第四章 圆与方程知识点归纳
高中数学必修2知识点总结：第四章 圆与方程
高中数学必修2知识点总结：第四章圆与方程归海木心QQ:634102564高中数学必修2知识点总结第四章圆与方程411圆的标准方程1、圆的标准方程：a2b2r2圆心为Aa,b,半径为r的圆的方程2、点M0,0与圆a（1）0（3）02b2r2的关系的判断方法：a)20b2>r2，点在圆外（2）0a20b2=r2，点在圆上a20b2归海木心QQ:634102564（4）当|r1r2|时，圆C1与圆C2内切；（5）当|r1r2|时，圆C1与圆C2内含；423直线与圆的方程的应用1、利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系；2、过程与方法用坐标法解决几何问题的步骤：第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论．RM431空间直角坐标系1、点M对应着唯一确定的有序实数组,,，、上的坐标2、有序实数组,,，对应着空间直角坐标系中的一点、分别是"3、空间中任意点M的坐标都可以用有序实数组,,来表示，该数组叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记M,,，叫做点M的横坐标，坐标。
叫做点M的纵坐标，叫做点M的竖432空间两点间的距离公式1、空间中任意一点1MM2HN2N归海木心QQ:6341025扩展阅读：高中数学必修2知识点总结：第四章圆与方程中国权威高考信息资源门户高中数学必修2知识点总结第四章圆与方程411圆的标准方程1、圆的标准方程：abr圆心为Aa,b,半径为r的圆的方程2、点M0,0与圆abr的关系的判断方法：（1）0a0b>r，点在圆外（2）0a0b=r，点在圆上（3）0a0b中国权威高考信息资源门户（4）当|r1r2|时，圆C1与圆C2内切；（5）当|r1r2|时，圆C1与圆C2内含；423直线与圆的方程的应用1、利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系；2、过程与方法用坐标法解决几何问题的步骤：第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论．RMO对应着唯一确定的有序实数组,,，、、分别是的坐标都可以用有序实数组,,来表示，该数组叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记M,,，叫做点M的横坐标，叫做点M的纵坐标，叫做点M的竖坐标。
圆与方程知识点(简单版)
圆与方程知识点1、圆的标准方程：222()()x a y b r -+-=圆心C (a,b),半径为r2、圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x2240D E F +->表示圆，圆心C （,22D E--）半径为22240D E F +-=表示点（,22D E--） 2240D E F +-<不表示任何图形3、点00(,)M x y 与圆的关系的判断方法：（1）圆方程为标准式222()()x a y b r -+-=222()()x a y b r -+->⇔点在圆外 222()()x a y b r -+-=⇔点在圆上 222()()x a y b r -+-<⇔点在圆内（2）圆方程为一般式022=++++F Ey Dx y x220x y Dx Ey F ++++>⇔点在圆外 022=++++F Ey Dx y x ⇔点在圆上 220x y Dx Ey F ++++<⇔点在圆内（3）特殊位置的圆的标准方程设法（无需记，关键能理解）条件 方程形式圆心在原点 ()2220x y rr +=≠过原点 ()()()2222220x a y b a b ab -+-=++≠圆心在x 轴上 ()()2220x a y rr -+=≠ 圆心在y 轴上 ()()2220x y b rr +-=≠ 圆心在x 轴上且过原点 ()()2220x a y a a -+=≠ 圆心在y 轴上且过原点 ()()2220x y b bb +-=≠与x 轴相切 ()()()2220x a y b bb -+-=≠ 与y 轴相切 ()()()2220x a y b a a -+-=≠与两坐标轴都相切 ()()()2220x a y b aa b -+-==≠4、直线l ：0Ax By C ++=与圆C 的位置关系判断方法（1）求出圆的半径r ，圆心C 到直线l 的距离为d1》判断方法r d >⇔直线l 与圆C 相离⇔直线l 与圆C 无交点 r d =⇔直线l 与圆C 相切⇔直线l 与圆C 有一交点r d <⇔直线l 与圆C 相交⇔直线l 与圆C 有两交点2》涉及最值：（1）圆外一点B ，圆上一动点P ，讨论PB 的最值min PB BN BC r ==- max PB BM BC r ==+（2）圆内一点A ，圆上一动点P ，讨论PA 的最值min PA AN r AC ==- max PA AM r AC ==+思考：过此A 点作最短的弦？（此弦垂直AC ）（2）将直线方程代入圆的方程消元变成一元二次方程，求出判别式24b ac =-0<⇔直线l 与圆C 相离⇔直线l 与圆C 无交点 0=⇔直线l 与圆C 相切⇔直线l 与圆C 有一交点 0>⇔直线l 与圆C 相交⇔直线l 与圆C 有两交点（3）求切线长：利用基本图形，22222AP CP r AP CP r =-⇒=-求切点坐标：利用两个关系列出两个方程1AC APAC rk k ⎧=⎨⋅=-⎩（4）求弦长及弦长的应用问题（垂径定理．．．．及勾股定理——常用） 1》弦长公式：()()222121212114l kx x k x x x x ⎡⎤=+-=++-⎣⎦（暂作了解，无需掌握） 2》判断直线与圆相交的一种特殊方法：直线过定点，而定点恰好在圆内. 3》关于点的个数问题：例：若圆()()22235x y r -++=上有且仅有两个点到直线4320x y --=的距离为1，则半径r 的取值范围是_________________. 答案：()4,65、过点求圆的切线方程（第一步就是——判断点与圆的位置关系，得出切线的条数）.（1）点00(,)x y 在圆上圆的方程为222x y r +=，切线方程200x x y y r +=（运用在选择题及填空题） 圆的方程为222()()x a y b r -+-=，切线方程200()()()()x a x a y b y b r --+--=圆的方程为022=++++F Ey Dx y x ，切线方程0000022x x y yx x y y D E F ++++++= （2）点00(,)x y 在圆外，圆：()()222x a y b r-+-=，[()()22200x a y b r -+->]设直线方程为00()y y k x x -=-即000kx y kx y --+= 由圆心到直线的距离rd=求出k （过圆外一点作圆的切线有2条）特别注意：以上解题步骤仅对k 存在有效，当k 不存在时，应补上——千万不要漏了！例题：过点()1,1P 作圆2246120x y x y +--+=的切线，求切线方程.（答案：3410x y -+=和1x =）6、 圆与圆的位置关系（221111:0C x y D x E y F ++++=，222222:0C x y D x E y F ++++=）（1）判断方法：求出圆心距12C C ，两圆的半径12,r r1212C C r r >+⇔圆1C 与圆2C 相离⇔有4条公切线 1212C C r r =+⇔圆1C 与圆2C 外切⇔有3条公切线121212||r r C C r r -<<+⇔圆1C 与圆2C 相交⇔有2条公切线 1212||C C r r =-⇔圆1C 与圆2C 内切⇔有1条公切线 1212||C C r r <-⇔圆1C 与圆2C 内含⇔有0条公切线（2）圆与圆相交：公共弦的直线方程为121212()()()0D D x E E y F F -+-+-= 圆心到弦的距离（弦心距）d 满足关系式：222()2l d r +=（公共弦长l ，半径r ） 过两圆交点的圆系方程可设为2222111222()0(1)x y D x E y F x y D x E y F λλ+++++++++=≠-或22111121212[()()()]0x y D x E y F D D x E E y F F λ+++++-+-+-=点M 在圆1C 上，点N 在圆2C 上，则有1212max MN C C r r =++min 0MN =（相交，相切） 1212min MN C C r r =--（相离） 1212min MN r r C C =--（内含）7、用坐标法解决几何问题的步骤：（1）建立适当的平面直角坐标系，设点的坐标 （2）找等量关系（3）将平面几何问题转化为代数问题； （4）化简运算 （5）检验得出结论8、空间直角坐标系（1）点M 对应着唯一确定的有序实数组),,(z y x ，x 、y 、z 分别是P 、Q 、R 在x 、y 、z 轴上的坐标（2）有序实数组),,(z y x ，对应着空间直角坐标系中的一点（3）圆的参数方程 ()222cos 0sin x r x y r r y r θθ=⎧+=>⇔⎨=⎩，θ为参数()()()222cos 0sin x a r x a y b r r y b r θθ=+⎧-+-=>⇔⎨=+⎩，θ为参数 9、点),,(1111z y x P 与点),,(2222z y x P 的关系：中点坐标为121212(,,)222x x y y z z +++ 距离22122122121)()()(z z y y x x P P -+-+-=10、对称问题（1）.若圆()222120x y m x my m ++-+-=，关于直线10x y -+=，则实数m 的值为____.答案：3（注意：1m =-时，2240D E F +-<，故舍去）变式：已知点A 是圆C :22450x y ax y +++-=上任意一点，A 点关于直线210x y +-=的对称点在圆C 上，则实数a =_________.（2.）圆()()22131x y -+-=关于直线0x y +=对称的曲线方程是________________. 变式：已知圆1C ：()()22421x y -+-=与圆2C ：()()22241x y -+-=关于直线l 对称，则直线l 的方程为_______________.（3.）圆()()22311x y -++=关于点()2,3对称的曲线方程是__________________.（4.）已知直线l ：y x b =+与圆C ：221x y +=，问：是否存在实数b 使自()3,3A 发出的光线被直线l 反射后与圆C 相切于点247,2525B ⎛⎫⎪⎝⎭？若存在，求出b 的值；若不存在，试说明理由.11、最值问题（方法主要有三种：（1）数形结合；（2）代换；（3）参数方程）(1.)已知实数x ，y 满足方程22410x y x +-+=，求：（1）5yx -的最大值和最小值；——看作斜率 （2）y x -的最小值；——截距（线性规划）（3）22x y +的最大值和最小值.——两点间的距离的平方（2.）已知AOB ∆中，3OB =，4OA =，5AB =，点P 是AOB ∆内切圆上一点，求以PA ，PB ，PO为直径的三个圆面积之和的最大值和最小值.（数形结合和参数方程两种方法均可！）（3.）设(),P x y 为圆()2211x y +-=上的任一点，欲使不等式0x y c ++≥恒成立，则c 的取值范围是___________. 答案：1c ≥（数形结合和参数方程两种方法均可！）12、相关应用（1）.若直线240mx ny +-=（m ，n R ∈），始终平分圆224240x y x y +---=的周长，则m n ⋅的取值范围是______________.（2.）已知圆C ：222440x y x y +-+-=，问：是否存在斜率为1的直线l ，使l 被圆C 截得的弦为AB ，以AB 为直径的圆经过原点，若存在，写出直线l 的方程，若不存在，说明理由.提示：12120x x y y +=或弦长公式12d x =-. 答案：10x y -+=或40x y --=（3.）已知圆C ：()()22341x y -+-=，点()0,1A ，()0,1B -，设P 点是圆C 上的动点，22d PA PB =+，求d 的最值及对应的P 点坐标.（4.）已知圆C ：()()221225x y -+-=，直线l ：()()211740m x m y m +++--=（m R ∈）（1）证明：不论m 取什么值，直线l 与圆C 均有两个交点； （2）求其中弦长最短的直线方程.（5.）若直线y x k =-+与曲线x =k 的取值范围.（6.）已知圆2260x y x y m ++-+=与直线230x y +-=交于P ，Q 两点，O 为坐标原点，问：是否存在实数m ，使OP OQ ⊥，若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由.13、轨迹方程（1）定义法（圆的定义）：略（2）直接法：通过已知条件直接得出某种等量关系，利用这种等量关系，建立起动点坐标的关系式—轨迹方程.例：过圆221x y +=外一点()2,0A 作圆的割线，求割线被圆截得的弦的中点的轨迹方程.分析：222OP AP OA +=（3）相关点法（平移转换法）：一动点随另一点主动点的变动而变动特点为：主动点一定在某一已知的方程所表示的（固定）轨迹上运动. 例1.