高一下学期数学期末试卷
湖北省武汉2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷含答案
武汉2023-2024学年度下学期期末考试高一数学试卷（答案在最后）命题教师：考试时间：2024年7月1日考试时长：120分钟试卷满分：150分一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数z 满足(2i)3i z +=-，则z =（）A.1i +B.1i- C.1i-+ D.1i--【答案】A 【解析】【分析】先利用复数的除法运算法则化简得到复数z ，再根据共轭复数的概念即可求解.【详解】因为(2i)3i z +=-，所以3i (3i)(2i)1i 2i 41z ---===-++，所以1i z =+.故选：A2.△ABC 中，60A =︒，BC =AC =C 的大小为（）A.75︒B.45︒C.135︒D.45︒或135︒【答案】A 【解析】【分析】利用正弦定理可得sin B =45B = ，由三角形内角和即可求解.【详解】由正弦定理可得sin sin BC AC A B=,故32sin 2B ==,由于60A =︒，故0120B ︒︒<<,故45B = ，18075C A B =--= ,故选：A3.已知数据1x ，2x ，L ，9x 的方差为25，则数据131x +，231x +，L ，931x +的标准差为（）A.25B.75C.15D.【答案】C 【解析】【分析】根据方差的性质求出新数据的方差，进而计算标准差即可.【详解】因为数据1x ，2x ，L ，9x 的方差为25，所以另一组数据131x +，231x +，L ，931x +的方差为2325225⨯=，15=.故选：C4.在正方形ABCD 中，M 是BC 的中点．若AC AM BD λμ=+，则λμ+的值为（）A.43B.53C.158D.2【答案】B 【解析】【分析】建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算求解作答.【详解】在正方形ABCD 中，以点A 为原点，直线AB ，AD 分别为x ，y 轴建立平面直角坐标系，如图，令||2AB =，则(2,0),(2,2),(0,2),(2,1)B C D M ，(2,2),(2,1),(2,2)AC AM BD ===-，(22,2)AM BD λμλμλμ+=-+ ，因AC AM BD λμ=+ ，于是得22222λμλμ-=⎧⎨+=⎩，解得41,33λμ==，53λμ+=所以λμ+的值为53.故选：B5.正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为2D 为BC 中点，则三棱锥11A B DC -的体积为A.3B.32C.1D.32【答案】C 【解析】【详解】试题分析：如下图所示，连接AD ，因为ABC ∆是正三角形，且D 为BC 中点，则AD BC ⊥，又因为1BB ⊥面ABC ，故1BB AD ⊥，且1BB BC B ⋂=，所以AD ⊥面11BCC B ，所以AD 是三棱锥11A B DC -的高，所以11111133133A B DC B DC V S AD -∆=⋅==．考点：1、直线和平面垂直的判断和性质；2、三棱锥体积．6.在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos cos sin sin()sin B C AA C b c C ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，3B π=，则a c +的取值范围是（）A.332⎛⎝ B.332⎛⎝ C.332⎣ D.332⎡⎢⎣【答案】A 【解析】【分析】利用三角恒等变换及正弦定理将cos cos sin sin()sin B C AA C bc C ⎛⎫++=⎪⎝⎭进行化简，可求出b 的值，再利用边化角将a c +化成角，然后利用辅助角公式及角的范围即可得到答案.【详解】由题知cos cos sin sin()sin B C AA C bc C ⎛⎫++=⎪⎝⎭，3B π=∴cos cos sin sin sin B C AB bc C ⎛⎫+=⎪⎝⎭即cos cos 3sin B C Ab c C+=由正弦定理化简得∴sin cos cos 3sin 3A cB bC C ⋅+⋅==∴23sin sin cos cos sin 3AC B C B +=∴23sin sin()sin 3AB C A +==∴2b =3B π=∴1sin sin sin a b cA B C===∴23sin sin sin sin()sin cos )3226a c A C A A A A A ππ+=+=+-=+=+ 203A π<<∴5666A πππ<+<∴)26A π<+≤即2a c <+≤故选：A .【点睛】方法点睛：边角互化的方法（1）边化角：利用正弦定理2sin sin sin a b cr A B C===（r 为ABC 外接圆半径）得2sin a r A =，2sin b r B =，2sin c r C =；（2）角化边：①利用正弦定理：sin 2aA r=，sin 2b B r =，sin 2c C r=②利用余弦定理：222cos 2b c a A bc+-=7.设O 为△ABC 的外心，若2AO AB AC =+，则sin BAC ∠的值为（）A.4B.4C.4-D.4【答案】D 【解析】【分析】设ABC 的外接圆半径为R ，由已知条件可得,2AC BO = ，所以12AC R =，且//AC BO ，取AC的中点M ，连接OM 可得π2BOM ∠=，计算cos sin BOC MOC ∠=-∠的值，再由余弦定理求出BC ，在ABC 中，由正弦定理即可求解.【详解】设ABC 的外接圆半径为R ，因为2AO AB AC =+ ,2AC AO AB BO =-=，所以1122AC BO R ==，且//AC BO ，取AC 的中点M ，连接OM ，则OM AC ⊥，因为//AC BO ，所以OM BO ⊥，即π2BOM ∠=，所以11π124cos cos sin 24AC RMC BOC MOC MOC OC OB R ⎛⎫∠=+∠=-∠=-=-=-=- ⎪⎝⎭,在BOC中由余弦定理可得：2BC R ===，在ABC中，由正弦定理得：2sin 224RBCBAC RR ∠===.故选：D8.高为8的圆台内有一个半径为2的球1O ，球心1O 在圆台的轴上，球1O 与圆台的上底面、侧面都相切.圆台内可再放入一个半径为3的球2O ，使得球2O 与球1O 、圆台的下底面及侧面都只有一个公共点.除球2O ，圆台内最多还能放入半径为3的球的个数是（）A.1 B.2C.3D.4【答案】B 【解析】【详解】作过2O 的圆台的轴截面，如图1.再作过2O 与圆台的轴垂直的截面，过截面与圆台的轴交于圆O .由图1.易求得24OO =.图1这个问题等价于：在以O 为圆心、4为半径的圆上，除2O 外最多还可放几个点，使以这些点及2O 为圆心、3为半径的圆彼此至多有一个公共点.由图2，3sin45sin sin604θ︒<=︒，有4560θ︒<<︒.图2所以，最多还可以放入36013122θ︒⎡⎤-=-=⎢⎣⎦个点，满足上述要求.因此，圆台内最多还可以放入半径为3的球2个.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知某地区有小学生120000人，初中生75000人，高中生55000人，当地教育部门为了了解本地区中小学生的近视率，按小学生、初中生、高中生进行分层抽样，抽取一个容量为2000的样本，得到小学生，初中生，高中生的近视率分别为30%，70%，80%.下列说法中正确的有（）A.从高中生中抽取了460人B.每名学生被抽到的概率为1125C.估计该地区中小学生总体的平均近视率为60%D.估计高中学生的近视人数约为44000【答案】BD 【解析】【分析】根据分层抽样、古典概型、频率公式等知识对选项进行分析，从而确定正确选项.【详解】高中生抽取5500020004401200007500055000⨯=++人，A 选项错误.每名学生被抽到的概率为200011200007500055000125=++，B 选项正确.学生总人数为1200007500055000250000++=，估计该地区中小学生总体的平均近视率为1200007500055000132.50.30.70.80.53250000250000250000250⨯+⨯+⨯==，C 选项错误.高中学生近视人数约为550000.844000⨯=人，D 选项正确.故选：BD10.G 是ABC 的重心，2,4,120,AB AC CAB P ∠=== 是ABC 所在平面内的一点，则下列结论正确的是（）A.0GA GB GC ++= B.AB 在AC上的投影向量等于12- AC .C.3AG =D.()AP BP CP ⋅+ 的最小值为32-【答案】ACD 【解析】【分析】根据向量的线性运算，并结合重心的性质，即可判断A ，根据投影向量的定义，判断B ；根据向量数量积公式，以及重心的性质，判断C ；根据向量数量积的运算率，结合图形转化，即可判断D.【详解】A.以,GB GC 为邻边作平行四边形GBDC ，,GD BC 交于点O ，O 是BC 的中点，因为G 是ABC 的重心，所以,,A G O 三点共线，且2AG GO =，所以2GB GC GD GO +== ，2GA AG GO =-=- ，所以0GA GB GC ++=，故A 正确；B.AB 在AC 上的投影向量等于1cos1204AC AB AC AC ⨯=-，故B 错误；C.如图，因为()12AO AB AC =+ ，所以()222124AO AB AC AB AC =++⋅,即211416224342AO ⎛⎫=+-⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，即3AO = 因为点G 是ABC 的重心，22333AG AO ==，故C 正确；D.取BC 的中点O ，连结,PO PA ，取AO 中点M ，则2PA PO PM += ，()12AO AB AC =+，()()2221124816344AO AB AB AC AC =+⋅+=⨯-+= ,则()()()()221224AP BP CP PA PB PC PA PO PA PO PA PO ⎡⎤⋅+=⋅+=⋅=⨯+--⎢⎥⎣⎦，222132222PM OA PM =-=- ,显然当,P M 重合时，20PM = ，()AP BP CP ⋅+ 取最小值32-，故D 正确.故选：ACD【点睛】关键点点睛：本题的关键是对于重心性质的应用，以及向量的转化.11.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，O 为正方体的中心，M 为1DD 的中点，F 为侧面正方形11AA D D 内一动点，且满足1B F ∥平面1BC M ，则（）A.三棱锥1D DCB -的外接球表面积为12πB.动点F 的轨迹的线段为22C.三棱锥1F BC M -的体积为43D.若过A ，M ，1C 三点作正方体的截面Ω，Q 为截面Ω上一点，则线段1AQ 长度的取值范围为45,225⎡⎢⎣⎦【答案】AC 【解析】【分析】选项A ：三棱锥1D DCB -的外接球即为正方体的外接球，结合正方体的外接球分析；选项B ：分别取1AA ，11A D 的中点H ，G ，连接1B G ，GH ，1HB ，1AD ；证明平面1B GH ∥平面1BC M ，从而得到点F 的轨迹为线段GH ；选项C ：根据选项B 可得出GH ∥平面1BC M ，从而得到点F 到平面1BC M 的距离为H 到平面1BC M 的距离，再结合线面垂直及等体积法，利用四棱锥的体积求解所求三棱锥的体积；选项D ：设N 为1BB 的中点，从而根据面面平行的性质定理可得到截面Ω即为面1AMC N ，从而线段1AQ 长度的最大值为线段11A C 的长，最小值为四棱锥11A AMC N -以1A 为顶点的高.【详解】对于A ：由题意可知：三棱锥1D DCB -的外接球即为正方体的外接球，可知正方体的外接球的半径3R =所以三棱锥1D DCB -的外接球表面积为24π12πR =，故A 正确；对于B ：如图分别取1AA ，11A D 的中点H ，G ，连接1B G ，GH ，1HB ，1AD ．由正方体的性质可得11B H C M ∥，且1B H ⊂平面1B GH ，1C M ⊄平面1B GH ，所以1C M //平面1B GH ，同理可得：1BC //平面1B GH ，且111BC C M C ⋂=，11,BC C M ⊂平面1BC M ，所以平面1B GH ∥平面1BC M ，而1B F ∥平面1BC M ，所以1B F ⊂平面1B GH ，所以点F 的轨迹为线段GH ，其长度为12222⨯=，故B 错误；对于C ：由选项B 可知，点F 的轨迹为线段GH ，因为GH ∥平面1BC M ，则点F 到平面1BC M 的距离为H 到平面1BC M 的距离，过点B 作1BP B H ⊥，因为11B C ⊥平面11ABB A ，BP ⊂平面11ABB A ，所以11B C BP ⊥，又1111⋂=B C B H B ，111,B C B H ⊂平面11B C MH ，所以BP ⊥平面11B C MH ，所以1111111111114252232335F BC M H BC M B C MH B B C MH B C MHV V V V S BP ----====⨯=⨯⨯⨯⨯，故C 正确；对于D ：如图，设平面Ω与平面11AA B B 交于AN ，N 在1BB 上，因为截面Ω⋂平面11AA D D AM =，平面11AA D D ∥平面11BB C C ，所以1AM C N ∥，同理可证1AN C M ∥，所以截面1AMC N 为平行四边形，所以点N 为1BB 的中点，在四棱锥11A AMC N -中，侧棱11A C 最长，且11A C =设棱锥11A AMC N -的高为h ，因为1AM C M ==1AMC N 为菱形，所以1AMC 的边1AC ，又1AC =则112AMC S =⨯=△1111111142223323C AA M AA M V SD C -=⋅=⨯⨯⨯⨯=△，所以1111114333A AMC AMC C AA M V S h V --=⋅===△，解得3h =.