复旦附中2017-2018高一下期末数学卷(答案)

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2018复附高一数学期末考试卷(含解析)

。
4. 若在等比数列{an} 中， a1 a2 a9 512 ，则 a5
。
5. 方程 (3cos x 1)(cos x 3sin x) 0 的解集是
。
6.
若数列{an} 满足 a1 13 ， an1 an
n ，则 an n
的最小值为
。
7.
若数列{an} 是等差数列，则数列 bn
an1 anm m
。
精益求精，不断超越，成就学生，成就梦想
1/6
积极拼搏锐意进取，全心全意以学生学习为中心二. 选择题
选择菁英高中，成就名校梦想
13. “b 是1 3 与1 3 的等差中项”是“b 是 2 3 与 2 3 的等比中项”的（）
A. 充分不必要条件 C. 充要条件
B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
（2）设 Sn 是数列{an} 前 n 项的和，求使得不等式 S2n 20182 成立的最小正整数 n.
精益求精，不断超越，成就学生，成就梦想
3/6
积极拼搏锐意进取，全心全意以学生学习为中心
选择菁英高中，成就名校梦想
19. 王某 2017 年 12 月 31 日向银行贷款 100000 元，银行贷款年利率为 5%，若此贷款分十年
件的所有数列{an} 中， S12 的最大值为 a，最小值为 b，则 a b
。
12. 用 An 表示所有形如 2r1 2r2 2rn 的正整数集合，其中 0 r1 r2 rn n ， n N* 且
ri N (i N* ) ， bn 为集合 An 中的所有元素之和，则{bn} 的通项公式为 bn
21.（1） an2 an1 an1 an ，即 bn1 bn ， 2(a5 a4 ) a4 a2 ；

XXX2017-2018学年高一下学期期末数学试卷 Word版含解析

XXX2017-2018学年高一下学期期末数学试卷 Word版含解析2017-2018学年XXX高一（下）期末数学试卷一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1.已知sinα=1/2，并且α是第二象限的角，那么tanα的值等于（）A。

-1/2 B。

-2 C。

1/2 D。

22.某交高三年级有男生500人，女生400人，为了解该年级学生的健康情况，从男生中任意抽取25人，从女生中任意抽取20人进行调查。

这种抽样方法是（）A。

简单随机抽样法 B。

抽签法 C。

随机数表法 D。

分层抽样法3.已知变量x，y满足约束条件x+y=1，则z=x+2y的最小值为（）A。

3 B。

1 C。

-5 D。

-64.为积极倡导“学生每天锻炼一小时”的活动，某学校举办了一次以班级为单位的广播操比赛，9位评委给高三.1班打出的分数如茎叶图所示，统计员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为91，复核员在复核时，发现有一个数字（茎叶图中的x）无法看清，若记分员计算无误，则数字x应该是（）A。

2 B。

3 C。

4 D。

55.执行如图所示的程序框图，若输入n的值为6，则输出s的值为（）A。

105 B。

16 C。

15 D。

16.4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为（）A。

1/2 B。

1/4 C。

3/4 D。

1/37.为了得到函数y=sin（2x-π/2）的图象，可以将函数y=cos2x的图象（）A。

向右平移π/4个单位长度 B。

向右平移π/2个单位长度 C。

向左平移π/4个单位长度 D。

向左平移π/2个单位长度8.a11 B。

0<q<1 C。

q<0 D。

q<19.函数y=|x-2|+|x+1|的图象大致为（）A。

图略 B。

图略 C。

图略 D。

图略10.在矩形ABCD中，AB=2，AD=1，点P为矩形ABCD内一点，则使得AP/BP=CP/DP的点P的坐标为（）A。

2017-2018学年高一数学下学期期末考试试题文 (I)

2017-2018学年高一数学下学期期末考试试题文 (I)考试时间：120分钟满分：150分一、选择题（本题共12小题，每题5分）1．设全集是实数集，或，，则（）A. B. C. D.2．《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有这样一道题目：把100个面包分给5个人，使每个人所得面包量成等差数列，且较大的三份之和的等于较小的两份之和，问最小的一份为（）A. B. C. D.3．从某中学甲、乙两班各随机抽取名同学，测量他们的身高（单位：），所得数据用茎叶图表示如下，由此可估计甲、乙两班同学的身高情况，则下列结论正确的是（）A. 甲班同学身高的方差较大B. 甲班同学身高的平均值较大C. 甲班同学身高的中位数较大D. 甲班同学身高在以上的人数较多4．在如图所示的程序框图中，若输出的，则判断框内可以填入的条件是（）A. B. C. D.5．若在区间上随机取一个数，则“直线与圆相交”的概率为（）A. B. C. D.6.下面四种说法：①若直线a，b异面，b，c异面，则a，c异面；②若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交；③若a∥b，则a,b与c所成的角相等；④若a⊥b，b⊥c，则a∥c.其中正确的个数是（）A.4B.3C.2D.17．当时，若，则的值为（）A. B. C. D.8．已知平面向量，且，则在上的投影为（）A. B. C. D.9.三棱锥中,为等边三角形，，，三棱锥的外接球的体积为（）A．B．C．D．10．已知圆的半径为2，圆的一条弦的长是3，是圆上的任意一点，则的最大值为 ( )A. 9B. 10C.D.11．将函数的图象向右平移（）个单位，再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），所得图象关于直线对称，则的最小值为（）A. B. C. D.12．设等差数列的前项和为，已知，为整数，且，则数列前项和的最大值为（）A.1 B. C.D.二、填空题（本题共4小题，每题5分）13．在中， , , 分别是角，，的对边，且，则=14．若角的终边经过点，则15.已知函数f（x）=x+sinx，x（-1，1），如果f（1-m）+f（1-m2）＜0，则m的取值范围是．16．定义“等积数列”，在一个数列中，如果每一项与它的后一项的积都为同一个常数，那么这个数列叫做等积数列，这个常数叫做该数列的公积。

2017-2018学年高一数学下学期期末考试试题理 (VI)

2017-2018学年高一数学下学期期末考试试题理 (VI)说明：本卷满分150分，考试时间为2小时。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

1.设，，若，则（）A. B. C. D.2. 某中学有老教师25人，中年教师35人，青年教师45人，用分层抽样的方法抽取21人进行身体状况问卷调查，则抽到的中年教师人数为（）A. B. C. D. 3．若直线与直线垂直，则的值是（）A.或B.或C.或D.或14．已知数列是公比为的等比数列，且，，成等差数列，则公比的值为（）A. B. C. 或 D. 或5. 已知四棱锥的三视图如图所示，则四棱锥的五个面中面积的最大值是（）A. 3B. 6C. 8D. 106．设，是两条不重合的直线，，是两个不同的平面，有下列四个命题： ①若，，则；②若，，，则； (第5题) ③若，，，则；④若，，，则. 则正确的命题为（）A. ①②③B. ②③C. ③④D. ①④ 7．若，，，则的最小值为（）A. B. C. D.8．元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经四处，没了壶中酒，借问此壶中，当否i > 4?x = 2x-1i = i +1i =1输入x 开始原多少酒？”用程序框图表达如下图所示，即最终输出的，则一开始输入的的值为（）A. B. C. D.9.正方体中，为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.（第8题）10. 已知的三边长构成公差为2的等差数列，且最大角为120°，则这个三角形的周长为（）A. 15B. 18C. 21D. 2411.如图，在四棱锥中，底面为正方形，且,其中，，分别是，，的中点，动点在线段上运动时，下列四个结论：①；②；③面；④面，其中恒成立的为（）A. ①③B. ③④C. ①④D. ②③12.和点,使得，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

上海市复旦大学附属中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题【含答案】

复旦中学高一期末数学试卷一､填空题1．已知角α终边经过点(2,1)P -，则sin α=．2．已知复数z 满足i 2i z =-，则z =3．满足π2cos 214x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，[0,π]x ∈的角x 的集合为.4．已知函数()sin 22y x ϕ=+（0ϕ>）是偶函数，则ϕ的最小值是．5．已知{}n a 为无穷等比数列，23a =，14i i a +∞==-∑，则{}n a 的公比为．6．若z 是实系数方程220x x p ++=的一个虚根，且2z =，则p =．7．若数列{}n a 的通项公式为222023n a n n =-+，则n =时1i ni a =∑取到最大值.8．如图，在离地面高400m 的热气球上，观测到山顶C 处的仰角为15°，山脚A 处的俯角为45°，已知60BAC ∠=︒，求山的高度BC =m ..9．已知P 是边长为3的正方形ABCD 内（包含边界）的一点，则AP AB ⋅的最大值是.10．已知公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若{}457,,10,0a S S ∈-，则n S 的最小值为11．已知{}n a 为等差数列，{}n b 是公比为2的等比数列，且223344a b a b b a -=-=-，求集合{}1,1500k m kb a a m =+≤≤∣中元素个数.12．17世纪法国数学家费马在给朋友的一封信中曾提出一个关于三角形的有趣问题：在三角形所在平面内，求一点，使它到三角形每个顶点的距离之和最小，现已证明：在ABC 中，若三个内角均小于120︒，则当点P 满足120APB APC BPC Ð=Ð=Ð=°时，点P 到三角形三个顶点的距离之和最小，点P 被人们称为费马点．根据以上知识，已知a为平面内任意一个向量，b 和c 是平面内两个互相垂直的向量，且||2,||3b c == ，则||||||-+++-a b a b a c 的最小值是．二､选择题13．已知z 为复数，则“z z =”是“22z z =”的（）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．非充分非必要条件14．下列函数中，最小正周期为π且是偶函数的是（）A ．cos 2y x=B ．tan y x=C ．πsin 4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．sin 2y x=15．欧拉公式i e cos isin x x x =+（i 为虚数单位，x ∈R ，e 为自然底数)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，现有以下两个结论：①i e 10π+=；②2299cos isin cos isin cos isin i 101010101010ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭其中所有正确结论的编号是（）A ．①②均正确B ．①②均错误C ．①对②错D ．①错②对16．设无穷项等差数列{}n a 的公差为()0d d ≠，前n 项和为n S ，则下列四个说法中正确的个数是（）①若0d <，则数列{}n S 有最大项；②若数列{}n S 有最大项，则0d <；③若数列{}n S 是递增数列，则对任意的*n ∈N ，均有0n S >；④若对任意的*n ∈N ，均有0n S >，则数列{}n S 是递增数列.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个三､解答题17．已知复数z 满足()1i 2i,z O +=为坐标原点，复数z 在复平面内对应的向量为OZ .(1)求34i z +-；(2)若向量OZ 绕O 逆时针旋转π2得到,OZ OZ '' 对应的复数为z '，求z z ⋅'.18．设数列{}n a 的前n 项和12n n S a a =-，且123,1,a a a +成等差数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭前n 项和n T ，求使111000n T -<成立的n 的最小值．19．已知函数()sin ,f x x x =∈R .(1)求解方程:()13f x =;(2)设()()2π222g x x f x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭,求函数()g x 的单调递增区间;(3)在ABC 中,角,,A B C 所对应的边为,,a b c .若()4,f A b ABC == 的面积为求sin C 的值.20．已知数列{}n a ，若{}1n n a a ++为等比数列，则称{}n a 具有性质P.(1)若数列{}n a 具有性质P ，且1231,3a a a ===，求45,a a 的值；(2)若2(1)n nn b =+-，判断数列{}n b 是否具有性质P 并证明；(3)设212n c c c n n +++=+L ，数列{}n d 具有性质P ，其中13212321d d d c d d c =-=+=,,，试求数列{}n d 的通项公式.II 卷21．将函数()π4cos2f x x =和直线()1g x x =-的所有交点从左到右依次记为1A ，2A ，…，n A ，若(P ，则125...PA PA PA +++=.22．已知*(1,2,9)i a i ∈=⋯N ，且对任意()*28k k ∈≤≤N 都有11k k a a -=+或11k k a a +=-中有且仅有一个成立，16a =，99a =，则91a a ++ 的最小值为.23．若向量,,a b c →→→满足a b ¹，0c ≠ ，且()()0c a c b -⋅-= ，则a b a b c++-的最小值是.24．已知函数()3112f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，则122023202420242024f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值为.1．5-【详解】∵角α终边经过点(2,1)P -，∴OP =sinα=，故答案为2【分析】根据复数的乘除运算及复数的模的运算公式即可求解.【详解】因为复数z 满足i 2i z =-，所以2i12i iz -==--，所以z ==3．π17π,2424⎧⎫⎨⎬⎩⎭【分析】借助余弦函数的性质计算即可得.【详解】由π2cos 214x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则()ππ22π43x k k +=±+∈Z ，即()πππ68x k k =±-+∈Z ，又[0,π]x ∈，则0k =，有πππ6824x =-=，当1k =，有ππ17ππ6824x =--+=，故角x 的集合为π17π,2424⎧⎫⎨⎬⎩⎭.故答案为：π17π,2424⎧⎫⎨⎬⎩⎭.4．4π##14π【分析】利用三角函数的性质即可求解.【详解】因为函数()sin 22y x ϕ=+是偶函数，所以π2π,Z 2k k ϕ=+∈，解得ππ,Z 24k k ϕ=+∈，又0ϕ>，所以当0k =时，ϕ的最小值是π4.故答案为：π4ϕ=.5．12-##0.5-【分析】由题意知，||1q <，再利用无穷等比数列和的公式求解即可.【详解】因为无穷等比数列{}n a ，14i i a +∞==-∑，则||1q <，141a q=--，又213a a q q==，所以34(1)q q =--，解得12q =-或32q =（舍）.故答案为：12-.6．4【详解】设z a bi =+,则方程的另一个根为z a bi '=-,且22z ==，由韦达定理直线22,1,z z a a +==-∴=-'23,b b ∴==所以(1)(1) 4.p z z =⋅=-'-=7．1011【分析】由0n a ≥判断出变号的相邻两项即可求解.【详解】令2220230n a n n =-+≥，解得202302n ≤≤，∵n N *∈,∴前1011项为正数，从1012项开始为负数，∴当1011n =时，1i ni a =∑取到最大值，故答案为：1011.8．600m【分析】先根据已知条件求解出,AM ACM ∠的大小，然后在ACM △中利用正弦定理求解出AC ，再根据,AC BC 的关系求解出BC .【详解】因为=45,60MAD CAB ∠︒∠=︒，所以180456075MAC ∠=︒-︒-︒=︒，所以180756045MCA ∠=︒-︒-︒=︒，又因为cos 45400m MA MD ︒==，所以MA =，又因为sin 60sin 45AC AM=︒︒，所以AC =，所以sin 60600m 2BC AC =︒=，故答案为：600m .【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是将ACM △中的角和边先求解出来，然后利用正弦定理求解出AC 的值，再借助直角三角形中边的关系达到求解高度BC 的目的.9．9【分析】在正方形中建立平面直角坐标系，设(,),(03,03)P x y x y ≤≤≤≤，结合向量数量积的概念可得结果.【详解】以A 点为原点建立如图所示的平面直角坐标系，设(,),(03,03)P x y x y ≤≤≤≤，可得(0,0),(3,0)A B ，所以(,),(3,0)AP x y AB ==，故(,)(3,0)3AP AB x y x ⋅== ，当3x =时，AP AB ⋅最大，最大值为9.故答案为：9.10．12-【分析】对4a 的值进行分类讨论，结合等差数列前n 项和最值的求法求得n S 的最小值.【详解】n S 取得最小值，则公差0d >，410a =-或40a =，（1）当17474530,0,770,5102a a a d S a S a +=>=⨯====-1130,51010a d a d ⇒+=+=-，16,20,28,2804n n a d a n a n n ⇒=-=>=-=-≤⇒≤，所以n S 的最小值为4146241212S a d =+=-+=-.（2）当1747410,0,77702a a a d S a +=->=⨯==-，不合题意.综上所述：457=0,= 10,0,n a S S S -=的最小值为12-.故答案为：12-11．9【分析】设{}n a 的公差为d ，由题意223344a b a b b a -=-=-基本量化简得到1122d a b ==.1k m b a a =+，代入基本量，化简得到22k m -=，通过m 的范围进而得到k 的范围.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，2233a b a b -=- ，1111224a d b a d b ∴+-=+-，即12d b =.2244a b b a -=- ，()1111283a d b b a d ∴+-=-+，得到1125a d b +=，将12d b =代入，得到11a b =，即1122d b a ==.1k m b a a =+ ，()111121k b a m d a -∴⋅=+-+，即()11112212k b b m b -⋅=+-，10b ≠ 得到22k m -=，21500,12500k m -≤≤≤≤ ，028k ≤-≤，210k ≤≤，所以元素个数为9个.故答案为：9.12．3+【分析】读懂题意，建立直角坐标系，将向量求模问题转化为费马点问题.【详解】以b为x 轴，c 为y 轴，建立直角坐标系如下图，设(),a x y = ，则()()2,0,0,3b c == ，a c a b a b --=+ ，a c ab a b ∴-+-++即为平面内一点(),x y 到()()()0,3,2,0,2,0-三点的距离之和，由费马点知：当点(),P x y 与三顶点()()()0,3,2,0,2,0A B C -构成的三角形ABC 为费马点时a c a b a b -+-++最小，将三角形ABC 放在坐标系中如下图：现在先证明ABC 的三个内角均小于120︒：4AB BC BC ==，22211cos 0213AB AC BCBAC AB AC +-∠==> ，222cos cos 02AB BC ACABC ACB AB BC+-∠=∠==，ABC ∴ 为锐角三角形，满足产生费马点的条件，又因为ABC 是等腰三角形，点P 必定在底边BC 的对称轴上，即y 轴上，120,30BPC PCB ︒︒∠=∴∠=，tan 233PO OC PCB =∠=⨯= ，即230,3⎛ ⎝⎭P ，现在验证120BPA ︒∠=：2333BP AP ==-，2221cos 22BP AP AB BPA BP AP +-∠==- ，120BPA ︒∴∠=，同理可证得120CPA ︒∠=，即此时点0,3⎛ ⎝⎭P 是费马点，到三个顶点A ，B ，C 的距离之和为233BP CP AP ++=+=+，即a c a b a b -+-++ 的最小值为3+；故答案为：3+13．A【分析】正向可得R z ∈，则正向成立，反向利用待定系数法计算即可得0a =或0b =，则必要性不成立.【详解】若z z =，则R z ∈，则22z z =，故充分性成立；若22z z =，设i,,R z a b a b =+∈，则2222i z a ab b =+-，222i z a ab b =--，则20ab =，0a =或0,b z =∴与z 不一定相等，则必要性不成立，则“z z =”是“22z z =”的充分非必要条件，故选：A 14．A【分析】借助三角函数得周期性与对称性逐项判断即可得.【详解】对A ：2π2πT ==，又cos 2y x =是偶函数，故A 正确；对B ：tan y x =为奇函数，故B 错误；对C ：πsin 4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭周期为2π，故C 错误；对D ：sin 2y x =为奇函数，故D 错误.故选：A.15．A【分析】对①，通过欧拉公式，i e cos i sin πππ=+，算出即可；对②，先将欧拉公式逆用，将原式化简为29i i i 101010e e e πππ⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ，再通过指数运算性质化简，最后再用欧拉公式展开，最后算出即可.【详解】对①，由题意，i e 1cos i sin 11010πππ+=++=-++=，正确；对②，原式=29i i i 101010e eeπππ⋅⋅⋅⋅⋅⋅ =29999i i i 10101021010299eeecos isin 22ππππππππ⎛⎫⎛⎫+++⋅+⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭===+ =cosi sini 22ππ+=，正确.故选：A.16．C【分析】由等差数列的求和公式可得()2111+222n n n d d S na n a n +⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭,可看作关于n 的二次函数,由二次函数的性质逐个验证即可【详解】由等差数列的求和公式可得()2111+222n n n d d S na n a n +⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭,对于①,若0d <,由二次函数的性质可得数列{}n S 有最大项,故①正确；对于②,若数列{}n S 有最大项,则对应抛物线开口向下,则有0d <,故②正确；对于③,若对任意*n ∈N ,均有0n S >,对应抛物线开口向上,则有0d >,故数列{}n S 是递增数列,故③正确；对于④,若数列{}n S 是递增数列,则对应抛物线开口向上,则0d >,但无法确定0n S >恒成立,故④错误；故正确的有3个,故选:C【点睛】本题考查等差数列的求和公式的应用,考查数列的函数性质的应用17．(1)5(2)2-【分析】（1）求出对应复数，再利用模的公式求模即可.（2）利用复数的几何意义结合旋转的性质求出对应复数，再求乘积即可.【详解】（1）由()1i 2i z +=得：()()()()2i 1i 2ii 1i 1i 1i 1i 1i z -===-=+++-，34i 43i 5z ∴+-=-=.（2）又1i z =+，由复数的几何意义，得向量()1,1OZ = 绕原点O 逆时针旋转π2得到的()1,1OZ -'= ，则OZ '对应的复数为1i z '=-+，则()()1i 1i 2z z ⋅=+⋅-+=-'.18．(1)2n n a =.(2)10.【详解】试题分析：（1）借助于()12n n n a S S n -=-≥将12n n S a a =-转化为12(1)n n a a n -=>，进而得到数列为等比数列，通过首项和公比求得通项公式；（2）整理数列1n a ⎧⎫⎨⎩⎭的通项公式112n n a =，可知数列为等比数列，求得前n 项和n T ，代入不等式111000n T -<可求得n 的最小值试题解析：（1）由已知12n n S a a =-，有1122(1)n n n n n a S S a a n --=-=->，即12(1)n n a a n -=>．从而21312,4a a a a ==．又因为123,1,a a a +成等差数列，即1232(1)a a a +=+．所以11142(21)a a a +=+，解得12a =．所以，数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列．故2n n a =．（2）由（1）得112n n a =．所以2311[1()]1111122112222212n n n n T -=++++==-- ．由111000n T -<，得111121000n --<，即21000n >．因为9102512100010242=<<=，所以10n ≥．于是，使111000n T -<成立的n 的最小值为10．考点：1．数列通项公式；2．等比数列求和19．(1)1(1)arcsin ,3k x k k Z π=+-∈(2)πππ,π,Z 36k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦(3)26【分析】(1)将()f x 代入方程,用反三角函数解出即可;(2)将()f x 代入()g x 用半角公式,辅助角公式进行化简,求出单调增区间即可;(3)先求出sin A 的值,再根据面积公式求出c 的值,根据sin A 的值求出角A 的值,再用余弦定理求出a ,再根据正弦定理即可求出sin A .【详解】（1）解:由题知()13f x =,即1sin 3x =,解得12arcsin ,3x k k Z π=+∈或12arcsin ,3x k k Z ππ=+-∈;即1(1)arcsin ,3k x k k Z π=+-∈（2）由题()()2π222g x x f x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭,即()()2π22sin 2g x x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭()222cos x x=+()()2cos 21x x =++π2sin 216x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭,()g x ∴的单调递增区间为:πππ2π22π262k x k -+≤+≤+,Z k ∈,解得:ππππ36k x k -+≤≤+,Z k ∈,故()g x 的单调递增区间为πππ,πZ 36k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦;（3）由()32f A =sin A ∴=π3A ∴=或2π3A =,14,sin 2ABC b S bc A === 3c ∴=,当π3A =时,在ABC 中由余弦定理得:22221691cos 22432b c a a A bc +-+-===⋅⋅,解得a =,此时在ABC 中由正弦定理得:sin sin a c A C=,解得sin sin c A C a =当2π3A =时,在ABC 中由余弦定理得:22221691cos 22432b c a a A bc +-+-===-⋅⋅,解得a =此时在ABC 中由正弦定理得:sin sin a c A C=,解得sin sin 74c A C a ==,综上:sin C =3111sin 74C =.20．(1)45,a a 分别为5、11(2)数列{}n b 具有性质P ，证明见解析(3)()1*N ,213n n n d n -+-=∈【分析】（1）根据数列数列{}n a 具有性质P 可得{}1n n a a ++为等比数列，根据等比数列性质可求得答案；（2）依据数列新定义，结合等比数列定义即可判断结论，进而证明；（3）求出2n c n =，可得12n n n d d ++=，进而推出22n n n d d +-=，分n 为奇偶数，求出n d ，综合可得答案.【详解】（1）由题意数列{}n a 具有性质P ，{}1n n a a ++为等比数列，设公比为q ，由1231,3a a a ===，得122334424,,,28,5a a a a q a a a +=+=∴=+=∴=∴，又45516,11a a a +=∴=；（2）数列{}n b 具有性质P ；证明：因为2(1)n n n b =+-，所以()()111212132n n n n n n n b b ++++=+-++-=⋅，则112132232n n n nn n b b b b +++++⋅==+⋅，即{}1n n b b ++为等比数列，所以数列{}n b 具有性质P .（3）因为212n c c c n n +++=+L ，则12c =，2121(1)1,(2)n c c c n n n -+++=-+-≥L ，故22(1)12,(2)n c n n n n n n ++==---≥，12c =适合该式，故2n c n =，所以由13212321d d d c d d c =-=+=,,得13223124d d d d d =-=+=,,，则123122311,2,,3,4d d d d d d d ===∴+=+=，因为数列{}n d 具有性质P ，故{}1n n d d ++为等比数列，设其公比为q '，则2q '=，故111222,22,n n n n n n n n n d d d d d d +++++=++∴=∴-=，当n 为偶数时，()()()2422244222122213n n n n n n n n d d d d d d d d ------=-+-++-+=++++= ；当n 为奇数时，()()()12412243112(21)212221133n n n n n n n n n d d d d d d d d ------+=-+-++-+=+-++=++= ，故()1*N ,213n n n d n -+-=∈.【点睛】关键点睛：本题是关于数列新定义类型题目，解答的关键是要理解数列新定义，并依据该定义去解决问题.21．10【分析】根据题意作出两个函数的图象分析交点个数，利用对称性化简向量的和即可求解.【详解】如图可知：函数()π4cos2f x x =和直线()1g x x =-共有5个交点，依次为12345,,,,A A A A A ，其中()31,0A ，∵函数()π4cos 2f x x =和直线()1g x x =-均关于点()31,0A 对称，则12345,,,,A A A A A 关于点()31,0A 对称，∴632,1,2,3i i PA i PA PA -+==uuu r uuuur uuu r ，且(31,PA =uuu r ，故533125...22510PA PA PA PA PA ===+++=⨯uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r .故答案为：10.22．31【分析】根据题意分两种情况讨论求出91a a ++ 的值，即可求得91a a ++ 的最小值.【详解】解：由题设，知：1i a ≥；211a a =+或231a a =-中恰有一个成立；321a a =+或341a a =-中恰有一个成立；…871a a =+或891a a =-中恰有一个成立；则①2117a a =+=，341a a =-，561a a =-，781a a =-，则()129357252a a a a a a +++=+++ ，当3571a a a ===时，129a a a +++ 的和为最小值为：31；②231a a =-，451a a =-，671a a =-，891a a =-，则()129468262a a a a a a +++=+++ ，当4681a a a ===时，129a a a +++ 的和为最小值为：32；因此，129a a a +++ 的最小值为：31.故答案为：31.23．2【解析】设,,a OA b OB c OC →→→→→→===，由条件可知AC BC ⊥，画出图形，由向量加减法及性质可得a b a bc→→→→→++-2||2||OM CM OC →→→+=，利用两边之和不小于第三边求解.【详解】设,,a OA b OB c OC →→→→→→===,因为0c a c b →→→→⎛⎫⎛⎫-⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()()0OC OA OC OB →→→→-⋅-=,即0AC BC →→⋅=,所以AC BC ⊥,取AB 中点M ,如图，所以2||2||a b a bOA OB OA OB OM AM cOC OC →→→→→→→→→→→→→++-++-+==2||2||2||2OM CM OC OC OC →→→→→+=≥=，当且仅当,,O M C 三点共线时取等号.故答案为：2【点睛】本题主要考查了向量的加减法运算，向量加法的几何意义，考查了数形结合思想，属于难题.24．2023【分析】利用函数的对称性得到()()12f x f x +-=，然后计算即可.【详解】根据题意，函数()3112f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，则()3311111122f x x x ⎛⎫⎛⎫-=--+=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故()()12f x f x +-=，11012122024f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，122023120232202210111013202420242024202420242024202420242024f f f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=+++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 101210112120232024f ⎛⎫=⨯+= ⎪⎝⎭故答案为：2023.。