如图，已知定点()2,0A ，点Q 是圆221x y +=上的动点，AOQ ∠的平分线交AQ 于M ，当Q 点在圆上移动时，求动点M的轨迹方程.（分析：角平分线定理和定比分点公式.）例题2：已知圆O ：229x y +=，点()3,0A ，B 、C 是圆O 上的两个动点，A 、B 、C 呈逆时针方向排列，且3BAC π∠=，求ABC ∆的重心G 的轨迹方程.法1：3BAC π∠=，BC ∴为定长且等于33设(),G x y ，则33333A B C B C A B C BC x x x x x x y y y y y y ++++⎧==⎪⎪⎨+++⎪==⎪⎩取BC 的中点为33,24E x ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭，333,42E y ⎛⎤∈- ⎥ ⎝⎦ 222OE CE OC +=，2294E E x y ∴+=（1）2222B C E B C E B C E B C Ex x x x x x y y y y y y +⎧=⎪+=⎧⎪⇒⎨⎨+=+⎩⎪=⎪⎩，3233322323E E E E x x x x y y yy +-⎧⎧==⎪⎪⎪⎪∴⇒⎨⎨⎪⎪==⎪⎪⎩⎩故由（1）得：()2222333933110,,,122422x y x y x y ⎛⎤-⎛⎫⎛⎫⎡⎫+=⇒-+=∈∈- ⎥ ⎪ ⎪⎪⎢ ⎝⎭⎝⎭⎣⎭⎝⎦法2：（参数法）设()3cos ,3sin B θθ，由223BOC BAC π∠=∠=， 则223cos ,3sin 33C ππθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，设(),G x y ，则 ()()233cos 3cos 231cos cos 133323sin 3sin 23sin sin 2333A B C A B C x x x x y y y y πθθπθθπθθπθθ⎧⎛⎫+++ ⎪⎪++⎛⎫⎝⎭⎪===+++ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪++ ⎪⎪++⎛⎫⎝⎭===++⎪ ⎪⎝⎭⎩4,33ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，由()()()22112-+得：()2233110,,,122x y x y ⎛⎤⎡⎫-+=∈∈- ⎥⎪⎢ ⎣⎭⎝⎦参数法的本质是将动点坐标(),x y 中的x 和y 都用第三个变量（即参数）表示，通过消参．．得到动点轨迹方程，通过参数的范围得出x ，y 的范围.（4）求轨迹方程常用到得知识①重心(),G x y ，33A B C AB C x x x x y y y y ++⎧=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩②中点(),P x y ，121222x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩③内角平分线定理：BD AB CDAC=④定比分点公式：AMMB λ=，则1AB M x x x λλ+=+，1A B M y y y λλ+=+ ⑤韦达定理.。
高二数学必修二-第四章-圆与圆的方程知识点总结
第四章 圆 与 方 程★1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点为圆心，定长为圆的半径。
设M （x,y ）为⊙A 上任意一点，则圆的集合可以写作：P = {M | |MA| = r }★2、圆的方程（1点00(,)M x y 与圆222()()x a y b r -+-=的位置关系：当2200()()x a y b -+->2r ，点在圆外; 当2200()()x a y b -+-=2r ，点在圆上 当2200()()x ay b -+-<2r ，点在圆内; （2 （x+D/2)2+(y+E/2)2=(D 2+E 2-4F)/4 （0422>-+F E D ）当0422>-+F E D 时，方程表示圆，此时圆心为⎪⎭⎫ ⎝⎛--2,2E D ，半径为F E D r 42122-+=当0422=-+F E D时，表示一个点；当0422<-+F E D 时，方程不表示任何图形。
（3）求圆的方程的方法：①待定系数法：先设后求。
确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，需求出a ，b ，r ；若利用一般方程，需要求出D ，E ，F ；②直接法：直接根据已知条件求出圆心坐标以及半径长度。
另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过圆心，以此来确定圆心的位置。
★3、直线与圆的位置关系：直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况：（1）设直线0:=++C By Ax l ，圆()()222:r b y a x C =-+-，圆心()b a C ,到l 的距离为相离与C l r d ⇔>；相切与C l r d ⇔=；相交与C l r d ⇔< （2）过圆外一点的切线k ，②若求得两个相同的解，带入切线方程，得到一条切线；接下来验证过该点的斜率不存在的直线（此 时，该直线一定为另一条切线）(3) 过圆上一点的切线方程：圆(x-a)2+(y-b)2=r 2，圆上一点为(x 0，y 0)，则过此点的切线方程为★4、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和（差），与圆心距（d ）之间的大小比较来确定。
高中的高二数学必修二第四章圆与圆的方程学习知识点优秀总结计划
第四章圆与方程★1、圆的定义：平面内到必定点的距离等于定长的点的会合叫做圆，定点为圆心，定长为圆的半径。
设 M （x,y ）为⊙ A 上随意一点，则圆的会合能够写作：P = { M | |MA| = r }★2、圆的方程（ 1）标准方程x a 2 y b 2 r 2，圆心a,b ，半径为 r ；点 M ( x0 , y0 ) 与圆 ( x a) 2 ( y b) 2 r 2 的地点关系：当( x0 a) 2 ( y0 b)2>r2，点在圆外; 当 ( x0 a)2 ( y0 b) 2=r2，点在圆上当 ( x a) 2 ( y0 b)2<r2，点在圆内;（ 2）一般方程x2 y 2 Dx Ey F 0（x+D/2) 2+(y+E/2) 2=(D 2+E2-4F)/4 （ D 2 E 2 4F 0 ）当 D 2 E 2 4F 0 时，方程表示圆，此时圆心为 D , E ，半径为 r 1 D2 E 2 4F2 2 2当 D 2 E 2 4F 0 时，表示一个点；当 D 2 E 2 4F 0 时，方程不表示任何图形。
（ 3）求圆的方程的方法：待定系数法：先设后求。
确立一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，需求出 a， b， r；若利用一般方程，需要求出 D， E， F；直接法：直接依据已知条件求出圆心坐标以及半径长度。
此外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过圆心，以此来确立圆心的地点。
★3、直线与圆的地点关系：直线与圆的地点关系有相离，相切，订交三种状况：（ 1 ）设直线l : Ax By C 02 22，圆心 C a, b 到l 的距离为，圆 C : x a y brAa Bb C，则有 d r l与 C相离； d r l 与 C相切； d rl与 C订交dB 2A2（ 2）过圆外一点的切线：设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，求解k，①若求得两个不一样的解，带入所设切线的方程即可；②若求得两个同样的解，带入切线方程，获得一条切线；接下来考证过该点的斜率不存在的直线（此时，该直线必定为另一条切线）(3)过圆上一点的切线方程：圆 (x-a)2+(y-b) 2=r 2，圆上一点为 (x0， y0) ，则过此点的切线方程为0 0-b)(y-b)= r 2(x -a)(x-a)+(y两圆的地点关系判断条件公切线条数外离ｄ＞ｒ 1+ｒ2 4 条外切ｄ＝ｒ1+ｒ2 3 条订交| ｒ1-ｒ2| ＜ｄ＜ｒ1+2 条ｒ2内切ｄ＝ | ｒ1-ｒ2| 1 条内含ｄ＜ | ｒ1-ｒ2| 0 条★4、圆与圆的地点关系：经过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大小比较来确立。
高中数学必修2知识点总结第四章-圆与方程
第四章 圆与方程知识点与习题★ 1、圆的定义： 平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点为圆心，定长为圆的半径。
设 M （ x,y ）为⊙ A 上任意一点，则圆的集合可以写作： P = { M | |MA| = r}★ 2、圆的方程（1）标准方程 x a 2y 2r 2，圆心 a,b ，半径为 r ； b 点 M (x 0 , y 0 ) 与圆( xa) 2 ( y b) 2r 2 的位置关系：当( x 0 a)2 ( y 0 b)2> r 2，点在圆外 ;当 (x 0 a) 2( y 0 b)2= r 2，点在圆上当 ( x 0a)2( y 0 b)2< r 2 ，点在圆内 ;（2）一般方程 x 2y 2Dx EyF 02 2 2 2（ D 2 E 24F 0 ）（x+D/2) +(y+E/2) =(D +E -4F)/41 D 2当 D 2E 2 4F 0 时，方程表示圆，此时圆心为D ,E ，半径为 r E 2 4F 2 2 2当 D 2E 24F 0 时，表示一个点；当 D 2E 2F0 时，方程不表示任何图形。
4（3）求圆的方程的方法：待定系数法：先设后求。
确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，需求出 a ， b ， r ；若利用一般方程，需要求出 D ， E ， F ； 直接法： 直接根据已知条件求出圆心坐标以及半径长度。
另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过圆心，以此来确定圆心的位置 。
★ 3、直线与圆的位置关系：直线与圆的位置关系有 相离，相切，相交 三种情况：（1）设直线 l : Ax By C 0，圆 C :x a 2 y b 2 r 2 Aa Bb C ， ，圆心 C a, b 到 l 的距离为 d B 2A 2则有 d r l 与 C 相离 ；drl 与 C 相切 ； d r l 与 C 相交 （2）过圆外一点的切线 ：设点斜式方程，用 圆心到该直线距离 =半径 ，求解 k ，①若求得两个不同的解，带入所设切线的方程即可；②若求得两个相同的解，带入切线方程，得到一条切线；接下来验证过该点的斜率不存在的直线（此时，该直线一定为另一条切线）2 2 2(3) 过 圆 上 一 点 的 切 线 方 程 ： 圆 (x-a) +(y-b) =r ， 圆 上 一 点 为 (x0 ， y0) ， 则 过 此点 的 切 线 方 程 为(x 0-a)(x-a)+(y 0-b)(y-b)= r 2两圆的位置关系判断条件公切线条数外离ｄ＞ｒ 1+ｒ 2 4 条外切ｄ＝ｒ1+ｒ2 3 条相交| ｒ 1-ｒ 2| ＜ｄ＜ｒ 1+ｒ 2 2 条内切ｄ＝ | ｒ 1-ｒ 2| 1 条内含ｄ＜ | ｒ1-ｒ2| 0 条★4、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。
圆与方程知识点整理
