苏州市2017-2018学年高一下学期期末数学试卷及答案
2016-2017学年江苏省苏州市高一下学期期末数学试卷(答案+解析)
江苏省苏州市2016-2017学年高一（下）期末数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程．1．（5分）已知全集U={x|x＞0}，A={x|x≥3}，则∁∪A=．2．（5分）若数据x1，x2，…，x8的方差为3，则数据2x1，2x2，..，2x8的方差为．3．（5分）某高级中学共有1200名学生，现用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为60的样本，其中高一年级抽30人，高三年级抽15人．则该校高二年级学生人数为．4．（5分）集合A={1，2，3，4}，B={1，2，3}，点P的坐标为（m，n），m∈A，n∈B，则点P在直线x+y=5上的概率为．5．（5分）已知cosθ=﹣，θ∈（，π），则cos（﹣θ）=．6．（5分）算法流程图如图所示，则输出的结果是．7．（5分）已知{a n}为等差数列，a1+a2+a3=﹣3，a4+a5+a6=6，则S n=．8．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=x2﹣x，则不等式f（x）＞x的解集用区间表示为．9．（5分）如图，为了探求曲线y=x2，x=2与x轴围成的曲边三角形OAP的面积，用随机模拟的方法向矩形OAPB内随机投点1080次，现统计落在曲边三角形OAP的次数360次，则可估算曲边三角形OAP面积为．10．（5分）在△ABC中，AB=3，AC=4．若△ABC的面积为，则BC的长是．11．（5分）若点（x，y）位于曲线y=|x|与y=1所围成的封闭区域内（含边界），则2x﹣y的最小值为．12．（5分）已知x，y是正实数，则+的最小值为．13．（5分）如图，等腰梯形AMNB内接于半圆O，直径AB=4，MN=2，MN的中点为C，则•的值为．14．（5分）已知等差数列{a n}和等比数列{b n}满足a1+b1=7，a2+b2=4，a3+b3=5，a4+b4=2，则a n+b n=．二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）已知函数y=2x（0＜x＜3）的值域为A，函数y=lg[﹣（x+a）（x﹣a﹣2）] （其中a＞0）的定义域为B．（1）当a=4时，求A∩B；（2）若A⊆B，求正实数a的取值范围．16．（14分）已知向量=（2cos x，sin x），=（3cos x，﹣2cos x），设函数f（x）=•（1）求f（x）的最小正周期；（2）若x∈[0，]，求f（x）的值域．17．（14分）平面直角坐标系xOy中，A（2，4），B（﹣1，2），C，D为动点，（1）若C（3，1），求平行四边形ABCD的两条对角线的长度（2）若C（a，b），且，求取得最小值时a，b的值．18．（16分）某生态公园的平面图呈长方形（如图），已知生态公园的长AB=8（km），宽AD=4（km），M，N分别为长方形ABCD边AD，DC的中点，P，Q为长方形ABCD边AB，BC（不含端点）上的一点．现公园管理处拟修建观光车道P﹣Q﹣N﹣M﹣P，要求观光车道围成四边形（如图阴影部分）的面积为15（km2），设BP=x（km），BQ=y（km），（1）试写出y关于x的函数关系式，并求出x的取值范围；（2）若B为公园入口，P，Q为观光车站，观光车站P位于线段AB靠近入口B的一侧．经测算，每天由B入口至观光车站P，Q乘坐观光车的游客数量相等，均为1万人，问如何确定观光车站P，Q的位置，使所有游客步行距离之和最大，并求出最大值．19．（16分）已知正项数列{a n}满足a1=1，（n+1）a2n+1+a n+1a n﹣na=0，数列{b n}的前n 项和为S n且S n=1﹣b n．（1）求{a n}和{b n}的通项；（2）令c n=，①求{c n}的前n项和T n；②是否存在正整数m满足m＞3，c2，c3，c m成等差数列？若存在，请求出m；若不存在，请说明理由．20．（16分）已知函数f（x）=x|x﹣a|+2x（a∈R）（1）当a=4时，解不等式f（x）≥8；（2）当a∈[0，4]时，求f（x）在区间[3，4]上的最小值；（3）若存在a∈[0，4]，使得关于x的方程f（x）=tf（a）有3个不相等的实数根，求实数t的取值范围．【参考答案】一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．∁∪A={x|0＜x＜3}【解析】全集U={x|x＞0}，A={x|x≥3}，则∁∪A={x|0＜x＜3}，故答案为：{x|0＜x＜3}．2．12【解析】∵样本数据x1，x2，…，x8的方差为3，∴数据2x1，2x2，…，2x8的方差为：22×3=12．故答案为：12．3．300【解析】高二年级抽取的人数为60﹣30﹣15=15，则该校高二年级学生人数为1200×=300，故答案为：300．4．【解析】集合A={1，2，3，4}，B={1，2，3}，点P的坐标为（m，n），m∈A，n∈B，∴基本事件总数N=4×3=12，点P在直线x+y=5上包含的基本事件有：（2，3），（3，2），（4，1），共有M=3个，∴点P在直线x+y=5上的概率为：p==．故答案为：．5．【解析】∵cosθ=﹣，θ∈（，π），∴sinθ==，则cos（﹣θ）=cos cosθ+sin sinθ=•（﹣）+•=，故答案为：．6．5【解析】模拟程序的运行，可得i=0，S=0满足条件S＜10，执行循环体，S=0，i=1满足条件S＜10，执行循环体，S=1，i=2满足条件S＜10，执行循环体，S=3，i=3满足条件S＜10，执行循环体，S=6，i=4满足条件S＜10，执行循环体，S=10，i=5不满足条件S＜10，退出循环，输出i的值为5．故答案为：5．7．【解析】设等差数列{a n}的公差为d，∵a1+a2+a3=﹣3，a4+a5+a6=6，∴3a2=﹣3，3a5=6，∴a2=﹣1，a5=2．∴3d=a5﹣a2=2﹣（﹣1）=3，解得d=1，∴a1=a2﹣d=﹣2．则S n=﹣2n+×1=．故答案为：．8．（﹣2，0）∪（2，+∞）【解析】根据题意，设x＜0，则﹣x＞0，f（﹣x）=（﹣x）2﹣（﹣x）=x2+x，又由函数f（x）为奇函数，则f（x）=﹣f（x）=﹣（x2+x）=﹣x2﹣x，即当x＜0时，f（x）=﹣x2﹣x，分2种情况讨论：①当x＞0时，不等式f（x）＞x为x2﹣x＞x，即x2﹣2x＞0，解可得x＜0或x＞2，则此时不等式的解集为（2，+∞），②当x＜0时，不等式f（x）＞x为﹣x2﹣x＞x，即x2+2x＜0，解可得﹣2＜x＜0，则此时不等式的解集为（﹣2，0），综合可得：不等式f（x）＞x的解集为（﹣2，0）∪（2，+∞），故答案为：（﹣2，0）∪（2，+∞）．9．【解析】P（2，4）．由几何概型的概率公式可知==，∴曲边三角形OAP面积约为S正方形OAPB==．故答案为：．10．或【解析】△ABC的面积为3，且AB=3，AC=4，所以×3×4×sin A=3，所以sin A=，所以A=60°或120°；A=60°时，cos A=，BC===；A=120°时，cos A=﹣，BC==；综上，BC的长是或．故答案为：或．11．﹣3【解析】设z=2x﹣y得y=2x﹣z，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：平移直线y=2x﹣z，由图象可知当直线y=2x﹣z，过点A时，直线y=2x﹣z的截距最大，此时z最小，由，解得A（﹣1，1），代入目标函数z=2x﹣y=﹣2﹣1=﹣3，∴目标函数z=2x﹣y的最小值是﹣3．故答案为：﹣3．12．【解析】x，y是正实数，则+=+﹣≥2﹣=．当且仅当x=y时，取得最小值．故答案为：．13．1【解析】以O为原点，以AB为x轴建立坐标系，如图所示：则A（﹣2，0），M（﹣1，），B（2，0），C（0，），∴=（1，），=（﹣2，），∴=﹣2+3=1．故答案为：1．14．7﹣n+（﹣1）n﹣1，n∈N*【解析】设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q，由a1+b1=7，a2+b2=4，a3+b3=5，a4+b4=2，可得a1+d+b1q=4，a1+2d+b1q2=5，a1+3d+b1q3=2，解得a1=6，b1=1，d=q=﹣1，可得a n+b n=6﹣（n﹣1）+（﹣1）n﹣1=7﹣n+（﹣1）n﹣1，故答案为：7﹣n+（﹣1）n﹣1，n∈N*．二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．解：（1）函数y=2x（0＜x＜3）的值域为A，可得A=（1，8），函数y=lg[﹣（x+a）（x﹣a﹣2）]（其中a＞0）的定义域为B，当a=4时，可得B={x|﹣（x+4）（x﹣4﹣2）＞0}={x|﹣4＜x＜6}=（﹣4，6），即有A∩B=（1，6）；（2）A⊆B，且B={x|﹣（x+a）（x﹣a﹣2）＞0}={x|﹣a＜x＜a+2}，可得﹣a≤1，且8≤a+2，且a＞0，即有a≥6，则正实数a的取值范围为[6，+∞）．16．解：∵=（2cos x，sin x），=（3cos x，﹣2cos x），∴f（x）=•=（2cos x，sin x）•（3cos x，﹣2cos x）==6×==．（1）函数f（x）的最小正周期为T=；（2）∵x∈[0，]，∴2x﹣∈[﹣]，则sin（2x﹣）∈[﹣]．∴f（x）的值域为[，6]．17．解：（1）=（1，﹣3），=（3，2）．==．由平行四边形的性质可得：=，可得=+=（6，3）．∴=（7，1），可得：==5．（2）C（a，b），且，∴=+（3，1）=（a+3，b+1）．∴=（a+4，b﹣1）．=（a﹣2，b﹣4）．∴=（a﹣2）（a+4）+（b﹣4）（b﹣1）=a2+2a﹣8+b2﹣5b+4=（a+1）2+﹣≥，当且仅当a=﹣1，b=时取等号．18．解：（1）∵M，N是AD，CD的中点，AB=8，AD=4，BP=x，BQ=y，∴S△AMP==8﹣x，S△DMN==4，S△NCQ==8﹣2y，S△BPQ=，∵观光车道围成四边形（如图阴影部分）的面积为15（km2），∴8﹣x+4+8﹣2y+xy=4×8﹣15=17，∴y==．令0＜y＜4，即0＜＜4，解得0＜x＜3或5＜x＜8．（2）由题意可知0＜x＜3，∴x+y=x+=x+2﹣，令f（x）=x+2﹣，则f′（x）=1﹣，令f′（x）=0得x=4﹣，∴当0＜x时．f′（x）＞0，当4﹣＜x＜3时，f′（x）＜0，∴f（x）在（0，4﹣）上单调递增，在（4﹣，3）上单调递减，∴当x=4﹣时，f（x）取得最大值6﹣2．∴所有游客的步行距离之和的最大值为20000×（6﹣2）=40000（3﹣）km．19．解：（1）∵（n+1）a2n+1+a n+1a n﹣na=0，∴[（n+1）a n+1﹣na n]（a n+1+a n）=0，又a n+1+a n＞0．∴（n+1）a n+1﹣na n=0，解得=．∴a n=••…••a1=••…•×1=．∴a n=．∵数列{b n}的前n项和为S n且S n=1﹣b n．∴n≥2时，b n=S n﹣S n﹣1=1﹣b n﹣（1﹣b n﹣1），化为：b n=b n﹣1．n=1时，b1=S1=1﹣b1，解得b1=．∴数列{b n}是等比数列，首项与公比都为．∴b n=．（2）①c n==，∴数列{c n}的前n项和T n=++…+．∴=++…++，可得：=+…+﹣=﹣，可得：S n=2﹣．②假设存在正整数m满足m＞3，c2，c3，c m成等差数列，则2c3=c2+c m，∴=+，化为：2m﹣2=m．m=4时，满足：2m﹣2=m．m≥5时，2m﹣2﹣m=（1+1）m﹣2﹣m=1++++…﹣m=1+m﹣2+++…﹣m=++…﹣1＞0．∴m≥5时，2m﹣2﹣m＞0，因此2m﹣2=m无解．综上只有m=4时，满足m＞3，c2，c3，c m成等差数列．20．解：（1）当a=4时，f（x）=x|x﹣4|+2x，当x≥4时，x（x﹣4）+2x≥8，解得x≥4（x≤﹣2舍去）；当x＜4时，x（4﹣x）+2x≥8，解得2≤x＜4．综上可得，f（x）≥8的解集为[2，+∞）；（2）当a∈[0，3]时，f（x）=x（x﹣a）+2x=x2+（2﹣a）x，对称轴为x=∈[﹣1，]，区间[3，4]在对称轴的右边，为增区间，可得f（3）为最小值，即为15﹣3a；当a∈（3，4]时，当3＜x＜a时f（x）=x（a﹣x）+2x=﹣x2+（2+a）x，对称轴为x=∈（，3]，区间（3，a）在对称轴的右边，为减区间；当a≤x≤4时，f（x）=x（x﹣a）+2x=x2+（2﹣a）x，对称轴为x=∈[，1]，区间[3，4]在对称轴的右边，为增区间，即有f（a）取得最小值，且为2a．综上可得，a∈[0，3]时，f（x）的最小值为15﹣3a；a∈（3，4]时，f（x）的最小值为2a．（3）当x＜a时，f（x）=﹣x2+（2+a）x，对称轴为x=当a∈[0，2]知a﹣=≤0，可得x＜a为增函数；当x≥a时，f（x）=x2+（2﹣a）x，对称轴为x=，当a∈[0，2]知a﹣=＞0，可得x≥a为增函数；则不满足关于x的方程f（x）=tf（a）有3个不相等的实数根．当a∈[2，4]时，a＞+1＞﹣1，∴y=f（x）在（﹣∞，+1）上单调增，在（+1，a）上单调减，在（a，+∞）上单调增，∴当f（a）＜tf（a）＜f（+1）时，关于x的方程f（x）=tf（a）有三个不相等的实数根；即2a＜t•2a＜（+1）2，∵a∈[2，4]，∴1＜t＜（1++），设h（a）=（1++），∵存在a∈[2，4]使得关于x的方程f（x）=tf（a）有三个不相等的实数根，∴1＜t＜h（a）max，又可证h（a）=（1++）在[2，4]上单调增，∴h（a）max=h（4）=，∴1＜t＜．。
江苏省苏州市2016-2017高一下学期数学期末试卷含答案
2016～2017学年第二学期苏州市高一期末调研测试数 学2017．6注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题～第14题）、解答题（第15题～第20题）两部分．本试卷满分160分，考试时间120分钟．2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在答题卡的指定位置．3．答题时，必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在答题卡的指定位置，在其它位置作答一律无效．4．如有作图需要，可用2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．5. 请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损．一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔． 6．样本数据12,,,n x x x 的方差2211()n i i s x x n ==-∑，其中11n i i x x n ==∑．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1． 已知全集{0}U x x =>，{3}A x x =≥，则UA = ．2． 若数据128,,,x x x ⋅⋅⋅的方差为3，则数据1282,2,,2x x x ⋅⋅⋅的方差为 ．3．某高级中学共有1200名学生，现用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为60的样本，其中高一年级抽30人，高三年级抽15人. 则该校高二年级学生人数为 ． 4．集合{1,2,3,4}A =，{1,2,3}B =，点P 的坐标为(),m n ，m A ∈，n B ∈，则点P 在直线5x y +=上的概率为 ．5． 已知3cos 5θ=-，,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ππ，则cos 3θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭π ．6． 算法流程图如右图所示，则输出的结果是 ． 7． 已知{}n a 为等差数列，1233a a a ++=-，4566a a a ++=，则8S = ．8． 已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，2()f x x x =-，则不等式()f x x >的解(第6题图)(第9题图)集用区间表示为 ．9．如图，为了探求曲线2y x =，2x =与x 轴围成的曲边三角形OAP 的面积，用随机模拟的方法向矩形OAPB 内随机投点1080次，现统计落在曲边三角形OAP 的次数360次，则可估算曲边三角形OAP 面积为 ．10．ABC ∆中，3,4AB AC ==,若ABC ∆的面积为BC 的长是 ．11．若点(),x y 位于曲线y x =与1y =所围成的封闭区域内（含边界），则2x y -的最小值为 ．12．已知,x y 是正实数，则223y x x yx y--+的最小值为 ． 13. 如图，等腰梯形AMNB 内接于半圆O ，直径4AB =，2MN =，MN 的中点为C ，则AM BC ⋅的值为 ．14．已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足117a b +=， 224a b +=，335a b +=，442a b +=，则n n a b += ．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）已知函数2x y =(03x <<)的值域为A ，函数[]lg ()(2)y x a x a =-+-- (其中0a >)的定义域为B ．（1）当4a =时，求A B ；（2）若A B ⊆，求正实数a 的取值范围．16．（本小题满分14分）已知向量a ()2cos x x =，b ()3cos ,2cos x x =-，设函数()f x =a ⋅b ． （1）求()f x 的最小正周期；(第13题图)（2）若0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦π，求()f x 的值域．17．（本小题满分14分）平面直角坐标系xOy 中，()2,4A ，()1,2B -，,C D 为动点． （1）若()3,1C ，求平行四边形ABCD 的两条对角线的长度； （2）若(,)C a b ，且()3,1CD =，求AC BD ⋅取得最小值时,a b 的值．18．（本小题满分16分）某生态公园的平面图呈长方形(如图)，已知生态公园的长AB =8(km)，宽AD =4(km)，M ，N 分别为长方形ABCD 边AD ，DC 的中点，P ，Q 为长方形ABCD 边AB ，BC (不含端点)上的一点．现公园管理处拟修建观光车道P -Q -N -M -P ，要求观光车道围成四边形(如图阴影部分)的面积为15(km 2)，设BP =x (km)，BQ =y (km)，（1）试写出y 关于x 的函数关系式，并求出x 的取值范围；（2）若B 为公园入口，P ，Q 为观光车站，观光车站P 位于线段AB 靠近入口B 的一侧．经测算，每天由B 入口至观光车站P ，Q 乘坐观光车的游客数量相等，均为1万人，问如何确定观光车站P ，Q 的位置，使所有游客步行距离之和最大，并求出最大值．19．（本小题满分16分）已知正项数列{}n a 满足11a =，()221110n n n n n a a a na ++++-=，数列{}n b 的前n 项和为n S 且1n n S b =-.PQCNMBD A(第18题图)（1）求{}n a 和{}n b 的通项； （2）令nn nb c a =， ①求{}n c 的前n 项和n T ；②是否存在正整数m 满足3m >，23,,m c c c 成等差数列？若存在，请求出m ；若不存在，请说明理由.20．（本小题满分16分）已知函数()()2f x x x a x a =-+∈R （1）当4a =时，解不等式()8f x ≥；（2）当[]0,4a ∈时，求()f x 在区间[]3,4上的最小值；（3）若存在[]0,4a ∈，使得关于x 的方程()()f x tf a =有3个不相等的实数根，求实数t 的取值范围．2016～2017学年苏州市高一期末调研测试数学参考答案 2017．6一、填空题：1．()0,3 2．12 3．300 4．14 5．3106．5 7．12 8．()2,0(2,)-+∞9．8310 11 3- 12．4313．1 14．()171n n --+- 二、解答题： 15．（本小题满分14分）解：（1）{}|18A x x =<<， ……3分 当4a =时，{}{}2|224046B x x x x x =--<=-<<， ……5分{}|16A B x x ∴=<<． ……8分（2）0a >,{}{}()(2)02B x x a x a x a x a ∴=+--<=-<<+， ……10分1,28a A B a -⎧⊆∴⎨+⎩≥，解得6;a ≥ ……13分 当A B ⊆，实数a 的取值范围是[6,)+∞． ……14分16．（本小题满分14分）（1）2()6cos cos f x x b x a x ⋅==- ……2分1+cos2622xx =⨯……4分=3cos223x x +=)36x ++． ……6分∴()f x 的最小正周期为22T ==ππ， ……8分 （2）0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦π，∴72666x +πππ， ……10分 ∴1-3cos(2)6x +π ……12分∴()f x 值域为[3- ……14分17．（本小题满分14分） （1）()2,4A ，()3,1C ，∴()1,3AC =-，10AC =……2分又ABCD 是平行四边形∴AB CD =，()3,2AB =--， 设(),D x y ，又()3,1DC x y =--，所以63x y =⎧⎨=⎩即()6,3D =， ……5分 ()7,1BD =，故52BD =． ……7分（2）(),C a b ，则()3,1D a b ++，∴()2,4AC a b =--，()4,1BD a b =+-，……9分()2222545452541244AC BD a a b b a b ⎛⎫⋅=++--=++--≥- ⎪⎝⎭， ……12分当且仅当51,2a b =-=时AC BD ⋅的最小值为454-． ……14分18．（本小题满分16分） 解：（1）长方形ABCD 中，AB =8，AD =4，M 、N 分别为AD 、DC 的中点，且BP =x ，BQ =y ．