5.4 Gauss型积分公式
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01px故两点gauss公式为积分系数为3111212211121??????dxxxxxxdxxlxa1122122112113xxaxlxdxxdxxx??????535331112ffdxxfx???p2x的两个零点为532531?xx区间11上权函数wx1的gauss型求积公式称为gausslegendre求积公式其gauss点为legendre多项式的零点
Gauss型积分公式
Newton-Cote’s积分公式，可以知道n为 偶数时，n＋1个点数值积分公式有n＋1阶 精度。是否有更高的代数精度呢？n个点的 数值积分公式，最高可以到多少代数精度？ 本节会解决这个问题。
例：在两点数值积分公式中，如果积分点也作 为未知量，则有4个未知量 a0 , a1 , x0 , x1 可 以列出4个方程： （以f(x)在[-1,1]为例） 具有3阶代数精 a 1 a 1 11dx 2 度，比梯形公式 0 1 1 1阶代数精度高 1 a x a x xdx 0 0 0 1 1 1 1 2 可解出： 2 2 2 a0 x0 a1 x1 1x dx a0 1, a1 1, 3 1 3 3 1 1 a0 x0 a1 x1 x 3 dx 0 x0 , x1 1
0.5555555556 0.8888888889 7 0.3478548451 0.6521451549
4
±0.9491079123 ±0.7415311856 ±0.4058451514 0
0.1294849662 0.2797053915 0.3818300505 0.4179591837
5
±0.9061798459 ±0.5384693101 0
a
b
称为权函数
定义两个可积函数的内积为：
( f , g ) W ( x) f ( x) g ( x)dx
a
b
两个函数正交，就是指这两个函数的内积为0
以n阶正交多项式的n个零点为积分点的数值积分公式
Gauss点
证明：
Gauss积分，记为Gn(f)
有2n－1阶的代数精度
E ( f ) I ( f ) I n ( f ) f [ x1 , x2 ,, xn , x]n ( x)W ( x)dx
b
a
w 2 ( x )dx ,
(a , b)
(2) Gauss-Laguerre求积公式 区间[0,)上权函数W(x)=e-x的Gauss型求积公式, 称为Gauss-Laguerre求积公式,其Gauss点为Laguerre 多项式的零点.
公式的Gauss点和求积系数可在数学用表中查到 .
2 2
A1 0.555556, A2 0.888889, A3 0.555556
I
ba n ab ba Ai f ( xi ) a f ( x )dx 2 2 2 i 1
2 2
cos xdx [0.555556 cos( 0.774597) 2 2
Ak
0.8862269254 0.2954089751 1.8163590006 0.8049140900 0.0813128354 0.3936193231 0.0199532421 0.9453087204
n
6
xk
±0.4360774119 ±1.3358490704 ±2.3506049736 ±0.8162878828 ±1.6735516287 ±2.6519613563 0
(1)求出区间[a,b]上权函数为W(x)的正交多 项式pn(x) . (2)求出pn(x)的n个零点x1 , x2 , … xn 即为 Gsuss点.
(3)计算积分系数
例：
求积分
1 x f ( x)dx
1
2
的2点Gauss公式.
解
按 Schemite 正交化过程作出正交多项式:
p0 ( x) 1
n
1 2
xk
0 ±0.5773502692
Ak
2 1
n
6
xk
±0.9324695142 ±0.6612093865 ±0.2386191861
Ak
0.1713244924 0.3607615730 0.4679139346
3
±0.7745966692 0 ±0.8611363116 ±0.3399810436
2 n
I ( p( x)) 0 易知： 如何构造最高阶精度的公式？ I n ( p( x)) 0
也就是说，数值积分公式，对一个2n+2阶的多项式 是有误差的，所以，n＋1个点的数值积分公式不超 过2n＋1阶
一般性，考虑积分：
I ( f ) W ( x) f ( x)dx,W ( x) 0
0.888889 cos 0 0.555556 cos( 0.774597)] 2
2.001389
Gauss 公式的余项：
R[ f ] f ( x )dx Ak f ( xk )
b a k 0 n
插值多项式的余项
/* 设P为f 的过x0 … xn的插值多项式 */
由
0 f ( x)dx 0 e e f ( x)dx
x x
n
所以,对[0, +)上权函数W(x)=1的积分,也可以构造 类似的Gauss-Laguerre求积公式:
0 f ( x)dx Ai e f ( xi )
xi i 1
n
2
xk
0.5858864376 3.4142135623
0.2369268851 0.4786286705 0.5688888889
8
±0.9602898565 ±0.7966664774 ±0.5255324099 ±0.1834346425
0.1012285363 0.2223810345 0.3137066459 0.3626837834
例1 应用两点Guass Legendre积分公式计算
2
(0.5773503) cos(0.5773503)
2
0.558608
I x cos xdx G2 ( x cos x) 0.558608
2 2 1
1
例2 应用三点Guass Legendre积分公式计算
I cos xdx
解： 查表有x
b1ຫໍສະໝຸດ 0.774597, x2 0, x3 0.774597;
Ak
0.7246295952 0.1570673203 0.0045300099 0.4256072526 0.0545155828 0.0009717812 0.8102646175
5
7
( x, p 0 ( x)) p1 ( x) x p 0 ( x) ( p 0 ( x), p 0 ( x))
2 2
( x , p 0 ( x)) ( x , p1 ( x)) p 2 ( x) x p 0 ( x) p1 ( x) ( p 0 ( x), p 0 ( x)) ( p1 ( x), p1 ( x))
式的零点. 公式的Gauss点和求积系数可在数学用表中查到 .
