深圳市福田区高二上学期期中考试数学试卷含答案

广东省深圳市福田区高二上学期期中考试数学试卷
一、选择题（共8小题）.
1．（5分）数列1，﹣3，5，﹣7，9，…的一个通项公式为（）
A．a n＝2n﹣1B．
C．D．
2．（5分）已知椭圆上的一点P到椭圆一个焦点的距离为3，则P到另一焦点距离为（）A．9B．7C．5D．3
3．（5分）已知a＞0，b＞0，若a，2，b依次成等比数列，则a+4b的最小值是（）A．8B．6C．9D．10
4．（5分）椭圆+＝1的焦点坐标是（）
A．（±7，0）B．（0，±7）C．（±，0）D．（0，±）
5．（5分）已知，则y的最小值为（）
A．2B．1C．4D．3
6．（5分）已知等比数列{a n}满足a1•a13＝4a7，数列{b n}是等差数列，其前n项和为S n，且a7＝b7，则S13＝（）
A．52B．26C．78D．104
7．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S4＝8，S8＝20，则a13+a14+a15+a16＝（）A．20B．16C．12D．8
8．（5分）设x，y满足约束条件，若目标函数z＝ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为2，则
的最小值为（）
A．B．25C．D．50
二、选择题（共4小题）.
9．（5分）下列函数中，最小值是的有（）
A．B．
C．D．y＝e x+2e﹣x
10．（5分）在递增的等比数列{a n}中，S n是数列{a n}的前n项和，若a1a4＝32，a2+a3＝12，则下列说法正确的是（）
A．q＝1
B．数列{S n+2}是等比数列
C．S8＝510
D．数列{lga n}是公差为2的等差数列
11．（5分）已知点A（a，b）与点B（0，3）在直线3x﹣4y+5＝0的同侧，给出下列四个命题中正确命题是（）
A．若a＞1，则b＞2
B．
C．3a﹣4b+5＜0
D．当b＜0时，的取值范围是
12．（5分）椭圆的左右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，以下说法正确的是（）A．过点F2的直线与椭圆C交于A，B两点，则△ABF1的周长为8
B．椭圆C上存在点P，使得
C．椭圆C的离心率为
D．P为椭圆上一点，Q为圆x2+y2＝1上一点，则线段PQ的最大长度为3
三、填空题（共4小题）.
13．（5分）已知实数x，y满足约束条件，则z＝﹣2x+y的最大值是．
14．（5分）《张丘建算经》中女子织布问题为：某女子善于织布，一天比一天织得快，且从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布，已知第一天织5尺布，一月（按30天计）共织390尺布，则从第2天起每天比前一天多织尺布．
15．（5分）若正数a，b满足ab﹣2a﹣b＝0，则ab的最小值为．
16．（5分）已知椭圆C：的左，右焦点分别为F1，F2，过F1的直线交椭圆C于A，
B两点，若∠ABF2＝90°，且△ABF2的三边长|BF2|，|AB|，|AF2|成等差数列，则C的离心率为．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知椭圆W：＝1（m＞0，n＞0）的离心率为e，长轴为AB，短轴为CD．（1）若W的一个焦点为（3，0），|CD|＝6，求W的方程；
（2）若|AB|＝10，e＝，求W的方程．
18．（12分）在①b1+b3＝a2，②a4＝b4，③S5＝﹣25这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的k存在，求k的值；若k不存在，说明理由．
设等差数列{a n}的前n项和为S n，{b n}是等比数列，____，b1＝a5，b2＝3，b5＝﹣81，是否存在k，使得S k＞S k+1且S k+1＜S k+2？
19．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，点（a n，S n）在直线y＝2x﹣2上，n∈N*．（1）求{a n}的通项公式；
（2）若b n＝n+a n，求数列{b n}的前n项和T n．
20．（12分）某渔业公司年初用98万元购进一艘渔船用于捕捞，若该公司从第1年到第n年花在该渔船维修等事项上的所有费用为（2n2+10n）万元，该船每年捕捞的总收入为50万元．
（1）该船捕捞几年开始盈利？（即总收入减去成本及所有费用之差为正值）
（2）该船捕捞若干年后，处理方案有两种：
①当年平均盈利达到最大值时，以26万元的价格卖出；
②当盈利总额达到最大值时，以8万元的价格卖出；
哪一种方案较为合算？请说明理由．
21．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，a n+1＝2a n+2n．
（1）证明数列{}是等差数列，并求出a n；
（2）求S n；
（3）令b n＝，若对任意正整数n，不等式b n＜恒成立，求实数m的取值范围．22．（12分）我们把经过椭圆的焦点且与过焦点的轴垂直的弦称为椭圆的正焦弦．已知椭圆
的正
焦弦长为1，且点在椭圆上．
（1）求椭圆的方程；
（2）经过点作一直线交椭圆于AB两点如果点P为线段AB的中点，求直线AB的斜率；（3）若直线l与（2）中的直线AB平行，且与椭圆交于M，N两点，试求△MON（O为坐标原点）面积的最大值．
参考答案
一、选择题（共8小题）.
