2020版高考数学新增分大一轮新高考(鲁京津琼)专用精练：第九章 阶段强化练(七)

阶段强化练(七)
一、选择题
1．(2019·成都诊断)已知椭圆C ：16x 2＋4y 2＝1，则下列结论正确的是( )
A ．长轴长为12
B ．焦距为34
C ．短轴长为14
D ．离心率为
32 答案 D
解析 由椭圆方程16x 2＋4y 2＝1化为标准方程可得
x 2116＋y 214
＝1，所以a ＝12，b ＝14，c ＝34
， 长轴2a ＝1，焦距2c ＝32，短轴2b ＝12， 离心率e ＝c a ＝32
.故选D. 2．双曲线x 23－y 2
9
＝1的渐近线方程是( ) A ．y ＝±3x
B ．y ＝±13x
C ．y ＝±3x
D ．y ＝±33x 答案 C
解析 因为x 23－y 2
9
＝1， 所以a ＝3，b ＝3，渐近线方程为y ＝±b a
x ， 即为y ＝±3x ，故选C.
3．(2019·河北衡水中学调研)已知双曲线my 2－x 2＝1(m ∈R )与抛物线x 2＝8y 有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为( )
A ．y ＝±3x
B ．y ＝±3x
C ．y ＝±13
x D ．y ＝±33
x 答案 A
解析 ∵抛物线x 2＝8y 的焦点为(0,2)，
∴双曲线的一个焦点为(0,2)，∴1m ＋1＝4，∴m ＝13
， ∴双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，故选A.
4．(2019·河北衡水中学模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)和直线l ：x 4＋y 3
＝1，若过C 的左焦点和下顶点的直线与
l 平行，则椭圆C 的离心率为( )
A.45
B.35
C.34
D.15
答案 A
解析 直线l 的斜率为－34，过C 的左焦点和下顶点的直线与l 平行，所以b c ＝34
， 又b 2＋c 2＝a 2⇒⎝⎛⎭⎫34c 2＋c 2＝a 2⇒2516
c 2＝a 2， 所以e ＝c a ＝45
，故选A. 5．(2019·洛阳、许昌质检)若双曲线x 2
－y 2
b 2＝1(b >0)的一条渐近线与圆x 2＋(y －2)2＝1至多有一个交点，则双曲线离心率的取值范围是( )
A ．(1,2]
B ．[2，＋∞)
C ．(1，3]
D ．[3，＋∞)
答案 A
解析 双曲线x 2－y 2
b 2＝1(b >0)的一条渐近线方程是bx －y ＝0，由题意圆x 2＋(y －2)2＝1的圆心(0,2)到bx －y ＝0的距离不小于1，即2b 2＋1
≥1，则b 2≤3，那么离心率e ∈(1,2]，故选A. 6．(2019·河北武邑中学调研)已知直线l ：y ＝k (x ＋2)(k >0)与抛物线C ：y 2＝8x 相交于A ，B 两点，F 为C 的焦点，若|F A |＝2|FB |，则k 等于( )
A.13
B.23
C.23
D.223
答案 D
解析 由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝k (x ＋2)，y 2＝8x ，消去y 得 k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0，
Δ＝(4k 2－8)2－16k 4>0，又k >0，解得0<k <1，
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，x 1＋x 2＝8k
2－4， ① x 1x 2＝4， ②
根据抛物线定义及|F A |＝2|FB |得x 1＋2＝2(x 2＋2)，
即x 1＝2x 2＋2， ③
且x 1>0，x 2>0，
由②③解得x 1＝4，x 2＝1，代入①得k 2＝89
， ∵0<k <1，∴k ＝223
.故选D. 7．(2019·唐山模拟)双曲线E ：x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±7x ，则E 的离心率为( )
A ．2 B.2147 C ．2 2 D ．2 3 答案 C
解析 由题意，双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±7x ，即b a ＝7，所以双曲线的离心率为e ＝c a
＝a 2＋b 2
a 2＝1＋⎝⎛⎭⎫
b a 2＝22，故选C.
8．(2019·河北衡水中学模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1作圆x 2＋y 2＝a 2的切线，交双曲线右支于点M ，若∠F 1MF 2＝45°，则双曲线的渐近线方程为( )
A ．y ＝±2x
B ．y ＝±3x
C ．y ＝±x
D ．y ＝±2x
答案 A
解析 如图，作OA ⊥F 1M 于点A ，F 2B ⊥F 1M 于点B .
因为F 1M 与圆x 2＋y 2＝a 2相切，∠F 1MF 2＝45°，
所以|OA |＝a ，|F 2B |＝|BM |＝2a ，|F 2M |＝22a ，|F 1B |＝2b .