∴AP =8-x ，CQ =4-y ． ……1分 则4CMN S ∆= ，2(4)CNQ S y ∆=- ，8AMP S x ∆=- ，12BPQ S xy ∆=． ∴PQMN ABCD =()CMN CNQ AMP BPQ S S S S S S ∆∆∆∆-+++四边形长方形．=1122152x y xy ++-=． ……4分 ∴2(3)4x y x -=-． ……5分又0804x y <<⎧⎨<<⎩，解得：03x <<或58x <<． …… 8分 （2）设游客步行距离之和为l （万千米）． 则l x y =+=2(3)4x x x -+-=26[(4)]4x x--+-． ……11分观光车站P 位于线段AB 靠近入口B 的一侧，∴03x <<，即144x <-<．由基本不等式：2(4)4x x-+-≥4x =． ……13分∴当4x =-2y =max 6l =- ……15分答：应选定P 离入口B 为4km )处，选定Q 离入口B 为2(km )处可使游客步行距离之和最大，最大值为6- ……16分 19．（本小题满分16分）解析：（1）由()221110n n n n n a a a na ++++-=可以得到()()1110n n n n n a na a a +++-+=⎡⎤⎣⎦，10n n a a ++>，∴()110n n n a na ++-=，∴()11n n n a na ++=， ……2分即()1111n n n a na a ++====，∴{}n a 的通项为1n a n=. ……4分 由1n n S a =-可以得到111b b =-也就是112b =且111n n S b ++=-，因此11n n n b b b ++=-，即为112n n b b +=，{}n b 为等比数列，12nn b ⎛⎫= ⎪⎝⎭. ……6分（2）①12n n n n b c n a ⎛⎫== ⎪⎝⎭，211112222nn T n ⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭……8分()211111112222nn n T n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯++-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭211111122222nn n T n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以111222n nn T n -⎛⎫⎛⎫=-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. ……11分②由题设有313322284m c c =+=⨯=， 所以14m c =， ……12分 当3k ≥时，()1111122kk k k c c k k --⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()111122k k k k -⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()122kk ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，10k k c c --<，所以当3k ≥时，{}k c 为减数列， ……15分又414c =，所以4m =． 所以存在正整数4m =此时234,,c c c 成等差数列 ……16分20．（本小题满分16分）（1）当4a =时，不等式可化为428x x x -+≥．若4x ≥，则2280x x --≥，∴4x ≥； ……2分 若4x <，则2680x x -+，∴24x <． ……4分 综上，不等式解集为[)2,+∞． ……5分（2）2222222222(2)()(2)2222a a x x ax a xx a f x x a xx a a a x x a⎧--⎛⎫⎛⎫--⎪ ⎪ ⎪⎧--⎪⎝⎭⎝⎭==⎨⎨-++<++⎩⎛⎫⎛⎫⎪--+< ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩≥≥ ……7分下面比较22,,22a a a -+的大小： ∵[]0,4a ∈， ∴当[]0,2a ∈时，22022a a a ----=<，22022a aa +--=≥∴()f x 在R ∴()f x a ．……9分当(2,4a ∈a -=∴f 为减函数， 若34a <，则()f x 在区间[]3,4上的最小值为()2f a a =． ……12分（3）由（2）知当[]0,2a ∈时，如图1，关于x 的方程()()f x tf a =不可能有3个不相等的实数根． ……13分当(]2,4a ∈时，要存在a ，使得关于x 的方程()()f x tf a =有3个不相等的实数根，则2()()2a f a tf a f +⎛⎫<< ⎪⎝⎭有解，∴()max2()2124()a f t a f a +⎛⎫⎪<<< ⎪ ⎪⎝⎭ ……14分x2()142(4)()8a f a f a a+=++，且函数4y a a =+在区间(]2,4上为增函数（不证明单调性扣1分）∴max2()92()8a f f a +⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，∴918t <<． ……16分。
江苏省苏州市2017-2018学年高一下学期期末考试数学试题解析版
江苏省苏州市2017-2018学年高一下学期学业质量阳光指标调研试题一、填空题（本大题共14小题，每题5分，满分70分，将答案填在答题纸上）1. 已知集合，，则__________．【答案】【解析】分析：根据交集的定义，即可求出.详解：集合，，.故答案为.点睛：本题考查了交集运算问题，属于基础题.2. 一组数据1，2，3，4，5，则这组数据的方差等于__________．【答案】2【解析】试题分析：先根据平均数的定义确定平均数，再根据方差公式进行计算即可求出答案．由平均数的公式得：（1+2+3+4+5）÷5=3，∴方差=[（1﹣3）2+（2﹣3）2+（3﹣3）2+（4﹣3）2+（5﹣3）2]÷5=2．考点：方差．3. 为了解某一段公路汽车通过时的车速情况，现随机抽测了通过这段公路的200辆汽车的时速，所得数据均在区间中，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的200辆汽车中，时速在区间内的汽车有__________辆．【答案】80【解析】试题分析：时速在区间内的汽车有考点：频率分布直方图4. 袋中装有5个大小相同的球，其中3个黑球，2个白球，从中一次摸出2个球，则摸出1个黑球和1个白球的概率等于__________．【答案】【解析】分析：通过枚举法写出摸出2个球的所有情况，再找出摸出1个黑球和1个白球的情况，由此能求出概率. 详解：设3个黑球用A，B，C表示；2个白球用甲，乙表示，摸出2个球的所有情况：（A，B）、（A，C）、（A，甲）、（A，乙）、（B，C）、（B，甲）、（B，乙）、（C，甲）、（C，乙）、（甲，乙）共10种，其中摸出1个黑球和1个白球的情况有6种，所以，摸出1个黑球和1个白球的概率为.故答案为.点睛：本题考查利用古典概型的概率公式求事件的概率，解题时要注意枚举法的合理运用.5. 设向量，，．若，则实数的值是__________．【答案】4【解析】试题分析：由题意得考点：向量平行6. 如右图所示的算法流程图中，最后的输出值为__________．【答案】25【解析】分析：由流程图可知，该算法为先判断后计算的当型循环，模拟执行程序，即可得到答案.详解：程序执行如下故不成立时，.故答案为25.点睛：本题考查了循环结构的程序框图，正确判断循环的类型和终止循环的条件是解题关键7. 公元五世纪张丘建所著《张丘建算经》卷中第22题为：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈，问日益几何”．题目的意思是：有个女子善于织布，一天比一天织得快（每天增加的数量相同），已知第一天织布5尺，一个月（30天）共织布9匹3丈，则该女子每天织布的增加量为__________尺．（1匹=4丈，1丈=10尺）【答案】【解析】，分析：设该女子织布每天增加尺，由等差数列前项和公式求出即可.详解：设该女子织布每天增加尺，由题意知，尺，尺又由等差数列前项和公式得，解得尺故答案为点睛：本题考查等差数列的实际应用，解题时要认真审题，注意等差数列性质的合理运用.8. 如图所示，在的方格中，每个小正方形的边长为1，点，，，均为格点（格点是指每个小正方形的顶点），则__________．【答案】12【解析】分析：设水平向右和竖直向上的单位向量分别为和，用和表示和，再根据公式计算，即可求出答案.详解：设水平向右和竖直向上的单位向量和，则和由图可知，，.故答案为12.点睛：本题考查向量运算在几何中的应用，向量的数量积以及向量的正交分解，考查计算能力以及转化思想，属于中档题.9. 已知角的终边上一点的坐标为，则的值为__________．【答案】【解析】分析：由角的终边上的一点的坐标为，求出的值，利用，将的值代入即可得结果.详解：角的终边上的一点的坐标为，，那么，故答案为.点睛：本题主要考查三角函数的定义及二倍角的正弦公式与余弦公式，属于中档题.给值求值问题，求值时要注意：(1)观察角，分析角与角之间的差异以及角与角之间的和、差、倍的关系，巧用诱导公式或拆分技巧；(2)观察名，尽可能使三角函数统一名称；(3)观察结构，以便合理利用公式，整体化简求值.10. 已知的三个内角，，所对的边分别是，，，且角，，成等差数列，则的值为__________．【答案】1【解析】分析：由角，，成等差数列，可得，由余弦定理，整理可得：，再将通分化简，即可就得答案.详解：角，，成等差数列，，，由由余弦定理，整理可得：故答案为1.点睛：本题考查了余弦定理和等差数列的性质，属于基本知识的考查.11. 已知关于的方程在上有3个相异实根，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】分析：将方程问题转换为函数与的图象在上有三个不同交点.根据函数图象可以求出答案.详解：方程在上有3个相异实根，函数与的图象在上有三个不同交点，在坐标系中画出函数的图象，由图象可知，在上，函数与有两个不同的交点，在上，函数与有一个交点，联立，整理得，，即，解得实数的取值范围为故答案为点睛：本题主要考查方程的根与函数图象交点的关系，考查数形结合的思想以及分析问题解决问题的能力.12. 已知，，且，则的最小值等于__________．【答案】11【解析】分析：构造基本不等式模型，化简整理，应用基本不等式，即可得出答案.详解：，，，，，，当且仅当时取等号..的最小值等于11.故答案为11.点睛：本题考查基本不等式的性质与应用，同时考查了整体思想与转化思想的运用.13. 将关于的方程（）的所有正数解从小到大排列构成数列，其，，构成等比数列，则__________．【答案】【解析】分析：根据三角函数图像与性质，建立关于，，的方程组，即可求出的值.详解：方程（）的所有正数解，也就是函数与在第一象限交点的横坐标，由函数图象与性质可知，在第一象限内，最小的对称轴为，周期又，，构成等比数列，解得故答案为点评：本题综合考查方程的根与两个函数图象交点的关系，三角函数的图象与性质，等比数列的性质，考查转化思想、数形结合思想和分析解决问题的能力。
2017学年江苏省苏州市高一下学期期末数学试卷及参考答案
2016-2017学年江苏省苏州市高一（下）期末数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．1．（5分）已知全集U={x|x＞0}，A={x|x≥3}，则∁∪A=．2．（5分）若数据x1，x2，…，x8的方差为3，则数据2x1，2x2，..，2x8的方差为．3．（5分）某高级中学共有1200名学生，现用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为60的样本，其中高一年级抽30人，高三年级抽15人．则该校高二年级学生人数为．4．（5分）集合A={1，2，3，4}，B={1，2，3}，点P的坐标为（m，n），m∈A，n∈B，则点P在直线x+y=5上的概率为．5．（5分）已知cosθ=﹣，θ∈（，π），则cos（﹣θ）=．6．（5分）算法流程图如图所示，则输出的结果是．7．（5分）已知{a n}为等差数列，a1+a2+a3=﹣3，a4+a5+a6=6，则S n=．8．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=x2﹣x，则不等式f（x）＞x的解集用区间表示为．9．（5分）如图，为了探求曲线y=x2，x=2与x轴围成的曲边三角形OAP的面积，用随机模拟的方法向矩形OAPB内随机投点1080次，现统计落在曲边三角形OAP 的次数360次，则可估算曲边三角形OAP面积为．10．（5分）在△ABC中，AB=3，AC=4．若△ABC的面积为，则BC的长是．11．（5分）若点（x，y）位于曲线y=|x|与y=1所围成的封闭区域内（含边界），则2x﹣y的最小值为．12．（5分）已知x，y是正实数，则+的最小值为．13．（5分）如图，等腰梯形AMNB内接于半圆O，直径AB=4，MN=2，MN的中点为C，则•的值为．14．（5分）已知等差数列{a n}和等比数列{b n}满足a1+b1=7，a2+b2=4，a3+b3=5，a4+b4=2，则a n+b n=．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）已知函数y=2x（0＜x＜3）的值域为A，函数y=lg[﹣（x+a）（x﹣a ﹣2）]（其中a＞0）的定义域为B．（1）当a=4时，求A∩B；（2）若A⊆B，求正实数a的取值范围．16．（14分）已知向量=（2cosx，sinx），=（3cosx，﹣2cosx），设函数f（x）=•（1）求f（x）的最小正周期；（2）若x∈[0，]，求f（x）的值域．17．（14分）平面直角坐标系xOy中，A（2，4），B（﹣1，2），C，D为动点，（1）若C（3，1），求平行四边形ABCD的两条对角线的长度（2）若C（a，b），且，求取得最小值时a，b的值．18．（16分）某生态公园的平面图呈长方形（如图），已知生态公园的长AB=8（km），宽AD=4（km），M，N分别为长方形ABCD边AD，DC的中点，P，Q为长方形ABCD边AB，BC（不含端点）上的一点．现公园管理处拟修建观光车道P﹣Q﹣N ﹣M﹣P，要求观光车道围成四边形（如图阴影部分）的面积为15（km2），设BP=x （km），BQ=y（km），（1）试写出y关于x的函数关系式，并求出x的取值范围；（2）若B为公园入口，P，Q为观光车站，观光车站P位于线段AB靠近入口B 的一侧．经测算，每天由B入口至观光车站P，Q乘坐观光车的游客数量相等，均为1万人，问如何确定观光车站P，Q的位置，使所有游客步行距离之和最大，并求出最大值．19．（16分）已知正项数列{a n}满足a1=1，（n+1）a2n+1+a n+1a n﹣na=0，数列{b n}的前n项和为S n且S n=1﹣b n．（1）求{a n}和{b n}的通项；（2）令c n=，①求{c n}的前n项和T n；②是否存在正整数m满足m＞3，c2，c3，c m成等差数列？若存在，请求出m；若不存在，请说明理由．20．（16分）已知函数f（x）=x|x﹣a|+2x（a∈R）（1）当a=4时，解不等式f（x）≥8；（2）当a∈[0，4]时，求f（x）在区间[3，4]上的最小值；（3）若存在a∈[0，4]，使得关于x的方程f（x）=tf（a）有3个不相等的实数根，求实数t的取值范围．2016-2017学年江苏省苏州市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．1．（5分）已知全集U={x|x＞0}，A={x|x≥3}，则∁∪A=∁∪A={x|0＜x＜3} ．A={x|0＜x＜3}，【解答】解：全集U={x|x＞0}，A={x|x≥3}，则∁∪故答案为：{x|0＜x＜3}．2．（5分）若数据x1，x2，…，x8的方差为3，则数据2x1，2x2，..，2x8的方差为12．【解答】解：∵样本数据x1，x2，…，x8的方差为3，∴数据2x1，2x2，…，2x8的方差为：22×3=12．故答案为：12．3．（5分）某高级中学共有1200名学生，现用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为60的样本，其中高一年级抽30人，高三年级抽15人．则该校高二年级学生人数为300．【解答】解：高二年级抽取的人数为60﹣30﹣15=15，则该校高二年级学生人数为1200×=300，故答案为：300．4．（5分）集合A={1，2，3，4}，B={1，2，3}，点P的坐标为（m，n），m∈A，n∈B，则点P在直线x+y=5上的概率为．【解答】解：集合A={1，2，3，4}，B={1，2，3}，点P的坐标为（m，n），m ∈A，n∈B，∴基本事件总数N=4×3=12，点P在直线x+y=5上包含的基本事件有：（2，3），（3，2），（4，1），共有M=3个，∴点P在直线x+y=5上的概率为：p==．故答案为：．5．（5分）已知cosθ=﹣，θ∈（，π），则cos（﹣θ）=．【解答】解：∵cosθ=﹣，θ∈（，π），∴sinθ==，则cos（﹣θ）=cos cosθ+sin sinθ=•（﹣）+•=，故答案为：．6．（5分）算法流程图如图所示，则输出的结果是5．【解答】解：模拟程序的运行，可得i=0，S=0满足条件S＜10，执行循环体，S=0，i=1满足条件S＜10，执行循环体，S=1，i=2满足条件S＜10，执行循环体，S=3，i=3满足条件S＜10，执行循环体，S=6，i=4满足条件S＜10，执行循环体，S=10，i=5不满足条件S＜10，退出循环，输出i的值为5．故答案为：5．7．（5分）已知{a n}为等差数列，a1+a2+a3=﹣3，a4+a5+a6=6，则S n=．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a1+a2+a3=﹣3，a4+a5+a6=6，∴3a2=﹣3，3a5=6，∴a2=﹣1，a5=2．∴3d=a5﹣a2=2﹣（﹣1）=3，解得d=1，∴a1=a2﹣d=﹣2．则S n=﹣2n+×1=．故答案为：．8．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=x2﹣x，则不等式f（x）＞x的解集用区间表示为（﹣2，0）∪（2，+∞）．【解答】解：根据题意，设x＜0，则﹣x＞0，f（﹣x）=（﹣x）2﹣（﹣x）=x2+x，又由函数f（x）为奇函数，则f（x）=﹣f（x）=﹣（x2+x）=﹣x2﹣x，即当x＜0时，f（x）=﹣x2﹣x，分2种情况讨论：①当x＞0时，不等式f（x）＞x为x2﹣x＞x，即x2﹣2x＞0，解可得x＜0或x＞2，则此时不等式的解集为（2，+∞），②当x＜0时，不等式f（x）＞x为﹣x2﹣x＞x，即x2+2x＜0，解可得﹣2＜x＜0，则此时不等式的解集为（﹣2，0），综合可得：不等式f（x）＞x的解集为（﹣2，0）∪（2，+∞），故答案为：（﹣2，0）∪（2，+∞）．9．（5分）如图，为了探求曲线y=x2，x=2与x轴围成的曲边三角形OAP的面积，用随机模拟的方法向矩形OAPB内随机投点1080次，现统计落在曲边三角形OAP的次数360次，则可估算曲边三角形OAP面积为．【解答】解：P（2，4）．由几何概型的概率公式可知==，==．∴曲边三角形OAP面积约为S正方形OAPB故答案为：．10．（5分）在△ABC中，AB=3，AC=4．若△ABC的面积为，则BC的长是或．【解答】解：△ABC的面积为3，且AB=3，AC=4，所以×3×4×sinA=3，所以sinA=，所以A=60°或120°；A=60°时，cosA=，BC===；A=120°时，cosA=﹣，BC==；综上，BC的长是或．故答案为：或．11．（5分）若点（x，y）位于曲线y=|x|与y=1所围成的封闭区域内（含边界），则2x﹣y的最小值为﹣3．【解答】解：设z=2x﹣y得y=2x﹣z，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：平移直线y=2x﹣z，由图象可知当直线y=2x﹣z，过点A时，直线y=2x﹣z的截距最大，此时z最小，由，解得A（﹣1，1），代入目标函数z=2x﹣y=﹣2﹣1=﹣3，∴目标函数z=2x﹣y的最小值是﹣3．故答案为：﹣3．12．（5分）已知x，y是正实数，则+的最小值为．【解答】解：x，y是正实数，则+=+﹣≥2﹣=．当且仅当x=y时，取得最小值．故答案为：．13．（5分）如图，等腰梯形AMNB内接于半圆O，直径AB=4，MN=2，MN的中点为C，则•的值为1．【解答】解：以O为原点，以AB为x轴建立坐标系，如图所示：则A（﹣2，0），M（﹣1，），B（2，0），C（0，），∴=（1，），=（﹣2，），∴=﹣2+3=1．故答案为：1．14．（5分）已知等差数列{a n}和等比数列{b n}满足a1+b1=7，a2+b2=4，a3+b3=5，a4+b4=2，则a n+b n=7﹣n+（﹣1）n﹣1，n∈N*．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q，由a1+b1=7，a2+b2=4，a3+b3=5，a4+b4=2，可得a1+d+b1q=4，a1+2d+b1q2=5，a1+3d+b1q3=2，解得a1=6，b1=1，d=q=﹣1，可得a n+b n=6﹣（n﹣1）+（﹣1）n﹣1=7﹣n+（﹣1）n﹣1，故答案为：7﹣n+（﹣1）n﹣1，n∈N*．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）已知函数y=2x（0＜x＜3）的值域为A，函数y=lg[﹣（x+a）（x﹣a ﹣2）]（其中a＞0）的定义域为B．（1）当a=4时，求A∩B；（2）若A⊆B，求正实数a的取值范围．【解答】解：（1）函数y=2x（0＜x＜3）的值域为A，可得A=（1，8），函数y=lg[﹣（x+a）（x﹣a﹣2）]（其中a＞0）的定义域为B，当a=4时，可得B={x|﹣（x+4）（x﹣4﹣2）＞0}={x|﹣4＜x＜6}=（﹣4，6），即有A∩B=（1，6）；（2）A⊆B，且B={x|﹣（x+a）（x﹣a﹣2）＞0}={x|﹣a＜x＜a+2}，可得﹣a≤1，且8≤a+2，且a＞0，即有a≥6，则正实数a的取值范围为[6，+∞）．16．（14分）已知向量=（2cosx，sinx），=（3cosx，﹣2cosx），设函数f（x）=•（1）求f（x）的最小正周期；（2）若x∈[0，]，求f（x）的值域．【解答】解：∵=（2cosx，sinx），=（3cosx，﹣2cosx），∴f（x）=•=（2cosx，sinx）•（3cosx，﹣2cosx）==6×==．