高三下学期高考数学试卷附答案 (66)

2019-2020学年度第二学期第*次考试试卷
高考数学模拟测试
学校：
__________
题号 一 二 三 总分 得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上
第I 卷（选择题）
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一、选择题
1．（2010江西理7）E ，F 是等腰直角△ABC 斜边AB 上的三等分点，则tan ECF ∠=（ ）
A. 1627
B. 23
C. 33
D. 3
4
2．设,x y ∈R ，向量(,1),(1,),(2,4)a x b y c ===-且c b c a //,⊥b a + （A 5（B 10（C ）25（D ）10
3．如图1，当参数2λλ=时，连续函数(0)1x
y x x
λ=≥+ 的图像分别对应曲线1C 和2C , 则 [ B]
A 10λλ<<
B 10λλ<<
C 120λλ<<
D 210λλ<<(2009湖南卷理)
4．已知()f x 与()g x 是定义在R 上的连续函数，如果
()f x 与()g x 仅当0x =时的函数值为0，且()()f x g x ≥，那么下列情形不可能．．．出现的是（ ） A ．0是()f x 的极大值，也是()g x 的极大值 B ．0是()f x 的极小值，也是()g x 的极小值 C ．0是()f x 的极大值，但不是()g x 的极值 D ．0是()f x 的极小值，但不是()g x 的极值 答案 C
第II 卷（非选择题）
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二、填空题
5． 函数)10)(1(log <<-=a x y a 的定义域为 ▲
6． 对任意x R ∈，函数3
2
()7f x ax ax x =++不存在．．．极值点的充要条件是
021a ≤≤
7．正方体1111ABCD A B C D -中选出两条棱和两条面对角线，使这四条线段所在的直线两两都是异面直线，若我们选定一条面对角线1AB ，那么另外三条线段可以是__________（只需写出一种情况即可）
8．已知F 1，F 2是椭圆19
252
2=+y x 的两个焦点，AB 是经过F 1的弦，若|AB|＝8，则|F 2B|＋
|F 2A|＝________.
9．（2013年高考四川卷（理））已知()f x 是定义域为R 的偶函数,当x ≥0
时,2
()4f x x x =-,那么,不等式(2)5f x +<的解集是____________.
10．设,,a b c 分别是ABC V 的角,,A B C 所对的边，若()cos 2cos 0b C a c B ++=，且
23b =，则ABC V 的最大面积为________________
11．
1．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线
112
42
2=-y x 上一点M ，点M 的横坐标是3，则M 到双曲线右焦点的距离是___ _______
12．某初级中学共有学生2000名,各年级男、女生人数如下表.已知在全校学生中随机抽取1名,抽到初二年级女生的概率是0.19. （Ⅰ）求x 的值；
（Ⅱ）现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生, 问应在初三年级抽取多少名？ （Ⅲ）已知245,245≥≥z y ，求初三年级中女生比男生多的概率.
〖解〗本题主要考查概率与统计的基础知识，考查运算求解能力及应用意识.满分12分. (Ⅰ)由
19.02000
=x
,解得380=x . (Ⅱ)初三年级人数为500)370380377373(2000=+++-=+z y , 设应在初三年级抽取m 人，则
2000
48
500=
m ，解得m=12. 所以应在初三年级抽取12名.
（Ⅲ）设初三年级女生比男生多的事件为A ，初三年级女生和男生数记为数对(,)y z ， 由（Ⅱ）知500,(,,245,245)y z y z N y z +=∈≥≥，则基本事件总数有：
(245,255),(246,254),(247,253),(248,252),(249,251),(250,250), (251,249),(252,248),(253,247),(254,246),(255,245)共11个，
而事件A 包含的基本事件有：
(251,249),(252,248),(253,247),(254,246),(255,245)共5个，
所以5()11
P A =
. 13．已知函数f （x ）=x 2
＋2（a －1）x ＋2在区间（－∞,4）上是减函数，则a 的取值范围是
14．一个均匀小正方体的6个面中，三个面上标以数0，两个面上标以数1，一个面上标以数2。