(a b) (b a)t ba 1 ab ba t )dt ( x ) 1 f ( 由 a f ( x)dx 2 2 2 2
b
因此,[a,b]上权函数W(x)=1的Gauss型求积公式为 ba n ab ba b xi ) Ai f ( a f ( x)dx 2 i 1 2 2
2
3 x 1 2 1 4 xx 5 1 x dx 1 x dx
2 2
1 x dx
1
4
5 x 1 dx
1
P2(x)的两个零点为
x1
3 5
, x2
3 5
,
积分系数为
x x2 1 A1 1 x l1 ( x)dx 1 x dx x1 x 2 3
A：Hermite 多项式！
满足
H ( xk ) f ( xk ), H ( xk ) f ( xk )
b a
R[ f ] [ f ( x ) H ( x )]dx
b a
f ( x ) 2 w ( x )dx ( 2n 2)!
( 2 n 1 )
f ( 2 n1) ( ) ( 2n 2)!
f ( x )dx Ak P ( xk )
b a k 0 n
/*只要P 的阶数不大于2n+1，则下一步等式成立*/
f ( x )dx P ( x )dx [ f ( x ) P ( x )]dx
a a a
b
b
b
Q：什么样的插值多项式在 x0 … xn 上有 2n+1 阶？
6
0.2228466041 1.1889321016 2.9927363260 5.7751435691 9.8374674183 15.9828739806
0.4589646793 0.4170008307 0.1133733820 0.0103991975 0.0002610172 0.0000008985
I x cos xdx
2 1
1
解： 查表有x1 0.5773503, x2 0.5773503; A1 A2 1
2 G2 ( x 2 cos x ) A1 x12 cos x1 A2 x2 cos x2
( 0.5773503) cos( 0.5773503)
1 2 1 2
故两点Gauss公式为
1 2
x x1 1 A2 x l2 ( x)dx x dx 1 1 x2 x1 3
1 2 1 2
1 x f ( x)dx [ f (
1 3
3 5
) f(
3 5
)]
几种Gauss型求积公式
(1) Gauss-Legendre求积公式 区间[-1,1]上权函数W(x)=1的Gauss型求积公式,称 为Gauss-Legendre求积公式,其Gauss点为Legendre多项
Ak
0.8535533905 0.1464466094
n
5
xk
0.2635603197 1.4134030591 3.5964257710 7.0858100058 12.6408008442
Ak
0.5217556105 0.3986668110 0.0759424497 0.0036117587 0.0000233700
3
0.4157745567 2.2942803602 602899450829
0.7110930099 0.2785177335 0.0103892565
4
0.3225476896 1.7457611011 4.5366202969 9.3950709123
0.6031541043 0.3574186924 0.0388879085 0.0005392947
(3) Gauss-Hermite求积公式
区间(-,)上权函数W(x)= e 的Gauss型求积公式,称为 Gauss-Hermite求积公式, 其Gauss点为Hermite多项式的零点. 公式的Gauss点和求积系数可在数学用表中查到 .