1．（5分）数列1，﹣3，5，﹣7，9，…的一个通项公式为（）
A．a n＝2n﹣1B．
C．D．
解：由数列{a n}中1，﹣3，5，﹣7，9，…可以看出：符号正负相间，通项的绝对值为1，3，5，7，9…
为等差数列{b n}，其通项公式b n＝2n﹣1．
∴数列1，﹣3，5，﹣7，9，…的一个通项公式为a n＝（﹣1）n+1（2n﹣1）．
故选：C．
2．（5分）已知椭圆上的一点P到椭圆一个焦点的距离为3，则P到另一焦点距离为（）A．9B．7C．5D．3
解：由椭圆，得a＝5，
则2a＝10，且点P到椭圆一焦点的距离为3，
由定义得点P到另一焦点的距离为2a﹣3＝10﹣3＝7．
故选：B．
3．（5分）已知a＞0，b＞0，若a，2，b依次成等比数列，则a+4b的最小值是（）A．8B．6C．9D．10
解：∵a，2，b依次成等比数列，
∴ab＝4，
∵a＞0，b＞0，
∴a+4b≥2＝8，当且仅当a＝4b，即a＝4，b＝1时取等号，
故选：A．
4．（5分）椭圆+＝1的焦点坐标是（）
A．（±7，0）B．（0，±7）C．（±，0）D．（0，±）
解：椭圆+＝1中，
c＝＝，
∴椭圆+＝1的焦点坐标是（0，）．
故选：D．
5．（5分）已知，则y的最小值为（）
A．2B．1C．4D．3
解：∵＝x﹣2+≥2+2＝4，
当且仅当x﹣2＝即x＝3时取等号，
则y的最小值为4．
故选：C．
6．（5分）已知等比数列{a n}满足a1•a13＝4a7，数列{b n}是等差数列，其前n项和为S n，且a7＝b7，则S13＝（）
A．52B．26C．78D．104
解：等比数列{a n}满足a1•a13＝4a7，可得a72＝4a7，
解得a7＝4，
数列{b n}是等差数列，其前n项和为S n，且a7＝b7＝4，
则S13＝（b1+b13）×13＝13b7＝13×4＝52．
故选：A．
7．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S4＝8，S8＝20，则a13+a14+a15+a16＝（）A．20B．16C．12D．8
解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，S4＝8，S8＝20，
由等差数列的性质得：
S4，S8﹣S4，S12﹣S8，S16﹣S12成等差数列，
又S4＝8，S8﹣S4＝20﹣8＝12，
∴S12﹣S8＝S12﹣20＝12+4＝16，
S16﹣S12＝a13+a14+a15+a16＝16+4＝20．
故选：A．
8．（5分）设x，y满足约束条件，若目标函数z＝ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为2，则的最小值为（）
A．B．25C．D．50
解：画出约束条件表示的平面区域，如图所示；
由图形知，目标函数z＝ax+by（a＞0，b＞0）过点A时，
取得最大值为2；
由，解得A（4，6），
所以4a+6b＝2，即2a+3b＝1，
所以＝（+）（2a+3b）＝4+9++≥13+2＝25，
当且仅当a＝b＝时取等号，所以最小值为25．
故选：B．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．
9．（5分）下列函数中，最小值是的有（）
A．B．
C．D．y＝e x+2e﹣x
解：A．x＜0时，y＜0，无最小值．
B．y＝+≥2，当且仅当x＝时取等号，正确．
C．y＝x2++4≥2＝2，当且仅当x2+4＝时，等号成立，显然不可能取到，故选项C不正确；
D．y＝e x+2e﹣x≥2＝2，当且仅当x＝0时取等号，正确．
故选：BD．
10．（5分）在递增的等比数列{a n}中，S n是数列{a n}的前n项和，若a1a4＝32，a2+a3＝12，则下列说法正确的是（）
