(解析版)江苏省宿迁市沭阳县修远中学2017-2018学年高一上学期第二次月考数学试题

修远中学2017-2018学年度第一学期第二次阶段测试
高一数学试题
一、填空题：共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答卷纸的相应位置上
．．．．．．．．．．1. 求值：_______．
【答案】
【解析】由诱导公式可得，故答案为.
2. 设是平面内任意三点，计算：_______．
【答案】
【解析】，故答案为.
3. 在内与的终边相同的角为_______．
【答案】
【解析】的终边相同的角为：，当时，与的终边相同的角为，故答案为.
4. 若，则点位于第__象限.
【答案】二
【解析】，故点，位于第二象限，故答案为二.
5. 已知是第二象限角，，则_______．
【答案】
【解析】是第二象限角，，故答案为. 6. 在中，若,则的形状为_______三角形.
【答案】等边
【解析】因为,所以三角形三边相等，为等边三角形，故答案为等边.
7. 化简_______．
【答案】
【解析】，故答案为.
8. 扇形的圆心角是，半径为, 则扇形的面积为_______.
【答案】
【解析】，故答案为.
9. 把函数的图象上所有点的横坐标缩小到原来的（纵坐标不变），再将图象上所有点向右平移个单位，所得函数图象所对应的解析式为__．
【答案】
【解析】把图象上所有点的纵坐标不变横坐标缩小到原来的，得到的图象，再把函数的图象上所有点向右平移个单位，得到对图象，所求函数的解析式为，故答案为.
【方法点晴】本题主要考查三角函数函数图象的性质及变换，属于中档题. 函数图像的确定除了可以直接描点画出外，还常常利用基本初等函数图像经过“平移变换”“翻折变
换”“对称变换”“伸缩变换”得到，在变换过程中一定要注意：（1）图象变换要注意先是平移后放缩还是先放缩后平移；（2）放缩变换要注意，纵坐标“不变”横坐标缩小“到原来的”词语的正确运用.
10. 函数的定义域是 _______．
【答案】
【解析】
............
11. 已知，则的值为_______．
【答案】
【解析】，，
，故答案为.
12. 给出下列命题：
①小于的角是第一象限角；
②将的图象上所有点向左平移个单位长度可得到的图象；
③若是第一象限角，且，则；
④若为第二象限角，则是第一或第三象限的角；
⑤函数在整个定义域内是增函数.
其中正确的命题的序号是_______．（注：把你认为正确的命题的序号都填上）
【答案】④
【解析】试题分析：如-30小于，但不是第一象限角，故①错；将的图象上所有点向左平移个单位长度可得到图像对应的解析式为=，故②错；如=，=都是第一象限角，且，但，故③错；由是第二象限角知，
，所以，当时，是第一象限角，当时，，是等三象限角，故④正确；由正切函数图像知，⑤错．
考点：象限角；图像平移；三角函数单调性
13. 已知函数，若对任意都有成立，则的最小值是
_______．
【答案】
【解析】对任意都有和分别是函数的最大值和最小值，
的最小值为函数的半个周期，的最小值为，故答案为.
【方法点睛】本题主要考查三角函数的周期性及数学的转化与划归思想. 属于难题. 数学中常见的思想方法有：函数与方程的思想、分类讨论思想、转化与划归思想、数形结合思想、建模思想等等，转化与划归思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决知识点较多以及知识跨度较大的问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点.以便将问题转化为我们所熟悉的知识领域，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用于解题当中. 本题中，将不等式恒成立问题转化为三角函数周期问题，是解题的关键.
14. ，（其中为常数，），若，则_______．【答案】
【解析】由于的最小正周期为，若，则
，则
，故答案为.
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答卷纸指定区域内
．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 求下列各式的值：
（1）；
（2）.
【答案】(1) ；(2).
【解析】试题分析：（1）根据特殊角的三角函数，求出每一个三角函数值，再化简求值即可；（2）根据特殊角的三角函数，求出每一个三角函数值，再化简求值即可.
试题解析：（1）.
(2).
16. 已知角的终边经过点.
（1）求的值；
（2）求的值．
【答案】（1）；（2）.
【解析】试题分析：（1）由条件利用任意的三角函数的定义，求得的值，再利用诱导公式化简，将的值代入化简后的式子即可的结果；（2）由条件利用同角三角函数的基本关系化简，将的值代入化简后的式子即可得结果.
