材料力学第9章-压杆稳定2

即上式中的I 应取最小值Imin。如对于矩形截面梁有：
C
Imin=b3h/12 (h>b)
A
y
x l
B F
x 令： k 2 F
EI
9.2 细长压杆的欧拉(Euler)临界载荷
则压杆的平衡微分方程可化为：
上式通解为：
d2 y dx2
k
2
y
0
齐次二阶常微分方程
y Asin kx B cos kx
76.6MPa
对于 211的折减系数为：1' 0.17
所以立柱的稳定许用应力为：
st 1' 0.17160106 Pa 27.2MPa
工作应力大于稳定许用应力很多，因此需要调整折减系数。
9.4 压杆的稳定条件
（2）取 介于上述 1 和 1' 之间，取：
则有：
2 0.30
9.3 中、小柔度压杆的临界应力
由欧拉临界压力公式, 可得欧拉临界应力公式:
cr
Fcr A
2EI
A l 2
2E
l i2
其中A为压杆的横截面面积; i 为横截面的最小惯性半径，即
i imin
如矩形截面的最小惯性半径为：
imin
Imin b A 23
(h b)
令： l
imin
则有欧拉临界应力为： cr
0.7l 2
一端固定一端球铰细长 压杆的欧拉临界载荷
9.2 细长压杆的欧拉(Euler)临界载荷
三、其它杆端约束下细长压杆的临界载荷
临界载荷的拐点确定法
x
如图一端固定，一端铰支的细长压杆，其
F B FBy
拐点位于离铰支座 0.7l 处。
Fcr
2EI
0.7l 2
拐点处弯矩为零，所以可一看成
长度为 0.7l 的两端球铰的情况。
x
如图一端固定一端球铰的细长压杆，设在临界 载荷F作用下处于微弯平衡，考察点(x, y)有：
F B FBy
M x FBy l x Fy
代入挠曲线微分方程有：
d2 y FBy l x Fy
令：
dx2
EI
k 2 F EI
li 0.7l y
l
x
C
有： d2 y k 2 y FBy l x
121.2
9.3 中、小柔度压杆的临界应力
在xz平面内： iy
0.5
I y a3b a 40 mm 11.55mm A 12ab 2 3 2 3
y
l1
iy
0.5 2000 11.55
86.6
压杆的：
p
2E p
2 205109 100.6
200 106
所以： max z 121.2 p 大柔度压杆。
l
又： k 2 F 所以有： F n2 2EI n 0,1, 2,
EI
l2
最小值即为临界载荷：
Fcr
2EI
l2
两端球铰细长压杆的欧拉临界载荷
对应的压杆的挠曲线为：
yx Asin kx Asin x
l
屈曲模态Buckling mode
9.2 细长压杆的欧拉(Euler)临界载荷
二、一端固定，一端球铰细长压杆的临界载荷
s 时称为短粗杆。短粗杆只有强度问题，没有稳定性问题。
9.3 中、小柔度压杆的临界应力
中柔度杆的临界应力也可用抛物线公式计算：
cr
cr s
s A p
B
cr
a b
C
短粗杆 中长杆
cr
2E 2
D
细长杆
CB段： cr a1 b12
s
p
临界应力总图
9.3 中、小柔度压杆的临界应力
例1：由Q235钢制成的矩形截面压杆，两端用销钉支承。
其，p 100 s 57 , E=200Gpa, 稳定安全系数nst 4 ，试校
即：
cr
2E 2
p
令： p
2E p
当：
p
2E p
称为大柔度杆（或者细长杆）
欧拉临界应力公式适用于大柔度杆!
