2018卓越学案高考文科数学新课标一轮复习课件：第7章 不等式、推理与证明 第2讲 精品

4．(必修 5 P78 例 1 改编)若不等式 4x2＋ax＋1>0 的解集为
x|x≠－12.则 a 的值为( A )
A．4
B．－4
C．1
D．－1
解析：由不等式 4x2＋ax＋1>0 的解集为x|x≠－12知，－2×a 4 ＝－12. ∴a＝4.故选 A.
5．(必修 5 P80A 组 T4 改编)已知集合 A＝{x|x2<4}，B＝{x|x2 －2x－3<0}，则 A∩B 为( B )
解集为(x1，x2)，且 x2－x1＝15，则 a＝( A )
5
7
15
15
A.2
B.2
C. 4
D. 2
(2)[直接求解]解不等式－2x2＋3x＋2<0.
[解] (1)法一：由 x2－2ax－8a2<0，得(x＋2a)(x－4a)<0，因 为 a>0， 所以不等式的解集为(－2a,4a)． 又不等式的解集为(x1，x2)， 所以 x1＝－2a，x2＝4a. 从而 x2－x1＝6a＝15，解得 a＝52. 法二：由条件知，x1 和 x2 是方程 x2－2ax－8a2＝0 的两根， 则 x1＋x2＝2a，x1x2＝－8a2， 所以(x2－x1)2＝(x2＋x1)2－4x1x2＝4a2＋32a2＝36a2＝152. 又 a>0，所以 a＝52.选 A.
3．(必修 5 P78 例 2 改编)若不等式－x2＋2x＋m>0 的解集是∅，
则实数 m 的取值范围为( A )
A．m≤－1
B．m≥－1
C．m≤1 解析：－x2＋2x＋m>0，
D．m≥1
即为 x2－2x－m<0.
由题意得 Δ＝(－2)2－4×1×(－m)<0，
即 4＋4m<0，∴m<－1.故选 A.
A．{x|－2<x<3}
B．{x|－1<x<2}
C．{x|2<x<3}
D．{x|－2<x<－1}
解析： A＝{x|x2<4}＝{x|－2<x<2}，
B＝{x|x2－2x－3<0}＝{x|－1<x<3}，
∴A∩B＝{x|－1<x<2}，故选 B.
一元二次不等式的解法
(1)[求参数值]关于 x 的不等式 x2－2ax－8a2<0(a>0)的
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不等式为工具解相关问题
数、一元二次方程的联系
3．会解一元二次不等式，对
4．考查能力：以一元二次不 等式或一元二次函数为载
给定的一元二次不等式，会
体，考查分类讨论，数形结
设计求解的程序框图
合和转化与化归思想
三个“二次”间的关系
判别式 Δ>0
Δ＝b2－4ac 二次函数 y＝
ax2＋bx＋ c(a>0)的图象
(2)－2x2＋3x＋2<0，即为 2x2－3x－2>0. Δ＝(－3)2－4×2×(－2)＝25>0. 方程 2x2－3x－2＝0 的两实根为 x1＝－12， x2＝2. ∴2x2－3x－2>0 的解集为{x|x<－12或 x>2}， 即原不等式的解集为{x|x<－12或 x>2}．
(1)解一元二次不等式 ax2＋bx＋c>0 的步骤： ①将原一元二次不等式转化成二次项系数为正； ②计算 Δ 并判断对应的一元二次方程的根的情况； ③根据“三个二次关系”写出相应的不等式的解集． (2)根据一元二次不等式的解集求参数的两种思路： ①解集的端点值即为一元二次不等式对应的一元二次方程的 两根，利用根与系数的关系，列出相关式子求解参数； ②先解一元二次不等式，再对应列式求解参数．
解析：因为 x∈[1，＋∞)时，f(x)＝x2＋2xx＋a>0 恒成立，即 x2＋2x＋a>0 恒成立． 即当 x≥1 时， a>－(x2＋2x)恒成立． 设 g(x)＝－(x2＋2x)，而 g(x)＝－(x2＋2x)＝－(x＋1)2＋1 在[1， ＋∞)上单调递减， 所以 g(x)max＝g(1)＝－3，故 a>－3. 所以实数 a 的取值范围是(－3，＋∞)．
1．(必修 5 P81B 组 T1(2)改编)不等式(x＋1)(x＋2)<0 的解集为
(A )
A．{x|－2<x<－1}
B．{x|－1<x<2}
C．{x|x<－2 或 x>1}
D．{x|x<－1 或 x>2}
2．(必修 5 P80 练习 T1(5)改编)不等式－2x2＋x<－3 的解集为
A．{x|－32<x<1}
[解] (1)原不等式等价于(m－2)x2＋2(m－2)x－4<0， ①当 m＝2 时，对任意 x 不等式都成立； ②当 m－2<0 时，Δ＝4(m－2)2＋16(m－2)<0， ∴－2<m<2， 综合①②，得 m∈(－2,2]．选 A
(2)法一：要使 f(x)<－m＋5 在 x∈[1,3]上恒成立，即 mx－12 2＋34m－6<0 在 x∈[1,3]上恒成立． 令 g(x)＝mx－122＋34m－6，x∈[1,3]． 当 m>0 时，g(x)在[1,3]上是增函数， 所以 g(x)max＝g(3)⇒7m－6<0， 所以 m<67，所以 0<m<67；
因为 x2－x＋1＝x－122＋34>0， 又因为 m(x2－x＋1)－6<0，
所以
6 m<x2－x＋1.
因为函数 y＝x2－6x＋1＝x－1262＋34在[1,3]上的最小值为67，所 以只需 m<67即可． 所以实数 m 的取值范围是m|m<67.
