同安区外国语学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

同安区外国语学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 若动点A ，B 分别在直线l 1：x+y ﹣7=0和l 2：x+y ﹣5=0上移动，则AB 的中点M 到原点的距离的最小值为（ ）A ．3
B ．2
C ．3
D ．4
2． 已知平面向量，，若与垂直，则实数值为（ ）
(12)=，
a (32)=-，
b k +a b a k A ． B ． C ． D ．15-119
1119
【命题意图】本题考查平面向量数量积的坐标表示等基础知识，意在考查基本运算能力．3． 某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是（
）
A ．
B ．
C ．
D ．
4． 两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离都等于a km ，灯塔A 在观察站C 的北偏东20°，灯塔B 在观察站C 的南偏东40°，则灯塔A 与灯塔B 的距离为（ ）
A ．akm
B ．
akm
C ．2akm
D ．
akm
5． 设f （x ）在定义域内可导，y=f （x ）的图象如图所示，则导函数y=f ′（x ）的图象可能是（
）
A ．
B ．
C ．
D ．
6． 设偶函数f （x ）在[0，+∞）单调递增，则使得f （x ）＞f （2x ﹣1）成立的x 的取值范围是（ ）
A ．（，1）
B ．（﹣∞，）∪（1，+∞）
C ．（﹣，）
D ．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）
7． 若函数f （x ）=﹣a （x ﹣x 3）的递减区间为（，），则a 的取值范围是（
）
A ．a ＞0
B ．﹣1＜a ＜0
C ．a ＞1
D ．0＜a ＜1
8． 过抛物线焦点的直线与双曲线的一条渐近线平行，并交其抛物线于、2
2(0)y px p =>F 2
2
18
-=y x A 两点，若，且，则抛物线方程为（ ）
B >AF BF ||3AF =A ．
B ．
C ．
D ．2
y x =2
2y x =2
4y x =2
3y x
=【命题意图】本题考查抛物线方程、抛物线定义、双曲线标准方程和简单几何性质等基础知识，意在考查方程思想和运算能力．
9． 现要完成下列3项抽样调查：
①从10盒酸奶中抽取3盒进行食品卫生检查．
②科技报告厅有32排，每排有40个座位，有一次报告会恰好坐满了听众，报告会结束后，为了听取意见，需要请32名听众进行座谈．
③高新中学共有160名教职工，其中一般教师120名，行政人员16名，后勤人员2名．为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为20的样本．较为合理的抽样方法是（
）
A ．①简单随机抽样，②系统抽样，③分层抽样
B ．①简单随机抽样，②分层抽样，③系统抽样
C ．①系统抽样，②简单随机抽样，③分层抽样
D ．①分层抽样，②系统抽样，③简单随机抽样
10．执行如图所示的程序框图，则输出的S 等于（ ）
A ．19
B ．42
C ．47
D ．89
11．在“唱响内江”选拔赛中，甲、乙两位歌手的5次得分情况如茎叶图所示，记甲、乙两人的平均得分分别
、
，则下列判断正确的是（
）
A ．＜，乙比甲成绩稳定
B ．＜，甲比乙成绩稳定
C ．＞，甲比乙成绩稳定
D ．＞，乙比甲成绩稳定
12．在等比数列中，，，且数列的前项和，则此数列的项数}{n a 821=+n a a 8123=⋅-n a a }{n a n 121=n S n 等于（ ）A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
【命题意图】本题考查等比数列的性质及其通项公式，对逻辑推理能力、运算能力及分类讨论思想的理解有一定要求，难度中等.
二、填空题
13．已知f （x+1）=f （x ﹣1），f （x ）=f （2﹣x ），方程f （x ）=0在[0，1]内只有一个根x=，则f （x ）=0在区间[0，2016]内根的个数 ．
14．已知函数f （x ）=x m 过点（2，），则m= ．　
15．如果直线3ax+y ﹣1=0与直线（1﹣2a ）x+ay+1=0平行．那么a 等于 ．16．如图为长方体积木块堆成的几何体的三视图，此几何体共由 块木块堆成．
17． 设函数，．有下列四个命题：
()x
f x e =()ln
g x x m =+①若对任意，关于的不等式恒成立，则；[1,2]x ∈x ()()f x g x >m e <②若存在，使得不等式成立，则；0[1,2]x ∈00()()f x g x >2ln 2m e <-③若对任意及任意，不等式恒成立，则；1[1,2]x ∈2[1,2]x ∈12()()f x g x >ln 22
e
m <
-④若对任意，存在，使得不等式成立，则．1[1,2]x ∈2[1,2]x ∈12()()f x g x >m e <其中所有正确结论的序号为 .
