2014-2015年上海市复旦大学附中高二下学期期中数学试卷与解析PDF

2014-2015学年上海市复旦大学附中高二（下）期中数学试卷一、填空题（每小题4分，共40分）1．（4分）在空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上分别取点E、F、G、H，如果EH、FG相交于一点M，那么M一定在直线上．2．（4分）如图所示，以等腰直角三角形ABC斜边BC上的高AD为折痕．使△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面，则∠BAC=．3．（4分）斜棱柱侧棱长为1，侧面积为2，则直截面（垂直于侧棱且每一条侧棱都相交的截面）的周长为．4．（4分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF=1，则四面体A﹣EFB的体积为．5．（4分）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，PA⊥面ABC，AB=AC，D是BC的中点，则图中直角三角形的个数是．6．（4分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，过对角线BD1的一个平面交AA1于点E，交CC1于F，①四边形BFD1E一定是平行四边形②四边形BFD1E有可能是正方形③四边形BFD1E在底面ABCD内的投影一定是正方形④四边形BFD1E点有可能垂直于平面BB1D以上结论正确的为（写出所有正确结论的编号）7．（4分）A，B，C，D是空间不共面的四个已知点，它们到平面α的距离都相等，则满足条件的平面α有个．8．（4分）四面体ABCD，设AB=2，CD=3异面直线AB与CD间的距离为1且相垂直，则四面体ABCD的体积为．9．（4分）E、M、N依次是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱AB、AA1、A1D1的中点，则平面EMN与面ABCD所成的二面角的大小为．10．（4分）经过圆锥高的截面叫圆锥的轴截面，如果经过圆锥的任意两条母线的截面面积的最大值就是轴截面的面积，则圆锥侧面展开得到的扇形中心角的范围是．二、选择题（每小题5分，共30分）11．（5分）一直线l与其外三点A，B，C可确定的平面个数是（）A．1个 B．3个C．1个或3个D．1个或3个或4个12．（5分）用平面在正方体上截下一个三棱锥，以原来正方体的那个顶点作为三棱锥的顶点，则该顶点在三棱锥的底面上的射影是这个三角形的（）A．重心B．外心C．内心D．垂心13．（5分）用斜二测画法得到某三角形的水平放置的直观图是一个等腰直角三角形（如图所示，其中的x轴表示水平方向），斜边长为2，则原三角形的面积为（）A．B．2 C．2 D．414．（5分）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，M、N分别是棱DD1、D1C1的中点，则直线OM（）A．与AC、MN均垂直相交B．与AC垂直、与MN不垂直C．与MN垂直，与AC不垂直D．与AC、MN均不垂直15．（5分）如图，M是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱DD1的中点，给出下列命题①过M点有且只有一条直线与直线AB、B1C1都相交；②过M点有且只有一条直线与直线AB、B1C1都垂直；③过M点有且只有一个平面与直线AB、B1C1都相交；④过M点有且只有一个平面与直线AB、B1C1都平行．其中真命题是（）A．②③④B．①③④C．①②④D．①②③16．（5分）四条曲线x2=2y，x=2，x=﹣2，y=0围成的封闭图形绕y轴旋转一周所得的旋转体的体积为V1：满足的平面区域绕y轴旋转一周所得的旋转体的体积为V2，则（）A．V1＞V2B．V1＜V2C．V1=V2D．V1，V2无明确大小关系三、解答题（共12+13+15+10=50分）17．（12分）如图，在四面体ABCD中，CB=CD，AD⊥BD，点E，F分别是AB，BD的中点．求证：（1）直线EF∥面ACD；（2）平面EFC⊥面BCD．18．（13分）已知PA垂直于以AB为直径的ΘO所在的平面，C是ΘO上异于A，B的动点，PA=1，AB=2，当三棱锥P﹣ABC取得最大体积时，求：（1）PC与AB所成角的大小；（2）PA与面PCB所成角的大小．19．（15分）已知正四面体ABCD的棱长为1，求：（1）该四面体的内切球的表面积；（2）与该四面体各条棱均相切的球的体积；（3）该四面体的外接球上AB两点间的球面距离．