4，2），C（1，–7），则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为( D )A．10 B．C．5 D26．由方程x2+y2–4tx–2ty+5t2–4=0（t为参数）所表示的一组圆的圆心轨迹是( D )A．一个定点B．一个椭圆C．一条抛物线D．一条直线27．已知点A（–3，0），B（–1，–2），若圆（x–2）2+y2=r2（r>0）上恰有两点M，N，使得△MAB和△NAB的面积均为4，则r的取值范围是）．28．已知圆C：（x–3）2+（y–4）2=1和两点A（–m，0），B（m，0）（m>0），若圆C上存在点P使得∠APB=90°，则m的最大值为_____6_____．29．已知函数f（x）=13x2–43x+1的图象与坐标轴的交点均在圆M上，则圆M的标准方程为（x–2）2+（y+1）2=5．30．已知动点A在圆P：x2+y2=1上运动，点Q为定点B（–3，4）与点A距离的中点，则点Q的轨迹方程为x2+y2+3x–4y+6=0_．31．已知点A，B的坐标分别为（–1，0），（1，0）．直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之和是2，则点M的轨迹方程为x2–xy–1=0（x≠±1）．32．如图，直角△OAB中，OA═4，斜边AB上的高为OC，M为OA的中点，过B点且垂直于y轴的直线交直线MC于点N，则点N的轨迹方程为y2=8x，（x≠0）_．33．已知直线l1：mx–y=0，l2：x+my–m–2=0．当m在实数范围内变化时，l1与l2的交点P恒在一个定圆上，则定圆方程是_（x–1）2+（y–12）2=54_．34．已知函数y=x2–4x+3与x轴交于M、N两点，与y轴交于点P，圆心为C的圆恰好经过M、N、P三点．（1）求圆C的方程；（2）若圆C与直线x–y+n=0交于A、B两点，且线段|AB|=4，求n的值．（1）由题意与坐标轴交点为M （3，0），N （1，0），P （0，3），设圆的方程为：（x –a ）2+（y –b ）2=r 2代入点，得222222222(3)(0)(1)(0)(0)(3)a b r a b ra b r ⎧-+-=⎪-+-=⎨⎪-+-=⎩，解得a =2，b =2，r（x –2）2+（y –2）2=5． （2）由题意|AB |=4：设圆心到直线距离为d ，则222()2ABr d =+，即：1d ==，解得n =35．已知线段AB 的端点B 的坐标为（1，3），端点A 在圆C ：（x +1）2+y 2=4上运动，求线段AB 的中点M 的轨迹．36．已知圆C 过A （1，4）、B （3，2）两点，且圆心在直线y =0上．（1）求圆C 的方程；（2）判断点P （2，4）与圆C 的位置关系．（1）∵圆心在直线y =0上，∴设圆心坐标为C （a ，0），则|AC |=|BC |=，即（a –1）2+16=（a –3）2+4，解得a =–1，即圆心为（–1，0），半径r =|AC== 则圆的标准方程为（x +1）2+y 2=20；（2）∵|PC5===>r ，∴点P （2，4）在圆C 外． 37．已知曲线C 的方程：x 2+y 2–4x +2y +5m =0（1）当m 为何值时，此方程表示圆？（2）若m =0，是否存在过点P （0，2）的直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，且|PA |=|AB |，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．1）方程：x 2+y 2–4x +2y +5m =0可化为（x –2）2+（y +1）2=5–5m ∵方程表示圆，∴5–5m >0，即m <1；（2）设A （a ，b ），则B （2a ，2b –2），代入圆的方程，可得a 2+b 2–4a +2b =0，且4a 2+（2b –2）2–8a +2（2b –2）=0，∴a =0，或a =2413，∵直线l 过点P （0，2），∴直线l 的方程为x =0或5x +12y –24=0． 38．求圆x 2+y 2–2x –6y +9=0关于直线2x +y +5=0对称的圆的方程．39．已知圆过点A （–2，4），半径为5，并且以M （–1，3）为中点的弦长为设所求的圆的方程是（x –a ）2+（y –b ）2=25，根据题设知（a +2）2+（b –4）2=25，再由弦长公式得：（a +1）2+（b –3）2+12=25，联立解得21a b =⎧⎨=⎩或10a b =⎧⎨=⎩所以圆的方程为：（x –2）2+（y –1）2=25或（x –1）2+y 2=25． 40．圆（x +1）2+y 2=2的圆心到直线y =x +3的距离为( C )A ．1B ．2CD ．41．圆x 2+y 2–2x –8y +13=0的圆心到直线ax +y –1=0的距离为1，则a =( A )A ．–43B ．–34CD ．242．在平面直角坐标系中，经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆的方程为（x –1）2+y 2=1（或x 2+y 2–2x =0）_________．43．已知a ∈R ，方程a 2x 2+（a +2）y 2+4x +8y +5a =0表示圆，则圆心坐标是（–2，–4），半径是_5_．。
高中数学必修2圆与方程(教师用)
圆的方程知识点与题型1. 确定圆方程需要有三个互相独立的条件.圆的方程有两种形式，要注意各种形式的圆方程的适用范围.(1) 圆的标准方程：(x －a)2＋(y －b)2＝r 2，其中(a ，b)是圆心坐标，r 是圆的半径； (2) 圆的一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0 (D 2＋E 2－4F ＞0)，圆心坐标为(2,2ED --)，半径为r ＝2422FE D -+2. 直线与圆的位置关系的判定方法.(1) 法一：直线：Ax ＋By ＋C ＝0；圆：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.消元⎩⎨⎧=++++=++0022F Ey Dx y x C By Ax 一元二次方程⎪⎩⎪⎨⎧⇔<∆⇔=∆⇔>∆−−→−相离相切相交判别式000 (2) 法二：直线：Ax ＋By ＋C ＝0；圆：(x －a)2＋(y －b)2＝r 2，圆心(a ，b)到直线的距离为d ＝⎪⎩⎪⎨⎧⇔>⇔=⇔<→+++相离相切相交r d r d r d B A C Bb Aa 22. 3. 两圆的位置关系的判定方法.设两圆圆心分别为O 1、 O 2，半径分别为r 1、 r 2， ｜O 1O 2｜为圆心距，则两圆位置关系如下： ｜O 1O 2｜＞r 1＋r 2⇔两圆外离；｜O 1O 2｜＝r 1＋r 2⇔两圆外切； ｜r 1－r 2｜＜｜O 1O 2｜＜r 1＋r 2⇔两圆相交；｜O 1O 2｜＝｜r 1－r 2｜⇔两圆内切； ０＜｜O 1O 2｜＜｜r 1－r 2｜⇔两圆内含. 一、圆的方程1 、以点)1,2(-为圆心且与直线0543=+-y x 相切的圆的方程为( ) (A)3)1()2(22=++-y x (B)3)1()2(22=-++y x (C)9)1()2(22=++-y x(D)9)1()2(22=-++y x解：已知圆心为)1,2(-，且由题意知线心距等于圆半径，即2243546+++=d r ==3，∴所求的圆方程为9)1()2(22=++-y x ，故选(C).2、方程x 2+y 2－2（t +3）x +2（1－4t 2）y +16t 4+9=0（t ∈R ）表示圆方程，则t 的取值范围是（ ）A.－1<t <71 B.－1<t <21 C.－71<t <1D .1<t <2 ：由D 2+E 2－4F >0，得7t 2－6t －1<0，即－71<t <1.答案：C3、已知两点P 1（4，9）、P 2（6，3），求以P 1P 2为直径的圆的方程.【思考与分析】 根据已知条件，我们需要求出圆的圆心位置，又由点P 1P 2的坐标已知，且P 1P 2为所求圆的直径，所以圆的半径很容易求出，这是常规的解法，如下面解法1所示，另外还有一些其它的解法，我们大家一起来欣赏：解法1：设圆心为C （a ，b ）、半径为r. 由中点坐标公式，得 a ＝＝5，b ＝＝6.∴ C （5，6），再由两点间距离公式，得∴ 所求的圆的方程为（x －5）2＋（y －6）2＝10.解法2：设P （x ，y ）是圆上任意一点，且圆的直径的两端点为P 1（4，9）、P 2（6，3）， ∴ 圆的方程为（x －4）（x －6）＋（y －9）（y －3）＝0， 化简得 （x －5）2＋（y －6）2＝10，即为所求.4、求过两点A （1，4）、B （3，2），且圆心在直线y =0上的圆的标准方程，并判断点M 1（2，3），M 2（2，4）与圆的位置关系.A 、B 两点，所以圆心在线段ABk AB =3124--=－1，AB 的中点为（2，3），故AB 的垂直平分线的方程为y －3=x －2，即x －yy =0上，因此圆心坐标是方程组x －y +1=0，y =0半径r =22)40()11(-+--=20，所以得所求圆的标准方程为（x +1）2+y 2=20.因为M 1到圆心C （－1，0）的距离为22)03()12(-++=18，|M 1C |<r ，所以M 1在圆C 内；而点M 2到圆心C 的距离|M 2C |=22)04()12(-++=25>20，所以M 2在圆C 外.5、已知圆2260x y x y m ++-+=和直线230x y +-=交于P 、Q 两点，且OP ⊥OQ （O 为坐标原点），求该圆的圆心坐标及半径长．解：将32x y =-代入方程2260x y x y m ++-+=，得2520120y y m -++=．的解，即圆心坐标为（－1，0）.设P ()11,x y ，Q ()22,x y ，则12,y y 满足条件：1212124,5m y y y y ++==． ∵ OP ⊥OQ , ∴12120,x x y y +=而1132x y =-，2232x y =-，∴()121212964x x y y y y =-++．∴3m =，此时Δ0>，圆心坐标为（－12，3），半径52r =．二、位置关系问题（点、直线、圆与圆的位置关系）1、点P （5a +1，12a ）在圆（x －1）2+y 2=1的内部，则a 的取值范围是（ D ）A.｜a ｜＜1B.a ＜131C.｜a ｜＜51 D .｜a ｜＜131解析：点P 在圆（x －1）2+y 2=1内部⇔（5a +1－1）2+（12a ）2＜1⇔｜a ｜＜131.答案：D 2、直线1=+y x 与圆0222=-+ay y x )0(>a 没有公共点，则a 的取值范围是( A )(A))12,0(- (B))12,12(+- (C))12,12(+-- (D))12,0(+解 化为标准方程222)(a a y x =-+，即得圆心),0(a C 和半径a r =.∵直线1=+y x 与已知圆没有公共点，∴线心距a r a d =>-=21，平方去分母得22212a a a >+-，解得1212-<<--a ，注意到0>a ，∴120-<<a ，故选(A).点评：一般通过比较线心距d 与圆半径r 的大小来处理直线与圆的位置关系：⇔>r d 线圆相离；⇔=r d 线圆相切；⇔<r d 线圆相交.3、 直线2x －y ＋1＝0与圆O ∶x 2+y 2+2x-6y-26=0的位置关系是（ ）.A ． 相切B ． 相交且过圆心C ． 相离D ． 相交不过圆心 【解析】 要想确定一条直线与圆的位置关系，我们需要得出圆心到直线的距离与圆半径的大小关系.所以将圆的方程化为标准形式为：圆O ∶（x+1）2+（y-3）2=36.圆心为（－1，3），半径为r ＝6，圆心到直线的距离为d ＝从而知0＜d ＜r ，所以直线与圆相交但不过圆心. 故正确答案为D4、已知圆C 与圆0222=-+x y x 相外切，并且与直线03=+y x 相切于点)3,3(-Q ，求圆C 的方程设圆C 的圆心为),(b a ，则6234004231)1(33322==⇒⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧==⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=+-=-+r r b a b a b a b a a b 或或 所以圆C 的方程为36)34(4)4(2222=++=+-y x y x 或三、切线问题1、过坐标原点且与圆0252422=++-+y x y x 相切的直线方程为( ) (A)x y 3-=或x y 31= (B)x y 3=或x y 31-= (C)x y 3-=或x y 31-=(D)x y 3=或x y 31=解 化为标准方程25)1()2(22=++-y x ,即得圆心)1,2(-C 和半径25=r . 设过坐标原点的切线方程为kx y =，即0=-y kx ，∴线心距251122==++=r k k d ，平方去分母得0)3)(13(=+-k k ，解得3-=k 或31，∴所求的切线方程为x y 3-=或x y 31=，故选(A). 点评：一般通过线心距d 与圆半径r 相等和待定系数法，或切线垂直于经过切点的半径来处理切线问题.2、求由下列条件所决定圆422=+y x 的圆的切线方程：(1)经过点)1,3(P ，(2)经过点)0,3(Q ，(3)斜率为1-解：(1) 41)3(22=+ ∴点)1,3(P 在圆上，故所求切线方程为43=+y x 。
高中数学-圆与方程
高二数学 第2讲 圆与方程第一节 圆的方程知识点一 圆的标准方程222()()x a y b r -+-=，其中()a b ，为圆心，r 为半径.要点诠释：(1)如果圆心在坐标原点，这时00a b ==，，圆的方程就是222x y r +=.有关图形特征与方程的转化：如：圆心在x 轴上：b=0；圆与y 轴相切时：||a r =；圆与x 轴相切时：||b r =；与坐标轴相切时：||||a b r ==；过原点：222a b r +=(2)圆的标准方程222()()x a y b r -+-=⇔圆心为()a b ，，半径为r ，它显现了圆的几何特点. (3)标准方程的优点在于明确指出了圆心和半径.由圆的标准方程可知，确定一个圆的方程，只需要a 、b 、r 这三个独立参数，因此，求圆的标准方程常用定义法和待定系数法.知识点二 点和圆的位置关系如果圆的标准方程为222()()x a y b r -+-=，圆心为()C a b ，，半径为r ，则有(1)若点()00M x y ，在圆上()()22200||CM r x a y b r ⇔=⇔-+-= (2)若点()00M x y ，在圆外()()22200||CM r x a y b r ⇔>⇔-+-> (3)若点()00M x y ，在圆内()()22200||CM r x a y b r ⇔<⇔-+-<知识点三 圆的一般方程当2240D E F +->时，方程220x y Dx Ey F ++++=叫做圆的一般方程.,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭为圆心，. 要点诠释：由方程220x y Dx Ey F ++++=得22224224D E D E F x y +-⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(1)当2240D E F +-=时，方程只有实数解,22D E x y =-=-.它表示一个点(,)22D E--. (2)当2240D E F +-<时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．(3)当2240D E F +->时，可以看出方程表示以,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭为半径的圆. 知识点四 几种特殊位置的圆的方程知识点五 用待定系数法求圆的方程的步骤求圆的方程常用“待定系数法”.用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是： (1)根据题意，选择标准方程或一般方程.(2)根据已知条件，建立关于a b r 、、或D E F 、、的方程组.(3)解方程组，求出a b r 、、或D E F 、、的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程.知识点六 轨迹方程求符合某种条件的动点的轨迹方程，实质上就是利用题设中的几何条件，通过“坐标法”将其转化为关于变量,x y 之间的方程．1．当动点满足的几何条件易于“坐标化”时，常采用直接法；当动点满足的条件符合某一基本曲线的定义（如圆）时，常采用定义法；当动点随着另一个在已知曲线上的动点运动时，可采用代入法（或称相关点法）．2．求轨迹方程时，一要区分“轨迹”与“轨迹方程”；二要注意检验，去掉不合题设条件的点或线等． 3．求轨迹方程的步骤：（1）建立适当的直角坐标系，用(,)x y 表示轨迹（曲线）上任一点M 的坐标； （2）列出关于,x y 的方程； （3）把方程化为最简形式；（4）除去方程中的瑕点（即不符合题意的点）； （5）作答．【典型例题】 类型一 圆的标准方程[例1]求满足下列条件的各圆的方程： (1)圆心在原点，半径是3；(2)已知圆C 经过(5,1),(1,3)A B 两点，圆心在x 轴上； (3)经过点()5,1P ，圆心在点()8,3C -．[变式1]圆心是（4，-1），且过点（5，2）的圆的标准方程是（ ）A ．(x ―4)2+(y+1)2=10B ．(x+4)2+(y―1)2=10C ．(x ―4)2+(y+1)2=100D ．22(4)(1)x y -++=[例2]求圆心在直线2x -y -3=0上，且过点（5，2）和（3，-2）的圆的方程．[例3]与x 轴相切，圆心在直线30x y -=上，且被直线0x y -=截得的弦长为[变式2]求圆心在直线y =-x 上，且过两点A （2，0），B （0，-4）的圆的方程．类型二 圆的一般方程[例1]下列方程能否表示圆？若能表示圆，求出圆心和半径．（1）2x 2+y 2-7y +5=0；（2）x 2-xy +y 2+6x +7y =0；（3）x 2+y 2-2x -4y +10=0；（4）2x 2+2y 2-5x =0．[变式1]下列方程各表示什么图形；①x 2+y 2-4x -2y +5=0；②x 2+y 2-2x +4y -4=0；③220x y ax ++=．[例2]已知直线x 2+y 2-2(t +3)x +2(1-4t 2)y +16t 4+9=0表示一个圆．（1）求t 的取值范围； （2）求这个圆的圆心和半径；（3）求该圆半径r 的最大值及此时圆的标准方程．[变式2]下判断方程ax 2+ay 2-4(a -1)x +4y =0（a ≠0）是否表示圆，若表示圆，写出圆心和半径长．[变式3]已知方程0916)41(2)3(22222=++-++-+m y m x m y x 表示一个圆．（1）求实数m 的取值范围； （2）*求圆心C 的轨迹方程．[变式4]方程2222210x y ax ay a a +++++-=表示圆，则a 的取值范围是( ) A ．2a <-或23a >B ．203a -<<C ．20a -<<D ．223a -<< [例3]△ABC 的三个顶点分别为A （-1，5），B （-2，-2），C （5，5），求其外接圆的方程.[变式5]如图，等边△ABC 的边长为2，求这个三角形的外接圆的方程，并写出圆心坐标和半径长．类型三点与圆的位置关系[例]判断点M（6，9），N（3，3），Q（5，3）与圆(x-5)2+(y-6)2=10的位置关系．[变式]已知两点P1（3，8）和P2（5，4），求以线段P1P2为直径的圆的方程，并判断点M（5，3）、N（3，4）、P（3，5）是在此圆上、在圆内、还是在圆外？类型三轨迹方程[例1]已知一曲线是与两个定点O（0，0），A（3，0）距离的比为12的点的轨迹，求这条曲线的方程，并画出曲线．[变式1]如下图，过第一象限的定点C（a，b）作互相垂直的两直线CA、CB，分别交于x轴、y轴的正半轴于A、B两点，试求线段AB的中点M的轨迹方程．