上海市复旦大学附属中学2018_2019学年高一数学下学期期末考试试题(含解析)

是符合题目要求的.
13.对于函数 f(x)=2sinxcosx，下列选项中正确的是( )
A. f(x)在（，）上是递增的
42 C. f(x)的最小正周期为 2
【答案】B
B. f(x)的图象关于原点对称 D. f(x)的最大值为 2
【解析】
【详解】解:
,是周期为的奇函数,
对于 A,
在
上是递减的,错误;
【解析】
【分析】
先将 x 的表示形式求解出来，然后根据范围求出 x 的可取值.
【详解】因为 cos(x ) 1 ，所以 x 2k , k Z ，又因为 x [0, ] ，所以 k 0 ，
32
33
此时
x
0或
2 3
，则可得集合：{0, 2 } . 3
【点睛】本题考查根据三角函数值求解给定区间中变量的值，难度较易.
考点：函数
的对称性、周期性，属于中档题.
11.由正整数组成的数列an ，bn 分别为递增的等差数列、等比数列， a1 b1 1 ，记
cn an bn ，若存在正整数 k （ k 2 ）满足 ck1 100 ， ck1 1000 ，则 ck __________．
【答案】262
【解析】
上海市复旦大学附属中学 2018-2019 学年高一数学下学期期末考试试
题（含解析）
一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分，将答案填在答题纸上）
1.计算 lim 2n 3 __________． n 3n 1 2
【答案】
3
【解析】
【分析】
采用分离常数法对所给极限式变形，可得到极限值.
解得 d
k 0 不符，当
q
3 9 时，解得 d

2017-2018学年高一数学下学期期末考试试题理 (IV)

2017-2018学年高一数学下学期期末考试试题理 (IV)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在△ABC 中，B = 60那么角A 等于： ··················· ( )A .135B .90C .45D .302. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b 2＋c 2－a 2＝3bc 且b ＝3a ，则△ABC 不可能．．．是( ) A ．等腰三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形D ．锐角三角形3. 如果命题“p 且q ”与命题“p 或q ”都是假命题，那么（）（A ）命题“非p ”与命题“非q ”的真值不同（B ）命题“非p ” 与命题“非q ”中至少有一个是假命题（C ）命题p 与命题“非q ”的真值相同（D ）命题“非p 且非q ”是真命题 4. ．已知命题，，则（） A ．， B ．， C ．，D ．，5. 已知, 且, 则 ( )A. 6B. -6C. 4D.-46.设0＜b ＜a ＜1,则下列不等式成立的是： ·················· ( ) A . ab ＜b 2＜1B .C . a 2＜ab ＜1D .7. 已知满足：=3，=2，=4，则=( )A ．B ．C ．3D 8. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是( )A ．2＋ 5B ．4＋ 5C ．2＋2 5D ．59. 已知数列{a n }为等差数列，其前n 项和为S n ，若a 3＝6，S 3＝12，则公差d 等于( ) A ．1 B.53 C ．2 D ．310. 在各项均为正数的等比数列中，若，则……等于（） A.5B. 6C. 7D.811. 的( )条件A.充分不必要B.必要不充分C.充分且必要D.既不充分也不必要 12.若x , y 是正数，且，则xy 有（）Ａ．最大值16 Ｂ．最小值Ｃ．最小值16 Ｄ．最大值第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上. 13. 不等式的解为。

2017-2018学年高一下学期期末考试数学试题 (4)

第Ⅰ卷（共60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把你认为正确的选项序号填入相应题号的表格内）1.1.设，，，且，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】当时，选项A错误；当时，选项B错误；当时，选项C错误；∵函数在上单调递增，∴当时，．本题选择D选项.点睛：判断不等式是否成立，主要利用不等式的性质和特殊值验证两种方法，特别是对于有一定条件限制的选择题，用特殊值验证的方法更简便．2. 如下图为一串白黑相间排列的珠子，按这种规律往下排起来，那么第36颗珠子应是什么颜色的（）A. 白色B. 黑色C. 白色可能性大D. 黑色可能性大【答案】A【解析】由图可知，珠子出现的规律是3白2黑、3白2黑依次进行下去的特点，据此可知白、黑珠子的出现以5为周期，又……1，故第36颗珠子应该是白色的，故选A．3.3.奥林匹克会旗中央有5个互相套连的圆环，颜色自左至右，上方依次为蓝、黑、红，下方依次为黄、绿，象征着五大洲．在手工课上，老师将这5个环分发给甲、乙、丙、丁、戊五位同学制作，每人分得1个，则事件“甲分得红色”与“乙分得红色”是( )A. 对立事件B. 不可能事件C. 互斥但不对立事件D. 不是互斥事件【答案】C【解析】甲、乙不能同时得到红色，因而这两个事件是互斥事件；又甲、乙可能都得不到红色，即“甲或乙分得红色”的事件不是必然事件，故这两个事件不是对立事件．选C.4.4.在中，，，，则解的情况（）A. 无解B. 有唯一解C. 有两解D. 不能确定【答案】B【解析】【分析】根据正弦定理，结合题中数据解出，再由，得出，从而，由此可得满足条件的有且只有一个.【详解】中，，根据正弦定理，得，，得，由，得，从而得到，因此，满足条件的有且只有一个，故选B.【点睛】本题主要考查正弦定理在解三角形中的应用，属于中档题.正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下三种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.5.5.一组数据的茎叶图如图所示，则数据落在区间内的概率为A. 0.2B. 0.4C. 0.5D. 0.6【答案】D【解析】【分析】根据茎叶图个原始数据落在区间内的个数，由古典概型的概率公式可得结论.【详解】由茎叶图个原始数据，数出落在区间内的共有6个，包括2个个个，2个30，所以数据落在区间内的概率为，故选D.【点睛】本题主要考查古典概型概率公式的应用，属于简单题. 在解古典概型概率题时，首先求出样本空间中基本事件的总数，其次求出概率事件中含有多少个基本事件，然后根据公式求得概率.6.6.设，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用“作差法”，只需证明即可得结果.【详解】，，，，恒成立，，即，故选C.【点睛】本题主要考查“作差法”比较两个数的大小，属于简单题. 比较两个数的大小主要有三种方法：（1）作差法；（2）作商法；（3）函数单调性法；（4）基本不等式法.7.7.已知，，是一个等比数列的前三项，则的值为（）A. -4或-1B. -4C. -1D. 4或1【答案】B【解析】【分析】由是一个等比数列的连续三项，利用等比中项的性质列方程即可求出的值. 【详解】是一个等比数列的连续三项，，整理，得，解得或，当时，分别为，构不成一个等比数列，，当时，分别为，能构成一个等比数列，，故选B.【点睛】本题主要考查等比数列的定义、等比中项的应用，意在考查对基础知识掌握的熟练程度以及函数与方程思想的应用，属于简单题.8.8.某班有49位同学玩“数字接龙”游戏，具体规则按如图所示的程序框图执行(其中为座位号)，并以输出的值作为下一轮输入的值.若第一次输入的值为8，则第三次输出的值为（）A. 8B. 15C. 20D. 36【答案】A【解析】【分析】由已知的程序框图，可知该程序的功能是利用条件结构，计算并输出变量的值，模拟程序的运行过程，可得结论.【详解】输入后，满足进条件，则输出；输入，满足条件，则输出；输入，不满足条件，,输出，故第三次输出的值为，故选A.【点睛】本题主要考查程序框图应用，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.9.9.用系统抽样法从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生从1-160编号.按编号顺序平均分成20组(1～8号，9～16号，…，153～160号)，若第15组中抽出的号码为118，则第一组中按此抽签方法确定的号码是（）A. 7B. 6C. 5D. 4【答案】B【解析】【分析】设第一组抽出的号码为，则第组抽出的号码应为，由第15组中抽出的号码为118，列方程可得结果.【详解】因为从160名学生中抽取容量为20的样本所以系统抽样的组数为，间隔为，设第一组抽出的号码为，则由系统抽样的法则，可知第组抽出的号码应为，第组应抽出号码为，得，故选B.【点睛】本题主要考查系统抽样的方法，属于简单题. 系统抽样适合抽取样本较多且个体之间没有明显差异的总体，系统抽样最主要的特征是，所抽取的样本相邻编号等距离，可以利用等差数列的性质解答.10.10.具有线性相关关系的变量，满足一组数据如表所示，若与的回归直线方程为，则的值是（）A. 4B.C. 5D. 6【答案】A【解析】由表中数据得：，根据最小二乘法，将代入回归方程，得，故选A.11.11.若关于、的不等式组表示的平面区域是一个三角形，则的取值范围是( )A. B. C. D. 或【答案】C【解析】分析：先画出不等式组表示的平面区域，再根据条件确定的取值范围．详解：画出不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示．由解得，∴点A的坐标为（2,7）．结合图形可得，若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则实数需满足．故选C．点睛：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域点集的交集，由不等式组表示的平面图形的形状求参数的取值范围时，可先画出不含参数的不等式组表示的平面区域，再根据题意及原不等式组表示的区域的形状确定参数的取值范围．12.12.公比不为1的等比数列的前项和为，且，，成等差数列，若，则（）A. -5B. 0C. 5D. 7【答案】A【解析】【分析】设公比为，运用等差数列中项的性质和等比数列的通项公式，解方程可得公比，再由等比数列的求和公式即可得结果.【详解】设的公比为，由成等差数列，可得，若，可得，解得舍去），则，故选A.【点睛】本题主要考查等比数列的通项公式、等比数列的求和公式以及等差中项的应用，意在考查综合运用所学知识解决问题的能力，属于中档题.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填写在题中的横线上）13.13.二次函数的部分对应值如下表：则不等式的解集为；【答案】【解析】试题分析：两个根为2，－3，由函数值变化可知a>0∴ax2+bx+c>0的解集是(－∞，－2)∪（3，＋∞）。

2017-2018学年高一数学下学期期末模拟试卷及答案(三)

