高考数学(理)(全国通用)大一轮复习高考试题汇编 第三章 导数与定积分

第三章 导数与定积分
第一节 导数的概念与运算
题型30 导数的定义——暂无 题型31 求函数的导数 题型32 导数的几何意义
1.(2017北京理19)已知函数()e cos x
f x x x =-.
（1）求曲线()y f x =在点()()
0,0f 处的切线方程； （2）求函数()f x 在区间π0,2
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上的最大值和最小值.
解析 （1）因为()e cos x f x x x =-，所以()e (cos sin )1x
f x x x '=--，(0)0f '=.
又因为(0)1f =，所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为1y =.
（2）设()e (cos sin )1x h x x x =--，则()e (cos sin sin cos )2e sin x x
h x x x x x x '=---=-.
当π0,
2x ⎛
⎫∈ ⎪⎝
⎭时，()0h x '<，所以()h x 在区间π0,2⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上单调递减. 所以对任意π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，有()(0)0h x h =，即()0f x '.
所以函数()f x 在区间π0,2
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上单调递减.
因此()f x 在区间π0,2⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的最大值为(0)1f =，最小值为
ππ22f ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
.
第二节 导数的应用
题型33 利用导数研究函数的单调性 题型34 利用导函数研究函数的极值与最值
1.（2017江苏20）已知函数()321f x x ax bx =+++()0,a b >∈R 有极值，且导函数()f x '的极值点是()f x 的零点（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）. （1）求b 关于a 的函数关系式，并写出定义域； （2）证明：2
3b a >；
（3）若()f x ，()f x '这两个函数的所有极值之和不小于7
2
-
，求a 的取值范围． 解析 （1）由()321f x x ax bx =+++，得()232f x x ax b =++'，
当3
a x =-时，()f x '有极小值为2
3a b -．
因为()f x '的极值点是()f x 的零点，
所以331032793a a a ab f ⎛⎫-=-+-+= ⎪⎝⎭
，又0a >，故2239a b a =
+． 当()2
2120a b ∆=-时，()2320f x x ax b =++'恒成立，即()f x 单调递增， 所以此时()f x 不存在极值，不合题意．
因此2
4120a b ∆=->，即232
2231927
30933a a a a a a a ⎛⎫--+=-=> ⎪⎝⎭
，所以3a >．
()=0f x '有两个相异的实根1x 2x 列表如下
故()f x 的极值点是12,x x ，从而3a >.
所以b 关于a 的函数关系式为223
9a b a
=+，定义域为()3,+∞． （2）解法一：由（1）知，即证明2
22339
a a a ⎛⎫+>
⎪⎝⎭，即4244
39138a a a a ++>， 因为0a >，所以问题等价于6
3
41357290a a -+>，
不妨设3
t a =，则()27,t ∈+∞，不妨设()24135729g t t t =-+，
易知()g t 在135,8⎛⎫
+∞
⎪⎝⎭
上单调递增，且
135278<， 从而()()227427135277290g t g >=⨯-⨯+=，即6
3
41357290a a -+>得证． 因此2
3b a >．
解法二（考试院提供）：由（1
+
． 设()23=9t g t t
+，则()22223227
=99t g t t t --='．
当,2t ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0g t '>，从而()g t
在2⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
上单调递增． 因为3a >
，所以>
(
(
g g >=
因此2
3b a >．
（3）由（1）设()2320f x x ax b =++='的两个实根为12,x x ，且设12x x <，
且有12123123x x a x x b
⎧
+=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，因此222
12469a b x x -+=．
而()f x 的情况如下表所示：
所以()f x 的极值点是12,x x ，
从而()()3232
1211122211=f x f x x ax bx x ax bx +=+++++++
()()()()2222
12112212121232322=3333x x x ax b x ax b a x x b x x ++++++++++ ()()221212122=33
a x x
b x x ++++ 3423227a ab -+324223202739a a a a ⎛⎫=-++= ⎪⎝⎭