[例2]等腰△ABC的底边一个端点B(1，-3)，顶点A(0，6)，求另一个端点C的轨迹方程，并说明轨迹的形状．[例3]已知定点A（4，0），P点是圆x2+y2=4上一动点，Q点是AP的中点，求Q点的轨迹方程．[变式2]已知定点A（2，0），点Q是圆x2+y2=1上的动点，∠AOQ的平分线交AQ于M，当Q点在圆上移动时，求动点M的轨迹方程．【轨迹方程求法示题】1.（2016•平凉校级模拟）已知点G（5，4），圆C1：（x-1）2+（y-4）2=25，过点G的动直线l与圆C1相交于E、F两点，线段EF的中点为C．求点C的轨迹C2的方程；2.（2016•河北模拟）如图，已知P是以F1（1，0），以4为半径的圆上的动点，P与F2（1，0）所连线段的垂直平分线与线段PF1交于点M．求点M的轨迹C的方程；3.（2016•湖南校级模拟）已知点C（1，0），点A，B是⊙O：x2+y2=9上任意两个不同的点，且满足AC，设M为弦AB的中点．求点M的轨迹T的方程；⋅BC=-），4.（2016•自贡校级模拟）已知△ABC的两个顶点A，B的坐标分别是（0，3，（0，3且AC，BC所在直线的斜率之积等于m（m≠0）．求顶点C的轨迹M的方程，并判断轨迹M 为何种曲线.5.（2016春•成都校级月考）设Q、G分别为△ABC的外心和重心，已知A（-1，0），B（1，0），QG∥AB．求点C的轨迹E．6.（2016•成都模拟）已知一动圆经过点M（2，0），且在y轴上截得的弦长为4，设动圆圆心的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）过点N（1，0）任意作相互垂直的两条直线l1，l2，分别交曲线C于不同的两点A，B和不同的两点D，E．设线段AB，DE的中点分别为P，Q．①求证：直线PQ过定点R，并求出定点R的坐标；②求|PQ|的最小值．7.（2015秋•遂宁期末）已知平面直角坐标系上一动点P（x，y）到点A（-2，0）的距离是点P到点B（1，0）的距离的2倍．（1）求点P的轨迹方程；（2）过点A的直线l与点P的轨迹C相交于E，F两点，点M（2，0），则是否存在直线l，使S△EFM取得最大值，若存在，求出此时l的方程，若不存在，请说明理由．第二节 直线与圆的位置关系知识点一 直线与圆的位置关系1.直线与圆的位置关系：(1)直线与圆相交，有两个公共点； (2)直线与圆相切，只有一个公共点； (3)直线与圆相离，没有公共点. 2.直线与圆的位置关系的判定：(1)代数法：判断直线l 与圆C 的方程组成的方程组是否有解.如果有解，直线l 与圆C 有公共点. 有两组实数解时，直线l 与圆C 相交； 有一组实数解时，直线l 与圆C 相切； 无实数解时，直线l 与圆C 相离. (2)几何法：由圆C 的圆心到直线l 的距离d 与圆的半径r 的关系判断： 当d r <时，直线l 与圆C 相交； 当d r =时，直线l 与圆C 相切； 当d r >时，直线l 与圆C 相离. 要点诠释：(1)当直线和圆相切时，求切线方程，一般要用到圆心到直线的距离等于半径，记住常见切线方程，可提高解题速度；求切线长，一般要用到切线长、圆的半径、圆外点与圆心连线构成的直角三角形，由勾股定理解得.(2)当直线和圆相交时，有关弦长的问题，要用到弦心距、半径和半弦构成的直角三角形，也是通过勾股定理解得，有时还用到垂径定理.(3)当直线和圆相离时，常讨论圆上的点到直线的距离问题，通常画图，利用数形结合来解决.知识点二 圆的切线方程的求法1．点M 在圆上，如图．法一：利用切线的斜率l k 与圆心和该点连线的斜率OM k 的乘积等于1-，即1OM l k k ⋅=-． 法二：圆心O 到直线l 的距离等于半径r ．2．点()00,x y 在圆外，则设切线方程：00()y y k x x -=-，变成一般式：000kx y y kx -+-=，因为与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，解出k ．要点诠释：因为此时点在圆外，所以切线一定有两条，即方程一般是两个根，若方程只有一个根，则还有一条切线的斜率不存在，务必要把这条切线补上．常见圆的切线方程：（1）过圆222x y r +=上一点()00,P x y 的切线方程是200x x y y r +=；（2）过圆()()222x a y b r -+-=上一点()00,P x y 的切线方程是()()()()200x a x a y b y b r --+--=.知识点三 求直线被圆截得的弦长的方法1．应用圆中直角三角形：半径r ，圆心到直线的距离d ，弦长l 具有的关系2222l r d ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，这也是求弦长最常用的方法．2．利用交点坐标：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间的距离公式计算弦长．3．利用弦长公式：设直线:l y kx b =+，与圆的两交点()()1122,,,x y x y ，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数关系得弦长：12|l x x =-．知识点四 圆与圆的位置关系1.圆与圆的位置关系：(1)圆与圆相交，有两个公共点；(2)圆与圆相切(内切或外切)，有一个公共点； (3)圆与圆相离(内含或外离)，没有公共点.2.圆与圆的位置关系的判定：(1)代数法：判断两圆的方程组成的方程组是否有解.有两组不同的实数解时，两圆相交； 有一组实数解时，两圆相切； 方程组无解时，两圆相离. (2)几何法：设1O 的半径为1r ，2O 的半径为2r ，两圆的圆心距为d . 当1212r r d r r -<<+时，两圆相交； 当12r r d +=时，两圆外切； 当12r r d +<时，两圆外离； 当12r r d -=时，两圆内切； 当12r r d ->时，两圆内含. 要点诠释：判定圆与圆的位置关系主要是利用几何法，通过比较两圆的圆心距和两圆的半径的关系来确定，这种方法运算量小.也可利用代数法，但是利用代数法解决时，一是运算量大，二是方程组仅有一解或无解时，两圆的位置关系不明确，还要比较两圆的圆心距和两圆半径的关系来确定.因此，在处理圆与圆的位置关系时，一般不用代数法.3.两圆公共弦长的求法有两种：方法一：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求其长． 方法二：求出公共弦所在直线的方程，利用勾股定理解直角三角形，求出弦长． 4．两圆公切线的条数与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，圆的公切线包括外公切线和内公切线两种． （1）两圆外离时，有2条外公切线和2条内公切线，共4条； （2）两圆外切时，有2条外公切线和1条内公切线，共3条； （3）两圆相交时，只有2条外公切线； （4）两圆内切时，只有1条外公切线； （5）两圆内含时，无公切线． 知识点五 圆系方程1．过直线0Ax By C ++=与圆220x y Dx Ey F ++++=的交点的圆系方程是22()0x y Dx Ey F Ax By C λ+++++++=2．以(),a b 为圆心的同心圆系方程是：()()222(0)x a y b λλ-+-=≠；3．与圆220x y Dx Ey F ++++=同心的圆系方程是220x y Dx Ey λ++++=；4．过同一定点(),a b 的圆系方程是()()2212()()0x a y b x a y b λλ-+-+-+-=．【典型例题】类型一 直线与圆的位置关系[例1]已知直线y =2x +1和圆x 2+y 2=4，试判断直线和圆的位置关系.[例2]求实数m 的范围，使直线30x my -+=与圆22650x y x +-+=分别满足： （1）相交；（2）相切；（3）相离．[变式1]已知直线方程mx -y-m -1=0，圆的方程x 2+y 2-4x -2y +1=0．当m 为何值时，圆与直线 （1）有两个公共点； （2）只有一个公共点； （3）没有公共点．[变式2]已知直线:430--+=l kx y k 与曲线22:68210+--+=C x y x y . （1）求证:不论k 为何值,直线l 和曲线C 恒有两个交点；（2）求当直线l 被曲线C 所截的线段最短时此线段所在的直线的方程.类型二 切线问题[例]过点(7,1)P 作圆2225x y +=的切线,求切线的方程.[变式]（1）求圆x 2+y 2=10的切线方程，使得它经过点M ； （2）求圆x 2+y 2=4的切线方程，使得它经过点Q （3，0）．类型三 弦长问题[例1]直线l 经过点P （5，5）并且与圆C ：x 2+y 2=25相交截得的弦长为l 的方程．[变式1]求经过点P （6，-4），且被定圆x 2+y 2=20截得弦长为的直线的方程．[例2]圆心C在直线l：x+2y=0上，圆C过点M（2，-3），且截直线m：x-y-1=0所得弦长为C 的方程．[例3]已知圆C1：x2+y2+2x-6y+1=0，圆C2：x2+y2-4x+2y-11=0，求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长．[变式2]已知圆C1：x2+y2+2x+6y+9＝0和圆C2：x2+y2−4x+2y−4＝0.（1）判断两圆的位置关系；（2）求两圆的公共弦所在直线的方程；（3）求两圆公切线所在直线的方程．类型四 圆与圆的位置关系[例1]已知圆C 1：x 2+y 2-2mx +4y +m 2-5=0，圆C 2：x 2+y 2+2x -2my +m 2-3=0，问：m 为何值时，（1）圆C 1和圆C 2相外切？（2）圆C 1与圆C 2内含？[变式1]当a 为何值时，圆C 1：x 2+y 2-2ax +4y +(a 2-5)=0和圆C 2：x 2+y 2+2x -2ay +(a 2-3)=0相交．[例2]若圆C 1的方程是x 2+y 2-4x -4y +7=0，圆C 2的方程为x 2+y 2-4x -10y +13=0，则两圆的公切线有_____条.[例3]坐标平面内有两个圆x 2+y 2=16和x 2+y 2-6x +8y +24=0，这两个圆的内公切线的方程是________.[变式2]圆C 1：x 2+y 2+2x +2y -2=0与圆C 2：x 2+y 2-6x +2y +6=0的公切线有且只有_____条. [变式3]两圆4)1()2(22=-+-y x 与9)2()1(22=-++y x 的公切线有（ ）条． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4类型五 圆系问题[例1]求过直线2x +y +4=0和圆x 2+y 2+2x -4y +1=0的交点，且满足下列条件之一的圆的方程：（1）过原点；（2）有最小面积．[变式1]求过两圆x 2+y 2+6x -4=0和x 2+y 2+6y -28=0的交点，且圆心在直线x -y -4=0上的圆的方程．[例2]已知曲线C ：x 2+y 2+2kx +（4k +10）y +10k +20=0，其中k ≠-1，则C 过定点_____. [变式2]对于任意实数λ，曲线(1+λ)x 2+(1+λ)y 2+(6-4λ)x -16-6λ=0恒过定点_____.类型六 最值问题[例1]已知实数x 、y 满足方程x 2+y 2-4x +1=0，求：（1）yx的最大值；（2）y -x 的最小值；（3）22y x +.[例2]已知点P （x ，y ）是圆(x -3)2+(y -3)2=4上任意一点，求点P 到直线2x +y +6=0的最大距离和最小距离．[变式1]已知实数x 、y 满足方程x 2+y 2-4x +1=0，求：（1）5-x y的最大值；（2）x y 2-的最小值；（3）22)3()1(++-y x .。
高中数学必修2--第四章《圆与方程》知识点总结与练习知识讲解
第三节圆_的_方_程[知识能否忆起]1．圆的定义及方程2．点与圆的位置关系点M (x 0，y 0)与圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的位置关系： (1)若M (x 0，y 0)在圆外，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2>r 2. (2)若M (x 0，y 0)在圆上，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2. (3)若M (x 0，y 0)在圆内，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2<r 2.[小题能否全取]1．(教材习题改编)方程x 2＋y 2＋4mx －2y ＋5m ＝0表示圆的充要条件是( ) A.14＜m ＜1 B ．m ＜14或m ＞1C ．m ＜14D ．m ＞1解析：选B 由(4m )2＋4－4×5m ＞0得m ＜14或m ＞1.2．(教材习题改编)点(1,1)在圆(x －a )2＋(y ＋a )2＝4内，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－1,1)B ．(0,1)C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．(1，＋∞)解析：选A ∵点(1,1)在圆的内部， ∴(1－a )2＋(1＋a )2＜4， ∴－1＜a ＜1.3．圆心在y 轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为( ) A ．x 2＋(y －2)2＝1B ．x 2＋(y ＋2)2＝1C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1D ．x 2＋(y －3)2＝1解析：选A 设圆心坐标为(0，b )，则由题意知(0－1)2＋(b －2)2＝1，解得b ＝2，故圆的方程为x 2＋(y －2)2＝1.4．(2012·潍坊调研)圆x 2－2x ＋y 2－3＝0的圆心到直线x ＋3y －3＝0的距离为________．解析：圆心(1,0)，d ＝|1－3|1＋3＝1.答案：15．(教材习题改编)圆心在原点且与直线x ＋y －2＝0相切的圆的方程为 ____________________．解析：设圆的方程为x 2＋y 2＝a 2(a ＞0) ∴|2|1＋1＝a ，∴a ＝2，∴x 2＋y 2＝2. 答案：x 2＋y 2＝21.方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的充要条件是： (1)B ＝0；(2)A ＝C ≠0；(3)D 2＋E 2－4AF ＞0.2．求圆的方程时，要注意应用圆的几何性质简化运算． (1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上． (2)圆心在任一弦的中垂线上．(3)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线．典题导入[例1] (1)(2012·顺义模拟)已知圆C 关于y 轴对称，经过点(1,0)且被x 轴分成两段弧长之比为1∶2，则圆C 的方程为( )A.⎝⎛⎭⎫x ±332＋y 2＝43B.⎝⎛⎭⎫x ±332＋y 2＝13C ．x 2＋⎝⎛⎭⎫y ±332＝43D ．x 2＋⎝⎛⎭⎫y ±332＝13(2)已知圆C 经过A (5,1)，B (1,3)两点，圆心在x 轴上，则圆C 的方程为________________． [自主解答] (1)由已知知圆心在y 轴上，且被x 轴所分劣弧所对圆心角为2π3，设圆心(0，b )，半径为r ，则r sin π3＝1，r cos π3＝|b |，解得r ＝23，|b |＝33，即b ＝±33.故圆的方程为x 2＋⎝⎛⎭⎫y ±332＝43.(2)圆C 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋F ＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧26＋5D ＋F ＝0，10＋D ＋F ＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－4，F ＝－6.圆C 的方程为x 2＋y 2－4x －6＝0. [答案] (1)C (2)x 2＋y 2－4x －6＝0由题悟法1．利用待定系数法求圆的方程关键是建立关于a ，b ，r 或D ，E ，F 的方程组． 2．利用圆的几何性质求方程可直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程，体现了数形结合思想的运用．以题试法1．(2012·浙江五校联考)过圆x 2＋y 2＝4外一点P (4,2)作圆的两条切线，切点分别为A ，B ，则△ABP 的外接圆的方程是( )A ．(x －4)2＋(y －2)2＝1B ．x 2＋(y －2)2＝4C ．(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝5D ．(x －2)2＋(y －1)2＝5解析：选D 易知圆心为坐标原点O ，根据圆的切线的性质可知OA ⊥P A ，OB ⊥PB ，因此P ，A ，O ，B 四点共圆，△P AB 的外接圆就是以线段OP 为直径的圆，这个圆的方程是(x －2)2＋(y －1)2＝5.典题导入[例2] (1)(2012·湖北高考)过点P (1,1)的直线，将圆形区域{(x ，y )|x 2＋y 2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为( )A ．x ＋y －2＝0B ．y －1＝0C ．x －y ＝0D ．x ＋3y －4＝0(2)P (x ，y )在圆C ：(x －1)2＋(y －1)2＝1上移动，则x 2＋y 2的最小值为________． [自主解答] (1)当圆心与P 的连线和过点P 的直线垂直时，符合条件．圆心O 与P 点连线的斜率k ＝1，∴直线OP 垂直于x ＋y －2＝0.(2)由C (1,1)得|OC |＝2，则|OP |min ＝2－1，即(x 2＋y 2)min ＝2－1.所以x 2＋y 2的最小值为(2－1)2＝3－2 2.[答案] (1)A (2)3－2 2由题悟法解决与圆有关的最值问题的常用方法 (1)形如u ＝y －bx －a的最值问题，可转化为定点(a ，b )与圆上的动点(x ，y )的斜率的最值问题(如A 级T 9)；9．(2012·南京模拟)已知x ，y 满足x 2＋y 2＝1，则y －2x －1的最小值为________．解析：y －2x －1表示圆上的点P (x ，y )与点Q (1,2)连线的斜率，所以y －2x －1的最小值是直线PQ与圆相切时的斜率．设直线PQ 的方程为y －2＝k (x －1)即kx －y ＋2－k ＝0.由|2－k |k 2＋1＝1得k ＝34，结合图形可知，y －2x －1≥34，故最小值为34. 答案：34(2)形如t ＝ax ＋by 的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题(如以题试法2(2))； (3)形如(x －a )2＋(y －b )2的最值问题，可转化为动点到定点的距离的最值问题(如例(2))．以题试法2．(1)(2012·东北三校联考)与曲线C ：x 2＋y 2＋2x ＋2y ＝0相内切，同时又与直线l ：y ＝2－x 相切的半径最小的圆的半径是________．(2)已知实数x ，y 满足(x －2)2＋(y ＋1)2＝1则2x －y 的最大值为________，最小值为________．解析：(1)依题意，曲线C 表示的是以点C (－1，－1)为圆心，2为半径的圆，圆心C (－1，－1)到直线y ＝2－x 即x ＋y －2＝0的距离等于|－1－1－2|2＝22，易知所求圆的半径等于22＋22＝322.