将这个小正方体抛掷2次，则向上的数之积的数学期望是______。

三、解答题
15．已知四棱锥P-ABCD 的底面是直角梯形，AB//DC ，0
90,DAB PA ∠=⊥面ABCD ，且
PA=AD=DC=1，AB=2，M 是PB 中点.
（1）求AC 与PB 所成角的余弦值.
（2）求面AMC 与面BMC 所成二面角的余弦值的大小.
16．设椭圆方程为14
2
2
=+y x ，过点M （0，1）的直线l 交椭圆于点A 、B ，O 是坐标原点，点P 满足OP uuu r (21=OA +u u u r )OB u u u r ，点N 的坐标为)2
1
,21(，当l 绕点M 旋转时，求（1）
动点P 的轨迹方程；（2）
||NP uuu r 的最小值与最大值. 【专家解答】（1）法1：直线l 过点M （0，1）设其斜率为k ，则l 的方程为y=kx+1. 记A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，由题设可得点A 、B 的坐标 (x 1,y 1)、 (x 2,y 2)是方程组 ⎪⎩
⎪⎨⎧=++=141
2
2y x kx y 的解. 将①代入②并化简得(4+k 2)x 2
+2kx -3=0， 所以⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+=++-=+.48,422212
21k y y k k x x
D
C
B
M
P
A
① ②
于是).44
,4()2,2()(21222121k
k k y y x x ++-=++=+=
设点P 的坐标为(x,y ), 则
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
+=+-=.44,422k y k k x 消去参数k 得4x 2+y 2
-y =0 ③ 当k 不存在时，A 、B 中点为坐标原点（0，0），也满足方程③， 所以点P 的轨迹方程为4x 2
+y 2
-y =0
解法二：设点P 的坐标为(x ,y )，因A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)在椭圆上，所以
,14212
1
=+y x ④ .142
22
2=+y x ⑤
④—⑤得0)(4
122212
221=-+
-y y x x ， 所以.0))((4
1
))((21212121=+-+
+-y y y y x x x x 当21x x ≠时，有.0)(41
2
1212121=--⋅++
+x x y y y y x x ⑥ 并且⎪⎪⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨⎧--=-+=+=.
1,2,2212121
2
1x x y y x y y y y x x x ⑦ 将⑦代入⑥并整理得 4x 2+y 2-y =0 ⑧ 当x 1=x 2时，点A 、B 的坐标为（0，2）、（0，－2），这时点P 的坐标为
（0，0）也满足⑧，所以点P 的轨迹方程为.14
1)21(1612
2=-+
y x
（2）由点P 的轨迹方程知.4
1
41,1612
≤≤-≤
x x 即所以 12
7
)61(3441)21()21()21(||222222++-=-+-=-+-=x x x y x
故当41=x ，||取得最小值，最小值为1;4 当1
6
x =-
时，||取得最大值，最大值为.621 17．定义：若函数)(x f y =在某一区间D 上任取两个实数1x 、2x ，且21x x ≠，都有
)2
(2)()(2
121x x f x f x f +>+，则称函数)(x f y =在区间D 上具有性质L 。