综上，可知1AQ 长度的取值范围是,3⎡⎢⎣，故D 错误.故选：AC【点睛】关键点睛：由面面平行的性质得到动点的轨迹，再由锥体的体积公式即可判断C ，D 选项关键是找到临界点，求出临界值.三、填空题：本小题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知复数()221i i()z m m m =-++⋅∈R 表示纯虚数，则m =________．【答案】1-【解析】【分析】根据2i 1=-和复数的分类要求得出参数值；【详解】因为复数()()2221ii=11i()z m m mm m =-++⋅-+-⋅∈R 表示纯虚数，所以210,10,m m ⎧-=⎨-≠⎩解得1m =-，故答案为：1-.13.定义集合(){},02024,03,,Z |A x y x y x y =≤≤≤≤∈，则从A 中任选一个元素()00,x y ，它满足00124x y -+-<的概率是________．【答案】42025【解析】【分析】利用列举法求解符合条件的()00,x y ，即可利用古典概型的概率公式求解.【详解】当0y =时，02024,Z x x ≤≤∈，有2025种选择，当1,2,3y =时，02024,Z x x ≤≤∈，分别有2025种选择，因此从A 中任选一个元素()00,x y ，共有202548100⨯=种选择，若00y =，则022y -=，此时由00124x y -+-<得012x -<，此时0x 可取0，1，2，若01y =或3，则021y -=，此时由00124x y -+-<得013x -<，此时0x 可取0，1，2，3，若02y =，则020y -=，此时由00124x y -+-<得014x -<，此时0x 可取0，1，2，3，4，综上可得满足00124x y -+-<的共有342516+⨯+=种情况，故概率为16481002025=故答案为：4202514.在ABC 和AEF △中，B 是EF的中点，1,6,AB EF BC CA ====，若2AB AE AC AF ⋅+⋅= ，则EF 与BC的夹角的余弦值等于__________.【答案】23【解析】【分析】【详解】由题意有：()()2AB AE AC AF AB AB BE AC AB BF ⋅+⋅=⋅++⋅+=,即22AB AB BE AC AB AC BF +⋅+⋅+⋅= ，而21AB =，据此可得：11,AC AB BE BF ⋅=⨯-=- ，即()112,2BF AC AB BF BC +⋅--=∴⋅= ，设EF 与BC 的夹角为θ，则2cos 2,cos 3BF BC θθ⨯⨯=∴= .四、解答题：本小题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.某学校为了解本校历史、物理方向学生的学业水平模拟测试数学成绩情况，分别从物理方向的学生中随机抽取60人的成绩得到样本甲，从历史方向的学生中随机抽取n 人的成绩得到样本乙，根据两个样本数据分别得到如下直方图：已知乙样本中数据在[70,80)的有10个．（1）求n 和乙样本直方图中a 的值；（2）试估计该校物理方向的学生本次模拟测试数学成绩的平均值和历史方向的学生本次模拟测试数学成绩的第75百位数（同一组中的数据用该组区间中点值为代表）；（3）采用分层抽样的方法从甲样本数据中分数在[60,70)和[70,80)的学生中抽取6人，并从这6人中任取2人，求这两人分数都在[70,80)中的概率．【答案】（1）50n =，0.018a =；（2）物理方向的学生本次模拟测试数学成绩的平均值为81.5，历史方向的学生本次模拟测试数学成绩的第75百位数为88.25；（3）25【解析】【分析】（1）由频率分布直方图得乙样本中数据在[70,80)的频率为0.2，这个组学生有10人，由此能求出n ，由乙样本数据直方图能求出a ；（2）利用甲、乙样本数据频率分布直方图能估计估计该校物理方向的学生本次模拟测试数学成绩的平均值和历史方向的学生本次模拟测试数学成绩的第75百位数；（3）由频率分布直方图可知从分数在[60,70)和[70,80)的学生中分别抽取2人和4人，将从分数在[60,70)中抽取的2名学生分别记为1A ，2A ，从分数在[70,80)中抽取的4名学生分别记为1b ，2b ，3b ，4b ，利用列举法能求出这两人分数都在[70,80)中的概率．【小问1详解】解：由直方图可知，乙样本中数据在[70,80)的频率为0.020100.20⨯=，则100.20n=，解得50n =；由乙样本数据直方图可知，(0.0060.0160.0200.040)101a ++++⨯=，解得0.018a =；【小问2详解】解：甲样本数据的平均值估计值为(550.005650.010750.020850.045950.020)1081.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=，乙样本数据直方图中前3组的频率之和为(0.0060.0160.02)100.420.75++⨯=<，前4组的频率之和为(0.0060.0160.020.04)100.820.75+++⨯=>，所以乙样本数据的第75百位数在第4组，设第75百位数为x ，(80)0.040.420.75x -⨯+=，解得88.25x =，所以乙样本数据的第75百位数为88.25，即物理方向的学生本次模拟测试数学成绩的平均值为81.5，历史方向的学生本次模拟测试数学成绩的第75百位数为88.25；【小问3详解】解：由频率分布直方图可知从分数在[60,70)和[70,80)的学生中分别抽取2人和4人，将从分数在[60,70)中抽取的2名学生分别记为1A ，2A ，从分数在[70,80)中抽取的4名学生分别记为1b ，2b ，3b ，4b ，则从这6人中随机抽取2人的基本事件有：12(,)A A ，11(,)A b ，12(,)A b ，13(,)A b ，14(,)A b ，21(,)A b ，22(,)A b ，23(,)A b ，24(,)A b ，12()b b ,，13(,)b b ，14(,)b b ，23(,)b b ，24(,)b b ，34(,)b b 共15个，所抽取的两人分数都在[70,80)中的基本事件有6个，即这两人分数都在[70,80)中的概率为62155=．16.（建立空间直角坐标系答题不得分）如图，在四棱锥11A BCC B -中，平面ABC ⊥平面11BCC B ，△ABC 是正三角形，四边形11BCC B 是正方形，D 是AC 的中点．（1）求证：1//AB 平面1BDC ；（2）求直线BC 和平面1BDC 所成角的正弦值的大小．【答案】（1）证明见解析（2）55【解析】【分析】（1）连接1B C ，交1BC 于点O ，连接OD ，由中位线的性质，可知1//OD AB ，再由线面平行的判定定理，得证；（2）过点C 作1CE C D ⊥于点E ，连接BE ，可证CE ⊥平面1BDC ，从而知CBE ∠即为所求，再结合等面积法与三角函数的定义，得解．【小问1详解】连接1B C ，交1BC 于点O ，连接OD ，则O 为1B C 的中点，因为D 是AC 的中点，所以1//OD AB ，又OD ⊂平面1BDC ，1AB ⊄平面1BDC ，所以1AB ∥平面1BDC ．【小问2详解】过点C 作1CE C D ⊥于点E ，连接BE ，因为四边形11BCC B 是正方形，所以1BC CC ⊥，又平面ABC⊥平面11BCC B ，1CC ⊂平面11BCC B ，平面ABC ⋂平面11BCC B BC =，所以1CC ⊥平面ABC ，因为BD ⊂平面ABC ，所以1CC BD ⊥，因为ABC 是正三角形，且D 是AC 的中点，所以BD AC ⊥，又1CC AC C =I ，1,⊂CC AC 平面1ACC ，所以BD ⊥平面1ACC ，因为CE ⊂平面1ACC ，所以BD CE ⊥，又1C D BD D =I ，1,C D BD ⊂平面1BDC ，所以CE ⊥平面1BDC ，所以CBE ∠就是直线BC 和平面1BDC 所成角，设2BC =，在1Rt DCC 中，11CE DC CD CC ⋅=⋅，所以5CE ==，在Rt BCE 中，5sin 25CE CBE BC ∠===.17.甲、乙两人进行乒乓球对抗赛，每局依次轮流发球，连续赢2个球者获胜，且比赛结束，通过分析甲、乙过去比赛的数据知，甲发球甲赢的概率为23，乙发球甲赢的概率为25，不同球的结果互不影响，已知某局甲先发球.（1）求该局打4个球甲赢的概率；（2）求该局打5个球结束的概率.【答案】（1）875（2）44675【解析】【分析】（1）先设甲发球甲赢为事件A ，乙发球甲赢为事件B ，然后分析这4个球的发球者及输赢者，即可得到所求事件的构成，利用相互独立事件的概率计算公式即可求解；（2）先将所求事件分成甲赢与乙赢这两个互斥事件，再分析各事件的构成，利用互斥事件和相互独立事件的概率计算公式即可求得概率.【小问1详解】设甲发球甲赢为事件A ，乙发球甲赢为事件B ，该局打4个球甲赢为事件C ，由题知，2()3P A =，2()5P B =，则C ABAB =，所以23228()()()(()()353575P C P ABAB P A P B P A P B ===⨯⨯⨯=，所以该局打4个球甲赢的概率为875.【小问2详解】设该局打5个球结束时甲赢为事件D ，乙赢为事件E ，打5个球结束为事件F ，易知D ，E 为互斥事件，D ABABA =，E ABABA =，F D E =⋃，所以()()()()()()()P D P ABABA P A P B P A P B P A ==2222281135353675⎛⎫⎛⎫=-⨯⨯-⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()()()()()()P E P ABABA P A P B P A P B P A ==2222241113535375⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-⨯⨯-⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以8444()()()()67575675P F P D E P D P E =⋃=+=+=，所以该局打5个球结束的概率为44675.18.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，22cos a c b C -=.（1）求B ；（2）若点D 为边BC 的中点，点E ，F 分别在边AB ，AC （包括顶点）上，π6EDF ∠=，2b c ==.设BDE α∠=，将DEF 的面积S 表示为α的函数，并求S 的取值范围.【答案】（1）π3（2）3ππ,π328sin 23S αα=≤≤⎛⎫- ⎪⎝⎭，3,84S ⎡∈⎢⎣⎦【解析】【分析】（1）由题干及余弦定理可得222a c b ac +-=，再根据余弦定理即可求解；（2）由题可得ABC 为等边三角形，ππ32α≤≤，在BDE 与CDF 中，分别由正弦定理求出DE ，DF ，根据三角形面积公式可得3ππ,2ππ3216sin sin 36S ααα=≤≤⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由三角恒等变换及正弦函数的图象与性质即可求解.【小问1详解】因为22cos a c b C -=，所以222222222a b c a b c a c b ab a +-+--=⋅=，即222a cb ac +-=，所以2221cos 222a cb ac B ac ac +-===.因为()0,πB ∈，所以π3B =.【小问2详解】由π3B=及2b c==可知ABC为等边三角形.又因为π6EDF∠=，BDEα∠=，所以ππ32α≤≤.在BDE中，2π3BEDα∠=-，由正弦定理可得sin sinDE BDB BED∠=，即32π2sin3DEα=⎛⎫-⎪⎝⎭.在CDF中，π6CFDα∠=-，由正弦定理可得sin sinDF CDC CFD∠=，即π2sin6DFα=⎛⎫-⎪⎝⎭.所以31π3ππsin,2ππ2ππ8632 sin sin16sin sin3636Sααααα=⨯⨯=≤≤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫----⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.因为2ππ11sin sin cos sin sin cos362222αααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=+-⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭2213313sin cos cos sin sin2cos224444αααααα=-+=-1πsin223α⎛⎫=-⎪⎝⎭，因为ππ32α≤≤，所以ππ2π2,333α⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，所以π3sin2,132α⎤⎛⎫-∈⎥⎪⎝⎭⎣⎦，所以1π1sin2,2342α⎤⎛⎫-∈⎥⎪⎝⎭⎣⎦.所以2ππ16sin sin36αα⎛⎫⎛⎫⎡⎤--∈⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭，所以33,2ππ8416sin sin36αα⎡∈⎢⎛⎫⎛⎫⎣⎦--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以333,2ππ8416sin sin36Sαα⎡=∈⎢⎛⎫⎛⎫⎣⎦--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以S 的取值范围为3,84⎡⎢⎣⎦.19.