（1）函数f（x）的最小正周期为T=；（2）∵x∈[0，]，∴2x﹣∈[﹣]，则sin（2x﹣）∈[﹣]．∴f（x）的值域为[，6]．17．（14分）平面直角坐标系xOy中，A（2，4），B（﹣1，2），C，D为动点，（1）若C（3，1），求平行四边形ABCD的两条对角线的长度（2）若C（a，b），且，求取得最小值时a，b的值．【解答】解：（1）=（1，﹣3），=（3，2）．==．由平行四边形的性质可得：=，可得=+=（6，3）．∴=（7，1），可得：==5．（2）C（a，b），且，∴=+（3，1）=（a+3，b+1）．∴=（a+4，b﹣1）．=（a﹣2，b﹣4）．∴=（a﹣2）（a+4）+（b﹣4）（b﹣1）=a2+2a﹣8+b2﹣5b+4=（a+1）2+﹣≥，当且仅当a=﹣1，b=时取等号．18．（16分）某生态公园的平面图呈长方形（如图），已知生态公园的长AB=8（km），宽AD=4（km），M，N分别为长方形ABCD边AD，DC的中点，P，Q为长方形ABCD边AB，BC（不含端点）上的一点．现公园管理处拟修建观光车道P﹣Q﹣N﹣M﹣P，要求观光车道围成四边形（如图阴影部分）的面积为15（km2），设BP=x （km），BQ=y（km），（1）试写出y关于x的函数关系式，并求出x的取值范围；（2）若B为公园入口，P，Q为观光车站，观光车站P位于线段AB靠近入口B 的一侧．经测算，每天由B入口至观光车站P，Q乘坐观光车的游客数量相等，均为1万人，问如何确定观光车站P，Q的位置，使所有游客步行距离之和最大，并求出最大值．【解答】解：（1）∵M，N是AD，CD的中点，AB=8，AD=4，BP=x，BQ=y，==8﹣x，S△DMN==4，S△NCQ==8﹣2y，S ∴S△AMP=，△BPQ∵观光车道围成四边形（如图阴影部分）的面积为15（km2），∴8﹣x+4+8﹣2y+xy=4×8﹣15=17，∴y==．令0＜y＜4，即0＜＜4，解得0＜x＜3或5＜x＜8．（2）由题意可知0＜x＜3，∴x+y=x+=x+2﹣，令f（x）=x+2﹣，则f′（x）=1﹣，令f′（x）=0得x=4﹣，∴当0＜x时．f′（x）＞0，当4﹣＜x＜3时，f′（x）＜0，∴f（x）在（0，4﹣）上单调递增，在（4﹣，3）上单调递减，∴当x=4﹣时，f（x）取得最大值6﹣2．∴所有游客的步行距离之和的最大值为20000×（6﹣2）=40000（3﹣）km．19．（16分）已知正项数列{a n}满足a1=1，（n+1）a2n+1+a n+1a n﹣na=0，数列{b n}的前n项和为S n且S n=1﹣b n．（1）求{a n}和{b n}的通项；（2）令c n=，①求{c n}的前n项和T n；②是否存在正整数m满足m＞3，c2，c3，c m成等差数列？若存在，请求出m；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵（n+1）a2n+1+a n+1a n﹣na=0，∴[（n+1）a n+1﹣na n]（a n+1+a n）=0，又a n +1+a n＞0．∴（n+1）a n+1﹣na n=0，解得=．∴a n=••…••a1=••…•×1=．∴a n=．∵数列{b n}的前n项和为S n且S n=1﹣b n．∴n≥2时，b n=S n﹣S n﹣1=1﹣b n﹣（1﹣b n﹣1），化为：b n=b n﹣1．n=1时，b1=S1=1﹣b1，解得b1=．∴数列{b n}是等比数列，首项与公比都为．∴b n=．（2）①c n==，∴数列{c n}的前n项和T n=++…+．∴=++…++，可得：=+…+﹣=﹣，可得：S n=2﹣．②假设存在正整数m满足m＞3，c2，c3，c m成等差数列，则2c3=c2+c m，∴=+，化为：2m﹣2=m．m=4时，满足：2m﹣2=m．m≥5时，2m﹣2﹣m=（1+1）m﹣2﹣m=1++++…﹣m=1+m﹣2+++…﹣m=++…﹣1＞0．∴m≥5时，2m﹣2﹣m＞0，因此2m﹣2=m无解．综上只有m=4时，满足m＞3，c2，c3，c m成等差数列．20．（16分）已知函数f（x）=x|x﹣a|+2x（a∈R）（1）当a=4时，解不等式f（x）≥8；（2）当a∈[0，4]时，求f（x）在区间[3，4]上的最小值；（3）若存在a∈[0，4]，使得关于x的方程f（x）=tf（a）有3个不相等的实数根，求实数t的取值范围．【解答】解：（1）当a=4时，f（x）=x|x﹣4|+2x，当x≥4时，x（x﹣4）+2x≥8，解得x≥4（x≤﹣2舍去）；当x＜4时，x（4﹣x）+2x≥8，解得2≤x＜4．综上可得，f（x）≥8的解集为[2，+∞）；（2）当a∈[0，3]时，f（x）=x（x﹣a）+2x=x2+（2﹣a）x，对称轴为x=∈[﹣1，]，区间[3，4]在对称轴的右边，为增区间，可得f（3）为最小值，即为15﹣3a；当a∈（3，4]时，当3＜x＜a时f（x）=x（a﹣x）+2x=﹣x2+（2+a）x，对称轴为x=∈（，3]，区间（3，a）在对称轴的右边，为减区间；当a≤x≤4时，f（x）=x（x﹣a）+2x=x2+（2﹣a）x，对称轴为x=∈[，1]，区间[3，4]在对称轴的右边，为增区间，即有f（a）取得最小值，且为2a．综上可得，a∈[0，3]时，f（x）的最小值为15﹣3a；a∈（3，4]时，f（x）的最小值为2a．（3）当x＜a时，f（x）=﹣x2+（2+a）x，对称轴为x=当a∈[0，2]知a ﹣=≤0，可得x＜a为增函数；当x≥a时，f（x）=x2+（2﹣a）x，对称轴为x=，当a∈[0，2]知a ﹣=＞0，可得x≥a为增函数；则不满足关于x的方程f（x）=tf（a）有3个不相等的实数根．当a∈[2，4]时，a ＞+1＞﹣1，∴y=f（x ）在（﹣∞，+1）上单调增，在（+1，a）上单调减，在（a，+∞）上单调增，∴当f（a）＜tf（a）＜f （+1）时，关于x的方程f（x）=tf（a）有三个不相等的实数根；即2a＜t•2a ＜（+1）2，∵a∈[2，4]，∴1＜t ＜（1++），设h（a）=（1++），∵存在a∈[2，4]使得关于x的方程f（x）=tf（a）有三个不相等的实数根，∴1＜t＜h（a）max，又可证h（a）=（1++）在[2，4]上单调增，∴h（a）max=h（4）=，∴1＜t ＜．赠送：初中数学几何模型举例【模型四】几何最值模型：图形特征：l运用举例：1. △ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为AP的中点，则MF的最小值为EM FB2.如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E为AB的中点，F为AC上一动点，则EF+BF的最小值为_________。
〖数学期末〗2017-2018学年高一下期末考试数学试题含答案
2017-2018学年下期期末考试高一数学试题卷 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.0sin 585的值为（ ）A ．2 B ．2- C ．2.已知向量a =(3,5-),b =(5,3),则a 与b （ ）A ．垂直B ．不垂直也不平行C ．平行且同向D ．平行且反向3. ） A ．002sin15cos15 B ．2020cos 15sin 15- C ．202sin 151- D ．2020sin 15cos 15+4.某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了11场比赛，他们所有比赛得分的情况用如下图所示的茎叶图表示，则运动员甲得分的中位数，乙得分的平均数分别为（ ）A ．19，13B ．13，19 C.19，18 D ．18，195.从装有大小材质完全相同的3个红球和3个黑球的不透明口袋中，随机摸出两个小球，则两个小球同色的概率是（ ） A ．23 B ．25 C. 12 D ．136.函数cos sin cos sin 4444y x x x x ππππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++∙+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦在一个周期内的图像是（ ）A ．B ． C.D ．7.设单位向量1e ，2e 的夹角为60°，则向量1234e e +与向量1e 的夹角的余弦值是（ ）A ．34 B ．537 C.37．378.如果下面程序框图运行的结果1320s =，那么判断框中应填入（ ）A ．10?k <B ．10?k > C. 11?k < D ．11?k >9.甲、乙两人各自在400米长的直线型跑道上跑步，则在任一时刻两人在跑道上相距不超过50米的概率是（ ） A ．18 B ．1136 C.14 D ．156410.已知函数()sin(2)f x x ϕ=+的图像关于直线6x π=对称，则ϕ可能取值是（ ）A ．2π B ．12π- C.6π D ．6π- 11.如图所示，点A ，B ，C 是圆O 上的三点，线段OC 与线段AB 交于圈内一点P ，若3OC mOA mOB =+，AP AB λ=，则λ=（ ）A ．56 B ．45 C.34 D ．2512.已知平面上的两个向量OA 和OB 满足cos OA α=，sin OB α=，[0,]2πα∈，0OA OB ⋅=，若向量(,)OC OA OB R λμλμ=+∈，且22221(21)cos 2(21)sin 4λαμα-+-=，则OC 的最大值是（ ） A ．32 B ．34 C.35 D ．37第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.已知tan 4α=，tan()3πβ-=，则tan()αβ+ ．14.已知样本7，8，9，x ，y 的平均数是8xy = ． 15.已知ABC ∆的三边长4AC =，3BC =，5AB =，P 为AB 边上的任意一点，则()CP BC BA -的最小值为 ．16.将函数()2sin(2)6f x x π=+的图像向左平移12π个单位，再向下平移2个单位，得到()g x 的图像，若12()()16g x g x =，且1x ，2[2,2]x ππ∈-，则122x x -的最大值为 ． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知向量(1,2)a =，(3,4)b =-. （I ）求向量a b -与向量b 夹角的余弦值 （II ）若()a a b λ⊥-，求实数λ的值.18.某同学用“五点法”画函数()sin()(0,)2f x A x B πωϕωϕ=++><在某一个周期内的图像时，列表并填入了部分数据，如下表：（I ）请将上表数据补充完整，并直接写出函数()f x 的解析式 （II ）将()f x 的图像上所有点向左平行移动6π个单位长度，得到()y g x =的图像，求()y g x =的图像离y 轴最近的对称中心.19. 某商场经营某种商品，在某周内获纯利y （元）与该周每天销售这种商品数x 之间的一组数据关系如表：（I ）画出散点图；（II ）求纯利y 与每天销售件数x 之间的回归直线方程；（III ）估计当每天销售的件数为12件时，每周内获得的纯利为多少？ 附注：721280ii x==∑，721()27i i x x =-=∑，713076i i i x y ==∑，72134992i i y ==∑，1122211()()()n niii ii i nniii i x x y y x y nx yb x x xnx====---==--∑∑∑∑，a y bx =-.20. 在矩形ABCD 中，点E 是BC 边上的中点，点F 在边CD 上.（I ）若点F 是CD 上靠近C 的四等分点，设EF AB AD λμ=+，求λμ的值； （II ）若3AB =，4BC =，当2AE BE =时，求DF 的长.21.某中学举行了数学测试，并从中随机抽取了60名学生的成绩（满分100分）作为样本，其中成绩不低于80分的学生被评为优秀生，得到成绩分布的频率分布直方图如图所示. （I ）若该所中学共有3000名学生，试利用样本估计全校这次考试中优秀生人数； （II ）若在样本中，利用分层抽样的方法从成绩不低于70分的学生中随机抽取6人，再从中抽取3人，试求恰好抽中1名优秀生的概率.22.已知函数21()sin cos 2f x x x x ωωω=+（0ω>），()y f x =的图象与直线2y =相交，且两相邻交点之间的距离为x . （I ）求函数()f x 的解析式；（II ）已知,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求函数()f x 的值域； （III ）求函数()f x 的单调区间并判断其单调性.试卷答案一、选择题1-5:BABCB 6-10:BDADC 11、12：CB 二、填空题 13.113 14.60 15.16- 16.5512π 三、解答题17.解：（1）()4,2a b -=-，设a b -与a 的夹角为θ，所以()()2(3)(2)44cos a a b bb b θ-⋅⨯-+-⨯===- ， （2）()13,24a b λλλ-=+-()a ab λ⊥-，∴()0a a b λ⋅-= ()()1132240λλ∴⨯++⨯-=，解得1λ=18.．．．解：．．(1)．．．根据表中已知数据，解得．．．．．．．．．．．5A ＝，．2ω=，．6πϕ=-.．数据补全如下表：．．．．．．．．且函数表达式为．．．．．．．f(x)=5sin 2+26x π⎛⎫-⎪⎝⎭.．(2)．．．由．(1)．．．知．f(x)=5sin 2+26x π⎛⎫-⎪⎝⎭，．因此．．g(x)=5sin 2+2=5sin 2+2666x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.． 因为．．y sinx ＝的对称中心为．．．．．．(,2)k π ，．k Z ∈，令．．2x+=k 6ππ，．k Z ∈，解得．．．x=212k ππ-，．k Z ∈，．即．()y g x ＝图象的对称中心为．．．．．．．．222kx π（-，），．k Z ∈，其中离．．．．y 轴最近的对称中心为．．．．．．．．．(,2)12π-.． 19.解：(1)（2）712723456789675659637179808270730767670136 4.92807362813670640.928i ii iix y x y nx yb xnxa y bx =++++++==++++++==--⨯⨯∴===≈-⨯-∴=-=-⨯≈∑∑∴回归方程为： 4.940.9y x ∧=+（3）当12x -时 4.91240.999.7y ∧=⨯+=所以估计当每天销售的简述为12件时，周内获得的纯利润为99.7元.20.解：（1）EF EC CF =+，因为E 是BC 边的中点，点F 是CD 上靠近C 的四等分点，所以1124EF EC CF BC CD =+=+，在矩形ABCD 中，,BC AD CD AB ==-， 所以，1142EF AB AD =-+，即14λ=-，12μ=，则18λμ⋅=-. （2）设DF mDC =(0)m >，则(1)CF m DC =-，1122AE AB BC AB AD =+=+， (1)(1)BF CF BC m DC BC m AB AD =+=-+=-+，又0AB AD ⋅=， 所以1()[(m 1)]2AE BF AB AD AB AD ⋅=+-+221(1)2m AB AD =-+9(1)82m =-+=， 解得13m =，所以DF 的长为1． 21.解：（1）由直方图可知，样本中数据落在[]80,100的频率为0.20.10.3+=，则估计全校这次考试中优秀生人数为30000.3900⨯=．（2）由分层抽样知识可知，成绩在[)70,80，[)80,90，[]90,100间分别抽取了3人，2人，1人．记成绩在[)70,80的3人为a ，b ，c ，成绩在[)80,90的2人为d ，e ，成绩在[]90,100的1人为f ，则从这6人中抽取3人的所有可能结果有(,,)a b c ，(,,)a b d ，(,,)a b e ，(,,)a b f ，(,,)a c d ，(,,)a c e ，(,,)a c f ，(,,)a d e ，(,,)a d f ，(,,)a e f ，(,,)b c d ，(,,)b c e ，(,,)b c f ，(,,)b d e ，(,,)b d f ，(,,)b e f ，(,,)c d f ，(,,)c e f ，(,,)d e f 共20种，其中恰好抽中1名优秀生的结果有(,,)a b d ，(,,)b c d ，(,,)c a d ，(,,)a b e ，(,,)b c e (,,)c a e ，(,,)a b f ，(,,)b c f ，(,,)c a f 共9种，所以恰好抽中1名优秀生的概率为920P =．22.解：（1）()211cos2ωx 1sin 21sin(2)2226f x x xcos x x x πωωωωω-=+==+=-+与直线2y =的图象的两相邻交点之间的距离为π，则T π=，所以1ω=（2）7131[,]2[,]sin(2)[1,]266662x x x ππππππ∈∴+∈∴+∈-()f x ∴的值域是1[,2]2（3）令222()262kx x kx k Z πππ-≤+≤+∈，则()36kx x kx k Z ππ-≤≤+∈，所以函数()f x 的单调减区间为()ππk π-,k πk Z 63⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦令3222(),262kx x kx k Z πππ+≤+≤+∈则2()63kx x kx k Z ππ+≤≤+∈， 所以函数()f x 的单调增区间为()π2πk π,k πk Z 63⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦。
2017-2018学年江苏省苏州市高一(上)期末数学试卷及参考答案与解析
,2017-2018学年江苏省苏州市高一(上)期末数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上.1.(5分)已知集合A＝{0，1，2}，B＝{0，2，4}，则A∩B＝.2.(5分)函数y＝lg(2﹣x)的定义域是.3.(5分)若α＝240°，则sin(150°﹣α)的值等于.4.(5分)已知角α的终边经过点P(﹣2，4)，则sinα﹣cosα的值等于.5.(5分)已知向量＝(m，5)，＝(4，n)，＝(7，6)，则m+n的值为.6.(5分)已知函数f(x)＝，则f(f(2))的值为.7.(5分)《九章算术》是中国古代数学名著，其对扇形田面积给出“以径乘周四而一”的算法与现代数学的算法一致，根据这一算法解决下列问题：现有一扇形田，下周长(弧长)为20米，径长(两段半径的和)为24米，则该扇形田的面积为平方米.8.(5分)已知函数f(x)＝，则函数g(x)＝f(x)﹣2的零点个数为.9.(5分)已知函数f(x)＝x2+ax+2(a＞0)在区间[0，2]上的最大值等于8，则函数y ＝f(x)(x∈[﹣2，1])的值域为.10.(5分)已知函数f(x)＝x2+2x﹣m•2﹣x是定义在R上的偶函数，则实数m的值等于.11.(5分)如图，在梯形ABCD中，＝2，P为线段CD上一点，且＝3，E为BC的中点，若＝λ1+λ2(λ1，λ2∈R)，则λ1+λ2的值为.12.(5分)已知tan()＝2，则sin(2)的值等于.13.(5分)将函数y＝sinx的图象向左平移个单位长度，再将图象上每个点的横坐标变为原来的(ω＞0)倍(纵坐标不变)，得到函数y＝f(x)的图象，若函数y＝f(x)在区间(0，)上有且仅有一个零点，则ω的取值范围为.14.(5分)已知x，y为非零实数，θ∈()，且同时满足：①＝，②＝，则cosθ的值等于.二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(14分)已知全集U＝R，集合A＝{x|x2﹣4x≤0}，B＝{x|m≤x≤m+2}.(1)若m＝3，求∁U B和A∪B；(2)若B⊆A，求实数m的取值范围；(3)若A∩B＝∅，求实数m的取值范围.16.(14分)已知函数f(x)＝a+的图象过点(1，).(1)判断函数f(x)的奇偶性，并说明理由；(2)若，求实数x的取值范围.17.(14分)如图，在四边形ABCD中，AD＝4，AB＝2.(1)若△ABC为等边三角形，且AD∥BC，E是CD的中点，求；(2)若AC＝AB，cos，＝，求||.18.(16分)某地为响应习总书记关于生态文明建设的指示精神，大力开展“青山绿水”工程，造福于民.为此，当地政府决定将一扇形(如图)荒地改造成市民休闲中心，其中扇形内接矩形区域为市民健身活动场所，其余区域(阴影部分)改造为景观绿地(种植各种花草).已知该扇形OAB的半径为200米，圆心角∠AOB＝60°，点Q在OA上，点M，N在OB上，点P在弧AB上，设∠POB＝θ.(1)若矩形MNPQ是正方形，求tanθ的值；(2)为方便市民观赏绿地景观，从P点处向OA，OB修建两条观赏通道PS和PT(宽度不计)，使PS⊥OA，PT⊥OB，其中PT依PN而建，为让市民有更多时间观赏，希望PS+PT最长，试问：此时点P应在何处？说明你的理由.19.(16分)已知＝(2cosx，1)，＝(sinx+cosx，﹣1)，函数f(x)＝.(1)求f(x)在区间[0，]上的最大值和最小值；(2)若f(x0)＝，x0∈[]，求cos2x0的值；(3)若函数y＝f(ωx)在区间()上是单调递增函数，求正数ω的取值范围.20.(16分)已知函数f(x)＝x|x﹣a|+bx(a，b∈R).(1)当b＝﹣1时，函数f(x)恰有两个不同的零点，求实数a的值；(2)当b＝1时，①若对于任意x∈[1，3]，恒有，求a的取值范围；②若a＞0，求函数f(x)在区间[0，2]上的最大值g(a).,2017-2018学年江苏省苏州市高一(上)期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上.1.(5分)已知集合A＝{0，1，2}，B＝{0，2，4}，则A∩B＝{0，2} .【解答】解：∵集合A＝{0，1，2}，B＝{0，2，4}，∴A∩B＝{0，2}.故答案为：{0，2}.2.(5分)函数y＝lg(2﹣x)的定义域是(﹣∞，2).【解答】解：由2﹣x＞0，得x＜2.∴函数y＝lg(2﹣x)的定义域是(﹣∞，2).故答案为：(﹣∞，2).3.(5分)若α＝240°，则sin(150°﹣α)的值等于﹣1.【解答】解：∵α＝240°，则sin(150°﹣α)＝sin(﹣90°)＝﹣sin90°＝﹣1，故答案为：﹣1.4.(5分)已知角α的终边经过点P(﹣2，4)，则sinα﹣cosα的值等于.