(2)令b ＝2x －y ，则b 为直线2x －y ＝b 在y 轴上的截距的相反数，当直线2x －y ＝b 与圆相切时，b 取得最值．由|2×2＋1－b |5＝1.解得b ＝5±5，所以2x －y 的最大值为5＋5，最小值为5－ 5.答案：(1)322 (2)5＋5 5－5典题导入[例3] (2012·正定模拟)如图，已知点A (－1,0)与点B (1,0)，C 是圆x 2＋y 2＝1上的动点，连接BC 并延长至D ，使得|CD |＝|BC |，求AC 与OD 的交点P 的轨迹方程．[自主解答] 设动点P (x ，y )，由题意可知P 是△ABD 的重心． 由A (－1,0)，B (1,0)，令动点C (x 0，y 0)， 则D (2x 0－1,2y 0)，由重心坐标公式得 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋1＋2x 0－13，y ＝2y 03，则⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3x ＋12，y 0＝3y 2(y 0≠0)，代入x 2＋y 2＝1，整理得⎝⎛⎭⎫x ＋132＋y 2＝49(y ≠0)， 故所求轨迹方程为⎝⎛⎭⎫x ＋132＋y 2＝49(y ≠0)．由题悟法求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法： (1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程． (2)定义法：根据直线、圆、圆锥曲线等定义列方程． (3)几何法：利用圆与圆的几何性质列方程．(4)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．以题试法3．(2012·郑州模拟)动点P 到点A (8,0)的距离是到点B (2,0)的距离的2倍，则动点P 的轨迹方程为( )A ．x 2＋y 2＝32B ．x 2＋y 2＝16C ．(x －1)2＋y 2＝16D ．x 2＋(y －1)2＝16解析：选B 设P (x ，y )，则由题意可得2(x －2)2＋y 2＝(x －8)2＋y 2，化简整理得x 2＋y 2＝16.[题后悟道] 该题是圆与集合，不等式交汇问题，解决本题的关键点有： ①弄清集合代表的几何意义；②结合直线与圆的位置关系求得m 的取值范围． 针对训练若直线l ：ax ＋by ＋4＝0(a >0，b >0)始终平分圆C ：x 2＋y 2＋8x ＋2y ＋1＝0，则ab 的最大值为( )A ．4B ．2C ．1D.14解析：选C 圆C 的圆心坐标为(－4，－1)， 则有－4a －b ＋4＝0，即4a ＋b ＝4. 所以ab ＝14(4a ·b )≤14⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋b 22＝14×⎝⎛⎭⎫422＝1.当且仅当a ＝12，b ＝2取得等号．1．圆(x ＋2)2＋y 2＝5关于原点P (0,0)对称的圆的方程为( ) A ．(x －2)2＋y 2＝5 B ．x 2＋(y －2)2＝5 C ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝5D ．x 2＋(y ＋2)2＝5解析：选A 圆上任一点(x ，y )关于原点对称点为(－x ，－y )在圆(x ＋2)2＋y 2＝5上，即(－x ＋2)2＋(－y )2＝5.即(x －2)2＋y 2＝5.2．(2012·辽宁高考)将圆x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0平分的直线是( ) A ．x ＋y －1＝0 B ．x ＋y ＋3＝0 C ．x －y ＋1＝0D ．x －y ＋3＝0解析：选C 要使直线平分圆，只要直线经过圆的圆心即可，圆心坐标为(1,2)．A ，B ，C ，D 四个选项中，只有C 选项中的直线经过圆心．3．(2012·青岛二中期末)若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x －3y ＝0和x 轴都相切，则该圆的标准方程是( )A ．(x －3)2＋⎝⎛⎭⎫y －732＝1 B ．(x －2)2＋(y －1)2＝1 C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1D.⎝⎛⎭⎫x －322＋(y －1)2＝1 解析：选B 依题意设圆心C (a,1)(a ＞0)，由圆C 与直线4x －3y ＝0相切，得|4a －3|5＝1，解得a ＝2，则圆C 的标准方程是(x －2)2＋(y －1)2＝1.4．(2012·海淀检测)点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( ) A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4 C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1解析：选A设圆上任一点为Q (x 0，y 0)，PQ 的中点为M (x ，y )，则⎩⎨⎧x ＝4＋x2，y ＝－2＋y2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －4，y 0＝2y ＋2.因为点Q 在圆x 2＋y 2＝4上，所以(2x －4)2＋(2y ＋2)2＝4，即(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.5．(2013·杭州模拟)若圆x 2＋y 2－2x ＋6y ＋5a ＝0，关于直线y ＝x ＋2b 成轴对称图形，则a －b 的取值范围是( )A ．(－∞，4)B ．(－∞，0)C ．(－4，＋∞)D ．(4，＋∞)解析：选A 将圆的方程变形为(x －1)2＋(y ＋3)2＝10－5a ，可知，圆心为(1，－3)，且10－5a ＞0，即a ＜2.∵圆关于直线y ＝x ＋2b 对称，∴圆心在直线y ＝x ＋2b 上，即－3＝1＋2b ，解得b ＝－2，∴a －b ＜4.6．已知点M 是直线3x ＋4y －2＝0上的动点，点N 为圆(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1上的动点，则|MN |的最小值是( )A.95 B ．1 C.45D.135解析：选C 圆心(－1，－1)到点M 的距离的最小值为点(－1，－1)到直线的距离d ＝|－3－4－2|5＝95，故点N 到点M 的距离的最小值为d －1＝45. 7．如果三角形三个顶点分别是O (0,0)，A (0,15)，B (－8,0)，则它的内切圆方程为________________．解析：因为△AOB 是直角三角形，所以内切圆半径为r ＝|OA |＋|OB |－|AB |2＝15＋8－172＝3，圆心坐标为(－3,3)，故内切圆方程为(x ＋3)2＋(y －3)2＝9.答案：(x ＋3)2＋(y －3)2＝98．(2013·河南三市调研)已知圆C 的圆心与抛物线y 2＝4x 的焦点关于直线y ＝x 对称，直线4x －3y －2＝0与圆C 相交于A ，B 两点，且|AB |＝6，则圆C 的方程为__________．解析：设所求圆的半径是R ，依题意得，抛物线y 2＝4x 的焦点坐标是(1,0)，则圆C 的圆心坐标是(0,1)，圆心到直线4x －3y －2＝0的距离d ＝|4×0－3×1－2|42＋(－3)2＝1，则R 2＝d 2＋⎝⎛⎭⎫|AB |22＝10，因此圆C 的方程是x 2＋(y －1)2＝10.答案：x 2＋(y －1)2＝109．(2012·南京模拟)已知x ，y 满足x 2＋y 2＝1，则y －2x －1的最小值为________．解析：y －2x －1表示圆上的点P (x ，y )与点Q (1,2)连线的斜率，所以y －2x －1的最小值是直线PQ与圆相切时的斜率．设直线PQ 的方程为y －2＝k (x －1)即kx －y ＋2－k ＝0.由|2－k |k 2＋1＝1得k ＝34，结合图形可知，y －2x －1≥34，故最小值为34. 答案：3410．过点C (3,4)且与x 轴，y 轴都相切的两个圆的半径分别为r 1，r 2，求r 1r 2. 解：由题意知，这两个圆的圆心都在第一象限， 且在直线y ＝x 上，故可设两圆方程为 (x －a )2＋(y －a )2＝a 2，(x －b )2＋(y －b )2＝b 2， 且r 1＝a ，r 2＝b .由于两圆都过点C ， 则(3－a )2＋(4－a )2＝a 2，(3－b )2＋(4－b )2＝b 2 即a 2－14a ＋25＝0，b 2－14b ＋25＝0. 则a 、b 是方程x 2－14x ＋25＝0的两个根．故r 1r 2＝ab ＝25.11．已知以点P 为圆心的圆经过点A (－1,0)和B (3,4)，线段AB 的垂直平分线交圆P 于点C 和D ，且|CD |＝410.(1)求直线CD 的方程； (2)求圆P 的方程．解：(1)直线AB 的斜率k ＝1，AB 的中点坐标为(1,2)． 则直线CD 的方程为y －2＝－(x －1)， 即x ＋y －3＝0.(2)设圆心P (a ，b )，则由P 在CD 上得a ＋b －3＝0.① 又∵直径|CD |＝410，∴|P A |＝210， ∴(a ＋1)2＋b 2＝40.②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－3，b ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－2.∴圆心P (－3,6)或P (5，－2)． ∴圆P 的方程为(x ＋3)2＋(y －6)2＝40 或(x －5)2＋(y ＋2)2＝40.12．(2012·吉林摸底)已知关于x ，y 的方程C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋m ＝0. (1)当m 为何值时，方程C 表示圆；(2)在(1)的条件下，若圆C 与直线l ：x ＋2y －4＝0相交于M 、N 两点，且|MN |＝455，求m 的值．解：(1)方程C 可化为(x －1)2＋(y －2)2＝5－m ，显然只要5－m ＞0，即m ＜5时方程C 表示圆．(2)因为圆C 的方程为(x －1)2＋(y －2)2＝5－m ，其中m ＜5，所以圆心C (1,2)，半径r ＝5－m ，则圆心C (1,2)到直线l ：x ＋2y －4＝0的距离为d ＝|1＋2×2－4|12＋22＝15，因为|MN |＝455，所以12|MN |＝255，所以5－m ＝⎝⎛⎭⎫152＋⎝⎛⎭⎫2552， 解得m ＝4.1．(2012·常州模拟)以双曲线x 26－y 23＝1的右焦点为圆心且与双曲线的渐近线相切的圆的方程是( )A ．(x －3)2＋y 2＝1B ．(x －3)2＋y 2＝3C ．(x －3)2＋y 2＝3D ．(x －3)2＋y 2＝9解析：选B 双曲线的渐近线方程为x ±2y ＝0，其右焦点为(3,0)，所求圆半径r ＝|3|12＋(±2)2＝3，所求圆方程为(x －3)2＋y 2＝3.2．由直线y ＝x ＋2上的点P 向圆C ：(x －4)2＋(y ＋2)2＝1引切线PT (T 为切点)，当|PT |最小时，点P 的坐标是( )A ．(－1,1)B ．(0,2)C ．(－2,0)D ．(1,3)解析：选B 根据切线长、圆的半径和圆心到点P 的距离的关系，可知|PT |＝|PC |2－1，故|PT |最小时，即|PC |最小，此时PC 垂直于直线y ＝x ＋2，则直线PC 的方程为y ＋2＝－(x－4)，即y ＝－x ＋2，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋2，y ＝－x ＋2，解得点P 的坐标为(0,2)．3．已知圆M 过两点C (1，－1)，D (－1,1)，且圆心M 在x ＋y －2＝0上． (1)求圆M 的方程；(2)设P 是直线3x ＋4y ＋8＝0上的动点，P A 、PB 是圆M 的两条切线，A ，B 为切点，求四边形P AMB 面积的最小值．解：(1)设圆M 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)．根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧(1－a )2＋(－1－b )2＝r 2，(－1－a )2＋(1－b )2＝r 2，a ＋b －2＝0.解得a ＝b ＝1，r ＝2，故所求圆M 的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4.(2)因为四边形P AMB 的面积S ＝S △P AM ＋S △PBM ＝12|AM |·|P A |＋12|BM |·|PB |， 又|AM |＝|BM |＝2，|P A |＝|PB |，所以S ＝2|P A |， 而|P A |＝|PM |2－|AM |2＝|PM |2－4，即S ＝2|PM |2－4.因此要求S 的最小值，只需求|PM |的最小值即可， 即在直线3x ＋4y ＋8＝0上找一点P ，使得|PM |的值最小，所以|PM |min ＝|3×1＋4×1＋8|32＋42＝3，所以四边形P AMB 面积的最小值为S ＝2|PM |2min －4＝232－4＝2 5.1．在圆x 2＋y 2－2x －6y ＝0内，过点E (0,1)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为( )A ．5 2B ．10 2C ．15 2D ．20 2解析：选B 由题意可知，圆的圆心坐标是(1,3)，半径是10，且点E (0,1)位于该圆内，故过点E (0,1)的最短弦长|BD |＝210－(12＋22)＝25(注：过圆内一定点的最短弦是以该点为中点的弦)，过点E (0,1)的最长弦长等于该圆的直径，即|AC |＝210，且AC ⊥BD ，因此四边形ABCD 的面积等于12|AC |×|BD |＝12×210×25＝10 2.2．已知两点A (－2,0)，B (0,2)，点C 是圆x 2＋y 2－2x ＝0上任意一点，则△ABC 面积的最小值是________．解析：l AB ：x －y ＋2＝0，圆心(1,0)到l 的距离d ＝32， 则AB 边上的高的最小值为32－1. 故△ABC 面积的最小值是12×22×⎝⎛⎭⎫32－1＝3－ 2.答案：3－ 23．(2012·抚顺调研)已知圆x 2＋y 2＝4上一定点A (2,0)，B (1，1)为圆内一点，P ，Q 为圆上的动点．(1)求线段AP中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．解：(1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2,2y)．因为P点在圆x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y)2＝4.故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.(2)设PQ的中点为N(x，y)，在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|，设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ，所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.一、直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为d，圆的半径为r)二、圆与圆的位置关系(⊙O1、⊙O2半径r1、r2，d＝|O1O2|)[小题能否全取]1．(教材习题改编)圆(x－1)2＋(y＋2)2＝6与直线2x＋y－5＝0的位置关系是()A．相切B．相交但直线不过圆心C．相交过圆心D．相离解析：选B由题意知圆心(1，－2)到直线2x＋y－5＝0的距离d＝5，0＜d＜6，故该直线与圆相交但不过圆心．2．(2012·银川质检)由直线y ＝x ＋1上的一点向圆x 2＋y 2－6x ＋8＝0引切线，则切线长的最小值为( )A.7B ．2 2C ．3D. 2解析：选A 由题意知，圆心到直线上的点的距离最小时，切线长最小．圆x 2＋y 2－6x ＋8＝0可化为(x －3)2＋y 2＝1，则圆心(3,0)到直线y ＝x ＋1的距离为42＝22，切线长的最小值为(22)2－1＝7.3．直线x －y ＋1＝0与圆x 2＋y 2＝r 2相交于A ，B 两点，且AB 的长为2，则圆的半径为( )A.322B.62C ．1D ．2解析：选B 圆心(0,0)到直线x －y ＋1＝0的距离d ＝12.则r 2＝⎝⎛⎭⎫12|AB |2＋d 2＝32，r ＝62. 4．(教材习题改编)若圆x 2＋y 2＝1与直线y ＝kx ＋2没有公共点，则实数k 的取值范围是________．解析：由题意知21＋k2＞1，解得－3＜k ＜ 3.答案：(－3， 3)5．已知两圆C 1：x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0，C 2：x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0，则两圆公共弦所在的直线方程是____________．解析：两圆相减即得x －2y ＋4＝0. 答案：x －2y ＋4＝01.求圆的弦长问题，注意应用圆的几何性质解题，即用圆心与弦中点连线与弦垂直的性质，可用勾股定理或斜率之积为－1列方程来简化运算．2．对于圆的切线问题，要注意切线斜率不存在的情况．典题导入[例1] (2012·陕西高考) 已知圆C ：x 2＋y 2－4x ＝0，l 是过点P (3,0)的直线，则( )A ．l 与C 相交B ．l 与C 相切C ．l 与C 相离D ．以上三个选项均有可能[自主解答] 将点P (3,0)的坐标代入圆的方程，得 32＋02－4×3＝9－12＝－3<0， 所以点P (3,0)在圆内．故过点P 的直线l 定与圆C 相交． [答案] A本例中若直线l 为“x －y ＋4＝0”问题不变． 解：∵圆的方程为(x －2)2＋y 2＝4， ∴圆心(2,0)，r ＝2. 又圆心到直线的距离为d ＝62＝32＞2. ∴l 与C 相离．由题悟法判断直线与圆的位置关系常见的方法(1)几何法：利用圆心到直线的距离d 和圆半径r 的大小关系． (2)代数法：联立直线与圆的方程消元后利用Δ判断．(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内可判断直线与圆相交．以题试法1．(2012·哈师大附中月考)已知直线l 过点(－2,0)，当直线l 与圆x 2＋y 2＝2x 有两个交点时，其斜率k 的取值范围是( )A ．(－22，22)B ．(－2，2) C.⎝⎛⎭⎫－24，24D.⎝⎛⎭⎫－18，18 解析：选C 易知圆心坐标是(1,0)，圆的半径是1，直线l 的方程是y ＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＝0，根据点到直线的距离公式得|k ＋2k |k 2＋1＜1，即k 2＜18，解得－24＜k ＜24.典题导入[例2] (1)(2012·广东高考)在平面直角坐标系xOy 中，直线3x ＋4y －5＝0与圆x 2＋y 2＝4相交于A 、B 两点，则弦AB 的长等于( )A ．33B ．2 3 C. 3D ．1(2)(2012·天津高考)设m ，n ∈R ，若直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －2＝0与圆(x －1)2＋(y －1)2＝1相切，则m ＋n 的取值范围是( )A ．[1－3，1＋ 3 ]B ．(－∞，1－ 3 ]∪[1＋3，＋∞)C ．[2－22，2＋2 2 ]D ．(－∞，2－2 2 ]∪[2＋22，＋∞)[自主解答] (1)圆x 2＋y 2＝4的圆心(0,0)，半径为2，则圆心到直线3x ＋4y －5＝0的距离d ＝532＋42＝1.