安徽省蚌埠市2019-2020学年高二数学下学期期末考试试题文

蚌埠市2019—2020学年度第二学期期末学业水平监测
高二数学（文科）
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的A ，B ，C ，D 的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的字母代号涂到答题卡上. 1.已知集合{|11}M x x =-<<，{|0}N x x =>，则M
N =（ ）
A ．φ
B ．{|01}x x <<
C ．{|1}x x <
D ．{|0}x x > 2.下列表述正确的是（ ）
①归纳推理是由部分到整体的推理； ②归纳推理是由一般到一般的推理； ③演绎推理是由一般到特殊的推理； ④类比推理是由特殊到一般的推理； ⑤类比推理是由特殊到特殊的推理.
A ．①②③
B ．②③④
C ．②④⑤
D ．①③⑤ 3.已知i 为虚数单位，复数z 满足(12)43i z i +=+，则复数z 对应的点位于复平面内的（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 4.已知回归方程21y x =-，则该方程在样本(3,4)处的残差为（ ） A ．-1 B ．1 C ．2 D ．5
5.执行如图所示的程序框图，若输出的结果为3，则可输入的实数x 值的个数为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 6.设0.2
2a =，2
0.2b =，2log 0.2c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a c b >> B ．a b c >> C ．b a c >> D ．b c a >>
7.已知向量(2,1)a =-，(1,3)b =-，则（ ）
A ．()a a b ⊥-
B ．//()a a b -
C ．//a b
D ．a b ⊥ 8.用反证法证明某命题时，对其结论“a ，b 都是正实数”的假设应为（ ） A ．a ，b 都是负实数 B ．a ，b 都不是正实数
C ．a ，b 中至少有一个不是正实数
D ．a ，b 中至多有一个不是正实数 9.已知函数()2sin f x x x =-，则()f x 在原点附近的图象大致是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
10.设p ：实数x ，y 满足1x >且1y >；q ：实数x ，y 满足3x y +>，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 11.将函数()sin 2cos cos 2sin f x x x ϕϕ=+()2
πϕ<的图象向右平移
3
π
个单位后的图象关于原点对称，则函数()f x 在[0,
]2
π上的最小值为（ ）
A ．3-
3．12- D ．12
12.函数()f x 满足(1)()f x f x +=-，且当01x ≤<时，()1f x x =-，若函数
()()g x f x ax =-有4个零点，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．1111[,)
(,]3432-- B ．1111
(,][,)3432--
C ．1111[,)(,]4554--
D ．1111(,)(,)4554
--
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案直接填在答题卡上. 13.命题“0x R ∃∈，0
1x e
>”的否定为 ．
14.曲线1x
y xe x =++在点(0,1)
处的切线方程为 ．
15.若15tan tan
2αα+=，(,)42
ππα∈，则22
sin(2)sin ()
2cos(2)1sin π
παααα--+-++的值为 ． 16.已知从2开始的连续偶数蛇形排列成宝塔形的数表，第一行为2，第二行为4，6，第三行为12，10，8，第四行为14，16，18，20，…，如图所示，在该数表中位于第i 行、第j 行的数记为ij a ，如3,210a =，5,424a =.若2018ij a =，则i j += ．
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必做题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选做题，考生根据要求作答. （一）必做题：每小题12分，共60分.
17.记函数2
()lg(23)f x x x =--的定义域为集合A ，函数()2g x x =
-的定义域为集合
B .
（Ⅰ）求A
B 和R A
C B ；
（Ⅱ）若集合{|30}C x x p =-<且C A ⊆，求实数p 的取值范围. 18.如图，在四边形ABCD 中，1cos 4DAB ∠=-
，23
AD AB =，4BD =，AB BC ⊥.
（Ⅰ）求sin ABD ∠的值； （Ⅱ）若4
BCD π
∠=
，求CD 的长.
19.某数学兴趣小组为了研究人的脚的大小与身高的关系，随机抽测了20位同学，得到如下
数据：
（Ⅰ）请根据“序号为5的倍数”的几组数据，求出y 关于x 的线性回归方程； （Ⅱ）若“身高大于175厘米”的为“高个”，“身高小于等于175厘米”的为“非高个”；“脚长大于42码”的为“大脚”，“脚长小于等于42码”的为“非大脚”.请根据上表数据完成22⨯列联表，并根据列联表中数据说明能有多大的把握认为脚的大小与身高之间有关系.
