高考数学一轮复习第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ2.1函数及其表示学案理

§2.1函数及其表示
考纲展示► 1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，了解映射的概念．
2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．
3．了解简单的分段函数，并能简单地应用(函数分段不超过三段)．
考点1 函数的概念
1.函数与映射的概念
函数映射
定义
建立在两个________A到B的一种确定的
对应关系f，使对于集合A中的________
一个数x，在集合B中都有________的数
f(x)和它对应
建立在两个________A到B的一种确定的
对应关系f，使对于集合A中的________
元素x，在集合B中都有________的元素
y与之对应
记法y＝f(x)，x∈A f：A→B
2．函数由定义域、________和值域三个要素构成．
答案：对应关系
3．相等函数：如果两个函数的________和________完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．
答案：定义域对应关系
[教材习题改编]以下属于函数的有________．
①y＝±x；
②y2＝x＋1；
③y＝－x＋x－3；
④y＝x2－2(x∈N)．
解析：①②中，对于定义域内任意一个数x，可能有两个不同的y值，不满足对应的唯一性，所以①②错误；③中，定义域是空集，而函数的定义域是非空的数集，所以③错误．
函数与映射理解的误区：唯一性；非空数集．
如图表示的是从集合A到集合B的对应，其中________是映射，________是函数．
答案：①②④①②
解析：函数与映射都要求对于集合A中的任一元素在集合B中都有唯一确定的元素与之对应，所以③不是映射也不是函数；①②④表示的对应是映射；①②是函数，由于④中集合A，B不是数集，所以不是函数．
[典题1] (1)下列四个图象中，是函数图象是( )
A．①B．①③④
C．①②③D．③④
[解析] ②中当x >0时，每一个x 的值对应两个不同的y 值，因此不是函数图象；①③④中每一个x 的值对应唯一的y 值，因此是函数图象．故选B.
(2)下列各组函数中，表示同一函数的是( ) A ．f (x )＝|x |，g (x )＝x 2
B ．f (x )＝x 2
，g (x )＝(x )2
C ．f (x )＝x 2－1
x －1
，g (x )＝x ＋1
D ．f (x )＝x ＋1·x －1，g (x )＝x 2
－1 [答案] A
[解析] A 中，g (x )＝|x |，∴f (x )＝g (x )； B 中，f (x )＝|x |(x ∈R )，g (x )＝x (x ≥0)， ∴两函数的定义域不同；
C 中，f (x )＝x ＋1(x ≠1)，g (x )＝x ＋1(x ∈R )， ∴两函数的定义域不同；
D 中，f (x )＝x ＋1·x －1(x ＋1≥0且x －1≥0)，f (x )的定义域为{x |x ≥1}；
g (x )＝x 2－1(x 2－1≥0)，
g (x )的定义域为{x |x ≥1或x ≤－1}．
∴两函数的定义域不同．故选A. (3)下列集合A 到集合B 的对应f 中：
①A ＝{－1,0,1}，B ＝{－1,0,1}，f ：A 中的数平方； ②A ＝{0,1}，B ＝{－1,0,1}，f ：A 中的数开方； ③A ＝Z ，B ＝Q ，f ：A 中的数取倒数；
④A ＝R ，B ＝{正实数}，f ：A 中的数取绝对值． 是从集合A 到集合B 的函数的为________． [答案] ①
[解析] ②中，由于1的开方数不唯一，因此f 不是A 到B 的函数；③中，A 中的元素0在B 中没有对应元素；④中，A 中的元素0在B 中没有对应元素．
[点石成金] 函数的三要素：定义域、值域、对应法则．这三要素不是独立的，值域可由定义域和对应法则唯一确定．因此当且仅当定义域和对应法则都相同时，函数才是同一函数．特别值得说明的是，对应法则是就效果而言的(判断两个函数的对应法则是否相同，只要看对于函数定义域中的任意一个相同的自变量的值，按照这两个对应法则算出的函数值是否相同)不是指形式上的．即对应法则是否相同，不能只看外形，要看本质；若是用解析式表示
的，要看化简后的形式才能正确判断．
考点2 函数的定义域
对函数y＝f(x)，x∈A，其中x叫做自变量，x的取值范围A叫做定义域，与x的值对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做值域．
(1)[教材习题改编]函数f(x)＝2x－1＋
1
x－2
的定义域为( )
A．[0,2)
B．(2，＋∞)
C．[0,2)∪(2，＋∞)
D．(－∞，2)∪(2，＋∞)
答案：C
(2)[教材习题改编]若函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图象可能是( )
A B
C D
答案：B