． 记()f x ，()f x '所有极值之和为()h a ，
因为()f x '的极值为2213
39a b a a -=-+，所以()2139h a a a
=-+，3a >． 处理方法一：因为()223
=09h a a a
'-
-<，于是()h a 在()3,+∞上单调递减． 因为()7
6=2
h -
，由()()6h a h ，故6a ． 处理方法二：所以()213792
h a a a
=-+-
，整理得3
263540a a --（必然可以猜测零点），
()()
2621290a a a -++，因此6a ．
因此a 的取值范围为(]3,6．
评注 ①此题第（2）问考查的是数值大小的比较，常见的有作差法、作商法、两边平方比较法，此题采用作商（考试院解法二）化简函数达到简化效果，可见对于压轴问题，方法的选择是非常关键的．
②第（3）问实际考查的是函数零点的应用，下面提供此前我们做过的两个类似习题供参考．
案例1：已知函数()2ln f x ax x x =--，若函数()f x 存在极值，且所有极值之和小于
5ln 2+，则实数a 的取值范围是 ．
解析 因为()12f x a x x
=--'221
x ax x -+-=()0x >，
设()221g x x ax =-+-，当2
80a ∆=-时，()0g x 恒成立，
所以()f x 单调递减，故不存在极值；
所以2
80a ∆=->，设()2210g x x ax =-+-=的两根为12,x x （不妨设12x x <），
从而121
02
x x =
>，因此12,x x 同号， 所以问题等价于()2210g x x ax =-+-=在()0,+∞上有两个不相等的实数根12,x x ，
因此212128002102a x x x x a ∆=⎧
⎪⎪
⎪
+=>⎨>->⎪
⎪=⎪⎩
，从而a >．
所以()f x 的所有极值之和为()()12f x f x +2
2
111222ln l =n ax x x ax x x =--+--
()()
2
121212122ln a x x x x x x x x +-++-221
1ln 5ln 2242
a a =-+-<+， 因此2
16a <，解得44a -<<
，又a >a
的取值范围是()
． ④另外，如果熟悉三次函数对称中心，此题还可以作如下考虑：
即()321f x x ax bx =+++，()232f x x ax b =++'，()62f x x a '+'=， 令()620f x x a '=+='，则3a x =-
，所以该三次函数的对称中心为,33a a f ⎛⎫
⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
． 因此有()()1223a f x f x f ⎛⎫
+=- ⎪⎝⎭32
33321=a a a a b ⎡⎤=++⎛⎫⎛⎫⎛⎫+--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎢⎣⎭⎥⎥⎦
⎝
3221273a a b ⎡⎤
⎛⎫-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦232232102739
a a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-++=⎢⎥ ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦．
这里可以采用假算的思想，即写出简单过程，省去中间过于复杂的运算过程，直接写出结果即可，这需要平时积累一些有价值的素材．
案例2：（徐州15-16高二下学期期末文20）已知函数
()24ln f x x x a x =-+(),0a a ∈≠R ，()f x '为函数()f x 的导函数．
（1）若1a =，求曲线()y f x =在点()()
1,1f 处的切线方程； （2）求函数()f x 的单调区间；
（3）若存在实数12,x x ，且12x x <，使得()()120f x f x ''==，求证：()24f x >-．
解析 （1）若1a =，则()24ln f x x x x =-+，()1
24f x x x
'=-+， 所以切线斜率为()11f '=-，又(1)3f =-，
所以()y f x =在点()()
1,1f 处的切线方程为20x y ++=．
（2）()22424a x x a
f x x x x
='-+=-+，0x >．
①当2a 时，()0f x '恒成立，所以()f x 的单调增区间为()0,+∞；
②当02a <<时，令()0f x '>，得0x <<
或x >，
所以()f x 的单调增区间为⎛ ⎝
⎭和⎫
+∞⎪⎝⎭
，
同理()f x 的单调减区间为⎝⎭
；
③当0a <时，令()0f x '>，得x >
．
所以()f x 的单调增区间为⎫
+∞⎪⎝⎭
，同理()f x 的单调减区间为
⎛ ⎝⎭
．
（3）由题意可知，12,x x 是方程2
240x x a -+=()02a <<的两根，
则()221,22
x +=
，2
2242a x x =-，
所以()2
22224ln f x x x a x =-+()
222
2222442ln x x x x x =-+-． 令()()
22442ln g x x x x x x =-+-，()1,2x ∈．
则()()41ln 0g x x x '=-<恒成立，所以()g x 在()1,2上单调递减， 所以()()24g x g >=-，即()24f x >-．
2.（2017山东理20）已知函数()22cos f x x x =+，()()e cos sin 22x g x x x x =-+-，其中e 2.71828
=是自然对数的底数.