2017-2018学年高一数学下学期期末模拟试卷及答案（三）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．数据5，7，7，8，10，11的标准差是（）A．8 B．4 C．2 D．1A．29 B．30 C．31 D．323．若a、b、c∈R，a＞b，则下列不等式成立的是（）A．B．a2＞b2C．D．a|c|＞b|c|4．在如图所示的“茎叶图”表示的数据中，众数和中位数分别是（）A．23与26 B．31与26 C．24与30 D．26与305．函数f（x）=x2﹣x﹣2，x∈[﹣5，5]，在定义域内任取一点x0，使f（x0）≤0的概率是（）A．B．C．D．6．200辆汽车通过某一段公路时，时速的频率分布直方图如图所示，则时速在[50，70）的汽车大约有（）A．60辆B．80辆C．70辆D．140辆7．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足﹣=1，则数列{a n}的公差是（）A．B．1 C．2 D．38．同时掷3枚硬币，至少有1枚正面向上的概率是（）A．B．C．D．9．已知a1，4，a2，1成等差数列，b1，4，b2，1，b3成等比数列，则b2（a2﹣a1）=（）A．±6 B．﹣6 C．3 D．±310．如图给出的是计算的值的一个流程图，其中判断框内应填入的条件是（）A．i≤21 B．i≤11 C．i≥21 D．i≥1111．正数x、y满足，若x+2y＞m2+2m恒成立，则实数m的取值范围是（）A．m≤﹣2或m≥4 B．m≤﹣4或m≥2 C．﹣2＜m＜4 D．﹣4＜m＜212．△ABC中，∠B=60°，b=2，则△ABC周长的最大值为（）A．2 B．2C．3D．6二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在横线上. 13．某校高中生共有900人，其中高一年级300人，高二年级200人，高三年级400人，现采用分层抽样法抽取一个容量为45的样本，那么从高一、高二、高三各年级抽取人数分别为．14．从一批产品中取出三件，设A=“三件产品全不是次品”，B=“三件产品全是次品”，C=“三件产品不全是次品”，则下列结论中正确的是；（1）A与C互斥（2）B与C互斥（3）任两个均互斥（4）任两个均不互斥．15．若不等式ax2+5x﹣2＞0的解集是，则不等式ax2﹣5x+（a2﹣1）＞0的解集是．16．对于数列{a n}，定义数列{a n﹣a n}为数列{a n}的“差数列”，若a1=1，{a n}的“差+1数列”的通项公式为3n，则数列{a n}的通项公式a n=．三、解答题：本大题共6小题，共70分，请写出各题的解答过程或演算步骤. 17．一个包装箱内有6件产品，其中4件正品，2件次品，随机抽出两件产品（1）求恰好有一件次品的概率（2）求都是正品的概率．（2）用最小二乘法计算利润额y对销售额x的回归直线方程；（3）当销售额为8（千万元）时，估计利润额的大小．（附：b=）19．已知单调递增的等比数列{a n}满足：a2+a3+a4=28，且a3+2是a2，a4的等差中项．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=a n log a n，求数列{b n}的前n项和S n．20．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sinB（tanA+tanC）=tanAtanC．（Ⅰ）求证：a，b，c成等比数列；（Ⅱ）若a=1，c=2，求△ABC的面积S．21．如图，正方形OABC的边长为2．（1）在其四边或内部取点P（x，y），且x，y∈Z，求事件“|OP|＞1”的概率；（2）在其内部取点P（x，y），且x，y∈R，求事件“△POA，△PAB，△PBC，△PCO的面积均大于”的概率是．22．设数列{a n}的前n项和为S n，其中a n≠0，a1为常数，且﹣2a1，S n，2a n成+1等差数列．（1）当a1=2时，求{a n}的通项公式；（2）当a1=2时，设b n=log2（a n2）﹣1，若对于n∈N*， +++…+＜k恒成立，求实数k的取值范围；（3）设c n=S n+1，问：是否存在a1，使数列{c n}为等比数列？若存在，求出a1的值，若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．数据5，7，7，8，10，11的标准差是（）A．8 B．4 C．2 D．1【考点】极差、方差与标准差．【专题】计算题．【分析】先算出平均数，再根据方差公式计算方差，求出其算术平方根即为标准差．【解答】解：这组数据的平均数=（5+7+7+8+10+11）÷6=8，方差= [（5﹣8）2+（7﹣8）2+（7﹣8）2+（8﹣8）2+（10﹣8）2+（11﹣8）2]=4，标准差=2．故选C．【点评】本题考查了标准差的求法，计算标准差需要先算出方差，计算方差的步骤是：（1）计算数据的平均数；（2）再根据公式求出数据的方差．标准差即方差的算术平方根，注意标差和方差一样都是非负数．A．29 B．30 C．31 D．32【考点】归纳推理．【专题】综合题；方程思想；综合法；推理和证明．【分析】由表格可知，年份构成首项为1896、公差为4的等差数列，根据等差数列的通项公式求出n的值．【解答】解：由表格可知，年份构成首项为1896、公差为4的等差数列，则2016=1896+4（n﹣1），解得n=31，所以n的值是31，故选：C．【点评】本题考查归纳推理，以及等差数列的通项公式的应用，属于基础题．3．若a、b、c∈R，a＞b，则下列不等式成立的是（）A．B．a2＞b2C．D．a|c|＞b|c|【考点】不等关系与不等式．【专题】计算题．【分析】本选择题利用取特殊值法解决，即取符合条件的特殊的a，b的值，可一一验证A，B，D不成立，而由不等式的基本性质知C成立，从而解决问题．【解答】解：对于A，取a=1，b=﹣1，即知不成立，故错；对于B，取a=1，b=﹣1，即知不成立，故错；对于D，取c=0，即知不成立，故错；对于C，由于c2+1＞0，由不等式基本性质即知成立，故对；故选C．【点评】本小题主要考查不等关系与不等式、不等关系与不等式的应用、不等式的基本性质等基础知识，属于基础题．4．在如图所示的“茎叶图”表示的数据中，众数和中位数分别是（）A．23与26 B．31与26 C．24与30 D．26与30【考点】众数、中位数、平均数；茎叶图．【专题】图表型．【分析】由茎叶图写出所有的数据从小到大排起，找出出现次数最多的数即为众数；找出中间的数即为中位数．【解答】解：由茎叶图得到所有的数据从小到大排为：12，14，20，23，25，26，30，31，31，41，42∴众数和中位数分别为31，26故选B【点评】解决茎叶图问题，关键是将图中的数列出；求数据的中位数时，中间若是两个数时，要求其平均数．5．函数f（x）=x2﹣x﹣2，x∈[﹣5，5]，在定义域内任取一点x0，使f（x0）≤0的概率是（）A．B．C．D．【考点】几何概型；一元二次不等式的解法．【专题】计算题．【分析】先解不等式f（x0）≤0，得能使事件f（x0）≤0发生的x0的取值长度为3，再由x0总的可能取值，长度为定义域长度10，得事件f（x0）≤0发生的概率是0.3【解答】解：∵f（x）≤0⇔x2﹣x﹣2≤0⇔﹣1≤x≤2，∴f（x0）≤0⇔﹣1≤x0≤2，即x0∈[﹣1，2]，∵在定义域内任取一点x0，∴x0∈[﹣5，5]，∴使f（x0）≤0的概率P==【点评】本题考查了几何概型的意义和求法，将此类概率转化为长度、面积、体积等之比，是解决问题的关键6．200辆汽车通过某一段公路时，时速的频率分布直方图如图所示，则时速在[50，70）的汽车大约有（）A．60辆B．80辆C．70辆D．140辆【考点】频率分布直方图．【专题】计算题．【分析】根据已知中的频率分布直方图，我们可以计算出时速在[50，70）的数据对应的矩形高之和，进而得到时速在[50，70）的数据的频率，结合样本容量为200，即可得到时速在[50，70）的数据的频数，即时速在[50，70）的汽车的辆数．【解答】解：由于时速在[50，70）的数据对应的矩形高之和为0.03+0.04=0.07 由于数据的组距为10故时速在[50，70）的数据的频率为：0.07×10=0.7故时速在[50，70）的数据的频数为：0.7×200=140故选D【点评】本题考查的知识点是频率分布直方图，其中频率=矩形高×组距=是解答此类问题的关键．7．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足﹣=1，则数列{a n}的公差是（）A．B．1 C．2 D．3【考点】等差数列的性质．【专题】计算题．【分析】先用等差数列的求和公式表示出S3和S2，进而根据﹣=，求得d．【解答】解：S3=a1+a2+a3=3a1+3d，S2=a1+a2=2a1+d，∴﹣==1∴d=2【点评】本题主要考查了等差数列的性质．属基础题．8．同时掷3枚硬币，至少有1枚正面向上的概率是（）A．B．C．D．【考点】等可能事件的概率；互斥事件与对立事件．【专题】计算题．【分析】本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是将一枚硬币连续抛掷三次，共有23=8种结果，满足条件的事件的对立事件是三枚硬币都是正面，有1种结果，根据对立事件的概率公式得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是将一枚硬币连续抛掷三次共有23=8种结果，满足条件的事件的对立事件是三枚硬币都是正面，有1种结果，∴至少一次正面向上的概率是1﹣=，故选A．【点评】本题考查等可能事件的概率，本题解题的关键是对于比较复杂的事件求概率时，可以先求对立事件的概率，这样使得运算简单．9．已知a1，4，a2，1成等差数列，b1，4，b2，1，b3成等比数列，则b2（a2﹣a1）=（）A．±6 B．﹣6 C．3 D．±3【考点】等差数列与等比数列的综合．【专题】计算题；等差数列与等比数列．【分析】先由已知条件和等差数列以及等比数列的性质求得a2﹣a1=1﹣4=﹣3，b2=±2，再求b2（a2﹣a1）．【解答】解：由题得，∵a1，4，a2，1成等差数列，∴a2﹣a1=1﹣4=﹣3，∵b1，4，b2，1，b3成等比数列，∴b22=4∴b2=±2，∴b2（a2﹣a1）=±6．故选：A．【点评】本题是对等差数列以及等比数列性质的综合考查．在做关于等差数列以及等比数列的题目时，其常用性质一定要熟练掌握．10．如图给出的是计算的值的一个流程图，其中判断框内应填入的条件是（）A．i≤21 B．i≤11 C．i≥21 D．i≥11【考点】循环结构．【专题】图表型．【分析】由本程序的功能是计算的值，由S=S+，故我们知道最后一次进行循环时的条件为i=10，当i≥11应退出循环输出S的值，由此不难得到判断框中的条件．【解答】解：∵S=并由流程图中S=S+故循环的初值为1终值为10、步长为1故经过10次循环才能算出S=的值，故i≤10，应不满足条件，继续循环∴当i≥11，应满足条件，退出循环填入“i≥11”．故选D．【点评】本题考查解决程序框图中的循环结构时，常采用写出前几次循环的结果，从中找出规律．11．正数x、y满足，若x+2y＞m2+2m恒成立，则实数m的取值范围是（）A．m≤﹣2或m≥4 B．m≤﹣4或m≥2 C．﹣2＜m＜4 D．﹣4＜m＜2 【考点】基本不等式；函数恒成立问题．【专题】不等式的解法及应用．【分析】利用基本不等式的性质可得x+2y的最小值，由x+2y＞m2+2m恒成立⇔m2+2m＜（x+2y）min．【解答】解：∵正数x、y满足，∴x+2y=（x+2y）=4+=8，当且仅当，即x=2y=4时取等号．∵x+2y＞m2+2m恒成立，∴m2+2m＜8，解得﹣4＜m＜2．故实数m的取值范围是﹣4＜m＜2．故选D．【点评】熟练掌握基本不等式的性质和正确转化恒成立问题是解题的关键．12．△ABC中，∠B=60°，b=2，则△ABC周长的最大值为（）A．2 B．2C．3D．6【考点】正弦定理．【专题】计算题；转化思想；综合法；解三角形．【分析】由已知可得A+C=120°，结合正弦定理可表示a，c，利用三角函数恒等变换的应用可得△ABC周长l=2+4sin（A+30°），结合A的范围，利用正弦函数的性质可求△ABC周长的最大值．【解答】解：△ABC中，∵B=60°，b=2，∴A+C=120°由正弦定理可得a===4sinA，c===4sinC，则△ABC周长l=a+b+c=4sinA+4sinC+2=2+4sinA+4sin=2+4（sinA+cosA）=2+4sin（A+30°），∵0＜A＜120°，∴30°＜A+30°＜150°，∴＜sin（A+30°）≤1，可得：2+4sin（A+30°）∈（4，6]，∴l的最大值为6．故选：D．【点评】本题主要考查了正弦定理在求解三角形中的应用，而辅助角公式及正弦函数的性质的灵活应用是求解问题的关键，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在横线上. 13．某校高中生共有900人，其中高一年级300人，高二年级200人，高三年级400人，现采用分层抽样法抽取一个容量为45的样本，那么从高一、高二、高三各年级抽取人数分别为15，10，20．【考点】分层抽样方法．【专题】概率与统计．【分析】根据分层抽样的定义求出在各层中的抽样比，即样本容量比上总体容量，按此比例求出在各年级中抽取的人数．【解答】解：根据题意得，用分层抽样在各层中的抽样比为=，则在高一年级抽取的人数是300×=15人，高二年级抽取的人数是200×=10人，高三年级抽取的人数是400×=20人，故答案为：15，10，20．【点评】本题的考点是分层抽样方法，根据样本结构和总体结构保持一致，求出抽样比，再求出在各层中抽取的个体数目．14．从一批产品中取出三件，设A=“三件产品全不是次品”，B=“三件产品全是次品”，C=“三件产品不全是次品”，则下列结论中正确的是（2）；（1）A与C互斥（2）B与C互斥（3）任两个均互斥（4）任两个均不互斥．【考点】互斥事件与对立事件．【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计．【分析】利用互斥事件、对立事件的定义直接求解．【解答】解：∵从一批产品中取出三件，设A=“三件产品全不是次品”，B=“三件产品全是次品”，C=“三件产品不全是次品”，∴事件A与事件C能同时发生，A与C不是互斥事件，∴（1）错误；（2）事件B与事件C不能同时发生，但能同时不发生，∴B与C是互斥事件，故（2）正确；（3）由A与C不是互斥事件，故（3）错误；（4）由B与C是互斥事件，知（4）错误．故答案为：（2）．【点评】本考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意互斥事件的概念的合理运用．15．若不等式ax2+5x﹣2＞0的解集是，则不等式ax2﹣5x+（a2﹣1）＞0的解集是．【考点】一元二次不等式的应用．【分析】先由二次不等式的解集形式，判断出，2是方程ax2+5x﹣2=0的两个根，利用韦达定理求出a的值，再代入不等式ax2﹣5x+a2﹣1＞0易解出其解集．【解答】解：∵ax2+5x﹣2＞0的解集是，∴a＜0，且，2是方程ax2+5x﹣2=0的两根韦达定理×2=，解得a=﹣2；则不等式ax2﹣5x+a2﹣1＞0即为﹣2x2﹣5x+3＞0，解得故不等式ax2﹣5x+a2﹣1＞0的解集．故答案为：【点评】本题考查的知识点是一元二次不等式的解法，及“三个二次”（三个二次指的是：二次函数，一元二次不等式，一元二次方程）之间的关系，“三个二次”之间的关系及应用是数形结合思想的典型代表．16．对于数列{a n}，定义数列{a n+1﹣a n}为数列{a n}的“差数列”，若a1=1，{a n}的“差数列”的通项公式为3n，则数列{a n}的通项公式a n=．【考点】数列的函数特性；数列的概念及简单表示法．【专题】计算题；等差数列与等比数列．【分析】依题意，a1=1，a n+1﹣a n=3n，利用累加法与等比数列的求和公式即可求得答案．【解答】解：∵a1=1，a n+1﹣a n=3n，∴a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1=3n﹣1+3n﹣2+…+31+1==．故答案为：．【点评】本题考查数列的求和，着重考查累加法与等比数列的求和公式，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，共70分，请写出各题的解答过程或演算步骤. 17．一个包装箱内有6件产品，其中4件正品，2件次品，随机抽出两件产品（1）求恰好有一件次品的概率（2）求都是正品的概率．【考点】古典概型及其概率计算公式．【专题】概率与统计．【分析】（1）所有的取法共有种，而恰好有一件次品的取法有2×4种，由此求得恰好有一件次品的概率．（2）所有的取法共有种，而取出的2件产品都是正品的取法有种，由此求得取出的2件产品都是正品的概率．【解答】解：（1）所有的取法共有=15种，而恰好有一件次品的取法有2×4=8种，故恰好有一件次品的概率为．（2）所有的取法共有=15种，而取出的2件产品都是正品的取法有=6种，故取出的2件产品都是正品的概率为．【点评】本题考查古典概型及其概率计算公式的应用，属于基础题．（2）用最小二乘法计算利润额y对销售额x的回归直线方程；（3）当销售额为8（千万元）时，估计利润额的大小．（附：b=）【考点】线性回归方程．【专题】函数思想；综合法；概率与统计．【分析】（1）画出散点图，两个变量具有线性相关关系；（2）由求出所给的这组数据的样本中心点，利用最小二乘法做出线性回归方程的系数，把所求的这些结果代入公式求出线性回归方程的系数，进而求出a的值，写出线性回归方程；（3）由利润额y对销售额x的回归直线方程，能求出当销售额为8（千万元）时的利润额．【解答】解：（1）画出散点图：∴两个变量具有线性相关关系．﹣﹣﹣﹣﹣（2）设线性回归方程为=x+，由=（3+5+6+7+9）=6，=（2+3+3+4+5）=3.4，∴===0.5，=﹣•=0.4，∴y对x的线性回归方程为y=0.5x+0.4﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3）当销售额为8（千万元）时，利润额约为y=0.5×8+0.4=4.4（百万元）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣【点评】本题考查散点图的作法和相关关系的判断，考查回归直线方程的求法和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意最小二乘法的合理运用，属于中档题．19．已知单调递增的等比数列{a n}满足：a2+a3+a4=28，且a3+2是a2，a4的等差中项．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=a n log a n，求数列{b n}的前n项和S n．【考点】等差数列与等比数列的综合；数列的求和．【专题】计算题．【分析】（I）根据a3+2是a2，a4的等差中项和a2+a3+a4=28，求出a3、a2+a4的值，进而得出首项和a1，即可求得通项公式；（II）先求出数列{b n}的通项公式，然后求出﹣S n﹣（﹣2S n），即可求得的前n 项和S n．【解答】解：（I）设等比数列{a n}的首项为a1，公比为q∵a3+2是a2，a4的等差中项∴2（a3+2）=a2+a4代入a2+a3+a4=28，得a3=8∴a2+a4=20∴∴或∵数列{a n}单调递增∴a n=2n（II）∵a n=2n∴b n==﹣n•2n∴﹣s n=1×2+2×22+…+n×2n①∴﹣2s n=1×22+2×23+…+（n﹣1）×2n+n2n+1②∴①﹣②得，s n=2+22+23+…+2n﹣n•2n+1=2n+1﹣n•2n+1﹣2【点评】本题考查了等比数列的通项公式以及数列的前n项和，对于等差数列与等比数列乘积形式的数列，求前n项和一般采取错位相减的办法．20．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sinB（tanA+tanC）=tanAtanC．（Ⅰ）求证：a，b，c成等比数列；（Ⅱ）若a=1，c=2，求△ABC的面积S．【考点】等比数列的性质；三角函数中的恒等变换应用；解三角形．【专题】三角函数的求值；解三角形．【分析】（I）由已知，利用三角函数的切化弦的原则可得，sinB（sinAcosC+sinCcosA）=sinAsinC，利用两角和的正弦公式及三角形的内角和公式代入可得sin2B=sinAsinC，由正弦定理可证（II）由已知结合余弦定理可求cosB，利用同角平方关系可求sinB，代入三角形的面积公式S=可求．【解答】（I）证明：∵sinB（tanA+tanC）=tanAtanC∴sinB（）=∴sinB•=∴sinB（sinAcosC+sinCcosA）=sinAsinc∴sinBsin（A+C）=sinAsinC，∵A+B+C=π∴sin（A+C）=sinB即sin2B=sinAsinC，由正弦定理可得：b2=ac，所以a，b，c成等比数列．（II）若a=1，c=2，则b2=ac=2，∴，∵0＜B＜π∴sinB=∴△ABC的面积．【点评】本题主要考查了三角形的切化弦及两角和的正弦公式、三角形的内角和定理的应用及余弦定理和三角形的面积公式的综合应用．21．如图，正方形OABC的边长为2．（1）在其四边或内部取点P（x，y），且x，y∈Z，求事件“|OP|＞1”的概率；（2）在其内部取点P（x，y），且x，y∈R，求事件“△POA，△PAB，△PBC，△PCO的面积均大于”的概率是．【考点】几何概型；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【专题】概率与统计．【分析】（1）分析出正方形的四边和内部取点P（x，y），且x，y∈Z的全部基本事件个数，及满足“|OP|＞1”的基本事件个数，代入古典概型公式可得事件“|OP|＞1”的概率；（2）求出满足条件的所有基本事件对应的平面区域Ω的面积，及满足条件“△POA，△PAB，△PBC，△PCO的面积均大于的平面区域面积，代入几何概型公式，可得事件“△POA，△PAB，△PBC，△PCO的面积均大于”的概率【解答】解：（1）在正方形的四边和内部取点P（x，y），且x，y∈Z，所有可能的事件是（0，0），（0，1），（0，2），（1，0），（1，1），（1，2），（2，0），（2，1），（2，2），其中满足|OP|＞1的事件是（0，2），（1，1），（1，2），（2，0），（2，1），（2，2），所以满足|OP|＞1的概率为．（2）在正方形内部取点，其总的事件包含的区域面积为4，由于各边长为2，所以要使△POA，△PAB，△PBC，△PCO的面积均大于，应该三角形的高大于，所以这个区域为每个边长从两端各去掉后剩余的正方形，其面积为×=，所以满足条件的概率为．【点评】本题考查的知识点是几何概型，及古典概型，其中求出所有基本事件个数（对应区域面积）和满足条件的基本事件个数（对应区域面积）是解答的关键．22．设数列{a n}的前n项和为S n，其中a n≠0，a1为常数，且﹣2a1，S n，2a n+1成等差数列．（1）当a1=2时，求{a n}的通项公式；（2）当a1=2时，设b n=log2（a n2）﹣1，若对于n∈N*， +++…+＜k恒成立，求实数k的取值范围；（3）设c n=S n+1，问：是否存在a1，使数列{c n}为等比数列？若存在，求出a1的值，若不存在，请说明理由．【考点】等差数列与等比数列的综合；数列的求和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（1）由已知中﹣2a1，S n，2a n+1成等差数列，可得S n=a n+1﹣a1，进而可得a n+1=2a n，结合a1=2时，可得{a n}的通项公式；（2）由（1）结合对数的运算性质，可得数列{b n}的通项公式，进而利用拆项法可求出+++…+的表达式，进而可得实数k的取值范围；（3）由c n=a1×2n﹣a1+1，结合等比数列的定义，可得当且仅当﹣a1+1=0时，数列{c n}为等比数列．【解答】解：（1）∵﹣2a1，S n，2a n+1成等差数列∴2S n=﹣2a1+2a n+1，∴S n=a n+1﹣a1，…①当n≥2时，S n﹣1=a n﹣a1，…②两式相减得：a n=a n+1﹣a n，即a n+1=2a n，﹣﹣﹣﹣﹣﹣当n=1时，S1=a2﹣a1，即a2=2a1，适合a n+1=2a n，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣所以数列{a n}是以a1=2为首项，以2为公比的等比数列，所以a n=2n﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）由（1）得a n=2n，所以b n=log2（a n2）﹣1=2n﹣1∴+++…+=+++…+=[（1﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）]=（1﹣）∵n∈N*，∴（1﹣）＜若对于n∈N*， +++…+＜k恒成立，∴k≥﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3）由（1）得数列{a n}是以a1为首项，以2为公比的等比数列所以c n=S n+1==a1×2n﹣a1+1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣要使{c n}为等比数列，当且仅当﹣a1+1=0即a1=1所以存在a1=1，使{c n}为等比数列﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣【点评】本题考查的知识点是等差数列与等比数列的通项公式，数列求和，恒成立问题，是数列的综合应用，难度较大，属于难题．。