关于圆与方程的知识点整理一、标准方程()()222x a y b r-+-= 1.求标准方程的方法——关键是求出圆心(),a b和半径r①待定系数：往往已知圆上三点坐标，②利用平面几何性质相切：利用到圆心与切点的连线垂直直线相交：利用到点到直线的距离公式及垂径定理2.特殊位置的圆的标准方程设法（无需记，关键能理解）条件方程形式圆心在原点()2220x y r r+=≠过原点()()()2222220x a y b a b a b-+-=++≠圆心在x轴上()()2220x a y r r-+=≠圆心在y轴上()()2220x y b r r+-=≠圆心在x轴上且过原点()()2220x a y a a-+=≠圆心在y轴上且过原点()()2220x y b b b+-=≠与x轴相切()()()2220x a y b b b-+-=≠与y轴相切()()()2220x a y b a a-+-=≠与两坐标轴都相切()()()2220x a y b a a b-+-==≠二、一般方程()2222040x y Dx Ey F D E F++++=+-> 1.220Ax By Cxy Dx Ey F+++++=表示圆方程则222200004040A B A BC CD E AFD E FA A A⎧⎪=≠=≠⎧⎪⎪⎪=⇔=⎨⎨⎪⎪+->⎩⎛⎫⎛⎫⎪+-⋅>⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩2.求圆的一般方程一般可采用待定系数法：3.2240D E F+->常可用来求有关参数的范围三、点与圆的位置关系1.判断方法：点到圆心的距离d与半径r的大小关系d r<⇒点在圆内；d r=⇒点在圆上；d r>⇒点在圆外2.涉及最值：（1）圆外一点B，圆上一动点P，讨论PB的最值（2）圆内一点A，圆上一动点P，讨论PA的最值minPB BN BC r==-minPA AN r AC==-maxPB BM BC r==+maxPA AM r AC==+四、直线与圆的位置关系1.判断方法（d为圆心到直线的距离）（1）相离⇔没有公共点⇔0d r∆<⇔>（2）相切⇔只有一个公共点⇔0d r∆=⇔=（3）相交⇔有两个公共点⇔0d r∆>⇔<这一知识点可以出如此题型：告诉你直线与圆相交让你求有关参数的范围.2.直线与圆相切（1）知识要点①基本图形②主要元素：切点坐标、切线方程、切线长等问题：直线l与圆C相切意味着什么？圆心C到直线l的距离恰好等于半径r（2）常见题型——求过定点的切线方程①切线条数点在圆外——两条；点在圆上——一条；点在圆内——无②求切线方程的方法及注意点．．．i）点在圆外如定点()00,P x y，圆：()()222x a y b r-+-=，[()()22200x a y b r-+->]第一步：设切线l方程()00y y k x x-=-第二步：通过d r=k⇒，从而得到切线方程特别注意：以上解题步骤仅对k存在有效，当k不存在时，应补上——千万不要漏了！如：过点()1,1P作圆2246120x y x y+--+=的切线，求切线方程. 答案：3410x y-+=和1x=ii）点在圆上1）若点()00x y，在圆222x y r+=上，则切线方程为200x x y y r+=会在选择题及填空题中运用，但一定要看清题目.2）若点()00x y，在圆()()222x a y b r-+-=上，则切线方程为()()()()200x a x a y b y b r--+--=碰到一般方程则可先将一般方程标准化，然后运用上述结果.由上述分析，我们知道：过一定点求某圆的切线方程，非常重要的第一步就是——判断点与圆的位置关系，得出切线的条数.③求切线长：利用基本图形，222AP CP r AP=-⇒=求切点坐标：利用两个关系列出两个方程1AC APAC rk k⎧=⎨⋅=-⎩3.直线与圆相交（1）求弦长及弦长的应用问题垂径定理．．．．及勾股定理——常用弦长公式：12l x=-=（2）判断直线与圆相交的一种特殊方法（一种巧合）：直线过定点，而定点恰好在圆内.（3）关于点的个数问题例：若圆()()22235x y r-++=上有且仅有两个点到直线4320x y--=的距离为1，则半径r的取值范围是_________________. 答案：()4,64.直线与圆相离会对直线与圆相离作出判断（特别是涉及一些参数时）五、对称问题1.若圆()222120x y m x my m++-+-=，关于直线10x y-+=，则实数m的值为____.答案：3（注意：1m=-时，2240D E F+-<，故舍去）变式：已知点A是圆C:22450x y ax y+++-=上任意一点，A点关于直线210x y+-=的对称点在圆C上，则实数a=_________.2.圆()()22131x y-+-=关于直线0x y+=对称的曲线方程是________________.变式：已知圆1C ：()()22421x y -+-=与圆2C ：()()22241x y -+-=关于直线l 对称，则直线l 的方程为_______________.3.圆()()22311x y -++=关于点()2,3对称的曲线方程是__________________.4.已知直线l ：y x b =+与圆C ：221x y +=，问：是否存在实数b 使自()3,3A 发出的光线被直线l 反射后与圆C 相切于点247,2525B ⎛⎫⎪⎝⎭？若存在，求出b 的值；若不存在，试说明理由. 六、最值问题 方法主要有三种：（1）数形结合；（2）代换；（3）参数方程 1.已知实数x ，y 满足方程22410x y x +-+=，求：（1）5yx -的最大值和最小值；——看作斜率 （2）y x -的最小值；——截距（线性规划）（3）22x y +的最大值和最小值.——两点间的距离的平方 七、相关应用1.若直线240mx ny +-=（m ，n R ∈），始终平分圆224240x y x y +---=的周长，则m n ⋅的取值范围是______________.2.已知圆C ：222440x y x y +-+-=，问：是否存在斜率为1的直线l ，使l 被圆C 截得的弦为AB ，以AB 为直径的圆经过原点，若存在，写出直线l 的方程，若不存在，说明理由.提示：12120x x y y +=或弦长公式12d x =-. 答案：10x y -+=或40x y --=3.已知圆C ：()()22341x y -+-=，点()0,1A ，()0,1B ，设P 点是圆C 上的动点，22d PA PB =+，求d 的最值及对应的P 点坐标.4.已知圆C ：()()221225x y -+-=，直线l ：()()211740m x m y m +++--=（m R ∈） （1）证明：不论m 取什么值，直线l 与圆C 均有两个交点； （2）求其中弦长最短的直线方程.5.若直线y x k =-+与曲线x =k 的取值范围.6.已知圆2260x y x y m ++-+=与直线230x y +-=交于P ，Q 两点，O 为坐标原点，问：是否存在实数m ，使OP OQ ⊥，若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由.八、圆与圆的位置关系1.判断方法：几何法（d 为圆心距）（1）12d r r >+⇔外离 （2）12d r r =+⇔外切 （3）1212r r d r r -<<+⇔相交 （4）12d r r =-⇔内切 （5）12d r r <-⇔内含 2.两圆公共弦所在直线方程圆1C ：221110x y D x E y F ++++=，圆2C ：222220x y D x E y F ++++=， 则()()()1212120D D x E E y F F -+-+-=为两相交圆公共弦方程.补充说明：若1C 与2C 相切，则表示其中一条公切线方程； 若1C 与2C 相离，则表示连心线的中垂线方程. 3圆系问题（1）过两圆1C ：221110x y D x E y F ++++=和2C ：222220x y D x E y F ++++=交点的圆系方程为()22221112220x y D x E y F x y D x E y F λ+++++++++=（1λ≠-）说明：1）上述圆系不包括2C ；2）当1λ=-时，表示过两圆交点的直线方程（公共弦） （2）过直线0A x B y C ++=与圆220x y Dx Ey F ++++=交点的圆系方程为()220x y Dx Ey F Ax By C λ+++++++=（3）有关圆系的简单应用（4）两圆公切线的条数问题①相内切时，有一条公切线；②相外切时，有三条公切线；③相交时，有两条公切线；④相离时，有四条公切线 九、轨迹方程（1）定义法（圆的定义）：略（2）直接法：通过已知条件直接得出某种等量关系，利用这种等量关系，建立起动点坐标的关系式——轨迹方程. 例：过圆221x y +=外一点()2,0A 作圆的割线，求割线被圆截得的弦的中点的轨迹方程.分析：222OP AP OA +=（3）相关点法（平移转换法）：一点随另一点的变动而变动↓ ↓动点 主动点特点为：主动点一定在某一已知的方程所表示的（固定）轨迹上运动.巩固练习类型一：圆的方程1 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关系．2、 设圆满足：(1)截y 轴所得弦长为2；(2)被x 轴分成两段弧，其弧长的比为1:3，在满足条件(1)(2)的所有圆中，求圆心到直线02=-y x l ：的距离最小的圆的方程．类型二：切线方程、切点弦方程、公共弦方程4 已知圆422=+y x O ：，求过点()42，P 与圆O 相切的切线．5．求过点(3,1)M ，且与圆22(1)4x y -+=相切的直线l 的方程．6、过坐标原点且与圆0252422=++-+y x y x 相切的直线的方程为 7、已知直线0125=++a y x 与圆0222=+-y x x 相切，则a 的值为 .类型三：弦长、弧问题例8、求直线063:=--y x l 被圆042:22=--+y x y x C 截得的弦AB 的长.例9、直线0323=-+y x 截圆422=+y x 得的劣弧所对的圆心角为例10、求两圆0222=-+-+y x y x 和522=+y x 的公共弦长类型四：直线与圆的位置关系例11、已知直线0323=-+y x 和圆422=+y x ，判断此直线与已知圆的位置关系.例12、若直线m x y +=与曲线24x y -=有且只有一个公共点，求实数m 的取值范围.例13 圆9)3()3(22=-+-y x 上到直线01143=-+y x 的距离为1的点有几个？分析：借助图形直观求解．或先求出直线1l 、2l 的方程，从代数计算中寻找解答．14：直线1=+y x 与圆)0(0222>=-+a ay y x 没有公共点，则a 的取值范围是15：若直线2+=kx y 与圆1)3()2(22=-+-y x 有两个不同的交点，则k 的取值范围是 . 16、 圆034222=-+++y x y x 上到直线01=++y x 的距离为2的点共有（ ）．（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个17、 过点()43--，P 作直线l ，当斜率为何值时，直线l 与圆()()42122=++-y x C ：有公共点.类型五：圆与圆的位置关系18、判断圆02662:221=--++y x y x C 与圆0424:222=++-+y x y x C 的位置关系，19：圆0222=-+x y x 和圆0422=++y y x 的公切线共有 条。
圆与方程知识点整理
关于圆与方程的知识点整理 一、标准方程:()()222x a y b r -+-= 二、一般方程：()2222040x y Dx Ey F D E F ++++=+->1.220Ax By Cxy Dx Ey F +++++=表示圆方程则222200004040A B A B C C D E AF D E F A A A ⎧⎪=≠=≠⎧⎪⎪⎪=⇔=⎨⎨⎪⎪+->⎩⎛⎫⎛⎫⎪+-⋅> ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩ 2.求圆的一般方程一般可采用待定系数法。
3.2240D E F +->常可用来求有关参数的范围三、点与圆的位置关系1.判断方法：点到圆心的距离d 与半径r 的大小：d r <⇒点在圆内；d r =⇒点在圆上；d r >⇒点在圆外2.涉及最值：（1）圆外一点B ，圆上一动点P ，讨论PB 的最值 min PB BN BC r ==-max PB BM BC r ==+（2）圆内一点A ，圆上一动点P ，讨论PA 的最值min PA AN r AC ==-max PA AM r AC ==+四、直线与圆的位置关系1.判断方法（d 为圆心到直线的距离）：（1）相离⇔没有公共点⇔0d r ∆<⇔>；（2）相切⇔只有一个公共点⇔0d r ∆=⇔=；（3）相交⇔有两个公共点⇔0d r ∆>⇔<。
这一知识点可以出如此题型：告诉你直线与圆相交让你求有关参数的范围. 2.直线与圆相切 （1）知识要点：①基本图形②主要元素：切点坐标、切线方程、切线长等问题：直线l 与圆C 相切意味着什么？圆心C 到直线l 的距离恰好等于半径r（2）常见题型——求过定点的切线方程①切线条数：点在圆外——两条；点在圆上……一条；点在圆内……无②求切线方程的方法及注意点．．．i ）点在圆外：如定点()00,P x y ，圆：()()222x a y b r -+-=，[()()22200x a y b r -+->] 第一步：设切线l 方程()00y y k x x -=-；第二步：通过d r =k ⇒，从而得到切线方程特别注意：以上解题步骤仅对k 存在有效，当k 不存在时，应补上……千万不要漏了！如：过点()1,1P 作圆2246120x y x y +--+=的切线，求切线方程. ii ）点在圆上：（1）若点()00x y ，在圆222x y r +=上，则切线方程为200x x y y r +=（2）若点()00x y ，在圆()()222x a y b r -+-=上，则切线方程为()()()()200x a x a y b y b r --+--= 由上述分析：过一定点求某圆的切线方程，非常重要的第一步——判断点与圆的位置关系，得出切线的条数.③求切线长：利用基本图形，22222AP CP r AP CP r =-⇒=- 求切点坐标：利用两个关系列出两个方程1AC APAC r k k ⎧=⎨⋅=-⎩ 3.直线与圆相交（1）求弦长及弦长的应用问题：垂径定理．．．．及勾股定理——常用 弦长公式：()()222121212114l k x x k x x x x ⎡⎤=+-=++-⎣⎦（2）判断直线与圆相交的一种特殊方法：直线过定点，而定点恰好在圆内.（3）关于点的个数问题例：若圆()()22235x y r -++=上有且仅有两个点到直线4320x y --=的距离为1，则半径r 的取值范围是_________________. 答案：()4,64.直线与圆相离：会对直线与圆相离作出判断（特别是涉及一些参数时）五、对称问题1.若圆()222120x y m x my m ++-+-=，关于直线10x y -+=，则实数m 的值为____.