试题解析：（1）角的终边经过点，
.
（2）
.
17. 若函数，的最小正周期为.
（1）求实数的值；
（2）求函数的单调增区间；
（3）求函数取得最大值时的取值集合.
【答案】（1）；（2）；（3）.
【解析】试题分析：（1）直接根据周期公式列方程即可求实数的值；（2）由
解不等式可得的范围，写成区间形式即可得函数的单调增区间；（3）由得，即的取值集合为.
试题解析：（1）由（1）由得.
由得，
所以增区间为，.
（3）由得
所以的取值集合为.
【方法点睛】本题主要考查三角函数的单调性、周期及三角函数的最值，属于中档题.
的函数的单调区间的求法：(1) 代换法：①若,把看作是一个
整体，由求得函数的减区间，求得增区间；②若,则利用诱导公式先将的符号化为正，再利用①的方法，或根据复合函数的单调性规律进行求解；(2) 图象法：画出三角函数图象，利用图象求函数的单调区间.
18. 用一根长为的绳索围成一个圆心角小于且半径不超过的扇形场地，设扇形的半径为，面积为.
（1）写出关于的函数表达式，并求出该函数的定义域;
（2）当半径和圆心角为多大时，所围扇形的面积最大，并求出最大值;
【答案】（1）；（2）.
【解析】试题分析：（1）设扇形的弧长为，则，由题意可得，根据扇形面积公式即可得函数解析式和定义域；（2）由（1）和可得，根据二次函数的性质可得可得当扇形半径为，圆心角为时，所围扇形场地面积最大.
试题解析：（1）设扇形弧长为，则，，由，得，从而 .
（2），，从而当时，，此时，，圆心角，答：当扇形半径为，圆心角为时，所围扇形场地面积最大，最大面积为.
19. 已知函数的最小正周期为，且点是该函数图象的一个最高点．
（1）求函数的解析式；
（2）若，求函数的值域；
（3）把函数的图象向右平移个单位长度，得到函数在上是单调增函数，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）；（3）.
【解析】试题分析：（1）由是该函数图象的一个最高点求出，由周期为求出，由特殊点的坐标求出的值，从而可得函数的解析式；（2）由可求的，利用正弦函数的性质可求其值域；（3）利用三角函数平移变换规律可求，利用正弦函数的单调性可求函数的单调递增区间，进而可得，结合范围，可求的取值范围.
试题解析：（1）∵由题意可得，A=2， =π，∴ω=2．
∵再根据函数的图象经过点M（，2），可得2sin（2×+φ）=2，结合|φ|＜，可得
=，∴f（x）=2sin（2x+）．
（2）∵x∈[﹣，0]，
∴2x+∈[﹣，]，
∴sin（2x+）∈[﹣1，]，可得：f（x）=2sin（2x+）∈[﹣2，1]．（3）把函数y=f （x）的图线向右平移θ（0＜θ＜）个单位，
得到函数y=g（x）=2sin[2（x﹣θ）+]=2sin（2x﹣2θ+），
∴令2kπ﹣≤2x﹣2θ+≤2kπ+，k∈Z，解得：kπ+θ﹣≤x≤kπ+θ+，k∈Z，可得函数的单调递增区间为：[kπ+θ﹣，kπ+θ+]，k∈Z，
∵函数y=g（x）在[0，]上是单调增函数，∴，
∴解得：，k∈Z，∵0＜θ＜，，∴当k=0时，θ∈[，]．
20. 已知函数是常数.
（1）当时，求函数的值域；
（2）当时，求方程的解集；
（3）若函数在区间上有零点，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）；（3）.
【解析】试题分析：（1）当时，利用同角三角函数之间的关系化简函数的解析式，利用正弦函数的有界性以及二次函数的最值求解即可；（2）当时，化简，即
求得，进而可得方程的解集；；（3）利用换元法
，则，函数在区间上有零点等价于有解，判断函数的单调性，然后求解函数的最值即可得结果.
试题解析：
.
（1）当时，，
当时，当时，，
所以，当时，函数的值域是.
（2）当时，方程即
即解得，（已舍）,
和,
所以，当时，方程的解集是.
（3）由，得
令
,令,
设
，在上是增函数，在上的值域是
.
【方法点睛】已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为的交点个数的图象的交点个数问题 .。