A．q＝1
B．数列{S n+2}是等比数列
C．S8＝510
D．数列{lga n}是公差为2的等差数列
解：由题意，根据等比中项的性质，可得
a2a3＝a1a4＝32＞0，a2+a3＝12＞0，
故a2＞0，a3＞0．
根据根与系数的关系，可知
a2，a3是一元二次方程x2﹣12x+32＝0的两个根．
解得a2＝4，a3＝8，或a2＝8，a3＝4．
∵等比数列{a n}是递增数列，∴q＞1．
∴a2＝4，a3＝8满足题意．
∴q＝2，a1＝＝2．故选项A不正确．
a n＝a1•q n﹣1＝2n．
∵S n＝＝2n+1﹣2．
∴S n+2＝2n+1＝4•2n﹣1．
∴数列{S n+2}是以4为首项，2为公比的等比数列．故选项B正确．
S8＝28+1﹣2＝512﹣2＝510．故选项C正确．
∵lga n＝lg2n＝nlg2．
∴数列{lga n}是公差为lg2的等差数列．故选项D不正确．
故选：BC．
11．（5分）已知点A（a，b）与点B（0，3）在直线3x﹣4y+5＝0的同侧，给出下列四个命题中正确命题是（）
A．若a＞1，则b＞2
B．
C．3a﹣4b+5＜0
D．当b＜0时，的取值范围是
解：已知点A（a，b）与点B（0，3）在直线3x﹣4y+5＝0的同侧，
所以（3a﹣4b+5）（﹣12+5）＞0，即3a﹣4b+5＜0，故C正确；
对于B：由于3a﹣4b+5＜0，则当a＞1时，由3a'﹣4b+5＜0，解得b＞2，故B正确；
由于原点（0，0）到直线3a﹣4b+5＝0的距离为1，所以，故C正确；
对于D：当b＜0时，表示过点A（a，b）与点（0，1）的斜率，根据函数的图象：
如图所示
可知其取值范围为（），故D正确．
故选：ABC．
12．（5分）椭圆的左右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，以下说法正确的是（）A．过点F2的直线与椭圆C交于A，B两点，则△ABF1的周长为8
B．椭圆C上存在点P，使得
C．椭圆C的离心率为
D．P为椭圆上一点，Q为圆x2+y2＝1上一点，则线段PQ的最大长度为3
解：由椭圆，得a＝2，b＝1，c＝．
对于A，由椭圆定义可得，|AF1|+|AF2|＝|BF1|+|BF2|＝2a＝4，
∴△ABF1的周长为|AF1|+|BF1|+|AB|＝|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|＝8，故A正确；
对于B，设P（x，y）为椭圆上的任意一点，则P满足，
，则，由，得x＝±∈[﹣2，2]，故B正确；
对于C，椭圆的离心率为，故C错误；
对于D，设P（x，y）为椭圆上的任意一点，则P到圆x2+y2＝1的圆心的距离|PO|＝＝
∵﹣1≤y≤1，∴，故D正确．
故选：ABD．
三、填空题：本题共有4个小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）已知实数x，y满足约束条件，则z＝﹣2x+y的最大值是﹣1．解：实数x，y满足约束条件的可行域如图所示：
联立，解得A（1，1）．
化目标函数z＝﹣2x﹣+y为y＝2x+z，
由图可知，当直线y＝2x+z过A时，
直线在y轴上的截距最小，z有最大值为﹣2×1+1＝﹣1．
故答案为：﹣1．
14．（5分）《张丘建算经》中女子织布问题为：某女子善于织布，一天比一天织得快，且从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布，已知第一天织5尺布，一月（按30天计）共织390尺布，则从第2天起每天比前一天多织尺布．
解：由题意知此问题可以看成等差数列，且首项为5，设公差为d则
根据等差数列的前n项和公式有：