答案：3（注意：1m =-时，2240D E F +-<，故舍去） 变式：已知点A 是圆C :22450x y ax y +++-=上任意一点，A 点关于直线210x y +-=的对称点在圆C 上，则实数a =_________.2.圆()()22131x y -+-=关于直线0x y +=对称的曲线方程是________________. 变式：已知圆1C ：()()22421x y -+-=与圆2C ：()()22241x y -+-=关于直线l 对称，则直线l 的方程为_______________.3.圆()()22311x y -++=关于点()2,3对称的曲线方程是__________________.4.已知直线l ：y x b =+与圆C ：221x y +=，问：是否存在实数b 使自()3,3A 发出的光线被直线l 反射后与圆C 相切于点247,2525B ⎛⎫ ⎪⎝⎭？若存在，求出b 的值；若不存在，试说明理由. 六、最值问题 方法主要有三种：（1）数形结合；（2）代换；（3）参数方程1.已知实数x ，y 满足方程22410x y x +-+=，求： （1）5y x -的最大值和最小值；——看作斜率 （2）y x -的最小值；——截距（线性规划） （3）22x y +的最大值和最小值.——两点间的距离的平方2.已知AOB ∆中，3OB =，4OA =，5AB =，点P 是AOB ∆内切圆上一点，求以PA ，PB ，PO 为直径的三个圆面积之和的最大值和最小值. 数形结合和参数方程两种方法均可！3.设(),P x y 为圆()2211x y +-=上的任一点，欲使不等式0x y c ++≥恒成立，则c 的取值范围是____________. 答案：1c ≥（数形结合和参数方程两种方法均可！）七、圆的参数方程()222cos 0sin x r x y r r y r θθ=⎧+=>⇔⎨=⎩，θ为参数 ；()()()222cos 0sin x a r x a y b r r y b r θθ=+⎧-+-=>⇔⎨=+⎩，θ为参数 八、相关应用1.若直线240mx ny +-=（m ，n R ∈），始终平分圆224240x y x y +---=的周长，则m n ⋅的取值范围是______________.2.已知圆C ：222440x y x y +-+-=，问：是否存在斜率为1的直线l ，使l 被圆C 截得的弦为AB ，以AB 为直径的圆经过原点，若存在，写出直线l 的方程，若不存在，说明理由.提示：12120x x y y +=或弦长公式12d x =-. 答案：10x y -+=或40x y --=3.已知圆C ：()()22341x y -+-=，点()0,1A ，()0,1B ，设P 点是圆C 上的动点，22d PA PB =+，求d 的最值及对应的P 点坐标.4.已知圆C ：()()221225x y -+-=，直线l ：()()211740m x m y m +++--=（m R ∈） （1）证明：不论m 取什么值，直线l 与圆C 均有两个交点；（2）求其中弦长最短的直线方程.5.若直线y x k =-+与曲线x =k 的取值范围.6.已知圆2260x y x y m ++-+=与直线230x y +-=交于P ，Q 两点，O 为坐标原点，问：是否存在实数m ，使OP OQ ⊥，若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由.九、圆与圆的位置关系 1.判断方法：几何法（d 为圆心距）：（1）12d r r >+⇔外离 （2）12d r r =+⇔外切（3）1212r r d r r -<<+⇔相交 （4）12d r r =-⇔内切 （5）12d r r <-⇔内含2.两圆公共弦所在直线方程圆1C ：221110x y D x E y F ++++=，圆2C ：222220x y D x E y F ++++=，则()()()1212120D D x E E y F F -+-+-=为两相交圆公共弦方程.补充说明：若1C 与2C 相切，则表示其中一条公切线方程；若1C 与2C 相离，则表示连心线的中垂线方程. 3圆系问题（1）过两圆1C ：221110x y D x E y F ++++=和2C ：222220x y D x E y F ++++=交点的圆系方程为()22221112220x y D x E y F x y D x E y F λ+++++++++=（1λ≠-）说明：1）上述圆系不包括2C ；2）当1λ=-时，表示过两圆交点的直线方程（公共弦）（2）过直线0Ax By C ++=与圆220x y Dx Ey F ++++=交点的圆系方程()220x y Dx Ey F Ax By C λ+++++++= （3）两圆公切线的条数问题：①相内切时，有一条公切线；②相外切时，有三条公切线；③相交时，有两条公切线；④相离时，有四条公切线十、轨迹方程（1）定义法（圆的定义）（2）直接法：通过已知条件直接得出某种等量关系，利用这种等量关系，建立起动点坐标的关系式…轨迹方程. 例：过圆221x y +=外一点()2,0A 作圆的割线，求割线被圆截得的弦的中点的轨迹方程. 分析：222OP AP OA +=（3）相关点法（平移转换法）：一点随另一点的变动而变动特点为：主动点一定在某一已知的方程所表示的（固定）轨迹上运动.例1.如图，已知定点()2,0A ，点Q 是圆221x y +=上的动点，AOQ ∠的平分线交AQ 于M ，当Q 点在圆上移动时，求动点M 的轨迹方程.分析：角平分线定理和定比分点公式.例2.已知圆O ：229x y +=，点()3,0A ，B 、C 是圆O 上的两个动点，A 、B 、C 呈逆时针方向排列，且3BAC π∠=，求ABC ∆的重心G 的轨迹方程.法1：3BAC π∠=Q ，BC ∴为定长且等于33设(),G x y ，则33333A B C B C A B C BC x x x x x x y y y y y y ++++⎧==⎪⎪⎨+++⎪==⎪⎩取BC 的中点为33,24E x ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭，333,42E y ⎛⎤∈- ⎥ ⎝⎦ 222OE CE OC +=Q ，2294E E x y ∴+=L L （1） 2222B C E B C E B C E B C E x x x x x x y y y y y y +⎧=⎪+=⎧⎪⇒⎨⎨+=+⎩⎪=⎪⎩，3233322323E E E E x x x x y y y y +-⎧⎧==⎪⎪⎪⎪∴⇒⎨⎨⎪⎪==⎪⎪⎩⎩故由（1）得：()2222333933110,,,122422x y x y x y ⎛⎤-⎛⎫⎛⎫⎡⎫+=⇒-+=∈∈- ⎥ ⎪ ⎪⎪⎢ ⎝⎭⎝⎭⎣⎭⎝⎦法2：（参数法）设()3cos ,3sin B θθ，由223BOC BAC π∠=∠=，则 223cos ,3sin 33C ππθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 设(),G x y ，则 ()()233cos 3cos 231cos cos 133323sin 3sin 23sin sin 2333A B C A B C x x x x y y y y πθθπθθπθθπθθ⎧⎛⎫+++ ⎪⎪++⎛⎫⎝⎭⎪===+++ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪++ ⎪⎪++⎛⎫⎝⎭===++⎪ ⎪⎝⎭⎩L L L4,33ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，由()()()22112-+得：()2233110,,,122x y x y ⎛⎤⎡⎫-+=∈∈- ⎥⎪⎢ ⎣⎭⎝⎦参数法的本质是将动点坐标(),x y 中的x 和y 都用第三个变量（即参数）表示，通过消参．．得到动点轨迹方程，通过参数的范围得出x ，y 的范围.（4）求轨迹方程常用到得知识①重心(),G x y ，33A B C A B C x x x x y y y y ++⎧=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩②中点(),P x y ，121222x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩ ③内角平分线定理：BDABCD AC =④定比分点公式：AM MB λ=，则1A B M x x x λλ+=+，1A B M y y y λλ+=+ ⑤韦达定理. 高中数学圆的方程典型例题类型一：圆的方程例1 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关系．圆的方程为20)1(22=++y x ；点P 在圆外． 例2 求半径为4，与圆042422=---+y x y x 相切，且和直线0=y 相切的圆的方程． 圆的方程为2224)4()622(=++--y x ，或2224)4()622(=+++-y x ．例3 求经过点)5,0(A ，且与直线02=-y x 和02=+y x 都相切的圆的方程．分析：欲确定圆的方程．需确定圆心坐标与半径，由于所求圆过定点A ，故只需确定圆心坐标．又圆与两已知直线相切，故圆心必在它们的交角的平分线上．解：∵圆和直线02=-y x 与02=+y x 相切，∴圆心C 在这两条直线的交角平分线上，又圆心到两直线02=-y x 和02=+y x 的距离相等． ∴5252yx yx +=-．∴两直线交角的平分线方程是03=+y x 或03=-y x ．又∵圆过点)5,0(A ，∴圆心C 只能在直线03=-y x 上．设圆心)3,(t t C∵C 到直线02=+y x 的距离等于AC ， ∴22)53(532-+=+t t tt ．化简整理得0562=+-t t ．解得：1=t 或5=t∴圆心是)3,1(，半径为5或圆心是)15,5(，半径为55．∴所求圆的方程为5)3()1(22=-+-y x 或125)15()5(22=-+-y x ． 说明：本题解决的关键是分析得到圆心在已知两直线的交角平分线上，从而确定圆心坐标得到圆的方程，这是过定点且与两已知直线相切的圆的方程的常规求法．例4、 设圆满足：(1)截y 轴所得弦长为2；(2)被x 轴分成两段弧，其弧长的比为1:3，在满足条件(1)(2)的所有圆中，求圆心到直线02=-y x l ：的距离最小的圆的方程．分析：要求圆的方程，只须利用条件求出圆心坐标和半径，便可求得圆的标准方程．满足两个条件的圆有无数个，其圆心的集合可看作动点的轨迹，若能求出这轨迹的方程，便可利用点到直线的距离公式，通过求最小值的方法找到符合题意的圆的圆心坐标，进而确定圆的半径，求出圆的方程．解法一：设圆心为),(b a P ，半径为r ．则P 到x 轴、y 轴的距离分别为b 和a ．由题设知：圆截x 轴所得劣弧所对的圆心角为︒90，故圆截x 轴所得弦长为r 2．∴222b r =又圆截y 轴所得弦长为2．∴122+=a r ． 又∵),(b a P 到直线02=-y x 的距离为52ba d -= ∴2225b a d -=ab b a 4422-+=)(242222b a b a +-+≥1222=-=a b当且仅当b a =时取“=”号，此时55min =d ． 这时有⎩⎨⎧=-=1222a b b a ∴⎩⎨⎧==11b a 或⎩⎨⎧-=-=11b a 又2222==b r故所求圆的方程为2)1()1(22=-+-y x 或2)1()1(22=+++y x 解法二：同解法一，得52ba d -=． ∴db a 52±=-． ∴2225544d bd b a +±=．将1222-=b a 代入上式得： 01554222=++±d bd b ．上述方程有实根，故0)15(82≥-=∆d ， ∴55≥d ． 将55=d 代入方程得1±=b ． 又1222+=a b ∴1±=a ． 由12=-b a 知a 、b 同号．故所求圆的方程为2)1()1(22=-+-y x 或2)1()1(22=+++y x ． 说明：本题是求点到直线距离最小时的圆的方程，若变换为求面积最小呢？类型二：切线方程、切点弦方程、公共弦方程例5 已知圆422=+y x O ：，求过点()42，P 与圆O 相切的切线． 解：∵点()42，P 不在圆O 上， ∴切线PT 的直线方程可设为()42+-=x k y根据r d =∴ 21422=++-k k解得 43=k 所以 ()4243+-=x y 即 01043=+-y x因为过圆外一点作圆得切线应该有两条，可见另一条直线的斜率不存在．易求另一条切线为2=x ． 说明：上述解题过程容易漏解斜率不存在的情况，要注意补回漏掉的解．本题还有其他解法，例如把所设的切线方程代入圆方程，用判别式等于0解决（也要注意漏解）．还可以运用200r y y x x =+，求出切点坐标0x 、0y 的值来解决，此时没有漏解．例6 两圆0111221=++++F y E x D y x C ：与0222222=++++F y E x D y x C ：相交于A 、B 两点，求它们的公共弦AB 所在直线的方程．分析：首先求A 、B 两点的坐标，再用两点式求直线AB 的方程，但是求两圆交点坐标的过程太繁．为了避免求交点，可以采用“设而不求”的技巧．解：设两圆1C 、2C 的任一交点坐标为),(00y x ，则有：0101012020=++++F y E x D y x ① 0202022020=++++F y E x D y x ②①－②得：0)()(21021021=-+-+-F F y E E x D D ．∵A 、B 的坐标满足方程0)()(212121=-+-+-F F y E E x D D ． ∴方程0)()(212121=-+-+-F F y E E x D D 是过A 、B 两点的直线方程． 又过A 、B 两点的直线是唯一的．∴两圆1C 、2C 的公共弦AB 所在直线的方程为0)()(212121=-+-+-F F y E E x D D ．说明：上述解法中，巧妙地避开了求A 、B 两点的坐标，虽然设出了它们的坐标，但并没有去求它，而是利用曲线与方程的概念达到了目标．从解题的角度上说，这是一种“设而不求”的技巧，从知识内容的角度上说，还体现了对曲线与方程的关系的深刻理解以及对直线方程是一次方程的本质认识．它的应用很广泛．例7、过圆122=+y x 外一点)3,2(M ，作这个圆的两条切线MA 、MB ，切点分别是A 、B ，求直线AB 的方程。