p 与材料性质有关。 对于Q235钢： p 200MPa E=200GPa
p
2 200109
200 106
100
对于Q235钢制成的压杆，只有柔度大于 100时，才能应用欧拉临界应力公式。
各种支承约束条件下等截面细长压杆临界载荷的欧拉公式
支承情况
两端铰支
一端固定 另端铰支
两端固定
一端固定 另端自由
失 稳 时 挠 曲 线 形 状
临界载荷 Fcr的欧拉 公式
长度系数 = 1 0.7
= 0.5
=2
材料力学
第九章 压杆稳定
9.1 引言 9.2 细长压杆的欧拉(Euler)临界载荷 9.3 中、小柔度压杆的临界应力 9.4 压杆的稳定条件 9.5 压杆的合理设计 9.6 用能量法求压杆的临界载荷
用欧拉临界应力公式
cr
2E z2
2
205109 121.22
Pa
137.7MPa
Fcr cr A 137.7 40 60 N 330.5 kN
材料力学
第九章 压杆稳定
9.1 引言 9.2 细长压杆的欧拉(Euler)临界载荷 9.3 中、小柔度压杆的临界应力 9.4 压杆的稳定条件 9.5 压杆的合理设计 9.6 用能量法求压杆的临界载荷
l2
不同杆端约束下细长压杆的临界载 荷可统一写为：
Fcr
2EI
l 2
9.2 细长压杆的欧拉(Euler)临界载荷
Fcr
2EI
l 2
表示杆端约束情况，称为长度系数。 l 称为相当长度。
固定端-自由端
2
球铰-球铰
1
球铰-固定端
0.7
滑动固定端-固定端 0.5
9.2 细长压杆的欧拉(Euler)临界载荷
A
200 103 0.30 160 106
m2
4.17 103 m2
查表选No22a号钢： A 4.2103 m2 imin 23.1mm
则立柱的柔度为：
2 2 173.2
0.0231
查表有折减系数为：2' 0.24 则有：
st 0.24160106 Pa 38.4Mpa 仍需调整折减系数。
01l k 0 1 0 sin kl cos kl 0
0 A 1 B l FBy 0 F
k A 0 B 1 FBy 0 F
sin
kl A cos kl B 0 FBy F
0
即：
tan kl kl
由图解法有：
k 4.5 l
代入：
k 2 F EI
有：
Fcr
2EI
用工字钢制成，柱长l=2m,材料为Q235钢, 许用应力 160MP。a
在立柱中点横截面C处，因构造需要开一直径为d=70mm的圆孔。
试选择工字钢号。
F
解：因为为受压立柱，应同时考虑立柱的强度和稳定性
根据稳定性条件有：
B
A
F
折减系数和截面面积（柔度）有关，而面积未知，
因此需要进行试算。
lC
d
（1）取 1 0.5
2E 2
压杆的柔度或长细比
柔度越大，临界应力就越小
杆件越容易失稳。
柔度是一个无量纲量，它综合反映了压杆
长度，约束条件，截面形状尺寸对临界应力的影响。
9.3 中、小柔度压杆的临界应力
一般来说，压杆在不同纵向平面内具有不同的柔度值， 压杆的临界应力应该按最大柔度值来计算。
欧拉临界应力公式适用于压应力小于比例极限 p 的场合。
则有：
A
F
200 103 0.5 160 106
m2
2.5103 m2
A
9.4 压杆的稳定条件
查型钢表，No16工字钢的横截面积 A 2.61103 m2
imin 18.9mm 如果选用该型号钢，则有： l 2 2 211
imin 0.0189
F A
200 103 2.61103
Pa
9.2 细长压杆的欧拉(Euler)临界载荷
一、两端球铰细长压杆的欧拉临界载荷
如图两端为球铰的细长压杆承受轴力F的作用。
假设力F已经达到临界值Fcr，且压杆处于弯曲平衡状态，现在 看此时杆的挠曲线满足什么条件。
考察C点有：
EI
d2 y dx2
M
x
Fy
y
因为是球铰，杆在抗弯能力最弱的纵向平面内弯曲。
9.4 压杆的稳定条件
一、稳定条件
F Fcr
nst
Fst
或
n
Fcr F
nst
Fst 为稳定许用压力; n为工作安全系数;
nst 规定的稳定安全系数，一般高于强度安全系数。
对压杆进行稳定性计算时，一般不考虑铆钉孔或者 螺栓孔对杆的局部削弱，但要校核此处的强度。
9.4 压杆的稳定条件
二、折减系数法
FN A
200 103 4.2 103
Pa 47.6Mpa st
9.4 压杆的稳定条件
（3）取
值位于 2
' 2
之间：
3 0.26
则：
A
