第四章 圆与方程知识点归纳

（4）当 l | r1 r2 | 时，圆 C1 与圆 C2 内切；（5）当 l | r1 r2 | 时，圆 C1 与圆 C2 内含； 4.2.3 直线与圆的方程的应用
1、利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系；
2、过程与方法
用坐标法解决几何问题的步骤：
第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数
1
z
O
M1 N1
P2 P1
M2 H N2 y M
N
x
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thing and S P1P2 (x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 (z1 z2 )2 me 一、知识概述 r so 1、圆的标准方程 d fo 圆心为(a，b)，半径为 r 的圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2=r2． goo 由于圆的标准方程中含有三个参数 a，b，r，因此必须具备三个独立条件才能确定一 re 个圆． g a 2、圆的一般方程 bein 对于方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0．
s in the 空间点
、
间的距离是 ．
y one thing at a time and All thing 3
第四高章中圆数与学方必程修知2识点 something and S 4.1.1 圆的标准方程 for 1、圆的标准方程： (x a)2 ( y b)2 r2
圆心为 A(a,b),半径为 r 的圆的方程
ood 2、点 M (x0, y0 ) 与圆 (x a)2 ( y b)2 r2 的关系的判断方法： re g （1） (x0 a)2 ( y0 b)2 > r2 ，点在圆外 （2） (x0 a)2 ( y0 b)2 = r2 ，点在圆上 g a （3） (x0 a)2 ( y0 b)2 < r2 ，点在圆内 in 4.1.2 圆的一般方程 be 1、圆的一般方程： x2 y 2 Dx Ey F 0 their 2、圆的一般方程的特点： in (1)①x2 和 y2 的系数相同，不等于 0． ②没有 xy 这样的二次项． gs (2)圆的一般方程中有三个特定的系数 D、E、F，因之只要求出这三个系数，圆的方程就确定了． thin (3)、与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出 ll 了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显。 d A 4.2.1 圆与圆的位置关系 n 1、用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系． e a 设直线 l ： ax by c 0 ，圆 C ： x 2 y 2 Dx Ey F 0 ，圆的半径为 r ，圆心 tim ( D , E ) 到直线的距离为 d ，则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点： a 2 2 at （1）当 d r 时，直线 l 与圆 C 相离；（2）当 d r 时，直线 l 与圆 C 相切； y one thing （3）当 d r 时，直线l 与圆C 相交；
2
g and S 空间直角坐标系三要素：原点、坐标轴方向、单位长．常用对称点坐标： thin 点 P（x，y，z）关于 x 轴对称：点 P1（x，－y，－z）； ome 点 P（x，y，z）关于 y 轴对称：点 P2（－x，y，－z）； for s 点 P（x，y，z）关于 z 轴对称：点 P3（－x，－y，z）； d 点 P（x，y，z）关于平面 xOy 对称：点 P4（x，y，－z）； goo 点 P（x，y，z）关于平面 yOz 对称：点 P5（－x，y，z）； are 点 P（x，y，z）关于平面 xOz 对称：点 P6（x，－y，z）； ing 点 P（x，y，z）关于原点成中心对称：点 P7（－x，－y，－z）. ir be 空间两点间的距离公式
定一个圆．
at a 3、方程的大致步骤是： y one thing (1)根据题意选择方程的形式：标准方程或一般方程；
圆与圆的位置关系 设圆 C1 的半径为 R，圆 C2 的半径是 r，圆心距为 d，则 ①当 d>R＋r 时，两圆相离；②当 d=R＋r 时，两圆外切； ③当|R－r|<d<R＋r 时，两圆相交；④当 d=|R－r|时，两圆内切；⑤当 d<|R－r|时， 两圆内含． 空间直角坐标系
things (2)当 D2＋E2－4F=0 时，方程表示一个点
．
②判断圆 C 的圆心到直线 l 的距离 d 与圆的半径长 r 的关系．如果 d<r，直线 与圆相交；如果 d=r，直线 l 与圆相切；如果 d>r，直线 l 与圆 C 相离．
All (3)当 D2＋E2－4F<0 时，方程不表示任何图形． and 即圆的一般方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0（D2＋E2－4F>0）． time 圆的一般方程也含有三个待定的系数 D，E，F，因此必须具备三个独立条件，才能确
their (1)当 D2＋E2－4F>0 时，方程表示以 in 圆．此时方程就叫做圆的一般方程．
为圆心、
为半径的
①判断直线 l 与圆 C 的方程组成的方程组是否有解．如果有解，直线 l 与圆 C 有公共点．有两组实数解时，直线 l 与圆相交；有一组实数解时，直线 l 与圆相切； 无实数解时，直线 l 与圆 C 相离．
3、空间中任意点 M 的坐标都可以用有序实数组 (x, y, z) 来表示，该数组叫做点 M 在此空间直角坐标系中的
坐标，记 M (x, y, z) ， x 叫做点 M 的横坐标， y 叫做点 M 的纵坐标， z 叫做
点 M 的竖坐标。
4.3.2 空间两点间的距离公式
1、空间中任意一点 P1 (x1 , y1 , z1 ) 到点 P2 (x2 , y2 , z2 ) 之间的距离公式
问题；
第二步：通过代数运算，解决代数问题；
第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论．
R
4.3.1 空间直角坐标系
M
1、点 M 对应着唯一确定的有序实数组 (x, y, z) ， x 、 y 、 z 分别是 P、Q、R 在 x 、
O P
Q
y
M'
y 、 z 轴上的坐标 x
2、有序实数组 (x, y, z) ，对应着空间直角坐标系中的一点
(2)根据条件列出关于 a，b，r 或 D，E，F 的方程组； (3)解出 a，b，r 或 D，E，F，代入标准方程或一般方程． 二、重难点知识归纳：1、理解圆的定义，以及圆的标准方程与一般方程的推导．2、注意 圆的一般方程成立的条件．3、利用待定系数法求圆的方程． 例 4、已知曲线 C：x2＋y2＋2kx＋(4k＋10)y＋10k＋20=0，其中 k －1． (1)求证：曲线 C 都表示圆，并且这些圆心都在同一条直线上； (2)证明：曲线 C 过定点； (3)若曲线 C 与 x 轴相切，求 k 的值． 判断直线 l 与圆 C 位置关系的两种方法：
4.2.2 圆与圆的位置关系
两圆的位置关系．
设两圆的连心线长为 l ，则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点：
（1）当 l r1 r2 时，圆 C1 与圆 C2 相离；（2）当 l r1 r2 时，圆 C1 与圆 C2 外切；
（3）当 | r1 r2 | l r1 r2 时，圆 C1 与圆 C2 相交；