（1）求曲线()y f x =在点()(),f ππ处的切线方程；
（2）令()()()()h x g x af x a =-∈R ，讨论()h x 的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值.
解析 （1）由题意()2
2f π=π-，又()22sin f x x x '=-，所以()2f 'π=π，
因此曲线()y f x =在点()(),f ππ处的切线方程为()
()2
22y x -π-=π-π， 即222y x =π-π-.
（2）由题意得2
()e (cos sin 22)(2cos )x h x x x x a x x =-+--+，
因
为
()()()()e cos sin 22e sin cos 222sin x x h x x x x x x a x x '=-+-+--+--=()()2e sin 2sin x x x a x x ---()
()2e sin x a x x =--，
令()sin m x x x =-，则()1cos 0m x x '=-，所以()m x 在R 上单调递增. 因为(0)0m =，所以当0x >时，()0m x >；当0x <时，()0m x <. （i ）当0a 时，e x a -0>.
当0x <时，()0h x '<，()h x 在区间(),0-∞上单调递减； 当0x >时，()0h x '>，()h x 在区间()0,+∞上单调递增， 所以当0x =时，()h x 取得极小值，极小值为()021h a =--；
（ii ）当0a >时，()()()ln 2e e
sin x a
h x x x '=--，
由()0h x '=，得1ln x a =，2=0x . ① 当01a <<时，ln 0a <，
当(),ln x a ∈-∞时，()0h x '>，此时()h x 单调递增； 当()ln ,0x a ∈时，()0h x '<，此时()h x 单调递减； 当()0,x ∈+∞时，()0h x '>，此时()h x 单调递增. 所以当ln x a =时，()h x 取得极大值，
极大值为()()()2
ln ln 2ln sin ln cos ln 2h a a a a a a ⎡⎤=--+++⎣⎦，
当0x =时，()h x 取得极小值，极小值是()021h a =--； ②当1a =时，ln 0a =，
所以当(),x ∈-∞+∞时，()0h x '，函数()h x 在(),-∞+∞上单调递增，无极值点； ② 当1a >时，ln 0a >，
所以 当(),0x ∈-∞时，()0h x '>，此时()h x 单调递增； 当()0,ln x a ∈时，()0h x '<，此时()h x 单调递减； 当()ln ,x a ∈+∞时，()0h x '>，此时()h x 单调递增； 所以当0x =时，()h x 取得极大值，极大值为()021h a =--； 当ln x a =时，()h x 取得极小值，
极小值为()()()2
ln ln 2ln sin ln cos ln 2h a a a a a a ⎡⎤=--+++⎣⎦.
综上所述：当0a 时，()h x 在(),0-∞上单调递减，在()0,+∞上单调递增， 函数()h x 有极小值，极小值为()021h a =--；
当01a <<时，函数()h x 在(),ln a -∞和()0,+∞上单调递增，在()ln ,0a 上单调递减，函数
()h x 有极大值，也有极小值，
极大值是()()()2
ln ln 2ln sin ln cos ln 2h a a a a a a ⎡⎤=--+++⎣⎦，极小值是()021h a =--；
当1a =时，函数()h x 在(),-∞+∞上单调递增，无极值；
当1a >时，函数()h x 在(),0-∞和()ln ,a +∞上单调递增，在()0,ln a 上单调递减，函数()h x 有极大值，也有极小值， 极大值是()021h a =--，极小值是
()()()2
ln ln 2ln sin ln cos ln 2h a a a a a a ⎡⎤=--+++⎣⎦.
3.(2017北京理19)19.已知函数()e cos x
f x x x =-.