（建立空间直角坐标系答题不得分）如图，在三棱柱ADP BCQ -中，侧面ABCD 为矩形．（1）若PD⊥面ABCD ，22PD AD CD ==，2NC PN =，求证：DN BN ⊥；（2）若二面角Q BC D --的大小为θ，π2π,43θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且2cos 2AD AB θ=⋅，设直线BD 和平面QCB 所成角为α，求sin α的最大值．【答案】（1）证明见解析（2）12-【解析】【分析】（1）问题转化为证明DN⊥平面BCP ，即证明ND BC ⊥和DN PC ⊥，ND BC ⊥转化为证明BC ⊥平面PQCD ，而ND BC ⊥则只需证明PDN PCD△△（2）作出二面角Q BC D --的平面角以及直线BD 与平面QCB 所成的角，列出sin α的表达式，最后把问题转化为函数最值问题.【小问1详解】因为PD⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以PD BC ⊥，又CD BC ⊥，PD CD D ⋂=，,PD CD ⊂平面PCD ，所以BC ⊥平面PQCD ，又ND ⊂平面PQCD ，所以ND BC ⊥，在Rt PCD 中，2PD ==，则CD =3PC =，所以2NC =，1PN =，由PN PDND PC=，DPN CPD ∠=∠，所以PDN PCD △△，所以DN PC ⊥，又因为ND BC ⊥，PC BC C ⋂=，,PC BC ⊂平面BCP ，所以DN⊥平面BCP ，又因为BN ⊂平面BCP ，所以DN BN ⊥.【小问2详解】在平面QBC 中，过点C 作CF BC ⊥，因为ABCD 为矩形，所以BC CD ⊥，所以DCF ∠为二面角Q BC D --的平面角，且DCF θ∠=，又⋂=CF CD C ，,CD CF ⊂平面CDF ，所以BC ⊥平面CDF ，在平面CDF 中，过点D 作DG FC ⊥，垂足为G ，连接BG ，因为BC ⊥平面CDF ，DG ⊂平面CDF ，所以DG BC ⊥，又BC FC C ⋂=，,BC FC ⊂平面BCQ ，所以DG ⊥平面BCQ ，所以DBG ∠为直线BD 与平面QCB 所成的角，即DBG α∠=，sin DG DC θ=，又因为2cos 2AD AB θ=⋅，所以222sin 32cos 14cos 2DGBDAB AD αθθ===+++π2π,43θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦可得12cos ,22θ⎡∈-⎢⎣⎦，21cos 0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，设32cos t θ=+，2,32t ⎤∈+⎥⎦，则23cos 2t θ-=，()2223sin 1cos 14t θθ-=-=-，所以()2222563125651sin 14222t t t t α⎛⎫-++ ⎪--+⎝⎭=-=≤=，当且仅当25t =时等号，所以sin α51-.【点睛】关键点点睛：本题的关键是作出二面角Q BC D --的平面角以及直线BD 与平面QCB 所成的角，然后写出sin α的表达式，最后求函数最值问题利用了换元法和基本不等式.。
福建省福建师范大学附属中学2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试题(含答案)
福建师大附中2023-2024学年第二学期期末考试高一数学试卷时间：120分钟满分：150分试卷说明：（1）本卷共四大题，20小题，解答写在答卷的指定位置上，考试结束后，只交答卷．（2）考试过程中不得使用计算器或具有计算功能的电子设备．第Ⅰ卷（选择题，共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设i 为虚数单位，复数满足，则复数的虚部是（ ）A ．B ．C ．3iD ．32．某汽车生产厂家用比例分配的分层随机抽样方法从A ，B ，C 三个城市中抽取若干汽车进行调查，各城市的汽车销售总数和抽取数量如右表所示，则样本容量为（ ）城市销售总数抽取数量A 420m B 28020C 700nA ．60B ．80C ．100D ．1203．某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名，从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（ ）A．B ．C ．D ．4．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，给出下列说法，其中正确的是（ ）A ．若，则B ．若，则C ．若，则D ．若，则5．如图，在三棱锥中，分别是，的中点，则异面直线所成角的余弦值为（）z ()i 142i z +=+z i-1-16131223,m n ,αβ,,m n m n αβ⊥⊥∥αβ⊥,m m αβ⊥∥αβ⊥,,m n m n αβ⊥⊂⊂αβ⊥,,m n m n αβ⊥⊂⊥αβ⊥A BCD -6,4,,AB AC BD CD AD BC M N ======AD BC ,AN CMA．B ．C ．D ．6．有一组样本数据：，其平均数为2024．由这组数据得到一组新的样本数据：，那么这两组数据一定有相同的（ ）A ．极差B ．中位数C ．方差D ．众数7．已知正四棱台上底面边长为1，下底面边长为2，体积为7，则正四棱台的侧棱与底面所成角的正切值为（ ）ABCD ．8．已知三棱锥中，平面，底面是以为直角顶点的直角三角形，且，三棱锥，过点作于，过作于，则三棱锥外接球的体积为（）A ．BCD ．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。
河南省南阳市2022-2023学年高一下学期期末数学试题
( ) ( ) 已知复数 z = m2 - 2m - 3 + m2 - 3m - 4 i(i 为虚数单位 ) ，若__________，求实数 m 的
值. 注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答给分.
（2）已知 x = 1- i 是关于 x 的实系数一元二次方程 x2 + ax + b = 0 的一个根，求 a, b 的值.
=
.
( ) ( ) 14．已知向量
ar
=
(3,
3)
,
r b
=
(1,
-1)
，若
ar
+
r lb
^
ar
-
r lb
，则实数 l =
.
15．若四面体各棱的长是1或 2 ，且该四面体不是正四面体，则其体积是 （只需写 出一个可能的值）
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四、双空题
16．如图所示，有一块三角形的空地，已知
B．若 m ^ a, m ^ b ，则a //b C．若 m ^ a, n//b ，且 m ^ n ，则a //b
D．若 m ^ a, n//b ，且 m // n ，则a ^ b
10．已知复数
z1
满足
z1
=
1+ i
i
，
z2
=
x
+
yi
，x，
y
ÎR
，
z1
，
z2
所对应的向量分别为
uuuur OZ1
，
uuuur OZ2
【详解】因为
z
=
3+ 1-
4i 2i
=
(3 + (1-
4i)(1+2i) 2i)(1+2i)
高一(下学期)期末考试数学试卷
高一（下学期）期末考试数学试卷（含答案解析）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、多选题1．下列抽样方法是简单随机抽样的是（ ）A ．某工厂从老年、中年、青年职工中按2∶5∶3的比例选取职工代表B ．用抽签的方法产生随机数C ．福利彩票用摇奖机摇奖D ．规定凡买到明信片最后四位号码是“6637”的人获三等奖 2．若直线a 平行于平面α，则下列结论正确的是（ ） A ．a 平行于α内的有限条直线 B ．α内有无数条直线与a 平行 C ．直线a 上的点到平面α的距离相等 D ．α内存在无数条直线与a 成90°角3．设a ，b ，l 为不同的直线，α，β，γ为不同的平面，下列四个命题中错误的是（ ） A ．若//a α，a b ⊥，则b α⊥ B ．若αγ⊥，βγ⊥，l αβ=，则l γ⊥C ．若a α⊂，//a β，b β⊂，//b α，则//αβD ．若αβ⊥，l αβ=，A α∈，AB l ⊥，则AB β⊥4．小王于2017年底贷款购置了一套房子，根据家庭收入情况，小王选择了10年期每月还款数额相同的还贷方式，且截止2021年底，他没有再购买第二套房子．如图是2018年和2021年小王的家庭收入用于各项支出的比例分配图：根据以上信息，判断下列结论中正确的是（ ） A ．小王一家2021年用于饮食的支出费用跟2018年相同 B ．小王一家2021年用于其他方面的支出费用是2018年的3倍 C ．小王一家2021年的家庭收人比2018年增加了1倍 D ．小王一家2021年用于房贷的支出费用与2018年相同5．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点F 是棱1BB 的中点，点P 在四边形11BCC B 内(包括边界)运动，则下列说法正确的是（ ）A ．若P 在线段1BC 上，则三棱锥1P AD F -的体积为定值B ．若P 在线段1BC 上，则DP 与1AD 所成角的取值范围为,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．若//PD 平面1AD F ，则点PD ．若AP PC ⊥，则1A P 与平面11BCC B二、单选题6．已知a ，b ，c 是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，⋂=c αβ，a α⊂，b β⊂，则“a ，b 相交“是“a ，c 相交”的（ ） A ．充要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件7．某校有男生3000人，女生2000人，学校将通过分层随机抽样的方法抽取100人的身高数据，若按男女比例进行分层随机抽样，抽取到的学生平均身高为165cm ，其中被抽取的男生平均身高为172cm ，则被抽取的女生平均身高为（ ） A ．154.5cmB ．158cmC ．160.5cmD ．159cm8．从二面角内一点分别向二面角的两个面引垂线，则这两条垂线所夹的角与二面角的平面角的关系是（ ） A ．互为余角B ．相等C ．其和为周角D ．互为补角9．某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生,其数学成绩（均为整数）的频率分布直方图如图,估计这次测试中数学成绩的平均分、众数、中位数分别是（ ）A ．73.3，75，72B ．72，75，73.3C ．75，72，73.3D ．75，73.3，7210．对于数据：2、6、8、3、3、4、6、8，四位同学得出了下列结论：甲：平均数为5；乙：没有众数；丙：中位数是3；丁：第75百分位数是7，正确的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．411．为了贯彻落实《中共中央国务院全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》的文件精神，某学校结合自身实际，推出了《植物栽培》《手工编织》《实用木工》《实用电工》《烹饪技术》五门校本劳动选修课程，要求每个学生从中任选三门进行学习，学生经考核合格后方能获得该学校荣誉毕业证，则甲､乙两人的选课中仅有一门课程相同的概率为（ ） A ．325B ．15C ．310 D ．3512．已知正四棱柱ABCD - A 1B 1C 1D 1中 ，AB=2，CC 1=E 为CC 1的中点，则直线AC 1与平面BED 的距离为 A．2BCD ．1三、填空题13．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 、F 、G 分别为棱11B C 、1CC 、11D C 的中点，P 是底面ABCD 上的一点，若1A P ∥平面GEF ，则下面的4个判断∶点P∶线段1A P ；∶11A P AC ⊥；∶1A P 与1B C 一定异面．其中正确判断的序号为__________．14．甲、乙两同学参加“建党一百周年”知识竞赛，甲、乙获得一等奖的概率分别为14、15，获得二等奖的概率分别为12、35，甲、乙两同学是否获奖相互独立，则甲、乙两人至少有1人获奖的概率为___________.15．数据1x ，2x ，…，8x 平均数为6，标准差为2，则数据126x -，226x -，…，826x -的方差为________. 16．将正方形ABCD 沿对角线AC 折起，并使得平面ABC 垂直于平面ACD ，直线AB 与CD 所成的角为__________.四、解答题17．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1,AB BC AA AB ⊥=，G 是棱11A C 的中点．(1)证明：1BC AB ⊥；(2)证明：平面1AB G ⊥平面1A BC ．18．甲、乙两台机床同时生产一种零件，在10天中，两台机床每天生产的次品数分别为： 甲：0,0,1,2,0,0,3,0,4,0；乙：2,0,2,0,2,0,2,0,2,0． （1）分别求两组数据的众数、中位数；（2）根据两组数据平均数和标准差的计算结果比较两台机床性能．19．某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[)2030，，[)3040，，，[]8090，，并整理得到如下频率分布直方图：（1）从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；（2）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[)4050，内的人数； （3）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等.