圆与方程知识点总结
圆梦教育中心 圆与方程知识点总结1. 圆的标准方程：以点),(b a C 为圆心，r 为半径的圆的标准方程是222)()(r b y a x =-+-.特例：圆心在坐标原点，半径为r 的圆的方程是：222r y x =+.2. 点与圆的位置关系：(1). 设点到圆心的距离为d ，圆半径为r ：a.点在圆内 d ＜r ；b.点在圆上 d=r ；c.点在圆外 d ＞r(2). 给定点),(00y x M 及圆222)()(:r b y a x C =-+-.①M 在圆C 内22020)()(r b y a x <-+-⇔②M 在圆C 上22020)()r b y a x =-+-⇔（ ③M 在圆C 外22020)()(r b y a x >-+-⇔（3）涉及最值：① 圆外一点B ，圆上一动点P ，讨论PB 的最值min PB BN BC r ==-max PB BM BC r ==+② 圆内一点A ，圆上一动点P ，讨论PA 的最值min PA AN r AC ==-max PA AM r AC ==+思考：过此A 点作最短的弦？（此弦垂直AC ）3. 圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x .(1) 当0422>-+F E D 时，方程表示一个圆，其中圆心⎪⎭⎫ ⎝⎛--2,2E D C ，半径2422F E D r -+=. (2) 当0422=-+F E D 时，方程表示一个点⎪⎭⎫ ⎝⎛--2,2E D . (3) 当0422<-+F E D 时，方程不表示任何图形.注：方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆的充要条件是：0=B 且0≠=C A 且0422 AF E D -+.4. 直线与圆的位置关系：直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+-圆心到直线的距离22B A CBb Aa d +++=1）无交点直线与圆相离⇔⇔>r d ；2）只有一个交点直线与圆相切⇔⇔=r d ；3）有两个交点直线与圆相交⇔⇔<r d ；弦长|AB|=222d r - d r d=r r d还可以利用直线方程与圆的方程联立方程组⎩⎨⎧=++++=++0022F Ey Dx y x C By Ax 求解，通过解的个数来判断：（1）当0>∆时，直线与圆有2个交点，，直线与圆相交；（2）当0=∆时，直线与圆只有1个交点，直线与圆相切；（3）当0<∆时，直线与圆没有交点，直线与圆相离；5. 两圆的位置关系（1）设两圆2121211)()(:r b y a x C =-+-与圆2222222)()(:r b y a x C =-+-， 圆心距221221)()(b b a a d -+-=① 条公切线外离421⇔⇔+>r r d ；② 条公切线外切321⇔⇔+=r r d ；③ 条公切线相交22121⇔⇔+<<-r r d r r ；④ 条公切线内切121⇔⇔-=r r d ；⑤ 无公切线内含⇔⇔-<<210r r d ；外离 外切 相交 内切（2）两圆公共弦所在直线方程圆1C ：221110x y D x E y F ++++=，圆2C ：222220x y D x E y F ++++=，则()()()1212120D D x E E y F F -+-+-=为两相交圆公共弦方程.补充说明：① 若1C 与2C 相切，则表示其中一条公切线方程；② 若1C 与2C 相离，则表示连心线的中垂线方程.（3）圆系问题过两圆1C ：221110x y D x E y F ++++=和2C ：222220x y D x E y F ++++=交点的圆系方程为()22221112220x y D x E y F x y D x E y F λ+++++++++=（1λ≠-）补充：① 上述圆系不包括2C ；② 2）当1λ=-时，表示过两圆交点的直线方程（公共弦）③ 过直线0A x B y C ++=与圆220x y Dx Ey F ++++=交点的圆系方程为()220x y Dx Ey F Ax By C λ+++++++=6. 过一点作圆的切线的方程：(1) 过圆外一点的切线：①k 不存在，验证是否成立②k 存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，即⎪⎩⎪⎨⎧+---=-=-1)()(2110101R x a k y b R x x k y y 求解k ，得到切线方程【一定两解】例1. 经过点P(1，—2)点作圆(x+1)2+(y —2)2=4的切线，则切线方程为 。
高二数学必修二-第四章-圆与圆的方程知识点汇总
高二数学必修二-第四章-圆与圆的方程知识点汇总————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：第四章 圆 与 方 程★1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点为圆心，定长为圆的半径。
设M （x,y ）为⊙A 上任意一点，则圆的集合可以写作：P = {M | |MA| = r }★2、圆的方程（1）标准方程()()222r b y a x =-+-，圆心()b a ,，半径为r ；点00(,)M x y 与圆222()()x a y b r -+-=的位置关系：当2200()()x a y b -+->2r ，点在圆外; 当2200()()x a y b -+-=2r ，点在圆上 当2200()()x a y b -+-<2r ，点在圆内; （2）一般方程022=++++F Ey Dx y x（x+D/2)2+(y+E/2)2=(D 2+E 2-4F)/4 （0422>-+F E D ）当0422>-+F E D 时，方程表示圆，此时圆心为⎪⎭⎫ ⎝⎛--2,2E D ，半径为F E D r 42122-+=当0422=-+F E D 时，表示一个点；当0422<-+F E D 时，方程不表示任何图形。
（3）求圆的方程的方法：①待定系数法：先设后求。
确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程， 需求出a ，b ，r ；若利用一般方程，需要求出D ，E ，F ；②直接法：直接根据已知条件求出圆心坐标以及半径长度。
另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过圆心，以此来确定圆心的位置。
★3、直线与圆的位置关系：直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况：（1）设直线0:=++C By Ax l ，圆()()222:r b y a x C =-+-，圆心()b a C ,到l 的距离为22B A C Bb Aa d +++=，则有相离与C l r d ⇔>；相切与C l r d ⇔=；相交与C l r d ⇔<（2）过圆外一点的切线：设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，求解k ，①若求得两个不同的解，带入所设切线的方程即可；②若求得两个相同的解，带入切线方程，得到一条切线；接下来验证过该点的斜率不存在的直线（此 时，该直线一定为另一条切线）(3) 过圆上一点的切线方程：圆(x-a)2+(y-b)2=r 2，圆上一点为(x 0，y 0)，则过此点的切线方程为(x 0-a)(x-a)+(y 0-b)(y-b)= r 2两圆的位置关系 判断条件 公切线条数外离 ｄ＞ｒ1+ｒ2 4条 外切 ｄ＝ｒ1+ｒ2 3条 相交 |ｒ1-ｒ2|＜ｄ＜ｒ1+ｒ2 2条 内切 ｄ＝|ｒ1-ｒ2| 1条 内含ｄ＜|ｒ1-ｒ2|0条★4、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和（差），与圆心距（d ）之间的大小比较来确定。
圆与方程知识点
圆与方程知识点GE GROUP system office room 【GEIHUA16H-GEIHUA GEIHUA8Q8-关于圆与方程的知识点整理一、标准方程:()()222x a y b r -+-=二、一般方程：()2222040x y Dx Ey F D E F ++++=+-> 1.220Ax By Cxy Dx Ey F +++++=表示圆方程则2.求圆的一般方程一般可采用待定系数法。
3.2240D E F +->常可用来求有关参数的范围三、点与圆的位置关系1.判断方法：点到圆心的距离d 与半径r 的大小：d r <⇒点在圆内；d r =⇒点在圆上；d r >⇒点在圆外2.涉及最值：（1）圆外一点B ，圆上一动点P ，讨论PB 的最值 （2）圆内一点A ，圆上一动点P ，讨论PA 的最值四、直线与圆的位置关系1.判断方法（d 为圆心到直线的距离）：（1）相离⇔没有公共点⇔0d r ∆<⇔>；（2）相切⇔只有一个公共点⇔0d r ∆=⇔=；（3）相交⇔有两个公共点⇔0d r ∆>⇔<。
这一知识点可以出如此题型：告诉你直线与圆相交让你求有关参数的范围. 2.直线与圆相切（1）知识要点：①基本图形②主要元素：切点坐标、切线方程、切线长等问题：直线l 与圆C 相切意味着什么圆心C 到直线l 的距离恰好等于半径r （2）常见题型——求过定点的切线方程①切线条数：点在圆外——两条；点在圆上……一条；点在圆内……无 ②求切线方程的方法及注意点．．．i ）点在圆外：如定点()00,P x y ，圆：()()222x a y b r -+-=，[()()22200x a y b r -+->] 第一步：设切线l 方程()00y y k x x -=-；第二步：通过d r =k ⇒，从而得到切线方程特别注意：以上解题步骤仅对k 存在有效，当k 不存在时，应补上……千万不要漏了！如：过点()1,1P 作圆2246120x y x y +--+=的切线，求切线方程.ii ）点在圆上：（1）若点()00x y ，在圆222x y r +=上，则切线方程为200x x y y r += （2）若点()00x y ，在圆()()222x a y b r -+-=上，则切线方程为()()()()200x a x a y b y b r --+--=由上述分析：过一定点求某圆的切线方程，非常重要的第一步——判断点与圆的位置关系，得出切线的条数.③求切线长：利用基本图形，222AP CP r AP =-⇒=求切点坐标：利用两个关系列出两个方程1AC APAC rk k ⎧=⎨⋅=-⎩3.直线与圆相交（1）求弦长及弦长的应用问题：垂径定理．．．．及勾股定理——常用弦长公式：12l x =-=（2）判断直线与圆相交的一种特殊方法：直线过定点，而定点恰好在圆内. （3）关于点的个数问题例：若圆()()22235x y r -++=上有且仅有两个点到直线4320x y --=的距离为1，则半径r 的取值范围是_________________. 答案：()4,64.直线与圆相离：会对直线与圆相离作出判断（特别是涉及一些参数时） 五、对称问题1.若圆()222120x y m x my m ++-+-=，关于直线10x y -+=，则实数m 的值为____. 答案：3（注意：1m =-时，2240D E F +-<，故舍去）变式：已知点A 是圆C :22450x y ax y +++-=上任意一点，A 点关于直线210x y +-=的对称点在圆C 上，则实数a =_________.2.圆()()22131x y -+-=关于直线0x y +=对称的曲线方程是________________.变式：已知圆1C ：()()22421x y -+-=与圆2C ：()()22241x y -+-=关于直线l 对称，则直线l 的方程为_______________.3.圆()()22311x y -++=关于点()2,3对称的曲线方程是__________________. 4.已知直线l ：y x b =+与圆C ：221x y +=，问：是否存在实数b 使自()3,3A 发出的光线被直线l 反射后与圆C 相切于点247,2525B ⎛⎫⎪⎝⎭若存在，求出b 的值；若不存在，试说明理由.六、最值问题 方法主要有三种：（1）数形结合；（2）代换；（3）参数方程1.已知实数x ，y 满足方程22410x y x +-+=，求： （1）5yx -的最大值和最小值；——看作斜率 （2）y x -的最小值；——截距（线性规划）（3）22x y +的最大值和最小值.——两点间的距离的平方2.已知AOB ∆中，3OB =，4OA =，5AB =，点P 是AOB ∆内切圆上一点，求以PA ，PB ，PO 为直径的三个圆面积之和的最大值和最小值. 