2018-2019学年上海市复旦附中高一(下)期末数学试卷

2018-2019学年上海市复旦附中高一（下）期末数学试卷试题数：21.满分：1501.（填空题.4分）计算limn→∞2n−33n+1=___ ．2.（填空题.4分）2与8的等比中项是___ ．3.（填空题.4分）函数y=arctanx.x∈（0.1）的反函数为___ ．4.（填空题.4分）在等差数列{a n}中.a1=2.a3+a5=10.则a7=___ ．5.（填空题.4分）用列举法表示集合{x|cos（x- π3）= 12，x∈[0，π] }=___ ．6.（填空题.4分）在△ABC中.角A.B.C所对的边分别为a.b.c.若面积S= a2+b2−c22.则角C=___ ．7.（填空题.5分）已知无穷等比数列{a n}的各项的和为1.则a2的取值范围为___ ．8.（填空题.5分）已知函数f（x）=2sin（x4+π6）.若对任意x∈R都有f（x1）≤f（x）≤f（x2）（x1.x2∈R）成立.则|x1-x2|的最小值为___ ．9.（填空题.5分）若a.b是函数f（x）=x2-px+q（p＞0.q＞0）的两个不同的零点.且a.b.-2这三个数可适当排序后成等差数列.也可适当排序后成等比数列.则p+q的值等于___ ．10.（填空题.5分）设函数f（x）=Asin（ωx+φ）.A＞0.ω＞0.若f（x）在区间[ π6 . π2]上具有单调性.且f（π2）=f（2π3）=-f（π6）.则f（x）的最小正周期为___ ．11.（填空题.5分）由正整数组成的数列{a n}、{b n}中分别为递增的等差数列、等比数列．a1=b1=1.记c n=a n+b n.若存在正整数k（k≥2）满足c k-1=100.c k+1=1000.则c k=___ ．12.（填空题.5分）已知无穷等比数列{a n}满足：对任意的n∈N*.sina n=1.则数列{a n}公比q的取值集合为___ ．13.（单选题.5分）对于函数f（x）=2sinxcosx.下列选项中正确的是（）A.f（x）在（π4 . π2）上是递增的B.f（x）的图象关于原点对称C.f（x）的最小正周期为2πD.f（x）的最大值为214.（单选题.5分）若等差数列{a n}的前10项之和大于其前21项之和.则a16的值（）A.大于0B.等于0C.小于0D.不能确定15.（单选题.5分）已知数列{a n}的通项公式a n= {(−1)n，1≤n≤2019(12)n−2019，n≥2020.前n项和为S n.则关于数列{a n}、{S n}的极限.下面判断正确的是（）A.数列{a n}的极限不存在、{S n}的极限存在B.数列{a n}的极限存在、{S n}的极限不存在C.数列{a n}、{S n}的极限均存在.但极限值不相等D.数列{a n}、{S n}的极限均存在.且极限值相等16.（单选题.5分）已知数列{a n}是公差不为零的等差数列.函数f（x）是定义在R上的单调递增的奇函数.数列{f（a n）}的前n项和为S n.对于命题① 若数列{a n}为递增数列.则对一切n∈N*.S n＞0② 若对一切n∈N*.S n＞0.则数列{a n}为递增数列③ 若存在m∈N*.使得S m=0.则存在k∈N*.使得a k=0④ 若存在k∈N*.使得a k=0.则存在m∈N*.使得S m=0其中正确命题的个数为（）A.0B.1C.2D.317.（问答题.14分）已知等比数列{a n}的前n项和为S n.a1=2.a3=2a2+16.且S2020＜0．（1）求{a n}的通项公式（2）是否存在正整数n.使得S n＞2020成立？若存在.求出n的最小值；若不存在.请说明理由．18.（问答题.14分）已知函数f（x）=2cos2x+2 √3 sinxcosx-1．（1）求函数y=f（x）的单调递减区间；（2）在锐角△ABC中.若角C=2B.求f（A）的值域．19.（问答题.14分）已知数列{a n}满足：a1=2.na n+1=（n+1）a n+n（n+1）.n∈N*．（1）求证：数列{ a nn}为等差数列.并求出数列{a n}的通项公式；（2）记b n= 2(n+1)a n （n∈N*）.用数学归纳法证明：b1+b2+…+b n＜1- 1(n+1)2.n∈N*．20.（问答题.16分）设函数f（x）=5sin（ωx+φ）.其中ω＞0.φ∈（0. π2）．（1）设ω=2.若函数f（x）的图象的一条对称轴为直线x= 3π5.求φ的值；（2）若将f（x）的图象向左平移π2个单位.或者向右平移π个单位得到的图象都过坐标原点.求所有满足条件的ω和φ的值；（3）设ω=4.φ= π6.已知函数F（x）=f（x）-3在区间[0.6π]上的所有零点依次为x1.x2.x3.….x n.且x1＜x2＜x3＜…＜x n-1＜x n.n∈N*．求x1+2x2+2x3+…2x n-1+2x n-1+x n的值．21.（问答题.18分）已知无穷数列{a n}、{b n}是公差分别为d1、d2的等差数列.记c n=[a n]+[b n]（n∈N*）.其中[x]表示不超过x的最大整数.即x-1＜[x]≤x．（1）直接写出数列{a n}、{b n}的前4项.使得数列{c n}的前4项为：2.3.4.5；（2）若a n= n+13 .b n= n−13．求数列{c n}的前3n项的和S3n；（3）求证：数列{c n}为等差数列的必要非充分条件是d1+d2∈Z．2018-2019学年上海市复旦附中高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析试题数：21.满分：1501.（填空题.4分）计算limn→∞2n−33n+1=___ ．【正确答案】：[1] 23【解析】：直接利用数列的极限的运算法则化简求解即可．【解答】：解：limn→∞2n−33n+1= limn→∞2−3n3+1n= 2−03+0= 23．故答案为：23．【点评】：本题考查数列极限的运算法则的应用.是基本知识的考查．2.（填空题.4分）2与8的等比中项是___ ．【正确答案】：[1]±4【解析】：利用等比中项公式求解．【解答】：解：2与8的等比中项是：G= ±√2×8 =±4．故答案为：±4．【点评】：本题考查两个数的等比中项的求法.是基础题.解题时要认真审题.注意等比中项公式的合理运用．3.（填空题.4分）函数y=arctanx.x∈（0.1）的反函数为___ ．【正确答案】：[1]y=tanx.x∈（0. π4）【解析】：由y=arctanx.得其反函数为y=tanx.求y=arctanx的值域即得其反函数的定义域．【解答】：解：由y=arctanx.得其反函数为y=tanx.∵y=arctanx.x∈（0.1）.∴y=acrtanx的值域为(0，π4) .∴函数y=arctanx.x∈（0.1）的反函数为y=tanx.x∈ (0，π4)．故答案为：y=tanx.x∈ (0，π4)．【点评】：本题考查了正切函数的反函数.属基础题．4.（填空题.4分）在等差数列{a n}中.a1=2.a3+a5=10.则a7=___ ．【正确答案】：[1]8【解析】：利用等差数列的性质结合已知求得2a4=10.再由a1.a4.a7成等差数列求得a7．【解答】：解：在等差数列{a n}中.由a3+a5=10.得2a4=10.又a1=2.∴a7=2a4-a1=10-2=8．故答案为：8．【点评】：本题考查了等差数列的通项公式.考查了等差数列的性质.是基础题．5.（填空题.4分）用列举法表示集合{x|cos（x- π3）= 12，x∈[0，π] }=___ ．【正确答案】：[1]{0. 23π }【解析】：根据集合所在的范围结合cos（x- π3）= 12，x∈[0，π] }.从而得到答案．【解答】：解：集合{x|cos（x- π3）= 12，x∈[0，π] }解：cos（x- π3）= 12，x∈[0，π]；x- π3 =± π3+2kπ.k∈Z；∴x=2 π3+2kπ.k∈Z；或x=2kπ.k∈Z；∴x=0或23π；故答案为：{0. 23π }．【点评】：本题考查了解集表示、集合的元素表示法.属于基础题．6.（填空题.4分）在△ABC中.角A.B.C所对的边分别为a.b.c.若面积S= a2+b2−c22.则角C=___ ．【正确答案】：[1]arctan2【解析】：由余弦定理.三角形的面积公式可得12 absinC= 12.2abcosC.解得tanC=2.即可得解C的值．【解答】：解：∵S= a 2+b2−c22.∴由三角形的面积公式.余弦定理可得：12 absinC= 12•2abcosC.即 tanC=2.∴C=arctan2．故答案为：arctan2．【点评】：本题主要考查了三角形的面积公式.余弦定理在解三角形中的应用.考查了转化思想.属于基础题．7.（填空题.5分）已知无穷等比数列{a n}的各项的和为1.则a2的取值范围为___ ．【正确答案】：[1]（-2.0）∪（0. 14]【解析】：由题意可得：a11−q =1.q∈（-1.1）.且q≠0．可得a2=q-q2=- (q−12)2+ 14.利用二次函数的单调性即可得出．【解答】：解：由题意可得：a11−q=1.q∈（-1.1）.且q≠0．∴ a2q =1-q.a2=q-q2=- (q−12)2+ 14∈（-2.0）∪（0. 14]．故答案为：（-2.0）∪（0. 14]．【点评】：本题考查了等比数列的通项公式求和公式及其性质、方程与不等式的解法.考查了推理能力与计算能力.属于中档题．8.（填空题.5分）已知函数f（x）=2sin（x4+π6）.若对任意x∈R都有f（x1）≤f（x）≤f（x2）（x1.x2∈R）成立.则|x1-x2|的最小值为___ ．【正确答案】：[1]4π【解析】：由已知可知f（x1）是f（x）中最小值.f（x2）是值域中的最大值.它们分别在最高和最低点取得.它们的横坐标最少相差半个周期.由三角函数式知周期的值.结果是周期的值的一半．【解答】：解：∵对任意x∈R都有f（x1）≤f（x）≤f（x2）.∴f（x1）是最小值.f（x2）是最大值；∴|x1-x2|的最小值为函数的半个周期.∵f（x）=2sin（x4+π6）的周期T=8π.∴|x1-x2|的最小值为4π．故答案为：4π．【点评】：本题考查了正弦型三角函数的图象即性质的运用.考查了数形结合思想.属基础题． 9.（填空题.5分）若a.b 是函数f （x ）=x 2-px+q （p ＞0.q ＞0）的两个不同的零点.且a.b.-2这三个数可适当排序后成等差数列.也可适当排序后成等比数列.则p+q 的值等于___ ．【正确答案】：[1]9【解析】：由一元二次方程根与系数的关系得到a+b=p.ab=q.再由a.b.-2这三个数可适当排序后成等差数列.也可适当排序后成等比数列列关于a.b 的方程组.求得a.b 后得答案．【解答】：解：由题意可得：a+b=p.ab=q. ∵p ＞0.q ＞0. 可得a ＞0.b ＞0.又a.b.-2这三个数可适当排序后成等差数列.也可适当排序后成等比数列. 可得 {2b =a −2ab =4 ① 或 {2a =b −2ab =4② ．解 ① 得： {a =4b =1 ；解 ② 得： {a =1b =4 ．∴p=a+b=5.q=1×4=4. 则p+q=9．故答案为：9．【点评】：本题考查了一元二次方程根与系数的关系.考查了等差数列和等比数列的性质.是基础题．10.（填空题.5分）设函数f （x ）=Asin （ωx+φ）.A ＞0.ω＞0.若f （x ）在区间[ π6 . π2 ]上具有单调性.且f （ π2 ）=f （ 2π3 ）=-f （ π6 ）.则f （x ）的最小正周期为___ ．【正确答案】：[1]π 【解析】：依题意.可知x=π2+2π32 = 7π12为f （x ）=sin （ωx+φ）的一条对称轴.且（π6+π22.0）即（ π3 .0）为f （x ）=sin （ωx+φ）的一个对称中心.从而可得 14 T= 14 • 2πω = 7π12 - π3 .继而可求得f （x ）的最小正周期．【解答】：解：∵f （x ）=sin （ωx+φ）在区间[ π6 . π2 ]上具有单调性.ω＞0. ∴ π2 - π6 ≤ 12 T= 12 • 2πω = πω .即 π3 ≤ πω . ∴0＜ω≤3；又f （ π2 ）=f （ 2π3 ）=-f （ π6 ）. ∴x=π2+2π32 = 7π12为f （x ）=sin （ωx+φ）的一条对称轴.且（π6+π22.0）即（ π3 .0）为f （x ）=sin（ωx+φ）的一个对称中心.依题意知.x= 7π12 与（ π3 .0）为同一周期里面相邻的对称轴与对称中心. ∴ 14 T= 14 • 2πω = 7π12 - π3 = π4 . 解得：ω=2∈（0.3]. ∴T= 2π2 =π. 故答案为：π．【点评】：本题考查三角函数的周期性及其求法.确定x= 7π12 与（ π3 .0）为同一周期里面相邻的对称轴与对称中心是关键.也是难点.属于难题．11.（填空题.5分）由正整数组成的数列{a n }、{b n }中分别为递增的等差数列、等比数列．a 1=b 1=1.记c n =a n +b n .若存在正整数k （k≥2）满足c k-1=100.c k+1=1000.则c k =___ ．【正确答案】：[1]262【解析】：设等差数列{a n }的公差为d （d ＞0.d∈Z ）.等比数列{b n }的公比为q （q ＞1.q∈Z ）．c k-1.c k .c k+1为相邻三项.运用等差数列和等比数列的通项公式.讨论q=2.3.4.….9.根据条件.检验可得q=9.k=3.可得所求值．【解答】：解：设等差数列{a n }的公差为d （d ＞0.d∈Z ）.等比数列{b n }的公比为q （q ＞1.q∈Z ）．由a 1=b 1=1.c n =a n +b n .且c k-1=100.c k+1=1000. 可得c k-1.c k .c k+1为相邻三项. 则a n =1+（n-1）d.b n =q n-1.n∈N*. d=a k+1−a k−12. 若q=2.可得{b n }：1.2.4.8.16.32.64.128.256.512.1024.…. 考虑{b n }的前三项.d=996−992不为整数.显然不成立；若{b n }的第2.3.4项.可得d=992−982.显然不满足{a n }的通项公式；若{b n }的第3.4.5项；第4.5.6项；第5.6.7项；第6.7.8项；第7.8.9项；都不成立；若q=3.可得{b n }：1.3.9.27.81.243.729.2187.…. 考虑{b n }的前三项.d=991−992.显然不满足{a n }的通项公式；若{b n}的第2.3.4项.检验显然不满足{a n}的通项公式；若{b n}的第3.4.5项；第4.5.6项；第5.6.7项；检验都不成立；若q=4.可得{b n}：1.4.16.64.256.1024.….不为整数.显然不成立；考虑{b n}的前三项.d= 994−992若{b n}的第2.3.4项.检验显然不满足{a n}的通项公式；若{b n}的第3.4.5项；检验都不成立；若q=5.可得{b n}：1.5.25.125.625.…..检验显然不满足{a n}的通项公式；考虑{b n}的前三项.d= 975−992若{b n}的第2.3.4项.检验显然不满足{a n}的通项公式；若{b n}的第3.4.5项；检验都不成立；若q=6.可得{b n}：1.6.36.216.1296.….不为整数.显然不成立；考虑{b n}的前三项.d= 964−992若{b n}的第2.3.4项.检验显然不满足{a n}的通项公式；若q=7.可得{b n}：1.7.49.343.….不为整数.显然不成立；考虑{b n}的前三项.d= 951−992若{b n}的第2.3.4项.检验显然不满足{a n}的通项公式；若q=8.可得{b n}：1.8.64.512.….不为整数.显然不成立；考虑{b n}的前三项.d= 936−992若{b n}的第2.3.4项.检验显然不满足{a n}的通项公式；若q=9.可得{b n}：1.9.81.729.….=410.检验不成立；考虑{b n}的前三项.d= 919−992=90.若{b n}的第2.3.4项.d= 271−912可得a2=91.a3=181.a4=271.可得k=3.c k=a3+b3=181+81=262．故答案为：262．【点评】：本题考查等差数列和等比数列的通项公式和性质.考查分类讨论思想和化简运算能力、推理能力.属于难题．12.（填空题.5分）已知无穷等比数列{a n}满足：对任意的n∈N*.sina n=1.则数列{a n}公比q的取值集合为___ ．【正确答案】：[1]{q|q=4k+1.k∈Z}【解析】：对任意的n∈N*.sina n=1.可得a n=2kπ+ π2 = π2（4k+1）．由数列{a n}是无穷等比数列.即可得出．【解答】：解：对任意的n∈N*.sina n=1.∴a n=2kπ+ π2 = π2（4k+1）.∵数列{a n}是无穷等比数列.∴数列{a n}公比q的取值集合为{q|q=4k+1.k∈Z}．故答案为：{q|q=4k+1.k∈Z}．【点评】：本题考查了等比数列的定义通项公式及其性质.考查了推理能力与计算能力.属于中档题．13.（单选题.5分）对于函数f（x）=2sinxcosx.下列选项中正确的是（）A.f（x）在（π4 . π2）上是递增的B.f（x）的图象关于原点对称C.f（x）的最小正周期为2πD.f（x）的最大值为2【正确答案】：B【解析】：本题考查三角函数的性质.利用二倍角公式整理.再对它的性质进行考查.本题包括单调性、奇偶性、周期性和最值.这是经常出现的一种问题.从多个方面考查三角函数的性质和恒等变换．【解答】：解：∵f（x）=2sinxcosx=sin2x.是周期为π的奇函数.对于A.f（x）在（π4 . π2）上是递减的.A错误；对于B.f（x）是周期为π的奇函数.B正确；对于C.f（x）是周期为π.错误；对于D.f（x）=sin2x的最大值为1.错误；故选：B．【点评】：在三角函数中除了诱导公式和八个基本恒等式之外.还有两角和与差公式、倍角公式、半角公式、积化和差公式、和差化化积公式.此外.还有万能公式.在一般的求值或证明三角函数的题中.只要熟练的掌握以上公式.用一般常用的方法都能解决我们的问题．14.（单选题.5分）若等差数列{a n}的前10项之和大于其前21项之和.则a16的值（）A.大于0B.等于0C.小于0D.不能确定【正确答案】：C【解析】：利用等差数列的求和公式与通项公式即可得出．【解答】：解：等差数列{a n }的前10项之和大于其前21项之和. ∴10a 1+10×92 d ＞21a 1+ 21×202d. 化为：a 1+15d ＜0.即a 16＜0．故选：C ．【点评】：本题考查了等差数列的通项公式及求和公式.考查了推理能力与计算能力.属于中档题．15.（单选题.5分）已知数列{a n }的通项公式a n = {(−1)n ，1≤n ≤2019(12)n−2019，n ≥2020 .前n 项和为S n .则关于数列{a n }、{S n }的极限.下面判断正确的是（） A.数列{a n }的极限不存在、{S n }的极限存在 B.数列{a n }的极限存在、{S n }的极限不存在 C.数列{a n }、{S n }的极限均存在.但极限值不相等 D.数列{a n }、{S n }的极限均存在.且极限值相等【正确答案】：D【解析】：根据当n≥2020时. S n =−(12)n−2019 .当n→∞时.S n →0.当n→∞时.a n →0.即可得得到答案．【解答】：解：∵a n = {(−1)n ，1≤n ≤2019(12)n−2019，n ≥2020 .∴当n→∞时.a n →0.∵当n≥2020时. S n =−1+12(1−12n−2019)1−12= −(12)n−2019 .∴当n→∞时.S n →0．∴数列{a n }、{s n }的极限均存在.且极限值相等．故选：D ．【点评】：本题考查了数列极限的求法和等比数列的求和公式的应用.属中档题．16.（单选题.5分）已知数列{a n}是公差不为零的等差数列.函数f（x）是定义在R上的单调递增的奇函数.数列{f（a n）}的前n项和为S n.对于命题① 若数列{a n}为递增数列.则对一切n∈N*.S n＞0② 若对一切n∈N*.S n＞0.则数列{a n}为递增数列③ 若存在m∈N*.使得S m=0.则存在k∈N*.使得a k=0④ 若存在k∈N*.使得a k=0.则存在m∈N*.使得S m=0其中正确命题的个数为（）A.0B.1C.2D.3【正确答案】：C【解析】：f（x）是单调递增的奇函数.所以f（0）=0.当x＞0时.f（x）＞0.当x＜0时.f（x）＜0．【解答】：对于① ：令a1=0.则S1=f（a1）=0.故错误；对于② ：假设数列{a n}为递减数列.则d＜0.所以存在正整数m.使得a2m+a1=2a1+d（2m-1）＜0.则∀1≤k≤m.a k+a2m-k=a1+a2m＜0⇒a k＜-a2m-k.所以f（a k）＜f（-a2m-k）=-f（a2m-k）⇒f（a k）+f（a2m-k）＜0.所以S2m= ∑m k=1（a k+a2m-k）＜0.矛盾．故正确；对于③ ：a1=-1.d=2.则a2=1.S2=f（-1）+f（1）=0.但是不存在正整数k.a k=0.故错误；对于④ ：a k=0.所以对任意1≤i≤k-1.a i+a2k-i=0⇒a i=-a2k-i.所以f（a i）+f（a2k-i）=f（-a2k-i）+f（a2k-i）=0.所以S2k-1= ∑k i=1（f（a i）+f（a2k-i））+f（k）=0.故正确．故选：C．【点评】：对于一道选择题.可以用f（x）=x代入来简化问题.可以较容易地判断出① ③ 的错误性．17.（问答题.14分）已知等比数列{a n }的前n 项和为S n .a 1=2.a 3=2a 2+16.且S 2020＜0．（1）求{a n }的通项公式（2）是否存在正整数n.使得S n ＞2020成立？若存在.求出n 的最小值；若不存在.请说明理由．【正确答案】：【解析】：（1）设等比数列{a n }的公比为q.由a 1=2.a 3=2a 2+16.可得2q 2=4q+16.解得q.根据S 2020＜0.即可得出q ．（2）假设存在正整数n.使得S n ＞2020成立.根据 2[1−(−2)n ]1−(−2)＞2020.可得：1-（-2）n ＞3030.于是n 必为奇数.即可得出．【解答】：解：（1）设等比数列{a n }的公比为q.∵a 1=2.a 3=2a 2+16. ∴2q 2=4q+16. 解得q=-2.4． ∵S 2020＜0.∴ 2(1−q 2020)1−q＜0.则q=-2． ∴a n =2×（-2）n-1．（2）假设存在正整数n.使得S n ＞2020成立.则 2[1−(−2)n ]1−(−2) ＞2020.可得：1-（-2）n ＞3030.则n 必为奇数.n 的最小值为13．【点评】：本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、不等式的解法.考查了推理能力与计算能力.属于中档题．18.（问答题.14分）已知函数f （x ）=2cos 2x+2 √3 sinxcosx-1．（1）求函数y=f （x ）的单调递减区间；（2）在锐角△ABC 中.若角C=2B.求f （A ）的值域．【正确答案】：【解析】：（1）利用倍角公式降幂.再由辅助角公式化积.结合复合函数的单调性求函数y=f （x）的单调递减区间；（2）由已知可得A的范围.进一步得到2A+ π6的范围.则f（A）的值域可求．【解答】：解：（1）∵f（x）=2cos2x+2 √3 sinxcosx-1=cos2x+ √3 sin2x=2sin（2x+ π6）.令2kπ +π2≤2x+ π6≤2kπ+ 3π2.k∈Z.解得：kπ+ π6≤x≤kπ+ 2π3.k∈Z.∴可得函数y=f（x）的单调递减区间为：[kπ+ π6 .kπ+ 2π3].k∈Z；（2）∵△ABC为锐角三角形.且C=2B.∴C=2B ＜π2 .则B＜π4.可得B+C＜3π4.则A＞π4 .由A＜π2.∴A∈（π4 . π2）.2A+ π6∈（2π3. 7π6）．∴f（A）=2sin（2A+ π6）∈（-1. √3）.即f（A）的值域为（-1. √3）．【点评】：本题考查三角函数的恒等变换应用.考查y=Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质.是中档题．19.（问答题.14分）已知数列{a n}满足：a1=2.na n+1=（n+1）a n+n（n+1）.n∈N*．（1）求证：数列{ a nn}为等差数列.并求出数列{a n}的通项公式；（2）记b n= 2(n+1)a n （n∈N*）.用数学归纳法证明：b1+b2+…+b n＜1- 1(n+1)2.n∈N*．【正确答案】：【解析】：（1）将等式两边同除以n（n+1）.结合等差数列的定义和通项公式可得所求；（2）求得b n= 2(n+1)a n = 2n(n+1)2.运用数学归纳法证明.注意由n=k推得n=k+1.结合分析法证明．【解答】：解：（1）证明：a1=2.na n+1=（n+1）a n+n（n+1）.可得a n+1n+1 = a nn+1.则数列{ a nn}为首项为2.公差为1的等差数列.则a nn=2+n-1=n+1.即a n=n（n+1）；（2）证明：b n= 2(n+1)a n = 2n(n+1)2.当n=1时.b1= 12 .1- 14= 34.即12＜34；假设n=k时.不等式b1+b2+…+b k＜1- 1(k+1)2.k∈N*．当n=k+1时.b1+b2+…+b k+b k+1＜1- 1(k+1)2 + 2(k+1)(k+2)2.要证1- 1(k+1)2 + 2(k+1)(k+2)2＜1- 1(k+2)2.即为2(k+1)(k+2)2＜1(k+1)2- 1(k+2)2.即为2（k+1）＜2k+3.显然成立.即n=k+1时.不等式成立．则b1+b2+…+b n＜1- 1(n+1)2.n∈N*．【点评】：本题考查等差数列的定义和通项公式.考查数学归纳法的运用.化简运算能力.属于中档题．20.（问答题.16分）设函数f（x）=5sin（ωx+φ）.其中ω＞0.φ∈（0. π2）．（1）设ω=2.若函数f（x）的图象的一条对称轴为直线x= 3π5.求φ的值；（2）若将f（x）的图象向左平移π2个单位.或者向右平移π个单位得到的图象都过坐标原点.求所有满足条件的ω和φ的值；（3）设ω=4.φ= π6.已知函数F（x）=f（x）-3在区间[0.6π]上的所有零点依次为x1.x2.x3.….x n.且x1＜x2＜x3＜…＜x n-1＜x n.n∈N*．求x1+2x2+2x3+…2x n-1+2x n-1+x n的值．【正确答案】：【解析】：（1）代入ω=2及对称轴x= 3π5.f（x）有最值.（2）利用f（x）的图象向左平移π2个单位得y=5sin[ω（x+ π2）+φ]过原点.再利用f（x）的图象向右平移π个单位得y=5sin[ω（x-π）+φ]过原点.根据题目约束条件构建方程.最后归纳总结．（3）利用F （x ）=5sin （4x+ π6 ）-3在区间[0.6π]上的所有零点依次为x 1.x 2.x 3.….x n . 等价于f （x ）=5sin （4x+ π6）与y=3在区间[0.6π]上的所有交点的横标依次为x 1.x 2.x 3.….x n . 相邻交点横标之和为f （x ）=5sin （4x+ π6）的对称轴2倍．【解答】：解：（1）若ω=2.则f （x ）=5sin （2x+φ）. ∵此时函数f （x ）的图象的一条对称轴为直线x= 3π5 . ∴ 2×3π5+φ=π2+kπ，k ∈Z .∴ φ=−7π10+kπ，k ∈Z .∵φ∈（0. π2 ）.∴当k=1时. φ=3π10 ．（2）将f （x ）的图象向左平移 π2 个单位得y=5sin[ω（x+ π2 ）+φ]过原点. ∴0=5sin （ω×0+ω× π2 +φ）.将f （x ）的图象向右平移π个单位得 y=5sin[ω（x-π）+φ]过原点．∴0=5sin （ω×0-ω×π+φ）.∴ {π2ω+φ=iπ−πω+φ=jπi ，j ∈Z ∵φ∈（0. π2 ）.∴φ= π3 .∴ {π2ω+π3=iπ−πω+π3=jπi ，j ∈Z .∴ {ω=2i −23ω=13−j i ，j ∈Z .∵ω＞0.∴ ω=6n+43，n ∈N （3）∵ω=4.φ= π6 .∴f （x ）=5sin （4x+ π6 ）.∵F （x ）=5sin （4x+ π6 ）-3在区间[0.6π]上的所有零点依次为x 1.x 2.x 3.….x n .如图.等价于f （x ）=5sin （4x+ π6 ）与y=3在区间[0.6π]上的所有交点的横标依次为x 1.x 2.x 3.….x n .∴x 1+2x 2+2x 3+…2x n-1+2x n-1+x n =（x 1+x 2）+（x 2+x 3）+…+（x n-1+x n-1）+（x n-1+x n ） ∵x n-1+x n 是f （x ）=5sin （4x+ π6 ）对应对称轴x 的2倍. 又∵f （x ）=5sin （4x+ π6）=±5.∴4x+ π6=kπ+ π2.k∈Z .∴ x =kπ4+π12. ∵x∈[0.6π].∴k∈[0.23].∵当k=23时.f （x ）=f （23π4+π12 ）=-5.此时不符题意.∴k∈[0.22].∴（x 1+x 2）+（x 2+x 3）+…+（x n-1+x n-1）+（x n-1+x n ）=2×[ π12 +（ π4×1+π12 ）+（ π2×2+π12 ）++…+（ π4×22+π12 ）] =2×23[π12+(π4×22+π12)]2=391π3∴x 1+2x 2+2x 3+…2x n-1+2x n-1+x n =391π3【点评】：本题考查三角函数的对称性.考查三角函数与数列的结合.属中档题．21.（问答题.18分）已知无穷数列{a n }、{b n }是公差分别为d 1、d 2的等差数列.记c n =[a n ]+[b n ]（n∈N*）.其中[x]表示不超过x 的最大整数.即x-1＜[x]≤x ．（1）直接写出数列{a n }、{b n }的前4项.使得数列{c n }的前4项为：2.3.4.5；（2）若a n =n+13 .b n = n−13．求数列{c n }的前3n 项的和S 3n ；（3）求证：数列{c n }为等差数列的必要非充分条件是d 1+d 2∈Z ．【正确答案】：【解析】：（1）根据题意.列举出适合题意的等差数列{a n }、{b n }的前4项即可；（2）若a n =n+13 .b n = n−13.则[a 3k-2]=k-1.[a 3k-1]=k.[a 3k ]=k.[b 3k-2]=k-1.[b 3k-1]=k-1.[b 3k ]=k-1.其中k∈N*.将S 3n 转化为 ∑(c 3k−2+c 3k−1+c 3k )n k=1 = ∑(6k −4)nk=1 =进而转化为等差数列的前n 项和即可．（3）必要性：若数列{c n }为等差数列.设其公差为d.则d 为整数.设d 1+d 2=t.则d 2=t-d 1.根据c n -c 1=[a n ]+[b n ]-（[a 1]+[b 1]=nd.结合x-1＜[x]≤x .可得t- 2n ＜d ＜t+ 2n .由n→∞时可得t=d 1+d 2=d 为整数.必要性得证．充分性可以举反例来说明其不成立．【解答】：解：（1）{a n }的前4项为1.2.3.4.{b n }的前4项为1.1.1.1符合题意；（2）若a n =n+13 .b n = n−13. 则[a 3k-2]=k-1.[a 3k-1]=k.[a 3k ]=k.[b 3k-2]=k-1.[b 3k-1]=k-1.[b 3k ]=k-1.其中k∈N*. 所以c 3k-2=2k-2.c 3k-1=2k-1.c 3k =2k-1.k∈N*.所以数列{c n }的前3n 项的和S 3n = ∑(c 3k−2+c 3k−1+c 3k )n k=1 = ∑(6k −4)nk=1 =（6-4）+（12-4）+……+（6n-4）=2+8+……+（6n-4）=2+(6n−4)2×n =3n 2-3n ；（3）若数列{c n }为等差数列.设其公差为d.则d=[a n+1]+[b n+1]-（[a n ]+[b n ]）. 因为[a n+1].[b n+1].[a n ].[b n ].均为整数. 所以d∈Z .设d 1+d 2=t.则d 2=t-d 1.因为无穷数列{a n }、{b n }是公差分别为d 1、d 2的等差数列. 所以a n =d 1n+a 1.b n =d 2n+b 1=（t-d 1）n+b 1.所以[a n ]=[d 1n+a 1].所以d 1n+a 1-1＜[d 1n+a 1]≤d 1n+a 1. 又因为-a 1≤[a 1]＜1-a 1. 所以d 1n-1＜[a n ]-[a 1]＜d 1n+1.同理d 2-1＜[b n ]-[b 1]＜d 2+1.即（t-d 1）n-1＜[b n ]-[b 1]＜（t-d 1）+1. 所以（d 1n-1）+（t-d 1）n-1＜[a n ]+[b n ]-（[a 1]+[b 1]＜d 1n+1+（t-d 1）+1. 所以tn-2＜c n -c 1＜tn+2. 所以tn-2＜dn ＜tn+2. 所以t- 2n ＜d ＜t+ 2n . 当n→+∞时. 2n →0. 所以t=d 1+d 2=d. 故t 为整数.必要性得证．反之若d 1+d 2为整数.数列{c n }不一定为等差数列. 如a n = 13n +1 .b n = 23n −1 时.d 1+d 2=1为整数. 此时c 1=1-1=0.c 2=1+1=2.c 3=2+1=3.所以2c 2≠c 1+c 3.故数列{c n }不是等差数列.所以充分性不成立．所以数列{c n }为等差数列的必要非充分条件是d 1+d 2∈Z ．【点评】：本题考查了新定义取整函数.考查了等差数列的性质.等差数列的前n项和公式.等差数列的通项公式.考查了简易逻辑．主要考查分析解决问题的能力和逻辑思维能力．属于难题．。