定义域问题的两个易错点：忽略定义域；化简后求定义域．
(1)已知长方形的周长为12，设一边长为x ，则其面积y 关于x 的函数解析式为________． 答案：y ＝x (6－x )(0＜x ＜6)
解析：因为长方形一边长为x ，则另一边长为12－2x 2＝6－x ，所以y ＝x (6－x )．又x ＞0,6
－x ＞0，所以0＜x ＜6.如果不考虑x 的范围，会扩大x 的范围，这样会使实际问题失去意义．
(2)函数y ＝x 2＋x －2
x －1
的定义域为________．
答案：(－∞，1)∪(1，＋∞)
解析：要使函数有意义，应使x －1≠0，即x ≠1，所以函数定义域为(－∞，1)∪(1，＋
∞)．本题如果对解析式化简会有y ＝x 2＋x －2x －1＝x ＋2x －1
x －1
＝x ＋2，从而得函数定义
域为R ，所以在求解定义域时，不能对函数变形、化简，以免定义域发生变化．
[考情聚焦] 函数的定义域是使函数有意义的自变量取值的集合，它是函数不可缺少的组成部分，研究函数问题必须树立“定义域优先”的观念．求给定函数的定义域往往转化为解不等式(组)的问题，在解不等式(组)取交集时可借助于数轴．
主要有以下几个命题角度： 角度一
求给定函数解析式的定义域
[典题2] (1)[2017·山东淄博月考]函数f (x )＝2－x
lg x
的定义域是( ) A ．(0,2) B ．(0,1)∪(1,2) C ．(0,2] D ．(0,1)∪(1,2]
[答案] D
[解析] 要使函数有意义，则有 ⎩⎪⎨⎪
⎧ 2－x ≥0，x >0，
lg x ≠0，
即⎩⎪⎨⎪
⎧
x ≤2，x >0，x ≠1.
所以0<x ≤2且x ≠1，
所以函数f (x )的定义域为(0,1)∪(1,2]，故选D. (2)[2017·山东青州高三模拟]函数f (x )＝ln(x －1)＋12－x
的定义域为( )
A ．(1,2)
B ．[1,2)
C ．(1,2]
D ．[1,2]
[答案] A
[解析] 函数f (x )＝ln(x －1)＋1
2－x 的定义域为⎩⎪⎨
⎪
⎧
x －1>0，2－x >0
⇒1<x <2，故选A.
角度二
求抽象函数的定义域
[典题3] (1)若函数f (x 2
＋1)的定义域为[－1,1]，则f (lg x )的定义域为( ) A ．[－1,1] B ．[1,2] C ．[10,100] D ．[0，lg 2]
[答案] C
[解析] 因为f (x 2
＋1)的定义域为[－1,1]，则－1≤x ≤1，故0≤x 2
≤1，所以1≤x 2
＋1≤2. 因为f (x 2
＋1)与f (lg x )是同一个对应法则， 所以1≤lg x ≤2，即10≤x ≤100， 所以函数f (lg x )的定义域为[10,100]．
(2)[2017·河北唐山模拟]已知函数f (x )的定义域是[0,2]，则函数g (x )＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋12＋
f ⎝
⎛⎭
⎪⎫
x －12
的定义域是________．
[答案] ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤12，32 [解析] 因为函数f (x )的定义域是[0,2]，所以函数g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＋f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －12中的自变量x 需要满足⎩⎪⎨⎪⎧
0≤x ＋1
2
≤2，0≤x －1
2
≤2，
解得12≤x ≤3
2
，
所以函数g (x )的定义域是⎣⎢⎡⎦
⎥⎤12，32.
角度三
已知定义域确定参数问题
[典题4] [2017·安徽合肥模拟]若函数f(x)＝2
x
2＋
2ax－a－1的定义域为R，则a的取值范围为________．
[答案] [
－1,0]
[解析] 函数f(x)的定义域为R，
所以2x
2
＋2ax－a－1≥0对x∈R恒成立，即2x2＋2ax－a≥20，x2＋2ax－a≥0恒成立，因此有Δ＝(2a)2＋4a≤0，
解得－1≤a≤0.
[点石成金] 求函数定义域的两种方法
方法解读适合题型
直接法构造使解析式有意义的不等式(组)求解
已知函数的具体表达式，求f(x)的定义
域
续表
方法解读适合题型
转移法
若y＝f(x)的定义域为(a，b)，则解
不等式a<g(x)<b即可求出y＝
f(g(x))的定义域
已知f(x)的定义域，求
f(g(x))的定义域
若y＝f(g(x))的定义域为(a，b)，
则求出g(x)在(a，b)上的值域即得
f(x)的定义域
已知f(g(x))的定义域，
求f(x)的定义域
函数的表示法
表示函数的常用方法有：________、________、
________.
答案：解析法图象法列表法
[典题5] (1)已知f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2x
＋1＝lg x ，则f (x )＝________.