（1）写出一个．．在其定义域上具有性质L 的对数函数．．．．（不要求证明）。

（2）对于函数x
x x f 1
)(+=，判断其在区间),0(+∞上是否具有性质L ？并用所给定义证明你的结论。

（3）若函数21
)(ax x
x f -=在区间（0，1）上具有性质L ，求实数a 的取值范围。

18． 设集合2{|40,},A x x x x R =+=∈22
{|210,},B x x x R =+-=∈（
a+1）x+a （1）若1-=a ，求B A ⋃；（2）若A B B ⋂=，求实数a 的取值范围.；
19．如图，已知斜三棱柱111ABC A B C -的底面是直角三角形，90C ∠=︒，侧棱与底面所成的角为(090)αα︒<<︒，点1B 在底面上的射影D 落在BC 上． （1）求证：AC ⊥平面11BB C C ；
（2）若点D 恰为BC 的中点,且11AB BC ⊥，求α的值．
20．如图，四棱锥P ABCD -，底面ABCD 是矩形，PA ABCD ⊥平面,E F 、分别是
AB PD 、的中点．
（1）求证: BC PAB ⊥平面； （2）求证://AF PEC 平面；
（3）若222AD CD ==，PD 与底面ABCD
A1
B1
C1
A B
D
C
所成的角为45︒,求点F 到平面PEC 的距离．
21．已知C e 过点()1,1,P 且与()()()
2
2
2
:220M x y r
r +++=>e 关于直线
20x y ++=对称
（1）求C e 的方程；
（2）过点P 作两条相异直线分别与x 轴相交于E,F,与C e 相交于A,B ，且
0,PE PF EF PE PF ⎛⎫
⎪+⋅= ⎪
⎝
⎭
u u u r u u u r u u u
r u u u r u u u r 问直线AB 的斜率是否为定值？说明理由； （3）设Q 为C e 上的一个动点，求PQ MQ ⋅u u u r u u u u r 的最小值
22．计算:
(1)21lg 85lg
5.12lg +- (2)0
6.0lg 6
1
lg )2(lg )1000lg 8(lg 5lg 23++++ 23．已知圆2
2
:414450,C x y x y +--+=及点(2,3)Q -，
（1）若M 为圆C 上任一点，求||MQ 的最大值和最小值； （2）若实数,m n 满足2
2
414450m n m n +--+=,求3
=
+2
n k m -的最大值和最小值 （3）过x 轴上一点P 作圆C 的切线，切点为R ，求PR 的最小值，并指出此时点P 的坐标.
24．要使函数a y x x 421++=在(]1,∞-∈x 上0>y 恒成立.求a 的取值范围.
25．已知函数2
()2sin 23sin cos f x m x m x x n =-⋅+的定义域为0,
2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，值域为[]5,4-．
试求函数()sin 2cos g x m x n x =+（x R ∈）的最小正周期和最值．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
评卷人 得分
一、选择题
题号 1 2 3 4 答案 ABCEF
第II 卷（非选择题）
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二、填空题
5．（1，+） 6． 7． 8．
9．(7,3)- 10．
11．双曲线；第二定义；到焦点的距离[[]解析]考查双曲线的定义。

，为点M 到右准线的距离，=2，MF=4
解析：双曲线；第二定义；到焦点的距离 [解析]考查双曲线的定义。

4
22
MF e d ===，d 为点M 到右准线1x =的距离，d =2，MF=4 12． 13．
14．答：记向上的数之积为，则的可能取的值为，，所以。

解析：答：记向上的数之积为X ，则X 的可能取的值为0,1,2,4，
27441
(0),(1),(2),(4)36363636
P X P X P X P X ==
======， 所以27441164
()0124363636369E X =⨯+⨯+⨯+⨯==。

三、解答题
15． 16．
17．（本题满分16分）定义：若函数)(x f y =在某一区间D 上任取两个实数1x 、2x ，且
21x x ≠，都有
)2
(2)()(2
121x x f x f x f +>+，则称函数)(x f y =在区间D 上具有性质
L 。