2018-2019学年上海市复旦大学附属中学高一下学期期末考试数学试题(解析版)

【解析】【详解】解:,是周期为的奇函数,A,在上是递减的,错误;B,是奇函数, 图象关于原点对称,正确;C,是周期为,错误;D,的最大值为1,错误;B 选项是正确的.．已知数列是公差不为零的等差数列，函数是定义在上的单调递增的奇函数，数列{}n a ()f x R 的前项和为，对于命题：)}n a n n S {}a 0S >，与题设矛盾，所以递增，故112121()()...()()...()0k k k f a f a f a f a f a ++=++++++≤{}n a 正确；，则，，令，所以，但是23n a n =-11a =-21a =()f x x =12()()0f a f a +=23n a n =-错误；因为，所以，k a =121222 (20)k k k a a a a a --+=+===，12122211,,...,k k k k a a a a a a ---+=-=-=-，12122211()(),()(),...,()()k k k k a f a f a f a f a f a ---+=-=-=-，则存在，使得2112121()()...()()...()0k k k k f a f a f a f a f a -+-=++++++=*m N ∈0m S =正确.故选：C.【解析】所求的等比中项为： .284±⨯=±．函数，的反函数为__________．arctan y x =(0,1)x ∈【答案】tan ,(0,)4y x x π=∈【解析】将函数变形为的形式，然后得到反函数，注意定义域.()x f y =【详解】，所以，则反函数为：且.arctan y x =tan x y =tan y x =(0,)4x π∈【点睛】本题考查反三角函数的知识，难度较易.给定定义域的时候，要注意函数定义域.．在等差数列中，，，则．{}n a 12a =3510a a +=7a =本题考查根据三角函数值求解给定区间中变量的值，难度较易.．在中，角的对边分别为，若面积，则角__________ABC ∆,,A B C ,,a b c 2222a b S c +-=C =【答案】arctan 2【解析】根据面积公式计算出的值，然后利用反三角函数求解出的值.tan C C 【详解】，所以，则，则有：2221sin 22a b c S ab C +-==222sin 2cos ab C a b c ab C =+-=tan 2C =.arctan 2【点睛】本题考查三角形的面积公式以及余弦定理的应用，难度较易.利用面积公式的时候要选择合适的公式进行化简，可根据所求角进行选择.【答案】4π【解析】根据和的取值特点，判断出两个值都是最值，然后根据图象去确定1()f x 2()f x 12x x -【详解】对任意成立，所以取最小值，取最大值；12()()()f x f x f x ≤≤x ∈R 1()f x 2()f x 取最小值时，与必为同一周期内的最小值和最大值的对应的，则，且2x 1x 2x x 12min 2Tx x -=，故.28||πω=12min 4x x -=【点睛】任何一个函数，若有对任何定义域成立，此时必有：()f x 12()()()f x f x f x ≤≤x ∈1()min f x =.2)max=可得①或②得：；解得：．故答案为9．点评：本题考查了一元二次方程根与系数的关系，考查了等差数列和等比数列的性质，是基础题．【思路点睛】解本题首先要能根据韦达定理判断出a ，b 均为正值，当他们与-2成等差数列时，共有6种可能，当为等差中项时，因为，所以不可取，则-2只能作为首项或者末项，这两种数列的公差互为相反数；又a,b 与-2可排序成等比数列，由等比中项公式可知-2必为等比中项，两数列搞清楚以后，便可列方程组求解p ，q ．．设函数（是常数，）.若在区间上具有单()sin()f x A x ωϕ=+,,A ωϕ0,0A ω>>()f x [,]62ππ调性，且，则的最小正周期为_________.2()()()236f f f πππ==-()f x 【答案】π由在区间上具有单调性，且知，函数的对称中心为，由知函数的对称轴为直线，设函数的最小正周期为，所以，，即，所以，解得，故答案为函数的对称性、周期性，属于中档题，若存在正整数（）满足，，则__________．n na b +k 2k ≥1100k c -=11000k c +=k c =【答案】262【解析】根据条件列出不等式进行分析，确定公比、、的范围后再综合判断.qk d 【详解】设等比数列公比为，等差数列公差为，因为，，所以qd 1100k c -=11000k c +=；又因为，分别为递增的等差数列、等比数列，所以2(2)100(*)1000k kk d q kd q --+=+={}n a {}n b q ≥；又时显然不成立，所以，则，即；12k =11100+=3k ≥31000q <9q ≤，，所以；因为，所以；2q ≥221002k k q -->>8k ≤(2)k d d -≥100d ≤可知：，则，；又(*)22900k k q q d --+=22900()200k k d q q -=--<22(1)700k q q -->，所以，即；取连续的有限项构成数sin 1n a =2,2n a k k Zππ=+∈(41),2n k a k Z π+=∈{}n a ，不妨令，则，且，则此时必为整数；}n 1(41),2k b k Z π+=∈2(41),2q k b k Z π+=∈2{}n b a ∈q 时，，不符合；4,k k Z =∈224(4)2(41){}2n k k b k k a π+=+=∉时，，符合，41,k k Z =+∈222(41)4(42)1{}22n k k k b a π+++==∈此时公比；41,q k k Z =+∈时，，不符合；42,k k Z =+∈224(43)2(21)(41){}2n k k b k k a π++=++=∉2(43)(41)4(44)3k k k k π++++．已知数列的通项公式，前项和为，则关于数列、{}n a ()2019112n n a -⎧-⎪=⎨⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎩120192020n n ≤≤≥n n S {}n a 的极限，下面判断正确的是（）}．数列的极限不存在，的极限存在{}n a {}n S ．数列的极限存在，的极限不存在{}n a {}n S ．数列、的极限均存在，但极限值不相等{}n a {}n S ．数列、的极限均存在，且极限值相等{}n a {}n S 【答案】D 【解析】分别考虑与的极限，然后作比较.{}n a {}n S 【详解】【解析】（1）根据条件求解出公比，然后写出等比数列通项；（2）先表示出，然后考虑n S 的的最小值.2020n 【详解】）因为，所以或，又，则，所以；（1222416a q q =⎧⎨=+⎩4q =2-20200S <2q =-12(2)n n a -=⋅-，则，当为偶数时有不符合；2(1(2))2(1(2))20201(2)3n n n S --==-->--(2)3029n -<-n (2)0n->为奇数，且，，所以且为奇数，故.n 11(2)2048-=-13(2)4096-=-13n ≥n min 13n =【点睛】本题考查等比数列通项及其前项和的应用，难度一般.对于公比为负数的等比数列，分析前项和所n n 满足的不等式时，注意分类讨论，因此的奇偶会影响的正负.n n S）由锐角三角形可知：，所以，则，A B C π⎪++=⎩42A <<(2)(,)636A +∈，所以，，则()2sin(2)6A A π=+min 7()2sin()16f A π>=-max ()2sin 22f A π==.)(1,2]∈-【点睛】本题考查三角恒等变换以及三角函数值域问题，难度较易.根据三角形形状求解角范围的时候，要注意到隐含条件的使用.A B C π++=．已知数列满足：，，.{}n a 12a =1(1)(1)n n na n a n n +=+++*n N ∈）求证：数列为等差数列，并求出数列的通项公式；{}n a n {}n a ）记（），用数学归纳法证明：，2(1)n n b n a =+*n N ∈12211(1)n b b b n +++<-+ *n N∈(1)(1)(2)(2)(2)(1)(2)(1)k k k k k k k k ++++++++⎝⎭⎝⎭ ，2222221)2(1)(2)1(1)(2)(1)(2)k k k k k k +++-+-=<++++，22212111(1)(1)(2)(2)k k k k ⎛⎫⎛⎫-+<- ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭，故时不等式成立，21211(2)k k b b b k +++++<-+ 1n k =+综上可知：.12211(1)n b b b n +++<-+ 【点睛】数学归纳法的一般步骤：（1）命题成立；（2）假设命题成立；（3）证明命题1n =n k =1n k =+成立（一定要借助假设，否则不能称之为数学归纳法）.π），因为是一条对称轴，对应最值；又()5sin(2)f x x ϕ=+35x π=36()2sin()55f ππϕ=+()f x ，所以，所以，则；（2）由条件知：(0,)2πϕ∈6617()(,)5510πππϕ+∈63()52πϕπ+=310πϕ=，可得，则，又因为5sin((0))025sin((0))0πωϕωπϕ++=-+=1122,2,k k Zk k Z πωϕππωϕπ⎧+=∈⎪⎨⎪-+=∈⎩1212(2)(,)3k k k k Z πϕ+=∈，所以，则，(0,)2π3πϕ=1122,23,3k k Z k k Z ππωπππωπ⎧+=∈⎪⎪⎨⎪-+=∈⎪⎩1162,313k k Z k ω-⎧=∈⎪⎪⎨-⎪因为，故共有个；记对称轴为，据图有：242T ππ==[0,6]π12T ()f x (1,i x a i ==，，，，，1212x x a +=2322x x a +=3432x x a += (232423)x x a +=则，令，12321122322222(...)n n n x x x x x x a a a --+++++=+++ 4,62x k k Zπππ+=+∈，又因为，所以，由于与仅在前半个周期内,412k k Z ππ=+∈[0,6]x π∈[0,23]k ∈()f x 35y =有交点，所以，max 22k =.232101221139122222(...)223444123n n n x x x x x πππ--+++++=++++⋅⋅= 【点睛】本题考查三角函数图象与性质的综合运用，难度较难.对于三角函数零点个数问题，可将其转化为函数图象的交点个数问题，通过数形结合去解决问题会更方便.）将的前项列举出：；将的前项列举出：{}n a 3n (0,1,1,1,2,2,2,...,1,,)n n n -{}n b 3n ；(0,0,0,1,1,1,...,1,1,1)n n n ---；2(11)(1)(11)(1)323322n n n n n n n n ⎡+--⎤⎡+--⎤⎛⎫⎛⎫=++=- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦）充分性：取，此时，将的前项列举出：，将1,33n n n na b +==-120d d +={}n a 30,1,1{n b 项列出：，此时的前项为：，显然不是等差数列，充分性不满足；必1,1,1---{}n c 31,0,0-{}n c 要性：设，，当为等差数列时，因为，所以11(1)n a a n d =+-12(1)n b b n d =+-{}n c [][]n n n c a b =+ ，又因为，所以有：Z1100[][](1)()n c a b n d d Z =++-∈，且，所以101112[](1)[(1)][(1)]b n d a n d b n d ++-=+-++-[]1x x x-<≤；10110110(1)2[][](1)(1)b n d a b n d a b n d +--<++-≤++-综上：数列为等差数列的必要非充分条件是{}n c 12d d Z+∈【点睛】本题考查数列的定义以及证明，难度困难.对于充分必要条件的证明，需要对充分性和必要性同时分析，不能取其一分析；新定义的数列问题，可通过定义先理解定义的含义，然后再分析问题.。