[答案] lg
2
x －1
(x >1) [解析] 令t ＝2x ＋1(t ＞1)，则x ＝2
t －1，
∴f (t )＝lg
2
t －1
， 即f (x )＝lg
2
x －1
(x ＞1)． (2)已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，则f (x )＝________. [答案] 2x ＋7
[解析] 设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，
则3f (x ＋1)－2f (x －1)＝3ax ＋3a ＋3b －2ax ＋2a －2b ＝ax ＋5a ＋b ， 即ax ＋5a ＋b ＝2x ＋17不论x 为何值都成立，
∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ＝2，
b ＋5a ＝17，解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ＝2，
b ＝7，
∴f (x )＝2x ＋7.
(3)已知f (x )满足2f (x )＋f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1x
＝3x ，则f (x )＝________.
[答案] 2x －1
x
(x ≠0)
[解析] ∵2f (x )＋f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1x
＝3x ，① 以1
x
代替①式中的x (x ≠0)，得
2f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1x
＋f (x )＝3x
.②
①×2－②，得3f (x )＝6x －3
x
，
∴f (x )＝2x －1
x
(x ≠0)．
(4)[2017·山东青岛一中检测]奇函数f (x )在(0，＋∞)上的表达式为f (x )＝x ＋x ，则在(－∞，0)上f (x )的表达式为f (x )＝________.
[答案] x －－x
[解析] 设x <0，则－x >0，
∴f (－x )＝－x ＋－x .又f (x )为奇函数， ∴f (x )＝－f (－x )＝x －－x ， 即x ∈(－∞，0)时，f (x )＝x －－x . [点石成金] 求函数解析式的方法
1.已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，则f (x )＝________. 答案：x 2
－1(x ≥1)
解析：令t ＝x ＋1，∴t ≥1，x ＝(t －1)2
， 则f (t )＝(t －1)2
＋2(t －1)＝t 2
－1， ∴f (x )＝x 2
－1(x ≥1)．
2．已知f (x )为二次函数且f (0)＝3，f (x ＋2)－f (x )＝4x ＋2，则f (x )的解析式为________． 答案：f (x )＝x 2
－x ＋3
解析：设f (x )＝ax 2
＋bx ＋c (a ≠0)， 又f (0)＝c ＝3，∴f (x )＝ax 2
＋bx ＋3，
∴f (x ＋2)－f (x )＝a (x ＋2)2
＋b (x ＋2)＋3－(ax 2
＋bx ＋3)＝4ax ＋4a ＋2b ＝4x ＋2.
∴⎩⎪⎨⎪⎧
4a ＝4，4a ＋2b ＝2，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝1，
b ＝－1.
∴f (x )＝x 2
－x ＋3.
考点4 分段函数及其应用
1.分段函数的定义
若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的________，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数．
答案：对应关系 2．分段函数的性质
(1)分段函数的定义域是各段函数解析式中自变量的取值集合的________．
(2)分段函数的值域是各段函数值的________，它的最大值取各段最大值中最大的，最小值取各段最小值中最小的．
(3)分段函数的单调性，首先应该判断各段函数的单调性，若每一段函数单调性一致，再判断分界点处函数值的关系，若符合单调性定义，则该函数在整个定义域上单调递增或递减；若不符合，则必须分区间说明单调性．
答案：(1)并集 (2)并集
[考情聚焦] 分段函数是一类重要的函数，是高考的命题热点，多以选择题或填空题的形式呈现，试题难度不大，多为中低档题．
主要有以下几个命题角度： 角度一
求分段函数的函数值或取值范围
[典题6] [2017·广东广州模拟]设函数f (x )＝⎩⎪⎨
⎪
⎧
－2x 2
＋1，x ≥1，log 21－x ，x <1，
则f (f (4))＝
________；若f (a )<－1，则a 的取值范围为________．
[答案] 5 ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，1∪(1，＋∞)
[解析] f (4)＝－2×42
＋1＝－31，
f (f (4))＝f (－31)＝lo
g 2(1＋31)＝5.
当a ≥1时，由－2a 2
＋1<－1，得a 2
>1， 解得a >1；
当a <1时，由log 2(1－a )<－1， 得log 2(1－a )<log 21
2，
∴0<1－a <12，∴1
2
<a <1.