故|AB |＝2r 2－d 2＝24－1＝2 3.(2)圆心(1,1)到直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －2＝0的距离为|m ＋n |(m ＋1)2＋(n ＋1)2＝1，所以m ＋n＋1＝mn ≤14(m ＋n )2，整理得[(m ＋n )－2]2－8≥0，解得m ＋n ≥2＋22或m ＋n ≤2－2 2.[答案] (1)B (2)D由题悟法1．圆的弦长的常用求法：(1)几何法：设圆的半径为r ，弦心距为d ，弦长为l ，则⎝⎛⎭⎫l 22＝r 2－d 2. (2)代数方法：运用韦达定理及弦长公式： |AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]. [注意] 常用几何法研究圆的弦的有关问题．2．求过一点的圆的切线方程时，首先要判断此点与圆的位置关系，若点在圆内，无解；若点在圆上，有一解；若点在圆外，有两解．以题试法2．(2012·杭州模拟)直线y ＝kx ＋3与圆(x －2)2＋(y －3)2＝4相交于M ，N 两点，若|MN |≥23，则k 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤－34，0B.⎣⎡⎦⎤－33，33 C ．[－3， 3]D.⎣⎡⎦⎤－23，0解析：选B 如图，设圆心C (2,3)到直线y ＝kx ＋3的距离为d ，若|MN |≥23，则d 2＝r 2－⎝⎛⎭⎫12|MN |2≤4－3＝1，即|2k |21＋k2≤1，解得－33≤k ≤ 33.典题导入[例3] (1)(2012·山东高考)圆(x ＋2)2＋y 2＝4与圆(x －2)2＋(y －1)2＝9的位置关系为( )A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离(2)设两圆C 1、C 2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离|C 1C 2|＝________. [自主解答] (1)两圆圆心分别为(－2,0)，(2,1)，半径分别为2和3，圆心距d ＝42＋1＝17.∵3－2＜d ＜3＋2，∴两圆相交．(2)由题意可设两圆的方程为(x －r i )2＋(y －r i )2＝r 2i ，r i ＞0，i ＝1,2.由两圆都过点(4,1)得(4－r i )2＋(1－r i )2＝r 2i ，整理得r 2i －10r i ＋17＝0，此方程的两根即为两圆的半径r 1，r 2，所以r 1r 2＝17，r 1＋r 2＝10，则|C 1C 2|＝(r 1－r 2)2＋(r 1－r 2)2＝2×(r 1＋r 2)2－4r 1r 2＝2×100－68＝8. [答案] (1)B (2)8由题悟法两圆位置关系的判断常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法．若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差得到．以题试法3．(2012·青岛二中月考)若⊙O ：x 2＋y 2＝5与⊙O 1：(x －m )2＋y 2＝20(m ∈R )相交于A 、B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长是________．解析：依题意得|OO 1|＝5＋20＝5，且△OO 1A 是直角三角形，S △O O 1A ＝12·|AB |2·|OO 1|＝12·|OA |·|AO 1|，因此|AB |＝2·|OA |·|AO 1||OO 1|＝2×5×255＝4. 答案：4[典例](2012·东城模拟)直线l过点(－4,0)且与圆(x＋1)2＋(y－2)2＝25交于A，B两点，如果|AB|＝8，那么直线l的方程为()A．5x＋12y＋20＝0B．5x－12y＋20＝0或x＋4＝0C．5x－12y＋20＝0D．5x＋12y＋20＝0或x＋4＝0[尝试解题]过点(－4,0)的直线若垂直于x轴，经验证符合条件，即方程为x＋4＝0满足题意；若存在斜率，设其直线方程为y＝k(x＋4)，由被圆截得的弦长为8，可得圆心(－1，2)到直线y＝k(x＋4)的距离为3，即|3k－2|1＋k2＝3，解得k＝－512，此时直线方程为5x＋12y＋20＝0，综上直线方程为5x＋12y＋20＝0或x＋4＝0.[答案] D——————[易错提醒]—————————————————————————1.解答本题易误认为斜率k一定存在从而错选A.2.对于过定点的动直线设方程时，可结合题意或作出符合题意的图形分析斜率k是否存在，以避免漏解.——————————————————————————————————————针对训练1．过点A(2,4)向圆x2＋y2＝4所引切线的方程为__________________．解析：显然x＝2为所求切线之一．当切线斜率存在时，设切线方程为y－4＝k(x－2)，即kx －y ＋4－2k ＝0，那么|4－2k |k 2＋1＝2，k ＝34，即3x －4y ＋10＝0.答案：x ＝2或3x －4y ＋10＝02．已知直线l 过(2,1)，(m,3)两点，则直线l 的方程为________________． 解析：当m ＝2时，直线l 的方程为x ＝2； 当m ≠2时，直线l 的方程为y －13－1＝x －2m －2，即2x －(m －2)y ＋m －6＝0.因为m ＝2时，方程2x －(m －2)y ＋m －6＝0， 即为x ＝2，所以直线l 的方程为2x －(m －2)y ＋m －6＝0. 答案：2x －(m －2)y ＋m －6＝0一、选择题1．(2012·人大附中月考)设m ＞0，则直线2(x ＋y )＋1＋m ＝0与圆x 2＋y 2＝m 的位置关系为( )A ．相切B ．相交C ．相切或相离D ．相交或相切解析：选C 圆心到直线l 的距离为d ＝1＋m 2，圆半径为m .因为d －r ＝1＋m 2－m ＝12(m －2m ＋1)＝12(m －1)2≥0，所以直线与圆的位置关系是相切或相离．2．(2012·福建高考)直线x ＋3y －2＝0与圆x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，则弦AB 的长度等于( )A ．2 5B ．2 3 C. 3D ．1解析：选B 因为圆心(0,0)到直线x ＋3y －2＝0的距离为1，所以AB ＝24－1＝2 3.3．(2012·安徽高考)若直线x －y ＋1＝0与圆(x －a )2＋y 2＝2有公共点，则实数a 的取值范围是( )A ．[－3，－1]B ．[－1,3]C ．[－3,1]D ．(－∞，－3]∪[1，＋∞)解析：选C 欲使直线x －y ＋1＝0与圆(x －a )2＋y 2＝2有公共点，只需使圆心到直线的距离小于等于圆的半径2即可，即|a －0＋1|12＋(－1)2≤2，化简得|a ＋1|≤2，解得－3≤a ≤1.4．过圆x 2＋y 2＝1上一点作圆的切线与x 轴，y 轴的正半轴交于A ，B 两点，则|AB |的最小值为( )A. 2B. 3 C ．2D ．3解析：选C 设圆上的点为(x 0，y 0)，其中x 0>0，y 0>0，则切线方程为x 0x ＋y 0y ＝1.分别令x ＝0，y ＝0得A ⎝⎛⎭⎫1x 0，0，B ⎝⎛⎭⎫0，1y 0，则|AB |＝ ⎝⎛⎭⎫1x 02＋⎝⎛⎭⎫1y 02＝1x 0y 0≥1x 20＋y 202＝2.当且仅当x 0＝y 0时，等号成立．5．(2013·兰州模拟)若圆x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)上仅有4个点到直线x －y －2＝0的距离为1，则实数r 的取值范围为( )A ．(2＋1，＋∞)B ．(2－1, 2＋1)C ．(0, 2－1)D ．(0, 2＋1)解析：选A 计算得圆心到直线l 的距离为22＝ 2＞1，如图．直线l ：x －y －2＝0与圆相交，l 1，l 2与l 平行，且与直线l 的距离为1，故可以看出，圆的半径应该大于圆心到直线l 2的距离 2＋1.6．(2013·临沂模拟)已知点P (x ，y )是直线kx ＋y ＋4＝0(k ＞0)上一动点，P A ，PB 是圆C ：x 2＋y 2－2y ＝0的两条切线，A ，B 是切点，若四边形P ACB 的最小面积是2，则k 的值为( )A. 2B.212C ．2 2D ．2解析：选D 圆心C (0,1)到l 的距离d ＝5k 2＋1， 所以四边形面积的最小值为2×⎝⎛⎭⎫12×1×d 2－1＝2，解得k 2＝4，即k ＝±2. 又k ＞0，即k ＝2.7．(2012·朝阳高三期末)设直线x －my －1＝0与圆(x －1)2＋(y －2)2＝4相交于A 、B 两点，且弦AB 的长为23，则实数m 的值是________．解析：由题意得，圆心(1,2)到直线x －my －1＝0的距离d ＝4－3＝1，即|1－2m －1|1＋m 2＝1，解得m ＝±33. 答案：±338．(2012·东北三校联考)若a ，b ，c 是直角三角形ABC 三边的长(c 为斜边)，则圆C ：x 2＋y 2＝4被直线l ：ax ＋by ＋c ＝0所截得的弦长为________．解析：由题意可知圆C ：x 2＋y 2＝4被直线l ：ax ＋by ＋c ＝0所截得的弦长为2 4－⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＋b 22，由于a 2＋b 2＝c 2，所以所求弦长为2 3. 答案：2 39．(2012·江西高考)过直线x ＋y －22＝0上点P 作圆x 2＋y 2＝1的两条切线，若两条切线的夹角是60°，则点P 的坐标是________．解析：∵点P 在直线x ＋y －22＝0上，∴可设点P (x 0，－x 0＋22)，且其中一个切点为M .∵两条切线的夹角为60°，∴∠OPM ＝30°.故在Rt △OPM 中，有OP ＝2OM ＝2.由两点间的距离公式得OP ＝x 20＋(－x 0＋22)2＝2，解得x 0＝ 2.故点P 的坐标是( 2， 2)．答案：( 2， 2)10．(2012·福州调研)已知⊙M ：x 2＋(y －2)2＝1，Q 是x 轴上的动点，QA ，QB 分别切⊙M 于A ，B 两点．(1)若|AB |＝423，求|MQ |及直线MQ 的方程；(2)求证：直线AB 恒过定点．解：(1)设直线MQ 交AB 于点P ，则|AP |＝223，又|AM |＝1，AP ⊥MQ ，AM ⊥AQ ，得|MP |＝ 12－89＝13，又∵|MQ |＝|MA |2|MP |，∴|MQ |＝3.设Q (x,0)，而点M (0,2)，由x 2＋22＝3，得x ＝±5，则Q 点的坐标为(5，0)或(－5，0)．从而直线MQ 的方程为2x ＋5y －25＝0或2x －5y ＋25＝0.(2)证明：设点Q (q,0)，由几何性质，可知A ，B 两点在以QM 为直径的圆上，此圆的方程为x (x －q )＋y (y －2)＝0，而线段AB 是此圆与已知圆的公共弦，相减可得AB 的方程为qx－2y ＋3＝0，所以直线AB 恒过定点⎝⎛⎭⎫0，32. 11．已知以点C ⎝⎛⎭⎫t ，2t (t ∈R ，t ≠0)为圆心的圆与x 轴交于点O 、A ，与y 轴交于点O 、B ，其中O 为原点．(1)求证：△AOB 的面积为定值；(2)设直线2x ＋y －4＝0与圆C 交于点M 、N ，若|OM |＝|ON |，求圆C 的方程．解：(1)证明：由题设知，圆C 的方程为(x －t )2＋⎝⎛⎭⎫y －2t 2＝t 2＋4t 2，化简得x 2－2tx ＋y 2－4ty ＝0， 当y ＝0时，x ＝0或2t ，则A (2t,0)；当x ＝0时，y ＝0或4t，则B ⎝⎛⎭⎫0，4t ， 所以S △AOB ＝12|OA |·|OB | ＝12|2t |·⎪⎪⎪⎪4t ＝4为定值． (2)∵|OM |＝|ON |，则原点O 在MN 的中垂线上，设MN 的中点为H ，则CH ⊥MN ，∴C 、H 、O 三点共线，则直线OC 的斜率k ＝2t t ＝2t 2＝12，∴t ＝2或t ＝－2. ∴圆心为C (2,1)或C (－2，－1)，∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5或(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝5，由于当圆方程为(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝5时，直线2x ＋y －4＝0到圆心的距离d ＞r ，此时不满足直线与圆相交，故舍去，∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5.12．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2＋y 2－12x ＋32＝0的圆心为Q ，过点P (0,2)，且斜率为k 的直线与圆Q 相交于不同的两点A 、B .(1)求k 的取值范围；(2)是否存在常数k ，使得向量OA ＋OB 与PQ 共线？如果存在，求k 值；如果不存在，请说明理由．解：(1)圆的方程可写成(x －6)2＋y 2＝4，所以圆心为Q (6,0)．过P (0,2)且斜率为k 的直线方程为y ＝kx ＋2，代入圆的方程得x 2＋(kx ＋2)2－12x ＋32＝0，整理得(1＋k 2)x 2＋4(k －3)x ＋36＝0.①直线与圆交于两个不同的点A 、B 等价于Δ＝[4(k －3)]2－4×36(1＋k 2)＝42(－8k 2－6k )>0，解得－34<k <0，即k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－34，0. (2)设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)则OA ＋OB ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，由方程①得x 1＋x 2＝－4(k －3)1＋k 2.② 又y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋4.③因P (0,2)、Q (6,0)，PQ ＝(6，－2)，所以OA ＋OB 与PQ 共线等价于－2(x 1＋x 2)＝6(y 1＋y 2)，将②③代入上式，解得k ＝－34. 而由(1)知k ∈⎝⎛⎭⎫－34，0，故没有符合题意的常数k.1．已知两圆x 2＋y 2－10x －10y ＝0，x 2＋y 2＋6x －2y －40＝0，则它们的公共弦所在直线的方程为________________；公共弦长为________．解析：由两圆的方程x 2＋y 2－10x －10y ＝0，x 2＋y 2＋6x －2y －40＝0，相减并整理得公共弦所在直线的方程为2x ＋y －5＝0.圆心(5,5)到直线2x ＋y －5＝0的距离为105＝25，弦长的一半为50－20＝30，得公共弦长为230. 答案：2x ＋y －5＝0 2302．(2012·上海模拟)已知圆的方程为x 2＋y 2－6x －8y ＝0，a 1，a 2，…，a 11是该圆过点(3,5)的11条弦的长，若数列a 1，a 2，…，a 11成等差数列，则该等差数列公差的最大值是________．解析：容易判断，点(3,5)在圆内部，过圆内一点最长的弦是直径，过该点与直径垂直的弦最短，因此，过(3,5)的弦中，最长为10，最短为46，故公差最大为10－4610＝5－265. 答案：5－2653.(2012·江西六校联考)已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的准线为l ，焦点为F ，圆M 的圆心在x 轴的正半轴上，圆M 与y 轴相切，过原点O 作倾斜角为π3的直线n ，交直线l 于点A ，交圆M 于不同的两点O 、B ，且|AO |＝|BO |＝2.(1)求圆M 和抛物线C 的方程；(2)若P 为抛物线C 上的动点，求PM ,·PF ,的最小值； (3)过直线l 上的动点Q 向圆M 作切线，切点分别为S 、T ，求证：直线ST 恒过一个定点，并求该定点的坐标．解：(1)易得B (1，3)，A (－1，－3)，设圆M 的方程为(x －a )2＋y 2＝a 2(a ＞0)， 将点B (1，3)代入圆M 的方程得a ＝2，所以圆M 的方程为(x －2)2＋y 2＝4，因为点A (－1，－3)在准线l 上，所以p 2＝1，p ＝2，所以抛物线C 的方程为y 2＝4x . (2)由(1)得，M (2,0)，F (1,0)，设点P (x ，y )，则PM ,＝(2－x ，－y )，PF ,＝(1－x ，－y )，又点P 在抛物线y 2＝4x 上，所以PM ,·PF ,＝(2－x )(1－x )＋y 2＝x 2－3x ＋2＋4x ＝x 2＋x ＋2，因为x ≥0，所以PM ,·PF ,≥2，即PM ,·PF ,的最小值为2. (3)证明：设点Q (－1，m )，则|QS |＝|QT |＝m 2＋5，以Q 为圆心，m 2＋5为半径的圆的方程为(x ＋1)2＋(y －m )2＝m 2＋5，即x 2＋y 2＋2x －2my －4＝0，①又圆M 的方程为(x －2)2＋y 2＝4，即x 2＋y 2－4x ＝0，②由①②两式相减即得直线ST 的方程3x －my －2＝0，显然直线ST 恒过定点⎝⎛⎭⎫23，0.1．两个圆：C 1：x 2＋y 2＋2x ＋2y －2＝0与C 2：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的公切线有且仅有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条解析：选B 由题知C 1：(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4，则圆心C 1(－1，－1)，C 2：(x －2)2＋(y －1)2＝4，圆心C 2(2,1)，两圆半径均为2，又|C 1C 2|＝(2＋1)2＋(1＋1)2＝13＜4，则两圆相交⇒只有两条外公切线．2．(2012·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－8x ＋15＝0，若直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是________．解析：设圆心C (4,0)到直线y ＝kx －2的距离为d ，则d ＝|4k －2|k 2＋1，由题意知，问题转化为d ≤2，即d ＝|4k －2|k 2＋1≤2，得0≤k ≤43，所以k max ＝43. 答案：43 3．过点(－1，－2)的直线l 被圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0截得的弦长为 2，则直线l 的斜率为________．解析：将圆的方程化成标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1，其圆心为(1,1)，半径r ＝1.由弦长为2得弦心距为22.设直线方程为y ＋2＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k －2＝0，则|2k －3|k 2＋1＝22，化简得7k 2－24k ＋17＝0，得k ＝1或k ＝177. 答案：1或1774．圆O 1的方程为x 2＋(y ＋1)2＝4，圆O 2的圆心为O 2(2,1)．(1)若圆O 2与圆O 1外切，求圆O 2的方程；(2)若圆O 2与圆O 1交于A 、B 两点，且|AB |＝22，求圆O 2的方程．解：(1)设圆O 2的半径为r 2，∵两圆外切，∴|O 1O 2|＝r 1＋r 2，r 2＝|O 1O 2|－r 1＝2(2－1)，故圆O 2的方程是(x －2)2＋(y －1)2＝4(2－1)2.(2)设圆O 2的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝r 22，又圆O 1的方程为x 2＋(y ＋1)2＝4，此两圆的方程相减，即得两圆公共弦AB 所在直线的方程：4x ＋4y ＋r 22－8＝0. 因为圆心O 1(0，－1)到直线AB 的距离为 |r 22－12|42＝ 4－⎝⎛⎭⎫2222＝2， 解得r 22＝4或r 22＝20.故圆O 2的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4或(x －2)2＋(y －1)2＝20.。