专题12(5.2 函数的基本性质)(有答案)

专题12（5.2 函数的基本性质）一、单选题1．（2020·上海高一课时练习）对于定义域是R 的任意奇函数()f x ，都有（） A ．()()0f x f x --> B ．()()0f x f x --≤ C ．()()0f x f x ⋅-≤ D ．()()0f x f x ⋅->【答案】C【分析】根据()f x 为奇函数，可得()()f x f x -=-，再对四个选项逐一判断即可得正确答案.【详解】∵()f x 为奇函数， ∴()()f x f x -=-，∴()()()()()2=0f x f x f x f x f x ⎡⎤⎡⎤⋅-⋅-=-≤⎣⎦⎣⎦，又()0=0f ，∴()20f x -≤⎡⎤⎣⎦，故选：C【点睛】本题主要考查了奇函数的定义和性质，属于基础题.2．（2020·上海高一课时练习）下列函数中在区间(1,)+∞单调递增的是（）A ．2(2)y x =-B ．13y x=- C ．|4|y x =+ D ．y =【答案】C【分析】结合基本初等函数的图象与性质，逐项判定，即可求解.【详解】根据二次函数的图象与性质，可得函数2(2)y x =-在(2,)+∞单调递增，不符合题意；由函数1133y x x ==---，可得函数在(,3),(3,)-∞+∞上单调递增，不符合题意；由函数4,444,4x x y x x x +≥-⎧=+=⎨--<-⎩，可得函数在[4,)-+∞上单调递增，所以在区间(1,)+∞单调递增，符合题意；由函数y =10x -≥，解得1≥x ，即函数的定义域为[1,)+∞，结合幂函数的性质，可得函数y =[1,)+∞上单调递减，不符合题意. 故选：C.【点睛】本题主要考查了函数的单调性的判定，其中解答中熟记基本初等函数的图象与性质是解答的关键，着重考查推理与运算能力.3．（2017·上海徐汇·南洋中学高一月考）已知定义在R 上的偶函数()f x ，对任意不相等的(]120x x ∈-∞，，，有()()()21210x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦，当*n N ∈时，有（）A ．()()()11f n f n f n -<-<+B ．()()()11f n f n f n -<-<+ C ．()()()11f n f n f n +<-<- D ．()()()11f n f n f n +<-<- 【答案】C【分析】由已知不等式得函数在(,0]-∞上的单调性，再由偶函数性质得在[0,)+∞上的单调性，结合偶函数性质得距离y 轴越远的自变量的函数值越小，从而可得结论．【详解】由题意，函数在区间(]0-∞，上单调递增，函数图象关于y 轴对称，所以函数在()0+∞，上单调递减；又*n N ∈，11n n n +>->-，距离y 轴越远的自变量的函数值越小，则()()()11f n f n f n +<-<-，故选：C.【点睛】本题考查的奇偶性与单调性，利用奇偶性性质得函数在关于y 轴对称区间上的单调性，从而可比较函数值大小．4．（2019·宝山·上海交大附中高一期中）已知函数(1)y f x =+为偶函数，则下列关系一定成立的是（） A ．()()f x f x =- B ．(1)(1)f x f x +=-+ C ．(1)(1)f x f x +=-- D ．(1)()f x f x -+=【答案】B【分析】函数(1)y f x =+为偶函数，可得函数()y f x =的图像关于1x =对称，在四个选项中选择能表示函数()y f x =的图像关于1x =对称的，得到答案. 【详解】函数(1)y f x =+为偶函数，可得()y f x =的图像向左平移1个单位后关于y 轴对称，所以()y f x =的图像关于1x =对称，在所给四个选项中，只有选项B. (1)(1)f x f x +=-+也表示()y f x =的图像关于1x =对称，故选B.【点睛】本题考查函数的奇偶性和对称性，属于简单题.5．（2018·上海杨浦·复旦附中高一期末）函数223y x x =-+在闭区间[0,]m 上有最大值3，最小值为2， m 的取值范围是 A ．(,2]-∞ B ．[0,2] C ．[1,2] D ．[1,)+∞【答案】C【分析】本题利用数形结合法解决，作出函数()f x 的图象，如图所示，当1x =时，y 最小，最小值是2，当2x =时，3y =，欲使函数2()23=-+f x x x 在闭区间[0，]m 上的上有最大值3，最小值2，则实数m 的取值范围要大于等于1而小于等于2即可．【详解】解：作出函数()f x 的图象，如图所示，当1x =时，y 最小，最小值是2，当2x =时，3y =，函数2()23=-+f x x x 在闭区间[0，]m 上上有最大值3，最小值2，则实数m 的取值范围是[1，2]．故选：C ．【点睛】本题考查二次函数的值域问题，其中要特别注意它的对称性及图象的应用，属于中档题．6．（2018·上海市敬业中学高一期末）关于函数()232f x x =-的下列判断，其中正确的是（）A ．函数的图像是轴对称图形B ．函数的图像是中心对称图形C ．函数有最大值D ．当0x >时，()y f x =是减函数【答案】A【分析】判断函数为偶函数得到A 正确，B 错误，取特殊值，排除C 和D 得到答案.【详解】()232f x x =-定义域为：{x x ≠ ，()23()2f x f x x -==-函数为偶函数，故A 正确，B 错误当x →且x >时，()f x →+∞ ，C 错误3(1)3,(2)2f f =-=，不满足()y f x =是减函数，D 错误故选A【点睛】本题考查了函数的性质，意在考查学生对于函数性质的灵活运用. 7．（2019·上海宝山·高一期末）设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，2()5f x x x =--，则不等式()(1)0f x f x --<的解集为（）A ．(1,2)-B ．(1,3)-C ．(2,3)-D ．(2,4)-【答案】C【分析】根据题意，结合函数的奇偶性分析可得函数的解析式，作出函数图象，结合不等式和二次函数的性质以及函数图象中的递减区间，分析可得答案. 【详解】根据题意，设0x >，则0x -<，所以2()5f x x x -=-+，因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以2()5()f x x x f x -=-+=-，所以2()5f x x x =-，即0x ≥时，当0x <时，2()5f x x x =--，则()f x 的图象如图：在区间55(,)22-上为减函数，若()(1)0f x f x --<，即(1)()f x f x ->，又由1x x -<，且(3)(2),(2)(3)f f f f -=-=，必有133x x ->-⎧⎨<⎩时，()(1)0f x f x --<，解得23x -<<，因此不等式的解集是(2,3)-，故选C.【点睛】本题主要考查了函数奇偶性的应用，利用函数的奇偶性求出函数的解析式，根据图象解不等式是本题的关键，属于难题.8．（2019·上海虹口·高一期末）一次函数()()f x 3a 2x 1a =-+-，在[﹣2，3]上的最大值是()f 2-，则实数a 的取值范围是（）A ．2a 3≥B ．2a 3>C ．2a 3≤D ．2a 3<【答案】D【分析】根据函数的最值和函数单调性的关系即可求出a 的范围.【详解】因为一次函数()()f x 3a 2x 1a =-+-，在[﹣2，3]上的最大值是()f 2-，则函数f （x ）在[﹣2，3]上为减函数，则3a ﹣2＜0，解得2a 3<，故选D ．【点睛】本题考查了一次函数的单调性和最值的关系，考查了转化与化归思想，属于基础题. 9．（2019·上海外国语大学附属大境中学高一期末）下列函数在(0,)+∞上是增函数的是（）A ．12()f x x =- B ．1()()2xf x =C ．1()1f x x x =++ D ．21()f x x=【答案】C【分析】根据已知的函数模型，得到AB 的正误，再由，当x 值变大时，y 值变小，得到D 的单调性；C 选项通过换元得到熟悉的对勾函数的模型，根据内外层函数的单调性得到结果.【详解】函数()12f x x =-=()0,+∞上是减函数，()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭在()0,+∞上是减函数，()11f x x x =++，设t=x+1,故得到11y t t=+-在()1,+∞上单调增，内层也是增函数，故函数在()0,+∞上是增函数；()21f x x=在()0,+∞上是减函数. 故答案为C.【点睛】这个题目考查了函数单调性的判断，判断函数的单调性，方法一：可以由定义证明单调性，方法二，可根据熟悉的函数模型得到函数的单调性；方法三，可根据函数的性质，例如增函数加增函数还是增函数，减函数加减函数还是减函数来判断．二、填空题10．（2020·上海高一课时练习）如图所示，已知奇函数()y f x =在y 轴右边部分的图像，则()0f x >的解集为_________．【答案】[)()5,30,3--【分析】根据奇函数的图象关于原点对称，画出()y f x =在y 轴左边部分的图像，即得()0f x >的解集.【详解】由()y f x =是奇函数，其图象关于原点对称，根据()y f x =在y 轴右边部分的图像，画出()y f x =在y 轴左边部分的图像，如图所示则()0f x >的解集为[)()5,30,3--.故答案为：[)()5,30,3--.【点睛】本题考查函数的奇偶性，属于基础题.11．（2020·上海高一课时练习）已知下列各命题：①若在定义域内存在12x x <使得()()12f x f x <成立，则函数()f x 是增函数；②函数3y x =-在其定义域内是减函数；③函数1y x=在其定义域内是增函数.其中是真命题的是___________（填写序号）.【答案】②【分析】由函数单调性的定义可判断①，由一次函数的单调性可判断②，由反比例函数的性质可判断③，即可得解.【详解】对于①，由函数单调性的定义可知，若在定义域内任意的12x x <，均有()()12f x f x <成立，则函数()f x 是增函数，故①错误；对于②，由一次函数的单调性可知函数3y x =-在其定义域内是减函数，故②正确；对于③，函数1y x=的单调递减区间为(),0-∞，()0,∞+，故③错误.故答案为：②.【点睛】本题考查了函数单调性定义的应用，考查了常见函数单调性的判断，属于基础题. 12．（2020·上海市大同中学）已知函数()f x 的定义域为R ，则下列命题中： ①若()2f x -是偶函数，则函数()f x 的图象关于直线2x =对称； ②若()()22f x f x +=--，则函数()f x 的图象关于原点对称； ③函数()2y f x =+与函数()2y f x =-的图象关于直线2x =对称； ④函数()2f x -与函数()2y f x =-的图象关于直线2x =对称. 其中正确的命题序号是________. 【答案】④【分析】结合函数图象的平移变换规律，及函数图象的对称性，对四个命题逐个分析，可得出答案.【详解】对于①，函数()2f x -的图象向左平移2个单位，得到函数()f x 的图象，因为()2f x -是偶函数，其图象关于0x =对称，所以()f x 的图象关于2x =-对称，故①错误；对于②，由()()22f x f x +=--，可得()()62f x f x +=-+，则()()()622f x f x f x +=-+=-，所以()()8f x f x +=，即函数()f x 是周期函数，周期为8，不能得出()f x 的图象关于原点对称，故②错误；对于③，()f x 的图象向左平移2个单位，得到()2y f x =+的图象，()f x -的图象向右平移2个单位，得到()2y f x =-的图象.因为函数()y f x =和()y f x =-的图象关于0x =对称，所以函数()2y f x =+与函数()2y f x =-的图象关于0x =对称，故③错误；对于④，()f x 的图象向右平移2个单位，得到()2y f x =-的图象，()f x -的图象向右平移2个单位，得到()2y f x =-的图象.因为函数()y f x =和()y f x =-的图象关于0x =对称，所以函数()2y f x =-与函数()2y f x =-的图象关于2x =对称，故④正确. 故答案为：④.【点睛】本题考查函数图象的平移变换规律，及函数图象的对称性，考查学生的推理能力，属于中档题.13．（2020·上海市大同中学）已知2()y f x x =+是奇函数，且()11f =，若()()2g x f x =+，则(1)g -=___.【答案】-1【分析】由题意，可先由函数是奇函数求出(1)3f -=-，再将其代入(1)g -求值即可得到答案【详解】由题意，2()y f x x =+是奇函数，且f （1）1=，所以f （1）21(1)(1)0f ++-+-=解得(1)3f -=- 所以(1)(1)2321g f -=-+=-+=- 故答案为：1-．【点睛】本题考查函数奇偶性的性质，利用函数奇偶性求值，解题的关键是根据函数的奇偶性建立所要求函数值的方程，基本题型．14．（2019·上海浦东新·华师大二附中高一月考）已知()f x x x =，若对任意[]2,2x a a ∈-+，()()2f x a f x +<恒成立，则实数a 的取值范围是______.【答案】a <【分析】通过分类讨论分析得到1)a x <恒成立，再求函数()1)g x x =，[]2,2x a a ∈-+的最值得解.【详解】（1）当0x ≥时，2()f x x =，222()2))f x x f ===；当0x <时，222(),2()2))f x x f x x f =-=-=-=，所以在R 上，2()),())f x f f x a f =∴+<，因为在R 上，函数()f x 单调递增，,1)x a a x ∴+<∴<恒成立，（2）记()1)g x x =，[]2,2x a a ∈-+，min ()(2)1)(2),1)(2),g x g a a a a a ∴=-=-∴<-∴<.故答案为a <【点睛】本题主要考查函数的单调性和应用，考查不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.15．（2018·上海市第八中学高一月考）函数()f x =【答案】[)3,+∞【分析】求出函数()y f x =的定义域，然后利用复合函数法可求出函数()f x =.【详解】令2230x x --≥，解得1x ≤-或3x ≥，函数()f x =(][),13,-∞-+∞.内层函数223u x x =--的减区间为(],1-∞-，增区间为[)3,+∞.外层函数y =[)0,+∞上为增函数，由复合函数法可知，函数()f x =[)3,+∞.故答案为[)3,+∞.【点睛】本题考查函数单调区间的求解，常用的方法有复合函数法、图象法，另外在求单调区间时，首先应求函数的定义域，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 16．（2018·上海市七宝中学高一月考）若幂函数3(*)my x m N -=∈是奇函数，则实数m 的最小值是__________ 【答案】1【分析】由幂函数3(*)my x m N -=∈是奇函数，得到m 是奇数，再由*m N ∈，能求出实数m 的最小值．【详解】幂函数3(*)m y xm N -=∈是奇函数，m ∴是奇数，*m N ∈，∴实数m 的最小值是1．【点睛】本题考查幂函数的定义、奇偶性，考查运算求解能力，是基础题．17．（上海普陀·曹杨二中高一期中）定义在R 上的奇函数()f x 在[)0,+∞上的图像如图所示，则不等式()0xf x <的解集是______.【答案】()(),22,-∞-+∞【分析】解不等式组00()0()0x x f x f x ><⎧⎧⎨⎨<>⎩⎩或得解.【详解】因为函数f(x)是奇函数，所以函数的图像为因为()0xf x <，所以函数的第二、四象限的图像满足题意，所以x ＞2或x ＜-2.所以不等式的解集为()(),22,-∞-+∞.故答案为()(),22,-∞-+∞【点睛】本题主要考查奇函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.18．（2020·徐汇·上海中学高一期末）已知函数23()4f x ax =+，()ag x x x =+，对任意的1[1,2]x ∈，存在2[1,2]x ∈，使得()()12f x g x ≥恒成立，则a 的取值范围为__________. 【答案】5,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】对任意的1[1,2]x ∈，存在2[1,2]x ∈，使得()()12f x g x ≥恒成立，等价于min max ()()f x g x ≥在区间[1,2]上恒成立，对a 的取值进行分类讨论，利用单调性求出min ()f x 和min ()g x ，列出关于a 的不等式组求得答案.【详解】当0a <时，23()4f x ax =+在区间[1,2]上单调递减，min 3()(2)44f x f a ==+，()ag x x x=+在区间[1,2]上单调递增，min ()1g x a =+，所以3414a a +≥+，解得112a ≥，因为0a <，所以无解；当0a ≥时，可知min 3()(1)4f x f a ==+，当01a ≤≤时，()ag x x x=+在区间[1,2]上单调递增，其最小值为(1)1g a =+，所以有01314a a a ≤≤⎧⎪⎨+≥+⎪⎩，无解，当14a <<时，()ag x x x=+在区间上单调减，在4]上单调增，其最小值为g =所以有1434a a <≤⎧⎪⎨+≥⎪⎩，解得542a ≤≤，所以a 的取值范围是5[,4]2，故答案为：5[,4]2.【点睛】该题考查的是有关根据恒成立求参数的取值范围的问题，涉及到的知识点有根据题意将恒成立问题向最值转化，求含参的函数在给定区间上的最值，属于中档题目.19．（2019·徐汇·上海中学高一期末）若函数()()2log 2a f x x ax =-+（0a >且1a ≠）满足：对任意1x ，2x ，当122ax x <≤时，()()120f x f x ->，则a 的取值范围为______．【答案】(【分析】确定函数为单调减函数，利用复合函数的单调性：知道1a >且真数恒大于0，求得a 的取值范围．【详解】解：令2222()224a a y x ax x =-+=-+-在对称轴左边递减，∴当122ax x <时，12y y > 对任意的1x ，2x 当122ax x <时，21()()0f x f x -<，即12()()f x f x > 故应有1a >又因为22y x ax =-+在真数位置上所以须有2204a ->∴a -<综上得1a <<故答案为(【点睛】本题考查了复合函数的单调性．复合函数的单调性的遵循原则是单调性相同复合函数为增函数，单调性相反复合函数为减函数．20．（2019·上海市高桥中学高一期末）设m R ∈，若函数()()2311f x m x mx =+++是偶函数，则()f x 的单调递增区间是_________. 【答案】[0,)+∞【分析】由()()f x f x -=，化简得所以()()22331111m x mx m x mx +-+=+++，即可求解，得到答案.【详解】由题意，函数()()2311f x m x mx =+++是偶函数，所以()()f x f x -=，即()()()22331()()111f x m x m x m x mx -=+-+-+=+-+，所以()()22331111m x mx m x mx +-+=+++，可得0m =，所以函数的解析式为()231f x x =+，根据幂函数的性质，可得函数()f x 的单调递增区间为[0,)+∞．故答案为[0,)+∞.【点睛】本题主要考查了利用函数的奇偶性求解参数问题，其中解答中熟记函数的奇偶性的定义，根据多项式相等求得m 的值，再根据幂函数的性质求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.三、解答题21．（2019·上海市曹杨中学高一期末）已知函数()224422f x x ax a a =-+-+在区间[0,2]上的最小值为3，求a 的值．【答案】1a =5a =．【分析】将f （x ）转化为顶点式，求得对称轴，讨论区间和对称轴的关系，结合函数单调性，得最小值所对应方程，解方程可得a 的值【详解】函数()f x 的表达式可化为()()24222a f x x a ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭．① 当022a<<，即04a <<时，()f x 有最小值22a -，依题意应有223a -=，解得12a =-，这个值与04a ≤≤相矛盾．②当2a 0≤，即a 0≤时，()2022f a a =-+是最小值，依题意应有2223a a -+=，解得1a =a 0≤，∴1a =③当2a 2≥ ，即a 4≥时，()2216822f a a a =-+-+是最小值，依题意应有2168223a a a -+-+=，解得5a =±，又∵a 4≥，∴5a =综上所述，1a =-5a =．【点睛】本题考查了二次函数求最值，解题中要注意对称轴和区间的关系，考查分类讨论的思想方法和运算能力.22．（2017·上海徐汇·南洋中学高一月考）已知函数()f x 对于任意的,x y 都有()()()f x y f x f y +=+，当0x >时，则()0f x <且(1)2f =-（1）判断()f x 的奇偶性；（2）求()f x 在[3,3]-上的最大值；（3）解关于x 的不等式2()2()()4f ax f x f ax -<+.【答案】(1) 函数f (x )为奇函数．(2)6.(3)见解析.分析：（1）取x=y=0可得f （0）=0；再取y=﹣x 代入即可；（2）先判断函数的单调性，再求函数的最值；（3）由于f （x ）为奇函数，整理原式得 f （ax 2）+f （﹣2x ）＜f （ax ）+f （﹣2）；即f （ax 2﹣2x ）＜f （ax ﹣2）；再由函数的单调性可得ax 2﹣2x ＞ax ﹣2，从而求解．