20．（10分）已知正n棱锥的体积V为定值，试确定其侧面与底面所成的二面角的大小，使得正n棱锥的表面积取得最小值．2014-2015学年上海市复旦大学附中高二（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（每小题4分，共40分）1．（4分）在空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上分别取点E、F、G、H，如果EH、FG相交于一点M，那么M一定在直线BD上．【解答】解：∵点E、H分别在AB、AD上，而AB、AD是平面ABD内的直∴E∈平面ABD，H∈平面ABD，可得直线EH⊂平面ABD，∵点F、G分别在BC、CD上，而BC、CD是平面BCD内的直线，∴F∈平面BCD，G∈平面BCD，可得直线FG⊂平面BCD，因此，直线EH与FG的公共点在平面ABD与平面BCD的交线上，∵平面ABD∩平面BCD=BD，∴点M∈直线BD．故答案为：BD．2．（4分）如图所示，以等腰直角三角形ABC斜边BC上的高AD为折痕．使△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面，则∠BAC=60°．【解答】解：设AB=AC=1，则BD=CD=，∵BD⊥平面ADC，CD⊂平面ADC，∴BD⊥CD，∵△BDC是等腰直角三角形，∴BC=CD=1，∴△ABC是正三角形，∴∠BAC=60°．故答案为：60°．3．（4分）斜棱柱侧棱长为1，侧面积为2，则直截面（垂直于侧棱且每一条侧棱都相交的截面）的周长为2．【解答】解：∵斜棱柱侧棱长为1，侧面积为2，∴直截面（垂直于侧棱且每一条侧棱都相交的截面）的周长为2，故答案为：2．4．（4分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF=1，则四面体A﹣EFB的体积为．【解答】解：由题意可知，由于点B到直线B1D1的距离不变，故△BEF的面积为=．又点A到平面BEF的距离为，故V A==．﹣BEF故答案为：．5．（4分）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，PA⊥面ABC，AB=AC，D是BC的中点，则图中直角三角形的个数是8．【解答】解：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，PA⊥平面ABC，∴AB⊥PA，PA⊥DA，PA⊥AC，∵AB=AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC，∴BP=CP，可得PD⊥BC，∴图中直角三角形有△PAC，△PAB，△PAD，△ABC．△ABD，△ADC，△BPD，△DPC，8个．故答案为：8．6．（4分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，过对角线BD1的一个平面交AA1于点E，交CC1于F，①四边形BFD1E一定是平行四边形②四边形BFD1E有可能是正方形③四边形BFD1E在底面ABCD内的投影一定是正方形④四边形BFD1E点有可能垂直于平面BB1D以上结论正确的为①③④（写出所有正确结论的编号）【解答】解：如图：①由平面BCB1C1∥平面ADA1D1，并且B、E、F、D1四点共面，∴ED1∥BF，同理可证，FD1∥EB，故四边形BFD1E一定是平行四边形，故①正确；②若BFD1E是正方形，有ED1⊥BE，这个与A1D1⊥BE矛盾，故②错误；③由图得，BFD1E在底面ABCD内的投影一定是正方形ABCD，故③正确；④当点E和F分别是对应边的中点时，平面BFD1E⊥平面BB1D1，故④正确．故答案为：①③④．7．（4分）A，B，C，D是空间不共面的四个已知点，它们到平面α的距离都相等，则满足条件的平面α有7个．【解答】解：空间中不共面的四个定点构成三棱锥，如图：三棱锥D﹣ABC，①当平面一侧有一点，另一侧有三点时，即对此三棱锥进行换底，则三棱锥有四种表示形式，此时满足条件的平面个数是四个，②当平面一侧有两点，另一侧有两点时，即构成的直线是三棱锥的相对棱，因三棱锥的相对棱有三对，则此时满足条件的平面个数是三个，所以满足条件的平面共有7个，故答案为：7．8．（4分）四面体ABCD，设AB=2，CD=3异面直线AB与CD间的距离为1且相垂直，则四面体ABCD的体积为2．【解答】解：∵AB垂直于CD，∴可以过AB作平面α，使平面α与线段CD垂直．