390＝30×5+d
解得d＝
15．（5分）若正数a，b满足ab﹣2a﹣b＝0，则ab的最小值为8．
解：∵正数a，b满足ab﹣2a﹣b＝0，
∴ab＝2a+b≥2，
∴a2b2≥8ab，
∴ab≥8．
∴ab的最小值为8．
故答案为：8．
16．（5分）已知椭圆C：的左，右焦点分别为F1，F2，过F1的直线交椭圆C于A，B两点，若∠ABF2＝90°，且△ABF2的三边长|BF2|，|AB|，|AF2|成等差数列，则C的离心率为．解：由已知，△ABF2的三边长|BF2|，|AB|，|AF2|成等差数列，设|BF2|＝x，|AB|＝x+d，|AF2|＝x+2d，∠ABF2＝90°，据勾股定理：x2+（x+d）2＝（x+2d）2，
可得：x2＝2dx+3d2，
解得x＝3d；
由椭圆定义知△ABF2的周长为4a，
|BF2|＝x＝3d，|AB|＝x+4d，|AF2|＝x+2d＝5d，所以3d+4d+5d＝4a，
所以a＝3d，|BF2|＝a＝|BF1|；
在直角△BF2F1中，由勾股定理，a2+a2＝（2c）2，即2a2＝4c2，
∴离心率e＝＝．
故答案为：．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知椭圆W：＝1（m＞0，n＞0）的离心率为e，长轴为AB，短轴为CD．（1）若W的一个焦点为（3，0），|CD|＝6，求W的方程；
（2）若|AB|＝10，e＝，求W的方程．
解：（1）由已知可得，c＝3，2b＝6，b＝3．
∴a2＝b2+c2＝18．
由题意可知，椭圆焦点在x轴上，则椭圆方程为；
（2）由已知可得，2a＝10，则a＝5，
又e＝＝，∴c＝3，则b2＝a2﹣c2＝16．
若椭圆焦点在x轴上，则椭圆方程为．
若椭圆焦点在y轴上，则椭圆方程为．
18．（12分）在①b1+b3＝a2，②a4＝b4，③S5＝﹣25这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题
中的k存在，求k的值；若k不存在，说明理由．
设等差数列{a n}的前n项和为S n，{b n}是等比数列，____，b1＝a5，b2＝3，b5＝﹣81，是否存在k，使得S k＞S k+1且S k+1＜S k+2？
解：因为在等比数列{b n}中，b2＝3，b5＝﹣81，所以其公比q＝﹣3，
从而，从而a5＝b1＝﹣1．
若存在k，使得S k＞S k+1，即S k＞S k+a k+1，从而a k+1＜0；
同理，若使S k+1＜S k+2，即S k+1＜S k+1+a k+2，从而a k+2＞0．
若选①：由b1+b3＝a2，得a2＝﹣1﹣9＝﹣10，所以a n＝3n﹣16，
当k＝4时满足a5＜0，且a6＞0成立；
若选②：由a4＝b4＝27，且a5＝﹣1，所以数列{a n}为递减数列，
故不存在a k+1＜0，且a k+2＞0；
若选③：由，解得a3＝﹣5，从而a n＝2n﹣11，
所以当n＝4时，能使a5＜0，a6＞0成立．
19．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，点（a n，S n）在直线y＝2x﹣2上，n∈N*．（1）求{a n}的通项公式；
（2）若b n＝n+a n，求数列{b n}的前n项和T n．
解：（1）∵点（a n，S n）在直线y＝2x﹣2上，n∈N*，
∴S n＝2a n﹣2．
当n＝1时，a1＝2a1﹣2，则a1＝2，
当n≥2时，S n＝2a n﹣2，S n﹣1＝2a n﹣1﹣2．
两式相减，得a n＝2a n﹣2a n﹣1，所以a n＝2a n﹣1，
所以{a n}是以首项为2，公比为2等比数列，
所以．
（2），
Tn＝（1+2+3+…+n）+（2+22+23+…+2n）＝，