即a 的取值范围为⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，1∪(1，＋∞)．
角度二
分段函数的图象与性质的应用
[典题7] 对任意实数a ，b 定义运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎪⎨
⎪⎧
b ，a －b ≥1，
a ，a －
b <1.
设f (x )＝(x 2
－1)⊗
(4＋x )，若函数y ＝f (x )＋k 的图象与x 轴恰有三个不同交点，则k 的取值范围是( )
A ．(－2,1)
B ．[0,1]
C ．[－2,0)
D ．[－2,1)
[答案] D
[解析] 解不等式x 2
－1－(4＋x )≥1，得x ≤－2或x ≥3.解x 2
－1－(4＋x )<1，得－2<x <3. 所以f (x )＝⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＋4，x ∈－∞，－2]∪[3，＋∞，x 2
－1，x ∈
－2，3.
其图象如图实线所示．
由图可知，当－2≤k <1时，函数y ＝f (x )＋k 的图象与x 轴恰有三个不同交点，故选D.
[点石成金] 分段函数应用的常见题型与破解策略
常见题型破解策略
求函数值问
题
根据所给自变量值的大小选择相应的对应关系求值，有时每段交替使用求值
解方程或解
不等式问题
分类求出各子区间上的解，再将它们合并在一起，但要检验所求是否符合相应
各段自变量的取值范围
求最值或值
域问题
先求出每一个子区间上的最值或值域，然后进行比较得出最大值、最小值，合
并得出值域
图象及其应
用
根据每段函数的定义区间和解析式在同一坐标系中作出图象，然后应用，作图
时要注意每段图象端点的虚实
[提醒] 解决分段函数问题的总策略是分段击破，即对不同的区间进行分别求解，然后整合.
[方法技巧] 1.在判断两个函数是否为同一函数时，要紧扣两点：一是定义域是否相同；二是对应关系是否相同．
2．函数的定义域是函数的灵魂，它决定了函数的值域，并且它是研究函数性质和图象的基础．因此，我们一定要树立函数定义域优先意识．
3．函数解析式的几种常用求法：待定系数法、换元法、配凑法、解方程组法．
[易错防范] 1.求函数的解析式时要充分根据题目的类型选取相应的方法，同时要注意函数的定义域，如已知f(x)＝x＋1，求函数f(x)的解析式时，通过换元的方法可得f(x)＝x2＋1，这个函数的定义域是[0，＋∞)，而不是(－∞，＋∞)．
2．求分段函数应注意的问题：在求分段函数的值f(x0)时，首先要判断x0属于定义域的哪个子集，然后再代入相应的关系式．
真题演练集训
1．[2013·大纲全国卷]已知函数f(x)的定义域为(－1,0)，则函数f(2x＋1)的定义域为( )
A．(－1,1) B．
⎝
⎛
⎭⎪
⎫
－1，－
1
2
C．(－1,0) D．
⎝
⎛
⎭⎪
⎫
1
2
，1
答案：B
解析：∵f (x )的定义域为(－1,0)，∴－1<2x ＋1<0，∴－1<x <－1
2
.
2．[2015·新课标全国卷Ⅱ]设函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
1＋log 22－x
，x <1，
2x －1
，x ≥1，则f (－2)＋
f (lo
g 212)＝( )
A ．3
B ．6
C ．9
D ．12
答案：C
解析：∵ －2<1，
∴ f (－2)＝1＋log 2(2＋2)＝1＋log 24 ＝1＋2＝3.
∵ log 212>1，∴ f (log 212)＝2
log 2
12－1
＝12
2
＝6. ∴ f (－2)＋f (log 212)＝3＋6＝9.故选C.
3．[2015·浙江卷]存在函数f (x )满足：对任意x ∈R 都有( ) A ．f (sin 2x )＝sin x B ．f (sin 2x )＝x 2
＋x C ．f (x 2
＋1)＝|x ＋1| D ．f (x 2＋2x )＝|x ＋1| 答案：D
解析：取特殊值法．
取x ＝0，π
2，可得f (0)＝0,1，这与函数的定义矛盾，所以选项A 错误；
取x ＝0，π，可得f (0)＝0，π2
＋π，这与函数的定义矛盾，所以选项B 错误； 取x ＝1，－1，可得f (2)＝2,0，这与函数的定义矛盾，所以选项C 错误；
取f (x )＝x ＋1，则对任意x ∈R 都有f (x 2
＋2x )＝x 2
＋2x ＋1＝|x ＋1|，故选项D 正确． 综上可知，故选D.
