高三数学(文)一轮复习课时跟踪训练：第七章 不等式 推理与证明 课时跟踪训练38 Word版含解析

课时跟踪训练(三十八)
【基础巩固]
一、选择题
1、观察下面关于循环小数化分数的等式：0.3·＝39＝13,0.1· 8·
＝1899＝
211,0.3· 5· 2·＝352999,0.0005· 9·＝11000×5999＝5999000,据此推测循环小数0.23·可化成分数( )
A.2390
B.9923
C.815
D.730
【解析] 0.23·＝0.2＋0.1×0.3·＝15＋110×39＝730.
选D.
【答案] D
2、已知数列{a n }为11,21,12,31,22,13,41,32,23,14,…,依它的前10项的规律,则
a 99＋a 100的值为( )
A.3724
B.76
C.1115
D.715
【解析] 由给出的数列{a n }的前10项得出规律,此数列中,分子与分母的和等于2的有1项,等于3的有2项,等于4的有3项,…,等于n 的有n －1项,且分母由1逐渐增大到n －1,分子由n －1逐渐减小到1(n ≥2),当n ＝14时即分子与分母的和为14时,数列到91项,当n ＝15即分子与分母的和为15时,数列到104项,所以a 99与a 100是分子与分
母和为15中的第8项与第9项,分别为78,69,∴a 99＋a 100＝78＋69＝3724,选
A.
【答案] A
3、观察下列各式：55＝3125,56＝15625,57＝78125,…,则52018的末四位数字为( )
A 、3125
B 、5625
C 、0625
D 、8125
【解析] ∵55＝3125,56＝15625,57＝78125,
58＝390625,59＝1953125,…,∴最后四位应为每四个循环,2018＝4×504＋2,∴52018最后四位应为5625.
【答案] B
4、(2017·安徽合肥一中模拟)《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦,请归但求穿墙术、得诀自诩无所阻,额上坟起终不悟、”在这里,我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：2
23＝223,3
38＝338,4415＝4415,5524＝5524,…,则按照以上规律,若99
n ＝99n 具有“穿墙术”,则n ＝( )
A 、25
B 、48
C 、63
D 、80
【解析] 由2
23＝223,338＝338,4415＝4415,5524＝5524,…,
可得若99
n ＝99n 具有“穿墙术”,则n ＝92－1＝80,故选D. 【答案] D
5、(2017·湖北宜昌一中、龙泉中学联考)老师带甲、乙、丙、丁四名学生去参加自主招生考试,考试结束后老师向四名学生了解考试
情况,四名学生回答如下：甲说：“我们四人都没考好”；乙说：“我们四人中有人考得好”；丙说：“乙和丁至少有一人没考好”；丁说：“我没考好”、结果,四名学生中有两人说对了,则四名学生中说对了的两人是( )
A 、甲 丙
B 、乙 丁
C 、丙 丁
D 、乙 丙
【解析] 如果甲对,则丙、丁都对,与题意不符,故甲错,乙对；如果丙错,则丁错,因此只能是丙对,丁错,故选D.
【答案] D
6、如图所示,面积为S 的平面凸四边形的第i 条边的边长记为a i (i ＝1,2,3,4),此四边形内任一点P 到第i 条边的距离记为h i (i ＝1,2,3,4),
若a 11＝a 22＝a 33＝a 44＝k ,则1×h 1＋2×h 2＋3×h 3＋4×h 4＝2S k .类比以上性质,体积为V 的三棱锥的第i 个面的面积记为S i (i ＝1,2,3,4),此三棱锥内
任一点Q 到第i 个面的距离记为H i (i ＝1,2,3,4),若S 11＝S 22＝S 33＝S 44＝k ,
则H 1＋2H 2＋3H 3＋4H 4值为( )
A.4V k
B.3V k
C.2V k
D.V k
【解析] ∵V ＝13S 1H 1＋13S 2H 2＋13S 3H 3＋13S 4H 4
＝13(kH 1＋2kH 2＋3kH 3＋4kH 4)
∴H 1＋2H 2＋3H 3＋4H 4＝3V k .
【答案] B
二、填空题
7、半径为x (x >0)的圆的面积函数f (x )的导数等于该圆的周长的函数、对于半径为R (R >0)的球,类似的结论为________、
【解析] 因为半径为x (x >0)的圆的面积函数f (x )＝πx 2,所以f ′(x ) ＝2πx .