所以．
20．（12分）某渔业公司年初用98万元购进一艘渔船用于捕捞，若该公司从第1年到第n年花在该渔船维修等事项上的所有费用为（2n2+10n）万元，该船每年捕捞的总收入为50万元．
（1）该船捕捞几年开始盈利？（即总收入减去成本及所有费用之差为正值）
（2）该船捕捞若干年后，处理方案有两种：
①当年平均盈利达到最大值时，以26万元的价格卖出；
②当盈利总额达到最大值时，以8万元的价格卖出；
哪一种方案较为合算？请说明理由．
【解答】解（1）设捕捞n年的盈利为y万元，
则y＝50n﹣（2n2+10n）﹣98＝﹣2n2+40n﹣98．
由y＞0，得n2﹣20n+49＜0，解得10﹣＜n＜10+（n∈N+），则3≤n≤17．
所以捕捞3年开始盈利．
（2）方案①合算．理由如下：
①＝﹣2n﹣+40≤﹣2+40＝12，
当且仅当2n＝，即n＝7时取等号．
故经过7年捕捞，年平均盈利最大，共盈利12×7+26＝110（万元）；
②因为y＝﹣2n2+40n﹣98＝﹣2（n﹣10）2+102，
所以当n＝10时，y取得最大值102．
即经过10年捕捞盈利总额最大，共盈利102+8＝110（万元）．
综上知，两种方案获利相等，但方案②的时间长，所以方案①合算．
21．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，a n+1＝2a n+2n．
（1）证明数列{}是等差数列，并求出a n；
（2）求S n；
（3）令b n＝，若对任意正整数n，不等式b n＜恒成立，求实数m的取值范围．解：（1）证明：a1＝1，a n+1＝2a n+2n，
可得＝+，
可得数列{}是首项和公差均为的等差数列，
可得＝n，即a n＝n•2n﹣1；
（2）S n＝1•20+2•2+3•22+…+n•2n﹣1，
2S n＝1•2+2•22+3•23+…+n•2n，
相减可得﹣S n＝1+2+22+…+2n﹣1﹣n•2n，
＝﹣n•2n，
化简可得S n＝1+（n﹣1）•2n；
（3）b n＝＝（）n+（n﹣1）•（）n，
b n+1﹣b n＝（）n+1+n•（）n+1﹣（）n﹣（n﹣1）•（）n＝，
当n＝1时，b2﹣b1＝；n＝2时，b3﹣b2＝；即b1＜b2＜b3，
当n≥3时，b n+1﹣b n＜0，即b3＞b4＞b5＞…，
则n＝3时，b n的最大值为b3＝，
不等式b n＜恒成立，可得
＜，即为m2﹣m﹣6＞0，
解得m＞3或m＜﹣2．
则m的取值范围是（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞）．
22．（12分）我们把经过椭圆的焦点且与过焦点的轴垂直的弦称为椭圆的正焦弦．已知椭圆的正
焦弦长为1，且点在椭圆上．
（1）求椭圆的方程；
（2）经过点作一直线交椭圆于AB两点如果点P为线段AB的中点，求直线AB的斜率；
（3）若直线l与（2）中的直线AB平行，且与椭圆交于M，N两点，试求△MON（O为坐标原点）面积的最大值．
解：（1）根据题意，，所以，
则椭圆方程转化为，
又点在椭圆上，
所以，即2a2﹣3a﹣2＝0，
由于a＞0，故解得a＝2，
则b2＝1，
故所求椭圆方程为；
（2）由（1）得椭圆的方程为，设点A（x1，y1）、B（x2，y2），因为点为线段AB的中点，则，即，由于点A、B在椭圆上，则
两个等式相减得，
即，
即，
所以直线AB的斜率为；
（3）由（2）设直线l：y＝x+t，M（x3，y3），N（x4，y4），
联立直线：l：y＝x+t与椭圆方程得50x2+8tx+4t2﹣4＝0，
令△＝（8t）2﹣4×5（4t2﹣4）＞0，得，
又，，
所以，
又点O到直线l的距离，，当且仅当5﹣t2＝t2，
即或时取等号，而或满足，
所以△MON面积的最大值为1．。