x2
n
2 3 4
xk
±0.7071067811 ±1.2247448713 0 ±0.5246476232 ±1.6506801238 ±0.9585724646 ±2.0201828704 0
可以看出，数值积分公式
1 1 1 fdx f ( 3 ) f ( 3 )
1
3
3
定理 n个积分点的数值积分公式，最高2n－1阶
证明：
I ( f ) f ( x)dx
a
b
I n ( f ) ai f ( xi ), ai li ( x)dx
b
n
取
i 0
a
p( x) ( x x0 )( x x1 )( x xn ) ( x)
a
b
若f为2n－1次多项式，则
f [ x1 , x2 ,, xn , x]
为n－1次多项式
又，n ( x), pn ( x) 仅差一个常数（零点相同）
E( f ) 0
具有一个很好的性质：
pn ( f ) P n1
Gn ( f ) I ( f ), n
Gauss型求积公式的构造方法
Gauss型积分公式
Newton-Cote’s积分公式，可以知道n为 偶数时，n＋1个点数值积分公式有n＋1阶 精度。是否有更高的代数精度呢？n个点的 数值积分公式，最高可以到多少代数精度？ 本节会解决这个问题。
例：在两点数值积分公式中，如果积分点也作 为未知量，则有4个未知量 a0 , a1 , x0 , x1 可 以列出4个方程： （以f(x)在[-1,1]为例） 具有3阶代数精 a 1 a 1 11dx 2 度，比梯形公式 0 1 1 1阶代数精度高 1 a x a x xdx 0 0 0 1 1 1 1 2 可解出： 2 2 2 a0 x0 a1 x1 1x dx a0 1, a1 1, 3 1 3 3 1 1 a0 x0 a1 x1 x 3 dx 0 x0 , x1 1
0.5555555556 0.8888888889 7 0.3478548451 0.6521451549
4
±0.9491079123 ±0.7415311856 ±0.4058451514 0
0.1294849662 0.2797053915 0.3818300505 0.4179591837
5
±0.9061798459 ±0.5384693101 0
a
b
称为权函数
定义两个可积函数的内积为：
( f , g ) W ( x) f ( x) g ( x)dx
a
b
两个函数正交，就是指这两个函数的内积为0
以n阶正交多项式的n个零点为积分点的数值积分公式
Gauss点
证明：
Gauss积分，记为Gn(f)
有2n－1阶的代数精度
E ( f ) I ( f ) I n ( f ) f [ x1 , x2 ,, xn , x]n ( x)W ( x)dx
b
a
w 2 ( x )dx ,
(a , b)
(2) Gauss-Laguerre求积公式 区间[0,)上权函数W(x)=e-x的Gauss型求积公式, 称为Gauss-Laguerre求积公式,其Gauss点为Laguerre 多项式的零点.
公式的Gauss点和求积系数可在数学用表中查到 .
2 2
A1 0.555556, A2 0.888889, A3 0.555556
I
ba n ab ba Ai f ( xi ) a f ( x )dx 2 2 2 i 1
2 2
cos xdx [0.555556 cos( 0.774597) 2 2
Ak
0.8862269254 0.2954089751 1.8163590006 0.8049140900 0.0813128354 0.3936193231 0.0199532421 0.9453087204
n
6
xk
±0.4360774119 ±1.3358490704 ±2.3506049736 ±0.8162878828 ±1.6735516287 ±2.6519613563 0
(1)求出区间[a,b]上权函数为W(x)的正交多 项式pn(x) . (2)求出pn(x)的n个零点x1 , x2 , … xn 即为 Gsuss点.
(3)计算积分系数
例：
求积分
1 x f ( x)dx
1
2
的2点Gauss公式.
解
按 Schemite 正交化过程作出正交多项式:
p0 ( x) 1
n
1 2
xk
0 ±0.5773502692
Ak
2 1
n
6
xk
±0.9324695142 ±0.6612093865 ±0.2386191861
Ak
0.1713244924 0.3607615730 0.4679139346
3
±0.7745966692 0 ±0.8611363116 ±0.3399810436
2 n
I ( p( x)) 0 易知： 如何构造最高阶精度的公式？ I n ( p( x)) 0
也就是说，数值积分公式，对一个2n+2阶的多项式 是有误差的，所以，n＋1个点的数值积分公式不超 过2n＋1阶
一般性，考虑积分：
I ( f ) W ( x) f ( x)dx,W ( x) 0
0.888889 cos 0 0.555556 cos( 0.774597)] 2
2.001389
Gauss 公式的余项：
R[ f ] f ( x )dx Ak f ( xk )
b a k 0 n
插值多项式的余项
/* 设P为f 的过x0 … xn的插值多项式 */
由
0 f ( x)dx 0 e e f ( x)dx
x x
n
所以,对[0, +)上权函数W(x)=1的积分,也可以构造 类似的Gauss-Laguerre求积公式:
0 f ( x)dx Ai e f ( xi )
xi i 1
n
2
xk
0.5858864376 3.4142135623
0.2369268851 0.4786286705 0.5688888889
8
±0.9602898565 ±0.7966664774 ±0.5255324099 ±0.1834346425
0.1012285363 0.2223810345 0.3137066459 0.3626837834
例1 应用两点Guass Legendre积分公式计算
2
(0.5773503) cos(0.5773503)
2
0.558608
I x cos xdx G2 ( x cos x) 0.558608
2 2 1
1
例2 应用三点Guass Legendre积分公式计算
I cos xdx
解： 查表有x
b1ຫໍສະໝຸດ 0.774597, x2 0, x3 0.774597;
Ak
0.7246295952 0.1570673203 0.0045300099 0.4256072526 0.0545155828 0.0009717812 0.8102646175
5
7
( x, p 0 ( x)) p1 ( x) x p 0 ( x) ( p 0 ( x), p 0 ( x))
2 2
( x , p 0 ( x)) ( x , p1 ( x)) p 2 ( x) x p 0 ( x) p1 ( x) ( p 0 ( x), p 0 ( x)) ( p1 ( x), p1 ( x))
式的零点. 公式的Gauss点和求积系数可在数学用表中查到 .