【命题意图】本题考查对数函数的性质，函数的单调性与导数的关系等基础知识，考查运算求解，推理论证能
力，考查分类整合思想.18．设实数x ，y 满足，向量=（2x ﹣y ，m ），=（﹣1，1）．若∥，则实数m 的最大值为
．　
三、解答题
19．已知抛物线C ：x 2=2py （p ＞0），抛物线上一点Q （m ，）到焦点的距离为1．（Ⅰ）求抛物线C 的方程
（Ⅱ）设过点M （0，2）的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，且A 点的横坐标为n （n ∈N *）（ⅰ）记△AOB 的面积为f （n ），求f （n ）的表达式
（ⅱ）探究是否存在不同的点A ，使对应不同的△AOB 的面积相等？若存在，求点A 点的坐标；若不存在，请说明理由．
20．已知梯形ABCD中，AB∥CD，∠B=，DC=2AB=2BC=2，以直线AD为旋转轴旋转一周得到
如图所示的几何体σ．
（1）求几何体σ的表面积；
（2）点M时几何体σ的表面上的动点，当四面体MABD的体积为，试判断M点的轨迹是否为2个菱形．
21．已知矩阵A＝，向量＝.求向量，使得A2＝.
22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=，AC=3，BC=2，P是△ABC内一点．
（1）若P是等腰三角形PBC的直角顶角，求PA的长；
（2）若∠BPC=，设∠PCB=θ，求△PBC的面积S（θ）的解析式，并求S（θ）的最大值．
23．已知函数f （x ）=sin ωxcos ωx ﹣cos 2ωx+（ω＞0）经化简后利用“五点法”画其在某一个周期内的图象时，
列表并填入的部分数据如下表：x ①
ππf （x ）
1
﹣1
0（Ⅰ）请直接写出①处应填的值，并求函数f （x ）在区间[﹣
，
]上的值域；
（Ⅱ）△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知f （A+）=1，b+c=4，a=
，求△ABC 的面
积．　
24．（本题满分14分）已知函数.
x a x x f ln )(2
-=（1）若在上是单调递减函数，求实数的取值范围；
)(x f ]5,3[a
（2）记，并设是函数的两个极值点，若，x b x a x f x g )1(2ln )2()()(--++=)(,2121x x x x <)(x g 2
7≥b 求的最小值.
)()(21x g x g -
同安区外国语学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）一、选择题
1．【答案】A
【解析】解：∵l1：x+y﹣7=0和l2：x+y﹣5=0是平行直线，
∴可判断：过原点且与直线垂直时，中的M到原点的距离的最小值
∵直线l1：x+y﹣7=0和l2：x+y﹣5=0，
∴两直线的距离为=，
∴AB的中点M到原点的距离的最小值为+=3，
故选：A
【点评】本题考查了两点距离公式，直线的方程，属于中档题．
2．【答案】A
3．【答案】A
【解析】解：几何体如图所示，则V=，
故选：A．
【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积，正确得出直观图是解答的关键．
4．【答案】D
【解析】解：根据题意，
△ABC中，∠ACB=180°﹣20°﹣40°=120°，
∵AC=BC=akm，
∴由余弦定理，得cos120°=，
解之得AB=akm，
即灯塔A与灯塔B的距离为akm，
故选：D．
【点评】本题给出实际应用问题，求海洋上灯塔A与灯塔B的距离．着重考查了三角形内角和定理和运用余弦定理解三角形等知识，属于基础题．
5．【答案】D
【解析】解：根据函数与导数的关系：可知，当f′（x）≥0时，函数f（x）单调递增；当f′（x）＜0时，函数f（x）单调递减
结合函数y=f（x）的图象可知，当x＜0时，函数f（x）单调递减，则f′（x）＜0，排除选项A，C
当x＞0时，函数f（x）先单调递增，则f′（x）≥0，排除选项B
故选D
【点评】本题主要考查了利用函数与函数的导数的关系判断函数的图象，属于基础试题
6．【答案】A
【解析】解：因为f（x）为偶函数，