这样α将四面体剖成两个小的四面体．将截面视为底，CD视为两个四面体高的总和，那么两个小四面体的体积之和即为四面体ABCD的体积：V=×（×2×3）×2=2故答案为：2．9．（4分）E、M、N依次是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱AB、AA1、A1D1的中点，则平面EMN与面ABCD所成的二面角的大小为arctan．【解答】解：如图所示，延长NM交直线DA与点F，连接EF，则直线EF为平面EMN与面ABCD的交线．过点A作AQ⊥EF，垂足为Q，连接MQ，∵AM⊥平面ABCD，则EF⊥MQ．∴∠AQM即为平面EMN与面ABCD所成的二面角的平面角．不妨取AB=2．∵E、M、N依次是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱AB、AA1、A1D1的中点，A1D1∥AD，∴AM=AF=AE=1，∴．在RT△AMQ中，tan∠AQM==．∴∠AQM=arctan．故答案为：arctan．10．（4分）经过圆锥高的截面叫圆锥的轴截面，如果经过圆锥的任意两条母线的截面面积的最大值就是轴截面的面积，则圆锥侧面展开得到的扇形中心角的范围是（0，π] ．【解答】解：由题意，经过圆锥的任意两条母线的截面面积的最大值就是轴截面的面积，得到轴截面的顶角≤90°，所以≤，所以圆锥侧面展开得到的扇形中心角≤π，所以圆锥侧面展开得到的扇形中心角的范围是（0，π]．故答案为：（0，π]．二、选择题（每小题5分，共30分）11．（5分）一直线l与其外三点A，B，C可确定的平面个数是（）A．1个 B．3个C．1个或3个D．1个或3个或4个【解答】解：当A，B，C三点共线时，能够只确定一个平面；当A，B，C三个不共线时，一条直线与直线外的每一点都可以确定一个平面，这样的平面有3个；当当A，B，C三个不共线时，一条直线与直线外的每一点都可以确定一个平面，平面外的三个点也确定一个平面．这样可确定的平面最多就可以达到4个．故选：D．12．（5分）用平面在正方体上截下一个三棱锥，以原来正方体的那个顶点作为三棱锥的顶点，则该顶点在三棱锥的底面上的射影是这个三角形的（）A．重心B．外心C．内心D．垂心【解答】解：用平面在正方体上截下一个三棱锥，以原来正方形的那个顶点作为三棱锥的顶点，则三棱锥的三条侧棱中，每两条之间的夹角都是90°，则三条侧棱两两垂直，即SB⊥SA，SB⊥SC，∵SA∩SC=S，∴SB⊥面SAC，∵AC⊂面SAC，∴SB⊥AC，过S向底面做垂线，垂足为O，连接BO，并延长交AC于D，由三垂线定理知BD⊥AC，即BD 是三角形的高线，∴三棱锥的顶点在底面的射影是底面三角形的垂心，故选：D．13．（5分）用斜二测画法得到某三角形的水平放置的直观图是一个等腰直角三角形（如图所示，其中的x轴表示水平方向），斜边长为2，则原三角形的面积为（）A．B．2 C．2 D．4【解答】解：∵用斜二测画法得到该三角形的水平放置的直观图是一等腰直角三角形，∴它原来的图形为△OAB，如图所示：且OA=2，OB=2×2cos45°=2，OA⊥OB；∴原三角形的面积为OA•OB=×2×2=2．故选：B．14．（5分）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，M、N分别是棱DD1、D1C1的中点，则直线OM（）A．与AC、MN均垂直相交B．与AC垂直、与MN不垂直C．与MN垂直，与AC不垂直D．与AC、MN均不垂直【解答】解：以DA、DC、DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．如图因为正方体的棱长为2，则D（0，0，0）、D1（0，0，2）、M（0，0，1）、A（2，0，0）、C（0，2，0）、O（1，1，0）、N（0，1，2）．∴=（﹣1，﹣1，1），=（0，1，1），=（﹣2，2，0）．∴=0，=0，∴OM⊥AC，OM⊥MN．故选：A．15．（5分）如图，M是正方体ABCD﹣A 1B1C1D1的棱DD1的中点，给出下列命题①过M点有且只有一条直线与直线AB、B1C1都相交；②过M点有且只有一条直线与直线AB、B1C1都垂直；③过M点有且只有一个平面与直线AB、B1C1都相交；④过M点有且只有一个平面与直线AB、B1C1都平行．其中真命题是（）A．②③④B．①③④C．①②④D．①②③【解答】解：直线AB与B1C1是两条互相垂直的异面直线，点M不在这两异面直线中的任何一条上，如图所示：取C1C的中点N，则MN∥AB，且MN=AB，设BN 与B1C1交于H，则点A、B、M、N、H 共面，直线HM必与AB直线相交于某点O．