北师大版必修1高中数学函数的单调性教案2

函数的单调性
一．课题：函数单调性
二．教学目的：1.使学生理解增函数、减函数的概念；
2.使学生掌握判断某些函数增减性的方法；
3.培养学生利用数学概念进行判断推理的能力；
4.培养学生数形结合、辩证思维的能力；
5.养成细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯。

三．教学重点：函数单调性的概念
四．教学难点：函数单调性的判断和证明
五．教学过程：
（一）复习：（提问）
1．上节课我们学习了函数的概念，同学们回忆一下：
（1）函数有几个要素？各是什么？
（2）函数的定义域怎样确定？怎样表示？
（3）函数的表示方法常见的有几种？各有什么优点？
前面我们学习了函数的概念、表示方法以及区间的概念，现在我们来研究一下函数的性质（导入课题，板书课题）。

2．观察函数的图像：（当x 增加的时候，y 的变化怎样？）
函数2y x =的图像在y 轴右侧的部分是上升的，说明什么？（随着x 的增加，y 值
在增加），3y x =又怎样？
（二）新课讲解：
1．单调函数的定义
（1）单调递增函数的定义：一般地，设函数()f x 的定义域为I ：如果对于属于I 内
某个区间上的任意两个自变量的值1x 、2x ,当1x <2x 时都有12()()f x f x <，那么就说()f x 在这个区间上是增函数。

（2）单调减函数的定义：如果对于属于I 内某个区间上的任意两个自变量的值1x 、2x ,当1x <2x 时都有12()()f x f x >，那么就说()f x 在这个区间上是减函数。

（3）单调性：如果函数()y f x =在某个区间是增函数或减函数。

那么就说函数()y f x =在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做()y f x =的单调区间。

在单调区间上增函数的图像是上升的，减函数的图像是下降的。

说明：（1）函数的单调性是在函数的定义域或其子区间上的性质；
（2）函数的单调性是对某个区间而言的，在某一点上不存在单调性；
（3）函数单调性的定义中，实际上含有两层意思：
①对于任意的1x ，2x M ∈，若12x x <，有12()()f x f x <，则称()f x 在M 上是增函数； ②若()f x 在M 上是增函数，则当12x x <时，就有12()()f x f x <．
2．例题分析
例1：（课本59P 例1）下图是定义在
5[-单调区间，以及在每一个区间上函数
解：函数)(x f y =的单调区间有
)2,5[--，)1,2[-，)3,1[，]5,3[， 其中)(x f y =
在)1,2[-，]5,3[上是增函数，
在)2,5[--，)3,1[上是减函数。

说明：要了解函数在某一区间上是否具有单调性，从图上进行观察是一种常用而又粗略的方法，严格地说，它需要根据单调函数的定义进行证明。

例2．证明函数1()f x x =在(0,)+∞上是减函数。

证明：设任意1x ，2x ∈（0，+∞）且12x x <， 则2112121211()()x x f x f x x x x x --=
-=，
由1x ，2x ∈（0，+∞），得120x x >，又12x x <，得210x x ->，
∴12()()0f x f x ->，即12()()f x f x > 所以，1
()f x x =在(0,)+∞上是减函数。

说明：（1）一个函数的两个单调区间是不可以取其并集，比如：
x y 1
=在)0,(-∞上是单调递减的，并且在),0(+∞上也是单调递减的，只能说)0,(-∞和),0(+∞是函数x y 1
=的两个单调递减区间，不能说)0,(-∞ ),0(+∞是原函数的单调递减区间；
（2）通过观察图像，对函数是否具有某种性质做出一种猜想，然后通过推理的办法，证明这种猜想的正确性，是发现和解决问题的一种常用数学方法；
（3）判定或证明函数在某个区间上的单调性的方法步骤：
①取值：在给定区间上任取两个值1x ，2x ，且12x x <；
②作差变形：作差12()()f x f x -，通过因式分解、配方、分母有理化等方法变形； ③定号：判断上述差12()()f x f x -的符号，若不能确定，则可分区间讨论； ④结论：根据差的符号，得出单调性的结论。

六．练习：1．证明函数221()f x x x =+在(0,1]上是减函数。

2．根据单调函数的定义，判断函数
3()1f x x =+的单调性。

3．根据单调函数的定义，判断函数()f x =
七．小结：1．单调函数的定义；
2．根据函数单调性判断函数单调性的方法；。