试估计总体中男生和女生人数的比例.20．某学校招聘在职教师，甲、乙两人同时应聘．应聘者需进行笔试和面试，笔试分为三个环节，每个环节都必须参与，甲笔试部分每个环节通过的概率依次为113224，，，乙笔试部分每个环节通过的概率依次为311422，，，笔试三个环节至少通过两个才能够参加面试，否则直接淘汰；面试分为两个环节，每个环节都必须参与，甲面试部分每个环节通过的概率依次为2132，，乙面试部分每个环节通过的概率依次为4354，，若面试部分的两个环节都通过，则可以成为该学校的在职教师．甲、乙两人通过各个环节相互独立． (1)求甲未能参与面试的概率；(2)记乙本次应聘通过的环节数为X ，求(3)P X =的值；(3)记甲、乙两人应聘成功的人数为Y ，求Y 的的分布列和数学期望21．如图，在三棱锥P -ABC 中，PA ⊥平面,ABC AB AC =，,M N 分别为,BC AB 的中点，(1)求证：MN //平面P AC (2)求证：平面PBC ⊥平面P AM22．如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为菱形，其对角线AC 与BD 相交于点O ，1160A AB A AD BAD ∠=∠=∠=，13AA =，2AB =.(1)证明：1A O ⊥平面ABCD ； (2)求三棱锥11C A BD -的体积.参考答案：1．BC【分析】由题意，根据简单随机抽样的定义，可得答案.【详解】对于A ，此为分层抽样；对于B ，此为随机数表法；对于C ，此为简单随机抽样；对于D ，此为系统抽样. 故选：BC. 2．BCD【分析】根据直线与平面平行的性质即可判断.【详解】因为直线a 平行于平面α，所以a 与平面α内的直线平行或异面，选项A 错误；选项B ，C ，D 正确.故选：BCD. 3．ACD【分析】选项ACD ，可借助正方体构造反例；选项B ，在平面γ分别取直线m 满足m a ⊥，直线n 满足n b ⊥，可证明l m ⊥，l n ⊥，即得证.【详解】A 选项：取11//A C 平面ABCD ，1111AC B D ⊥，但是11B D 不垂直于平面ABCD ，命题A 错误． B 选项：设a αγ⋂=，b βγ=，在平面γ分别取直线m 满足m a ⊥，直线n 满足n b ⊥．因为αγ⊥，βγ⊥，所以m α⊥，n β⊥，又l α⊆，l β⊆，所以l m ⊥，l n ⊥，所以l γ⊥．命题B 正确． C 选项：11//A B 平面ABCD ，//CD 平面11ABB A ，但平面ABCD 与平面11ABB A 不平行，命题C 错误． D 选项：平面ABCD ⊥平面11ABB A ，交线为AB ，1B ∈平面11ABB A ，1B C AB ⊥，但1B C 与平面ABCD 不垂直，命题D 错误． 故选：ACD4．BD【分析】由题意，根据扇形统计图的性质，可得答案.【详解】对于A ，小王一家2021年用于饮食的支出比例与跟2018年相同，但是由于2021年比2018年家庭收入多，∶小王一家2021年用于饮食的支出费用比2018年多，故A 错误；对于B ，设2018年收入为a ，∶相同的还款数额在2018年占各项支出的60%，在2021年占各项支出的40%，∶2021年收入为：0.6 1.50.4aa =，∶小王一家2021年用于其他方面的支出费用为1.512%0.18a a ⨯=，小王一家2018年用于其他方面的支出费用为0.06a ，∶小王一家2021年用于其他方面的支出费用是2018年的3倍，故B 正确；对于C ，设2018年收入为a ，则2021年收入为：0.6 1.50.4aa =，故C 错误； 对于D ，小王一家2021年用于房贷的支出费用与2018年相同，故D 正确． 故选：BD ． 5．ACD【分析】A. 如图，当P 在线段1BC 上时，当P 到平面1AFD 的距离不变，又底面1AFD △的面积是定值，所以三棱锥1P AD F -的体积为定值，所以该选项正确；B. 如图，分析得DP 与1AD 所成角的取值范围为[,]32ππ，所以该命题错误；C.如图，,M N 分别是1,CC CB 中点，点P 的轨迹是线段MN =D. 点P 的轨迹为以BC 中点O 为圆心，以1为半径的半圆，1BO 所以1PB 1,所以1A P 与平面11BCC B=所以该选项正确. 【详解】A. 如图，因为11//,BC AD AD ⊂平面1,AFD 1BC ⊄平面1,AFD 所以1//BC 平面1,AFD 所以当P 在线段1BC 上时，当P 到平面1AFD 的距离不变，又底面1AFD △的面积是定值，所以三棱锥1P AD F -的体积为定值，所以该选项正确；B. 如图，因为11//,BC AD 所以DP 与1AD 所成角就是DP 与1BC 所成的角（锐角或直角），当点P 在1,B C 时，由于∶1BDC 是等边三角形，所以这个角为3π，当1DP BC 时，这个角为2π，由图得DP 与1AD 所成角的取值范围为[,]32ππ，所以该命题错误；C.如图，,M N 分别是1,CC CB 中点，点P 的轨迹是线段MN ,由于//DM AF ,AF ⊂平面1AFD ,DM ⊄平面1AFD ,所以//DM 平面1AFD ，同理可得//MN 平面1AFD ，又,DM MN ⊂平面DMN ,DMMN M =,所以平面//DMN 平面1AFD ，所以//DP 平面1AFD ，MN ==P 选项正确；D.如图，由题得1A P 与平面11BCC B 所成角为11A PB ∠,1112tan A PB PB ∠=,即求1PB 的最小值，因为,PC AP PC AB ⊥⊥,,,AP AB A AP AB ⋂=⊂平面ABP ,所以PC ⊥平面ABP ,所以PC BP ⊥,所以点P 的轨迹为以BC 中点O 为圆心，以1为半径的半圆，1BO 所以1PB1,所以1A P 与平面11BCC B 所=所以该选项正确.故选：ACD 6．C【分析】根据直线与平面的位置关系进行判断即可.【详解】解：∶若a ，b 相交，a α⊂，b β⊂，则其交点在交线c 上，故a ，c 相交， ∶若a ，c 相交，可能a ，b 为相交直线或异面直线．综上所述：a ，b 相交是a ，c 相交的充分不必要条件． 故选：C ． 7．A【分析】由分层抽样求出100人中的男女生数，再利用平均数公式计算作答. 【详解】根据分层随机抽样原理，被抽取到的男生为60人，女生为40人， 设被抽取到的女生平均身高为cm x ，则6017240165100x⨯+=，解得154.5cm x =，所以被抽取的女生平均身高为154.5cm . 故选：A 8．D【分析】做出图像数形结合即可判断.【详解】如图，A 为二面角--l αβ内任意一点，AB α⊥，AC β⊥，过B 作BD l ⊥于D ， 连接CD ，因为AB α⊥，l α⊂，所以AB l ⊥因为AC β⊥，l β⊂，所以AC l ⊥，且AB AC A ⋂=， 所以l ⊥平面ABCD ，且CD ⊂面ABCD ，所以⊥l CD 则BDC ∠为二面角l αβ--的平面角，90ABD ACD ∠∠︒＝＝，BAC ∠为两条垂线AB 与AC 所成角，所以180A BDC ∠∠︒＋＝， 所以两条垂线所夹的角与二面角的平面角互为补角. 故选：D. 9．B【解析】根据频率分布直方图,结合平均数、众数、中位数的求法,即可得解. 【详解】由频率分布直方图可知,平均数为450.00510450.00510550.01510650.02010⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯750.03010850.02510950.0051072+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=众数为最高矩形底边的中点,即75中为数为:0.005100.015100.02010100.5x ⨯+⨯+⨯+⨯= 可得0.010x = 所以中为数为0.010701073.30.030+⨯≈ 综上可知,B 为正确选项 故选:B【点睛】本题考查了频率分布直方图的应用,平均数、众数、中位数的计算,属于基础题. 10．B【分析】分别求出平均数，中位数，众数，第75百分位数即可得解. 【详解】解：平均数为2683346858+++++++=，故甲正确；众数为：3，6，8，故乙错误；将这组数据按照从小到大的顺序排列：2,3,3,4,6,6,8,8， 则中位数为4652+=，故丙错误； 875%6⨯=，则第75百分位数为6872+=，故丁正确， 所以正确的个数为2个. 故选：B. 11．C【分析】先分析总的选课情况数，然后再分析甲、乙两人的选课中仅有一门课程相同的情况数，然后两者相除即可求解出对应概率.【详解】甲、乙总的选课方法有：3355C C ⋅种，甲、乙两人的选课中仅有一门课程相同的选法有：5412C C ⋅种，（先选一门相同的课程有15C 种选法，若要保证仅有一门课程相同只需要其中一人从剩余4门课程中选取2门，另一人选取剩余的2门课程即可，故有24C 种选法）所以概率为12543355310C C P C C ==，故选：C.【点睛】关键点点睛：解答本题的关键在于分析两人的选课仅有1门相同的选法数，可通过先确定相同的选课，然后再分析四门课程中如何做到两人的选课不同，根据古典概型的概率计算方法完成求解. 12．D【详解】试题分析：因为线面平行，所求求线面距可以转化为求点到面的距离，选用等体积法．1//AC 平面BDE ，1AC ∴到平面BDE 的距离等于A 到平面BDE 的距离，由题计算得11111223232E ABD ABD V S CC -=⨯=⨯⨯⨯在BDE 中，BE DE BD ===BD边上的高2==，所以122BDE S =⨯=所以1133A BDE BDE V S h -==⨯，利用等体积法A BDE E ABD V V --=，得: 13⨯=解得: 1h = 考点：利用等体积法求距离 13．∶∶【分析】先证明平面1A BD ∥平面GEF ，可判断P 的轨迹是线段BD ，结合选项和几何性质一一判断即可． 【详解】分别连接11,,BD A B A D ，所以11BD B D ∥，又因为11B D ∥EG ，则BD EG ∥， 同理1A D EF ∥，1,BDA D D EGEF E ==，故平面1A BD ∥平面GEF ，又因为1A P ∥平面GEF ，且P 是底面ABCD 上的一点，所以点P 在BD 上．所以点P 的轨迹是一段长度为BD =，故∶正确；当P 为BD 中点时1A P BD ⊥，线段1A P ，故∶错； 因为在正方体1111ABCD A B C D -中，1AC ⊥平面1A BD ，又1A P ⊂平面1A BD ， 则11A P AC ⊥，故∶正确；当P 与D 重合时，1A P 与1B C 平行，则∶错． 故答案为：∶∶14．1920【分析】利用独立事件的概率乘法公式和对立事件的概率公式可求得所求事件的概率.【详解】由题意可知，甲不中奖的概率为1111424--=，乙不中奖的概率为1311555--=，因此，甲、乙两人至少有1人获奖的概率为111914520-⨯=.故答案为：1920. 15．16【详解】试题分析：由题意知12868x x x x +++==，(862s x +-=，则12848x x x +++=，24s =，而()()()12826262624886688x x x y -+-++-⨯-⨯===，所以所求方差为()()()2222212812122122124168s x x x s ⎡⎤=-+-++-=⨯=⎣⎦'．故正确答案为16．考点：两组线性数据间的特征数的运算．【方法点晴】此题主要考查两组俱有线性关系的数据的特征数关系，当数据{}12,,,n x x x 与{}12,,,n y y y 中若有i i y ax b =+时，那么它们之间的平均数与方差（标准差）之间的关系是：y x =，222y x s a s =或是y x s as =，掌握此关系会给我们计算带来很大方便． 16．60°【分析】将所求异面直线平移到同一个三角形中，即可求得异面直线所成的角. 【详解】如图，取AC ，BD ，AD 的中点，分别为O ，M ，N ，则11,22ON CD MN AB ∥∥，所以ONM ∠或其补角即为所求的角.因为平面ABC ⊥平面ACD ，BO AC ⊥，平面ABC平面ACD AC =，BO ⊂平面ABC ，所以BO ⊥平面ACD ，又因为OD ⊂平面ACD ，所以BO OD ⊥. 设正方形边长为2，OB OD ==2BD =，则112OM BD ==. 所以=1ON MN OM ==.所以OMN 是等边三角形，60ONM ∠=︒. 所以直线AB 与CD 所成的角为60︒． 故答案为： 60° 17．(1)证明见解析 (2)证明见解析【分析】（1）由线面垂直得到1AA BC ⊥，从而求出BC ⊥平面11ABB A ，得到1BC AB ⊥；（2）根据正方形得到11BA AB ⊥，结合第一问求出的1BC AB ⊥，得到1AB ⊥平面1A BC ，从而证明面面垂直. （1）∶1AA ⊥平面ABC ，且BC ⊂平面ABC ， ∶1AA BC ⊥． 又因为1,BC AB AA AB A ⊥=，1,AA AB ⊂平面11ABB A ，所以BC ⊥平面11ABB A ． ∶1AB ⊂平面11ABB A ， ∶1BC AB ⊥． （2）∶1AA AB =，易知矩形11ABB A 为正方形， ∶11BA AB ⊥．由（1）知1BC AB ⊥，又由于11,,A B BC B A B BC =⊂平面1A BC ，∶1AB ⊥平面1A BC ． 又∶1AB ⊂平面1AB G ， ∶平面1AB G ⊥平面1A BC ．18．（1）甲的众数等于0；乙的众数等于0和2；甲的中位数等于0；乙的中位数等于1；（2）甲乙的平均水平相当，但是乙更稳定.【分析】（1）根据众数和中位数的公式直接计算，众数是指数据中出现次数最多的数据，中位数是按从小到大排列，若是奇数个，则正中间的数是中位数，若是偶数个数，则正中间两个数的平均数是中位数；（2）平均数指数据的平均水平，标准差指数据的稳定程度，离散水平.