详解：（1）取x=y=0，则f （0+0）=f （0）+f （0）；则f （0）=0；取y=﹣x ，则f （x ﹣x ）=f （x ）+f （﹣x ）， ∴f （﹣x ）=﹣f （x ）对任意x ∈R 恒成立 ∴f （x ）为奇函数；（2）任取x 1，x 2∈（﹣∞，+∞）且x 1＜x 2，则x 2﹣x 1＞0； ∴f （x 2）+f （﹣x 1）=f （x 2﹣x 1）＜0； ∴f （x 2）＜﹣f （﹣x 1），又∵f （x ）为奇函数 ∴f （x 1）＞f （x 2）；∴f （x ）在（﹣∞，+∞）上是减函数；∴对任意x ∈[﹣3，3]，恒有f （x ）≤f （﹣3）而f （3）=f （2+1）=f （2）+f （1）=3f （1）=﹣2×3=﹣6； ∴f （﹣3）=﹣f （3）=6；∴f （x ）在[﹣3，3]上的最大值为6；（3）∵f （x ）为奇函数，∴整理原式得 f （ax 2）+f （﹣2x ）＜f （ax ）+f （﹣2）；即f （ax 2﹣2x ）＜f （ax ﹣2）；而f （x ）在（﹣∞，+∞）上是减函数， ∴ax 2﹣2x ＞ax ﹣2； ∴（ax ﹣2）（x ﹣1）＞0． ∴当a=0时，x ∈（﹣∞，1）；当a=2时，x ∈{x|x≠1且x ∈R}；当a ＜0时，2{|1}x x x a∈＜＜；当0＜a ＜2时，2{|1}x x x x a∈＞或＜当a ＞2时，2{|1}x x x x a∈＜或＞．点睛：根据抽象函数的单调性解不等式应注意以下三点：（1）一定注意抽象函数的定义域（这一点是同学们容易疏忽的地方，不能掉以轻心）；（2）注意应用函数的奇偶性（往往需要先证明是奇函数还是偶函数）；（3）化成()()()()f g x f h x ≥ 后再利用单调性和定义域列不等式组.23．（2020·浦东新·上海师大附中高一期中）已知函数()1()||3,,0m f x x m R x x-=+-∈≠.(1)判断函数()y f x =的奇偶性，并说明理由；(2)若对于任意的[]()1,4,1x f x ∈≥-恒成立，求满足条件的实数m 的最小值M . (3)对于(2)中的M ，正数a ，b 满足22a b M +=，证明: 2a b ab +≥.【答案】(1) 当1m =时，()f x 为偶函数, 当1m ≠时，既不是奇函数也不是偶函数，理由见解析；(2)2；(3) 证明见解析.【分析】(1)对m 分类讨论,结合奇偶性的定义进行判断可得;(2)将不等式转化为212m x x -≥-+对任意的[1,4]x ∈都成立,再构造函数,利用单调性求出最大值即可得到答案;(3)由(2)知2M =,所以1ab ≤,2a b+≤变形可证. 【详解】(1)(i)当m=1时，()||3f x x =-，(,0)(0,)x ∈-∞⋃+∞, 因为()||3||3()f x x x f x -=--=-=, 所以()f x 为偶函数；(ii)当1m ≠时,(1)3f m =-,(1)1f m -=-,(1)(1)f f ≠-,(1)(1)f f ≠--, 所以既不是奇函数也不是偶函数. (2) 对于任意的[]()1,4,1x f x ∈≥-,即131m x x-+-≥-恒成立，所以212m x x -≥-+对任意的[1,4]x ∈都成立, 设2()2,[1,4]g x x x x =-+∈, 则()g x 为[1,4]上的递减函数, 所以1x =时,()g x 取得最大值1, 所以11m -≥,即2m ≥.所以2M =.(3)证明: 由(2)知2M =,222a b ab +≥，所以22ab ≥,1ab ∴≤,1≤，当且仅当a b =时取等号，①又1,22a b ab +≤≤2ab a b ∴≤+，当且仅当a b =时取等号，② 由①②得，12ab a b ≤+, 所以2a b ab +≥,【点睛】本题考查了函数奇偶性的讨论,不等式恒成立问题,不等式的证明问题,属于中档题.24．（2017·上海市七宝中学高一期中）已知函数2()log (41)xf x ax =+-.（1）若函数()f x 是R 上的偶函数，求实数a 的值；（2）若4a =，求函数()f x 的零点．【答案】（1）1a =；（2）4log x =【分析】（1）由题意得()()f x f x -=，即()()0f x f x --=，根据函数解析式整理可得21log 22204xax x ax +=-+=，故得1a =．（2）当4a =时得到函数的解析式，然后根据指数与对数的关系可得4412x x +=，整理得()24410xx --=，求得142x +=，于是可得41log 2x +=．【详解】（1）∵()f x 是R 上的偶函数， ∴()()f x f x -=，即()()0f x f x --=，∴()()][()22log 41log 410x xa x ax -⎡⎤+---+-=⎣⎦，整理得241log 2041x x ax -++=+，∴21log 22204xax x ax +=-+=， ∴1a =．（2）当4a =时，()()2log 414xf x x =+-令()0f x =，可得()2log 414xx +=，∴4412x x += 整理得()24410xx --=，解得4x =或4x =（舍去）∴4log x = 【点睛】本题考查函数的性质及函数与方程的关系，考查计算能力和转化能力，解题的关键是根据相关概念及所求将问题进行转化，逐步达到求解的目的．另外，由于题目中涉及到大量的计算，所以在求解过程中要注意运算的准确性，合理进行指数和对数间的转化． 25．（2019·上海市建平中学高一期末）已知()()x x mf x e m R e=-∈是定义在[]1,1-上的奇函数.（1）求实数m 的值；（2）求证：()f x 在[]1,1-上是单调递减函数；（3）若()()2120f a f a -+≤，求实数a 的取值范围.【答案】（1）1；（2）证明见解析；（3）122a ≤≤【分析】（1）根据奇函数性质得()00=f ，代入求实数m 的值；（2）根据单调性定义证明；（3）根据单调性与奇偶性化简不等式，再解一元二次不等式得结果. 【详解】（1）因为()()xx m f x e m R e=-∈是定义在[]1,1-上的奇函数，所以()001011mf m =∴-=∴= 当1m =时()()111,(),x x xx x xf x e f x e e f x e e e --=-∴-=-=-=- 所以1m =；（2）设12,x x 为[]1,1-上任意两数，且12x x < 所以()()1212121212111()(1)x x x x x x x x f x f x e e e e e e e e -=-+-=-++ 因为12x x <，所以120x x e e <<∴()()12f x f x > 即()f x 在[]1,1-上是单调递减函数；（3）因为()f x 是定义在[]1,1-上的奇函数，且在[]1,1-上是单调递减函数；()()()()()()2221202121f a f a f a f a f a f a -+≤∴≤--∴≤-所以21211a a ≥≥-≥-，211122222a a a a a ⎧⎪≤⎪⎪∴≥≤-∴≤≤⎨⎪⎪-≤≤⎪⎩或【点睛】本题考查奇偶性、单调性证明、利用单调性解不等式，考查综合分析求解能力，属中档题.26．（2019·上海市第八中学高一期末）已知函数f （x ）＝22x x ax++，x ∈[1，＋∞)．（1）当a ＝12时，求函数f （x ）的最小值；（2）若对任意x ∈[1，＋∞)，f （x ）＞0恒成立，试求实数a 的取值范围．【答案】（1）72；（2）(－3，＋∞). 【分析】（1）1()22f x x x=++，利用作差法判断[1，＋∞)上的单调性，即可求得；（2）f （x ）＞0恒成立，等价于f （x ）的最小值大于零，令y ＝x 2＋2x ＋a ，求y 的最小值即可.【详解】（1）当a ＝12时，1()22f x x x=++，设1≤x 1＜x 2，则122121212112(21)11()()2(2)()222x x f x f x x x x x x x x x --=++-++=-， ∵1≤x 1＜x 2，∴2x 1x 2＞2，2x 1x 2-1>0，21x x ->0， ∴21()()0f x f x ->，∴f （x ）在区间[1，＋∞)上为增函数，∴f （x ）在区间[1，＋∞)上的最小值为f （1）＝72，（2）在区间[1，＋∞)上f （x ）＞0恒成立⇔x 2＋2x ＋a ＞0恒成立，设y ＝x 2＋2x ＋a ，x ∈[1，＋∞)，则函数y ＝x 2＋2x ＋a ＝(x ＋1)2＋a －1在区间[1，＋∞)上是增函数，∴当x ＝1时，y 取最小值，即y min ＝3＋a ，于是当且仅当y min ＝3＋a ＞0时，函数f （x ）＞0恒成立，故a ＞－3，实数a 的取值范围为(－3，＋∞)．【点晴】（1）判断函数单调性的方法有：（1）定义法；（2）图像法；（3）四则运算法；（4）复合函数法；（5）导数法；此题也可以利用对勾函数的图像解决；（2）()f x a >恒成立等价于min ()f x a >.27．（2020·上海市控江中学高一期末）已知函数()f x ，()g x 的定义域分别为12,D D ，若存在常数C R +∈，满足：①对任意01x D ∈，恒有01x C D +∈，且()()00f x f x C ≤+.②对任意01x D ∈，关于x 的不等式组()()0f x g x ≤≤()()0g x C f x C +≤+恒有解，则称()g x 为()f x 的一个“C 型函数”.(1)设函数()1103113x f x x ⎧-≤≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩和()1102102x g x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩，求证：()g x 为()f x 的一个“12型函数”； (2)设常数a R ∈，函数()()31f x x ax a =+≥-，()()21g x x x =≥-.若()g x 为()f x 的一个“1型函数”，求a 的取值范围；(3)设函数()()240f x x x x =-≥.问：是否存在常数t R +∈，使得函数()()220t x x g x x=+>为()f x 的一个“t 型函数”？若存在，求t 的取值范围；若不存在，说明理由.【答案】(1)证明见解析；(2)7,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭；(3)[)7,+∞.【分析】（1）由()1103113x f x x ⎧-≤≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩，()00112f x f x ⎛⎫+=≥ ⎪⎝⎭恒成立，①成立，根据()g x 解析式，0x =为不等式组()()0011()()22f xg x g x f x ≤≤+≤+的一个解，得②成立，即可证明结论；（2）()g x 为()f x 的一个“1型函数”，满足①对任意0001,()(1)x f x f x ≥-≤+，求出a 的范围，②对任意01x ≥-，关于x 的不等式组00()()(1)(1)f x g x g x f x ≤≤+≤+恒有解，转化为求函数的最值，可求出a 的范围，即可求解；（3）由()()220t x x g x x=+>为()f x 的一个“t 型函数”，与（2）同理，将同时满足①②条件的参数t 求出，即可求解. 【详解】（1）①00000115[0,],()1,[,],()1()2211623x f x x f x f x ∈=-∈>++=，当000015(,),(),()()1361122x x f x f x ∈+∞∈++∞+==，任意0[0,)x ∈+∞，且()0012f x f x ⎛⎫≤+⎪⎝⎭， ②()1102102x g x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩，1(0)()12f f ==，因为()()00110()()22f xg g f x ≤≤≤+，0x =为不等式()()0011()()22f xg x g x f x ≤≤+≤+的一个解，所以()g x 为()f x 的一个“12型函数”；（2）①对任意0001,()(1)x f x f x ≥-≤+，22000113313()024x x a x a +++=+++≥，20min 1111[3()]0,2444x a a a ∴+++=+≥≥-；②对任意01x ≥-，关于x 的不等式组00()()(1)(1)f x g x g x f x ≤≤+≤+恒有解，()()()()30030022122111x x ax x x x x a x ⎧≥+⎪⎪+≥⎨⎪+≤+++⎪⎩，即300320002231x x ax x x ax x a ⎧≥+⎨≤+++-⎩，因为关于x 的不等式组恒有解，所以323000000331x ax x x a x ax ++++-≥+，22000173313()024x x a x a ∴++-=++-≥恒成立，74a ∴≥；综上，74a ∴≥；（3）①对任意对任意0000,()()x f x f x t ≥≤+，222000004()4(),420x x x t x t t t x t -≤+-+-+≥，00min ,420,(42)40,4t R t x t x t t +∈∴-+≥-+=-≥∴≥；②对任意00x ≥，关于x 的不等式组00()()()()f x g x g x t f x t ≤≤+≤+恒有解，()()220022222200242220224t x x x x t t x t x x tx t x t x t x t x t x t x t x t ⎧+≥-⎪⎪⎪++≥+⇒+-≥⇒≥⎨+⎪⎪++≤+-+⎪+⎩，考虑22min 002()()4(),t x t x t x t x t x t++≤+-+≥+，令(2)x t m m t +=≥，则2222min 00022()23()4()(2)42t t m t t x t x t x t m t+=+=≤+-+=+--，由于204,(2)4t y x t ≥=+--在00x ≥时，单调递增，220min 3[(2)4](2)4,7t x t t t ≤+--=--∴≥或0t ≤（舍去），由()(2)3g t g t t ==，记方程()3f x t =的根为1x ，若010x x ≤≤，则00()3()(2)()f x t g t g t f x t ≤==≤+，即x t =为不等式组的一个解，若01x x >，取2x t >且0()()g x f x =，220022()()()()t t g x t x t x t g x t f x t f x t x t x+=++<++=+=+≤++，综上，7t ≥.【点睛】本题考查函数新定义问题，要充分理解题意，考查不等式恒成立和能成立问题，熟练利用二次函数求最值是解题的关键，着重考查了转化思想，以及分析问题和解决问题的能力，属于难题.28．（2019·上海宝山·高一期末）对于三个实数a 、b 、k ，若22(1)(1)1a b k a b ab ++≥⋅-⋅-成立，则称a 、b 具有“性质k ”.（1）试问：①()x x ∈R ，0是否具有“性质2”；②tan y （124y ππ<<），0是否具有“性质4”；（2）若存在03[,2]4x ππ∈及01[,2]2t ∈，使得00001sin 22sin 0x x t m t ----≤成立，且0sin x ，1具有“性质2”，求实数m 的取值范围；（3）设1x ，2x ，⋅⋅⋅，2019x 为2019个互不相同的实数，点(,)m n x x （{},1,2,,2019m n ∈⋅⋅⋅）均不在函数1y x=的图象上，是否存在(),i j i j ≠，且{},1,2,,2019i j ∈⋅⋅⋅，使得i x 、j x具有“性质2018”，请说明理由.【答案】（1）①具有“性质2”，②不具有“性质4”；（2）52m ≥-；（3）存在.【分析】（1）①根据题意需要判断212||x x +≥的真假即可② 根据题意判断21tan 4|tan |y y +≥是否成立即可得出结论；（2）根据具有性质2可求出0x 的范围，由存在性问题成立转化为00max (sin 22sin )x x -≤ 0max 01()t m t ++，根据函数的性质求最值即可求解. 【详解】（1）①因为212x x +≥，212x x +≥-成立,所以212||x x +≥，故()x x ∈R ，0具有“性质2”②因为124y ππ<<，设tan t y =，则316t <<设2()41f t t t =-+，对称轴为2t =，所以函数2()41f t t t =-+在t ∈上单调递减，当1t →时，min ()20f t →-<，所以当124y ππ<<时，21tan 4tan 0y y +-≥不恒成立，即21tan 4|tan |y y +≥不成立，故tan y （124y ππ<<），0不具有“性质4”.（2）因为0sin x ，1具有“性质2”所以22000(1sin )(1+12|sin 1||1sin |x x x +≥--）化简得2200(1sin )(1sin )x x +≥-解得034x ππ≤≤或02x π= . 因为存在03[,2]4x ππ∈及01[,2]2t ∈，使得00001sin 22sin 0x x t m t ----≤成立，所以存在03[,]4x ππ∈{2}π 及01[,2]2t ∈使00max (sin 22sin )x x -≤ 0max 01()t m t ++即可. 令00sin 22sin y x x =-，则200002cos 22cos 2(2cos cos 1)y x x x x '=-=--，当03[,]4x ππ∈时，0y '>，所以00sin 22sin y x x =-在03[,]4x ππ∈上是增函数，所以0x π=时，0max 00(sin 22si )n x x =-，当02x π=时，00sin 22sin =0x x -，故03[,]4x ππ∈{2}π时，0max 00(sin 22si )n x x =-因为1y x m x=++在1[,1]2上单调递减，在[1,2] 上单调递增，所以0max 015()=2t m m t +++，故只需满足502m ≤+即可，解得52m -≤. （3）假设具有“性质2018”，则22(1)(1)20181i j i j i j x x x x x x ++≥⋅-⋅-，即证明在任意2019个互不相同的实数中，一定存在两个实数,i j x x ,满足：22(1)(1)20181i j i j i j x x x x x x ++≥⋅-⋅-.证明：由()()()22111122222221111|111j j j j jj i i ji jijx x x x x x x x x x x x x x x x x x --+-⋅-==-++++++，令tan i x α=，由万能公式知2111sin 2,1222i i x x α⎡⎤=∈-⎢⎥+⎣⎦，将11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦等分成2018个小区间，则1220191i ,,11s n 2sin 2,sin 2222a a a 这2019个数必然有两个数落在同一个区间，令其为：11sin 2,sin 222ϕγ，即111sin 2sin 2222018ϕγ-≤，也就是说，在1x ，2x ，⋅⋅⋅，2019x 这2019个数中，一定有两个数满足221112018i i i i x x x x -≤++，即一定存在两个实数,i j x x ，满足22(1)(1)20181i j i j i j x x x x x x ++≥⋅-⋅-，从而得证.【点睛】本题主要考查了不等式的证明，根据存在性问题求参数的取值范围，三角函数的单调性，万能公式，考查了创新能力，属于难题.29．（2018·上海嘉定·高一期末）已知x ∈R ，定义：()f x 表示不小于x 的最小整数，例如：2f =，(0.6)0f -=．（1）若()2018f x =，求实数x 的取值范围；（2）若0x >，且1(3())(6)31xf x f x f +=++，求实数x 的取值范围；（3）设()()2f x g x x a x =+⋅-，2242022()57x x h x x x -+-=-+，若对于任意的123(2,4]x x x ∈、、，都有123()()()g x h x h x >-，求实数a 的取值范围．【答案】（1）(2017,2018]（2）45(,]33（3）(5,)+∞试题分析：⑴由()2018f x =及已知条件，可以得到20172018x <≤，即可得出答案；⑵先求出16731x f ⎛⎫+= ⎪+⎝⎭，得到()637x f x <+≤，然后分类讨论01x <≤、 12x <≤、2x >时的取值，从而得出结果；⑶对于任意的(]1224x x ∈，，，，都有()()()123g x h x h x >-，即有()()()max min g x h x h x ⎡⎤⎡⎤>-⎣⎦⎣⎦对任意的(]2,4x ∈恒成立．讨论(]23x ∈，，(]34x ∈，时，结合新定义和分离参数，由二次函数的最值的求法，即可解得实数a 的取值范围解析：（1）解：由()2018f x =及题意得20172018x <≤．所以所求实数x 的取值范围是(]2017,2018．（2）解：因为()30,x∈+∞，则()311,x+∈+∞，()10,131x ∈+，()166,731x +∈+，所以16731xf ⎛⎫+= ⎪+⎝⎭．由题意得当0x >，且()()37f x f x +=，所以()637x f x <+≤．若()1f x =，即01x <≤时，6317x <+≤，解得523x <≤，所以x ∈∅；若()2f x =，即12x <≤时，6327x <+≤．解得4533x <≤，所以45,33x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦；若()3f x ≥，即2x >时，36x >，()39x f x +>，不符合题意．所以x ∈∅．综上，所求实数x 的取值范围是45,33⎛⎤⎥⎝⎦．（3）解：对于任意的(]123,,2,4x x x ∈，都有()()()123g x h x h x >-．只需()()()max min g x h x h x ⎡⎤⎡⎤>-⎣⎦⎣⎦对任意的(]2,4x ∈恒成立．又()224202257x x h x x x -+-=-+ 2645324x =-+⎛⎫-+ ⎪⎝⎭．因为(]2,4x ∈，所以当52x =时，()max 4h x ⎡⎤=⎣⎦；当4x =时，()min2h x ⎡⎤=-⎣⎦．因此()6g x >对任意的(]2,4x ∈恒成立． ①当(]2,3x ∈时，()326ag x x x=+->恒成立．即238a x x >-恒成立，所以()2max3815a x x>-=，解得5a >；②当(]3,4x ∈时，()426ag x x x=+->恒成立．即248a x x >-恒成立，所以()2max4816a x x>-=，解得4a >．综上，所求实数a 的取值范围是()5,+∞．点睛：本题主要考查的是新定义的理解和应用，归纳推理，在解题过程中应当审清题意，然后按照题目要求进行解答，在解答不等式恒成立问题时注意方法，需要将其转化为最值问题，然后求解范围问题，本题难度较大．。