数形结合和参数方程两种方法均可！3.设(),P x y 为圆()2211x y +-=上的任一点，欲使不等式0x y c ++≥恒成立，则c 的取值范围是____________. 答案：1c ≥（数形结合和参数方程两种方法均可！）七、圆的参数方程()222cos 0sin x r x y r r y r θθ=⎧+=>⇔⎨=⎩，θ为参数 ；()()()222cos 0sin x a r x a y b r r y b r θθ=+⎧-+-=>⇔⎨=+⎩，θ为参数 八、相关应用1.若直线240mx ny +-=（m ，n R ∈），始终平分圆224240x y x y +---=的周长，则m n ⋅的取值范围是______________.2.已知圆C ：222440x y x y +-+-=，问：是否存在斜率为1的直线l ，使l 被圆C 截得的弦为AB ，以AB 为直径的圆经过原点，若存在，写出直线l 的方程，若不存在，说明理由.提示：12120x x y y +=或弦长公式12d x =-. 答案：10x y -+=或40x y --= 3.已知圆C ：()()22341x y -+-=，点()0,1A ，()0,1B ，设P 点是圆C 上的动点，22d PA PB =+，求d 的最值及对应的P 点坐标.4.已知圆C ：()()221225x y -+-=，直线l ：()()211740m x m y m +++--=（m R ∈） （1）证明：不论m 取什么值，直线l 与圆C 均有两个交点； （2）求其中弦长最短的直线方程.5.若直线y x k =-+与曲线x =k 的取值范围.6.已知圆2260x y x y m ++-+=与直线230x y +-=交于P ，Q 两点，O 为坐标原点，问：是否存在实数m ，使OP OQ ⊥，若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由.九、圆与圆的位置关系1.判断方法：几何法（d 为圆心距）：（1）12d r r >+⇔外离 （2）12d r r =+⇔外切 （3）1212r r d r r -<<+⇔相交 （4）12d r r =-⇔内切 （5）12d r r <-⇔内含2.两圆公共弦所在直线方程圆1C ：221110x y D x E y F ++++=，圆2C ：222220x y D x E y F ++++=， 则()()()1212120D D x E E y F F -+-+-=为两相交圆公共弦方程.补充说明：若1C 与2C 相切，则表示其中一条公切线方程；若1C 与2C 相离，则表示连心线的中垂线方程. 3圆系问题（1）过两圆1C ：221110x y D x E y F ++++=和2C ：222220x y D x E y F ++++=交点的圆系方程为()22221112220x y D x E y F x y D x E y F λ+++++++++=（1λ≠-）说明：1）上述圆系不包括2C ；2）当1λ=-时，表示过两圆交点的直线方程（公共弦）（2）过直线0Ax By C ++=与圆220x y Dx Ey F ++++=交点的圆系方程()220x y Dx Ey F Ax By C λ+++++++=（3）两圆公切线的条数问题：①相内切时，有一条公切线；②相外切时，有三条公切线；③相交时，有两条公切线；④相离时，有四条公切线 十、轨迹方程（1）定义法（圆的定义）（2）直接法：通过已知条件直接得出某种等量关系，利用这种等量关系，建立起动点坐标的关系式…轨迹方程.例：过圆221x y +=外一点()2,0A 作圆的割线，求割线被圆截得的弦的中点的轨迹方程.分析：222OP AP OA +=（3）相关点法（平移转换法）：一点随另一点的变动而变动特点为：主动点一定在某一已知的方程所表示的（固定）轨迹上运动.例1.如图，已知定点()2,0A ，点Q 是圆221x y +=上的动点，AOQ ∠的平分线交AQ 于M ，当Q 点在圆上移动时，求动点M 的轨迹方程.分析：角平分线定理和定比分点公式.例2.已知圆O ：229x y +=，点()3,0A ，B 、C 是圆O 上的两个动点，A 、B 、C 呈逆时针方向排列，且3BAC π∠=，求ABC ∆的重心G 的轨迹方程.法1：3BAC π∠=，BC ∴为定长且等于33设(),G x y ，则33333A B C B C A B C BC x x x x x x y y y y y y ++++⎧==⎪⎪⎨+++⎪==⎪⎩取BC 的中点为33,24E x ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭，333,2E y ⎛⎤∈- ⎥ ⎝⎦222OE CE OC +=，2294E E x y ∴+=（1）2222B C E B C E B C E B C Ex x x x x x y y y y y y +⎧=⎪+=⎧⎪⇒⎨⎨+=+⎩⎪=⎪⎩，3233322323E E E E x x x x y y yy +-⎧⎧==⎪⎪⎪⎪∴⇒⎨⎨⎪⎪==⎪⎪⎩⎩故由（1）得：()2222333933110,,,12242x y x y x y ⎛⎤-⎛⎫⎛⎫⎡⎫+=⇒-+=∈∈- ⎥ ⎪ ⎪⎪⎢ ⎝⎭⎝⎭⎣⎭⎝⎦法2：（参数法）设()3cos ,3sin B θθ，由223BOC BAC π∠=∠=，则 设(),G x y ，则4,33ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，由()()()22112-+得：()2233110,,,12x y x y ⎛⎤⎡⎫-+=∈∈- ⎥⎪⎢ ⎣⎭⎝⎦参数法的本质是将动点坐标(),x y 中的x 和y 都用第三个变量（即参数）表示，通过消参．．得到动点轨迹方程，通过参数的范围得出x ，y 的范围.（4）求轨迹方程常用到得知识①重心(),G x y ，33A B C A B C x x x x y y y y ++⎧=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩②中点(),P x y ，121222x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩③内角平分线定理：BD ABCD AC=④定比分点公式：AMMB λ=，则1AB M x x x λλ+=+，1A B M y y y λλ+=+ ⑤韦达定理.高中数学圆的方程典型例题类型一：圆的方程例1 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关系．圆的方程为20)1(22=++y x ；点P 在圆外．例2 求半径为4，与圆042422=---+y x y x 相切，且和直线0=y 相切的圆的方程．圆的方程为2224)4()622(=++--y x ，或2224)4()622(=+++-y x ． 例3 求经过点)5,0(A ，且与直线02=-y x 和02=+y x 都相切的圆的方程．分析：欲确定圆的方程．需确定圆心坐标与半径，由于所求圆过定点A ，故只需确定圆心坐标．又圆与两已知直线相切，故圆心必在它们的交角的平分线上．解：∵圆和直线02=-y x 与02=+y x 相切，∴圆心C 在这两条直线的交角平分线上，又圆心到两直线02=-y x 和02=+y x 的距离相等．∴5252y x y x +=-．∴两直线交角的平分线方程是03=+y x 或03=-y x ． 又∵圆过点)5,0(A ，∴圆心C 只能在直线03=-y x 上． 设圆心)3,(t t C∵C 到直线02=+y x 的距离等于AC ，∴22)53(532-+=+t t t t ．化简整理得0562=+-t t ． 解得：1=t 或5=t∴圆心是)3,1(，半径为5或圆心是)15,5(，半径为55． ∴所求圆的方程为5)3()1(22=-+-y x 或125)15()5(22=-+-y x ．说明：本题解决的关键是分析得到圆心在已知两直线的交角平分线上，从而确定圆心坐标得到圆的方程，这是过定点且与两已知直线相切的圆的方程的常规求法．例4、 设圆满足：(1)截y 轴所得弦长为2；(2)被x 轴分成两段弧，其弧长的比为1:3，在满足条件(1)(2)的所有圆中，求圆心到直线02=-y x l ：的距离最小的圆的方程．分析：要求圆的方程，只须利用条件求出圆心坐标和半径，便可求得圆的标准方程．满足两个条件的圆有无数个，其圆心的集合可看作动点的轨迹，若能求出这轨迹的方程，便可利用点到直线的距离公式，通过求最小值的方法找到符合题意的圆的圆心坐标，进而确定圆的半径，求出圆的方程．解法一：设圆心为),(b a P ，半径为r ． 则P 到x 轴、y 轴的距离分别为b 和a ．由题设知：圆截x 轴所得劣弧所对的圆心角为︒90，故圆截x 轴所得弦长为r 2．∴222b r =又圆截y 轴所得弦长为2．∴122+=a r ．又∵),(b a P 到直线02=-y x 的距离为∴2225b a d -=当且仅当b a =时取“=”号，此时55min =d ． 这时有⎩⎨⎧=-=1222a b ba∴⎩⎨⎧==11b a 或⎩⎨⎧-=-=11b a 又2222==b r故所求圆的方程为2)1()1(22=-+-y x 或2)1()1(22=+++y x 解法二：同解法一，得52b a d -=．∴d b a 52±=-． ∴2225544d bd b a +±=． 将1222-=b a 代入上式得：01554222=++±d bd b ．上述方程有实根，故0)15(82≥-=∆d ，∴55≥d ． 将55=d 代入方程得1±=b ． 又1222+=a b ∴1±=a ． 由12=-b a 知a 、b 同号．故所求圆的方程为2)1()1(22=-+-y x 或2)1()1(22=+++y x ．说明：本题是求点到直线距离最小时的圆的方程，若变换为求面积最小呢 类型二：切线方程、切点弦方程、公共弦方程例5 已知圆422=+y x O ：，求过点()42，P 与圆O 相切的切线． 解：∵点()42，P 不在圆O 上， ∴切线PT 的直线方程可设为()42+-=x k y根据r d =∴ 21422=++-kk解得 43=k 所以 ()4243+-=x y 即 01043=+-y x因为过圆外一点作圆得切线应该有两条，可见另一条直线的斜率不存在．易求另一条切线为2=x ．说明：上述解题过程容易漏解斜率不存在的情况，要注意补回漏掉的解． 本题还有其他解法，例如把所设的切线方程代入圆方程，用判别式等于0解决（也要注意漏解）．还可以运用200r y y x x =+，求出切点坐标0x 、0y 的值来解决，此时没有漏解．例6 两圆0111221=++++F y E x D y x C ：与0222222=++++F y E x D y x C ：相交于A 、B 两点，求它们的公共弦AB 所在直线的方程．分析：首先求A 、B 两点的坐标，再用两点式求直线AB 的方程，但是求两圆交点坐标的过程太繁．为了避免求交点，可以采用“设而不求”的技巧．解：设两圆1C 、2C 的任一交点坐标为),(00y x ，则有：0101012020=++++F y E x D y x ①0202022020=++++F y E x D y x ②①－②得：0)()(21021021=-+-+-F F y E E x D D ．∵A 、B 的坐标满足方程0)()(212121=-+-+-F F y E E x D D ．∴方程0)()(212121=-+-+-F F y E E x D D 是过A 、B 两点的直线方程． 又过A 、B 两点的直线是唯一的．∴两圆1C 、2C 的公共弦AB 所在直线的方程为0)()(212121=-+-+-F F y E E x D D ． 说明：上述解法中，巧妙地避开了求A 、B 两点的坐标，虽然设出了它们的坐标，但并没有去求它，而是利用曲线与方程的概念达到了目标．从解题的角度上说，这是一种“设而不求”的技巧，从知识内容的角度上说，还体现了对曲线与方程的关系的深刻理解以及对直线方程是一次方程的本质认识．它的应用很广泛． 例7、过圆122=+y x 外一点)3,2(M ，作这个圆的两条切线MA 、MB ，切点分别是A 、B ，求直线AB 的方程。
圆与方程知识点
1 2 2 ）半径 2 D E 4F
2.特殊位置的圆的标准方程设法（无需记，关 键能理解）
圆心在原点 圆心在 x 轴上 圆心在 y 轴上 与 x 轴相切 与 y 轴相切 与两坐标轴都相切
x2 y 2 r 2 r 0
2 2 x a y r r 0 2
变式5．求圆 x2 y 2 4 x 12 y 39 0 关于直线3x-4y+5=0 的对称圆方程.
题型二 求轨迹方程与切线方程
例1.一曲线是与定点O(0,0)，A(3,0)距离的 1 比是 的点的轨迹，求此曲线的轨迹方程
2
例2.从点P(4,5)向圆(x－2)2＋y2=4引切线,求切线方程.
③ M 在圆 C 外 ( x0 a)2 ( y 0 b)2 r 2
三、直线与圆的位置关系判断方法
（1）几何法：由圆心到直线的距离d和圆的半径r的 大小关系来判断。 d=r 为相切， d<r 为相交， d>r为相离。
适用于已知直线和圆的方程判断二者关系。 利用这种方法，可以简单的算出直线与圆相交时的相交弦的长， 以及当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最远、最近距离等。
D F 4, 3 2 2
得圆心坐标为（4，-3）.