（1）求曲线()y f x =在点()()
0,0f 处的切线方程； （2）求函数()f x 在区间π0,2
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上的最大值和最小值.
解析 （1）因为()e cos x f x x x =-，所以()e (cos sin )1x
f x x x '=--，(0)0f '=.
又因为(0)1f =，所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为1y =.
（2）设()e (cos sin )1x h x x x =--，则()e (cos sin sin cos )2e sin x x
h x x x x x x '=---=-.
当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，
()0h x '<，所以()h x 在区间π0,2⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上单调递减. 所以对任意π0,2
x ⎡⎤∈⎢⎥⎣
⎦
，有()(0)0h x h =，即()0f x '.
所以函数()f x 在区间π0,2
⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上单调递减.
因此()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为(0)1f =，最小值为ππ
22f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
.
4.（2017全国2理11）若2x =-是函数()()
21`1e x f x x ax -=+-的极值点，则()f x 的极小值为（ ）.
A.1-
B.32e --
C.3
5e - D.1
解析 ()()21
21e x f x x a x a -'⎡⎤=+++-⋅⎣⎦.由()()324221e 0f a a -'-=-++-⋅=⎡
⎤⎣⎦，解得1a =-，所以()()211e x f x x x -=--⋅，()()21
2e x f x x x -'=+-⋅.令()0f x '=，得2x =-或1x =，
当2x <-或1x >时，()0f x '>；当21x -<<时，()0f x '<，则()f x 的极小值为()11f =-.故选A.
5.(2017浙江理20)已知函数(
)(1e 2x
f x x x -⎛⎫= ⎪⎝
⎭.
（1）求()f x 的导函数；
（2）求()f x 在区间1
+2⎡⎫∞⎪⎢⎣
⎭
，
上的取值范围. 解析 （1）因为 (1x '
=，
()e e x
x
--'=-， 所以
(
)(()12e 11e e 2x x x
x f x x x ----⎛⎫
'=-->
⎪ ⎭⎝
=
.
（2）由()()12e 0x x f x --'=
=，解得1x =或5
2
x =
. 当x 变化时，()f x ，()f x '的变化情况如下表所示.
又())
2
1
1e
02
x
f x -=
，152211e e 22-->，所以()f x 在区间1,2⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭
上的取值范
围是12
10,e 2-⎡⎤⎢⎥⎣⎦
.
题型35 利用导函数研究函数的图像
1.(2017浙江理7)
C.
函数()y f x =的导函数()y f x '=的图像如图所示，则函数()y f x =的图像可能是（ ）. 解析 导数大于零，原函数单调递增，导数小于零，原函数单调递减，对照导函数图像和原函数图像.故选D ．
题型36 恒成立与存在性问题
1.（2017天津理20）设a ∈Z ，已知定义在R 上的函数()4
3
2
2336f x x x x x a =+--+在
区间()1,2内有一个零点0x ，()g x 为()f x 的导函数. （1）求()g x 的单调区间； （2）设[)
(]001,,2m x x ∈，函数()()()()0h x g x m x f m =--，求证：()()00h m h x <；
（3）求证：存在大于0的常数A ，使得对于任意的正整数,p q ，且
[)(]001,,2p
x x q
∈满
足
04
1p x q Aq
-. 解析 （1）由a x x x x x f +--+=6332)(234，
可得6698)()(23--+='=x x x x f x g ，61824)(2-+='x x x g ， 令()01g x x '=⇒=-或14
x =
. 当x 变化时，()g x '，()g x 变化情况如下表：
所以)(x g 的单调增区间是(),1-∞-和1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；单调减区间是11,4⎛
⎫- ⎪⎝
⎭.
（2）证明：由)())(()(0m f x m x g x h --=，0()()()()
h m g m m x f m =--，
000()()()()h x g x m x f m =--，
令10()()()()H x g x x x f x =--，10()()()H x g x x x ''=-，
由（1）得，当]2,1[∈x 时，0)(>'x g ，
当0[1,)x x ∈，1()0H x '<，1()H x 单调递减；当0(,2]x x ∈，1()0H x '>，1()H x 单调增； 所以当]2,(),1[00x x x ∈时，0)()()(0011=-=>x f x H x H ， 可得0)(1>m H ，即0)(>m h .