【解答】解：∵角α的终边经过点P(﹣2，4)，∴x＝﹣2，y＝4，r＝|OP|＝2，∴sinα＝＝，cosα＝＝﹣，则sinα﹣cosα＝，故答案为：.5.(5分)已知向量＝(m，5)，＝(4，n)，＝(7，6)，则m+n的值为8.【解答】解：∵向量＝(m，5)，＝(4，n)，＝(7，6)，∴，即(7，6)＝(4﹣m，n﹣5)，∴，解得m＝﹣3，n＝11，∴m+n＝8.故答案为：8.6.(5分)已知函数f(x)＝，则f(f(2))的值为2.【解答】解：∵函数f(x)＝，∴f(2)＝＝1，f(f(2))＝f(1)＝2e1﹣1＝2.故答案为：2.7.(5分)《九章算术》是中国古代数学名著，其对扇形田面积给出“以径乘周四而一”的算法与现代数学的算法一致，根据这一算法解决下列问题：现有一扇形田，下周长(弧长)为20米，径长(两段半径的和)为24米，则该扇形田的面积为120平方米.【解答】解：由题意可得：弧长l＝20，半径r＝12，扇形面积S＝lr＝×20×12＝120(平方米)，故答案为：120.8.(5分)已知函数f(x)＝，则函数g(x)＝f(x)﹣2的零点个数为2.【解答】解：根据题意，函数f(x)＝，g(x)＝f(x)﹣2＝0，即f(x)＝2，当x≤1时，f(x)＝3﹣2x＝2，解可得x＝，即是函数g(x)的1个零点；当x＞1时，f(x)＝x2＝2，解可得x＝或﹣(舍)，即是函数g(x)的1个零点；综合可得：函数g(x)共有2个零点，即和；故答案为：2.9.(5分)已知函数f(x)＝x2+ax+2(a＞0)在区间[0，2]上的最大值等于8，则函数y ＝f(x)(x∈[﹣2，1])的值域为[，4] .【解答】解：∵数f(x)＝x2+ax+2(a＞0)的开口向上，∴f(x)＝x2+ax+2(a＞0)在区间[0，2]上的最大值为max{f(0，f(2)}，∵f(0)＝2，f(2)＝6+2a，且f(x)区间[0，2]上的最大值等于8，∴f(2)＝6+2a＝8，解得a＝1，∴f(x)＝x2+x+2＝(x+)2+，当x＝﹣时，f(x)有最小值，最小值为，当x＝﹣2时，f(x)有最大值，最小值为4，∴函数y＝f(x)(x∈[﹣2，1])的值域为[，4]，故答案为：[[，4].10.(5分)已知函数f(x)＝x2+2x﹣m•2﹣x是定义在R上的偶函数，则实数m的值等于﹣1.【解答】解：函数f(x)＝x2+2x﹣m•2﹣x是定义在R上的偶函数，可得f(﹣x)＝f(x)，即为x2+2﹣x﹣m•2x＝x2+2x﹣m•2﹣x，即有(m+1)(2x﹣2﹣x)＝0，由x∈R，可得m+1＝0，即m＝﹣1，故答案为：﹣1.11.(5分)如图，在梯形ABCD中，＝2，P为线段CD上一点，且＝3，E为BC的中点，若＝λ1+λ2(λ1，λ2∈R)，则λ1+λ2的值为.【解答】解：＝＝＝﹣.∴，λ1+λ2＝.故答案为：.12.(5分)已知tan()＝2，则sin(2)的值等于.【解答】解：由tan()＝2，得，即，解得tanα＝﹣3.∴sin(2)＝sin2αcos cos2αsin＝＝＝＝.故答案为：.13.(5分)将函数y＝sinx的图象向左平移个单位长度，再将图象上每个点的横坐标变为原来的(ω＞0)倍(纵坐标不变)，得到函数y＝f(x)的图象，若函数y＝f(x)在区间(0，)上有且仅有一个零点，则ω的取值范围为(，] .【解答】解：将函数y＝sinx的图象向左平移个单位长度，可得y＝sin(x+)的图象；再将图象上每个点的横坐标变为原来的(ω＞0)倍(纵坐标不变)，得到函数y＝f(x)＝sin(ωx+)的图象，若函数y＝f(x)在区间(0，)上有且仅有一个零点，∵ω•0+＝，∴ω•+∈( π，2π]，∴ω∈(，]，故答案为：(，].14.(5分)已知x，y为非零实数，θ∈()，且同时满足：①＝，②＝，则cosθ的值等于.【解答】解：由＝，得，由＝，得，即，则，即，解得tanθ＝3或tanθ＝.∵θ∈()，∴tanθ＝3.联立，解得cosθ＝.故答案为：.二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(14分)已知全集U＝R，集合A＝{x|x2﹣4x≤0}，B＝{x|m≤x≤m+2}.(1)若m＝3，求∁U B和A∪B；(2)若B⊆A，求实数m的取值范围；(3)若A∩B＝∅，求实数m的取值范围.【解答】解：(1)当m＝3时，B＝{x|3≤x≤5}，集合A＝{x|x2﹣4x≤0}＝{x|0≤x≤4}，…(2分)∴C U B＝{x|x＜3或x＞5}，…(4分)A∪B＝{x|0≤x≤5}.…(6分)(2)∵集合A{x|0≤x≤4}，B＝{x|m≤x≤m+2}，B⊆A，∴，…(8分)解得0≤m≤2.∴实数m的取值范围[0，2].…(10分)(3)∵集合A＝{x|0≤x≤4}，B＝{x|m≤x≤m+2}.A∩B＝∅，∴m+2＜0或m＞4，…(12分)解得m＜﹣2或m＞4.∴实数m的取值范围(﹣∞，﹣2)∪(4，+∞).…(14分) 16.(14分)已知函数f(x)＝a+的图象过点(1，).(1)判断函数f(x)的奇偶性，并说明理由；(2)若，求实数x的取值范围.【解答】解：(1)因为f(x)的图象过点(1，)，所以a+＝﹣，解得a＝﹣，所以f(x)＝﹣＝，f(x)的定义域为R.因为f(﹣x)＝＝＝﹣f(x)，所以f(x)是奇函数.(2)因为，所以﹣≤﹣≤0，即≤≤，可得2≤4x+1≤3，即1≤4x≤2，解得0≤x≤.17.(14分)如图，在四边形ABCD中，AD＝4，AB＝2.(1)若△ABC为等边三角形，且AD∥BC，E是CD的中点，求；(2)若AC＝AB，cos，＝，求||.【解答】解：(1)因为△ABC为等边三角形，且AD∥BC，所以∠DAB＝120°.又AD＝2AB，所以AD＝2BC，因为E是CD的中点，所以：＝，＝.又，所以，＝.＝，＝11.(2)因为AB＝AC，AB＝2，所以：AC＝2.因为：，所以：.所以：.又＝4.所以：.所以：＝.故：.18.(16分)某地为响应习总书记关于生态文明建设的指示精神，大力开展“青山绿水”工程，造福于民.为此，当地政府决定将一扇形(如图)荒地改造成市民休闲中心，其中扇形内接矩形区域为市民健身活动场所，其余区域(阴影部分)改造为景观绿地(种植各种花草).已知该扇形OAB的半径为200米，圆心角∠AOB＝60°，点Q在OA上，点M，N在OB上，点P在弧AB上，设∠POB＝θ.(1)若矩形MNPQ是正方形，求tanθ的值；(2)为方便市民观赏绿地景观，从P点处向OA，OB修建两条观赏通道PS和PT(宽度不计)，使PS⊥OA，PT⊥OB，其中PT依PN而建，为让市民有更多时间观赏，希望PS+PT最长，试问：此时点P应在何处？说明你的理由.【解答】(本题满分为14分)解：(1)在Rt△PON中，PN＝200sinθ，ON＝200cosθ，在Rt△OQM中，QM＝PN＝200sinθ，…(2分)OM＝＝＝，所以MN＝0N﹣OM＝200cosθ﹣，…(4分)因为矩形MNPQ是正方形，∴MN＝PN，所以200cosθ﹣＝200sinθ，…(6分)所以(200+)sinθ＝200cosθ，所以tanθ＝＝＝. …(8分)(2)因为∠POM＝θ，所以∠POQ＝60°﹣θ，∴PS+PT＝200sinθ+200sin(60°﹣θ)＝200(sinθ+cosθsinθ) …(10分)＝200(sinθ+cosθ)＝200sin(θ+60°)，0°＜θ＜60°. …(12分)所以θ+60°＝90°，即θ＝30°时，PS+PT最大，此时P是的中点. …(14分)19.(16分)已知＝(2cosx，1)，＝(sinx+cosx，﹣1)，函数f(x)＝.(1)求f(x)在区间[0，]上的最大值和最小值；(2)若f(x0)＝，x0∈[]，求cos2x0的值；(3)若函数y＝f(ωx)在区间()上是单调递增函数，求正数ω的取值范围.【解答】解：(1)f(x)＝＝2cosx(sinx+cosx)﹣1＝sin2x+cos2x＝2sin(2x+)因为x∈[0，]，所以≤2x+≤，所以≤2sin(2x+)≤1，所以f(x)max＝2，f(x)min＝1.(2)因为f(x0)＝，所以2sin(2x0+)＝，所以sin(2x0+)＝，因为x0∈[]，所以≤2x0+≤，所以cos(2x0+)＝﹣＝﹣，所以cos2x0＝cos[(2x0+)﹣]＝cos(2x0+)+sin(2x0+)＝×(﹣)+×＝.(3)f(ωx)＝sin(2ωx+)令2kπ≤2ωx+≤2kπ+，k∈Z，得﹣≤x≤+，因为函数函数y＝f(ωx)在区间()上是单调递增函数，所以存在k0∈Z，使得()⊆(﹣，+)所以有即，因为ω＞0所以k0＞﹣又因为﹣≤﹣，所以0＜ω≤，所以k0，从而有﹣＜k0≤，所以k0＝0，所以0＜ω≤.20.(16分)已知函数f(x)＝x|x﹣a|+bx(a，b∈R).(1)当b＝﹣1时，函数f(x)恰有两个不同的零点，求实数a的值；(2)当b＝1时，①若对于任意x∈[1，3]，恒有，求a的取值范围；②若a＞0，求函数f(x)在区间[0，2]上的最大值g(a).【解答】解：(1)当b＝﹣1时，f(x)＝x|x﹣a|﹣x＝x(|x﹣a|﹣1)，由f(x)＝0，解得x＝0或|x﹣a|＝1，由|x﹣a|＝1，解得x＝a+1或x＝a﹣1.∵f(x)恰有两个不同的零点且a+1≠a﹣1，∴a+1＝0或a﹣1＝0，得a＝±1；(2)当b＝1时，f(x)＝x|x﹣a|+x，①∵对于任意x∈[1，3]，恒有，即，即|x﹣a|，∵x∈[1，3]时，，∴，即恒有，令t＝，当x∈[1，3]时，t∈[]，x＝t2﹣1.∴，∴，综上，a的取值范围是[0，]；②＝.当0＜a≤1时，，，这时y＝f(x)在[0，2]上单调递增，此时g(a)＝f(2)＝6﹣2a；当1＜a＜2时，0＜＜a＜2，f＝f(x)在[0，]上单调递增，在[，a]上单调递减，在[a，2]上单调递增，∴g(a)＝max{f()，f(2)}，，f(2)＝6﹣2a，而，当1＜a＜时，g(a)＝f(2)＝6﹣2a；当≤a＜2时，g(a)＝f()＝；当2≤a＜3时，＜2≤a，这时y＝f(x)在[0，]上单调递增，在[，2]上单调递减，此时g(a)＝f()＝；当a≥3时，≥2，y＝f(x)在[0，2]上单调递增，此时g(a)＝f(2)＝2a﹣2.综上所述，x∈[0，2]时，.。
2017-2018年高一下学期期末考试数学试题及答案
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１ ７
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的
一
个
通
项
公
式an
＝
A．(－１)n ２n１＋１
B．(－１)n＋１２n１－１
C．(－１)n ２n１－３
４．已知向量a,b 满足|a|＝１,a⊥(２a＋b),则a������b＝
D．(－１)n＋１２n１＋３
A．２
B．０
C．－２
D．－４
５．在等差数列{an}中,a１＋２a３＋a５＝１２,则３a４－a６ 的值为
算 步 骤 ．)
１９．(本 小 题 满 分 １３ 分 )
已 知 向 量a＝ (３,－１),b＝ (１ ２ ,２３)．
(Ⅰ)求‹a,b›;
(Ⅱ)求(a＋b)������b 的值;
(Ⅲ )求|２a＋３b|的 值 ．
２０．(本 小 题 满 分 １３ 分 )
在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为a,b,c,且满足２caos－Bb＝cocsC．
２ 分 ,有 选 错 的 得 ０ 分 ．)
１．在平行四边形 ABCD 中,A→B＋D→A－C→B等于
A．B→C
B．D→C
C．B→A
D．A→C
２．设 ０＜a＜b＜１,c∈R,则 下 列 不 等 式 成 立 的 是
A．a３＞b３
B．a１ ＜b１
C．ac＞bc
D．(a－b)c２≤０
３．数
列
１,－
１ ３
,１ ５
(Ⅰ)求角 C 的值;
(Ⅱ)若
sin(θ＋C)＝
４(π ５６
＜θ＜２３π),求
cosθ
的值
．
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江苏省重点名校2017-2018学年高一下学期期末达标检测数学试题含解析
江苏省重点名校2017-2018学年高一下学期期末达标检测数学试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若4a c C π===，则角A 的大小为（ ） A ．4π或34π B ．3π或23π C ．3π D ．4π 【答案】B【解析】【分析】通过给定条件直接利用正弦定理分析，注意讨论多解的情况.【详解】sin 4π=，sin A =，∵c a <， ∴A 为锐角或钝角，∴3A π=或23π．故选B ． 【点睛】本题考查解三角形中正弦定理的应用，难度较易.出现多解时常借助“大边对大角，小边对小角”来进行取舍. 2．数列{}n a 满足“对任意正整数n ，都有312n n n n a a a a ++++=+”的充要条件是（ ）A ．{}n a 是等差数列B ．21{}n a -与2{}n a 都是等差数列C ．2{}n a 是等差数列D ．21{}n a -与2{}n a 都是等差数列且公差相等 【答案】D【解析】【分析】将312n n n n a a a a ++++=+变形为422n n n n a a a a +++-=-和5331n n n n a a a a ++++-=-，根据等差数列的定义即可得出21{}n a -与2{}n a 都是等差数列且公差相等，反过来，利用等差数列的定义得到312n n n n a a a a +++-=-，变形即可得出312n n n n a a a a ++++=+，从而得到“312n n n n a a a a ++++=+”的充要条件是“21{}n a -与2{}n a 都是等差数列且公差相等”.【详解】由312n n n n a a a a ++++=+故 “312n n n n a a a a ++++=+”是“21{}n a -与2{}n a 都是等差数列且公差相等”的充分条件反之，21{}n a -与2{}n a 都是等差数列且公差相等必有312n n n n a a a a +++-=-成立变形得：312n n n n a a a a ++++=+故“21{}n a -与2{}n a 都是等差数列且公差相等”是“312n n n n a a a a ++++=+”的必要条件综上，“312n n n n a a a a ++++=+”的充要条件是“21{}n a -与2{}n a 都是等差数列且公差相等”故选：D.【点睛】本题主要考查了等差数列的判断，考查了充分必要条件的判断，属于中等题.3．在ABC ∆中，a 、b 分别为内角A 、B 的对边，如果30B =︒，105C =︒，4a =，则b =（ ） A．B．CD．【答案】A【解析】【分析】先求出45,A =再利用正弦定理求解即可.【详解】 30B =︒，105C =︒，45A ∴=， 由正弦定理可得4sin 45sin 30b =，解得142b ⨯== 故选：A.【点睛】本题注意考查正弦定理的应用，属于中档题.正弦定理主要有三种应用：求边和角、边角互化、外接圆半径.4．已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A 、B 、C 关系是( )A ．B=A∩CB ．B ∪C=C C ．A CD ．A=B=C【答案】B由集合A ，B ，C ，求出B 与C 的并集，判断A 与C 的包含关系，以及A ，B ，C 三者之间的关系即可．【详解】由题B ⊆A ，∵A ＝{第一象限角}，B ＝{锐角}，C ＝{小于90°的角}，∴B ∪C ＝{小于90°的角}＝C ，即B ⊆C ，则B 不一定等于A∩C ，A 不一定是C 的真子集，三集合不一定相等，故选：B ．【点睛】此题考查了集合间的基本关系及运算，熟练掌握象限角，锐角，以及小于90°的角表示的意义是解本题的关键，是易错题5．角α的终边过点(1,2)P -，则sin α等于 （ ）A B C ．5-D ． 【答案】B【解析】由三角函数的定义知，x ＝－1，y ＝2，r ∴sin α＝y r . 6．在直角坐标平面上，点(),P x y 的坐标满足方程2220x x y -+=，点(),Q a b 的坐标满足方程2268240a b a b ++-+=则y b x a--的取值范围是（ ）A ．[]22-,B ．4433⎡--+⎢⎣⎦C ．13,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦D ．6633⎡-⎢⎣⎦ 【答案】B【解析】【分析】 由点(),P x y 的坐标满足方程2220x x y -+=，可得P 在圆()2211x y -+=上，由(),Q a b 坐标满足方程2268240a b a b ++-+=，可得Q 在圆()()22341x y ++-=上，则PQ y b k x a-=-求出两圆内公切线的斜率，利用数形结合可得结果.【详解】点(),P x y 的坐标满足方程2220x x y -+=， P ∴在圆()2211x y -+=上， (),Q a b 在坐标满足方程2268240a b a b ++-+=，Q ∴在圆()()22341x y ++-=上， 则PQ y b k x a-=-作出两圆的图象如图， 设两圆内公切线为AB 与CD ，由图可知AB PQ CD k k k ≤≤，设两圆内公切线方程为y kx m =+， 则2211343411k m k k m k m k m k ⎧+=⎪+⎪⇒+=-+-⎨-+-⎪=⎪+⎩， 圆心在内公切线两侧，()34k m k m ∴+=--+-，可得2m k =+，2222111k mk k k ++==++，化为23830k k ++=，47k -±= 即4747AB CD k k ---+==， 474733PQ y b k x a ---+∴≤=≤-， y b x a --的取值范围474733⎡---⎢，故选B.本题主要考查直线的斜率、直线与圆的位置关系以及数形结合思想的应用，属于综合题. 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，尤其在解决选择题、填空题时发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是运用这种方法的关键是正确作出曲线图象，充分利用数形结合的思想方法能够使问题化难为简，并迎刃而解.7．已知实数,x y 满足约束条件12010x x y x y ≤⎧⎪-≥⎨⎪++≥⎩，则目标函数2z x y =-的最小值为( )A ．3-B ．1-C ．1D ．5【答案】A【解析】【分析】 作出不等式组12010x x y x y ≤⎧⎪-≥⎨⎪++≥⎩表示的平面区域，再观察图像即可得解.【详解】解：先作出不等式组12010x x y x y ≤⎧⎪-≥⎨⎪++≥⎩表示的平面区域，如图所示，由图可知目标函数2z x y =-所对应的直线过点()1,2M 时目标函数2z x y =-取最小值，则min 1223z =-⨯=-，故选：A.本题考查了简单的线性规划问题，重点考查了数形结合的数学思想方法，属基础题.8．函数ln x y x =的图象大致为（ ） A ． B ． C ． D ．【答案】C【解析】【分析】利用函数的性质逐个排除即可求解.【详解】函数ln x y x=的定义域为{}0x R x ∈≠，故排除A 、B. 令()ln x y f x x== 又()()ln ln x x f x f x x x--==-=--，即函数为奇函数， 所以函数的图像关于原点对称，排除D故选：C【点睛】本题考查了函数图像的识别，同时考查了函数的性质，属于基础题.9．某市在“一带一路”国际合作高峰论坛前夕，在全市高中学生中进行“我和‘一带一路’”的学习征文，收到的稿件经分类统计，得到如图所示的扇形统计图．又已知全市高一年级共交稿2000份，则高三年级的交稿数为（ ）A ．2800B ．3000C ．3200D ．3400先求出总的稿件的数量，再求出高三年级交稿数占总交稿数的比例，再求高三年级的交稿数.【详解】高一年级交稿2000份，在总交稿数中占比8023609=，所以总交稿数为2200090009÷=， 高二年级交稿数占总交稿数的14423605=，所以高三年级交稿数占总交稿数的221719545--=，所以高三年级交稿数为179000340045⨯=． 故选D【点睛】本题主要考查扇形统计图的有关计算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.10．某学生4次模拟考试英语作文的减分情况如下表：显然y 与x 之间有较好的线性相关关系，则其线性回归方程为 ( ) A ．ˆ0.7 5.25y x =+ B ．ˆ0.6 5.25y x =-+ C ．ˆ0.7 6.25yx =-+ D ．ˆ0.7 5.25yx =-+ 【答案】D【解析】【分析】 求出样本数据的中心57(,)22，代入选项可得D 是正确的.【详解】 12345 4.543 2.57,4242x y ++++++====，所以这组数据的中心为57(,)22， 对选项逐个验证，可知只有ˆ0.7 5.25yx =-+过样本点中心. 【点睛】本题没有提供最小二乘法的公式，所以试题的意图不是考查公式计算，而是要考查回归直线过样本点中心这一概念.11．袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是( ) A ．至少有一个白球；都是白球B ．至少有一个白球；至少有一个红球C ．至少有一个白球；红、黑球各一个D ．恰有一个白球；一个白球一个黑球由题意逐一考查所给的事件是否互斥、对立即可求得最终结果.【详解】袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中任取2个，逐一分析所给的选项：在A 中，至少有一个白球和都是白球两个事件能同时发生，不是互斥事件，故A 不成立．在B 中，至少有一个白球和至少有一个红球两个事件能同时发生，不是互斥事件，故B 不成立； 在C 中，至少有一个白球和红、黑球各一个两个事件不能同时发生但能同时不发生，是互斥而不对立的两个事件，故C 成立；在D 中，恰有一个白球和一个白球一个黑球两个事件能同时发生，不是互斥事件，故D 不成立； 本题选择C 选项.【点睛】“互斥事件”与“对立事件”的区别：对立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件．12．已知一个三角形的三边是连续的三个自然数，且最大角是最小角的2倍，则该三角形的最小角的余弦值是（ ）A ．45B ．34C ．18D ．7 【答案】B【解析】【分析】设ABC ∆的最大角为B ，最小角为C ，可得出1b a =+，1c a =-，由题意得出2B C =，由二倍角公式sin sin 22sin cos B C C C ==，利用正弦定理边角互化思想以及余弦定理可得出关于a 的方程，求出a 的值，可得出cos C 的值.