广义相对论课件第三章

Einstein boldly raises the massenergy equivalence to an axiom, invokes equality between gravitational and inertial masses, and then postulates the equivalence between a uniform gravitational field and an oppositely directed constant acceleration, the equivalence principle.
0 00
1 h , h , h , 2 , , 1 00 h00, 0 h00, 0 h00, 0 0 2 1 00 1 h00,i h0i , 0 h0i , 0 h00,i 2 2
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1 证明: 2 g ( g , g , g , ) 1 (h , h , h , ) 2 d 2 x0 dx dx 0 ds ds ds 2

是一阶小量
dx dx dx0 是一阶小量与 构成二阶小量 若 0 0 ds dx ds d 2 x0 若 0 则 0 0 所以 0 2 00 ds
不是这样。只能说爱因斯坦包容了牛顿。 牛顿物理学在它使用的范围内仍然适用， 它没有错。新的物理学规律它是把原来东西 包容起来。
（关于量子隧道） ◆ 就象山洞的隧道一样。你要是从山上面爬，要
迈过很多的艰难险阻，才能爬到对面去，旅途 漫长。可是要通过一个隧道，很快就会到了山 的那面。
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Problem: Generalize Special Relativity to Include Acceleration and Gravitation 1 Try to generalize Newton’s gravitation theory 2 Try along lines of relativity of electric and magnetic fields Albert Einstein’s 1907 Jahrbuch paper
2 i 0
2
对比
d 2 xi i 2 dt x
1 (h , h , h , ) 2

1 h00 const 2
由
0 处有
h00 0 (闵氏空间)
1 h00 2 g00 00 h00 1 2
自由下落，下落的加速度与物体的固有属性无关．
解释１.舱内物体的自由下落是舱下面的恒星的重力场造 成的，因此它的舱是一个惯性系（静止）
解释２.舱内物体的自由下落反映舱在无引力场的太空中 加速向上，即下落是惯性力造成的．
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重力正比于引力质量，惯性力正比于惯性质量．
若 m引 m惯，舱内任何力学实验都无法区分是
g u u 1
d ds
2
选相对介质静止的坐标系，则三维速度分量为零
u1 u 2 u 3 0
g 00u 0 u 0 1 u
0
1 1,0,0,0 u g 00

1 g 00
于是能量动量张量的唯一非零分量.

00

g00
迹

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引力场强一般地应由空间的联络描述.
用空间几何来表示引力
联络是由度规张量的微商构成的. 度规张量相当于引力势，它有10个独立分量. (如果时空是平坦的，总可找到一组坐标使联络为０，存在全 局惯性系．) 黎曼几何：在弯曲空间中消除任一点的联络是永远可以的. 近似的局域惯性系是可以找到的. 等效原理：１.自由下落的局域参考系是近似的局域惯性系. ２.在这种参考系中狭义相对论所肯定的物理规律
F T 物质的能量动量张量
牛顿引力方程 2 4G （泊松方程）
类比： 最高只含 g 的二阶微商（且是线性的） F 定理：由度规张量及其一阶和二阶微商构成的，对二 阶微商为线性的张量只有黎曼张量及其缩并，此外就 是度规张量自身。
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F R g R g
牛顿时间、空间
伽利略变换
狭义相对论 （洛伦兹变换）
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广义相对论 (191理) ● 等效原理:
● 弱等效原理 (伽利略等效原理) ● 强等效原理 (爱因斯坦等效原理)
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● 请看哲学家在 电视台 谈物理，如何误人子弟！
◆ 经常讲爱因斯坦推翻了牛顿、否定了牛顿。…
d 2 xi 满足４个条件后，回到牛顿方程: i 2 dt x
条件１.弱场 条件２.静态场 条件３.空间缓变场
g h g ,0 h ,0 0 g ,i h ,i 1
i
h 1
条件４.粒子低速运动 dx 1 0
dx
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0 0 i
1 00 h0i , j h0 j ,i hij,0 1 h0i , j h0 j ,i 2 2 1 ii 1 i 00 hi 0, 0 hi 0, 0 h00,i h00,i 不求和 2 2 1 1 i 0 j ii hi 0, j hij , 0 h0 j ,i ( hi 0, j h0 j ,i ) 2 2 1 ii 1 i jk hij , k hik , j h jk ,i hij , k hik , j h jk ,i 2 2
重力的效果，或是惯性力的效果．
这种引力和惯性力（即参考系的加速运动）的
等效性被称为弱等效原理．“弱”指限于力学现 象． 强等效原理： 任何物理实验都不能区分引力或惯性力的效果． 引力和惯性力在物理效果上完全没有区别．
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什么是惯性系？一个局域参考系的加速度仅 有相对的意义, (相对于多大的引力场而言)．
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第三章
相对论性的引力理论
你无法分辨以下两种情況： 身处于重力场中 身处于加速运动的系统中
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3.1 引力质量与惯性质量的等同性
牛顿在力学中引入过两个质量概念： 动力学方程: F ma 反映物体的惯性（惯性质量） 万有引力定律: F GMm 反映物体产生和接受
引力的能力（引力质量）
由能量动量守恒
, , 为常参量