【详解】解：（1）由题知：甲的众数等于0；乙的众数等于0和2；甲的中位数等于0；乙的中位数等于1 （2）甲的平均数等于0012003040110+++++++++=乙的平均数等于2020202020110+++++++++=甲的方差等于2222222222(01)(01)(11)(21)(01)(01)(31)(01)(41)(01)210-+-+-+-+-+-+-+-+-+-=乙的方差等于2222222222(21)(01)(21)(01)(21)(01)(21)(01)(21)(01)110-+-+-+-+-+-+-+-+-+-=1 因此，甲乙的平均水平相当，但是乙更稳定！【点睛】本题考查样本的众数，中位数，标准差，重点考查定义和计算能力，属于基础题型. 19．（1）0.4；（2）20；（3）3:2.【分析】（1）根据频率=组距⨯高，可得分数小于70的概率为：1(0.040.02)10-+⨯；（2）先计算样本中分数小于40的频率，进而计算分数在区间[40，50)内的频率，可估计总体中分数在区间[40，50)内的人数；（3）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等，分别求出男生、女生的人数，进而得到答案．【详解】解：（1）由频率分布直方图知：分数小于70的频率为：1(0.040.02)100.4-+⨯= 故从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率为0.4； （2）已知样本中分数小于40的学生有5人， 故样本中分数小于40的频率为：0.05，则分数在区间[40，50)内的频率为：1(0.040.020.020.01)100.050.05-+++⨯-=， 估计总体中分数在区间[40，50)内的人数为4000.0520⨯=人， （3）样本中分数不小于70的频率为：0.6， 由于样本中分数不小于70的男女生人数相等． 故分数不小于70的男生的频率为：0.3， 由样本中有一半男生的分数不小于70，故男生的频率为：0.6，则男生人数为0.610060⨯=， 即女生的频率为：0.4，则女生人数为0.410040⨯=， 所以总体中男生和女生人数的比例约为：3:2． 20．(1)38；(2)13(3)80P X ==；(3)分布列见解析；期望为712． 【分析】(1)甲未能参与面试，则甲笔试最多通过一个环节，结合已知条件计算即可；(2)分析3X =时，分析乙笔试和面试分别通过的环节即可求解；(3)首先分别求出甲乙应聘的概率，然后利用独立事件的性质求解即可.【详解】(1)设事件A =“甲未能参与面试”，即甲笔试最多通过一个环节， 故1131131133()(1)(1)(1)(1)(1)2(1)(1)2242242248P A =---+⨯--⨯+--⨯=；(2)当3X =时，可知乙笔试通过两个环节且面试通过1个环节，或者乙笔试通过三个环节且面试都未通过， 3113114343(3)[(1)(1)2][(1)(1)]4224225454P X ==-⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯-+-⨯3114313(1)(1)4225480+⨯⨯⨯--=；(3)甲应聘成功的概率为1113113113215[(1)2(1)]2242242243224P =-⨯⨯⨯+⨯⨯-+⨯⨯⨯⨯=， 乙应聘成功的概率为2113113113433[(1)2(1)]224224224548P =-⨯⨯⨯+⨯⨯-+⨯⨯⨯⨯=，由题意可知，Y 的取值可能为0，1，2， 5395(0)(1)(1)248192P Y ==--=， 535341(1)(1)(1)24824896P Y ==⨯-+-⨯=535(2)24864P Y ==⨯=， 所以Y 的分布列如下表：所以数学期望7()12E Y =. 21．(1)证明见解析； (2)证明见解析.【分析】（1）由题意证得//MN AC ,结合线面平行的判定定理，即可证得//MN 平面PAC ；（2）由PA ⊥平面ABC ，证得PA BC ⊥，再由AB AC =，证得AM BC ⊥，根据线面垂直的判定定理证得BC ⊥平面PAM ，进而得到平面PBC ⊥平面PAM . （1）证明：在ABC 中，因为,M N 分别为,BC AB 中点，可得//MN AC , 又因为MN ⊄平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，所以//MN 平面PAC . （2）证明：因为PA ⊥平面ABC ，且BC ⊂平面ABC ，可得PA BC ⊥， 又因为AB AC =，且M 为BC 中点，可得AM BC ⊥，又由PA AM A =且,PA AM ⊂平面PAM ，所以BC ⊥平面PAM ， 因为BC ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面PAM . 22．(1)证明见解析 (2)【分析】（1）连接1A B ，1A D ，可证明1AO BD ⊥，再证明1A O OA ⊥，从而可证明结论. （2）由线面垂直的判断定理得AC ⊥平面1A BD ，由11//AC A C 得11A C ⊥平面1A BD ，再由棱锥的体积可得答案. （1）连接11,A D A B ，111,,AD AB A AB A AD A A =∠=∠为公共边，1111,∴≅∴=A AB A AD A D A B ，又O 为BD 的中点，1A O BD ∴⊥，在1A AB 中，由余弦定理可知1A B在1Rt AOB 中1AO =13,A A AO = 满足22211A O AO A A +=1A O OA ∴⊥，又AO BD O ⋂=，1A O ∴⊥平面ABCD .（2）由（1）知1A O ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ， 1A O AC ∴⊥且1BD AC BD AO O ⊥⋂=，， AC ∴⊥平面1A BD ，且11//AC A C ， 11A C ∴⊥平面1A BD ，1111232C A BD V -=⨯⨯。
高一下学期数学期末试卷含答案(共5套)
高一下学期期末考试数学试题第Ⅰ卷 选择题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}A |2,x x x R =≤∈，集合B 为函数y lg(1)x =-的定义域，则B A I （ ） A ．(1,2) B ．[1,2] C ．[1,2) D ．(1,2]2.已知20.5log a =，0.52b =，20.5c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．a c b <<D ．c b a <<3.一个单位有职工800人，其中高级职称160人，中级职称300人，初级职称240人，其余人员100人，为了解职工收入情况，现采取分层抽样的方法抽取容量为40的样本，则从上述各层中依次抽取的人数分别为（ ）A ．15,24,15,19B ．9,12,12,7C ．8,15,12,5D ．8,16,10,6 4.已知某程序框图如图所示，若输入实数x 为3，则输出的实数x 为（ ）A ．15B ．31 C.42 D ．63 5.为了得到函数4sin(2)5y x π=+，x R ∈的图像，只需把函数2sin()5y x π=+，x R ∈的图像上所有的点（ ）A ．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标伸长到原来的2倍．B ．纵坐标缩短到原来的12倍，横坐标伸长到原来的2倍．C ．纵坐标缩短到原来的12倍，横坐标缩短到原来的12倍． D ．横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标伸长到原来的2倍．6.函数()1ln f x x x=-的零点所在的区间是（ ）A ．(0,1)B ．(1,2) C.(2,3) D ．(3,4)7.下面茎叶图记录了在某项体育比赛中，九位裁判为一名选手打出的分数情况，则去掉一个最高分和最低分后，所剩数据的方差为（ ）A ．327 B ．5 C.307D ．4 8.已知函数()222cos 2sin 1f x x x =-+，则（ ）A ．()f x 的最正周期为2π，最大值为3．B ．()f x 的最正周期为2π，最大值为1． C.()f x 的最正周期为π，最大值为3． D ．()f x 的最正周期为π，最大值为1．9.平面向量a r 与b r 的夹角为23π，(3,0)a =r ，||2b =r ，则|2|a b +=r r （ ）A C.7 D ．3 10.已知函数2log (),0()(5),0x x f x f x x -<⎧=⎨-≥⎩，则()2018f 等于（ ）A ．1-B ．2 C.()f x D ．111.设点E 、F 分别为直角ABC ∆的斜边BC 上的三等分点，已知3AB =，6AC =，则AE AF ⋅u u u r u u u r（ ）A ．10B ．9 C. 8 D ．712.气象学院用32万元买了一台天文观测仪，已知这台观测仪从启动的第一天连续使用，第n 天的维修保养费为446(n )n N *+∈元，使用它直至“报废最合算”（所谓“报废最合算”是指使用的这台仪器的平均每天耗资最少）为止，一共使用了（ ）A ．300天B ．400天 C.600天 D ．800天第Ⅱ卷 非选择题二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.已知θ为锐角且4tan 3θ=，则sin()2πθ-= ． 14.A 是圆上固定的一点，在圆上其他位置任取一点B ，连接A 、B 两点，它是一条弦，它的长度不小于半径的概率为 ．15.若变量x ，y 满足2425()00x y x y f x x y +≤⎧⎪+≤⎪=⎨≥⎪⎪≥⎩，则32z x y =+的最大值是 ．16.关于x 的不等式232x ax >+（a为实数）的解集为，则乘积ab 的值为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 在ABC ∆中，角A ，B C ，所对应的边分别为a ，b ，c ，且5a =，3A π=，cos B =（1）求b 的值； （2）求sin C 的值．18. 已知数列{}n a 中，前n 项和和n S 满足22n S n n =+，n N *∈．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设12n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 19. 如图，在ABC ∆中，点P 在BC 边上，AC AP >，60PAC ∠=︒，PC =10AP AC +=．（1）求sin ACP ∠的值；（2）若APB ∆的面积是，求AB 的长．20. 已知等差数列{}n a 的首项13a =，公差0d >．且1a 、2a 、3a 分别是等比数列{}n b 的第2、3、4项． （1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）设数列{}n c 满足2 (n 1)(n 2)n n na c ab =⎧=⎨⋅≥⎩，求122018c c c +++L 的值（结果保留指数形式）．21.为响应党中央“扶贫攻坚”的号召，某单位知道一贫困村通过种植紫甘薯来提高经济收入．紫甘薯对环境温度要求较高，根据以往的经验，随着温度的升高，其死亡株数成增长的趋势．下表给出了2018年种植的一批试验紫甘薯在不同温度时6组死亡株数：经计算：615705i i i x y ==∑，6214140ii x ==∑，62110464i i y ==∑≈0.00174．其中i x ，i y 分别为试验数据中的温度和死亡株数，1,2,3,4,5,6.i =（1）y 与x 是否有较强的线性相关性？请计算相关系数r （精确到0.01）说明．（2）求y 与x 的回归方程ˆˆˆ+a y bx =（ˆb 和ˆa 都精确到0.01）；（3）用（2）中的线性回归模型预测温度为35C ︒时该批紫甘薯死亡株数（结果取整数）． 附：对于一组数据11(,v )u ，22(,v )u ，L L ，(,v )n n u ，①线性相关系数ni i u v nu vr -=∑，通常情况下当|r |大于0.8时，认为两个变量具有很强的线性相关性．②其回归直线ˆˆv u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为： 1221ˆni i i nii u v nu vunu β==-=-∑∑，ˆˆˆav u β=-；22.已知函数()2lg(a)1f x x =+-，a R ∈． （1）若函数()f x 是奇函数，求实数a 的值；（2）在在（1）的条件下，判断函数()y f x =与函数lg(2)xy =的图像公共点各数，并说明理由；（3）当[1,2)x ∈时，函数lg(2)x y =的图像始终在函数lg(42)xy =-的图象上方，求实数a 的取值范围．答案一、选择题答案9. 【解析】方法1： (1,b =-,2(1,a b +=±,|2|13a b +=。
浙江省杭州市2022-2023学年高一下学期期末数学试题(解析版)