【详解】设ABC ∆的最大角为B ，最小角为C ，可得出1b a =+，1c a =-，由题意得出2B C =，sin sin 22sin cos B C C C ∴==，所以，2cos b c C =， 即2cos b C c =，即222b a bc c ab+-=， 将1b a =+，1c a =-代入222b a b c c ab+-=得1411a a a a ++=-+，解得5a =，6b ∴=，4c =，本题考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，解题时根据对称思想设边长可简化计算，另外就是充分利用二倍角公式进行转化是解本题的关键，综合性较强.二、填空题：本题共4小题13．已知1tan 2α=，则tan 4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值是______. 【答案】13【解析】【分析】根据两角差的正切公式即可求解【详解】1tan tan 1142tan 1431tan tan 142παπαπα--⎛⎫-=== ⎪⎝⎭++ 故答案为：13 【点睛】本题考查两角差的正切公式的用法，属于基础题14．已知函数()222cos 1f x x x =-+，有以下结论： ①若()()12f x f x =，则()12x x k k Z π-=∈；②()f x 在区间73,84ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上是增函数； ③()f x 的图象与()22cos 23g x x π⎛⎫=--⎪⎝⎭图象关于x 轴对称； ④设函数()()2h x f x x =-，当12πθ=时，()()()222h h h πθθθ-+++=-．其中正确的结论为__________．【答案】②③④【解析】【分析】 首先化简函数解析式，逐一分析选项，得到答案.【详解】①当()()12f x f x =时，函数的周期为π，∴12,x x k k Z π=+∈，或121222266,223x x k x x k k Z ππππππ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+⇒+=+∈ ，所以①不正确； ②73,84x ππ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦时，2352,6123x πππ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦32,2ππ⎡⎤⊆--⎢⎥⎣⎦，所以是增函数，②正确； ③函数还可以化简为()22cos 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，所以()g x 与()f x 关于x 轴对称，正确； ④()2sin 226h x x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，当6πθ=时， ()22sin 22222sin 44126126f ππππθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+--+=-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，()()22sin 22222sin 442sin 441261266f πππππθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=----=--+=--+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ()2sin 22126126f ππππθ⎛⎫=⨯--⨯=- ⎪⎝⎭()()()222f f f πθθθ∴-+++=-，④正确 故选②③④【点睛】本题考查了三角函数的化简和三角函数的性质，属于中档题型.15．球的内接圆柱的表面积为20π，侧面积为12π，则该球的表面积为_______【答案】25π【解析】【分析】设底面半径为r ，圆柱的高为h ，根据圆柱求得r 和h 的值，进而利用圆柱的轴截面求得球的半径，利用球的表面积公式，即可求解．【详解】由题意，设底面半径为r ，圆柱的高为h ， 则圆柱的底面面积为21(2012)42S r πππ==-=，解得2r ，侧面积212S rh ππ==，解得3h =，所以外接球的半径为52，所以球的表面积为2425S R ππ==． 【点睛】本题主要考查了圆柱的表面积和侧面积公式的应用，以及球的表面积公式应用，其中解答中正确理解空间几何体的结构特征是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理与运算能力，属于基础题． 16．若0x >，则函数()123f x x x=+的最小值是_________. 【答案】12 【解析】 【分析】利用基本不等式可求得函数()y f x =的最小值. 【详解】0x，由基本不等式得()121232312f x x x x x=+≥⋅=，当且仅当2x =时，等号成立， 因此，当0x >时，函数()123f x x x=+的最小值是12. 故答案为：12. 【点睛】本题考查利用基本不等式求函数的最值，考查计算能力，属于基础题. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
江苏省苏州市2017-2018学年高一第一学期期末试卷(精品解析版)
苏州市2018年学业质量阳光指标调研卷高一数学2018．1一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．1.已知集合，则＝______．【答案】【解析】，填．2.函数的定义域是______．【答案】【解析】由题设有，解得，故函数的定义域为，填．3.若，则的值等于______．【答案】【解析】，填．4.已知角的终边经过点，则的值等于______．【答案】【解析】，所以，，故，填．5.已知向量，，，则的值为______．【答案】8【解析】，所以，所以，故，填．6.已知函数则的值为______．【答案】【解析】，所以，填2．7.《九章算术》是中国古代数学名著，其对扇形田面积给出“以径乘周四而一”的算法与现代数学的算法一致，根据这一算法解决下列问题：现有一扇形田，下周长（弧长）为20米，径长（两段半径的和）为24米，则该扇形田的面积为______平方米．【答案】120【解析】扇形的半径为，故面积为（平方米），填．8.已知函数则函数的零点个数为______．【答案】【解析】的零点即为的解．当时，令，解得，符合；当，令，解得，符合，故的零点个数为2．9.已知函数在区间上的最大值等于8，则函数的值域为______．【答案】【解析】二次函数的对称轴为，故，所以且，对称轴为，故所求值域为，填．10.已知函数是定义在R上的偶函数，则实数的值等于____．【答案】-1【解析】因为为偶函数，故，所以，整理得到，即，又当时，有，，故，为偶函数，故填．11.如图，在梯形ABCD中，，P为线段CD上一点，且，E为BC的中点，若，则的值为______．【答案】【解析】，整理得到，又，所以，也就是，，填．12.已知，则的值等于______．【答案】【解析】令，则，所以，因为，所以故，填．点睛：三角变换中，对于较为复杂的角，可用换元法去处理角与角的关系．13.将函数的图象向左平移个单位长度，再将图象上每个点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，若函数在区间上有且仅有一个零点，则的取值范围为____．【答案】.【解析】由题设，令，解得，取，分别得到，它们是函数在轴右侧的第一个零点和第二个零点，所以，故，故填．点睛：因为，所以该函数的图像必过定点且在轴的右侧的第一个对称中心的横坐标在内，第二个对称中心的横坐标不在中，从而得到．14.已知为非零实数，，且同时满足：①，②，则的值等于______．【答案】【解析】由题设有，，所以，解得或者．而，故，所以，所以，填．点睛：题设中有3个变量，两个等式，注意到两个方程都与相关，故把看成一个整体，把代入另一个方程就能构建关于的方程，解出就能得到的值，注意只有一个解．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知全集,集合．（1）若，求C U B和；（2）若，求实数m的取值范围；（3）若，求实数m的取值范围．【答案】(1) ，；(2) ；(3) 或.【解析】试题分析：（1）当时，求出，，借助数轴可求得，．（2）依据集合的包含关系，得到区间端点的大小关系为，解得．（3）依据交集为空集，得到区间的端点的大小关系为或，也即是或．解析：（1）当时，，由得，，所以, ；．（2）因为，则，解得．（3）因为因为或，所以或．16.已知函数的图象过点．（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；（2）若，求实数的取值范围．【答案】（1）为偶函数，理由见解析；（2）。
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苏州市2018～2018学年度第二学期高一期终考试2018.6数 学注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．满分150分．考试时间120分钟．2. 请将第Ⅰ卷的答案填涂在答题卡上，第Ⅱ卷的解答写在答题卷上，在本试卷上答题无效．第Ⅰ卷（选择题 共60分）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知98a p =，则角a 的终边所在的象限是(A ) 第一象限 (B ) 第二象限 (C ) 第三象限 (D ) 第四象限2. cos75cos15⋅的值是(A )12 (B ) 14(C (D 3. 与向量(12,5)=a 平行的单位向量为 (A ) 125(,)1313-(B ) 125(,)1313-- (C ) 125(,)1313或125(,)1313--(D ) 125(,)1313-或125(,)1313-4. 若cos()x p -=[0,2]x p ∈，则x 等于 (A )6p (B ) 3p (C ) 6p 或116p (D )3p 或53p5. 下列函数中，在区间(0,2)p 上为增函数且以p 为同期的函数是 (A ) sin 2xy = (B ) sin y x = (C ) tan y x =-(D ) cos 2y x =-6. 若向量(1,1)=a ，(1,1)=-b ，(1,2)=--c ，则=c (A ) 1322--a b(B ) 1322-+a b(C ) 3122-a b(D ) 3122-+a b7. 已知,x y ∈+R ，且满足20x y +=，则lg lg x y +的最大值是 (A ) 40(B ) 10(C ) 4(D ) 28. 设OA =a ，OB =b ，OC =c ，当l m =+c a b (,)l m ∈R ，且1l m +=时，点C 在 (A ) 线段AB 上(B ) 直线AB 上(C ) 直线AB 上，但除去A 点 (D ) 直线AB 上，但除去B 点9. 已知向量a 、b 的夹角为60，||1=a ，||2=b ，若()()m +⊥-a b a b ，则m 的值为(A )52(B ) 52-(C )32 (D ) 32-10. 已知0a <，10b -<<，那么(A ) a aa b b -<<(B ) a aa b b -<<(C ) a aa b b<-<(D )a a ab b<<- 11. 把函数sin 2y x =的图象按向量a 平移后得到函数sin(2)36y x p=++的图象，则向量a 是(A ) (,3)6p (B ) (,3)6p - (C ) (,3)12p -- (D ) (,3)12p -12. 已知函数2sin()y x w q =+为偶函数(0)q p <<，其图象与直线2y =的交点的横坐标为12,x x ．若12||x x -的最小值为p ，则(A ) 2w =，2p q =(B ) 2w =，4p q = (C ) 12w =，4p q = (D ) 12w =，2p q = 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卷相应的横线上． 13. 在ABC △中，已知0AB AC ⋅>，154ABC S =△，||3,||5AB AC ==，则BAC ∠= ▲ ． 14. 已知3cos 5q =-，且32p q p <<，则tan()4pq -= ▲ ．15. 要做一个长方体无盖的箱子，其容积为48 m 3，高为3 m ，如果这个箱子的箱底每1 m 2的造价为200元，箱子的壁每1 m 2的造价为100元，拼接等其它材料是箱底和箱壁总造价的10％，则这个箱子的最低造价为 ▲ 元．16. 如下图，一个人在地面上某处用测量仪测得一铁塔顶的仰角为q ，由此处向铁塔的方向前进30 m ，测得铁塔顶的仰角为2q ，再向铁塔的方向前进，又测得铁塔顶的仰角为4q ．如图测量仪的高为三．解答题：本大题共6小题，共74分．请把解答写在答题卷规定的答题框内．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. (本小题满分12分)已知向量(cos ,sin ),(cos ,sin )a a b b ==a b ． (Ⅰ) 求(2)⋅+a a b 的取值范围； (Ⅱ) 若3pa b -=，求|2|+a b ．18. (本小题满分12分)已知ABC △的顶点坐标为(1,0),(5,8),(7,4)A B C -，在边AB 上有一点P ，其横坐标为4． (Ⅰ) 设AP AB l =，求实数l ；(Ⅱ) 在边AC 上求一点Q ，使线段PQ 把ABC △分成面积相等的两部分．19. (本小题满分12分)已知34OA =-i j ，5OB =-i j ，(5)(3)OC m m =--+i j ()m ∈R ，其中,i j 分别是直角坐标系内x 轴和y 轴正方向上的单位向量．(Ⅰ) 若ABC △是以A ∠为直角的直角三角形，求m 的值； (Ⅱ) 若点,,A B C 能构成三角形，求m 应满足的条件．20. (本小题满分12分)设函数()sin()(0,)22f x x p pw j w j =+>-<<，给出下列三个论断： (1)()f x 的图象关于直线6x p=-对称； (2)()f x 的周期为p ；(3) ()f x 的图象关于点(,0)12p对称．以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题，并对该命题加以证明．21. (本小题满分12分)已知tan ,tan a b 是方程2430x px --= (p 为常数) 的两个根． (Ⅰ) 求tan()a b +；(Ⅱ) 求22cos2cos22sin ()a b a b +-．22. (本小题满分14分)定义在非零实数集上的奇函数()f x 在(,0)-∞上是减函数，且(3)0f -=．(Ⅰ) 求(3)f 的值；(Ⅱ) 求满足()0f x >的x 的集合；(Ⅲ) 若3()cos()1(),[,2]42g x x a a x p pp ++-∈∈R ．是否存在实数a ，使得[()]0f g x >恒成立？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由．苏州市2018～2018学年度第二学期高一期终考试数学参考答案和评分标准说明：1．本解答仅给出了一种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容对照评分标准制订相应的评分细则．2．评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．给分或扣分均以1分为单位．选择题和填空题不给中间分． 一．选择题：每小题5分，满分60分．解析：1. 因为988pa p p ==+，所以角a 的终边在第三象限．2. 11cos75cos15sin15cos15sin3024⋅=⋅==．3. 与向量(12,5)=a 平行的向量有两个，它们是：125(,)||1313=a a 或125(,)||1313-=--a a ．4. 对cos()x p -=应用诱导公式，可得cos x =．又因为[0,2]x p ∈，所以6x p=或116x p=． 5. 在四个函数中，周期为p 的函数是tan y x =-与cos 2y x =-，其中在区间(0,2)p 上为增函数的只有cos 2y x =-．6. 一般方法：设x y =+c a b ，则(,)(1,2)x y x y +-=--，解之得31,22x y =-=．特殊方法：131(1,2)(1,0)(0,2)()()222=--=--=-+--=-+c a b a b a b ．7. 由基本不等式可得，2lg lg lg lg()22x y x y xy ++==…，当且仅当10x y ==时取等号．因此，lg lg x y +的最大值是2．8. 由已知可得，(1)OC OA OB m m =-+，即()OC OA OB OA m -=-，即AC AB m =，即AC与AB 共线．因此，点C 在直线AB 上．9. 首先，由向量a 、b 的夹角为60，||1=a ，||2=b ，可得221,4,1==⋅=a b a b ；再由()()m +⊥-a b a b ，可得22()()(1)250m m m m +⋅-=+-⋅-=-=a b a b a a b b ，即52m =． 10. 首先，由0a <，10b -<<，知0,0,0a a a b b >-<<．而11b->，两边同乘以负数a 得a a b -<．因此，a aa b b-<<． 11. 函数sin(2)36y x p =++可改写为3sin 2()12y x p -=+，所以(,3)12p=-a ．12. 由函数2sin()y x w q =+为偶函数(0)q p <<，知2pq =；由12||x x -的最小值为p ，知2sin()y x w q =+的最小正周期为p ，所以2w =．因此，2w =，2p q =． 二．填空题：每小题4分，满分16分．13．30； 14．17； 15．8800； 16．16.5．解析： 13. 把154ABC S =△，||3,||5AB AC ==代入三角形面积公式1||||sin 2ABC S AB AC A =⋅△，得1sin 2A =；再由0AB AC ⋅>知角A 为锐角．因此，30A ∠=． 14. 由3cos 5q =-，且32p q p <<，得4sin 5q =-，4tan 3q =．所以tan 11tan()41tan 7p q q q --==+．15. 设这个箱子的箱底的长为x m ，则宽为16xm ，设箱子的总造价为()f x 元．根据题意，得 3216()[200161003(2)]110%660()3520f x x x x x=⨯+⨯+⨯=++． 当且仅当4x =时，()f x 取最小值8800．16. 在ADE △中，2,4ADE AED AED q q ∠=∠=∠=，30,AD DE AE ===角形得230q =，460q =，所以sin 6015AC AE ==，15 1.516.5+=．因此，铁塔的高为16.5 m ． 三．解答题：17. 本小题满分12分．解：(Ⅰ)2(2)212(cos cos sin cos )a b a b ⋅+=+⋅=++a a b a a b …………………………… 2分12cos()a b =+-． ………………………………………………………………… 3分 ∵1cos()1a b --剟，……………………………………………………………… 4分∴(2)⋅+a a b 的取值范围是[1,3]-． ……………………………………………… 6分 (Ⅱ) 222|2|4454cos()a b +=+⋅+=+-a b a a b b ， …………………………………… 9分∵3p a b -=，∴1cos()2a b -=． ………………………………………………… 11分 ∴2|2|7+=a b，即|2|+a b 12分 18. 本小题满分12分．解：(Ⅰ)设(4,)P b ，则(3,),(4,8)AP b AB ==．…………………………………………… 2分∵AP AB l =，则(3,)(4,8)b l =，∴34l =．……………………………………… 4分 (Ⅱ)设(0)AQ AC m m =>．∵||||31||||42APQ ABCS AP AQ S AB AC l m m ====△△，……………………………………………… 6分∴23m =．………………………………………………………………………………8分 设(,)Q Q Q x y ，则2(1,)(6,4)3Q Q x y -=-．………………………………………… 10分∴85,3Q Q x y ==-．∴8(5,)3Q -．………………………………………………… 12分19. 本小题满分12分．解：(Ⅰ)由题意A ∠为直角，∴0AB AC ⋅=． ……………………………………………… 1分∵23AB OB OA =-=+i j ，(2)(1)AC OC OA m m =-=-+-i j ，…………………3分 ∴(23)[(2)(1)]0m m +⋅-+-=i j i j ．…………………………………………………4分 ∴2(2)3(1)0m m -+-=．………………………………………………………… 5分 解得75m =．……………………………………………………………………………6分 (Ⅱ)若AB 与AC 共线，则存在实数l ，使得AC AB l =，…………………………… 8分即(2)(1)(23)m m l -+-=+i j i j ．∴22,13.m m l l -=⎧⎨-=⎩∴4m =．……………………………………………………………10分∵点,,A B C 能构成三角形，∴AB 与AC 不共线．……………………………… 11分 又点,B C 不重合，故实数m 应满足的条件为4m ≠．…………………………… 12分20. 本小题满分12分．解：正确命题为：(1)(2)⇒(3).(或(2)(3) ⇒ (1)) ……………………………………… 2分下面证明(1)(2)⇒(3)的正确性．∵()sin()f x x w j =+的周期为p ，∴2pp w=．∴2w =．………………………………4分 又∵()f x 的图象关于直线6x p =-对称，∴2()(62k k p pj p ⨯-+=+∈Z)．………… 6分 ∴5()6k k pj p =+∈Z ．……………………………………………………………………7分 ∵22p p j -<<，∴1k =-，∴6pj =-．