变式2（01年全国卷.文）过点A (1,-1)、B (-1,1)且圆 心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程是（C）
A.( x 3) ( y 1) 4
2 2
B.( x 3) ( y 1) 4
2 2
C.( x 1) ( y 1) 4
解：将圆的方程写成标准形式有 x2+(y+2) 2=25,所以圆心为(0,-2),半径为 5.因为直线 l 被圆 x2+y2+4y-21=0 所截得的弦长为 4 5 ,所以弦心距为 5 (2 5 ) = 5 ,圆心到直线的距离
圆与方程知识点整理
关于圆与方程的知识点整理 一、标准方程:()()222x a y b r -+-= 二、一般方程：()2222040x y Dx Ey F D E F ++++=+->1.220Ax By Cxy Dx Ey F +++++=表示圆方程则 222200004040A B A B C C D E AF D E F A A A ⎧⎪=≠=≠⎧⎪⎪⎪=⇔=⎨⎨⎪⎪+->⎩⎛⎫⎛⎫⎪+-⋅> ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩ 2.求圆的一般方程一般可采用待定系数法。
3.2240D E F +->常可用来求有关参数的范围 三、点与圆的位置关系1.判断方法：点到圆心的距离d 与半径r 的大小：d r <⇒点在圆内；d r =⇒点在圆上；d r >⇒点在圆外2.涉及最值：（1）圆外一点B ，圆上一动点P ，讨论PB 的最值min PB BN BC r ==-max PB BM BC r ==+（2）圆内一点A ，圆上一动点P ，讨论PA 的最值min PA AN r AC ==-max PA AM r AC ==+四、直线与圆的位置关系1.判断方法（d 为圆心到直线的距离）：（1）相离⇔没有公共点⇔0d r ∆<⇔>；（2）相切⇔只有一个公共点⇔0d r ∆=⇔=；（3）相交⇔有两个公共点⇔0d r ∆>⇔<。
这一知识点可以出如此题型：告诉你直线与圆相交让你求有关参数的范围.2.直线与圆相切（1）知识要点：①基本图形②主要元素：切点坐标、切线方程、切线长等问题：直线l 与圆C 相切意味着什么？圆心C 到直线l 的距离恰好等于半径r（2）常见题型——求过定点的切线方程①切线条数：点在圆外——两条；点在圆上……一条；点在圆内……无②求切线方程的方法及注意点．．．i ）点在圆外：如定点()00,P x y ，圆：()()222x a y b r -+-=，[()()22200x a y b r -+->] 第一步：设切线l 方程()00y y k x x -=-；第二步：通过d r =k ⇒，从而得到切线方程特别注意：以上解题步骤仅对k 存在有效，当k 不存在时，应补上……千万不要漏了！如：过点()1,1P 作圆2246120x y x y +--+=的切线，求切线方程. ii ）点在圆上：（1）若点()00x y ，在圆222x y r +=上，则切线方程为200x x y y r +=（2）若点()00x y ，在圆()()222x a y b r -+-=上，则切线方程为()()()()200x a x a y b y b r --+--= 由上述分析：过一定点求某圆的切线方程，非常重要的第一步——判断点与圆的位置关系，得出切线的条数.③求切线长：利用基本图形，22222AP CP r AP CP r =-⇒=- 求切点坐标：利用两个关系列出两个方程1AC APAC r k k ⎧=⎨⋅=-⎩ 3.直线与圆相交（1）求弦长及弦长的应用问题：垂径定理．．．．及勾股定理——常用 弦长公式：()()222121212114l k x x k x x x x ⎡⎤=+-=++-⎣⎦（2）判断直线与圆相交的一种特殊方法：直线过定点，而定点恰好在圆内.（3）关于点的个数问题例：若圆()()22235x y r -++=上有且仅有两个点到直线4320x y --=的距离为1，则半径r 的取值范围是_________________. 答案：()4,64.直线与圆相离：会对直线与圆相离作出判断（特别是涉及一些参数时）五、对称问题1.若圆()222120x y m x my m ++-+-=，关于直线10x y -+=，则实数m 的值为____.答案：3（注意：1m =-时，2240D E F +-<，故舍去） 变式：已知点A 是圆C :22450x y ax y +++-=上任意一点，A 点关于直线210x y +-=的对称点在圆C 上，则实数a =_________.2.圆()()22131x y -+-=关于直线0x y +=对称的曲线方程是________________. 变式：已知圆1C ：()()22421x y -+-=与圆2C ：()()22241x y -+-=关于直线l 对称，则直线l 的方程为_______________.3.圆()()22311x y -++=关于点()2,3对称的曲线方程是__________________.4.已知直线l ：y x b =+与圆C ：221x y +=，问：是否存在实数b 使自()3,3A 发出的光线被直线l 反射后与圆C 相切于点247,2525B ⎛⎫ ⎪⎝⎭？若存在，求出b 的值；若不存在，试说明理由. 六、最值问题 方法主要有三种：（1）数形结合；（2）代换；（3）参数方程1.已知实数x ，y 满足方程22410x y x +-+=，求： （1）5y x -的最大值和最小值；——看作斜率 （2）y x -的最小值；——截距（线性规划） （3）22x y +的最大值和最小值.——两点间的距离的平方2.已知AOB ∆中，3OB =，4OA =，5AB =，点P 是AOB ∆内切圆上一点，求以PA ，PB ，PO 为直径的三个圆面积之和的最大值和最小值. 数形结合和参数方程两种方法均可！3.设(),P x y 为圆()2211x y +-=上的任一点，欲使不等式0x y c ++≥恒成立，则c 的取值范围是____________. 答案：1c ≥（数形结合和参数方程两种方法均可！）七、圆的参数方程()222cos 0sin x r x y r r y r θθ=⎧+=>⇔⎨=⎩，θ为参数 ；()()()222cos 0sin x a r x a y b r r y b r θθ=+⎧-+-=>⇔⎨=+⎩，θ为参数八、相关应用1.若直线240mx ny +-=（m ，n R ∈），始终平分圆224240x y x y +---=的周长，则m n ⋅的取值范围是______________.2.已知圆C ：222440x y x y +-+-=，问：是否存在斜率为1的直线l ，使l 被圆C 截得的弦为AB ，以AB 为直径的圆经过原点，若存在，写出直线l 的方程，若不存在，说明理由.提示：12120x x y y +=或弦长公式12d x =-. 答案：10x y -+=或40x y --=3.已知圆C ：()()22341x y -+-=，点()0,1A ，()0,1B ，设P 点是圆C 上的动点，22d PA PB =+，求d 的最值及对应的P 点坐标.4.已知圆C ：()()221225x y -+-=，直线l ：()()211740m x m y m +++--=（m R ∈） （1）证明：不论m 取什么值，直线l 与圆C 均有两个交点；（2）求其中弦长最短的直线方程.5.若直线y x k =-+与曲线x =，则k 的取值范围.6.已知圆2260x y x y m ++-+=与直线230x y +-=交于P ，Q 两点，O 为坐标原点，问：是否存在实数m ，使OP OQ ⊥，若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由.九、圆与圆的位置关系1.判断方法：几何法（d 为圆心距）：（1）12d r r >+⇔外离 （2）12d r r =+⇔外切（3）1212r r d r r -<<+⇔相交 （4）12d r r =-⇔内切 （5）12d r r <-⇔内含2.两圆公共弦所在直线方程圆1C ：221110x y D x E y F ++++=，圆2C ：222220x y D x E y F ++++=，则()()()1212120D D x E E y F F -+-+-=为两相交圆公共弦方程.补充说明：若1C 与2C 相切，则表示其中一条公切线方程；若1C 与2C 相离，则表示连心线的中垂线方程. 3圆系问题（1）过两圆1C ：221110x y D x E y F ++++=和2C ：222220x y D x E y F ++++=交点的圆系方程为()22221112220x y D x E y F x y D x E y F λ+++++++++=（1λ≠-）说明：1）上述圆系不包括2C ；2）当1λ=-时，表示过两圆交点的直线方程（公共弦）（2）过直线0Ax By C ++=与圆220x y Dx Ey F ++++=交点的圆系方程()220x y Dx Ey F Ax By C λ+++++++= （3）两圆公切线的条数问题：①相内切时，有一条公切线；②相外切时，有三条公切线；③相交时，有两条公切线；④相离时，有四条公切线十、轨迹方程（1）定义法（圆的定义）（2）直接法：通过已知条件直接得出某种等量关系，利用这种等量关系，建立起动点坐标的关系式…轨迹方程.例：过圆221x y +=外一点()2,0A 作圆的割线，求割线被圆截得的弦的中点的轨迹方程. 分析：222OP AP OA +=（3）相关点法（平移转换法）：一点随另一点的变动而变动特点为：主动点一定在某一已知的方程所表示的（固定）轨迹上运动.例1.如图，已知定点()2,0A ，点Q 是圆221x y +=上的动点，AOQ ∠的平分线交AQ 于M ，当Q 点在圆上移动时，求动点M 的轨迹方程.分析：角平分线定理和定比分点公式.例2.已知圆O ：229x y +=，点()3,0A ，B 、C 是圆O 上的两个动点，A 、B 、C 呈逆时针方向排列，且3BAC π∠=，求ABC ∆的重心G 的轨迹方程.法1：3BAC π∠=Q ，BC ∴为定长且等于33设(),G x y ，则33333A B C B C A B C B Cx x x x x x y y y y y y ++++⎧==⎪⎪⎨+++⎪==⎪⎩取BC 的中点为33,24E x ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭，333,2E y ⎛⎤∈- ⎥ ⎝⎦ 222OE CE OC +=Q ，2294E E x y ∴+=L L （1） 2222B C E B C E B C E B C E x x x x x x y y y y y y +⎧=⎪+=⎧⎪⇒⎨⎨+=+⎩⎪=⎪⎩，3233322323E E E E x x x x y y y y +-⎧⎧==⎪⎪⎪⎪∴⇒⎨⎨⎪⎪==⎪⎪⎩⎩故由（1）得：()2222333933110,,,12242x y x y x y ⎛⎤-⎛⎫⎛⎫⎡⎫+=⇒-+=∈∈- ⎥ ⎪ ⎪⎪⎢ ⎝⎭⎝⎭⎣⎭⎝⎦法2：（参数法）设()3cos ,3sin B θθ，由223BOC BAC π∠=∠=，则 223cos ,3sin 33C ππθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭设(),G x y ，则()()233cos 3cos 231cos cos 133323sin 3sin 23sin sin 2333A B C A B C x x x x y y y y πθθπθθπθθπθθ⎧⎛⎫+++ ⎪⎪++⎛⎫⎝⎭⎪===+++ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪++ ⎪⎪++⎛⎫⎝⎭===++⎪ ⎪⎝⎭⎩L L L 4,33ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，由()()()22112-+得：()2233110,,,12x y x y ⎛⎤⎡⎫-+=∈∈- ⎥⎪⎢ ⎣⎭⎝⎦参数法的本质是将动点坐标(),x y 中的x 和y 都用第三个变量（即参数）表示，通过消参．．得到动点轨迹方程，通过参数的范围得出x ，y 的范围.（4）求轨迹方程常用到得知识①重心(),G x y ，33A B C A B C x x x x y y y y ++⎧=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩②中点(),P x y ，121222x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩ ③内角平分线定理：BDABCD AC =④定比分点公式：AM MB λ=，则1A B M x x x λλ+=+，1A B M y y y λλ+=+ ⑤韦达定理. 高中数学圆的方程典型例题类型一：圆的方程例1 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关系．圆的方程为20)1(22=++y x ；点P 在圆外． 例2 求半径为4，与圆042422=---+y x y x 相切，且和直线0=y 相切的圆的方程． 圆的方程为2224)4()622(=++--y x ，或2224)4()622(=+++-y x ．例3 求经过点)5,0(A ，且与直线02=-y x 和02=+y x 都相切的圆的方程．分析：欲确定圆的方程．需确定圆心坐标与半径，由于所求圆过定点A ，故只需确定圆心坐标．又圆与两已知直线相切，故圆心必在它们的交角的平分线上．解：∵圆和直线02=-y x 与02=+y x 相切，∴圆心C 在这两条直线的交角平分线上，又圆心到两直线02=-y x 和02=+y x 的距离相等． ∴5252yx yx +=-．∴两直线交角的平分线方程是03=+y x 或03=-y x ．又∵圆过点)5,0(A ，∴圆心C 只能在直线03=-y x 上．设圆心)3,(t t C∵C 到直线02=+y x 的距离等于AC ， ∴22)53(532-+=+t t tt ．化简整理得0562=+-t t ．解得：1=t 或5=t∴圆心是)3,1(，半径为5或圆心是)15,5(，半径为55．∴所求圆的方程为5)3()1(22=-+-y x 或125)15()5(22=-+-y x ． 说明：本题解决的关键是分析得到圆心在已知两直线的交角平分线上，从而确定圆心坐标得到圆的方程，这是过定点且与两已知直线相切的圆的方程的常规求法．