2022学年第二学期杭州市高一年级教学质量检测数学试题卷考生须知：1.本试卷分试题卷和答题卡两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，必须在答题卡指定位置上用黑笔填写学校名､姓名､试场号､座位号､准考证号，并用2B 铅笔将准考证号所对应的数字涂黑.3.答案必须写在答题卡相应的位置上，写在其他地方无效.一､选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.）1. 设集合{}{}21,2,3,4,230AB xx x ==−−≤∣，则A B = （ ）A. {}1,2,3,4B. {}1,2,3C. {}1,2D. {}1【答案】B 【解析】【分析】先求出集合B ，再求两集合的交集.【详解】由2230x x −−≤，得(1)(3)0x x +−≤，解得13x −≤≤， 所以{}13B x x =−≤≤，因为{}1,2,3,4A =，所以A B = {}1,2,3， 故选：B2. 若i 23i z ⋅=+（i 是虚数单位），则z =（ ）A. 2B. 3C.D. 【答案】C 【解析】【分析】先求得32i z =−，再根据模长公式即可求解. 【详解】因为()()()23i i 23i32i ii i z +−+===−−，所以z =.故选：C3. 军事上角的度量常用密位制，密位制的单位是“密位”1密位就是圆周的16000所对的圆心角的大小，.若角1000α=密位，则α=（ ） A.π6B.π4C.π3D.5π12【答案】C 【解析】【分析】由密位制与弧度的换算公式可得，10002π6000α=×，从而可得解． 【详解】因为1密位等于圆周角的16000， 所以角1000α=密位时，1000π2π60003α=×=， 故选：C ．4. 已知平面α⊥平面β，直线l α⊄，则“l β⊥”是“//l α”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合面面垂直的性质分析判断. 【详解】设m αβ= ，在平面α内作a m ⊥， 因为平面α⊥平面β，所以a β⊥， 因为l β⊥，所以a ∥l ， 因为l α⊄，a α⊂， 所以//l α，而当平面α⊥平面β，直线l α⊄，//l α时，l 与平面β可能垂直，可能平行，可能相交不垂直， 所以“l β⊥”是“//l α”的充分而不必要条件， 故选：A5. 杭州亚运会火炬如图（1）所示，小红在数学建模活动时将其抽象为图（2）所示的几何体.假设火炬装满燃料，燃烧时燃料以均匀的速度消耗，记剩余燃料的高度为h ，则h 关于时间t 的函数的大致图象可能是（ ）A. B.C. D.【答案】A 【解析】【分析】根据火炬的形状：中间细、上下粗来分析剩余燃料的高度h 随时间t 变化的下降速度. 【详解】由图可知，该火炬中间细，上下粗，燃烧时燃料以均匀的速度消耗， 燃料在燃烧时，燃料的高度一直在下降，刚开始时下降的速度越来越快， 燃料液面到达火炬最细处后，燃料的高度下降得越来越慢， 结合所得的函数图象，A 选项较为合适. 故选：A.6. 雷峰塔位于杭州市西湖景区，主体为平面八角形体仿唐宋楼阁式塔，总占地面积3133平方米，项目学习小组为了测量雷峰塔的高度，如图选取了与底部水平的直线BC ，测得ABC ∠、ADC ∠的度数分别为α、β，以及D 、B 两点间的距离d ，则塔高AC =（ ）A. ()sin sin sin d αββα−B. ()sin sin cos d αββα−C.()tan tan tan d αββα−D.()sin cos sin d αββα−【答案】A 【解析】【分析】利用正弦定理可求得AD ，进而可得出sin AC AD β=，即为所求. 【详解】在ABD △中，BAD ADC ABC βα∠=∠−∠=−，由正弦定理可得sin sin BD AD BAD ABC=∠∠，即()sin sin d AD βαα=−，得()sin sin d AD αβα=−， 由题意可知，AC BC ⊥，所以，()sin sin sin sin d AC AD ADC αββα=∠=−.故选：A.7. 已知函数()()πe π,e xf x xg x =+=（e 为自然对数的底数），则（ ） A. ()()()0,,x f x g x ∞∀∈+> B. 0e ,e ππx∃∈，当0x x =时，()()f x g x = C. ()()e ,e π,πx f x g x∀∈<D. ()2π0e ,x ∞∃∈+，当0x x >时，()()f x g x <【答案】D 【解析】【分析】观察到()(),f x g x 分别为一次函数和指数函数，则数形结合，依次判定即可.【详解】由题，假设当1x x =时，()()f x g x =，作出示意图如图所示：则1(0,)x x ∈时，()()f x g x >， 当1(,)x x ∈+∞时，()()f x g x <，则A 选项错误；因为e 1e π9π<<<，()()π1e π,1e f g =+=，()()11f g >，故C 选项错误，且()()()()()39393π99e π10e,9 1.299128,e .2f g f g=+>=<><<=，则结合图像可知，当ee ππx <<时，()()f x g x >恒成立，故B 选项错误； 对于D 选项，x →+∞时，由图可知()()f x g x <，则D 选项正确.故选：D.8. 设函数()()ππ3πsin 0,,0,1288f x x f f ωϕωϕ=+><−==，且()f x 在区间π,1224π− 上单调，则ω的最大值为（ ） A. 1 B. 3C. 5D. 7【答案】B 【解析】【分析】根据π08f−= 与3π18f =可得()()211221,k k k k ω=−+∈Z ，再根据单调性可得8ω≤，验证7ω=， 5ω=与3ω=即可.【详解】由π08f−=,得()11ππ8k k ωϕ−+=∈Z ， 由3π18f =，得()223πππ82k k ωϕ+=+∈Z ， 两式作差，得()()211221,k k k k ω=−+∈Z ，因为()f x 在区间π,1224π−上单调，所以π12π2412π2ω+≤⋅，得8ω≤.当7ω=时，()117ππ8k k ϕ−+=∈Z ,因为π2ϕ<,所以π8ϕ=−, 所以()πsin 78f x x=−. 24ππ,12x∈−，π17π7π,8246x −∈− ,因为17ππ242−<−，所以()f x 在区间π,1224π−上不单调，不符合题意； 当5ω=时，()115ππ8k k ϕ−+=∈Z ，因π2ϕ<,所以3π8ϕ=−， 所以()3πsin 58f x x=−. 24ππ,12x∈−，3π19π5π,8246x −∈−− ,因为19ππ242−<−，所以()f x 在区间π,1224π−上不单调，不符合题意； 当3ω=时，()113ππ8k k ϕ−+=∈Z ，因为π2ϕ<,所以3π8ϕ=,所以()3πsin 38f x x=+. 24ππ,12x∈−，3πππ3,882x +∈ ，所以()f x 在区间π,1224π−上单调，符合题意，所以ω的最大值是3.故选:B.二､多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.） 9. 已知函数()2121x x f x −=+，则（ ）为A. 函数()f x 的图象关于原点对称B. 函数()f x 的图象关于y 轴对称C. 函数()f x 的值域为()1,1−D. 函数()f x 是减函数【答案】AC 【解析】【分析】求函数()f x 的奇偶性可判断AB ；分离参数可得()2121x f x =−+，根据指数函数的值域可判断C ；根据单调性的定义可判断D.【详解】()f x 的定义域为R ，()2121x x f x −=+，则()()21212121x x x x f x f x −−−−−==−=−++，所以()f x 为奇函数，()f x 的图象关于原点对称,A 正确，B 错误；()21212121x x x f x −==−++，因为211x +>,所以10121x<<+,20221x <<+， 所以211121x −<−<+,故()f x 的值域为()1,1−,C 正确； 设21x x >,则()()212122112121x x f x f x−=−−− ++()()()2112122222221212121x x x x x x −−=++++, 因为21x x >，所以2112220,210,210x x x x −>+>+>， 所以()()210f x f x −>,即()()21f x f x >， 所以函数()f x 是增函数，故D 错误， 故选:AC.10. 如图，O 是正六边形ABCDEF 的中心，则（ ）A. AB AF AO −=B. 3AC AE AD +=C. OA OC OB OD ⋅=⋅D. AD 在AB上的投影向量为AB【答案】CD 【解析】【分析】根据向量的线性运算法则，可判定A 、B 不正确，结合向量的数量积的定义域运算，可判定C 正确，结合向量的投影的定义与运算，可判定D 正确. 【详解】根据题意，结合平面向量的线性运算法则，可得：对于A 中，由B F AO FB A A =−≠，所以A 不正确；对于B 中，由232AO OC AO OE A AC AE O OC OE AO O A D O =+++=+=+++，所以B 不正确；对于C 中，设正六边形的边长为a ，可得111cos1202OA OC ⋅=××=−，111cos1202OB OD ⋅=××=− ，所以OA OC OB OD ⋅=⋅ ，所以C 正确；对于D 中，如图所示，连接BD ，可得BD AB ⊥，可得cos AD DAB AB ∠=，所以AD 在向量AB 上的投影向量为AB AB AB AB⋅= ，所以D 正确. 故选：CD.11. 如图，质点A 和B 在单位圆O 上逆时针作匀速圆周运动.若A 和B 同时出发，A 的角速度为1rad /s ，起点位置坐标为12 ，B 的角速度为2rad /s ，起点位置坐标为()1,0，则（ ）A. 在1s 末，点B 的坐标为()sin2,cos2B. 在1s 末，扇形AOB 的弧长为π13− C. 在7πs 3末，点,A B 在单位圆上第二次重合 D. AOB 面积的最大值为12 【答案】BCD 【解析】【分析】求出1s 末点A 和B 的坐标可判断选项AB;求出7πs 3末点A 和B 的坐标，结合诱导公式可判断C ；根据三角形面积公式可判断D.【详解】在1s 末,点B 的坐标为()sin2,cos2，点A 的坐标为ππcos 1,sin 133 ++；π13AOB ∠=−，扇形AOB 的弧长为π13−；设在s t 末，点,A B 在单位圆上第二次重合， 则π7π22π33t t t −==+=，故在7πs 3末，点,A B 在单位圆上第二次重合； 1sin 2AOBS AOB =∠△,经过5π6s 后，可得π2AOB ∠=，AOB 面积的可取得最大值12. 故选:BCD.12. 圆锥内半径最大的球称为该圆锥的内切球，若圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上，则称该球为圆锥的外接球.如图，圆锥PO 的内切球和外接球的球心重合，且圆锥PO 的底面直径为2a ，则（ ）A. 设内切球的半径为1r ，外接球的半径为2r ，则212r r =B. 设内切球的表面积1S ，外接球的表面积为2S ，则124S S =C. 设圆锥的体积为1V ，内切球的体积为2V ，则1294V V =D. 设S 、T 是圆锥底面圆上的两点，且ST a =，则平面PST 截内切球所得截面的面积为2π15a【答案】ACD 【解析】【分析】作出圆锥的轴截面，依题意可得PAB 为等边三角形，设球心为G （即为PAB 的重心），即可求出PAB 的外接圆和内切圆的半径，即可为圆锥的外接球、内切球的半径，即可判断A 、B ，由圆锥及球的体积公式判断C ， ST所对的圆心角为π3（在圆O 上），设ST 的中点为D ，即可求出OD ，不妨设D 为OB 上的点，连接PD ，过点G 作GE PD ⊥交PD 于点E ，利用三角形相似求出GE ，即可求出截面圆的半径，从而判断D.【详解】作出圆锥的轴截面如下：因为圆锥PO 的内切球和外接球的球心重合，所以PAB 为等边三角形， 又2PB a =，所以OP ，设球心为G （即为PAB 的重心），所以23PGPO ==，13OG PO ==，即内切球的半径为1r OG ==，外接球的半径为2r PG ==，所以212r r =，故A 正确；设内切球表面积1S ，外接球的表面积为2S ，则214S S =，故B 错误； 设圆锥的体积为1V，则3121ππ3V a a ， 内切球的体积为2V，则3324π3V a ==，所以1249V V =，故C 正确； 设S 、T 是圆锥底面圆上的两点，且ST a =，则 ST所对的圆心角为π3（在圆O 上），的设ST的中点为D，则πsin3OD a==，不妨设D为OB上的点，连接PD，则PD过点G作GE PD⊥交PD于点E，则PEG POD∽，所以GE PGOD PD=，=，解得GE=，所以平面PST截内切球截面圆的半径r所以截面圆的面积为22π15πar=，故D正确；故选：ACD【点睛】关键点睛：本题解答的关键是由题意得到圆锥的轴截面三角形为等边三角形，从而确定外接球、内切球的半径.二､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13. 设函数()12,01,02xx xf xx>=<，若()12f a=，则=a__________.【答案】14##0.25【解析】【分析】分段求解方程和指数方程，则问题得解.【详解】当0a>时，1212a=，14a∴=，当a<0时，1122a=，1a∴=(舍)．14a∴=．故答案为：14. 14. 将曲线sin y x =上所有点向左平移(0)ϕϕ>个单位，得到函数sin y x =−的图象，则ϕ的最小值为__________. 【答案】π 【解析】【分析】先利用三角函数图象变换规律求出平移后的解析，再由两函数图象相同列方程可求得结果.【详解】将曲线sin y x =上所有点向左平移(0)ϕϕ>个单位，可得sin()y x ϕ=+， 因为sin()y x ϕ=+与sin y x =−的图象相同， 所以π2π,k k ϕ=+∈Z ， 因为0ϕ>，所以ϕ的最小值为π， 故答案为：π15. 已知正三棱柱111ABC A B C 的各条棱长都是2，则直线1CB 与平面11AA B B 所成角的正切值为__________；直线1CB 与直线1A B 所成角的余弦值为__________. 【答案】 ①. ②. 14##0.25【解析】【分析】空1：取AB 中点D ，连接1,CD B D ，则可得1CB D ∠为直线1CB 与平面11AA B B 所成角，然后在1CB D 中求解即可；空2：分别取111,,BC BB A B 的中点,,E F G ，连接,,EF FG EG ，则可得EFG ∠（或其补角）为直线1CB 与直线1A B 所成角，然后在EFG 中求解即可. 