高中数学必修二：圆的方程
2019-2020学年高一数学必修二第三节:圆的方程1．圆的定义及方程2．点与圆的位置关系点M (x 0，y 0)与圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的位置关系： (1)若M (x 0，y 0)在圆外，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＞r 2. (2)若M (x 0，y 0)在圆上，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2. (3)若M (x 0，y 0)在圆内，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＜r 2.1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)确定圆的几何要素是圆心与半径．( )(2)方程(x －a )2＋(y －b )2＝t 2(t ∈R)表示圆心为(a ，b )，半径为t 的一个圆．( ) (3)方程x 2＋y 2＋4mx －2y ＝0不一定表示圆．( )(4)若点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0外，则x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0＋F>0.()答案：(1)√ (2)× (3)× (4)√2．(2016·全国卷Ⅱ)圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1，则a ＝( )A ．－43B ．－34C.3D ．2解析：选A 因为圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心坐标为(1,4)，所以圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离d ＝|a ＋4－1|a 2＋1＝1，解得a ＝－43.3．(教材习题改编)圆C 的直径的两个端点分别是A (－1,2)，B (1,4)，则圆C 的标准方程为________．解析：设圆心C 的坐标为(a ，b )，则a ＝－1＋12＝0，b ＝2＋42＝3，故圆心C (0,3)．半径r ＝12|AB |＝12[1－(－1)]2＋(4－2)2＝ 2.∴圆C 的标准方程为x 2＋(y －3)2＝2. 答案：x 2＋(y －3)2＝24．若方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，则a 的取值范围是________． 解析：方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0可化为⎝⎛⎭⎫x ＋a 22＋(y ＋a )2＝－34a 2－a ＋1，因为该方程表示圆，所以－34a 2－a ＋1>0，即3a 2＋4a －4<0，所以－2<a <23.答案：⎝⎛⎭⎫－2，23 5．若点(1,1)在圆(x －a )2＋(y ＋a )2＝4的内部，则实数a 的取值范围是________． 解析：因为点(1,1)在圆(x －a )2＋(y ＋a )2＝4的内部，所以(1－a )2＋(1＋a )2＜4. 即a 2＜1，故－1＜a ＜1. 答案：(－1,1)考点一 求圆的方程 (重点保分型考点——师生共研)(2017·全国卷Ⅲ)已知抛物线C ：y 2＝2x ，过点(2,0)的直线l 交C 于A ，B 两点，圆M 是以线段AB 为直径的圆.❶(1)证明：坐标原点O 在圆M 上；❷(2)设圆M 过点P (4，－2)，求直线l 与圆M 的方程.❸[学审题]①由此条件可知，直线AB 的方程可设为x ＝my ＋2.如果设为点斜式，则需讨论斜率的存在性；②若坐标原点O 在圆M 上，则OA ⊥OB ； ③由此可知PA ⊥PB ，|MO |＝|MP |.解：(1)证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，l ：x ＝my ＋2.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋2，y 2＝2x可得y 2－2my －4＝0，则y 1y 2＝－4. 又x 1＝y 212，x 2＝y 222，故x 1x 2＝(y 1y 2)24＝4.因此OA 与OB 的斜率之积为y 1x 1·y 2x 2＝－44＝－1，所以OA ⊥OB .故坐标原点O 在圆M 上．(2)法一：由(1)可得y 1＋y 2＝2m ，x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)＋4＝2m 2＋4. 故圆心M 的坐标为(m 2＋2，m )， 圆M 的半径r ＝(m 2＋2)2＋m 2.由于圆M 过点P (4，－2)，因此AP ―→·BP ―→＝0， 故(x 1－4)(x 2－4)＋(y 1＋2)(y 2＋2)＝0， 即x 1x 2－4(x 1＋x 2)＋y 1y 2＋2(y 1＋y 2)＋20＝0. 由(1)可知y 1y 2＝－4，x 1x 2＝4.所以2m 2－m －1＝0，解得m ＝1或m ＝－12.当m ＝1时，直线l 的方程为x －y －2＝0，圆心M 的坐标为(3,1)，圆M 的半径为10，圆M 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝10.当m ＝－12时，直线l 的方程为2x ＋y －4＝0，圆心M 的坐标为⎝⎛⎭⎫94，－12，圆M 的半径为854，圆M 的方程为⎝⎛⎭⎫x －942＋⎝⎛⎭⎫y ＋122＝8516. 法二：由(1)可得y 1＋y 2＝2m ，x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)＋4＝2m 2＋4. 故圆心M 的坐标为(m 2＋2，m )． 又圆M 过坐标原点O 和点P (4，－2)， ∴|MO |＝|MP |，即(m 2＋2)2＋m 2＝(m 2－2)2＋(m ＋2)2， 整理得2m 2－m －1＝0， 解得m ＝1或m ＝－12.当m ＝1时，直线l 的方程为x －y －2＝0，圆心M 的坐标为(3,1)，圆M 的半径为10，圆M 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝10.当m ＝－12时，直线l 的方程为2x ＋y －4＝0，圆心M 的坐标为⎝⎛⎭⎫94，－12，圆M 的半径为854，圆M 的方程为⎝⎛⎭⎫x －942＋⎝⎛⎭⎫y ＋122＝8516. [解题师说]1．求圆的方程的2种方法(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程． (2)待定系数法：①若已知条件与圆心(a ，b )和半径r 有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a ，b ，r 的方程组，从而求出a ，b ，r 的值；②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择设圆的一般方程，依据已知条件列出关于D ，E ，F 的方程组，进而求出D ，E ，F 的值．2．确定圆心的方法求圆的标准方程，其关键是确定圆心，确定圆心的主要方法有：(1)当题目条件中出现直线与圆相切时，可利用圆心在过切点且与切线垂直的直线上来确定圆心位置；(2)当题目条件中出现直线与圆相交，可考虑圆心在弦的垂直平分线上； (3)当题目条件出现两圆相切时，可考虑切点与两圆的圆心共线．[冲关演练]1．已知圆心在直线y ＝－4x 上，且圆与直线l ：x ＋y －1＝0相切于点P (3，－2)，则该圆的方程是________________．解析：过切点且与x ＋y －1＝0垂直的直线方程为x －y －5＝0，与y ＝－4x 联立可求得圆心为(1，－4)．所以半径r ＝(3－1)2＋(－2＋4)2＝22， 故所求圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8. 答案：(x －1)2＋(y ＋4)2＝82．一个圆经过椭圆x 216＋y 24＝1的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________________．解析：由题意知a ＝4，b ＝2，上、下顶点的坐标分别为(0,2)，(0，－2)，右顶点的坐标为(4,0)．由圆心在x 轴的正半轴上知圆过点(0,2)，(0，－2)，(4,0)三点．设圆的标准方程为(x －m )2＋y 2＝r 2(0<m <4，r >0)，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋4＝r 2，(4－m )2＝r 2，解得⎩⎨⎧m ＝32，r 2＝254.所以圆的标准方程为⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝254. 答案：⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝2543．(2018·广东七校联考)一个圆与y 轴相切，圆心在直线x －3y ＝0上，且在直线y ＝x 上截得的弦长为27，则该圆的方程为________________．解析：法一：∵所求圆的圆心在直线x －3y ＝0上， ∴设所求圆的圆心为(3a ，a )， 又所求圆与y 轴相切，∴半径r ＝3|a |， 又所求圆在直线y ＝x 上截得的弦长为27， 圆心(3a ，a )到直线y ＝x 的距离d ＝|2a |2＝2|a |，∴d 2＋(7)2＝r 2，即2a 2＋7＝9a 2，∴a ＝±1.故所求圆的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9或(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝9. 法二：设所求圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2， 则圆心(a ，b )到直线y ＝x 的距离为|a －b |2，∴r 2＝(a －b )22＋7， 即2r 2＝(a －b )2＋14.① 由于所求圆与y 轴相切， ∴r 2＝a 2，②又∵所求圆的圆心在直线x －3y ＝0上， ∴a －3b ＝0，③联立①②③，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝1，r 2＝9或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝－1，r 2＝9.故所求圆的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9或(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝9. 答案：(x －3)2＋(y －1)2＝9或(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝9考点二 与圆有关的轨迹问题 (重点保分型考点——师生共研)也出现在解答题中，难度适中，属于中低档题.[典题领悟]设定点M (－3,4)，动点N 在圆x 2＋y 2＝4上运动，以OM ，ON 为两边作平行四边形MONP ，求点P 的轨迹．解：如图，设P (x ，y )，N (x 0，y 0)，则线段OP 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫x 2，y 2，线段MN 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫x 0－32，y 0＋42.因为平行四边形的对角线互相平分，所以x 2＝x 0－32，y 2＝y 0＋42，整理得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ＋3，y 0＝y －4.又点N (x ＋3，y －4)在圆x 2＋y 2＝4上， 所以(x ＋3)2＋(y －4)2＝4.所以点P 的轨迹是以(－3,4)为圆心，2为半径的圆，因为O ，M ，P 三点不共线，所以应除去两点⎝⎛⎭⎫－95，125和⎝⎛⎭⎫－215，285. [解题师说]1．掌握“3方法”2．明确“5步骤”3．关注1个易错点此类问题在解题过程中，常因忽视对特殊点的验证而造成解题失误．(如典题领悟)[冲关演练]在平面直角坐标系xOy 中，已知圆P 在x 轴上截得线段长为22，在y 轴上截得线段长为2 3.(1)求圆心P 的轨迹方程； (2)若P 点到直线y ＝x 的距离为22，求圆P 的方程． 解：(1)设P (x ，y )，圆P 的半径为r .由题设y 2＋2＝r 2，x 2＋3＝r 2，从而y 2＋2＝x 2＋3. 故P 点的轨迹方程为y 2－x 2＝1. (2)设P (x 0，y 0)．由已知得|x 0－y 0|2＝22. 又P 点在双曲线y 2－x 2＝1上，从而得⎩⎪⎨⎪⎧|x 0－y 0|＝1，y 20－x 20＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧ x 0－y 0＝1，y 20－x 20＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝－1.此时，圆P 的半径r ＝ 3.由⎩⎪⎨⎪⎧ x 0－y 0＝－1，y 20－x 20＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝1. 此时，圆P 的半径r ＝ 3.故圆P 的方程为x 2＋(y －1)2＝3或x 2＋(y ＋1)2＝3.考点三 与圆有关的最值问题 (题点多变型考点——追根溯源)角度(一) 斜率μ＝y －bx －a型最值问题 1．已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0，求yx 的最大值和最小值． 解：原方程可化为(x －2)2＋y 2＝3， 表示以(2,0)为圆心，3为半径的圆．yx的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率， 所以设yx＝k ，即y ＝kx .当直线y ＝kx 与圆相切时(如图)，斜率k 取最大值或最小值， 此时|2k －0|k 2＋1＝3， 解得k ＝± 3.所以yx 的最大值为3，最小值为－ 3. [题型技法] 形如μ＝y －bx －a型的最值问题，可转化过定点(a ，b )的动直线斜率的最值问题求解．如本题y x ＝y －0x －0表示过坐标圆点的直线的斜率．角度(二) 截距μ＝ax ＋by 型最值问题2．已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0，求y －x 的最大值和最小值． 解：y －x 可看作是直线y ＝x ＋b 在y 轴上的截距，如图所示，当直线y ＝x ＋b 与圆相切时，纵截距b 取得最大值或最小值，此时|2－0＋b |2＝3，解得b ＝－2± 6.所以y －x 的最大值为－2＋6，最小值为－2－ 6.[题型技法] 形如μ＝ax ＋by 型的最值问题，常转化为动直线截距的最值问题求解．如本题可令b ＝y －x ，即y ＝x ＋b ，从而将y －x 的最值转化为求直线y ＝x ＋b 的截距的最值问题．另外，此类问题也常用三角代换求解．由于圆的方程可整理为(x －2)2＋y 2＝3，故可令⎩⎨⎧ x －2＝3cos θ，y ＝3sin θ，即⎩⎨⎧x ＝3cos θ＋2，y ＝3sin θ，从而y －x ＝3sin θ－3cos θ－2＝6sin ⎝⎛⎭⎫θ－π4－2，进而求出y －x 的最大值和最小值．角度(三) 距离μ＝(x －a )2＋(y －b )2型最值问题3．已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0，求x 2＋y 2的最大值和最小值． 解：如图所示，x 2＋y 2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．又圆心到原点的距离为 (2－0)2＋(0－0)2＝2，所以x 2＋y 2的最大值是(2＋3)2＝7＋43，x 2＋y 2的最小值是(2－3)2＝7－4 3.[题型技法] 形如μ＝(x －a )2＋(y －b )2型的最值问题，可转化为动点(x ，y )与定点(a ，b )的距离的平方求最值．如本题中x 2＋y 2＝(x －0)2＋(y －0)2，从而转化为动点(x ，y )与坐标原点的距离的平方．[题“根”探求]看个性角度(一)是求μ＝y －bx －a型最值问题； 角度(二)是将角度一中的yx 变换为y －x ，即求μ＝ax ＋by 型最值问题； 角度(三)则是将所求问题变为求距离的平方的最值问题找共性求解与圆有关的最值问题，其通法是数形结合和转化化归思想，其流程为：[冲关演练]1．(2018·厦门模拟)已知两点A (0，－3)，B (4,0)，若点P 是圆C ：x 2＋y 2－2y ＝0上的动点，则△ABP 的面积的最小值为( )A ．6 B.112C ．8D.212解析：选B x 2＋y 2－2y ＝0可化为x 2＋(y －1)2＝1，则圆C 为以(0,1)为圆心，1为半径的圆．如图，过圆心C 向直线AB 作垂线交圆于点P ，连接BP ，AP ，这时△ABP 的面积最小，直线AB 的方程为x 4＋y－3＝1，即3x －4y －12＝0，圆心C 到直线AB 的距离d ＝165，又|AB |＝32＋42＝5，∴△ABP 的面积的最小值为12×5×⎝⎛⎭⎫165－1＝112.2．已知实数x ，y 满足(x －2)2＋(y －1)2＝1，则z ＝y ＋1x 的最大值与最小值分别为________和________．解析：由题意，得y ＋1x 表示过点A (0，－1)和圆(x －2)2＋(y －1)2＝1上的动点(x ，y )的直线的斜率．当且仅当直线与圆相切时，直线的斜率分别取得最大值和最小值．设切线方程为y ＝kx －1，即kx －y －1＝0，则|2k －2|k 2＋1＝1，解得k ＝4±73，所以z max ＝4＋73，z min ＝4－73. 答案：4＋73 4－73(一)普通高中适用作业A 级——基础小题练熟练快1．经过点(1,0)，且圆心是两直线x ＝1与x ＋y ＝2的交点的圆的方程为( ) A ．(x －1)2＋y 2＝1 B ．(x －1)2＋(y －1)2＝1 C ．x 2＋(y －1)2＝1 D ．(x －1)2＋(y －1)2＝2解析：选B 由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，x ＋y ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，即所求圆的圆心坐标为(1,1)， 又由该圆过点(1,0)，得其半径为1， 故圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1.2．已知直线l ：x ＋my ＋4＝0，若曲线x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0上存在两点P ，Q 关于直线l 对称，则m 的值为( )A ．