…………………………………………………9分 ∴()sin(2)6f x x p=-．……………………………………………………………………10分当12x p=时，0y =， 即()f x 的图象关于点(,0)12p对称． …………………………………………………… 12分注：(2)(3) ⇒ (1)证法类上，可解得()sin(2)6f x x p=-．21. 本小题满分12分．解：(Ⅰ)∵tan ,tan a b 是方程2430x px --= 的两个根，∴tan tan 4,tan tan 3p a b a b +==-．………………………………………………2分∴tan tan 4tan()1tan tan 1(3)pp a b a b a b ++===---．……………………………………… 5分 (Ⅱ) 22cos2cos22sin ()a b a b +-2cos2cos21cos2()a b a b =+-- ………………………………………………… 6分 cos 2cos 2sin 2sin 21a b a b =-+…………………………………………………… 7分 cos 2()1a b =++ …………………………………………………………………… 8分22cos ()a b =+．…………………………………………………………………… 9分 ∵tan()p a b +=，∴sin()cos()p a b a b +=+．∴222222sin ()cos (),1cos ()cos ()p p a b a b a b a b +=+-+=+． 即221cos ()1p a b +=+．…………………………………………………………… 11分 ∴2222cos 2cos 22sin ()1p a b a b +-=+． ……………………………………… 12分 22. 本小题满分14分．解：(Ⅰ)∵()f x 是奇函数，∴(3)(3)f f -=-．∵(3)0f -=，∴(3)0f =．………………………………………………………… 2分(Ⅱ)∵奇函数()f x 在(,0)-∞上是减函数，∴()f x 在(0,)∞上也是减函数． ……… 3分当0x <时，由()0(3)f x f >=-，得3x <-；…………………………………… 4分 当0x >时，由()0(3)f x f >=，得03x <<．…………………………………… 5分 ∴当()0f x >时，有3x <-或03x <<． ………………………………………… 6分 因此，满足()0f x >的x 的集合为{|x 3x <-或03x <<}． (Ⅲ)由(Ⅱ)知，要使[()]0f g x >在3[,2]2x pp ∈上恒成立， 即只要使()3g x <-或0()3g x <<在3[,2]2x pp ∈上恒成立．…………………… 7分∵())1]14g x a x p=+-+，令)14t x p=+-，则()1g x at =+．∵3[,2]2x p p ∈，∴79[,]444x p p p+∈，cos()4x p +∈．∴1]t ∈．…………………………………………………………………… 9分①当0a ?时，()g x 在3[,2]2x pp ∈上的最大值是1)1a +，最小值是1． 要使()3g x <-或0()3g x <<在3[,2]2x pp ∈上恒成立，只要1)13a +<，即02a <…．…………………………………… 11分②当a <0时，()g x 在3[,2]2x pp ∈上的最大值是1，最小值是1)1a +． 要使()3g x <-或0()3g x <<在3[,2]2x pp ∈上恒成立，只要1)10a +>，即10a <<．…………………………………… 13分综合①②知，实数a 的取值范围(1,1)．……………………………14分。
全国百强校：江苏省2017-2018学年度高一下期末数学试题+答案
2017/2018学年度第二学期高一年级期终考试数学试题参考公式：锥体体积公式：，其中为底面积，为高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1. 函数的最小正周期为______．2. 已知直线过定点，且倾斜角为，则直线的一般式方程为______．3. 若，则______．4. 在中，，，，则______．5. 设等差数列的前项和为，若首项，公差，，则正整数=______．6. 设、表示两条直线，、表示两个平面，则下列命题正确的是______．（填写所有正确命题的序号）①若//，//，则//；②若//，，，则；③若//，，则；④若，，，则．7. 已知正项等比数列，且，则______．8. 若圆锥的侧面展开图是半径为、圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为______．9. 已知向量a是与向量b＝(－3,4)同向的单位向量，则向量a的坐标是______．10. 已知函数是奇函数，则的最小值为______．11. 在平面直角坐标系中，以点（1,0）为圆心且与直线相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为______．12. 已知数列满足（），若，则______．13. 如图，点是正六边形的边上的一个动点，设，则的最大值为______．14. 在锐角中，角、、的对边分别为、、，若，则的取值范围是______．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 如图，已知平行四边形ABCD中，BC＝6，正方形ADEF所在平面与平面ABCD垂直，G、H分别是DF、BE的中点．（1）求证：GH//平面CDE；（2）若CD＝2，DB＝4，求四棱锥F－ABCD的体积．16. 已知向量和，其中，，．（1）当为何值时，有//；（2）若向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围．学￥科￥网...17. 如图，在平面直角坐标系中，点是圆：与轴正半轴的交点，半径OA在轴的上方，现将半径OA绕原点O逆时针旋转得到半径OB．设()，．（1）若，求点的坐标；（2）求函数的最小值，并求此时的值．18. 如图，、是两条公路（近似看成两条直线），，在内有一纪念塔（大小忽略不计），已知到直线、的距离分别为、，=6千米，=12千米．现经过纪念塔修建一条直线型小路，与两条公路、分别交于点、．（1）求纪念塔到两条公路交点处的距离；（2）若纪念塔为小路的中点，求小路的长．19. 设无穷等差数列的前项和为，已知，．（1）求与的值；（2）已知、均为正整数，满足．试求所有的值构成的集合．20. 如图，已知动直线过点，且与圆交于、两点．（1）若直线的斜率为，求的面积；（2）若直线的斜率为，点是圆上任意一点，求的取值范围；（3）是否存在一个定点（不同于点），对于任意不与轴重合的直线，都有平分，若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1. 函数的最小正周期为______．【答案】【解析】由三角函数的最小正周期公式可得：函数的最小正周期为 .2. 已知直线过定点，且倾斜角为，则直线的一般式方程为______．【答案】【解析】直线的斜率，则直线的一般式方程为：，整理为一般式为：.3. 若，则______．【答案】【解析】由诱导公式可得：，由二倍角公式有： .4. 在中，，，，则______．【答案】9【解析】如图所示，由平面向量数量积的定义可得：.点睛：求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．5. 设等差数列的前项和为，若首项，公差，，则正整数=______．【答案】5【解析】由等差数列的前n项和公式可得：，则：，据此可得正整数=5.6. 设、表示两条直线，、表示两个平面，则下列命题正确的是______．（填写所有正确命题的序号）①若//，//，则//；②若//，，，则；③若//，，则；④若，，，则．学&科&网...【答案】②③【解析】①中，有可能直线b位于平面内，该说法错误；②中的结论符合面面垂直的推论，该说法正确；③中的结论符合面面垂直的推论，该说法正确；④若直线均在平面内，则或，该结论错误.综上可得命题正确的是②③.7. 已知正项等比数列，且，则______．【答案】5【解析】考点：等比数列的性质。
江苏省苏州市2017-2018学年高一下学期期末考试数学试题 Word版含答案
苏州市2017-2018学年第二学期期末调研测试高一数学 2015.6一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．已知集合{}1,0,1A =-，{}0,1,2B =，则A B = ▲ ．2．某工厂生产A 、B 、C 三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2:3:5，现用分层抽样方法抽出一个容量为n 的样本，样本中A 种型号产品有16件．那么此样本的容量n = ▲ ．3．已知点(1,3)A ，(4,1)B ，则向量AB的模为 ▲ ．4．数据2，4，5，3，6的方差 ▲ ．5．如图所示，此程序框图运行后输出s 的值是 ▲ ．6．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边为a ，b ，c ，若a b cc o s A c o s B c o s C==，则△ABC 是 ▲三角形．7．袋子里有两个不同的红球和两个不同的白球，从中任取两个球，则这两个球颜色相同的概率为 ▲ ．8．已知变量x y ，满足约束条件2203x y x y y +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩，则目标函数2x y -的最大值是 ▲ ．9．已知(0,)απ∈，45cos α=-，则()4tan πα+= ▲ ．10．已知数列{}n a 满足120a n a a ++=，132a =，则{}n a 的前10项和等于 ▲ ．11．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润（单位：万元）分别为21 5.060.15l x x =-和22l x =，其中x 为销售量（单位：辆）．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为 ▲ 万元．12．设E ，F 分别是Rt △ABC 的斜边BC 上的两个三等分点，已知AB ＝6，AC ＝3，则A E A F ⋅=▲ ． 13．已知函数22,()(),x sinx f x x cos x α⎧+⎪=⎨-++⎪⎩00x x ≥<是奇函数，则sin α= ▲ ． 14．若0x >，0y >，()1xy x y -+=，则x y +的取值范围为 ▲ ．二、解答题（本大题共6小题，共计90分） 15．（本小题满分14分） 已知函数()()f x Asin x ωϕ=+（其中0A >，0ω>，02πϕ<<）的周期为π，且图象上有一个最低点为2(,3)3M π-． (Ⅰ）求()f x 的解析式；(Ⅱ）求函数()f x 的单调增区间．16．（本小题满分14分）已知函数()f x x a =-，其中0a >． (Ⅰ）当1a =时，求不等式2()2f x ≤的解集； (Ⅱ）已知函数()(2)2()g x f x a f x =++的最小值为4，求实数a 的值．17．（本小题满分14分） 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足24a =，530S =． (Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式n a ；(Ⅱ）若12n n n b a -=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．18．（本小题满分16分）已知函数()1x f x a =-（1a >）． (Ⅰ）若2a =，求函数()f x 的定义域、值域；(Ⅱ）若函数()f x 满足：对于任意(],1x ∈-∞，都有()10f x +≤．试求实数a 的取值范围．19．（本小题满分16分）如图，在一条直路边上有相距A 、B 两定点，路的一侧是一片荒地，某人用三块长度均为100米的篱笆（不能弯折），将荒地围成一块四边形地块ABCD （直路不需要围），经开垦后计划在三角形地块ABD 和三角形地块BCD 分别种植甲、乙两种作物．已知两种作物的年收益都与各自地块的面积的平方成正比，且比例系数均为k （正常数），设DAB α∠=． (Ⅰ）当60α︒=时，若要用一块篱笆将上述两三角形地块隔开，现有篱笆150米，问是否够用，说明理由？(Ⅱ）求使两块地的年总收益最大时，角α的余弦值？20．(本小题满分16分) 已知数列{}n a 中，11a =，在1a ，2a 之间插入1个数，在2a ，3a 之间插入2个数，在3a ，4a 之间插入3个数，…，在n a ，1n a +之间插入n 个数，使得所有插入的数和原数列{}n a 中的所有项按原有顺序构成一个正项等差数列{}n b ．(Ⅰ）若311a =，求{}n b 的通项公式；(Ⅱ）设数列{}n b 的前n 项和为n S ，n b μ=+（λ，μ为常数），求{}n a 的通项公式．。
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⎪ ⎪数 学2017．6注意事项：1. 本试卷共 4 页.包括填空题（第 1 题～第 14 题）、解答题（第 15题～第 20 题）两部分．本试卷满分 160 分.考试时间 120 分钟．2. 答题前.请您务必将自己的姓名、考试号用 0.5 毫米黑色字迹的签(第 9 题图)字笔填写在答题卡的指定位置．3. 答题时.必须用0.5 毫米黑色字迹的签字笔填写在答题卡的指定位置.在其它位置作答一律无效．4. 如有作图需要.可用 2B 铅笔作答.并请加黑加粗.描写清楚．5. 请保持答题卡卡面清洁.不要折叠、破损．一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔．n 6．样本数据 x , x , , x 的方差 s 2= 1 n ∑ i =1(x - x ) .其中 x = x ． 21 12 ni n ∑ n i i =1 2016～2017 学年第二学期苏州市高一期末调研测试一、填空题：本大题共 14 小题.每小题 5 分.共 70 分．不需要写出解答过程.请把答案直接填在答题卡相应位置上．1． 已知全集U = {x x > 0}. A = {x x ≥ 3} .则 ðU A =．2． 若数据 x 1, x 2 ,⋅ ⋅ ⋅, x 8 的方差为 3.则数据2x 1 , 2x 2 ,⋅ ⋅ ⋅,2x 8 的方差为．3．某高级中学共有 1200 名学生.现用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为 60 的样本.其中高一年级抽 30 人.高三年级抽 15 人. 则该校高二年级学生人数为．4．集合 A = {1,2,3, 4} . B = {1,2,3}.点 P 的坐标为(m , n ). m ∈ A . n ∈ B .则点 P 在直线x + y = 5 上的概率为 ．5． 已知cos = - 3 .∈⎛ π , π ⎫ .则cos ⎛ π -⎫= ．5 2 3 ⎝ ⎭ ⎝ ⎭6． 算法流程图如右图所示.则输出的结果是．7． 已知{a n }为等差数列. a 1 + a 2 + a 3 = -3 . a 4 + a 5 + a 6 = 6 .则 S 8 =．(第 6 题图)8. 已知 f (x ) 是定义在 R 上的奇函数.当 x > 0 时. f (x ) = x 2 - x .则不等式 f (x ) > x 的解集用区间表示为．3 MCNAO B9. 如图.为了探求曲线 y = x 2 . x = 2 与 x 轴围成的曲边三角形 OAP 的面积.用随机模拟的方法向矩形 OAPB 内随机投点 1080 次.现统计落在曲边三角形 OAP 的次数 360 次.则可估 算曲边三角形 OAP 面积为 ．10. 1 0 ．∆ABC 中. AB = 3, AC = 4 ,若∆ABC 的面积为3 .则BC 的长是 ．11. 若点(x , y ) 位于曲线 y = x 与 y = 1所围成的封闭区域内（含边界）.则2x - y 的最小值为 ．2 y - x 2x - y12. 已知 x , y 是正实数.则 + 的最小值为．x 3y13. 如图.等腰梯形 AMNB 内接于半圆O .直径 AB = 4 . MN = 2 . MN 的中点为C .则 AM ⋅ BC 的值为． 14．已知等差数列{a n }和等比数列{b n }满足 a 1+ b 1 = 7 . a 4 + b 4 = 2 .则 a n + b n =．(第 13 题图)a 2 +b 2 = 4 . a 3 + b 3 = 5 .二、解答题：本大题共 6 小题.共 90 分．请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分 14 分）已知函数 y = 2x ( 0 < x < 3 )的值域为 A .函数 y = lg [-(x + a )(x - a - 2)]定义域为 B ．（1） 当 a = 4 时.求 A I B ；（2） 若 A ⊆ B .求正实数 a 的取值范围．(其中 a > 0 )的16．（本小题满分 14 分）已知向量 a = (2 cos x , 3 sin x ).b = (3cos x , -2 cos x ).设函数 f (x ) = a ⋅ b ．（1）求f (x) 的最小正周期；∈ ⎡ π ⎤（2） 若 x 0, .求 f (x ) 的值域．⎣⎢ 2 ⎥⎦17．（本小题满分 14 分）平面直角坐标系 xOy 中. A (2, 4). B (-1, 2). C , D 为动点．（1） 若C (3,1).求平行四边形 ABCD 的两条对角线的长度；（2）若C (a ,b ) .且CD = (3,1).求 AC ⋅ BD 取得最小值时a ,b 的值．18．（本小题满分 16 分）某生态公园的平面图呈长方形(如图).已知生态公园的长 AB =8(km).宽AD =4(km).M .N 分别为长方形 ABCD 边 AD .DC 的中点.P .Q 为长方形 ABCD 边 AB .BC (不含端点)上的一点．现公园管理处拟修建观光车道 P -Q -N -M -P .要求观光车道围成四边形(如图阴影部分)的面积为15(km 2).设 BP =x (km).BQ =y (km).（1） 试写出 y 关于 x 的函数关系式.并求出 x 的取值范围；（2） 若 B 为公园入口.P .Q 为观光车站.观光车站 P 位于线段 AB 靠近入口 B 的一侧．经测算.每天由 B 入口至观光车站 P.Q 乘坐观光车的游客数量相等.均为 1 万人.问如何确定观光车站 P .Q 的位置.使所有游客步行距离之和最大.并求出最大值．CM QB(第 18 题图)19．（本小题满分 16 分）已知正项数列{a }满足 a = 1 . (n + 1)a 2 + a a - na 2 = 0 .数列{b }的前n 项和为 S 且 n1n +1n +1 nnnnS n = 1 -bn.（1）求{a n}和{b n}的通项；（2）令cn =bn .an①求{c n}的前n项和T n；②是否存在正整数m 满足m > 3 . c2 , c3, cm成等差数列？若存在.请求出m ；若不存在.请说明理由.20.（本小题满分 16 分）已知函数f (x) =x x -a + 2x (a ∈R )（1）当 a = 4 时.解不等式f (x) ≥8 ；（2）当a ∈[0, 4]时.求f (x) 在区间[3, 4]上的最小值；（3）若存在a ∈[0, 4].使得关于x 的方程f (x) =tf (a) 有 3 个不相等的实数根.求实数t 的取值范围．2016～2017 学年苏州市高一期末调研测试数学参考答案2017．6一、填空题：13 37102 ⎩⎩ 1． (0,3)2．12 3．300 4． 1 5． 4 106．5 7．12 8． (-2, 0) (2, +∞)9． 83二、解答题：10． 或 11 -312．313．1 14． 7 - n + (-1)n -115．（本小题满分 14 分） 解：（1） A = {x |1 < x < 8}. (3)分当 a = 4 时. B = {x | x 2 - 2x - 24 < 0}= {x - 4 < x < 6}.……5 分 ∴ A B = {x |1 < x < 6}．……8 分（2） a > 0 ,∴ B = {x (x + a )(x - a - 2) < 0}= {x -a < x < a + 2}.......10 分 ⎧-a (1)A ⊆B ,∴⎨a + 2 ≥ 8 .解得 a ≥ 6;……13 分 当 A ⊆ B .实数a 的取值范围是[6, +∞) ．……14 分16．（本小题满分 14 分）（1） f (x ) = a ⋅ b = 6 c os 2 x - 2 3 sin x cos x……2 分 = 6 ⨯ 1+cos 2x -2sin 2x……4 分= 3cos 2x - 3 sin 2x + 3 = 2 3 cos(2x + p+) 3 ．……6 分 6∴ f (x ) 的最小正周期为T = 2π= π .……8 分 2（2） x ∈ ⎡0, π ⎤.∴ π … 2x + π … 7π .……10 分⎣⎢ 2 ⎥⎦6 6 6 ∴ -1… --- cos(2x + π )…62……12 分 ∴ f (x ) 值域为[3 - 2 3, 6]……14 分17．（本小题满分 14 分）（1） A (2, 4). C (3,1).∴ AC = (1, -3). AC = ……2 分又 ABCD 是平行四边形∴ AB = CD . AB = (-3, -2).设 D (x , y ).又= (3 - x ,1- y ).所以⎧x = 6 即 D = (6, 3). ……5 分DC⎨y = 3BD = (7,1).故 BD = 5 ．……7 分（2） C (a , b ).则 D (3 + a , b +1).∴AC = (a - 2, b - B 4D ).= (a + 4, b -1).4 3 - 34 3 - 4 3 32 2 2 2 22⎛ 5⎫2 4545 ……9 分AC ⋅ BD = a 2 + 2a + b 2 - 5b - 4 = (a +1) + b - ⎪ - ≥ - .............................. 12 分a = -1,b = 5⎝ 2 ⎭ 4 4 45当且仅当 时 AC ⋅ BD 的最小值为- ． ……14 分2 418．（本小题满分 16 分）解：（1）长方形 ABCD 中. AB =8.AD =4.M 、N 分别为 AD 、DC 的中点.