【详解】空1：取AB 的中点D ，连接1,CD B D ， 因为ABC 为等边三角形，所以CD AB ⊥， 因为1BB ⊥平面ABC ，CD ⊂平面ABC ， 所以1BB CD ⊥，因为1BB AB B ∩=，1,BB AB ⊂平面11AA B B ， 所以CD ⊥平面11AA B B ，的所以1CB D ∠直线1CB 与平面11AA B B 所成角， 因为正三棱柱111ABC A B C 的各条棱长都是2，所以12CD DB ===所以11tan CD CB D DB ∠=所以直线1CB 与平面11AA B B空2：分别取111,,BC BB A B 的中点,,E F G ，连接,,EF FG EG ，则EF ∥1B C，11122EF B C ==×， FG ∥1A B，11122FG A B ==×，所以EFG ∠（或其补角）为直线1CB 与直线1A B 所成角， 连接,DG DE，则EG =，在EFG 中，由余弦定理得2221cos 24EF FG EG EFG EF FG +−∠==−⋅， 因为异面直线所成的角的范围为0,2π，所以直线1CB 与直线1A B 所成角的余弦值为14，14.为16. 对于函数()()yf x x I ∈，若存在0x I ∈，使得()00f x x =，则称0x 为函数()y f x =的“不动点”.若存在0x I ∈，使得()()0ff x x=，则称0x 为函数()y f x =的“稳定点”.记函数()y f x =的“不动点”和“稳定点”的集合分别为A 和B ，即(){}()(){}|,|A x f x x B x f f x x ====.经研究发现：若函数()f x 为增函数，则A B =.设函数())R f x a ∈，若存在[]0,1b ∈使()()f f b b =成立，则a 的取值范围是__________. 【答案】10,4【解析】【分析】先判断())R f x a ∈是增函数，再根据题意可得()f b b =，代入可得2a b b =−，再结合二次函数的性质即可求解a 的取值范围.【详解】因为())R f x a ∈是增函数，所以()()ff b b =等价于()f b b =b =，所以2a b b =−，而2a b b =−在10,2上单调递增，在1,12上单调递减， 所以max 14a =，而当0b =时，0a =；当1b =时，0a =，即min 0a =， 所以a 的取值范围为10,4.故答案为：10,4三､解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）17. 在平面直角坐标系中，已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点34,55P−． （1）求sin α的值；（2）若角β满足()sin αβ+，求cos β的值．【答案】（1）45−（2【解析】【分析】（1）根据某个角正弦的定义，直接求解即可；（2）首先由同角的三角函数的平方关系求出()cos αβ+，根据()cos cos βαβα =+− 及两角差的余弦公式，代入计算即可． 【小问1详解】由角α的终边过点34,55P −，得4sin 5y r α===−．【小问2详解】由角α的终边过点34,55P − ，得3cos 5x r α==， 由()sin αβ+()1cos 2αβ+=±， ()()()cos cos cos cos sin sin βαβααβααβα =+−=+++ ，当()1cos 2αβ+=时，134cos 255β =×+−=当()1cos 2αβ+=−时，134cos 255β =−×+−综上所述，cos β=．18. 某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量mg /L P 与时间h t 间的关系为0e kt P P −=（其中0,P k 是正常数）.已知在前5个小时消除了10%的污染物.（1）求k 的值（精称到0.01）； （2）求污染物减少50%需要花的时间（精确到0.1h ）？参考数据：ln20.693,ln3 1.099,ln5 1.609===. 【答案】（1）0.02 （2）34.7【解析】【分析】（1）由题意可得5000.9e kP P −=，求解即可；（2）由题意可得0.02000.5e tP P −=，求解即可.【小问1详解】 由0ektP P −=知，当0=t 时，0P P =；当5t =时，()0110%PP =−；即5000.9ekP P −=，所以1ln0.95k =−，即()()1911ln 2ln3ln102ln3ln2ln50.0251055k =−=−×−=−×−−≈； 【小问2详解】当00.5P P =时，0.02000.5e tP P −=，即0.020.5e t −=，则50ln234.7t≈.故污染物减少50%需要花的时间约为34.7h .19. 我们把由平面内夹角成60°的两条数轴,Ox Oy 构成的坐标系，称为“@未来坐标系”.如图所示，21,e e分别为,Ox Oy 正方向上的单位向量.若向量12OP xe ye =+ ，则把实数对(),x y 叫做向量OP的“@未来坐标”，记{,}OP x y =.已知{}{}1122,,,x y x y 分别为向是,a b的@未来坐标.（1）证明：{}{}{}11221212,,,x y x y x x y y +=++；（2）若向量,a b 的“@未来坐标”分别为{}1,2，{}2,1，求向量,a b的夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析 （2）1314【解析】【分析】（1）因为{}{}111122122122,,,x y a x y x y b e e e y e x ==+==+，则{}{}()()111221122221,,x y e y x x y e x y e e +=+++计算即可证明；（2）由题意可得12122,2b e a e e e =+=+，根据向量夹角公式即可求解.因为{}{}111122122122,,,x y a x y x y b e e e y e x ==+==+， 所以{}{}()()111221122221,,x y e y x x y e x y e e +=+++()()211122x x y y e e =+++{}1212,x x y y =++【小问2详解】12122,2b e a e e e =+=+ ，()()221212121213222252a b e e e e e e e e ⋅+⋅+++⋅ ，122a e e =+=== ，212b e e =+===，所以13cos ,14a b a ba b⋅==. 20. 在四边形ABCD 中，//,sin 2sin AB CD AD ADC CD ABC ∠∠⋅=⋅.（1）求证：2BC CD =.（2）若33AB CD ==，且sin sin60AD ADB AB ∠°⋅=⋅，求四边形ABCD 的面积. 【答案】（1）证明见解析（2）若60ABD ∠= ，则四边形ABCD， 若120ABD ∠= ，则四边形ABCD【解析】【分析】（1）由条件结合正弦定理证明sin sin AD ADC BC ABC ⋅∠=⋅∠，由此证明结论； （2）由条件结合正弦定理求ABD ∠，由余弦定理求BD ，结合三角形面积公式求结论.在ACD 中，由正弦定理得sin sin AD ADC AC ACD ∠⋅∠⋅，因为AB CD ，所以ACD CAB ∠=∠， 所以sin sin AD ADC AC CAB ∠⋅∠⋅， ABC 中，由正弦定理得，即sin sin AC CAB BC ABC ∠⋅=⋅∠， 所以sin sin AD ADC BC ABC ⋅∠=⋅∠. 又sin 2sin AD ADC CD ABC ⋅∠=⋅∠， 所以sin 2sin BC ABC CD ABC ⋅∠=⋅∠， 所以2BC CD =.【小问2详解】在ABD △中，由正弦定理得sin sin sin60AD ADB AB ABD AB ∠∠⋅=⋅=⋅ ， 所以sin sin60ABD ∠= ， 所以60ABD ∠= 或120 ，①当60ABD ∠= 时，则60BDC ∠= ，在BCD △中，由余弦定理得，230BD BD −−=，又0BD >，解得BD =此时四边形ABCD 的面积()1S sin602AB CD BD =+××= ②当120ABD ∠= 时，则120BDC ∠= ， 在BCD △中，由余弦定理得，230BD BD +−=，解得BD =，在此时四边形ABCD 的面积()1sin1202S AB CD BD =+××=21. 生活中为了美观起见，售货员用彩绳对长方体礼品盆进行捆扎.有以下两种捆扎方案：方案(1)为十字捆扎(如图(1))，方案(2)为对角捆扎(如图(2)).设礼品盒的长AB ，宽BC ，高1AA 分别为30cm,20cm,10cm .（1）在方案(2)中，若111110cm LA A E IC C H FB BG ======，设平面LEF 与平面GHI 的交线为l ，求证：//l 平面ABCD ；（2）不考虑花结用绳，对于以上两种捆扎方式，你认为哪一种方式所用彩绳最少，最短绳长为多少cm ？ 【答案】（1）证明见解析 （2）方案(2)，最短绳长为100cm 【解析】【分析】（1）先证明LE IH ∥，从而可证LE 平面IHG ，进而得LE l ∥，从而可证l 平面1111D C B A ，从而可证//l 平面ABCD ；（2）方案1中，绳长为()()3010220102140cm +×++×=；方案2中，将长方体盒子展开在一个平面上，在平面展开图中彩绳是一条由F 到F ′的折线，从而可计算最短绳长. 【小问1详解】连接,LI EH ，在长方体中，111110cm LA A E IC C H FB BG ======， 则111110cm,20cm B LD B E ID H ====，所以LE IHLI EH ==，所以LE IH =，LI EH =，所以四边形LEHI 是平行四边形，LE IH ∴∥，又LE ⊄ 平面,IHG LE ⊂平面LEF LE ∴ 平面IHG ； 又LE ⊂ 平面LEF ，平面LEF ∩平面,GHI l LE l =∴∥； 又l ⊄ 平面1111,A B C D LE ⊂平面1111,A B C D l ∴ 平面1111D C B A ， 又l ⊄ 平面,ABCD l ∴ 平面ABCD ； 【小问2详解】方案1中，绳长为()()3010220102140cm +×++×=； 方案2中，将长方体盒子展开在一个平面上，在平面展开图中彩绳是一条由F 到F ′的折线，如图所示，在扎紧的情况下，彩绳长度的最小值为FF ′长度，因为FB F B =′′′，所以100cm FF BB ′′′===，所以彩绳的最短长度为100cm .22. 已知函数()()1(0),(0)f x x x g x x x x=+>=>. （1）直接写出()()()()1f x g x g x f x −<−+的解集；（2）若()()()123f x f x g x ==，其中12x x <，求()()123f x x g x ++的取值范围；（3）已知x 为正整数，求()()()()22121h x m x m x m ∗=+−+∈N的最小值（用m 表示）.【答案】（1）()2,+∞； （2）()()12392f x xg x ++>；（3）()min 322,1,8,2,()24,333,3m m h x m m m m m m ∗−= −= ∈ −=−+−+> N . 【解析】【分析】（1）转化为求解()1110x x x<−>，分01x <≤与1x >讨论即可求解； （2）根据韦达定理得()122t x x t +=>，再根据对勾函数的性质即可求解； （3）根据二次函数的性质分类讨论即可求解.【小问1详解】∵()()1(0),(0)f x x x g x x x x=+>=>， ∴()()()()1f x g x g x f x −<−+即为()1110x x x <−>, 当01x <≤时，110x −≤，故()1110x x x<−>，显然不成立； 当1x >时，110x −>，故()1110x x x <−>，即()210x x<>,解得2x >. 综上所述，()()()()1f x g x g x f x −<−+的解集为()2,+∞.【小问2详解】设()()()123f x f x g x t ===，则3x t =， 令1x t x+=，整理得：210x tx −+=， 故12x x t +=，且2Δ40t =−>，得2t >. ∴()()12312f x x g x t t ++=+在2+)∞（， 上单调递增， 所以11922222t t +>×+=， 即()()12392f x xg x ++>. 【小问3详解】 ()()()()()222222111211,11m mh x m x m x m x m m + +=+−+=+−− ++2121,11m m m m +=−+++ ()2,111m m m ∗∗∈∴−∈≤+N N ，， ①1m =时，()min 211,()121m h x h m −+=∴==−+； ②2m =时，()min 251,()2813m h x h m −+=∴==−+； ③3m =时，()()min 251,()232412m h x h h m −+=∴===−+； ④3m >时，2121,1111212m m m m m <−<−+<−+++， ∴()32min ()133h x h m m m m =−=−+−+. 综上所述，()min 322,1,8,2,()24,333,3m m h x m m m m m m ∗−= −= =∈ −=−+−+> N。
临沂市高一数学下学期期末考试试题含解析
设圆锥的底面半径为 ，内接圆柱的底面半径为 ，
因为内接圆柱的体积为 ,所以 ，解得 ，
又由 ，所以 ,解得 ,
所以圆锥的母线长为 ，
所以该圆锥的表面积为 。
故答案为： 。
【点睛】本题主要考查了圆锥的表面积和圆柱的体积的计算，其中解答中熟记圆锥、圆柱的结构特征是解答的关键，着重考查数形结合法，以及推理与运算能力.