2017-2018年上海市复旦附中高一(下)期末数学试卷(解析版)

2017-2018学年上海市复旦附中高一（下）期末数学试卷一.填空题1．（3分）在等差数列{a n}中，若a4＝0，a6+a7＝10，则a7＝2．（3分）在数列1、3、7、15、…中，按此规律，127是该数列的第项3．（3分）已知数列{a n}的前n项和S n＝n2﹣1，那么数列{a n}的通项公式为4．（3分）若在等比数列{a n}中，a1•a2…a9＝512，则a5＝5．（3分）方程（3cos x﹣1）（cos x+sin x）＝0的解集是6．（3分）若数列{a n}满足a1＝13，a n+1﹣a n＝n，则的最小值为7．（3分）若数列{a n}是等差数列，则数列（m∈N*）也为等差数列，类比上述性质，相应地，若正项数列{c n}是等比数列，则数列d n＝也是等比数列8．（3分）观察下列式子：，，，…，你可归纳出的不等式是．9．（3分）在我国古代数学著作《孙子算经》中，卷下第二十六题是：今有物，不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？满足题意的答案可以用数列表示，该数列的通项公式可以表示为a n＝10．（3分）对于下列数排成的数阵：它的第10行所有数的和为11．（3分）对于数列{a n}满足：a1＝1，a n+1﹣a n∈{a1，a2，…，a n}（n∈N*），其前n项和为S n，记满足条件的所有数列{a n}中，S12的最大值为a，最小值为b，则a﹣b＝12．（3分）设n∈N*，用A n表示所有形如++…+的正整数集合，其中0≤r1＜r2＜…＜r n≤n，且r i∈N（i∈N*），b n为集合A n中的所有元素之和．则{b n}的通项公式为b n ＝．二.选择题13．（3分）“b是与的等差中项”是“b是与的等比中项”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件14．（3分）在数列{a n}中，a1＝1，a2＝64，且数列是等比数列，其公比，则数列{a n}的最大项等于（）A．a7B．a8C．a6或a9D．a1015．（3分）若数列，若k∈N*，则在下列数列中，可取遍数列{a n}前6项值的数列为（）A．{a2k+1}B．{a3k+1}C．{a4k+1}D．{a5k+1}16．（3分）数列{a n}中，若a1＝a，，n∈N*，则下列命题中真命题个数是（）（1）若数列{a n}为常数数列，则a＝±1；（2）若a∈（0，1），数列{a n}都是单调递增数列；（3）若a∉Z，任取{a n}中的9项，，，…，（1＜k1＜k2＜…＜k9）构成数列{a n}的子数列{}，n＝1，2，…，9，则{}都是单调数列．A．0个B．1个C．2个D．3个三.解答题17．已知{a n}是一个公差大于0的等差数列，且满足a4a6＝96，a3+a7＝20，数列{b n}满足等式：（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列的前n项和S n．18．已知b、c为常数且均不为零，数列{a n}的通项公式为a n＝，并且a1、a3、a2成等差数列，a1、a2、a4成等比数列．（1）求b、c的值；（2）设S n是数列{a n}前n项的和，求使得不等式S2n＞20182成立的最小正整数n．19．王某2017年12月31日向银行贷款100000元，银行贷款年利率为5%，若此贷款分十年还清（2027年12月31日还清），每年年底等额还款（每次还款金额相同），设第n年末还款后此人在银行的欠款额为a n元．（1）设每年的还款额为m元，请用m表示出a2；（2）求每年的还款额（精确到1元）．20．设数列{a n}的首项a1为常数，且a n+1＝3n﹣2a n（n∈N*）．（1）判断数列是否为等比数列，请说明理由；（2）S n是数列{a n}的前n项的和，若{S n}是递增数列，求a1的取值范围．21．如果数列{a n}对任意的n∈N*满足：a n+2+a n＞2a n+1，则称数列{a n}为“M数列”．（1）已知数列{a n}是“M数列”，设b n＝a n+1﹣a n，n∈N*，求证：数列{b n}是递增数列，并指出2（a5﹣a4）与a4﹣a2的大小关系（不需要证明）；（2）已知数列{a n}是首项为1，公差为2d的等差数列，S n是其前n项的和，若数列{|S n|}是“M数列”，求d的取值范围；（3）已知数列{a n}是各项均为正数的“M数列”，对于n取相同的正整数时，比较和的大小，并说明理由．2017-2018学年上海市复旦附中高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一.填空题1．（3分）在等差数列{a n}中，若a4＝0，a6+a7＝10，则a7＝6【解答】解：在等差数列{a n}中，由a4＝0，a6+a7＝10，得2a4+5d＝10，即d＝2．∴a7＝a4+3d＝6．故答案为：6．2．（3分）在数列1、3、7、15、…中，按此规律，127是该数列的第7项【解答】解：a2﹣a1＝21，a3﹣a2＝22，a4﹣a3＝23，…依此类推可得a n﹣a n﹣1＝2n﹣1∴a2﹣a1+a3﹣a2+a4﹣a3…+a n﹣a n﹣1＝a n﹣a1＝21+22+23+…+2n﹣1＝2n﹣2∴a n﹣a1＝2n﹣2，a n＝2n﹣1，∴2n﹣1＝127，解得n＝7，故答案为：73．（3分）已知数列{a n}的前n项和S n＝n2﹣1，那么数列{a n}的通项公式为a n＝【解答】解：数列{a n}的前n项和S n＝n2﹣1，可得a1＝S1＝1﹣1＝0；n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝n2﹣1﹣（n﹣1）2+1＝2n﹣1，则a n＝，故答案为：a n＝．4．（3分）若在等比数列{a n}中，a1•a2…a9＝512，则a5＝2【解答】解：{a n}是等比数列，a m•a n＝a p•a q．由a1•a2…a9＝512，即，∴a5＝2．故答案为：2．5．（3分）方程（3cos x﹣1）（cos x+sin x）＝0的解集是【解答】解：方程（3cos x﹣1）（cos x+sin x）＝0，整理得：（3cos x﹣1）•2sin（x+）＝0．故：cos x＝或sin（x+）＝0，解得：x＝或x＝﹣（k∈Z）．故方程的解集为{x|，x＝﹣，k∈Z}故答案为：{x|}，x＝﹣，k∈Z}6．（3分）若数列{a n}满足a1＝13，a n+1﹣a n＝n，则的最小值为【解答】解：数列{a n}满足a1＝13，a n+1﹣a n＝n，可得a n＝a1+（a2﹣a1）+…+（a n﹣a n﹣1）＝13+1+2+…+（n﹣1）＝13+n（n﹣1），则＝n+﹣，由n+≥2＝，当且仅当n＝∉N*，由n＝5可得×5+﹣＝；由n＝6可得×6+﹣＝，则的最小值为．故答案为：．7．（3分）若数列{a n}是等差数列，则数列（m∈N*）也为等差数列，类比上述性质，相应地，若正项数列{c n}是等比数列，则数列d n＝也是等比数列【解答】解：在类比等差数列的性质推理等比数列的性质时，我们一般的思路有：由加法类比推理为乘法，由减法类比推理为除法，由算术平均数类比推理为几何平均数等，故我们可以由数列{a n}是等差数列，则当时，数列{b n}也是等差数列．类比推断：若数列{c n}是各项均为正数的等比数列，则当d n＝时，数列{d n}也是等比数列．故答案为：8．（3分）观察下列式子：，，，…，你可归纳出的不等式是．【解答】解：，＝，，…，可得1++ +…+＞，故答案为：1+++…+＞9．（3分）在我国古代数学著作《孙子算经》中，卷下第二十六题是：今有物，不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？满足题意的答案可以用数列表示，该数列的通项公式可以表示为a n＝105n+23【解答】解：本题的意思是一个数用3除余2，用7除也余2，所以用3与7的最小公倍数21除也余2，而用21除余2的数我们首先就会想到23；23恰好被5除余3，即最小的一个数为23，同时这个数相差又是3，5，7的最小公倍数，即3×5×7＝105，即数列的通项公式可以表示为a n＝105n+23，故答案为：105n+2310．（3分）对于下列数排成的数阵：它的第10行所有数的和为﹣505【解答】解：第1行1个数，第2行2个数，则第9行9个数，故第10行的第一个数为1+＝46，第10行的最后一个数无45+10＝55，且奇数为负数，偶数为正数，故第10行所有数的和为462﹣472+482﹣492+502﹣512+522﹣532+542﹣552＝﹣（46+47+48+49+50+51+52+53+54+55）＝﹣505，故答案为：505．11．（3分）对于数列{a n}满足：a1＝1，a n+1﹣a n∈{a1，a2，…，a n}（n∈N*），其前n项和为S n，记满足条件的所有数列{a n}中，S12的最大值为a，最小值为b，则a﹣b＝4017【解答】解：由a1＝1，a n+1﹣a n∈{a1，a2，…，a n}（n∈N+），可得a2﹣a1＝a1，解得a2＝2a1＝2，又a3﹣a2∈{a1，a2}，可得a3＝a2+a1＝3或2a2＝4，又a4﹣a3∈{a1，a2，a3}，可得a4＝a3+a1＝4或5；a4＝a3+a2＝5或6；或a4＝2a3＝6或8；又a5﹣a4∈{a1，a2，a3，a4}，可得a5＝a4+a1＝5或6或7；a5＝a4+a2＝6或7或8；a5＝a4+a3＝7或8或9或10或12；a5＝2a3＝8或10或12或16．综上可得S12的最大值a＝1+2+22+23+24+…+211＝＝4095，最小值为b＝1+2+3+4+5+…+12＝＝78．则a﹣b＝4095﹣78＝4017．故答案为：4017．12．（3分）设n∈N*，用A n表示所有形如++…+的正整数集合，其中0≤r1＜r2＜…＜r n≤n，且r i∈N（i∈N*），b n为集合A n中的所有元素之和．则{b n}的通项公式为b n＝n•（2n+1﹣1）．【解答】解：由题意可知，r1、r2、…、r n是0、1、2、…、n的一个排列，且集合A n中共有n+1个数，若把集合A n中每个数表示为++…+的形式，则20、21、22、…、2n每个数都出现n次，因此，＝，故答案为：n•（2n+1﹣1）．二.选择题13．（3分）“b是与的等差中项”是“b是与的等比中项”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若b是与的等差中项，则b＝＝1，若b是与的等比中项，则b＝±＝±1，则“b是与的等差中项”是“b是与的等比中项”的充分不必要条件，故选：A．14．（3分）在数列{a n}中，a1＝1，a2＝64，且数列是等比数列，其公比，则数列{a n}的最大项等于（）A．a7B．a8C．a6或a9D．a10【解答】解：∵在数列{a n}中，a1＝1，a2＝64，且数列是等比数列，其公比，∴＝×（﹣）n﹣1＝（﹣1）n﹣1•27﹣n．∴＝1×（﹣1）0+1+……+（n﹣2）×26+5+……+（8﹣n）＝，∵＝+．由n＝7或8时，＝﹣1，n＝6或9时，a6＝220＝a9，∴数列{a n}的最大项等于a6或a9．故选：C．15．（3分）若数列，若k∈N*，则在下列数列中，可取遍数列{a n}前6项值的数列为（）A．{a2k+1}B．{a3k+1}C．{a4k+1}D．{a5k+1}【解答】解：∵数列，k∈N*，∴，，，，，＝cos，，∴{a n}是以6为周期的周期数列，∴{a5k+1}是可取遍数列{a n}前6项值的数列．故选：D．16．（3分）数列{a n}中，若a1＝a，，n∈N*，则下列命题中真命题个数是（）（1）若数列{a n}为常数数列，则a＝±1；（2）若a∈（0，1），数列{a n}都是单调递增数列；（3）若a∉Z，任取{a n}中的9项，，，…，（1＜k1＜k2＜…＜k9）构成数列{a n}的子数列{}，n＝1，2，…，9，则{}都是单调数列．A．0个B．1个C．2个D．3个【解答】解：数列{a n}中，若a1＝a，，n∈N*，（1）若数列{a n}为常数数列，则a2＝sin（a）＝a，解得a＝0或±1，故（1）不正确；（2）若a∈（0，1），a∈（0，），a2＝sin（a），由函数f（x）＝sin（x）﹣x，x∈（0，1），f′（x）＝cos（x）﹣1，由x∈（0，），可得极值点唯一且为m＝arccos，极值为f（m）＝﹣arccos＞0，由f（0）＝f（1）＝0，可得a2＞a1，则a3﹣a2＝sin（a2）﹣sin（a1）＞0，即有a3＞a2，…，由于a n∈（0，1），a n∈（0，），由正弦函数的单调性，可得a n+1＞a n，则数列{a n}都是单调递增数列，故（2）正确；（3）若a∈（0，1），任取{an}中的9项，，，…，（1＜k1＜k2＜…＜k9）构成数列{a n}的子数列{}，n＝1，2，…，9，{}是单调递增数列；由f（x）＝sin（x）﹣x，可得f（﹣x）＝﹣f（x），f（x）为奇函数；当0＜x＜1时，f（x）＞0，x＞1时，f（x）＜0；当﹣1＜x＜0时，f（x）＜0；x＜﹣1时，f（x）＞0，运用正弦函数的单调性可得0＜a＜1时，a＜﹣1时，数列{a n}单调递增；﹣1＜a＜0时，a＞1时，数列{a n}单调递减．数列{a n}都是单调递增数列，故（3）正确；故选：C．三.解答题17．已知{a n}是一个公差大于0的等差数列，且满足a4a6＝96，a3+a7＝20，数列{b n}满足等式：（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列的前n项和S n．【解答】解：（1）在等差数列{a n}中，由a3+a7＝20，得a4+a6＝20，又a4a6＝96，可得或．∵d＞0，∴，则d＝．∴a n＝a4+2（n﹣4）＝2n；（2）由（n∈N*），得（n≥2），∴，即（n≥2），∵满足上式，∴．则，∴数列的前n项和S n＝（b1+b2+…+b n）+＝．18．已知b、c为常数且均不为零，数列{a n}的通项公式为a n＝，并且a1、a3、a2成等差数列，a1、a2、a4成等比数列．（1）求b、c的值；（2）设S n是数列{a n}前n项的和，求使得不等式S2n＞20182成立的最小正整数n．【解答】解：（1）∵a n＝，∴a1＝b﹣1，a2＝9c，a3＝3b﹣1，a4＝81c．∵a1、a3、a2成等差数列，a1、a2、a4成等比数列．∴2a3＝a1+a2，＝a1a4，∴2（3b﹣1）＝b﹣1+9c，81c2＝（b﹣1）×81c，b，c≠0．联立解得：b＝2，c＝1．（2）由（1）可得：a n＝，∴S2n＝（a1+a3+……+a2n﹣1）+（a2+a4+……+a2n）＝（1+5+……+4n﹣3）+（32+34+……+32n）＝+＝2n2﹣n+，由，解得n＞6．∴n＝7．19．王某2017年12月31日向银行贷款100000元，银行贷款年利率为5%，若此贷款分十年还清（2027年12月31日还清），每年年底等额还款（每次还款金额相同），设第n年末还款后此人在银行的欠款额为a n元．（1）设每年的还款额为m元，请用m表示出a2；（2）求每年的还款额（精确到1元）．【解答】解：（1）a2＝100000×（1+5%）﹣m（1+5%）2﹣m＝110250﹣2.05m．（2）a10＝100000×（1.05）10﹣m×（1.05）9﹣m×（1.05）8﹣……﹣m＝0，100000×1.0510﹣＝0，解得：m＝≈12950．20．设数列{a n}的首项a1为常数，且a n+1＝3n﹣2a n（n∈N*）．（1）判断数列是否为等比数列，请说明理由；（2）S n是数列{a n}的前n项的和，若{S n}是递增数列，求a1的取值范围．【解答】解：（1）∵a n+1＝3n﹣2a n（n∈N*），则时，＝＝＝﹣2，∴时，为等比数列，公比为﹣2．（2）由（1）可得：a n﹣＝×（﹣2）n﹣1，∴，n≥2，∴a2＞0，a3＞0，∴．21．如果数列{a n}对任意的n∈N*满足：a n+2+a n＞2a n+1，则称数列{a n}为“M数列”．（1）已知数列{a n}是“M数列”，设b n＝a n+1﹣a n，n∈N*，求证：数列{b n}是递增数列，并指出2（a5﹣a4）与a4﹣a2的大小关系（不需要证明）；（2）已知数列{a n}是首项为1，公差为2d的等差数列，S n是其前n项的和，若数列{|S n|}是“M数列”，求d的取值范围；（3）已知数列{a n}是各项均为正数的“M数列”，对于n取相同的正整数时，比较和的大小，并说明理由．【解答】解：（1）证明：数列{a n}是“M数列”，可得a n+2+a n＞2a n+1，即a n+2﹣a n+1＞a n+1﹣a n，即b n+1＞b n，可得数列{b n}是递增数列；2（a5﹣a4）＞a4﹣a2；（2）数列{|S n|}是“M数列”，可得|S3|﹣|S2|＞|S2|﹣|S1|，即|S1|+|S3|＞2|S2|，可得1+|3+6d|＞2|2+2d|，即有或或，即d≤﹣1或﹣1＜d＜﹣或d＞0，可得；（3）数列{a n}是各项均为正数的“M数列”，对于n取相同的正整数时，＞，运用数学归纳法证明：当n＝1时，u1＝，v1＝a2，显然a3﹣a2＞a2﹣a1即u1＞v1．设n＝k时，u k＞v k．即＞，可得k（a1+a3+…+a2k+1）＞（k+1）（a2+a4+…+a2k），当n＝k+1时，即证＞，即证（k+1）（a1+…+a2k+1+a2k+3）＞（k+2）（a2+a4+…+a2k+a2k+2），由（k+1）（a1+…+a2k+1+a2k+3）＝k（a1+a3+…+a2k+1）+ka2k+3+a1+…+a2k+1+a2k+3＞（k+1）（a2+a4+…+a2k）+ka2k+3+a1+…+a2k+1+a2k+3，即证（k+1）（a2+a4+…+a2k）+ka2k+3+a1+…+a2k+1+a2k+3＞（k+2）（a2+a4+…+a2k+a2k+2），即证（k+1）a2k+3+a1+…+a2k+1＞（k+1）a2k+2+a2+a4+…+a2k+a2k+2，由a1+a2k+3＞a2+a2k+2，a3+a2k+3＞a4+a2k+2，…，a2k+3+a2k+1＞a2k+2+a2k+2，相加可得（k+1）a2k+3+a1+…+a2k+1＞（k+1）a2k+2+a2+a4+…+a2k+a2k+2，则对一切n∈N*，有u n＞v n．。

上海复旦附中期末考试数学真题

上海复旦附中期末考试数学真题（正文部分）一、选择题1. 下列哪个数是有理数？A. √2B. πC. eD. -3.142. 三角形ABC中，已知∠B=60°，AB=3，BC=4，求AC的长度。

A. 3B. 4C. 5D. 63. 已知函数f(x) = 2x^2 + 3x - 1，求f(2)的值。

A. 9B. 10C. 11D. 124. 设a，b，c都是正整数，且满足a+b+c=10，求a、b、c的最大乘积。

A. 25B. 36C. 48D. 64二、填空题1. 设a是整数，满足方程a^2 - 5a + 6 = 0，求a的值。

答：2，32. √0.09 = ______。

答：0.33. 求不等式2x + 5 > 11的解集。

答：x > 34. 一个正方形的面积是16平方厘米，求其对角线的长度。

答：4√2厘米三、解答题1. 某公司的年度销售额为50万元，利润率为15%，求该公司的年度利润是多少？解：年度利润 = 年度销售额 ×利润率 = 50 × 0.15 = 7.5万元2. 某书店进货一批图书，进价每本25元，售价每本40元，若卖出全部图书可以盈利2000元，求进货图书的数量。

解：设进货图书的数量为x，有以下方程：40x - 25x = 200015x = 2000x ≈ 133.33因为进货图书数量为整数，所以进货图书的数量约为133本。

3. 解方程：2x + 3 = 9。

解：2x + 3 = 92x = 9 - 32x = 6x = 6 ÷ 2x = 34. 已知直角三角形的斜边长为5 cm，一条直角边长为3 cm，求另一条直角边的长度。

解：设另一条直角边的长度为x，根据勾股定理有：x^2 + 3^2 = 5^2x^2 + 9 = 25x^2 = 16x = √16x = 4所以另一条直角边的长度为4 cm。

总结：本次考试涵盖了选择题、填空题和解答题，题目涉及了有理数、三角函数、二次函数、代数方程、利润率、几何等多个数学知识点。