T 0 F 0 ; ;
R
R 0
;
G g T
/ 2
爱因斯坦张量 G R 1 g R
2
令参量 0
G 1 R g R 2
d 2 x0 ds 2 0 测地线简化为: 2 i 0 2 d x i dx 00 ds 2 ds
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x 0 ks const d x 1 h00,i 2 dt 2
2 i
d x i dx 00 2 ds ds
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牛顿方程的适用条件（在引力场中） 质量为 M 的球状源的引力场． 牛顿引力理论：球状源的外引力势为:
GM r
g 00
2GM 1 r
r
弱场条件： 2GM 1
R g 2GM 引力半径: R g c 2 r:粒子运动的位置
2GM
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３.５ 爱因斯坦引力场方程
牛顿引力势取决于静态物质的密度分布 度规（推广的引力势）应取决于物质的能量动量张量 度规场方程
引力的几何化
都成立.
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广义相对论的最完美之处在于它是一种原理理论，即整
个理论建立在一些简单的原理之上，尽管它是一个物理 理论，它的逻辑结构几何可以媲美欧几里德几何
广义相对论的完美主要来源于它所用的基本语言：几何
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３.４ 弱引力场中的自由粒子
d 2 x dx dx 引力场中自由粒子的运动方程: ds 2 ds ds



X X (x)
x x x X
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2 X
dX X dx 推导如下： ds x ds d2X d X dx X d 2 x ( ) 0 2 2 ds ds x ds x ds 2 X dx dx X d 2 x 0 2 x x ds ds x ds
● 牛顿万有引力定律
超距作用 电型引力
无引力波
GMm F r2
+
牛顿力学第二定律：F = m a
r
M
m
1
● 牛顿万有引力定律
◆ 困难
+ 牛顿力学第二定律
1、水星近日点每百年进动 5600 " 牛顿理论的计算值 比 这个观测值 约小 43 " 每百年 2、牛顿万有引力定律 在洛仑兹变换下不协变 即 不满足狭义相对性原理
◆ 修改牛顿引力理论势在必行
2
● 广义相对论（1916）
引力相互作用的理论
牛顿万有引力定律 + 牛顿力学第二定律
（牛顿绝对时间和空间）
广义相对论（弯曲时空理论）
（狭义相对论时空背景）
！在平直时空中无法将牛顿万有引力定律推广成
满足狭义相对性原理的形式
3
万有引力定律 力学第二定律
广义相对论
宇宙学
（量子引力、大统一理论、 超弦理论）



g g u u g u u

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静态、缓变、弱场近似下 R
R R , ,
一级近似下:

R
单摆周期: 实验结果:
T 2
m惯 l m引 g

m惯 m引
1 o(10 3 )
m引 g
至今为止，人们未发现 m引 m惯
而它们相等的原因，有待理论解释．
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3.2 等效原理
惯性质量与引力质量的等同性的启示. 爱因斯坦落舱．与舱外隔绝.
通过舱内的力学实验发现一条规律：舱内一切物体都会
强等效原理：没有任何物理实验能断言落舱在作加速运动
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３.３ 引力几何化
一个质点相对闵氏空间中的惯性系做自由运
d2X 动，其动力学方程: 0 2 ds
X (T , X , Y , Z ) 是惯性系的闵柯夫斯基坐标．
引入非惯性系 x x ( X )
d 2 x dx dx 0 2 ds ds ds
x 两边同乘 2 X x X X x x 2 d x dx dx 0 2 ds ds ds 非惯性系中的自由粒子的动力学方程：测地线方程。
按等效原理的思想，引力与惯性力没有区别，自由粒子
在引力场中也应遵循测地线方程。
r2
从概念上讲,这两种质量是本质上不同的物理量,我 们没有理由说他们相等.
如果把惯性质量和引力质量当同一个量来对待,这
就叫引力质量和惯性质量的等同性.
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实验情况:
1.伽利略落体实验
m惯 a m引 g
2.牛顿单摆实验
a
m引 m惯
g
同时落地
单摆运动方程: m惯l m引 g sin
(爱因斯坦引力场方程)
由(3.5.6)式指标 上升, 再缩并R kT 代回式(3.5.6)
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另一表述
1 R g 2 能量动量张量的迹
0 R 0
真空的场方程.
3.6
场方程的牛顿近似
如果参考系的加速度失去了绝对的意义，那
么惯性系的概念必须重新审查．
考虑一个在恒星表面附近正在自由下落的爱因斯坦落舱． 舱内观察者：牛顿第二定律对他的参考系完全适用,任何力学实 验都不能使他获得一点证据来表明他的参考系在 加速的相对恒星表面下落．这是弱等效原理的 表现，内部空间的引力与惯性力正好抵消．
考虑由非相对论性理想流体构成的介质，由狭
义相对论知它的能量动量张量为： u u
物质密度
u 介质的四维速度 x
dx u d
这里 d 是固有时
ds 2 dt 2 dx 2 dy 2 dz 2

2
24
d 2 ds 2 g dx dx