A. B. C。 D.
【答案】C
【解析】
【分析】
计算出基本事件的总数以及事件“抽到的两人中有一男一女”所包含的基本事件数,利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.
【详解】从两名男生和两名女生中任意抽取两人，若采取有放回简单随机抽样,基本事件总数为 ，
若抽到的两人中有一男一女，可以先抽到男生后抽到女生，也可以先抽到女生后抽到男生，
所以 .
故答案为： .
【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理解三角形的应用,考查了三角恒等变换的应用及运算求解能力，属于中档题。
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意 ，根据复数的除法运算可得 ，进而求得共轭复数 ，即可知对应点所在的象限
【详解】由 知：
∴ ，即 对应的点为
故选：C
【点睛】本题考查了复数的除法运算，以及共轭复数的概念，首先由复数四则运算的除法求得复数，进而依据共轭复数的概念得到对应的共轭复数，即可判断所在象限
2. 的值是（ )
四边形 为平行四边形， ,
平面 ， 平面 ， 平面 ,即选项 正确；
选项 ,取 的中点 ,连接 、 ，
平面 , 即为二面角 的平面角．
重庆巴蜀中学校2026届高一下学期期末考试数学试题
高2026届高一 (下) 期末考试数学试卷注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、班级、学校在答题卡上填写清楚。
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
在试卷上作答无效。
3.考试结束后，请将答题卡交回，试卷自行保存。
满分150分，考试用时120分钟。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为aa,bb,cc, 若aa=√3,bb=1,AA=ππ3,则B= ( )A. ππ3 B、ππ2 C. ππ6 D. ππ42. 某校高一年级有四个班共有学生200人, 其中1班60人, 2班50人, 3班50人, 4班40人.该校要了解高一学生对食堂菜品的看法，准备从高一年级学生中随机抽取40人进行访谈，若采取按比例分配的分层抽样，且按班级来分层，则高一2班应抽取的人数是( )A. 12B. 10C. 8D. 203.已知平面四边形OABC用斜二测画法画出的直观图是边长为1的正方形OO′AA′BB′CC′，则原图形OABC中的AB= ( )A. √2BB.2√2C. 3D. 24.已知m，n，β是两个不重合的平面，则下列结论正确的是( )A. 若α∥β, m∥β, 则m∥αB. 若m⊥α, n⊥α, 则m∥nC. 若m∥α, m∥β, 则α∥βD. 若m⊥n, m⊂α, 则n⊥α5.甲、乙、丙3人独立参加一项挑战，已知甲、乙、丙能完成挑战的概率分别为13、13、14,则甲、乙、丙中有人完成挑战的概率为 ( )A. 15B. 13 c. 25 D. 236.平行六面体. AABBCCAA−AA₁BB₁CC₁AA₁中, 底面ABCD 为正方形, ∠AA1AAAA=∠AA1AABB=ππ3, AAAA₁=AABB=1,E为C₁D₁的中点，则异面直线BE和DC所成角的余弦值为 ( )A. 0 BB.√32C. 12AA.√347.甲在A处收到乙在航行中发出的求救信号后，立即测出乙在方位角(是从某点的正北方向线起，依顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角) 为45°、距离A处为10n mile的 C处，并测得乙正沿方位角为105°的方向, 以6n mile/h的速度航行, 甲立即以14n mile/h的速度前去营救，甲最少需要 ( )小时才能靠近乙.A. 1B. 2C. 1.5D. 1.28.已知向量OOAA满足|OOAA在OOAA方向上的投影向量为OOAA12,则CCAA�����⃗⋅CCBB�����⃗的最小值为( )AA.−12BB.4−2√63CC.1−√72AA.5−2√74二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 设复数z的共轭复数为zz̅,ii为虚数单位, 若(zz+2)ii=1+ii, 则( )A. 复数z的虚部为-1B. |z|=2C. zz̅在复平面内对应的点在第一象限AA.zz⁸=1610.一个袋子中有大小相同，标号分别为1，2，3，4的4个小球.采用不放回方式从中任意摸球两次，一次摸一个小球.设事件A=“第一次摸出球的标号小于3”，事件B=“第二次摸出球的标号小于3”，事件C=“两次摸出球的标号都是偶数”，则 ( )A. P(A)=P(B) BB.PP(AABB)=16CC.PP(AA∪BB)=23AA.PP(AACC)=11211. 如图, 在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁(中，点M 分别为CC₁上的动点，O为正方体内一点，则以下命题正确的是 ( )A. B₁M+DM 取得最小值2 √5B.当M为中点时，平面BMD₁截正方体所得的截面为平行四边形C. 四面体ABMD的外接球的表面积为5π时, CM=1D. 若AO=CO, A₁O=2, 则点O的轨迹长为. √2ππ三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 已知向量aa⃗=(1,1),bb�⃗=(mm,−2)若aa⃗//�aa⃗+bb�⃗�,则m= .13.若圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，则圆锥的侧面积为 .14. 记△ABC的内角A, B, C所对的边分别为a, b, c, 已知aaaaii aa AA+ccaaii aa CC=aaccaaaaCC+ccccaaaaAA,若△ABC的面积, SS=ttbb²（tt>0),则tt的最大值为 .四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.(本小题满分13分)为调查外地游客对洪崖洞景区的满意程度，某调查部门随机抽取了100位游客，现统计参与调查的游客年龄层次，将这100人按年龄(岁)(年龄最大不超过65岁，最小不低于15岁的整数) 分为5组, 依次为[15,25),[25,35),[35,45),[45,55),[55,65], 并得到频率分布直方图如下:(1)求实数aa的值;(2)估计这 100人年龄的样本平均数(同一组数据用该区间的中点值作代表)；(3)估计这 100人年龄的第80百分位数.(结果保留一位有效数字，四舍五入)16.(本小题满分15分)如图，在直四棱柱. AABBCCAA−AA₁BB₁CC₁AA₁中, 四边形ABCD是一个菱形, ∠DAB=60°, ∠AAAABB=60°,点P为BC₁上的动点.(1) 证明: DP//平面AB₁D₁;(2)试确定点P的位置，使得. BBCC⊥AAPP.17.(本小题满分15分)在. △AABBCC中，角A，B，C所对的边分别为aa，bb,cc, aa=2,√3�cosAA sinAA+cosBB sinBB�=2cc bb.(1) 求A的大小;�����⃗=AABB�����⃗3+2AAAA�����⃗3,若A 为钝角，求△AABBAA面积的取值范围.(2) 已知AAAA18.(本小题满分17分)已知三棱台−AA₁BB₁CC₁中, △ABC为正三角形, AA1BB1=AAAA1=BBBB1=12AABB=1,点E为线段AB 的中点.(1) 证明: A₁E∥平面B₁BCC₁;(2) 延长AA₁, BB₁, CC₁交于点 P, 求三棱锥P-ABC的体积最大值;(3)若二面角AA−CCCC₁−BB的余弦值为13,求直线BB₁与平面. AACCCC₁AA₁所成线面角的余弦值.19.(本小题满分17分)球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科.如图，球O 的半径为R.A、B、C为球面上三点，劣弧BC的弧长记为aa，设O。
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2013-2014高一下学期数学期末试卷
一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．设6x π=
,则()tan x π+等于( ) A ．0 B ．33 C ．1 D 3
2．设函数()()()()123f x x x x =---，集合(){}|0M x R f x =∈=，则有( )
A ．{}2.3M =
B ．M ⊂1
C ．{}1,2M ∈
D ．{}{}1,32,3M =U
3．若0.51log 2x -≤≤，则有( )
A ．12x -≤≤
B ．24x ≤≤
C ．124x ≤≤
D ．1142x ≤≤ 4．等差数列{}n a 满足条件34a =，公差2d =-，则26a a +等于( )
A ．8
B ．6
C ．4
D ．2
5．设向量()()2,1,1,3a b ==，则向量a 与b 的夹角等于( )
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．120°
6．如图，在直角坐标系xOy 中，射线OP 交单位圆O 于点P ，若AOP θ∠=，则点P 的坐标是( )
A ．()cos ,sin θθ
B ．()cos ,sin θθ-
C ．()sin ,cos θθ
D ．()sin ,cos θθ-
7．直线0220322=--+=+-x y x m y x 与圆相切，则实数m 等于( )
A ．3-3或
B ．333-或
C ．333-或
D ．3333-或
8．如图，在三棱锥P ABC -中，已知,,,,PC BC PC AC E F G ⊥⊥点分别是所在棱的中点，则下面结论中错误的是( )
A ．平面//EFG 平面PBC
B ．平面EFG ⊥平面ABC
C ．BPC ∠是直线EF 与直线PC 所成的角
D ．FEG ∠是平面PAB 与平面ABC 所成二面角的平面角
9．已知直线l 过点()3,7P -且在第二象限与坐标轴围城OAB ∆，若当
OAB ∆的面积最小时，直线l 的方程为( )
A ．4992100x y --=
B ．73420x y --=
C ．4992100x y -+=
D ．73420x y -+=
10.在空间直角坐标系中，点A （2，-1,6）,B （-3,4,0）的距离是( ) A 432 B 212 C 9 D 86
11.一个水平放置的三角形的斜二侧直观图是等腰直角三角形
A B O '''，若2O B ''=，那么原ABO ∆的面积是 ( )
（A ）1 （B ）2 （C ）22 （D ） 42 12.设,x y 满足约束条件12x y y x y +≤⎧⎪≤⎨⎪≥-⎩
,则3z x y =+的最大值为 （ ）
A ． 5 B. 3 C. 7 D. -8
二、填空题：(本大题共4小题；每小题5分，共20分)
13．不等式2x x <的解集是 。
14．在数列{}n a 中，()()*1+121n n n n a n N a a n -=∈>，则
等于 ()*n N ∈
15.如图，三视图对应的几何体的体积等于 。
16．已知ABC a b c A B C ∆中，、、分别为角、、的对边
7,23
c C π=∠=,且ABC ∆的面积为332，则a b +等于 。
第11题图
三、解答题：(本大题共6小题，共70分)
17．（10分）设()()cos2+3sin 2,f x x x m x R m =+∈为常数，
（1）求()f x 的最小正周期；
（2）若[0,]2
x π∈时，()f x 的最小值为4，求m 的值。
17．（12分）已知直线l 与圆C 相交于点()1,0P 和点()0,1Q 。
（1）求圆心C 所在的直线方程；
（2）若圆心C 的半径为1，求圆C 的方程。
18．（12分）如图,,O P 分别是正方体1111ABCD A B C D -底面的中心，连接,,,PB PC OB OC OP 和。
（1）求证：平面PBO ⊥平面PCO
（2）求直线11B C 与平面POB 所成的角。
19．（12分）在∆ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c . 角A 、B 、C 成等差数列.
（1）求B cos 的值；
（2）若边a 、b 、c 成等比数列，求C A sin sin 的值.
20. (12分)若不等式0252>-+x ax 的解集是⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<221x x
， (1) 求a 的值；
(2) 求不等式01522>-+-a x ax 的解集.
19．（12分）已知函数()2log f x m x t =⋅+的图像经过点()4,1A 、点()16,3B 及点(),n C S n ,其中n S 为数列{}n a 的前n 项和，)(*N n ∈。
（1）求n S 和n a ；
（2）设数列{}n b 的前n 项和为n T ，()1n n b f a =-，不等式n n T b ≤的解集。