(1)对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于 0 就是相应的二 次函数的图象在给定的区间上全部在 x 轴上方，恒小于 0 就 是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在 x 轴下 方．另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值． (2)解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数．一般地， 知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数． (3)注意对含有字母的二次项系数进行讨论．
1．函数 f(x)＝ 3x－x2的定义域为( A ) A．[0,3] B．(0,3) C．(－∞，0]∪[3，＋∞) D．(－∞，0)∪(3，＋∞) 解析：由 3x－x2≥0 得 x(x－3)≤0，∴0≤x≤3， ∴函数 f(x)＝ 3x－x2的定义域为[0,3]．
2．已知不等式 ax2－bx－1≥0 的解集是－12，－13，则不等 式 x2－bx－a<0 的解集是( A ) A．(2,3) B．(－∞，2)∪(3，＋∞) C.13，12 D.－∞，13∪12，＋∞
A．{a|0<a<4} C．{a|0<a≤4}
B．{a|0≤a<4} D．{a|0≤a≤4}
(D)
解析：由题意知 a＝0 时，满足条件．
a≠0 时，由aΔ>＝0，a2－4a≤0.
得 0<a≤4，所以 0≤a≤4，故选 D.
一元二次不等式恒成立问题
(1)[任意实数恒成立问题]若不等式 mx2＋2mx－4<2x2 ＋4x 对任意 x 都成立，则实数 m 的取值范围是( A ) A．(－2,2] B．(－2,2) C．(－∞，－2)∪[2，＋∞) D．(－∞，2] (2)[特定区间恒成立问题]设 f(x)＝mx2－mx－1，若 f(x)<－m ＋5，对于 x∈[1,3]上恒成立，求实数 m 的取值范围．
当 m＝0 时，－6<0 恒成立； 当 m<0 时，g(x)在[1,3]上是减函数， 所以 g(x)max＝g(1)⇒m－6<0， 所以 m<6，所以 m<0. 综上所述：m 的取值范围是{m|m<67}．
法二：要使 f(x)<－m＋5 在 x∈[1,3]上恒成立，即 m(x2－x＋
1)－6<0 在[1,3]上恒成立．
B．{x|－1<x<32}
(D )
C．{x|x<－32或 x>1} 解析：－2x2＋x<－3，
D．{x|x<－1 或 x>32}
即为 2x2－x－3>0，Δ＝25>0，
方程 2x2－x－3＝0 的两的解集为{x|x<－1 或 x>32}，故选 D.
则由 f(a)>0 对于任意的 a∈[－1,1]恒成立，
易知只需 f(－1)＝x2－5x＋6>0，
且 f(1)＝x2－3x＋2>0 即可，
联立方程解得 x<1 或 x>3.
3．函数 f(x)＝x2＋2xx＋a对任意 x∈[1，＋∞)，f(x)>0 恒成立， 则实数 a 的取值范围为_(－__3_，__＋__∞__)_．
{x_|_x_1<__x_<_x_2}
∅__
c<0(a>0)的解集
Δ<0 没有实
数根
R _∅_
1．ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立⇔aΔ>＝0，b2－4ac<0. 2．ax2＋bx＋c≥0(a≠0)恒成立⇔aΔ>＝0，b2－4ac≤0. 3．ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立⇔aΔ<＝0，b2－4ac<0. 4．ax2＋bx＋c≤0(a≠0)恒成立⇔aΔ<＝0，b2－4ac≤0.
2．已知 a∈[－1,1]时，不等式 x2＋(a－4)x＋4－2a>0 恒成立，
则 x 的取值范围为( C )
A．(－∞，2)∪(3，＋∞)
B．(－∞，1)∪(2，＋∞)
C．(－∞，1)∪(3，＋∞)
D．(1,3)
解析：把不等式的左端看成关于 a 的一次函数，记 f(a)＝(x
－2)a＋(x2－4x＋4)，
1．若不等式 x2－2x＋5≥a2－3a 对任意实数 x 恒成立，则实
数 a 的取值范围为( A )
A．[－1,4]
B．(－∞，－2]∪[5，＋∞)
C．(－∞，－1]∪[4，＋∞) D．[－2,5]
解析： x2－2x＋5＝(x－1)2＋4 的最小值为 4， 所以 x2－2x＋5≥a2－3a 对任意实数 x 恒成立， 只需 a2－3a≤4 即可，解得－1≤a≤4.
Δ＝0
Δ<0
判别式 Δ>0
Δ＝b2－4ac
Δ＝0
一元二次方程 ax2＋bx＋c＝
0(a>0)的根
有两相异实 根 x1，x2(x1
<x2)
有两相等实 根 x1＝x2 ＝－2ba
ax2＋bx＋
_{_x_|x_>_x_2__
c>0(a>0)的解集 _或__x_<_x_1_}_
x|x≠－2ba
ax2＋bx＋
解析：由题意知－12，－13是方程 ax2－bx－1＝0 的根，所以 由根与系数的关系得－12＋－13＝ba， －12×－13＝－1a. 解得 a＝－6，b＝5，不等式 x2－bx－a<0 即为 x2－5x＋6<0， 其解集为(2,3)．故选 A.
3．若集合 A＝{x|ax2－ax＋1<0}＝∅，则实数 a 的取值范围是
第七章 不第等六式章、推数理列与证明
第 2 讲 一元二次不等式
第七章 不第等六式章、推数理列与证明
考纲展示
考情呈现
1.考查频数：5 年 5 考
1.会从实际问题的情境中抽
象出一元二次不等式模型 2．考查题型：与其它知识点
结合，试题难度适中
2．通过函数图象了解一元二
3．高频考点：常以一元二次
次不等式与相应的二次函