2B ．－2C ．1D ．－1解析：选D 因为曲线x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0是圆(x ＋1)2＋(y －3)2＝9，若圆(x ＋1)2＋(y －3)2＝9上存在两点P ，Q 关于直线l 对称，则直线l ：x ＋my ＋4＝0过圆心(－1,3)，所以－1＋3m ＋4＝0，解得m ＝－1.3．若圆x 2＋y 2＋2ax －b 2＝0的半径为2，则点(a ，b )到原点的距离为( ) A ．1 B ．2 C.2D ．4解析：选B 由半径r ＝12D 2＋E 2－4F ＝124a 2＋4b 2＝2，得a 2＋b 2＝2. ∴点(a ，b )到原点的距离d ＝a 2＋b 2＝2，故选B.4．点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( ) A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1解析：选A设圆上任意一点为(x 1，y 1)，中点为(x ，y )，则⎩⎨⎧x ＝x 1＋42，y ＝y 1－22，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2x －4，y 1＝2y ＋2，代入x 2＋y 2＝4，得(2x －4)2＋(2y ＋2)2＝4，化简得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1. 5．(2018·成都高新区月考)已知圆C 经过点A (1,1)和B (2，－2)，且圆心C 在直线l ：x －y ＋1＝0上，则该圆的面积是( )A ．5πB ．13πC ．17πD ．25π解析：选D 法一：设圆心为(a ，a ＋1)，半径为r (r >0)，则圆的标准方程为(x －a )2＋(y－a －1)2＝r 2，又圆经过点A (1，1)和点B (2，－2)，故有⎩⎪⎨⎪⎧(1－a )2＋(－a )2＝r 2，(2－a )2＋(－3－a )2＝r 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，r ＝5，故该圆的面积是25π. 法二：由题意可知圆心C 在AB 的中垂线y ＋12＝13⎝⎛⎭⎫x －32，即x －3y －3＝0上．由⎩⎪⎨⎪⎧ x －3y －3＝0，x －y ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝－2，故圆心C 为(－3，－2)，半径r ＝|AC |＝5，圆的面积是25π. 6．已知圆C 的圆心是直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点，且圆C 与直线x ＋y ＋3＝0相切，则圆C 的方程为( )A ．(x ＋1)2＋y 2＝2B ．(x ＋1)2＋y 2＝8C ．(x －1)2＋y 2＝2D ．(x －1)2＋y 2＝8解析：选A 直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点(－1,0)． 根据题意，圆C 的圆心坐标为(－1,0)．因为圆与直线x ＋y ＋3＝0相切，所以半径为圆心到切线的距离，即r ＝d ＝|－1＋0＋3|12＋12＝2，则圆的方程为(x ＋1)2＋y 2＝2.7．(2018·广州综合测试)若一个圆的圆心是抛物线x 2＝4y 的焦点，且该圆与直线y ＝x ＋3相切，则该圆的标准方程是________________．解析：抛物线x 2＝4y 的焦点为(0,1)，即圆心为(0,1)，设该圆的标准方程是x 2＋(y －1)2＝r 2(r >0)，因为该圆与直线y ＝x ＋3相切，所以r ＝d ＝|－1＋3|2＝2，故该圆的标准方程是x 2＋(y －1)2＝2.答案：x 2＋(y －1)2＝28．在平面直角坐标系内，若曲线C ：x 2＋y 2＋2ax －4ay ＋5a 2－4＝0上所有的点均在第四象限内，则实数a 的取值范围为________．解析：圆C 的标准方程为(x ＋a )2＋(y －2a )2＝4，所以圆心为(－a,2a )，半径r ＝2，故由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a <0，|－a |>2，|2a |>2，解得a <－2，故实数a 的取值范围为(－∞，－2)．答案：(－∞，－2)9．(2018·德州模拟)已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点M (0，5)在圆C 上，且圆心到直线2x －y ＝0的距离为455，则圆C 的方程为________________． 解析：因为圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，设C (a,0)，且a ＞0，所以圆心到直线2x －y ＝0的距离d ＝2a 5＝455，解得a ＝2，所以圆C 的半径r ＝|CM |＝4＋5＝3，所以圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝9.答案：(x －2)2＋y 2＝910．在平面直角坐标系xOy 中，以点(1,0)为圆心且与直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________________．解析：因为直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R)恒过点(2，－1)，所以当点(2，－1)为切点时，半径最大，此时半径r ＝2，故所求圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝2.答案：(x －1)2＋y 2＝2B 级——中档题目练通抓牢1．(2018·南昌检测)圆心在y 轴上，且过点(3,1)的圆与x 轴相切，则该圆的方程为( ) A ．x 2＋y 2＋10y ＝0 B ．x 2＋y 2－10y ＝0 C ．x 2＋y 2＋10x ＝0D ．x 2＋y 2－10x ＝0解析：选B 根据题意，设圆心坐标为(0，r )，半径为r ，则32＋(r －1)2＝r 2，解得r ＝5，可得圆的方程为x 2＋y 2－10y ＝0.2．(2018·银川模拟)方程|y |－1＝1－(x －1)2表示的曲线是( ) A ．一个椭圆 B ．一个圆 C ．两个圆D ．两个半圆解析：选D 由题意知|y |－1≥0，则y ≥1或y ≤－1，当y ≥1时，原方程可化为(x －1)2＋(y －1)2＝1(y ≥1)，其表示以(1，1)为圆心、1为半径、直线y ＝1上方的半圆；当y ≤－1时，原方程可化为(x －1)2＋(y ＋1)2＝1(y ≤－1)，其表示以(1，－1)为圆心、1为半径、直线y ＝－1下方的半圆．所以方程|y |－1＝1－(x －1)2表示的曲线是两个半圆，选D.3．已知圆C 与直线y ＝x 及x －y －4＝0都相切，圆心在直线y ＝－x 上，则圆C 的方程为( )A ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝2B ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2C ．(x －1)2＋(y －1)2＝2D ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝2解析：选D 由题意知x －y ＝0 和x －y －4＝0平行，且它们之间的距离为|4|2＝22，所以r ＝ 2.又因为x ＋y ＝0与x －y ＝0，x －y －4＝0均垂直，所以由x ＋y ＝0和x －y ＝0联立得交点坐标为(0,0)，由x ＋y ＝0和x －y －4＝0联立得交点坐标为(2，－2)，所以圆心坐标为(1，－1)，圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.4．已知圆C 关于y 轴对称，经过点(1,0)且被x 轴分成两段，弧长比为1∶2，则圆C 的方程为 ________________.解析：由已知圆心在y 轴上，且被x 轴所分劣弧所对圆心角为2π3，设圆心(0，a ), 半径为r ，则r sin π3＝1，r cos π3＝|a |，解得r ＝23，即r 2＝43，|a |＝33，即a ＝±33，故圆C 的方程为x 2＋⎝⎛⎭⎫y ±332＝43. 答案：x 2＋⎝⎛⎭⎫y ±332＝435．当方程x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0所表示的圆的面积取最大值时，直线y ＝(k －1)x ＋2的倾斜角α＝________.解析：由题意可知，圆的半径r ＝12k 2＋4－4k 2＝124－3k 2≤1，当半径r 取最大值时，圆的面积最大，此时k ＝0，r ＝1，所以直线方程为y ＝－x ＋2，则有tan α＝－1，又α∈[0，π)，故α＝3π4.答案：3π46．已知以点P 为圆心的圆经过点A (－1,0)和B (3,4)，线段AB 的垂直平分线交圆P 于点C 和D ，且|CD |＝410.(1)求直线CD 的方程； (2)求圆P 的方程．解：(1)由题意知，直线AB 的斜率k ＝1，中点坐标为(1,2)．则直线CD 的方程为y －2＝－(x －1)，即x ＋y －3＝0.(2)设圆心P (a ，b )，则由点P 在CD 上得a ＋b －3＝0.① 又∵直径|CD |＝410， ∴|PA |＝210， ∴(a ＋1)2＋b 2＝40.②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－3，b ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－2.∴圆心P (－3,6)或P (5，－2)．∴圆P 的方程为(x ＋3)2＋(y －6)2＝40或(x －5)2＋(y ＋2)2＝40.7．已知过原点的动直线l 与圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相交于不同的两点A ，B . (1)求圆C 1的圆心坐标．(2)求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程．解：(1)把圆C 1的方程化为标准方程得(x －3)2＋y 2＝4， ∴圆C 1的圆心坐标为C 1(3,0)．(2)设M (x ，y )，∵A ，B 为过原点的直线l 与圆C 1的交点，且M 为AB 的中点， ∴由圆的性质知：MC 1⊥MO ，∴MC 1―→·MO ―→＝0. 又∵MC 1―→＝(3－x ，－y )，MO ―→＝(－x ，－y )， ∴x 2－3x ＋y 2＝0. 易知直线l 的斜率存在， 故设直线l 的方程为y ＝mx ， 当直线l 与圆C 1相切时， 圆心到直线l 的距离d ＝|3m －0|m 2＋1＝2， 解得m ＝±255.把相切时直线l 的方程代入圆C 1的方程化简得 9x 2－30x ＋25＝0，解得x ＝53.当直线l 经过圆C 1的圆心时，M 的坐标为(3,0)． 又∵直线l 与圆C 1交于A ，B 两点，M 为AB 的中点， ∴53<x ≤3. ∴点M 的轨迹C 的方程为x 2－3x ＋y 2＝0，其中53<x ≤3，其轨迹为一段圆弧．C 级——重难题目自主选做1．已知M (m ，n )为圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0上任意一点． (1)求m ＋2n 的最大值； (2)求n －3m ＋2的最大值和最小值． 解：(1)因为x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0的圆心C (2,7)，半径r ＝22，设m ＋2n ＝t ，将m ＋2n ＝t 看成直线方程，因为该直线与圆有公共点， 所以圆心到直线的距离d ＝|2＋2×7－t |12＋22≤22，解得16－210≤t ≤16＋210， 所以m ＋2n 的最大值为16＋210. (2)记点Q (－2,3)，因为n －3m ＋2表示直线MQ 的斜率k ，所以直线MQ 的方程为y －3＝k (x ＋2)， 即kx －y ＋2k ＋3＝0.由直线MQ 与圆C 有公共点， 得|2k －7＋2k ＋3|1＋k2≤2 2. 可得2－3≤k ≤2＋3，所以n －3m ＋2的最大值为2＋3，最小值为2－ 3.2．已知圆C 的方程为x 2＋(y －4)2＝1，直线l 的方程为2x －y ＝0，点P 在直线l 上，过点P 作圆C 的切线PA ，PB ，切点为A ，B .(1)若∠APB ＝60°，求点P 的坐标；(2)求证：经过A ，P ，C (其中点C 为圆C 的圆心)三点的圆必经过定点，并求出所有定点的坐标．解：(1)由条件可得圆C 的圆心坐标为(0,4)，|PC |＝2， 设P (a ，2a )，则a 2＋(2a －4)2＝2，解得a ＝2或a ＝65，所以点P 的坐标为(2,4)或⎝⎛⎭⎫65，125.(2)证明：设P (b,2b )，过点A ，P ，C 的圆即是以PC 为直径的圆，其方程为x (x －b )＋(y －4)(y －2b )＝0，整理得x 2＋y 2－bx －4y －2by ＋8b ＝0， 即(x 2＋y 2－4y )－b (x ＋2y －8)＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2－4y ＝0，x ＋2y －8＝0解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝4或⎩⎨⎧x ＝85，y ＝165，所以该圆必经过定点(0,4)和⎝⎛⎭⎫85，165.(二)重点高中适用作业A 级——保分题目巧做快做1．以M (1,0)为圆心，且与直线x －y ＋3＝0相切的圆的方程是( ) A ．(x －1)2＋y 2＝8 B ．(x ＋1)2＋y 2＝8 C ．(x －1)2＋y 2＝16D ．(x ＋1)2＋y 2＝16解析：选A 因为所求圆与直线x －y ＋3＝0相切，所以圆心M (1,0)到直线x －y ＋3＝0的距离即为该圆的半径r ，即r ＝|1－0＋3|2＝2 2. 所以所求圆的方程为(x －1)2＋y 2＝8.2．若圆C 的半径为1，圆心C 与点(2,0)关于点(1,0)对称，则圆C 的标准方程为( ) A ．x 2＋y 2＝1 B ．(x －3)2＋y 2＝1 C ．(x －1)2＋y 2＝1D ．x 2＋(y －3)2＝1解析：选A 因为圆心C 与点(2,0)关于点(1,0)对称，故由中点坐标公式可得C (0,0)，所以所求圆的标准方程为x 2＋y 2＝1.3．(2018·兰州模拟)若直线ax ＋by ＋1＝0(a >0，b >0)把圆(x ＋4)2＋(y ＋1)2＝16分成面积相等的两部分，则12a＋2b 的最小值为( )A ．10B ．8C ．5D ．4解析：选B ∵圆(x ＋4)2＋(y ＋1)2＝16的圆心坐标为(－4，－1)，直线ax ＋by ＋1＝0把圆分成面积相等的两部分，∴该直线过点(－4，－1)，∴－4a －b ＋1＝0，即4a ＋b ＝1，∴12a ＋2b ＝⎝⎛⎭⎫12a ＋2b (4a ＋b )＝4＋8a b ＋b 2a≥4＋28a b ×b 2a ＝8，当且仅当a ＝18，b ＝12时取“＝”，故选B.4．(2018·湖北七市(州)联考)关于曲线C ：x 2＋y 4＝1，给出下列四个命题： ①曲线C 有两条对称轴，一个对称中心；②曲线C 上的点到原点距离的最小值为1； ③曲线C 的长度l 满足l >42；④曲线C 所围成图形的面积S 满足π<S <4. 上述命题中，真命题的个数是( ) A ．4 B ．3 C ．2D ．1解析：选A ①将(x ，－y )，(－x ，y )，(－x ，－y )代入，方程不变，确定曲线C 关于x 轴，y 轴对称，关于原点对称，故①正确．②x 2＋y 4＝1⇒0≤x 2≤1,0≤y 4≤1，故x 2＋y 2≥x 2＋y 2·y 2＝x 2＋y 4＝1，即曲线C 上的点到原点的距离为x 2＋y 2≥1，故②正确；③由②知，x 2＋y 4＝1的图象位于单位圆x 2＋y 2＝1和边长为2的正方形之间，如图所示，其每一段弧长均大于2，所以l >42，故③正确；④由③知，π×12<S <2×2，即π<S <4，故④正确．选A.5．已知圆C 与直线y ＝x 及x －y －4＝0都相切，圆心在直线y ＝－x 上，则圆C 的方程为( )A ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝2B ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2C ．(x －1)2＋(y －1)2＝2D ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝2解析：选D 由题意知x －y ＝0 和x －y －4＝0平行，且它们之间的距离为|4|2＝22，所以r ＝ 2.又因为x ＋y ＝0与x －y ＝0，x －y －4＝0均垂直，所以由x ＋y ＝0和x －y ＝0联立得交点坐标为(0,0)，由x ＋y ＝0和x －y －4＝0联立得交点坐标为(2，－2)，所以圆心坐标为(1，－1)，圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.6．圆(x －2)2＋y 2＝4关于直线y ＝33x 对称的圆的方程是________． 解析：圆与圆关于直线对称，则圆的半径相同，只需圆心关于直线对称即可．设所求圆的圆心坐标为(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧b －0a －2×33＝－1，b ＋02＝33×a ＋22，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝3，所以圆(x －2)2＋y 2＝4的圆心关于直线y ＝33x 对称的点的坐标为(1，3)，从而所求圆的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝4. 答案：(x －1)2＋(y －3)2＝47．在平面直角坐标系内，若曲线C ：x 2＋y 2＋2ax －4ay ＋5a 2－4＝0上所有的点均在第四象限内，则实数a 的取值范围为________．解析：圆C 的标准方程为(x ＋a )2＋(y －2a )2＝4，所以圆心为(－a,2a )，半径r ＝2，故由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a <0，|－a |>2，|2a |>2，解得a <－2，故实数a 的取值范围为(－∞，－2)．答案：(－∞，－2)8．已知平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋2y －4≤0恰好被面积最小的圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2及其内部所覆盖，则圆C 的方程为____________________．解析：由题意知，此平面区域表示的是以O (0,0)，P (4,0)，Q (0,2)所构成的三角形及其内部，所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆．∵△OPQ 为直角三角形，∴圆心为斜边PQ 的中点(2,1)，半径r ＝|PQ |2＝5， 因此圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5. 答案：(x －2)2＋(y －1)2＝59．已知过原点的动直线l 与圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相交于不同的两点A ，B . (1)求圆C 1的圆心坐标．