附表及公式：1
2
1
()()
()
n
i
i
i n
i
i x x y y b x x ==--=
-∑∑，a y bx =-，()
()()()()
2
2
n ad bc K a b c d a c b d -=++++.
22⨯列联表：
20.如图1，已知PAB ∆中，PA PB ⊥，点P 在斜边AB 上的射影为点H .
（Ⅰ）求证：
222
111
PH PA PB
=+； （Ⅱ）如图2，已知三棱锥P ABC -中，侧棱PA ，PB ，PC 两两互相垂直，点P 在底面
ABC 内的射影为点H .类比（Ⅰ）中的结论，猜想三棱锥P ABC -中PH 与PA ，PB ，PC 的关系，并证明.
21.已知函数()ln (1)f x x a x =+-.
（Ⅰ）求证：当0a ≤时，函数()f x 在1
[,]2
e 上存在唯一的零点；
（Ⅱ）当0a >时，若存在(0,)x ∈+∞，使得()220f x a +->成立，求a 的取值范围. （二）选做题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.【选修4-4：坐标系与参数方程】
在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为：225425x y α
α
⎧=+⎪⎨=+⎪⎩（α为参数），以坐标
原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线2C 的极坐标方程为
()3
R π
θρ=
∈.
（Ⅰ）求1C 的极坐标方程和2C 的直角坐标方程； （Ⅱ）若直线3C 的极坐标方程为()6
R π
θρ=∈，设2C 与1C 的交点为O ，M ，3C 与1C 的
交点为O ，N ，求OMN ∆的面积. 23.【选修4-5：不等式选讲】 已知函数()21f x x a x =-+-. （Ⅰ）当1a =时，解不等式()2f x ≥；
（Ⅱ）求证：1()2
f x a ≥-.
蚌埠市2019—2020学年度第二学期期末学业水平监测高二数学（文科）参考答案 一、选择题
1-5: BDDAC 6-10: BACBD 11、12：AC 二、填空题
13. x R ∀∈，1x
e ≤ 14. 210x y -+= 15. 1
2
16. 72 三、解答题
17.解：（Ⅰ）由条件得，2
{|230}A x x x =-->{|13}x x x =<->或，
{|20}{|22}B x x x x =-≥=-≤≤，
所以{|21}A
B x x =-≤<-，
{|12}R A C B x x x =<->或.
（Ⅱ）因为{|}3p C x x =<
且C A ⊆，所以13p
≤-，得3p ≤-. 18.解：（Ⅰ）因为2
3
AD AB =，所以设2AD k =，3AB k =，其中0k >，
在ABD ∆中，由余弦定理，2
2
2
2cos BD AB AD AB AD DAB =+-⋅⋅∠， 所以2
2
11649223()4
k k k k =+-⨯⨯⨯-，解得1k =，则2AD =，
而sin 4
DAB ∠==
，
在ABD ∆中，由正弦定理，sin sin AD
ABD DAB BD
∠=
∠2448=⨯
=.
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，sin 8
ABD ∠=
，而AB BC ⊥，
则sin sin(
)cos 2
CBD ABD ABD π
∠=-∠=∠78
==， 在BCD ∆中，4
BCD π
∠=
，由正弦定理，
7
sin
4
sin2
2
CBD
CD BD
BCD
∠
===
∠
.
19.解：（Ⅰ）“序号为5的倍数”的数据有4组，记：
1
176
x=，
1
44
y=；
2
166
x=，
2
39
y=；
3
168
x=，
3
40
y=；
4
170
x=，
4
41
y=，所以170
x=，41
y=，
计算得1
2
1
()()
()
n
i i
i
n
i
i
x x y y
b
x x
=
=
--
=
-
∑
∑
2222
63(4)(2)(2)(1)00
6(4)(2)0
⨯+-⨯-+-⨯-+⨯
=
+-+-+
1
2
=，
1
4117044
2
a y bx
=-=-⨯=-，
y关于x的线性回归方程为
1
44
2
y x
=-.