且BP =x .BQ =y ．∴AP =8-x .CQ =4-y ．……1 分则 S ∆CMN = 4 . S ∆CNQ = 2(4 - y ) .S ∆AMP = 8 - x . S ∆BPQ = 1xy ． 2∴ S 四边形P 长Q 方M 形N =SABCD- (S ∆CMN + S ∆CNQ + S ∆AMP + S ∆BPQ ) ．=12 + x + 2 y - 1xy = 15 ． ……4 分2 ∴ y =2(x -3) ． ……5 分x - 4⎧0 < x < 8 又 ⎨ ⎩0 < y < 4 .解得： 0 < x < 3 或5 < x < 8 ．…… 8 分（2） 设游客步行距离之和为 l （万千米）．则l = x + y = x +2(3 - x ) = 6 -[(4 - x ) + 4 - x2 4- x]．……11 分观光车站 P 位于线段 AB 靠近入口 B 的一侧.∴ 0 < x < 3 .即1 < 4 - x < 4 ．由基本不等式： (4 - x ) +2≥ 2 4 - x（当且仅当 x = 4 - 时.等号成立）．……13 分 ∴当 x = 4 - . y = 2 - 时. l max = 6 - 2 ．……15 分答：应选定 P 离入口 B 为4-(km )处.选定 Q 离入口 B 为2 -(km )处可使游客步行距离之和最大.最大值为6 - 2 （万千米）……16 分19．（本小题满分 16 分）解析：（1）由(n +1)a 2 + a a - na 2 = 0 可以得到⎡(n +1)a- na ⎤ (a + a )= 0 . n +1n +1 nn⎣n +1 n ⎦ n +1 na n +1 + a n > 0 .∴ (n +1)a n +1 - na n = 0 .∴ (n +1)a n +1 = na n .……2 分2 2 22 n n ⎪ { } b ⎛ 1 ⎫ 1 ⎛ 1 ⎫ 1⎛ 2 2 22 即(n +1)a= na = = a = 1.∴ {a }的通项为 a = 1 . ……4 分 n +1 n 1 n n n 1由 S = 1- a 可以得到b = 1- b 也就是b = 且S = 1- b .因此b = b - b .即为 n n 1 11 2n +1 n +1 n +1 n n +1 b n +1 = 1b . b⎛ 1 ⎫n为等比数列. b n = . ⎝ ⎭……6 分 n 2 n （2）① c = n = n. T = 1⨯ + 2 ⨯ + + n ……8 分n a n ⎝ 2 ⎭⎪ n 2 ⎝ 2 ⎪⎭ ⎝ 2 ⎪⎭1 ⎛ 1 ⎫2n -1) ⎪n 1 n +12 T = 1⨯ 2 ⎪ + ⎛ 12 ⎫ + n ⎛ 2⎫⎪n⎝ ⎭ 2 + ( ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ n1 1 ⎛ 1 ⎫ T⎛ 1 ⎫⎛ 1 ⎫n +1 n = + ⎪ + + ⎪ -n ⎪ 2 ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ 所以T = 2 - ⎛ 1 ⎫n -1 - n ⎛ 1 ⎫n n 2 ⎪2 ⎪ . ……11 分⎝ ⎭ ⎝ ⎭②由题设有2c = 1+ c = 2 ⨯ 3 = 3. 所以c = 1.……12 分3m8 4m42⎛ 1 ⎫k -k -1 ⎛ 1 ⎫k -1 ⎛ 1 ⎫k -k -1 ⎛ 1 ⎫k -1 = ⎛ 1 ⎫2 - k 当 k ≥3 时. c k - c k -1 = k 2 ⎪ ( ) 2 ⎪ = k 2 ⎪ ( ) 2 ⎪2 ⎪ ( ). ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭c k - c k -1 < 0 .所以当 k ≥ 3 时.{c k }为减数列.……15 分又c = 1.所以 m = 4 ．44所以存在正整数 m = 4 此时c 2 , c 3, c 4 成等差数列……16 分20．（本小题满分 16 分）（1）当 a = 4 时.不等式可化为 x x - 4 + 2x ≥ 8 ．若 x ≥ 4 .则 x 2 - 2x - 8≥ 0 .∴ x ≥ 4 ； 若 x < 4 .则 x 2 - 6x + 8… 0 .∴ 2… x < 4 ．……2 分 ……4 分 综上.不等式解集为[2, +∞)．……5 分k⎭ ⎭ 2 ⎧ ⎛ a - 2 ⎫2 ⎛ a - 2 ⎫2⎧ x 2 - (a - 2)x x ≥ a ⎪ x - 2 ⎪ - 2 ⎪ x ≥ a （2） f (x ) = ⎨-x 2 + (a + 2)x x < a = ⎪⎨ ⎝ a + 2 ⎝ a + 2……7 分⎩ ⎪ ⎛ 2 ⎫ + ⎛ 2 ⎫ ⎪- x - ⎪ ⎪ x < a⎩ ⎝ a - 2 a + 2下面比较 , , a 的大小：2 2∵ a ∈[0, 4].2 ⎭ ⎝ 2 ⎭ ∴当 a ∈[0, 2]时. a - 2 - a = -a - 2 < 0 . a + 2 - a = 2 - a≥ 02 2 2 2∴作出函数 f (x ) 的图像如图 1∴ f (x ) 在(-∞, a ],[a , +∞)为增函数.即 f (x ) 在 R 上是增函数. ∴ f (x ) 在区间[3,4]上的最小值为 f (3) = 15 - 3a ．……9 分xx图 1图 2当 a ∈(2, 4]时. a - 2- a =-a - 2< 0 . a + 2 - a = 2 - a < 0 . a + 2… 3 ．2 22 2 2∴作出函数 f (x ) 的图像如图 2∴ f (x ) 在⎛ -∞, a + 2 ⎤ ,[a , +∞)为增函数.在⎡ a + 2 , a ⎤为减函数.⎥ ⎢ 2 ⎥ ⎝⎦⎣⎦∴若 a … 3 .则 f (x ) 在区间[3, 4]为增函数.最小值为 f (3) = 15 - 3a ； 若3 < a … 4 .则 f (x ) 在区间[3,4]上的最小值为 f (a ) = 2a ．……12 分（3） 由（2）知当 a ∈[0, 2]时.如图 1.关于 x 的方程 f (x ) = tf (a ) 不可能有 3 个不相等的实数根． ……13 分当 a ∈(2, 4]时.要存在 a .使得关于 x 的方程 f (x ) = tf (a ) 有 3 个不相等的实数根.则 f (a ) < tf (a ) < f ⎛ a + 2 ⎫有解.∴1 < t < ⎛ f ( a +2 2)⎪⎫(2 < a … 4) ……14 分⎪ f (a ) ⎪⎝ 2 ⎭ ⎪⎝ ⎭max. .2 ∴ f ( ) 8 8 f ( a + 2) = 1 (a + 4 + 4) .且函数 y = a + 4 在区间(2, 4]上为增函数（不证明单调性f (a ) 8 a a扣 1 分）⎛ a 2+ 2 ⎪⎫ f (a ) ⎪ ⎝ ⎭max= 9 .∴1 < t < 9 ． ……16 分“”“”At the end, Xiao Bian gives you a passage. Minand once said, "people who learn to learn are very happy people.". In every wonderful life, learning is an eternal theme. As a professional clerical and teaching position, I understand the importance of continuous learning, "life is diligent, nothing can be gained", only continuous learning can achieve better self. Only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pace of enterprise development and innovate to meet the needs of the market. This document is also edited by my studio professionals, there may be errors in the document, if there are errors, please correct, thank you!。
2017-2018学年江苏省苏州市高一(下)期末数学试卷及答案
2017-2018学年江苏省苏州市高一（下）期末数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．1．（5分）已知集合A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|x＞1}，则A∩B＝．2．（5分）一组数据1，2，3，4，5，则这组数据的方差等于．3．（5分）为了解某一段公路汽车通过时的车速情况，现随机抽测了通过这段公路的200辆汽车的时速，所得数据均在区间[40，80]中，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的200辆汽车中，时速在区间[40，60）内的汽车有辆．4．（5分）袋中装有5个大小相同的球，其中3个黑球，2个白球，从中一次摸出2个球，则摸出1个黑球和1个白球的概率等于．5．（5分）设向量＝（1，4），＝（﹣1，x），＝+3，若∥，则实数x的值是．6．（5分）如图所示的算法流程图中，最后输出值为．7．（5分）公元五世纪张丘建所著《张丘建算经》卷22题为：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈，问日益几何”．题目的意思是：有个女子善于织布，一天比一天织得快（每天增加的数量相同），已知第一天织布5尺，一个月（30天）共织布9匹3丈，则该女子每天织尺布的增加量为尺．（1匹＝4丈，1丈＝10尺）8．（5分）如图所示，在6×4的方格纸中，每个小正方形的边长为1，点O，A，B，C均为格点（格点是指每个小正方形的顶点），则•＝．9．（5分）已知角θ位的终边上一点P的坐标（3，4），则的值为．10．（5分）已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，则+的值为．11．（5分）已知关于x的方程|x|（x﹣a）＝1在（﹣2，+∞）上有三个相异实根，则实数a 的取值范围是．12．（5分）已知a＞0，b＞0，且+＝1，则3a+2b+的最小值等于．13．（5分）将关于x的方程sin（x﹣）＝a（0＜a＜1）所有正整数解从小到大排列构成数列{a n}，且a1，a2，a3构成等比数列，则a1＝．14．（5分）已知函数f（x）＝x2+（1﹣2a）x+a2，若关于x的不等式f（f（x））≥0恒成立．则实数a的取值范围是二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）已知cosα＝，α∈（0，）．（1）求sin（+α）的值；（2）若cos（α+β）＝，β∈（0，），求β的值．16．（14分）已知公差不为0的等差数列{a n}的前n项和为S n，S3＝2a3，S4＝2a4+4．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和T n．17．（14分）如图，在平面四边形ABCD中，∠ABC＝π，AB⊥AD，AB＝1（1）若•＝3，求△ABC的面积；（2）若BC＝2，AD＝5，求CD的长度．18．（16分）如图，长方形材料ABCD中，已知AB＝2，AD＝4．点P为材料ABCD内部一点，PE⊥AB于E，PF⊥AD于F，且PE＝1，PF＝．现要在长方形材料ABCD 中裁剪出四边形材料AMPN，满足∠MPN＝150°，点M，N分别在边AB，AD上．（1）设∠FPN＝θ，试将四边形材料AMPN的面积S表示为θ的函数，并指明θ的取值范围；（2）试确定点N在AD上的位置，使得四边形材料AMPN的面积S最小，并求出其最小值．19．（16分）已知函数f（x）＝．（1）当a＝4，b＝﹣2时，求满足f（x）＝2x的x的值；（2）若函数f（x）是定义在R上的奇函数．①存在t∈[﹣1，1]，使得不等式f（t2﹣t）＜f（2t2﹣k）有解，求实数k的取值范围；②若函数g（x）满足f（x）•[g（x）+2]＝2x﹣2﹣x，若对任意x∈R且x≠0，不等式g（2x）≥m•g（x）﹣10恒成立，求实数m的最大值．20．（16分）设数列{a n}的前n项和为S n，2S n+a n＝3，n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{b n}满足：对于任意的n∈N*，都有a1b n+a2b n﹣1+a3b n﹣2+…+a n b1＝（）n﹣1+3n﹣3成立．①求数列{b n}的通项公式；②设数列c n＝a n b n，问：数列{c n}中是否存在三项，使得它们构成等差数列？若存在，求出这三项；若不存在，请说明理由．2017-2018学年江苏省苏州市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．1．【考点】1E：交集及其运算．【解答】角：∵集合A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|x＞1}，∴A∩B＝{x|1＜x＜2}．故答案为：{x|1＜x＜2}．【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．2．【考点】BC：极差、方差与标准差．【解答】解：＝（1+2+3+4+5）＝3S2＝×[（1﹣3）2+（2﹣3）2+（3﹣3）2+（4﹣3）2+（5﹣3）2]＝2故答案为：2【点评】本题主要考查了方差的知识，牢记方差公式是解题关键．3．【考点】B8：频率分布直方图．【解答】解：由频率分布直方图得：时速在区间[40，60）内的汽车的频率为（0.01+0.03）×10＝0.4．∴时速在区间[40，60）内的汽车有0.4×200＝80（辆）．故答案为：80．【点评】本题考查频数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意频率分布直方图的性质的合理运用．4．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【解答】解：∵袋中装有5个大小相同的球，其中3个黑球，2个白球，从中一次摸出2个球，基本事件总数n＝＝10，摸出1个黑球和1个白球包含的基本事件个数m＝＝6，∴摸出1个黑球和1个白球的概率p＝．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5．【考点】96：平行向量（共线）．【解答】解：∵向量＝（1，4），＝（﹣1，x），∴＝+3＝（﹣2，4+3x），∵∥，∴，解得x＝﹣4，∴实数x的值是﹣4．故答案为：﹣4．【点评】本题考查实数值的求法，考查向量坐标运算法则、向量平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．6．【考点】EF：程序框图．【解答】解：第一次循环得到T＝1×5＝5，i＝10；第二次循环得到T＝5×10＝50，i＝15；第三次循环得到T＝50×15＝750，i＝20；第四次循环得到T＝750×20＝15000，i＝25；此时不满足判断框中的条件，终止循环，输出i＝25．故答案为：25．【点评】本题考查了程序框图的运行应用问题，通过执行框图转化为数学求积问题，是基础题．7．【考点】83：等差数列的性质．【解答】解：设该妇子织布每天增加d尺，由题意知，S30＝30×5＝390，解得d＝尺．故答案为：．【点评】本题考查等差数列在生产生活中的实际应用，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．8．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【解答】解：如图所示：以O为坐标原点，向右为x轴的正方向，向上为y轴的正方向，故：A（﹣1，4），B（5，1），C（3，2），所以：，，则：．故答案为：12【点评】本题考查的知识要点：向量的坐标运算和向量的数量积的运算的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．9．【考点】G9：任意角的三角函数的定义．【解答】解：角θ位的终边上一点P的坐标（3，4），∴sinθ＝＝，cosθ＝＝，则＝＝＝﹣，故答案为：﹣．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，二倍角的三角公式的应用，属于基础题．10．【考点】HP：正弦定理．【解答】解：∵A，B，C成等差数列，∴2B＝A+C，又A+B+C＝π，∴B＝，由余弦定理得b2＝a2+c2﹣2ac cos B＝a2+c2﹣ac+＝＝＝．故答案为：1．【点评】本题考查了三角函数的化简求值，考查了余弦定理的应用，是中档题．11．【考点】57：函数与方程的综合运用．【解答】解：关于x的方程|x|（x﹣a）＝1，显然x＝0方程不成立，可得a＝x﹣，设f（x）＝x﹣，则f（x）＝，画出f（x）的图象，可得当﹣＜a＜﹣2时，y＝a和y＝f（x）的图象有3个交点，即关于x的方程|x|（x﹣a）＝1在（﹣2，+∞）上有三个相异实根，故答案为：（﹣，﹣2）．【点评】本题考查函数方程的转化思想和数形结合思想方法，考查化简变形能力，属于中档题．12．【考点】7F：基本不等式及其应用．【解答】解：已知a＞0，b＞0，且+＝1，则3a+2b+＝3a（）+2b（）+，＝5+，故答案为：11【点评】本题考查的知识要点：函数的关系式的恒等变换，均值不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．13．【考点】8N：数列与三角函数的综合．【解答】解：关于x的方程sin（x﹣）＝a（0＜a＜1），可得x﹣＝2kπ+arcsin a或x﹣＝2kπ+π﹣arcsin a，k∈Z，可得a1＝+arcsin a，a2＝﹣arcsin a，a3＝+arcsin a，a1，a2，a3构成等比数列，可得a22＝a1a3，即（﹣arcsin a）2＝（+arcsin a）（+arcsin a），解得arcsin a＝，则a1＝+arcsin a＝．故答案为：．【点评】本题考查等比数列的中项性质，以及三角方程的解法，考查方程思想和运算能力，属于中档题．14．【考点】3R：函数恒成立问题；3V：二次函数的性质与图象．【解答】解：函数f（x）＝x2+（1﹣2a）x+a2，配方可得f（x）＝（x+﹣a）2+a﹣，由y＝f（f（x））是将f（x）中的x换为f（x）得到的函数式，则x＝a﹣也为y＝f（f（x））的对称轴，且取得最小值，则f（f（a﹣））≥0，即为（a﹣+﹣a）2+a﹣≥0，解得a≥，故答案为：[，+∞）．【点评】本题考查二次函数的最值求法，不等式恒成立问题解法，注意转化为函数最值，考查运算能力，属于中档题．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．【考点】GP：两角和与差的三角函数．【解答】解：（1）由cosα＝，α∈（0，），∴sinα＝＝，所以sin（+α）＝sin cosα+cos sinα＝•+•＝．（2）因为β∈（0，），所以α+β∈（0，π）．又cos（α+β）＝，则sin（α+β）＝＝．所以sinβ＝sin[（α+β）﹣α]＝sin（α+β）cosα﹣cos（α+β）sinα＝•﹣•＝，∴β＝．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角差的三角公式的应用，属于基础题．16．【考点】8E：数列的求和．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，其中d≠0．由S3＝2a3，得3a1+3d＝2（a1+2d），即a1＝d，由S4＝2a4+4，得4a1+6d＝2（a1+3d）+4，即a1＝2，所以a1＝d＝2．故a n＝2+2（n﹣1）＝2n；（2）由（1）得S n＝＝n（n+1），则＝＝﹣，所以前n项和T n＝1﹣+﹣+…+﹣＝1﹣＝．【点评】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，数列的裂项相消求和，考查方程思想和运算能力，属于中档题．17．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【解答】解：（1）因为•＝3，所以＝﹣3，即||||cos∠ABC＝﹣3．………………………………………………（2分）又因为∠ABC＝，AB＝1，所以||||cos＝﹣3，则BC＝3．………（5分）所以S△ABC＝＝＝．…………………………（7分）（2）在△ABC中，由余弦定理得，＝1＝13，∴AC＝．…………………………（9分）在△ABC中，由正弦定理得：，即，∴sin∠BAC＝．…………………………（11分）∴cos∠CAD＝cos（BAC）＝sin∠BAC＝．…………………………（13分）在△ACD中，由余弦定理得，CD2＝AD2+AC2﹣2AD•AC cos∠CAD，＝25+13﹣2×5××＝18，即CD＝3．…………………（14分）【点评】本题综合考查了向量的数量积的定义，和差角公式，正弦定理及余弦定理在求解三角形中的应用，解题的关键是把图形中的问题转化为数学问题．18．【考点】5C：根据实际问题选择函数类型．【解答】解：（1）在直角△NFP中，因为PF＝，∠FPN＝θ，所以NF＝tanθ，所以S△APN＝NA•PF＝（1+tanθ）×．……………………………（2分）在直角△MEP中，因为PE，∠EPM＝﹣θ，所以ME＝tan（﹣θ），所以S△APM＝MA•PE＝（+tan（﹣θ））×1．………………………………（4分）所以S＝S△APN+S△APM＝tanθ+tan（﹣θ）+，θ∈[0，]，……………………………（7分）（注：定义域错误扣1分）（2）因为S＝tanθ+tan（﹣θ）+＝tanθ++．…（9分）令t＝1+tanθ，由θ∈[0，]，得t∈[1，4]，……………（11分）所以S＝+＝（t+）+………………（12分）≥×2×+＝2+．………………（14分）当且仅当t＝时，即tanθ＝时等号成立．………………（15分）此时，AN＝，S min＝2+．答：当AN＝时，四边形材料AMPN的面积S最小，最小值为2+………………………………………（16分）【点评】本题考查根据题设关系列出函数关系式，并求出处变量的取值范围；考查利用基本不等式求最值，解题的关键是确定矩形的面积．19．【考点】3R：函数恒成立问题．