(2)求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程．解：(1)把圆C 1的方程化为标准方程得(x －3)2＋y 2＝4， ∴圆C 1的圆心坐标为C 1(3,0)．(2)设M (x ，y )，∵A ，B 为过原点的直线l 与圆C 1的交点，且M 为AB 的中点， ∴由圆的性质知：MC 1⊥MO ，∴MC 1―→·MO ―→＝0. 又∵MC 1―→＝(3－x ，－y )，MO ―→＝(－x ，－y )， ∴x 2－3x ＋y 2＝0. 易知直线l 的斜率存在， 故设直线l 的方程为y ＝mx ， 当直线l 与圆C 1相切时， 圆心到直线l 的距离d ＝|3m －0|m 2＋1＝2， 解得m ＝±255.把相切时直线l 的方程代入圆C 1的方程化简得 9x 2－30x ＋25＝0，解得x ＝53.当直线l 经过圆C 1的圆心时，M 的坐标为(3,0)． 又∵直线l 与圆C 1交于A ，B 两点，M 为AB 的中点， ∴53<x ≤3. ∴点M 的轨迹C 的方程为x 2－3x ＋y 2＝0，其中53<x ≤3，其轨迹为一段圆弧．10．已知M (m ，n )为圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0上任意一点． (1)求m ＋2n 的最大值； (2)求n －3m ＋2的最大值和最小值． 解：(1)因为x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0的圆心C (2,7)，半径r ＝22，设m ＋2n ＝t ，将m ＋2n ＝t 看成直线方程，因为该直线与圆有公共点， 所以圆心到直线的距离d ＝|2＋2×7－t |12＋22≤22，解得16－210≤t ≤16＋210， 所以m ＋2n 的最大值为16＋210. (2)记点Q (－2,3)，因为n －3m ＋2表示直线MQ 的斜率k ，所以直线MQ 的方程为y －3＝k (x ＋2)， 即kx －y ＋2k ＋3＝0.由直线MQ 与圆C 有公共点， 得|2k －7＋2k ＋3|1＋k 2≤2 2.可得2－3≤k ≤2＋3，所以n －3m ＋2的最大值为2＋3，最小值为2－ 3.B 级——拔高题目稳做准做1．(2018·银川模拟)方程|y |－1＝1－(x －1)2表示的曲线是( ) A ．一个椭圆 B ．一个圆 C ．两个圆D ．两个半圆解析：选D 由题意知|y |－1≥0，则y ≥1或y ≤－1，当y ≥1时，原方程可化为(x －1)2＋(y －1)2＝1(y ≥1)，其表示以(1，1)为圆心、1为半径、直线y ＝1上方的半圆；当y ≤－1时，原方程可化为(x －1)2＋(y ＋1)2＝1(y ≤－1)，其表示以(1，－1)为圆心、1为半径、直线y ＝－1下方的半圆．所以方程|y |－1＝1－(x －1)2表示的曲线是两个半圆，选D.2．已知圆C 关于y 轴对称，经过点(1,0)且被x 轴分成两段，弧长比为1∶2，则圆C 的方程为 ________________.解析：由已知圆心在y 轴上，且被x 轴所分劣弧所对圆心角为2π3，设圆心(0，a ), 半径为r ，则r sin π3＝1，r cos π3＝|a |，解得r ＝23，即r 2＝43，|a |＝33，即a ＝±33，故圆C 的方程为x 2＋⎝⎛⎭⎫y ±332＝43. 答案：x 2＋⎝⎛⎭⎫y ±332＝433．当方程x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0所表示的圆的面积取最大值时，直线y ＝(k －1)x ＋2的倾斜角α＝________.解析：由题意可知，圆的半径r ＝12k 2＋4－4k 2＝124－3k 2≤1，当半径r 取最大值时，圆的面积最大，此时k ＝0，r ＝1，所以直线方程为y ＝－x ＋2，则有tan α＝－1，又α∈[0，π)，故α＝3π4.答案：3π44．已知圆C 和直线x －6y －10＝0相切于点(4，－1)，且经过点(9,6)，则圆C 的方程为________________．解析：因为圆C 和直线x －6y －10＝0相切于点(4，－1)， 所以过点(4，－1)的直径所在直线的斜率为－6， 其方程为y ＋1＝－6(x －4)， 即y ＝－6x ＋23.又因为圆心在以(4，－1)，(9,6)两点为端点的线段的中垂线y －52＝－57⎝⎛⎭⎫x －132上，即5x ＋7y －50＝0上，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－6x ＋23，5x ＋7y －50＝0解得圆心坐标为(3,5)， 所以半径为(9－3)2＋(6－5)2＝37， 故所求圆的方程为(x －3)2＋(y －5)2＝37. 答案：(x －3)2＋(y －5)2＝375．已知圆C 过点P (1,1)，且与圆M ：(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝r 2(r ＞0)关于直线x ＋y ＋2＝0对称．(1)求圆C 的方程；(2)设Q 为圆C 上的一个动点，求PQ ―→·MQ ―→的最小值．解：(1)设圆心C (a ，b )，由已知得M (－2，－2)，则⎩⎪⎨⎪⎧ a －22＋b －22＋2＝0，b ＋2a ＋2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝0，则圆C 的方程为x 2＋y 2＝r 2，将点P 的坐标代入得r 2＝2，故圆C 的方程为x 2＋y 2＝2.(2)设Q (x ，y )，则x 2＋y 2＝2，PQ ―→·MQ ―→＝(x －1，y －1)·(x ＋2，y ＋2)＝x 2＋y 2＋x ＋y －4＝x ＋y －2.令x ＝2cos θ，y ＝2sin θ，所以PQ ―→·MQ ―→＝x ＋y －2 ＝2(sin θ＋cos θ)－2＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4－2， 又⎣⎡⎦⎤sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4min ＝－1， 所以PQ ―→·MQ ―→的最小值为－4.6．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆心在第二象限，半径为2 2 的圆C 与直线y ＝x 相切于坐标原点O .(1)求圆C 的方程；(2)试探求C 上是否存在异于原点的点Q ，使Q 到定点F (4,0) 的距离等于线段OF 的长？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)设圆C 的圆心为C (a ，b )，则圆C 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝8.因为直线y ＝x 与圆C 相切于原点O ，所以O 点在圆C 上，且OC 垂直于直线y ＝x ，于是有⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2＝8，b a ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝2. 由于点C (a ，b )在第二象限，故a <0，b >0，所以圆C 的方程为(x ＋2)2＋(y －2)2＝8.(2)假设存在点Q 符合要求，设Q (x ，y )，则有⎩⎪⎨⎪⎧(x －4)2＋y 2＝16，(x ＋2)2＋(y －2)2＝8，解得x ＝45或x ＝0(舍去)． 所以存在点Q ⎝⎛⎭⎫45，125，使Q 到定点F (4,0)的距离等于线段OF 的长．。
高中数学：第四章 圆与方程
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第四章 圆与方程
例 2 如图所示，在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 C1：(x＋ 3)2＋(y－1)2＝4 和圆 C2：(x－4)2＋(y－5)2＝4.
(1)若直线 l 过点 A(4,0)，且被圆 C1 截得的弦长为 2 3，求 直线 l 的方程；
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第四章 圆与方程
(2)设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直 的直线l1和l2，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线l1被圆C1截 得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，试求所有满足条件 的点P的坐标．
解 (1)由于直线 x＝4 与圆 C1 不相交， 所以直线 l 的斜率存 在．设直线 l 的方程为 y＝k(x－4)，圆 C1 的圆心到直线 l 的距离为 d，因为直线 l 被圆 C1 截得的弦长为 2 3，所以 d ＝ 22－ 32 ＝ 1. 由 点 到 直 线 的 距 离 公 式 得 d ＝
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第四章 圆与方程
(3)求圆的方程常用待定系数法，此时要善于根据已知条件 的特征来选择圆的方程．如果已知圆心或半径长，或圆心 到直线的距离，通常可用圆的标准方程；如果已知圆经过 某些点，通常可用圆的一般方程． 2．点与圆的位置关系 (1)点在圆上 ①如果一个点的坐标满足圆的方程，那么该点在圆上． ②如果点到圆心的距离等于半径，那么点在圆上．
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第四章 圆与方程
跟踪演练 1 已知圆经过点 A(2，－1)，圆心在直线 2x＋y ＝0 上且与直线 x－y－1＝0 相切，求圆的方程．
解 法一 设圆的方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
高中数学 圆的方程
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一
二
三
这类题目的关键是求圆心和半径,知道圆心和半径后, 可直接套用圆的标准方程.求解圆的标准方程主要用待定系数法, 由题目给出的已知条件实现和参数a,b,r的联系,从而得出方程并求 出a,b,r,但此方法的计算量较大.
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一
二
三
二、求圆的一般方程 求经过A(4,2),B(-1,3)两点,且在两坐标轴上的四个截距之和为2的 圆的方程. (导学号51800086) 思路分析：由条件不易直接求得圆心和半径,故可设圆的一般方 程,用待定系数法解.
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一
二
三
解：设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0. 令y=0,得x2+Dx+F=0, ∴x1+x2=-D. 令x=0,得y2+Ey+F=0, ∴y1+y2=-E. 由题知-D-E=2, 即D+E+2=0.① 又∵圆过A,B两点, ∴16+4+4D+2E+F=0,② 1+9-D+3E+F=0.③ 解①②③组成的方程组得D=-2,E=0,F=-12. ∴所求圆的方程为x2+y2-2x-12=0.
∴a=2,b=-1,r= (0-2)2 + (0 + 1)2 = 5,
∴圆的方程为(x-2)2+(y+1)2=5.
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一
二
三
1.(2016吉林长春外国语学校高二期中)已知两点P1(2,7),P2(6,5), 则以线段P1P2为直径的圆的标准方程是( ) A.(x-4)2+(y-6)2=5 B.(x-4)2+(y-6)2=10 C.(x-2)2+(y-1)2=5 D.(x-6)2+(y-4)2=25 解析：设线段P1P2的中点为M, ∵P1(2,7),P2(6,5),∴圆心M(4,6).
圆与方程知识点
圆与方程知识点GE GROUP system office room 【GEIHUA16H-GEIHUA GEIHUA8Q8-关于圆与方程的知识点整理一、标准方程:()()222x a y b r -+-=二、一般方程：()2222040x y Dx Ey F D E F ++++=+-> 1.220Ax By Cxy Dx Ey F +++++=表示圆方程则2.求圆的一般方程一般可采用待定系数法。
3.2240D E F +->常可用来求有关参数的范围三、点与圆的位置关系1.判断方法：点到圆心的距离d 与半径r 的大小：d r <⇒点在圆内；d r =⇒点在圆上；d r >⇒点在圆外2.涉及最值：（1）圆外一点B ，圆上一动点P ，讨论PB 的最值 （2）圆内一点A ，圆上一动点P ，讨论PA 的最值四、直线与圆的位置关系1.判断方法（d 为圆心到直线的距离）：（1）相离⇔没有公共点⇔0d r ∆<⇔>；（2）相切⇔只有一个公共点⇔0d r ∆=⇔=；（3）相交⇔有两个公共点⇔0d r ∆>⇔<。
这一知识点可以出如此题型：告诉你直线与圆相交让你求有关参数的范围. 2.直线与圆相切（1）知识要点：①基本图形②主要元素：切点坐标、切线方程、切线长等问题：直线l 与圆C 相切意味着什么圆心C 到直线l 的距离恰好等于半径r （2）常见题型——求过定点的切线方程①切线条数：点在圆外——两条；点在圆上……一条；点在圆内……无 ②求切线方程的方法及注意点．．．i ）点在圆外：如定点()00,P x y ，圆：()()222x a y b r -+-=，[()()22200x a y b r -+->] 第一步：设切线l 方程()00y y k x x -=-；第二步：通过d r =k ⇒，从而得到切线方程特别注意：以上解题步骤仅对k 存在有效，当k 不存在时，应补上……千万不要漏了！如：过点()1,1P 作圆2246120x y x y +--+=的切线，求切线方程.ii ）点在圆上：（1）若点()00x y ，在圆222x y r +=上，则切线方程为200x x y y r += （2）若点()00x y ，在圆()()222x a y b r -+-=上，则切线方程为()()()()200x a x a y b y b r --+--=由上述分析：过一定点求某圆的切线方程，非常重要的第一步——判断点与圆的位置关系，得出切线的条数.③求切线长：利用基本图形，222AP CP r AP =-⇒=求切点坐标：利用两个关系列出两个方程1AC APAC rk k ⎧=⎨⋅=-⎩3.直线与圆相交（1）求弦长及弦长的应用问题：垂径定理．．．．及勾股定理——常用弦长公式：12l x =-=（2）判断直线与圆相交的一种特殊方法：直线过定点，而定点恰好在圆内. （3）关于点的个数问题例：若圆()()22235x y r -++=上有且仅有两个点到直线4320x y --=的距离为1，则半径r 的取值范围是_________________. 答案：()4,64.直线与圆相离：会对直线与圆相离作出判断（特别是涉及一些参数时） 五、对称问题1.若圆()222120x y m x my m ++-+-=，关于直线10x y -+=，则实数m 的值为____. 答案：3（注意：1m =-时，2240D E F +-<，故舍去）变式：已知点A 是圆C :22450x y ax y +++-=上任意一点，A 点关于直线210x y +-=的对称点在圆C 上，则实数a =_________.2.圆()()22131x y -+-=关于直线0x y +=对称的曲线方程是________________.变式：已知圆1C ：()()22421x y -+-=与圆2C ：()()22241x y -+-=关于直线l 对称，则直线l 的方程为_______________.3.圆()()22311x y -++=关于点()2,3对称的曲线方程是__________________. 4.已知直线l ：y x b =+与圆C ：221x y +=，问：是否存在实数b 使自()3,3A 发出的光线被直线l 反射后与圆C 相切于点247,2525B ⎛⎫⎪⎝⎭若存在，求出b 的值；若不存在，试说明理由.六、最值问题 方法主要有三种：（1）数形结合；（2）代换；（3）参数方程1.已知实数x ，y 满足方程22410x y x +-+=，求： （1）5yx -的最大值和最小值；——看作斜率 （2）y x -的最小值；——截距（线性规划）（3）22x y +的最大值和最小值.——两点间的距离的平方2.已知AOB ∆中，3OB =，4OA =，5AB =，点P 是AOB ∆内切圆上一点，求以PA ，PB ，PO 为直径的三个圆面积之和的最大值和最小值. 数形结合和参数方程两种方法均可！3.设(),P x y 为圆()2211x y +-=上的任一点，欲使不等式0x y c ++≥恒成立，则c 的取值范围是____________. 答案：1c ≥（数形结合和参数方程两种方法均可！）七、圆的参数方程()222cos 0sin x r x y r r y r θθ=⎧+=>⇔⎨=⎩，θ为参数 ；()()()222cos 0sin x a r x a y b r r y b r θθ=+⎧-+-=>⇔⎨=+⎩，θ为参数 八、相关应用1.若直线240mx ny +-=（m ，n R ∈），始终平分圆224240x y x y +---=的周长，则m n ⋅的取值范围是______________.2.已知圆C ：222440x y x y +-+-=，问：是否存在斜率为1的直线l ，使l 被圆C 截得的弦为AB ，以AB 为直径的圆经过原点，若存在，写出直线l 的方程，若不存在，说明理由.提示：12120x x y y +=或弦长公式12d x =-. 答案：10x y -+=或40x y --= 3.已知圆C ：()()22341x y -+-=，点()0,1A ，()0,1B ，设P 点是圆C 上的动点，22d PA PB =+，求d 的最值及对应的P 点坐标.4.已知圆C ：()()221225x y -+-=，直线l ：()()211740m x m y m +++--=（m R ∈） （1）证明：不论m 取什么值，直线l 与圆C 均有两个交点； （2）求其中弦长最短的直线方程.5.若直线y x k =-+与曲线x =k 的取值范围.6.已知圆2260x y x y m ++-+=与直线230x y +-=交于P ，Q 两点，O 为坐标原点，问：是否存在实数m ，使OP OQ ⊥，若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由.九、圆与圆的位置关系1.判断方法：几何法（d 为圆心距）：（1）12d r r >+⇔外离 （2）12d r r =+⇔外切 （3）1212r r d r r -<<+⇔相交 （4）12d r r =-⇔内切 （5）12d r r <-⇔内含2.两圆公共弦所在直线方程圆1C ：221110x y D x E y F ++++=，圆2C ：222220x y D x E y F ++++=， 则()()()1212120D D x E E y F F -+-+-=为两相交圆公共弦方程.补充说明：若1C 与2C 相切，则表示其中一条公切线方程；若1C 与2C 相离，则表示连心线的中垂线方程. 3圆系问题（1）过两圆1C ：221110x y D x E y F ++++=和2C ：222220x y D x E y F ++++=交点的圆系方程为()22221112220x y D x E y F x y D x E y F λ+++++++++=（1λ≠-）说明：1）上述圆系不包括2C ；2）当1λ=-时，表示过两圆交点的直线方程（公共弦）（2）过直线0Ax By C ++=与圆220x y Dx Ey F ++++=交点的圆系方程()220x y Dx Ey F Ax By C λ+++++++=（3）两圆公切线的条数问题：①相内切时，有一条公切线；②相外切时，有三条公切线；③相交时，有两条公切线；④相离时，有四条公切线 十、轨迹方程（1）定义法（圆的定义）（2）直接法：通过已知条件直接得出某种等量关系，利用这种等量关系，建立起动点坐标的关系式…轨迹方程.