所以f（x）＞f（2x﹣1）可化为f（|x|）＞f（|2x﹣1|）
又f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，所以|x|＞|2x﹣1|，
即（2x﹣1）2＜x2，解得＜x＜1，
所以x的取值范围是（，1），
故选：A．
7．【答案】A
【解析】解：∵函数f（x）=﹣a（x﹣x3）的递减区间为（，）
∴f′（x）≤0，x∈（，）恒成立
即：﹣a （1﹣3x 2）≤0，，x ∈（，）恒成立
∵1﹣3x 2≥0成立∴a ＞0故选A
【点评】本题主要考查函数单调性的应用，一般来讲已知单调性，则往往转化为恒成立问题去解决．　
8． 【答案】C
【解析】由已知得双曲线的一条渐近线方程为，设，则，所以
，
=y 00(,)A x y 02>p
x 0
002
002322ì=ï
ï-ïïïï
+=íïï=ïïïïî
y p x p x y px 解得或，因为，故，故，所以抛物线方程为．2=p 4=p 322
->p p
03p <<2=p 24y x 9． 【答案】A
【解析】解；观察所给的四组数据，
①个体没有差异且总数不多可用随机抽样法，简单随机抽样，②将总体分成均衡的若干部分指的是将总体分段，在第1段内采用简单随机抽样确定一个起始编号，
在此编号的基础上加上分段间隔的整倍数即为抽样编号，系统抽样，③个体有了明显了差异，所以选用分层抽样法，分层抽样，故选A ．　
10．【答案】B
【解析】解：模拟执行程序框图，可得k=1S=1
满足条件k ＜5，S=3，k=2满足条件k ＜5，S=8，k=3满足条件k ＜5，S=19，k=4
满足条件k＜5，S=42，k=5
不满足条件k＜5，退出循环，输出S的值为42．
故选：B．
【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确依次写出每次循环得到的S，k的值是解题的关键，属于基础题．
11．【答案】A
【解析】解：由茎叶图可知=（77+76+88+90+94）=，
=（75+86+88+88+93）==86，则＜，
乙的成绩主要集中在88附近，乙比甲成绩稳定，
故选：A
【点评】本题主要考查茎叶图的应用，根据平均数和数据的稳定性是解决本题的关键．
12．【答案】B
二、填空题
13．【答案】　2016　．
【解析】解：∵f（x）=f（2﹣x），
∴f（x）的图象关于直线x=1对称，即f（1﹣x）=f（1+x）．
∵f（x+1）=f（x﹣1），∴f（x+2）=f（x），
即函数f（x）是周期为2的周期函数，
∵方程f（x）=0在[0，1]内只有一个根x=，
∴由对称性得，f（）=f（）=0，
∴函数f（x）在一个周期[0，2]上有2个零点，
即函数f（x）在每两个整数之间都有一个零点，
∴f（x）=0在区间[0，2016]内根的个数为2016，
故答案为：2016．
14．【答案】　﹣1　．
【解析】解：将（2，）代入函数f（x）得：=2m，
解得：m=﹣1；
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了待定系数法求函数的解析式问题，是一道基础题．
15．【答案】 ．
【解析】解：∵直线3ax+y﹣1=0与直线（1﹣2a）x+ay+1=0平行，
∴3aa=1（1﹣2a），解得a=﹣1或a=，
经检验当a=﹣1时，两直线重合，应舍去
故答案为：．
【点评】本题考查直线的一般式方程和平行关系，属基础题．
16．【答案】　4　
【解析】解：由三视图可以看出此几何体由两排两列，前排有一个方块，后排左面一列有两个木块右面一列有一个，
故后排有三个，故此几何体共有4个木块组成．
故答案为：4．
17．【答案】①②④
【解析】
18．【答案】　6　．
【解析】解：∵=（2x﹣y，m），=（﹣1，1）．
若∥，
∴2x﹣y+m=0，
即y=2x+m，
作出不等式组对应的平面区域如图：
平移直线y=2x+m，
由图象可知当直线y=2x+m经过点C时，y=2x+m的截距最大，此时z最大．由，
解得，代入2x﹣y+m=0得m=6．
即m的最大值为6．
故答案为：6