200 103 0.26 160 106
m2
4.81103 m2
选No25a钢 A 4.85103 m2 imin 24.03mm
则有：
22
166
st 其中： 为许用压应力。 为折减系数，位于0和1之间。
折减系数同时取决于材料性质和压杆的柔度（参考图9.11)。 根据折减系数法，压杆的稳定条件可写为：
稳定计算的三类问题
1.稳定校核 2.选择截面
3.确定许用载荷
9.4 压杆的稳定条件
例2 如图所示立柱，下端固定，上端受轴向压力F=200KN。立柱
y0 0 yl 0
分别代入上面两式：
0 A 1 B l FBy 0 F
k A 0 B 1 FBy 0 F
sin
kl A cos kl B 0
FBy F
0
li 0.7l y

x
C
y
A
9.2 细长压杆的欧拉(Euler)临界载荷
A，B，FBy有非零解的条件是：
9.3 中、小柔度压杆的临界应力
p 时称为中柔度压杆或中长压杆。
此时中长压杆的临界应力超过了比例极限，因此欧拉公式不适用。 一般由直线或者抛物线经验公式计算。
中长压杆的临界应力的直线经验计算公式： cr a b
适用范围： cr a b s
令：
s
a s
b
则当： s p 时， 压杆称为中柔度压杆或中长压杆。
li 0.7l y
y
l
Fcr
2EI
l2
x
C
x
y
A
9.2 细长压杆的欧拉(Euler)临界载荷
类似的，一端自由一端固定的细长压杆的临界载荷为：
Fcr Fcr B B´
l
A
l
C
Fcr
l4
D
l4
l4
C
l4
Fcr
2EI
2l 2
一端滑动固定一端固定的细长压杆 的临界载荷为：
Fcr
2EI
0.5l 2
4 2EI
0.02403
查表： 3' 0.25
所以有： st 0.25160106 Pa 40MPa
FN A
200 103 4.85 103
Pa
41.2MPa
st
但超过量小于5%，所以可以选用No.25a工字钢。
9.4 压杆的稳定条件
（4）强度校核
对于No25a工字钢，腹板厚度： 8mm
则截面C的净面积：
材料力学
第九章 压杆稳定
9.1 引言 9.2 细长压杆的欧拉(Euler)临界载荷 9.3 中、小柔度压杆的临界应力 9.4 压杆的稳定条件 9.5 压杆的合理设计 9.6 用能量法求压杆的临界载荷
9.1 引言
稳定性——结构或者物体保持或者恢复原有平衡状态
的能力。
F
F<Fcr F>=Fcr 当轴向压力超过一定数值时，压
a 40mm b 60mm l 2.1m l1 2m E 205GPa
p 200MPa 求临界压力。
解：先求压杆的柔度。
y
a
不同纵向面内柔度不同，在xy平面内：
b
1
F
l
F
x
iz
Iz A
b3a b 12ab 2 3
F
F
60 17.32mm
x 23
l1 z
z
l
iz
1 2100 17.32
Ac A d 4.85103 0.008 0.070 m2 4.29103m2
截面应力：
F Ac
200 103 4.29 103
Pa
46.6MPa
所以强度条件也满足。
9.4 压杆的稳定条件
例3 如图所示的简易吊车，最大起吊重量G=50KN，
CD为空心杆，其内外径分别为d=6cm, D=8cm, 材料为Q235钢，
A，B为待定常数。由球铰的位移边界条件有： y0 yl 0
代入通解： A 0 B 1 0
Asin kl B cos kl 0
方程有非零解的条件是：
01
即：
0 sin kl cos kl
sin kl 0
9.2 细长压杆的欧拉(Euler)临界载荷
sin kl 0
上式的解为： k n n 0,1, 2,
dx2
EI
y
A
其通解为： y Asin kx B cos kx FBy l x
F
9.2 细长压杆的欧拉(Euler)临界载荷
y Asin kx B cos kx FBy l x
F
所以有： dy Ak cos kx Bk sin kx FBy
dx
F
x
F B FBy
由位移边界条件有：
杆的平衡由稳定向不稳定转变，这
个载荷称为临界载荷 Fcr
Q
F小于Fcr时，稳定平衡。
给杆件一个横向扰动，杆件仍能恢复 原来的平衡状态。（轴向平衡）
F大于等于Fcr时，不稳定平衡。
F
F
杆件既能在轴线上达到平衡，又能
在弯曲状态下达到平衡（F=Fcr)。
F
给杆件一个横向扰动，杆件由轴向
平衡转向弯曲状态，从而造成失稳。