令200()()()()H x g x x x f x =--，2
0()()()H x g x g x '=-. 由（1）可知，)(x g 在]2,1[上单调递增， 故当),1[0x x ∈时，0)(2
>'x H ，)(2x H 单调递增； 故当]2,(0x x ∈时，0)(2
<'x H ，)(2x H 单调递减. 当]2,(),1[00x x x ∈时，0)(0)(0)()(02022<⇒<⇒=<x h m H x H x H ， 故0)()(0<x h m h .
(3)对于任意的正整数q p ,，且]2,(),1[00x x q
p
∈， 令q
p
m =
，函数)())(()(0m f x m x g x h --=， 由（2）知，当),1[0x m ∈时，)(x h 在区间内有零点),(0x m ； 当]2,(0x m ∈时，)(x h 在区间内有零点),(0m x ，
故)(x h 在)2,1(上至少有一个零点，不妨设为1x ，则110()()0p p h x g x x f q q ⎛⎫
⎛⎫
=--
= ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
， 由（1）得)(x g 在]2,1[上单调递增，故)2()()1(01g x g g <<<. 于是432234
04
12336()
(2)2p p f f p p q p q pq aq q q p
x q g x g g q ⎛⎫
⎛⎫ ⎪
⎪+--+⎝⎭
⎝⎭
-==. 因为当]2,1[∈x 时，0)(>x g ，故)(x f 在]2,1[单调递增， 所以)(x f 在区间]2,1[上除0x 外没有其他的零点， 而
,0x q
p
≠故0p f q ⎛⎫
≠ ⎪⎝⎭
，而a q p ,,是正整数，
所以|6332|432234aq pq q p q p p +--+是正整数，从而43223423361p p q p q pq aq +--+. 即
041(2)p x q
g q -，所以只要取)2(g A =，就有0
4
1
p
x q
Aq -. 2.（2017全国3理21）已知函数()1ln f x x a x =--. （1）若()0f x ，求a 的值；
（2）设m 为整数，且对于任意正整数n ，21111+
1++222n m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
< ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
1，求m 的最小值. 解析 （1）解法一：()1ln f x x a x =--，0x >，则()1a x a f x x x
-'=-
=，且(1)0f =， 当0a 时，()0f x '>，()f x 在()0+∞，
上单调递增，所以01x <<时，()()10f x f <=，不满足题意； 当0a >时，
当0x a <<时，()0f x '<，则()f x 在(0,)a 上单调递减； 当x a >时，()0f x '>，则()f x 在(,)a +∞上单调递增．
① 若1a <，()f x 在(,1)a 上单调递增，所以当(,1)x a ∈时，()(1)0f x f <=，不满足题意； ② 若1a >，()f x 在(1,)a 上单调递减，所以当(1,)x a ∈时，()(1)0f x f <=，不满足题意； ③ 若1a =，()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，所以()(1)0f x f =，满足题
意.
综上所述1a =．
解法二：因为()10f =，要使()1ln 0f x x a x =--在()0,+∞上恒成立，则必要条件为
()10f x a '=-=，得1a =.
当1a =时，()1ln f x x x =--，()1
x f x x
-'=
. 当01x <<时，()0f x '<，()f x 单调递减； 当1x >时，()0f x '>，()f x 单调递增；
所以1x =为()f x 的极小值点，()()10f x f =，即1a =满足题意. （2）由（1）知当()1,x ∈+∞时，1ln 0x x -->，令112n x =+，得11
ln 122
n
n ⎛
⎫+< ⎪⎝⎭， 所以221111111ln 1ln 1ln 11122222
22
n n n ⎛⎫⎛
⎫⎛
⎫++++
++<++
+
=-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎝⎭，
从而2111111e 222n ⎛⎫⎛
⎫⎛
⎫+++< ⎪⎪
⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
. 而2e<3<，所以m 的最小值为3．
题型37 方程解(零点)的个数问题
1.（2017全国1理21）已知函数()()2e 2e x
x f x a a x =+--.