(a b) (b a)t ba 1 ab ba t )dt ( x ) 1 f ( 由 a f ( x)dx 2 2 2 2
b
因此,[a,b]上权函数W(x)=1的Gauss型求积公式为 ba n ab ba b xi ) Ai f ( a f ( x)dx 2 i 1 2 2
2
3 x 1 2 1 4 xx 5 1 x dx 1 x dx
2 2
1 x dx
1
4
5 x 1 dx
1
P2(x)的两个零点为
x1
3 5
, x2
3 5
,
积分系数为
x x2 1 A1 1 x l1 ( x)dx 1 x dx x1 x 2 3
A：Hermite 多项式！
满足
H ( xk ) f ( xk ), H ( xk ) f ( xk )
b a
R[ f ] [ f ( x ) H ( x )]dx
b a
f ( x ) 2 w ( x )dx ( 2n 2)!
( 2 n 1 )
f ( 2 n1) ( ) ( 2n 2)!
f ( x )dx Ak P ( xk )
b a k 0 n
/*只要P 的阶数不大于2n+1，则下一步等式成立*/
f ( x )dx P ( x )dx [ f ( x ) P ( x )]dx
a a a
b
b
b
Q：什么样的插值多项式在 x0 … xn 上有 2n+1 阶？
6
0.2228466041 1.1889321016 2.9927363260 5.7751435691 9.8374674183 15.9828739806
0.4589646793 0.4170008307 0.1133733820 0.0103991975 0.0002610172 0.0000008985
I x cos xdx
2 1
1
解： 查表有x1 0.5773503, x2 0.5773503; A1 A2 1
2 G2 ( x 2 cos x ) A1 x12 cos x1 A2 x2 cos x2
( 0.5773503) cos( 0.5773503)
1 2 1 2
故两点Gauss公式为
1 2
x x1 1 A2 x l2 ( x)dx x dx 1 1 x2 x1 3
1 2 1 2
1 x f ( x)dx [ f (
1 3
3 5
) f(
3 5
)]
几种Gauss型求积公式
(1) Gauss-Legendre求积公式 区间[-1,1]上权函数W(x)=1的Gauss型求积公式,称 为Gauss-Legendre求积公式,其Gauss点为Legendre多项
Ak
0.8535533905 0.1464466094
n
5
xk
0.2635603197 1.4134030591 3.5964257710 7.0858100058 12.6408008442
Ak
0.5217556105 0.3986668110 0.0759424497 0.0036117587 0.0000233700
3
0.4157745567 2.2942803602 602899450829
0.7110930099 0.2785177335 0.0103892565
4
0.3225476896 1.7457611011 4.5366202969 9.3950709123
0.6031541043 0.3574186924 0.0388879085 0.0005392947
(3) Gauss-Hermite求积公式
区间(-,)上权函数W(x)= e 的Gauss型求积公式,称为 Gauss-Hermite求积公式, 其Gauss点为Hermite多项式的零点. 公式的Gauss点和求积系数可在数学用表中查到 .
x2
n
2 3 4
xk
±0.7071067811 ±1.2247448713 0 ±0.5246476232 ±1.6506801238 ±0.9585724646 ±2.0201828704 0
可以看出，数值积分公式
1 1 1 fdx f ( 3 ) f ( 3 )
1
3
3
定理 n个积分点的数值积分公式，最高2n－1阶
证明：
I ( f ) f ( x)dx
a
b
I n ( f ) ai f ( xi ), ai li ( x)dx
b
n
取
i 0
a
p( x) ( x x0 )( x x1 )( x xn ) ( x)
a
b
若f为2n－1次多项式，则
f [ x1 , x2 ,, xn , x]
为n－1次多项式
又，n ( x), pn ( x) 仅差一个常数（零点相同）
E( f ) 0
具有一个很好的性质：
pn ( f ) P n1
Gn ( f ) I ( f ), n
Gauss型求积公式的构造方法