【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用m的几何意义结合数形结合，即可求出m的最大值．根据向量平行的坐标公式是解决本题的关键．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）依题意得|QF|=y Q+=+=1，解得p=1，
∴抛物线C的方程为x2=2y；
（Ⅱ）（ⅰ）∵直线l与抛物线C交于A、B两点，
∴直线l的斜率存在，
设A（x1，y1），B（x2，y2），直线l的方程为：y=kx+2，
联立方程组，化简得：x2﹣2kx﹣4=0，
此时△=（﹣2k）2﹣4×1×（﹣4）=4（k2+4）＞0，
由韦达定理，得：x1+x2=2k，x1x2=﹣4，
∴S△AOB=|OM|•|x1﹣x2|
=×2
=
=2（*）
又∵A点横坐标为n，∴点A坐标为A（n，），
又直线过点M（0，2），故k==﹣，
将上式代入（*）式，可得：
f（n）=2
=2
=2
=n+（n∈N*）；
（ⅱ）结论：当A点坐标为（1，）或（4，8）时，对应不同的△AOB的面积相等．
理由如下：
设存在不同的点A m（m，），A n（n，）（m≠n，m、n∈N*），
使对应不同的△AOB的面积相等，则f（m）=f（n），即m+=n+，
化简得：m﹣n=﹣=，
又∵m≠n，即m﹣n≠0，
∴1=，即mn=4，解得m=1，n=4或m=4，n=1，
此时A点坐标为（1，），（4，8）．
【点评】本题考查抛物线的定义及其标准方程、直线与抛物线的位置关系、函数的性质等基础知识，考查运算求解能力、抽象概括能力、推理论证能力，考查函数与方程的思想、数形结合思想、化归与转化思想，注意解题方法的积累，属于中档题．
20．【答案】
【解析】解：（1）根据题意，得；
该旋转体的下半部分是一个圆锥，
上半部分是一个圆台中间挖空一个圆锥而剩下的几何体，
其表面积为S=×4π×2×2=8π，
或S=×4π×2+×（4π×2﹣2π×）+×2π×=8π；
（2）由已知S△ABD=××2×sin135°=1，
因而要使四面体MABD的体积为，只要M点到平面ABCD的距离为1，
因为在空间中有两个平面到平面ABCD的距离为1，
它们与几何体σ的表面的交线构成2个曲边四边形，不是2个菱形．
【点评】本题考查了空间几何体的表面积与体积的计算问题，也考查了空间想象能力的应用问题，是综合性题目．
21．【答案】＝
【解析】A2＝.
设＝.由A2＝，得，从而
解得x＝-1，y＝2，所以＝
22．【答案】
【解析】解：（1）∵P为等腰直角三角形PBC的直角顶点，且BC=2，
∴∠PCB=，PC=，
∵∠ACB=，∴∠ACP=，
在△PAC中，由余弦定理得：PA2=AC2+PC2﹣2AC•PC•cos=5，
整理得：PA=；
（2）在△PBC中，∠BPC=，∠PCB=θ，
∴∠PBC=﹣θ，
由正弦定理得：==，
∴PB=sinθ，PC=sin（﹣θ），
∴△PBC的面积S（θ）=PB•PCsin=sin（﹣θ）sinθ=sin（2θ+）﹣，θ∈（0，），
则当θ=时，△PBC面积的最大值为．
【点评】此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．
23．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）①处应填入．
=．
∵T=，
∴，，
即．
∵，∴，∴，
从而得到f（x）的值域为．
（Ⅱ）∵，
又0＜A＜π，∴，
得，．
由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA==（b+c）2﹣3bc，
即，∴bc=3．
∴△ABC的面积．
【点评】本小题主要考查三角函数的图象与性质、两角和与差的三角函数、解三角形等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，属于中档题．
24．【答案】
【解析】【命题意图】本题综合考查了利用导数研究函数的单调问题，利用导数研究函数的最值，但本题对函数的构造能力及运算能力都有很高的要求，判别式的技巧性运用及换元方法也是本题的一大亮点，本题综合性很强，难度大，但有梯次感.
（2）∵，x b x x x b x a x a x x g )1(2ln 2)1(2ln )2(ln )(2
2--+=--++-=。