（1）写出一个．．在其定义域上具有性质L 的对数函数．．．．（不要求证明）。

（2）对于函数x
x x f 1
)(+=，判断其在区间),0(+∞上是否具有性质L ？并用所给定义证明你的结论。

（3）若函数21
)(ax x
x f -=
在区间（0，1）上具有性质L ，求实数a 的取值范围。

解：（1）12
log y x =（或其它底在（0，1）上的对数函数）。

…………4分
（2）函数x
x x f 1
)(+
=在区间),0(+∞上具有性质L 。

…………5分 证明：任取1x 、2(0,)x ∈+∞，且21x x ≠ 则
1212()()()22
f x f x x x
f ++-=121212121112()()22x x x x x x x x ++++-+
+ 2212121212121212121212()4()12
22()2()
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++--=-==
+++g g g g g Q 1x 、2(0,)x ∈+∞且21x x ≠，
∴2
1
2
()
0x x ->，12122()0x x x x +>g
即
1212()()()22
f x f x x x
f ++->0，
∴
)2
(2)()(2
121x x f x f x f +>+
所以函数x
x x f 1
)(+
=在区间),0(+∞上具有性质L 。

……………10分 （3）任取1x 、2(0,1)x ∈，且21x x ≠
则1212()()()22f x f x x x f ++-=222121212121112()(())22
x x ax ax a x x x x +-+---+
22
12121212()()2()4x x x x a x x x x --=-=+g g 21212121212[2()]()4()a x x x x x x x x x x -+-+g g g
g Q 1x 、2(0,1)x ∈且21x x ≠，
∴2
1
2
()
0x x ->，12124()0x x x x +>g
要使上式大于零，必须12122()0a x x x x -+>g g 在1x 、2(0,1)x ∈上恒成立， 即12122
()
a x x x x <+g ，
∴1a ≤，即实数a 的取值范围为(,1]-∞……………16分
18．
19．解：(1)1B D ABC ⊥Q 平面,AC ABC ⊂平面,1B D AC ∴⊥．
又AC BC ⊥Q ,1BC B D D ⋂=,
AC ∴⊥平面C C BB 11． ……………………………7分
（2）∵AC ⊥面C C BB 11．∴1AC BC ⊥，又11AB BC ⊥，
∴1BC ⊥面1AB C ∴11B C BC ⊥，即平行四边形11BB C C 为菱形．
又1B D BC ⊥Q ，且D 为BC 的中点，∴ 11B C B B =．
即1BB C ∆为正三角形，160B BC ∴∠=︒．
1B D ⊥Q 平面ABC ，且点D 落在BC 上，
1B BC ∴∠即为侧棱与底面所成的角．∴60α=︒． …………………………14分
20．（1）略…………………4分
（2）略…………………9分
（3）利用等体积法，转化为求点A 到平面PEC 的距离，设点A 到平面PEC 的距离为d ，
由P AEC A PEC V V --=,即1133AEC PEC S PA S d ∆∆⋅=⋅，得11124323
d ⨯=⨯， 所以12d =
，所以点A 到平面PEC 的距离为12
． …………………14分 21．
22． 23．（1）圆22:414450,C x y x y +--+=得8)7()2(2
2=-+-y x ，圆心22),7,2(=r C
||MQ m in =22=-r QC ,26||max =+=r QC MQ (2) 3=+2
n k m -的几何意义是圆C 上点),(n m H 与点)3,2(-G 的斜率 当过)3,2(-G 的直线)2(3+=-x k y 与圆C 相切时，得=k 32±，数形结合可知3
=+2
n k m -的最大值2和最小值2 （3）当PC 最短时，PR 最短，此时P 的坐标为（2，0），PR 的最小值为532722=-
24．
25． )62sin(22cos 2sin 3)(π
+-=++--=x m n m x m x m x f m n ++
0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
72,666x πππ⎡⎤⇒+∈⎢⎥⎣⎦1sin(2),162x π⎡⎤⇒+∈-⎢⎥⎣⎦ 当m ＞0时，max ()f x =4)21(2=++--n m m ，5)(min -=+-=n m x f
解得2,3-==n m
从而，()3sin 4cos 5sin()g x x x x ϕ=-=+ ()x R ∈，
T=2π，最大值为5，最小值为－5；
当m ＜0时， 解得3,1m n =-=，
从而，()3sin 2cos )g x x x x ϕ=-+=+，T=2π，最大值为，最小值为。