例4、 设圆满足：(1)截y 轴所得弦长为2；(2)被x 轴分成两段弧，其弧长的比为1:3，在满足条件(1)(2)的所有圆中，求圆心到直线02=-y x l ：的距离最小的圆的方程．分析：要求圆的方程，只须利用条件求出圆心坐标和半径，便可求得圆的标准方程．满足两个条件的圆有无数个，其圆心的集合可看作动点的轨迹，若能求出这轨迹的方程，便可利用点到直线的距离公式，通过求最小值的方法找到符合题意的圆的圆心坐标，进而确定圆的半径，求出圆的方程．解法一：设圆心为),(b a P ，半径为r ．则P 到x 轴、y 轴的距离分别为b 和a ．由题设知：圆截x 轴所得劣弧所对的圆心角为︒90，故圆截x 轴所得弦长为r 2．∴222b r = 又圆截y 轴所得弦长为2．∴122+=a r ． 又∵),(b a P 到直线02=-y x 的距离为52ba d -= ∴2225b a d -=ab b a 4422-+=)(242222b a b a +-+≥1222=-=a b当且仅当b a =时取“=”号，此时55min =d ． 这时有⎩⎨⎧=-=1222a b ba∴⎩⎨⎧==11b a 或⎩⎨⎧-=-=11b a 又2222==b r故所求圆的方程为2)1()1(22=-+-y x 或2)1()1(22=+++y x解法二：同解法一，得52ba d -=． ∴db a 52±=-． ∴2225544d bd b a +±=． 将1222-=b a 代入上式得： 01554222=++±d bd b ．上述方程有实根，故0)15(82≥-=∆d ， ∴55≥d ． 将55=d 代入方程得1±=b ． 又1222+=a b ∴1±=a ． 由12=-b a 知a 、b 同号．故所求圆的方程为2)1()1(22=-+-y x 或2)1()1(22=+++y x ． 说明：本题是求点到直线距离最小时的圆的方程，若变换为求面积最小呢？ 类型二：切线方程、切点弦方程、公共弦方程例5 已知圆422=+y x O ：，求过点()42，P 与圆O 相切的切线． 解：∵点()42，P 不在圆O 上， ∴切线PT 的直线方程可设为()42+-=x k y根据r d =∴ 21422=++-k k解得 43=k 所以 ()4243+-=x y即 01043=+-y x因为过圆外一点作圆得切线应该有两条，可见另一条直线的斜率不存在．易求另一条切线为2=x ． 说明：上述解题过程容易漏解斜率不存在的情况，要注意补回漏掉的解．本题还有其他解法，例如把所设的切线方程代入圆方程，用判别式等于0解决（也要注意漏解）．还可以运用200r y y x x =+，求出切点坐标0x 、0y 的值来解决，此时没有漏解．例6 两圆0111221=++++F y E x D y x C ：与0222222=++++F y E x D y x C ：相交于A 、B 两点，求它们的公共弦AB 所在直线的方程．分析：首先求A 、B 两点的坐标，再用两点式求直线AB 的方程，但是求两圆交点坐标的过程太繁．为了避免求交点，可以采用“设而不求”的技巧．解：设两圆1C 、2C 的任一交点坐标为),(00y x ，则有：0101012020=++++F y E x D y x ① 0202022020=++++F y E x D y x ②①－②得：0)()(21021021=-+-+-F F y E E x D D ．∵A 、B 的坐标满足方程0)()(212121=-+-+-F F y E E x D D ． ∴方程0)()(212121=-+-+-F F y E E x D D 是过A 、B 两点的直线方程． 又过A 、B 两点的直线是唯一的．∴两圆1C 、2C 的公共弦AB 所在直线的方程为0)()(212121=-+-+-F F y E E x D D ．说明：上述解法中，巧妙地避开了求A 、B 两点的坐标，虽然设出了它们的坐标，但并没有去求它，而是利用曲线与方程的概念达到了目标．从解题的角度上说，这是一种“设而不求”的技巧，从知识内容的角度上说，还体现了对曲线与方程的关系的深刻理解以及对直线方程是一次方程的本质认识．它的应用很广泛．例7、过圆122=+y x 外一点)3,2(M ，作这个圆的两条切线MA 、MB ，切点分别是A 、B ，求直线AB 的方程。
数学必修2第四章知识点小结及典型习题
第四章 圆与方程一、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合(或点的轨迹)叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径.二、圆的方程：（标准方程和一般方程）（一）标准方程：()()222r b y a x =-+-，圆心()b a ,，半径为r圆的参数方程（还未学习，暂作了解）()()()222cos 0sin x a r x a y b r r y b r θθ=+⎧-+-=>⇔⎨=+⎩，θ为参数 ()222cos 0sin x r x y r r y r θθ=⎧+=>⇔⎨=⎩，θ为参数 1、求标准方程的方法——关键是求出圆心()b a ,和半径r①待定系数法：往往已知圆上三点坐标，例如教材119P例2 ②利用平面几何性质：往往涉及到直线与圆的位置关系，特别是：相切和相交。
相切：利用到圆心与切点的连线垂直直线相交：利用到点到直线的距离公式及垂径定理2、特殊位置的圆的标准方程设法（无需记，关键能理解）条件 方程形式圆心在原点 ()2220x y r r +=≠过原点 ()()()2222220x a y b a b a b -+-=++≠ 圆心在x 轴上 ()()2220x a y r r -+=≠ 圆心在y 轴上 ()()2220x y b r r +-=≠圆心在x 轴上且过原点 ()()2220x a y a a -+=≠ 圆心在y 轴上且过原点 ()()2220x y b b b +-=≠与x 轴相切()()()2220x a y b b b -+-=≠与y 轴相切 ()()()2220x a y b a a -+-=≠与两坐标轴都相切()()()2220x a y b a a b -+-==≠ （二）圆的一般方程：()2222040x y Dx Ey F D E F ++++=+-> 1、圆的一般方程的特点：(1)①2x 和2y 的系数相同，且不等于0．②没有xy 这样的二次项．(2) 求圆的一般方程采用待定系数法：圆的一般方程中有三个待定的系数D 、E 、F ，只要求出这三个系数，圆的方程就确定了．如教材122P 例4(3)与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显。
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things (2)当 D2＋E2－4F=0 时，方程表示一个点
．
②判断圆 C 的圆心到直线 l 的距离 d 与圆的半径长 r 的关系．如果 d<r，直线 与圆相交；如果 d=r，直线 l 与圆相切；如果 d>r，直线 l 与圆 C 相离．
All (3)当 D2＋E2－4F<0 时，方程不表示任何图形． and 即圆的一般方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0（D2＋E2－4F>0）． time 圆的一般方程也含有三个待定的系数 D，E，F，因此必须具备三个独立条件，才能确
s in the 空间点
、
间的距离是 ．
y one thing at a time and All thing 3
第四高章中圆数与学方必程修知2识点 something and S 4.1.1 圆的标准方程 for 1、圆的标准方程： (x a)2 ( y b)2 r2
圆心为 A(a,b),半径为 r 的圆的方程
ood 2、点 M (x0, y0 ) 与圆 (x a)2 ( y b)2 r2 的关系的判断方法： re g （1） (x0 a)2 ( y0 b)2 > r2 ，点在圆外 （2） (x0 a)2 ( y0 b)2 = r2 ，点在圆上 g a （3） (x0 a)2 ( y0 b)2 < r2 ，点在圆内 in 4.1.2 圆的一般方程 be 1、圆的一般方程： x2 y 2 Dx Ey F 0 their 2、圆的一般方程的特点： in (1)①x2 和 y2 的系数相同，不等于 0． ②没有 xy 这样的二次项． gs (2)圆的一般方程中有三个特定的系数 D、E、F，因之只要求出这三个系数，圆的方程就确定了． thin (3)、与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出 ll 了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显。 d A 4.2.1 圆与圆的位置关系 n 1、用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系． e a 设直线 l ： ax by c 0 ，圆 C ： x 2 y 2 Dx Ey F 0 ，圆的半径为 r ，圆心 tim ( D , E ) 到直线的距离为 d ，则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点： a 2 2 at （1）当 d r 时，直线 l 与圆 C 相离；（2）当 d r 时，直线 l 与圆 C 相切； y one thing （3）当 d r 时，直线l 与圆C 相交；
2
g and S 空间直角坐标系三要素：原点、坐标轴方向、单位长．常用对称点坐标： thin 点 P（x，y，z）关于 x 轴对称：点 P1（x，－y，－z）； ome 点 P（x，y，z）关于 y 轴对称：点 P2（－x，y，－z）； for s 点 P（x，y，z）关于 z 轴对称：点 P3（－x，－y，z）； d 点 P（x，y，z）关于平面 xOy 对称：点 P4（x，y，－z）； goo 点 P（x，y，z）关于平面 yOz 对称：点 P5（－x，y，z）； are 点 P（x，y，z）关于平面 xOz 对称：点 P6（x，－y，z）； ing 点 P（x，y，z）关于原点成中心对称：点 P7（－x，－y，－z）. ir be 空间两点间的距离公式
定一个圆．
at a 3、方程的大致步骤是： y one thing (1)根据题意选择方程的形式：标准方程或一般方程；
圆与圆的位置关系 设圆 C1 的半径为 R，圆 C2 的半径是 r，圆心距为 d，则 ①当 d>R＋r 时，两圆相离；②当 d=R＋r 时，两圆外切； ③当|R－r|<d<R＋r 时，两圆相交；④当 d=|R－r|时，两圆内切；⑤当 d<|R－r|时， 两圆内含． 空间直角坐标系
3、空间中任意点 M 的坐标都可以用有序实数组 (x, y, z) 来表示，该数组叫做点 M 在此空间直角坐标系中的
坐标，记 M (x, y, z) ， x 叫做点 M 的横坐标， y 叫做点 M 的纵坐标， z 叫做
点 M 的竖坐标。
4.3.2 空间两点间的距离公式
1、空间中任意一点 P1 (x1 , y1 , z1 ) 到点 P2 (x2 , y2 , z2 ) 之间的距离公式
（4）当 l | r1 r2 | 时，圆 C1 与圆 C2 内切；（5）当 l | r1 r2 | 时，圆 C1 与圆 C2 内含； 4.2.3 直线与圆的方程的应用
1、利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置骤：
第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数
1
z
O
M1 N1
P2 P1
M2 H N2 y M
N
x
thing and S P1P2 (x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 (z1 z2 )2 me 一、知识概述 r so 1、圆的标准方程 d fo 圆心为(a，b)，半径为 r 的圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2=r2． goo 由于圆的标准方程中含有三个参数 a，b，r，因此必须具备三个独立条件才能确定一 re 个圆． g a 2、圆的一般方程 bein 对于方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0．
问题；
第二步：通过代数运算，解决代数问题；
第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论．
R
4.3.1 空间直角坐标系
M
1、点 M 对应着唯一确定的有序实数组 (x, y, z) ， x 、 y 、 z 分别是 P、Q、R 在 x 、
O P
Q
y
M'
y 、 z 轴上的坐标 x
2、有序实数组 (x, y, z) ，对应着空间直角坐标系中的一点
(2)根据条件列出关于 a，b，r 或 D，E，F 的方程组； (3)解出 a，b，r 或 D，E，F，代入标准方程或一般方程． 二、重难点知识归纳：1、理解圆的定义，以及圆的标准方程与一般方程的推导．2、注意 圆的一般方程成立的条件．3、利用待定系数法求圆的方程． 例 4、已知曲线 C：x2＋y2＋2kx＋(4k＋10)y＋10k＋20=0，其中 k －1． (1)求证：曲线 C 都表示圆，并且这些圆心都在同一条直线上； (2)证明：曲线 C 过定点； (3)若曲线 C 与 x 轴相切，求 k 的值． 判断直线 l 与圆 C 位置关系的两种方法：
their (1)当 D2＋E2－4F>0 时，方程表示以 in 圆．此时方程就叫做圆的一般方程．
为圆心、
为半径的
①判断直线 l 与圆 C 的方程组成的方程组是否有解．如果有解，直线 l 与圆 C 有公共点．有两组实数解时，直线 l 与圆相交；有一组实数解时，直线 l 与圆相切； 无实数解时，直线 l 与圆 C 相离．
4.2.2 圆与圆的位置关系
两圆的位置关系．
设两圆的连心线长为 l ，则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点：
（1）当 l r1 r2 时，圆 C1 与圆 C2 相离；（2）当 l r1 r2 时，圆 C1 与圆 C2 外切；
（3）当 | r1 r2 | l r1 r2 时，圆 C1 与圆 C2 相交；