例：过圆221x y +=外一点()2,0A 作圆的割线，求割线被圆截得的弦的中点的轨迹方程.分析：222OP AP OA +=（3）相关点法（平移转换法）：一点随另一点的变动而变动特点为：主动点一定在某一已知的方程所表示的（固定）轨迹上运动.例1.如图，已知定点()2,0A ，点Q 是圆221x y +=上的动点，AOQ ∠的平分线交AQ 于M ，当Q 点在圆上移动时，求动点M 的轨迹方程.分析：角平分线定理和定比分点公式.例2.已知圆O ：229x y +=，点()3,0A ，B 、C 是圆O 上的两个动点，A 、B 、C 呈逆时针方向排列，且3BAC π∠=，求ABC ∆的重心G 的轨迹方程.法1：3BAC π∠=，BC ∴为定长且等于33设(),G x y ，则33333A B C B C A B C BC x x x x x x y y y y y y ++++⎧==⎪⎪⎨+++⎪==⎪⎩取BC 的中点为33,24E x ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭，333,2E y ⎛⎤∈- ⎥ ⎝⎦222OE CE OC +=，2294E E x y ∴+=（1）2222B C E B C E B C E B C Ex x x x x x y y y y y y +⎧=⎪+=⎧⎪⇒⎨⎨+=+⎩⎪=⎪⎩，3233322323E E E E x x x x y y yy +-⎧⎧==⎪⎪⎪⎪∴⇒⎨⎨⎪⎪==⎪⎪⎩⎩故由（1）得：()2222333933110,,,12242x y x y x y ⎛⎤-⎛⎫⎛⎫⎡⎫+=⇒-+=∈∈- ⎥ ⎪ ⎪⎪⎢ ⎝⎭⎝⎭⎣⎭⎝⎦法2：（参数法）设()3cos ,3sin B θθ，由223BOC BAC π∠=∠=，则 设(),G x y ，则4,33ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，由()()()22112-+得：()2233110,,,12x y x y ⎛⎤⎡⎫-+=∈∈- ⎥⎪⎢ ⎣⎭⎝⎦参数法的本质是将动点坐标(),x y 中的x 和y 都用第三个变量（即参数）表示，通过消参．．得到动点轨迹方程，通过参数的范围得出x ，y 的范围.（4）求轨迹方程常用到得知识①重心(),G x y ，33A B C A B C x x x x y y y y ++⎧=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩②中点(),P x y ，121222x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩③内角平分线定理：BD ABCD AC=④定比分点公式：AMMB λ=，则1AB M x x x λλ+=+，1A B M y y y λλ+=+ ⑤韦达定理.高中数学圆的方程典型例题类型一：圆的方程例1 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关系．圆的方程为20)1(22=++y x ；点P 在圆外．例2 求半径为4，与圆042422=---+y x y x 相切，且和直线0=y 相切的圆的方程．圆的方程为2224)4()622(=++--y x ，或2224)4()622(=+++-y x ． 例3 求经过点)5,0(A ，且与直线02=-y x 和02=+y x 都相切的圆的方程．分析：欲确定圆的方程．需确定圆心坐标与半径，由于所求圆过定点A ，故只需确定圆心坐标．又圆与两已知直线相切，故圆心必在它们的交角的平分线上．解：∵圆和直线02=-y x 与02=+y x 相切，∴圆心C 在这两条直线的交角平分线上，又圆心到两直线02=-y x 和02=+y x 的距离相等．∴5252y x y x +=-．∴两直线交角的平分线方程是03=+y x 或03=-y x ． 又∵圆过点)5,0(A ，∴圆心C 只能在直线03=-y x 上． 设圆心)3,(t t C∵C 到直线02=+y x 的距离等于AC ，∴22)53(532-+=+t t t t ．化简整理得0562=+-t t ． 解得：1=t 或5=t∴圆心是)3,1(，半径为5或圆心是)15,5(，半径为55． ∴所求圆的方程为5)3()1(22=-+-y x 或125)15()5(22=-+-y x ．说明：本题解决的关键是分析得到圆心在已知两直线的交角平分线上，从而确定圆心坐标得到圆的方程，这是过定点且与两已知直线相切的圆的方程的常规求法．例4、 设圆满足：(1)截y 轴所得弦长为2；(2)被x 轴分成两段弧，其弧长的比为1:3，在满足条件(1)(2)的所有圆中，求圆心到直线02=-y x l ：的距离最小的圆的方程．分析：要求圆的方程，只须利用条件求出圆心坐标和半径，便可求得圆的标准方程．满足两个条件的圆有无数个，其圆心的集合可看作动点的轨迹，若能求出这轨迹的方程，便可利用点到直线的距离公式，通过求最小值的方法找到符合题意的圆的圆心坐标，进而确定圆的半径，求出圆的方程．解法一：设圆心为),(b a P ，半径为r ． 则P 到x 轴、y 轴的距离分别为b 和a ．由题设知：圆截x 轴所得劣弧所对的圆心角为︒90，故圆截x 轴所得弦长为r 2．∴222b r =又圆截y 轴所得弦长为2．∴122+=a r ．又∵),(b a P 到直线02=-y x 的距离为∴2225b a d -=当且仅当b a =时取“=”号，此时55min =d ． 这时有⎩⎨⎧=-=1222a b ba∴⎩⎨⎧==11b a 或⎩⎨⎧-=-=11b a 又2222==b r故所求圆的方程为2)1()1(22=-+-y x 或2)1()1(22=+++y x 解法二：同解法一，得52b a d -=．∴d b a 52±=-． ∴2225544d bd b a +±=． 将1222-=b a 代入上式得：01554222=++±d bd b ．上述方程有实根，故0)15(82≥-=∆d ，∴55≥d ． 将55=d 代入方程得1±=b ． 又1222+=a b ∴1±=a ． 由12=-b a 知a 、b 同号．故所求圆的方程为2)1()1(22=-+-y x 或2)1()1(22=+++y x ．说明：本题是求点到直线距离最小时的圆的方程，若变换为求面积最小呢 类型二：切线方程、切点弦方程、公共弦方程例5 已知圆422=+y x O ：，求过点()42，P 与圆O 相切的切线． 解：∵点()42，P 不在圆O 上， ∴切线PT 的直线方程可设为()42+-=x k y根据r d =∴ 21422=++-kk解得 43=k 所以 ()4243+-=x y 即 01043=+-y x因为过圆外一点作圆得切线应该有两条，可见另一条直线的斜率不存在．易求另一条切线为2=x ．说明：上述解题过程容易漏解斜率不存在的情况，要注意补回漏掉的解． 本题还有其他解法，例如把所设的切线方程代入圆方程，用判别式等于0解决（也要注意漏解）．还可以运用200r y y x x =+，求出切点坐标0x 、0y 的值来解决，此时没有漏解．例6 两圆0111221=++++F y E x D y x C ：与0222222=++++F y E x D y x C ：相交于A 、B 两点，求它们的公共弦AB 所在直线的方程．分析：首先求A 、B 两点的坐标，再用两点式求直线AB 的方程，但是求两圆交点坐标的过程太繁．为了避免求交点，可以采用“设而不求”的技巧．解：设两圆1C 、2C 的任一交点坐标为),(00y x ，则有：0101012020=++++F y E x D y x ①0202022020=++++F y E x D y x ②①－②得：0)()(21021021=-+-+-F F y E E x D D ．∵A 、B 的坐标满足方程0)()(212121=-+-+-F F y E E x D D ．∴方程0)()(212121=-+-+-F F y E E x D D 是过A 、B 两点的直线方程． 又过A 、B 两点的直线是唯一的．∴两圆1C 、2C 的公共弦AB 所在直线的方程为0)()(212121=-+-+-F F y E E x D D ． 说明：上述解法中，巧妙地避开了求A 、B 两点的坐标，虽然设出了它们的坐标，但并没有去求它，而是利用曲线与方程的概念达到了目标．从解题的角度上说，这是一种“设而不求”的技巧，从知识内容的角度上说，还体现了对曲线与方程的关系的深刻理解以及对直线方程是一次方程的本质认识．它的应用很广泛． 例7、过圆122=+y x 外一点)3,2(M ，作这个圆的两条切线MA 、MB ，切点分别是A 、B ，求直线AB 的方程。
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高中数学圆与方程知识点分析1. 圆的方程：（1）标准方程：222()()x a y b r -+-=（圆心为A(a,b),半径为r ）（2）圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x （0422>-+F E D ）圆心（-2D ，-2E ）半径F E D 42122-+ 2. 点与圆的位置关系的判断方法：根据点与圆心的距离d 与r 在大小关系判断 3. 直线与圆的位置关系判断方法（1）几何法：由圆心到直线的距离和圆的半径的大小关系来判断。
d=r 为相切，d>r 为相交，d<r 为相离。
适用于已知直线和圆的方程判断二者关系，也适用于其中有参数，对参数谈论的问题。
利用这种方法，可以简单的算出直线与圆相交时的相交弦的长，以及当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最远、最近距离等。
（2）代数法：由直线与圆的方程联立得到关于x 或y 的一元二次方程,然后由判别式△来判断。
△=0为相切，△>0为相交，△<0为相离。
利用这种方法，可以很简单的求出直线与圆有交点时的交点坐标。
4．圆与圆的位置关系判断方法（1）几何法：两圆的连心线长为l ，则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点：1）当21r r l +>时，圆1C 与圆2C 相离；2）当21r r l +=时，圆1C 与圆2C 外切；3）当<-||21r r 21r r l +<时，圆1C 与圆2C 相交；4）当||21r r l -=时，圆1C 与圆2C 内切； 5）当||21r r l -<时，圆1C 与圆2C 内含；（2）代数法：由两圆的方程联立得到关于x 或y 的一元二次方程, 然后由判别式△来判断。
△=0为外切或内切，△>0为相交，△<0为相离或内含。
若两圆相交，两圆方程相减得公共弦所在直线方程。
5. 直线与圆的方程的应用：利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系题型一 求圆的方程例1.求过点A( 2,0)，圆心在(3, 2)圆的方程。
变式1求过三点A （0，0），B （1，1），C （4，2）的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标。
解：设所求的圆的方程为：022=++++F Ey Dx y x （也可设圆的标准方程求）∵(0,0),(11A B φ，）,C(4,2)在圆上，所以它们的坐标是方程的解.把它们的坐标代入上面的方程，可以得到关于F E D ,,的三元一次方程组.即⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=02024020F E D F E D F解此方程组，可得：0,6,8==-=F E D∴所求圆的方程为：06822=+-+y x y x542122=-+=F E D r ；32,42-=-=-F D得圆心坐标为（4，-3）.变式2（01年全国卷.文）过点A (1,-1)、B (-1,1)且圆心在直线x ＋y －2＝0上的圆的方程是（ C ）22.(3)(1)4A x y -++= 22.(3)(1)4B x y ++-= 22.(1)(1)4C x y -+-= 22.(1)(1)4D x y +++= 变式3.求圆心在直线270x y --=上的圆C 与y 轴交于两点A(0,-4), B(0,-2)圆的方程。
解：圆心在线段AB 的垂直平分线y =-3上，代入直线2x-y-7=0 得x=2变式4．求与x 轴相切，圆心在直线3x-y=0上，且被直线y=x 截得的弦长等于27的圆的方程.变式5．求圆22412390x y x y ++-+=关于直线3x-4y+5=0 的对称圆方程.题型二 求轨迹方程与切线方程例1.一曲线是与定点O(0,0)，A(3,0)距离的比是12的点的轨迹，求此曲线的轨迹方程变式1.已知点P （10，0），Q 为圆2216x y +=上一点动点，当Q 在圆上运动时，求PQ 的中点M 的轨迹方程。
解：设M(x,y)为所求轨迹上任意一点Q(x 0,y 0). 因为M 是PQ 的中点,所以⎪⎩⎪⎨⎧=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=.2.102,20,2100000y y x x y y x x 即 (*)又因为Q(x 0,y 0)在圆x 2+y 2=16上,所以x 02+y 02=16.将(*)代入得 (2x-10)2+(2y)2=16.故所求的轨迹方程为(x-5)2+y 2=4.变式2.由动点P 向221x y +=引两条切线PA 、PB,切点分别为A 、B, 60APB ∠=,求动点P 的轨迹方程. 解：设P(x,y)因为60APB ∠=,所以30OPA ∠=又因为OA AP ⊥，所以22OP OA ==，即222x y +=化简得224x y +=故所求的轨迹方程为224x y +=例2. 已知圆的方程是x 2+y 2=r 2,求经过圆上一点M(x 0,y 0)的切线方程.解:设P(x,y)为所求切线上的任意一点,当点M 不在坐标轴上时,由OM ⊥MP 得k OM ·k MP =-1,即0x y ·x x y y --00=-1,整理得x 0x+y 0y=r 2.可以验证,当点M 在坐标轴上时,P 与M 重合,同样适合上式,故所求的切线方程是x 0x+y 0y=r 2.变式：从点P(4,5)向圆(x －2)2＋y 2=4引切线,求切线方程.解:把点P(4,5)代入(x －2)2＋y 2=4,得(4－2)2＋52=29＞4,所以点P 在圆(x －2)2＋y 2=4外.设切线斜率为k,则切线方程为y －5=k(x －4),即kx －y ＋5－4k=0.又圆心坐标为(2,0),r=2.因为圆心到切线的距离等于半径,即1|4502|2+-+-k k k =2,k=2021. 所以切线方程为21x －20y ＋16=0.当直线的斜率不存在时还有一条切线是x=4. 题型三 直线与圆的位置关系及圆与圆的位置关系例1.(2006江苏高考)圆(x-1)2+(y+3)2=1的切线方程中有一个是( C )A.x-y=0B.x+y=0C.x=0D.y=0变式:(2006上海高考)已知圆x 2-4x-4+y 2=0的圆心是点P,则点P 到直线x-y-1=0的距离是___________.答案：22 变式2：例2.判断下列两圆的位置关系,如果两圆相交,请求出公共弦的方程. (1)(x+2)2+(y-2)2=1与(x-2)2+(y-5)2=16, (2)x 2+y 2+6x-7=0与x 2+y 2+6y-27=0.解:(1)根据题意,得两圆的半径分别为r 1=1和r 2=4,两圆的圆心距d=22)25()2(2[-+--=5.因为d=r 1+r 2,所以两圆外切.(2)将两圆的方程化为标准方程,得(x+3)2+y 2=16,x 2+(y+3)2=36. 故两圆的半径分别为r 1=4和r 2=6,两圆的圆心距d=23)03()30(22=-+-. 因为|r 1-r 2|＜d ＜r 1+r 2,所以两圆相交.变式1 已知圆C 1:x 2+y 2+2x-6y+1=0,圆C 2:x 2+y 2-4x+2y-11=0,求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长.解:设两圆交点为A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2),则A 、B 两点坐标满足方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+-+=+-++)2(.01124)1(,01622222y x y x y x y x①-②,得3x-4y+6=0.因为A 、B 两点坐标都满足此方程,所以3x-4y+6=0即为两圆公共弦所在的直线方程. 易知圆C 1的圆心(-1,3),半径r=3. 又点C 1到直线的距离为d=22)4(3|63431|-++⨯-⨯-=59.所以AB=2524)59(322222=-=-d r ,即两圆的公共弦长为524.题型四 求关于弦长问题例4.已知直线l:y=2x －2,圆C:x 2＋y 2＋2x ＋4y ＋1=0,请判断直线l 与圆C 的位置关系,若相交,则求直线l 被圆C 所截的线段长.解法一：由方程组⎩⎨⎧=++++-=.0142,2222x x y x x y 解得⎩⎨⎧-=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==,4,154,53y x y x 或 即直线l 与圆C 的交点坐标为(53,－54)和(－1,－4),则截得线段长为558. 解法二：由方程组(略)消去y,得5x 2＋2x －3=0, 设直线与圆交点为A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则AB 中点为(-51,-512),所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=•-=+,53,522111x x y x 得(x 1-x 2)2=2564, 则所截线段长为|AB|=(1+k 2)(x 1-x 2)2=558.解法三：圆心C 为(－1,－2),半径r=2,设交点为A 、B,圆心C 到直线l 之距d=552,所以5542||22=-=d r AB .则所截线段长为|AB|=558. 变式1： 已知过点M(-3,-3)的直线l 被圆x 2+y 2+4y-21=0所截得的弦长为求直线l 的方程.解：将圆的方程写成标准形式有x 2+(y+2)2=25,所以圆心为(0,-2),半径为5.因为直线l 被圆x 2+y 2+4y-21=0所截得的弦长为45,所以弦心距为22)52(5-=5,圆心到直线的距离为5,由于直线过点M(-3,-3),所以可设直线l 的方程为y+3=k(x+3),即kx-y+3k-3=0.根据点到直线的距离公式,圆心到直线的距离为5,因此d=1|332|2+-+k k =5,两边平方整理得2k 2-3k-2=0,解得k=21,k=2.所以所求的直线l 的方程为y+3=21(x+3)或y+3=2(x+3),即x+2y+9=0或2x-y+3=0. 变式2：题型五.求距离最大最小值例1.已知点P(x,y)是圆22(3)(4)9x y -+-=上的任一点，求x 2＋y 2最小值与最大值。
解：依题意，圆心为（1，2），半径r=3.设圆心（1，2）到原点距离为5=, x 2＋y 2最小值为(d-r)2 = 4, 最大值为(d+r)2=64 变式1：求圆x 2+y 2+4x-2y+4=0上的点到直线y=x-1的最近距离和最远距离.解:圆方程化为(x+2)2+(y-1)2=1, 圆心(-2,1)到直线y=x-1的距离为d=22)1(1|112|-+---=22,所以所求的最近距离为22-1,最远距离为22+1.。