所以，过M点有且只有一条直线HO与直线AB、B1C1都相交；故①正确．过M点有且只有一条直线与直线AB、B1C1都垂直，此垂线就是棱DD1，故②正确．过M点有无数个平面与直线AB、B1C1都相交，故③不正确．过M点有且只有一个平面与直线AB、B1C1都平行，此平面就是过M点与正方体的上下底都平行的平面，故④正确．综上，①②④正确，③不正确，故选：C．16．（5分）四条曲线x2=2y，x=2，x=﹣2，y=0围成的封闭图形绕y轴旋转一周所得的旋转体的体积为V1：满足的平面区域绕y轴旋转一周所得的旋转体的体积为V2，则（）A．V1＞V2B．V1＜V2C．V1=V2D．V1，V2无明确大小关系【解答】解：第一个旋转体的体积为π×22×2﹣π（）2dx=8π﹣x4dx=8π﹣×|=8π﹣×=8=，第二个旋转体的体积为半径为1的球，体积V2==．则V1＞V2，故选：A．三、解答题（共12+13+15+10=50分）17．（12分）如图，在四面体ABCD中，CB=CD，AD⊥BD，点E，F分别是AB，BD的中点．求证：（1）直线EF∥面ACD；（2）平面EFC⊥面BCD．【解答】证明：（1）∵E，F分别是AB，BD的中点．∴EF是△ABD的中位线，∴EF∥AD，∵EF⊄面ACD，AD⊂面ACD，∴直线EF∥面ACD；（2）∵AD⊥BD，EF∥AD，∴EF⊥BD，∵CB=CD，F是BD的中点，∴CF⊥BD又EF∩CF=F，∴BD⊥面EFC，∵BD⊂面BCD，∴面EFC⊥面BCD18．（13分）已知PA垂直于以AB为直径的ΘO所在的平面，C是ΘO上异于A，B的动点，PA=1，AB=2，当三棱锥P﹣ABC取得最大体积时，求：（1）PC与AB所成角的大小；（2）PA与面PCB所成角的大小．【解答】解：（1）如图，三棱锥P﹣ABC高PA=1，要使体积最大，则底面△ABC 的面积最大，∵AB=2，则AC=BC时△ABC面积最大，把三棱锥P﹣ABC补形，得到长方体PQ，∴∠CPQ即为PC与AB所成角，由AB=2，得AC=，又PA=1，∴PC=，∴cos∠CPQ=，则∠CPQ=arccos．即PC与AB所成角的大小为arccos；（2）∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC，又BC⊥AC，PA∩AC=A，∴BC⊥平面PAC，则平面PBC⊥平面PAC，过A作AT⊥PC，垂足为T，则AT⊥平面PBC，∠APT即为PA与平面PCB所成角．由PA•AC=PC•AT，得AT==，∴sin∠APT=．则∠APT=arcsin．即PA与面PCB所成角的大小为arcsin．19．（15分）已知正四面体ABCD的棱长为1，求：（1）该四面体的内切球的表面积；（2）与该四面体各条棱均相切的球的体积；（3）该四面体的外接球上AB两点间的球面距离．【解答】解：（1）如图O为正四面体ABCD的内切球的球心，正四面体的棱长为1，所以OE为内切球的半径，设OA=OB=R，在等边三角形BCD中，BE=，AE==．由OB2=OE2+BE2，即有R2=（﹣R）2+解得，R=．OE=AE﹣R=，则其内切球的半径是，所以四面体的内切球的表面积为=；（2）将正四面体ABCD，补成正方体，则正四面体ABCD的棱为正方体的面上对角线∵正四面体ABCD的棱长为1∴正方体的棱长为，∵球O与正四面体的各棱都相切，且球心在正四面体的内部，∴球O是正方体的内切球，其直径为，∴球O的体积为=π；（3）由（1），正四面体的外接球的半径为：．设球心为O．∴cos∠AOB==﹣，∴∠AOB=π﹣arccos，∴外接球球面上A、B两点间的球面距离为：（π﹣arccos）．20．（10分）已知正n棱锥的体积V为定值，试确定其侧面与底面所成的二面角的大小，使得正n棱锥的表面积取得最小值．【解答】解：设其侧面与底面所成的二面角的大小为α，以正四棱锥为例，体积V为定值，设正四棱锥的底面正方形的边长为2a，高为h，则侧面的高为h′=，棱锥的体积V=Sh=4a2h，则表面积S=4××h′×2a=4a×h′=4a=4×=4×∵≥3×=，（当且仅当时，即h=取等号）．而此时侧面与底面所成的二面角α，有，可得：故得：侧面与底面所成的二面角α=arctan（）．赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.2.如图，已知四边形ABCD 内接于⊙O ，对角线AC ⊥BD 于P ，设⊙O 的半径是2。