（Ⅱ）22
⨯列联表：
2
2
20(51212)
8.8027.879
614713
K
⨯⨯-⨯
=≈>
⨯⨯⨯
，
所以有超过99.5%的把握认为脚的大小与身高之间有关系.
20.（Ⅰ）由条件得，
11
22
PA PB AB PH
⋅=⋅，所以
PA PB
AB
PH
⋅
=，
由勾股定理，222
PA PB AB
+=，所以
22
22
2
PA PB
PA PB
PH
⋅
+=，
所以
22
22222
111
PA PB
PH PA PB PA PB
+
==+
⋅
.
（Ⅱ）猜想：
2222
1111
PH PA PB PC
=++.
证明如下：
连接AH 延长交BC 于M 点，连接PM ， 因为PA PB ⊥，PA PC ⊥，
PB PC P =点，所以PA ⊥平面PBC ，又PM ⊂平面PBC ，得PA PM ⊥，
PH ⊥平面ABC ，AM ⊂平面ABC ，则PH AM ⊥.
在直角三角形APM 中，由（Ⅰ）中结论，
222
111
PH PA PM =+
. PA ⊥平面PBC ，则PA BC ⊥，又PH ⊥平面ABC ，所以PH BC ⊥，
而PH
PA P =点，PH ⊂平面PAM ，所以BC ⊥平面APM ，BC PM ⊥.
又PB PC ⊥，由（Ⅰ）中结论，得222
111
PM PC PB =+
. 所以
2222
1111
PH PA PB PC
=++.
21.解：（Ⅰ）函数()ln (1)f x x a x =+-，定义域为(0,)+∞，11'()ax
f x a x x
-=-=
， 由0a ≤，所以'()0f x >，则函数()f x 在(0,)+∞单调递增， 又1
1
()ln 2022
f a =-+
<，()1(1)0f e a e =+->， 函数()f x 在1[,]2
e 上单调递增，
所以函数()f x 在1[,]2
e 上存在唯一的零点.
（Ⅱ）由（Ⅰ），11'()ax f x a x x
-=
-=，0a >， 当1(0,)x a ∈时，'()0f x >，()f x 在1
(0,)a 单调递增，
当1(,)x a ∈+∞时，'()0f x <，()f x 在1
(,)a
+∞单调递减，
则()f x 在1x a =时取最大值，且最大值为1
()ln 1f a a a
=-+-.
“存在(0,)x ∈+∞，使得()220f x a +->成立”等价于“(0,)x ∈+∞时，
max ()220f x a +->”，所以ln 1220a a a -+-+->，即ln 10a a +-<，
令()ln 1g a a a =+-，(0,)a ∈+∞，则()g a 在(0,)+∞单调递增，且(1)0g =， 所以当01a <<时，()(1)0g a g <=，当1a >时，()(1)0g a g >=， 即a 的取值范围为(0,1).
22.（Ⅰ）消去参数α，曲线1C 的普通方程为2
2
(2)(4)20x y -+-=， 即2
2
480x y x y +--=，把cos x ρθ=，sin y ρθ=代入方程得
24cos 8sin 0ρρθρθ--=，所以1C 的极坐标方程为4cos 8sin ρθθ=+.
直线2C 的直角坐标方程为y =. （Ⅱ）设11(,)M ρθ，22(,)N ρθ，分别将13
π
θ=，26
πθ=
代入4cos 8sin ρθθ=+，
得12ρ=+24ρ=+， 则OMN ∆的面积为
121211sin()(2(422ρρθθ-=⨯+⨯+sin 86
π
⨯=+23.（Ⅰ）当1a =时，不等式()2f x ≥，即1212x x -+-≥， 当1
2
x <时，不等式可化为1122x x -+-≥，解得0x ≤，所以0x ≤， 当
1
12
x ≤≤时，不等式可化为1212x x -+-≥，解得2x ≥，所以无解， 当1x >时，不等式可化为1212x x -+-≥，解得43x ≥，所以4
3
x ≥，
综上可知，不等式()2f x ≥的解集为4(,0]
,3⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭
. （Ⅱ）1()2122f x x a x x a x =-+-=-+-
1122
x a x x =-+-+- 11
22
x a x a x x ≥-+-
=-+- 1122
a x x a ≥-+-
=-.。