（1）讨论()f x 的单调性；
（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.
解析
（1）由于()()2e 2e x x
f x a a x =+--，所以
()()()()22e 2e 1e 12e 1x x x x f x a a a '=+--=-+.
①当0a 时，e 10x a -<，2e 10x +>，从而()0f x '<恒成立，所以()f x 在R 上单调递减. ②当0a >时，令()0f x '=，从而e 10x a -=，得ln x a =-．
x
()ln a -∞-，
ln a - ()ln a -+∞，
()f x ′ -
+
()f x
极小值
综上所述，当0a 时，()f x 在R 上单调递减；
当0a >时，()f x 在(,ln )a -∞-上单调递减，在(ln ,)a -+∞上单调递增. （2）由（1）知，
当0a 时，()f x 在R 上单调递减，故()f x 在R 上至多一个零点，不满足条件． 当0a >时，()min 1
ln 1ln f f a a a
=-=-+． 令()()11ln 0g a a a a =-
+>，则()211
0g a a a
'=+>，从而()g a 在()0+∞，
上单调递增.而()10g =，所
以当01a <<时，()0g a <；当1a =时()0g a =；当1a >时，()0g a >. 由上知若1a >，则()min 1
1ln 0f a g a a
=-
+=>，故()0f x >恒成立，从而()f x 无零点，不满足条 件．
若1a =，则()min 1
1ln 0f a g a a
=-
+==，故()0f x =仅有一个实根ln 0x a =-=，不满足条件；
若01a <<，则()min 11ln 0f a g a a =-
+=<，注意到ln 0a ->，()22
110e e e
a a f -=++->， 故()f x 在()1ln a --，
上有一个实根.而又31ln 1ln ln a a a ⎛⎫
->=- ⎪⎝⎭
， 且33ln 1ln 133ln 1e e 2ln 1a a f a a a a ⎛⎫⎛⎫
-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=⋅+---⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥
⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎢⎥⎣⎦
()33132ln 1a a a a ⎛⎫⎛⎫=-⋅-+---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 331ln 10a a ⎛⎫⎛⎫---> ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
，故()f x 在3ln ln 1a a ⎛⎫
⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，上有一个实根． 又()f x 在()ln a -∞-，
上单调递减，在()ln a -+∞，单调递增，故()f x 在R 上至多两个实根． 综上所述，01a <<．
评注 对于已知零点个数，求参数的取值范围问题的难点在于验证零点存在性的赋值上，对于一般的赋值方法要把握两点：
①限定要寻找0x 的范围，如本题中分别在(),ln a -∞-及()ln ,a -+∞上各寻找一个零点； ②将函数不等式变形放缩，据0x 的范围得出0x .
在本题中，实际上在区间(),ln a -∞-上找到0x ，使得()00f x >，则说明()f x 在区间(),ln a -∞-上存在零点，
在区间()ln ,a -+∞上找到0x '，使得()00f x '>，则证明()f x 在区间()ln ,a -+∞上存在另一个零点.
对于验证零点存在性的赋值问题大家可参见2017《高考数学解答题核心考点（理科版）》
154156P P .
2.（2017全国3理11）已知函数()()
2112e e x x f x x x a --+=-++有唯一零点，则a =（ ）. A ．1
2
-
B ．
13
C ．
12
D ．1
解析 由条件()211
2(e e )x x f x x x a --+=-++，得：
221(2)1211(2)(2)2(2)(e e )4442(e e )x x x x f x x x a x x x a ----+---=---++=-+-+++=
2112(e e )x x x x a --+-++.所以()()2f x f x -=，即1x =为()f x 的对称轴，由题意，()f x 有唯一零点，故()f x 的零点只能为1x =，即21111(1)121(e e )0f a --+=-⋅++=，解得1
2
a =．故选C.
题型38 利用导数证明不等式——暂无
题型39 导数在实际问题中的应用——暂无
第三节定积分和微积分基本定理题型40 定积分的计算——暂无
题型41 求曲边梯形的面积——暂无。