又点M 在双曲线上，
所以|F 1M |－|F 2M |＝2a ＋2b －22a ＝2a .
整理，得b ＝2a .所以b a ＝ 2. 所以双曲线的渐近线方程为y ＝±2x .故选A.
9．(2019·湖南五市十校联考)在直角坐标系xOy 中，抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，P 为C 上一点，PQ 垂直l 于点Q ，M ，N 分别为PQ ，PF 的中点，直线MN 与x 轴交于点R ，若∠NFR ＝60°，则|FR |等于( )
A ．2 B. 3 C ．2 3 D ．3
答案 A
解析 由抛物线C ：y 2＝4x ，得焦点F (1,0)，准线方程为x ＝－1，
因为M ，N 分别为PQ ，PF 的中点，
所以MN ∥QF ，
所以四边形QMRF 为平行四边形，|FR |＝|QM |，
又由PQ 垂直l 于点Q ，可知|PQ |＝|PF |，
因为∠NFR ＝60°，所以△PQF 为等边三角形，
所以FM ⊥PQ ，所以|FR |＝2，故选A.
10．已知F 1，F 2分别是双曲线E ：x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，点M 在E 上，MF 1与x 轴垂直，sin ∠MF 2F 1＝13
，则E 的离心率为( ) A. 2 B.32
C. 3 D ．2 答案 A
解析 因为MF 1与x 轴垂直，所以|MF 1|＝b 2a
. 又sin ∠MF 2F 1＝13，所以|MF 1||MF 2|＝13
， 即|MF 2|＝3|MF 1|.
由双曲线的定义，得2a ＝|MF 2|－|MF 1|＝2|MF 1|＝2b 2a
， 所以b 2＝a 2，所以c 2＝b 2＋a 2＝2a 2，
所以离心率e ＝c a ＝ 2. 11．(2019·湖南长沙长郡中学调研)已知点P (－1,0)，设不垂直于x 轴的直线l 与抛物线y 2＝2x 交于不同的两点A ，B ，若x 轴是∠APB 的角平分线，则直线l 一定过点( )
A.⎝⎛⎭⎫12，0 B ．(1,0) C ．(2,0) D ．(－2,0)
答案 B
解析 根据题意，直线的斜率存在且不等于零，设直线的方程为x ＝ty ＋m (t ≠0)，与抛物线方程联立，消元得y 2－2ty －2m ＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
因为x 轴是∠APB 的角平分线，
所以AP ，BP 的斜率互为相反数，
所以y 1x 1＋1＋y 2x 2＋1
＝0， 所以2ty 1y 2＋(m ＋1)(y 1＋y 2)＝0，
结合根与系数之间的关系，整理得出
2t (－2m )＋2tm ＋2t ＝0,2t (m －1)＝0，
因为t ≠0，所以m ＝1，所以过定点(1,0)，故选B.
12．(2019·陕西四校联考)已知椭圆和双曲线有共同的焦点F 1，F 2，P 是它们的一个交点，且∠F 1PF 2＝2π3
，记椭圆和双曲线的离心率分别为e 1，e 2，则3e 21＋1e 22
等于( )
A ．4
B ．2 3
C ．2
D ．3
答案 A
解析 如图所示，
设椭圆的长半轴长为a 1，双曲线的实半轴长为a 2，
则根据椭圆及双曲线的定义：
|PF 1|＋|PF 2|＝2a 1，|PF 1|－|PF 2|＝2a 2，
∴|PF 1|＝a 1＋a 2，|PF 2|＝a 1－a 2，
设|F 1F 2|＝2c ，∠F 1PF 2＝2π3
， 则在△PF 1F 2中，由余弦定理得
4c 2＝(a 1＋a 2)2＋(a 1－a 2)2－2(a 1＋a 2)(a 1－a 2)cos
2π3
， 化简得3a 21＋a 22＝4c 2， 该式可变成3e 21＋1e 22
＝4.故选A. 二、填空题
13．已知双曲线C ：x 2－y 2＝1，则点(4,0)到C 的渐近线的距离为________．
答案 2 2
解析 双曲线C ：x 2－y 2＝1的渐近线方程为y ＝±x ，点(4,0)到C 的渐近线的距离为|±4|2
＝2 2. 14．(2019·新乡模拟)设P 为曲线2x ＝4＋y 2上一点，A (－5，0)，B (5，0)，若|PB |＝2，则|P A |＝________. 答案 4
解析 由2x ＝4＋y 2，得4x 2＝4＋y 2(x >0)，
即x 2
－y 2
4＝1(x >0)， 故P 为双曲线x 2
－y 2
4＝1右支上一点， 且A ，B 分别为该双曲线的左、右焦点，
则|P A |－|PB |＝2a ＝2，|P A |＝2＋2＝4.