类似地,半径为R (R >0)的球的体积函数V (R )＝43πR 3,所以V ′(R )
＝4πR 2.
故对于半径为R (R >0)的球,类似的结论为半径为R (R >0)的球的体积函数V (R )的导数等于该球的表面积的函数、
【答案] 半径为R (R >0)的球的体积函数V (R )的导数等于该球的表面积的函数
8、(2017·河北卓越联盟月考)在平面内,三角形的面积为S ,周长为
C ,则它的内切圆的半径r ＝2S C .在空间中,三棱锥的体积为V ,表面积为
S ,利用类比推理的方法,可得三棱锥的内切球(球面与三棱锥的各个面均相切)的半径R ＝________.
【解析] 若三棱锥表面积为S ,体积为V ,则其内切球半径R ＝3V S .
理由如下：
设三棱锥的四个面的面积分别为S 1,S 2,S 3,S 4,
由于内切球的球心到各面的距离等于内切球的半径,
所以V ＝13S 1R ＋13S 2R ＋13S 3R ＋13S 4R ＝13SR ,
所以内切球的半径R ＝3V S .
【答案] 3V S
9、某种平面分形图如图所示,一级分形图是由一点出发的三条线段,长度均为1,两两夹角为120°；二级分形图是在一级分段形图的每
条线段的末端出发再生成两条长度为原来13的线段,且这两条线段与
原线段两两夹角为120°,…,依此规律得到n 级分形图、
n 级分形图中共有________条线段、
【解析] 分形图的每条线段的末端出发再生成两条线段,由题图知,一级分形图有3＝(3×2－3)条线段,二级分形图有9＝(3×22－3)条线段,三级分形图中有21＝(3×23－3)条线段,按此规律n 级分形图中的线段条数a n ＝3×2n －3.
【答案] 3×2n －3
三、解答题
10、(2017·山西运城4月模拟改编)宋元时期杰出的数学家朱世杰在其数学巨著《四元玉鉴》中提出了一个“茭草形段”问题：“今有茭草六百八十束,欲令‘落一形’(同垛)之,问底子几何？”他在这一问题中探讨了“垛积术”中的落一形垛(“落一形”即是指顶上一束,下一层3束,再下一层6束,……,)成三角锥的堆垛,故也称三角垛,如图,表示从上往下第二层开始的每层茭草束数,求本问题中三角垛倒数第二层茭草总束数为多少？
【解析] 由题意得,从上往下第n 层茭草束数为1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2,
∴1＋3＋6＋…＋n (n ＋1)2＝680,
即12⎣⎢⎡⎦⎥⎤16n (n ＋1)(2n ＋1)＋12n (n ＋1)＝16
n (n ＋1)(n ＋2)＝680, ∴n (n ＋1)(n ＋2)＝15×16×17,∴n ＝15.
故倒数第二层为第14层,该层茭草总束数为14×152＝105.
【答案] 105
【能力提升]
11、(2017·江西赣州十四县联考)我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有人持金出五关,前关二而税一,次关三而税一,次关
四而税一,次关五而税一,次关六而税一、并五关所税,适重一下、问本
持金几何？”其意思为“今有人持金出五关,第1关收税金12,第2关收
税金为剩余的13,第3关收税金为剩余的14,第4关收税金为剩余的15,第5
关收税金为剩余的16,5关所收税金之和,恰好重1斤,问原本持金多
少？”若将“5关所收税金之和,恰好重1斤,问原本持金多少？”改成“假设这个人原本持金为x ,按此规律通过第8关”,则第8关所收税金为________x .