4．[2014·山东卷]函数f (x )＝
1log 2x
2－1
的定义域为( )
A.⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，12 B ．(2，＋∞)
C.⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，12∪(2，＋∞)
D.⎝ ⎛⎦
⎥⎤0，12∪[2，＋∞) 答案：C
解析：(log 2x )2
－1＞0，即log 2x ＞1或log 2x ＜－1，解得x ＞2或0＜x ＜12
，故所求的定
义域是⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，12∪(2，＋∞)． 5．[2014·上海卷]设f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
x －a 2
，x ≤0，x ＋1
x
＋a ，x >0.若f (0)是f (x )的最小值，则a 的
取值范围为( )
A ．[－1,2]
B ．[－1,0]
C ．[1,2]
D ．[0,2]
答案：D
解析：∵当x ≤0时，f (x )＝(x －a )2
， 又f (0)是f (x )的最小值，∴a ≥0.
当x >0时，f (x )＝x ＋1
x
＋a ≥2＋a ，当且仅当x ＝1时等号成立．
要满足f (0)是f (x )的最小值，需2＋a ≥f (0)＝a 2，即a 2
－a －2≤0，解得－1≤a ≤2， ∴a 的取值范围是0≤a ≤2.故选D.
6．[2016·江苏卷]函数y ＝3－2x －x 2
的定义域是________． 答案：[－3,1]
解析：要使函数y ＝3－2x －x 2
有意义，则3－2x －x 2
≥0，解得－3≤x ≤1，则函数y ＝3－2x －x 2
的定义域是[－3,1]．
课外拓展阅读
已知定义域求参数问题
[典例1] 已知函数y ＝kx ＋1
k 2x 2
＋3kx ＋1
的定义域为R ，求实数k 的值．
[解] 函数y ＝
kx ＋1k 2x 2
＋3kx ＋1
的定义域即使k 2x 2
＋3kx ＋1≠0的实数x 的集合．
由函数的定义域为R ，得方程k 2x 2
＋3kx ＋1＝0无解． 当k ＝0时，函数y ＝
kx ＋1
k 2x 2
＋3kx ＋1
＝1，函数的定义域为R ，因此k ＝0符合题意；
当k ≠0时，k 2x 2
＋3kx ＋1＝0无解，即Δ＝9k 2
－4k 2
＝5k 2
<0，不等式不成立．所以实数k
的值为0.
归纳总结
已知函数的定义域，逆向求解函数中参数的取值，需运用分类讨论以及转化与化归的思想方法．转化与化归的思想方法是通过某种转化过程，将一个难以解决的问题转化为一个已经解决或者比较容易解决的问题，从而获解．如本题中将求参问题转化为方程无解的问题．
[典例2] 已知函数y ＝ax ＋1(a <0且a 为常数)在区间(－∞，1]上有意义，求实数a 的取值范围．
[解] 由题意知ax ＋1≥0，a <0，
所以x ≤－1a
，即函数的定义域为⎝ ⎛⎦
⎥⎤－∞，－1a .
因为函数在(－∞，1]上有意义， 所以(－∞，1]⊆⎝ ⎛⎦
⎥⎤－∞，－1a ，
所以－1
a
≥1.又a <0，所以－1≤a <0，即a 的取值范围是[－1,0)．
温馨提示
函数在(－∞，1]上有意义，说明函数的定义域包含区间(－∞，1]，使函数有意义的自变量的集合是定义域的子集．
已知分段函数图象求解析式
已知函数的图象求函数的解析式y ＝f (x )，如果自变量x 在不同的区间上变化时，函数y ＝f (x )的解析式也不同，应分类求解．此时应根据图象，结合已学过的基本函数的图象，选择相应的解析式，用待定系数法求解，其函数解析式一般为分段函数．要注意写解析式时各区间端点的值，做到不重也不漏．
[典例3] 根据如图所示的函数y ＝f (x )的图象，写出函数的解析式．
[解] 当－3≤x <－1时，函数y ＝f (x )的图象是一条线段(右端点除外)， 设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，将点(－3,1)，(－1，－2)代入，可得f (x )＝－32x －7
2
；
当－1≤x <1时，同理可设f (x )＝cx ＋d (c ≠0)， 将点(－1，－2)，(1,1)代入， 可得f (x )＝32x －1
2；
当1≤x <2时，f (x )＝1.
综上f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
－32x －7
2
，－3≤x <－1，32x －1
2，－1≤x <1，1，1≤x <2.
方法探究
由图象求函数的解析式，需充分挖掘图象中提供的点的坐标，合理利用待定系数法求解．对于分段函数，需观察各段图象的端点是空心点还是实心点，正确写出各段解析式对应的自变量的范围．。