15．已知抛物线y 2＝4x ，圆F ：(x －1)2＋y 2＝1，直线y ＝k (x －1)(k ≠0)自上而下顺次与上述两曲线交于点A ，B ，C ，D ，则|AB |·|CD |的值是________．
答案 1
解析 设A (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，
则|AB |·|CD |＝(|AF |－1)(|DF |－1)
＝(x 1＋1－1)(x 2＋1－1)＝x 1x 2，
由y ＝k (x －1)与y 2＝4x 联立方程消y 得
k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，
x 1x 2＝1，因此|AB |·|CD |＝1.
16．(2019·四省联考诊断)在平面上给定相异两点A ，B ，设P 点在同一平面上且满足|P A ||PB |
＝λ，当λ＞0且λ≠1时，P 点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故我们称这个圆为阿波罗尼斯圆，现有椭圆x 2
a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)，A ，B 为椭圆的长轴端点，C ，D 为椭圆的短轴端点，动点P 满足|P A ||PB |＝2，△P AB 的面积最大值为163
，△PCD 面积的最小值为23
，则椭圆的离心率为________． 答案 32
解析 依题意A (－a ,0)，B (a ,0)，设P (x ，y )，
依题意得|P A |＝2|PB |，
(x ＋a )2＋y 2＝2(x －a )2＋y 2，
两边平方化简得⎝⎛⎭⎫x －53a 2＋y 2＝⎝⎛⎭
⎫43a 2， 故圆心为⎝⎛⎭⎫5a 3，0，半径r ＝4a 3
. 所以△P AB 的最大面积为12·2a ·43a ＝163
，解得a ＝2， △PCD 的最小面积为12·2b ·⎝⎛⎭⎫5a 3－4a 3＝b ·a 3＝23
， 解得b ＝1.
故椭圆的离心率为e ＝
1－⎝⎛⎭⎫b a 2＝1－14＝32
. 三、解答题
17．(2019·湖南长沙长郡中学调研)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆M ：(x －3)2＋(y －b )2＝r 2(r 为正数，b ∈R )．
(1)若对任意给定的r ∈(0，＋∞)，直线l ：y ＝－x ＋r ＋4总能把圆M 的周长分成3∶1的两部分，求圆M 的标准方程；
(2)已知点A (0,3)，B (1,0)，且r ＝103，若线段AB 上存在一点P ，使得过点P 的某条直线与圆M 交于点S ，T (其中|PS |<|PT |)，且|PS |＝|ST |，求实数b 的取值范围．
解 (1)根据题意可得，圆心到直线的距离为
22
r 恒成立， 即|3＋b －r －4|2＝22r ，整理得|b －1－r |＝r ， 去绝对值符号可得b －1－r ＝r 或b －1－r ＝－r ，
根据恒成立，可得b ＝1，
所以圆M 的标准方程为(x －3)2＋(y －1)2＝r 2.
(2)根据题意，如果存在满足条件的点，对应的边界值为过圆心的弦，而从另一个角度，即为线段端点值满足条件即可，先考虑点A ，即为|AM |≤3r ，
即(0－3)2＋(b －3)2≤9×109
，解得2≤b ≤4， 再考虑点B ，即为|BM |≤3r ，即(1－3)2＋b 2≤10， 解得－6≤b ≤6，
两者取并集，得到b 的取值范围是[－6，4]．
18.(2019·陕西四校联考)已知抛物线C ：y 2＝2px 过点A (1,1)．
(1)求抛物线C 的方程；
(2)若过点P (3，－1)的直线与抛物线C 交于M ，N 两个不同的点(均与点A 不重合)．设直线AM ，AN 的斜率分别为k 1，k 2，求证：k 1·k 2为定值．
(1)解 由题意得2p ＝1，所以抛物线方程为y 2＝x .
(2)证明 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，
直线MN 的方程为x ＝t (y ＋1)＋3，
代入抛物线方程得y 2－ty －t －3＝0.
所以Δ＝(t ＋2)2＋8>0，y 1＋y 2＝t ，y 1y 2＝－t －3.
所以k 1·k 2＝y 1－1x 1－1·y 2－1x 2－1＝y 1－1y 21－1·y 2－1y 22－1
＝
1(y 1＋1)(y 2＋1)＝1y 1y 2＋y 1＋y 2＋1 ＝1－t －3＋t ＋1
＝－12， 所以k 1·k 2是定值．。