【解析] 第1关收税金：12x ；
第2关收税金：13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12x ＝x 6＝x 2×3
； 第3关收税金：14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12－16x ＝x 12＝x 3×4
； ……
第8关收税金：x 8×9
＝x 72. 【答案] 172
12、(2017·安徽合肥模拟)“已知关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为(1,2),解关于x 的不等式cx 2＋bx ＋a >0.”给出如下的一种解法：
解：由ax 2
＋bx ＋c >0的解集为(1,2),得a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋b ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋c >0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1,即关于x 的不等式cx 2＋bx ＋a >0的解集为⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，1. 类比上述解法：若关于x 的不等式b x ＋a ＋x ＋b x ＋c
<0的解集为
⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1,则关于x 的不等式b x －a －x －b x －c
>0的解集为______________________、
【解析] 根据题意,
由b x ＋a ＋x ＋b x ＋c
<0的解集为 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－13∪⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，1, 得b －x ＋a ＋－x ＋b －x ＋c
<0的解集为 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12∪⎝ ⎛⎭
⎪⎫13，1, 即b x －a －x －b x －c
>0的解集为 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12∪⎝ ⎛⎭
⎪⎫13，1. 【答案] ⎝
⎛⎭⎪⎫－1，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1 13、(2017·河北唐山三模)数列{a n }的前n 项和为S n .若S n ＋a n ＝4－1
2
n －2(n ∈N *),则a n ＝________. 【解析] 解法一：已知S n ＋a n ＝4－12n －2 ①,当n ＝1时,S 1＋a 1＝4－121－2＝2,解得a 1＝1.当n ≥2时,用n －1代换n ,得S n －1＋a n －1＝4－12n －3 ②.①－②,得S n －S n －1＋a n －a n －1＝12n －3－12n －2,整理得2a n －
a n －1＝12n －2.两边同时乘2n －1,得2n a n －2n －1a n －1＝2. 令
b n ＝2n a n ,则b n －b n －1＝2.
所以数列{b n }是公差为2的等差数列,首项b 1＝21a 1＝2.
所以b n ＝2＋(n －1)×2＝2n ,即2n a n ＝2n .
所以a n ＝2n 2n ＝n 2n －1. 解法二：(归纳法)：已知S n ＋a n ＝4－12n －2 ①,当n ＝1时,S 1＋a 1＝4－121－2＝2,解得a 1＝1；当n ＝2时,S 2＋a 2＝4－120,即2a 2＋a 1＝3,解得a 2＝1；当n ＝3时,S 3＋a 3＝4－12,即2a 3＋S 2＝72,解得a 3＝34；当n ＝
4时,S 4＋a 4＝4－14,即2a 4＋S 3＝154,解得a 4＝12；当n ＝5时,S 5＋a 5＝4
－18,即2a 5＋S 4＝318,解得a 5＝516；…,a 1和a 2可以写成分数的形式,显然该数列中每一项的分母都是2的整数幂,分子对应项的序号,即a 1＝120,a 2＝221,a 3＝322,a 4＝423,a 5＝524,…,所以a n ＝n
2n －1.
【答案] n
2n －1
14、已知函数y ＝f (x )满足：对任意a ,b ∈R ,a ≠b ,都有af (a )＋bf (b )>af (b )＋bf (a ),试证明：f (x )为R 上的单调递增函数、
【证明] 设任意x 1,x 2∈R ,取x 1<x 2,
由题意得x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)>x 1f (x 2)＋x 2f (x 1),
∴x 1【f (x 1)－f (x 2)]＋x 2【f (x 2)－f (x 1)]>0,【f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)>0, ∵x 1<x 2,∴f (x 2)－f (x 1)>0,
即f (x 2)>f (x 1)、
∴y ＝f (x )为R 上的单调递增函数、
15、△ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .
(1)若a ,b ,c 成等差数列,证明：sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )；
(2)若a ,b ,c 成等比数列,求cos B 的最小值、
【解] (1)证明：∵a ,b ,c 成等差数列,∴a ＋c ＝2b .
由正弦定理得sin A ＋sin C ＝2sin B .
∵sin B ＝sin 【π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C ),
∴sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )、
(2)∵a ,b ,c 成等比数列,∴b 2＝ac .
由余弦定理得
cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－ac 2ac
≥2ac －ac 2ac ＝12, 当且仅当a ＝c 时等号成立、
∴cos B 的最小值为12.
【延伸拓展]
中国古代十进位制的算筹记数法,在世界数学史上是一个伟大的创造、如图所示,算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算、算
筹的摆放形式有纵、横两种,据《孙子算经》记载,算筹记数法则是：凡算之法,先识其位,一纵十横,百立千僵,千十相望,万百相当、即表示多位数时,个位用纵式,十位用横式,百位用纵式,千位用横式,以此类推,
遇零则置空、例如2017用算筹表示就是,则8227可表示为________、
【解析]千位数字8为模式,百位数字2为纵式,十位数字2为横式,个位数字7为纵式,所以8227可表示为.
【答案]。