【解答】解：（1）因为a＝4，b＝﹣2，所以＝2x，化简得（2x）2﹣3•2x﹣4＝0，即2x＝4（﹣1舍去），所以x＝2；（2）因为f（x）是奇函数，所以f（﹣x）+f（x）＝0，所以+＝0，化简并变形得：（a+b）（2x+2﹣x）+2ab+2＝0，要使上式对任意的x成立，则a+b＝0且ab+1＝0，解得a＝1，b＝﹣1或a＝﹣1，b＝1，因为f（x）的定义域是R，所以a＝1，b＝﹣1舍去，所以a＝﹣1，b＝1，所以f（x）＝；①f（x）＝＝1﹣．对任意x1，x2∈R，x1＜x2有：f（x1）﹣f（x2）＝﹣＝﹣，因为x1＜x2，所以2x1＜2x2，即2x1﹣2x2＜0，所以f（x1）＜f（x2），因此f（x）在R上递增．因为f（t2﹣t）＜f（2t2﹣k），所以t2﹣t＜2t2﹣k，即k＜t2+t在t∈[﹣1，1]时有解．当t∈[﹣1，1]时，t2+t的最大值为2，所以k＜2；②因为f（x）•[g（x）+2]＝2x﹣2﹣x，所以g（x）＝2x+2﹣x（x≠0），所以g（2x）＝22x+2﹣2x＝（2x+2﹣x）2﹣2．不等式g（2x）≥mg（x）﹣10恒成立，即（2x+2﹣x）2﹣2≥m（2x+2﹣x）﹣10，令t＝2x+2﹣x，t＞2，则m≤t+在t＞2时恒成立．因为t＞2，由基本不等式可得：t+≥4，当且仅当t＝2时，等号成立．所以m≤4，则实数m的最大值为4．【点评】本题考查函数的奇偶性和单调性的判断和运用，考查不等式恒成立和有解的条件，考查化简整理的运算能力，属于中档题．20．【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．【解答】解：（1）由2S n+a n＝3，①得2S n﹣1+a n﹣1＝3，（n≥2），②由①﹣②得2a n+a n﹣a n﹣1＝0，即a n＝a n﹣1（n≥2）．对①取n＝1得，a1＝1≠0，所以a n≠0，所以{a n}为等比数列，首项为1，公比为，即a n＝（）n﹣1，n∈N*．（2）①由a n＝（）n﹣1，可得对于任意n∈N*．有b n+b n﹣1+（）2b n﹣2+…+（）n﹣1b1＝（）n﹣1+3n﹣3，③则b n﹣1+b n﹣2+（）2b n﹣3+…+（）n﹣2b1＝（）n﹣2+3n﹣6，n≥2，④则b n﹣1+（）2b n﹣2+（）3b n﹣3+…+（）n﹣1b1＝（）n﹣1+n﹣2，n≥2，⑤由③﹣⑤得b n＝2n﹣1（n≥2），对③取n＝1得，b1＝1也适合上式，因此b n＝2n﹣1，n∈N*．②由（1）（2）可知c n＝a n b n＝，则c n+1﹣c n＝﹣＝，所以当n＝1时，c n+1＝c n，即c1＝c2，当n≥2时，c n+1＜c n，即{c n}在n≥2且n∈N*上单调递减，故c1＝c2＞c3＞c4＞c5＞…，假设存在三项c s，c p，c r成等差数列，其中s，p，r∈N*，由于c1＝c2＞c3＞c4＞c5＞…，可不妨设s＜p＜r，则2c p＝c s+c r（*），即＝+，因为s，p，r∈N*，且s＜p＜r，则s≤p﹣1且p≥2，由数列{c n}的单调性可知，c s≥c p﹣1，即≥，因为c r＝＞0，所以＝+＞，即＞，化简得p＜，又p≥2且p∈N*，所以p＝2或p＝3，当p＝2时，s＝1，即c1＝c2＝1，由r≥3时，c r＜c2＝1，此时c1，c2，c r不构成等差数列，不合题意．当p＝3时，由题意s＝1或s＝2，即c s＝1，又c p＝c3＝，代入（*）式得c r＝．因为数列{c n}在n≥2且n∈N*上单调递减，且c5＝，r≥4，所以r＝5．综上所述，数列{c n}中存在三项c1，c3，c5或c2，c3，c5构成等差数列．【点评】本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数列的递推式，考查等差数列中项性质，以及分类讨论思想方法，考查运算能力和推理能力，属于中档题．。
全国百强校：江苏省2017-2018学年度高一第二学期期末考试数学试卷+答案
2017~2018学年度第二学期期末考试高一数学试卷参考公式：V柱=Sh，S为底面积，h为高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．．1. 直线的倾斜角为____．2. 在中，角所对的边分别为．已知，则的度数为____．3. 在等比数列中，公比为，为其前项和．已知，则的值为____．4. 已知正实数满足，则的最大值为____．5. 已知点在不等式组所表示的平面区域内运动，则的取值范围为____．6. 已知一个正三棱柱的侧面积为18，且侧棱长为底面边长的2倍，则该正三棱柱的体积为____．7. 在等差数列中，公差，且成等比数列，则的值为____．8. 已知，表示两条不同的直线，，表示两个不同的平面，则下列四个命题中，所有正确命题的序号为____．① 若，，则；② 若，，则；③ 若，，则；④ 若，，则．9. 在中，角所对的边分别为．已知，则的面积为____．10. 若直线与平行，则与之间的距离为____．11. 已知，，则的值为____．12. 已知数列满足，，则数列的前项和____．13. 关于的不等式的解集中恰含有3个整数，则实数的取值集合是____．14. 在中，若，则的最小值为____．二、解答题: 本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定的区域内作答．．．．．．．．．．．，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 在中，角所对的边分别为．已知，,．（1）求的值；（2）求的值．16. 如图，在四棱锥中，为的中点．（1）若，，求证：平面；（2）若，平面平面，求证：．17. 某校一个校园景观的主题为“托起明天的太阳”，其主体是一个半径为5米的球体，需设计一个透明的支撑物将其托起，该支撑物为等边圆柱形的侧面，厚度忽略不计．轴截面如图所示，设．（注：底面直径和高相等的圆柱叫做等边圆柱．）（1）用表示圆柱的高；（2）实践表明，当球心和圆柱底面圆周上的点的距离达到最大时，景观的观赏效果最佳，求此时的值．18. 在中，边，所在直线的方程分别为，，已知是边上一点．（1）若为边上的高，求直线的方程；（2）若为边的中线，求的面积．19. 已知函数．（1）当时，解不等式；（2）若恒成立，求的取值范围．20. 已知是各项均为正数的等差数列，其前项和为，且. （1）求数列的通项公式；（2）若数列的前项和为，且，.①求证:数列是等比数列；②求满足的所有正整数的值．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．．1. 直线的倾斜角为____．【答案】；【解析】即。
2017-2018学年江苏苏州市高一期末考试数学试题(解析版)
2017-2018学年江苏苏州市高一期末考试数学试题一、填空题1．已知集合{}{}0,1,2,0,2,4A B ==，则A B ⋂＝______． 【答案】{}0,2【解析】{}0,2A B ⋂=，填{}0,2． 2．函数()lg 2y x =-的定义域是______． 【答案】(),2-∞【解析】由题设有20x ->，解得2x <，故函数的定义域为(),2-∞，填(),2-∞． 3．若240α=︒，则()sin 150α︒-的值等于______． 【答案】1-【解析】()()sin 150sin 90sin901α︒-=-︒=-︒=-，填1-．4．已知角α的终边经过点()2,4P -，则sin cos αα-的值等于______．【解析】r OP ==，所以sin α==，cos α=，故sin cos 5αα-=，填5． 5．已知向量(),5AB m =， ()4,AC n =， ()7,6BC =，则m n +的值为______． 【答案】8【解析】AC AB BC -=，所以()()4,57,6m n --=，所以3,11m n =-=，故8m n +=，填8．6．已知函数()f x = ()1232,2{ log 1,2x e x x x -<-≥，则()()2f f 的值为__________．【答案】2【解析】 由题意得()()232log 211f =-=，所以()()()112122ff f e-===．7．《九章算术》是中国古代数学名著，其对扇形田面积给出“以径乘周四而一”的算法与现代数学的算法一致，根据这一算法解决下列问题：现有一扇形田，下周长（弧长）为20米，径长（两段半径的和）为24米，则该扇形田的面积为______平方米． 【答案】120【解析】扇形的半径为12，故面积为112201202⨯⨯=（平方米），填120． 8．已知函数()232,1{ ,1x x f x x x -≤=>，则函数()()2g x f x =-的零点个数为__________． 【答案】2【解析】 由题意得，令函数()()20g x f x =-=，即()2f x =， 当1x ≤时，令322x -=，解得12x =；当1x >时，令22x =，解得x =x =，所以函数()g x 的零点为12x =或x =()()2g x f x =-有2个． 9．已知函数()22(0)f x x ax a =++>在区间[]0,2上的最大值等于8，则函数()[]()2,1y f x x =∈-的值域为______．【答案】7,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】二次函数的对称轴为02ax =-<，故()()m ax 2628f x fa ==+=，所以1a =且()2217224f x x x x ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭，对称轴为[]12,12x =-∈-，故所求值域为7,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦，填7,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦．10．已知函数()222xxf x x m -=+-⋅是定义在R 上的偶函数，则实数m 的值等于____．【答案】1-【解析】因为()f x 为偶函数，故()()11f f -=，所以11112222m m ---=-，整理得到3322m -=，即1m =-，又当1m =-时，有()222x x f x x -=++， ()222x x f x x --=++，故()()f x f x =-， ()f x 为偶函数，故填1-．11．如图，在梯形ABCD 中， 2DC AB =，P 为线段CD 上一点，且3DC PC =，E 为BC 的中点，若()1212,EP AB AD R λλλλ=+∈，则12λλ+的值为______．【答案】13【解析】2433EP EB BA AD DP EB AB AD DC EB AB AD AB =+++=-++=-++，整理得到13EP EB AB AD =++，又1233EP EC CP EC CD EC AB =+=+=-，所以123EP AB AD =-+，也就是1162EP AB AD =-+， 12111623λλ+=-+=，填13．12．已知tan 24πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 24πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值等于__________．【答案】10【解析】 由tan 1tan 241tan πααα-⎛⎫-== ⎪+⎝⎭，解得tan 3α=-，因为))22sin 2sin2cos22sin cos cos sin 4πααααααα⎛⎫-=-=-+ ⎪⎝⎭2222222sin cos cos sin 2tan 1tan 2cos sin 21tan ααααααααα-+-+==++()()()22231321013⨯--+-==+-． 13．将函数sin y x =的图象向左平移3π个单位长度，再将图象上每个点的横坐标变为原来的1(0)ωω>倍（纵坐标不变），得到函数()y f x =的图象，若函数()y f x =在区间π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上有且仅有一个零点，则ω的取值范围为____． 【答案】410,33⎛⎤⎥⎝⎦【解析】由题设()sin 3f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令,3x k k Z πωπ+=∈，解得33k x ππω-=，取1,2k =，分别得到25,33x x ππωω==，它们是函数在y 轴右侧的第一个零点和第二个零点，所以232{532ππωππω<≥，故41033ω<≤，故填41033ω<≤． 点睛：因为()()sin 03f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，所以该函数的图像必过定点⎛⎝⎭且在y 轴的右侧的第一个对称中心的横坐标在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭内，第二个对称中心的横坐标不在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭中，从而得到41033ω<≤． 14．已知,x y 为非零实数， ,42ππθ⎛⎫∈⎪⎝⎭，且同时满足：①s i n cos y x θθ=，②22103x y xy=+，则cos θ的值等于__________．【解析】 由sin cos y x θθ=，可得sin tan cos y x θθθ==， 又22103x y xy =+，即223310x y xy +=，所以103x y y x +=， 则110tan tan 3θθ+=，即23tan 10tan 30θθ-+=，解得tan 3θ=或1tan 3θ=， 又,42ππθ⎛⎫∈⎪⎝⎭，所以tan 1θ>，所以tan 3θ=，所以cos 10θ=．二、解答题15．已知全集U R =,集合2{|40},{|2}A x x x B x m x m =-≤=≤≤+．（1）若3m =，求UB 和A B ⋃；（2）若B A ⊆，求实数m 的取值范围； （3）若A B ⋂=∅，求实数m 的取值范围．【答案】(1) {}|35U C B x x x =或， {}|05A B x x ⋃=≤≤；(2) 02m ≤≤；(3)2m <-或4m >.【解析】试题分析：（1）当3m =时，求出{}|04A x x =≤≤， {}|35B x x =≤≤，借助数轴可求得{}|35UB x x x =或， {|05} A B x x ⋃=≤≤．（2）依据集合的包含关系，得到区间端点的大小关系为0{24m m ≥+≤，解得02m ≤≤．（3）依据交集为空集，得到区间的端点的大小关系为20m +<或4m >，也即是2m <-或4m >． 解析：（1）当3m =时， {}|35B x x =≤≤，由240x x -≤得， 04x ≤≤，所以{}|04A x x =≤≤,{}|35UB x x x =或； {|05} A B x x ⋃=≤≤．（2）因为A B ⊇，则0{24m m ≥+≤ ，解得02m ≤≤．（3）因为A B ⋂=∅ 因为20m +<或4m >， 所以2m <-或4m >． 16．已知函数()141xf x a =++的图象过点31,10⎛⎫- ⎪⎝⎭． （1）判断函数()f x 的奇偶性，并说明理由； （2）若()106f x -≤≤，求实数x 的取值范围． 【答案】(1) ()f x 是奇函数，理由见解析；(2) 102x ≤≤. 【解析】试题分析：（1）因为()f x 的图像过31,10⎛⎫-⎪⎝⎭，代入后得到12a =-，这样()f x 可化简为()()14241xxf x -=+，依据奇函数的定义可判断其为奇函数．（2）不等式()106f x -≤≤可化简为142x ≤≤，从而不等式的解为102x ≤≤． 解析：（1）因为()f x 的图象过点31,10⎛⎫-⎪⎝⎭，所以13510a +=-，解得12a =-，所以()()1114412241xx x f x -=-=++()f x 的定义域为R．因为()()()114141412412241x xx x xf x f x ---=-=-==-+++，所以()f x 是奇函数． （2）因为()106f x -≤≤， 所以11106412x -≤-≤+，所以1113412x ≤≤+， 所以2413x≤+≤，所以142x ≤≤， 解得102x ≤≤．17．如图，在四边形ABCD 中， 4AD =， 2AB =.（1）若ABC ∆为等边三角形，且//AD BC ， E 是CD 的中点，求AE BD ⋅； （2）若AC AB =， 3cos 5CAB ∠=， 45AC BD ⋅=，求DC . 【答案】（1）11（2）285DC =【解析】试题分析：（1）因为ABC ∆为等边三角形得到2AD BC =，因为E 是CD 中点，根据的平行四边形法则和三角形法则，所以3142AE AD AB =+，进而得到AE BD ⋅的值．（2）因为2AB AC ==，得到AC AD AC AB ⋅-⋅和AC AD ⋅，进而求解DC 的值. 试题解析：（1）因为ABC ∆为等边∆，且//AD BC ，所以120DAB ∠=︒.又2AD AB =，所以2AD BC =， 因为E 是CD 中点，所以()()1122AE AD AC AD AB BC =+=++ 11312242AD AB AD AD AB ⎛⎫=++=+ ⎪⎝⎭. 又BD AD AB =-，所以()3142AE BD AD AB AD AB ⎛⎫⋅=+⋅-⎪⎝⎭22311424AD AB AD AB =--⋅ 311116442114242⎛⎫=⨯-⨯-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭. （2）因为AB AC =， 2AB =，所以2AC =，因为45AC BD ⋅=，所以()45AC AD AB ⋅-=，所以45AC AD AC AB ⋅-⋅=. 又AC AB AC AB ⋅= 312cos 455CAB ∠=⨯=.所以41655AC AD AC AB ⋅=+⋅=.所以2222||DC AC AD AC AD =-=+ 16682416255AC AD -⋅=+-⨯=.所以285DC =. 18．某地为响应习总书记关于生态文明建设的指示精神，大力开展“青山绿水”工程，造福于民.为此，当地政府决定将一扇形（如图）荒地改造成市民休闲中心，其中扇形内接矩形区域为市民健身活动场所，其余区域（阴影部分）改造为景观绿地（种植各种花草）.已知该扇形OAB 的半径为200米，圆心角60AOB ∠=︒，点Q 在OA 上，点,M N 在OB 上，点P 在弧AB 上，设POB θ∠=.（1）若矩形MNPQ 是正方形，求tan θ的值；（2）为方便市民观赏绿地景观，从P 点处向,OA OB 修建两条观赏通道PS 和PT （宽度不计），使PS OA ⊥， PT OB ⊥，其中PT 依PN 而建，为让市民有更多时间观赏，希望PS PT +最长，试问：此时点P 应在何处？说明你的理由.【答案】（1）矩形MNPQ 是正方形时， tan θ=（2）当P 是AB 的中点时， PS PT +最大【解析】试题分析：（1）因为四边形PQMN 是扇形的内接正方形，所以cos sin tan60QMOP MN PN OP θθ-===︒，注意到sin QM PN OP θ==，代入前者就可以求出tan θ. （2）由题设可由()200sin 200sin 60PS PT θθ+=+︒-，060θ︒<<︒，利用两角差的正弦和辅助角公式把PS PT +化成()200s i n 60P S P T θ+=+︒的形式，从而求出PS PT +的最大值. 解析：（1）在Rt PON ∆中， 200sin PN θ=， 200cos ON θ=，在Rt OQM ∆中，200s i n Q M P N θ==， ,tan60QM OM θ==︒所以M N O N =- 200cos θθ=，因为矩形MNPQ 是正方形，MN PN∴=，所以03200s s i n200s i θθθ=，所以032s i noθθ⎛=⎝⎭，所以tanθ==．（2）因为,P O Mθ∠=所以60POQθ∠=︒-，()200sin200sin60PS PTθθ+=+︒-1200sin sin2θθθ⎛⎫=+-⎪⎪⎝⎭()1200sin200sin602θθθ⎛⎫==+︒⎪⎪⎝⎭，060θ︒<<︒．所以+60=90θ︒︒, 即=30θ︒时，PS PT+最大，此时P是AB的中点．答：（1）矩形MNPQ是正方形时，3tan2θ-=；（2）当P是AB的中点时，PS PT+最大．19．已知()2cos,1a x=，)cos,1b x x=+-，函数()f x a b=⋅.（1）求()f x在区间0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值；（2）若()065f x=，,42xππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求cos2x的值；（3）若函数()y f xω=在区间2,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭上是单调递增函数，求正数ω的取值范围.【答案】（1）()max2f x=，()min1f x=（2（3）14ω<≤【解析】试题分析：（1）利用数量积的计算得到())2cos cosf x x x x=+，再利用二倍角公式和辅助角公式得到()2sin26f x xπ⎛⎫=+⎪⎝⎭，从而可求()f x在0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最值．（2）()065f x=等价于π3sin265x⎛⎫+=⎪⎝⎭，把2x变形为266xππ⎛⎫+-⎪⎝⎭，利用两角差的余弦可以得到cos2x．（3）先求出()f x单调增区间为,,36k kk Zππππωωωω⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，因此存在k Z∈，使得002,,3336k k ππππππωωωω⎛⎫⎛⎫⊆-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，从而0031,{ 614.k k ωω≤++≥，根据不等式的形式和0ω>可得00k =，因此104ω<≤．解析：（1）())2cos cos 1cos2f x a b xx x x x =⋅=+-=+2sin 26x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 因为π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以22663x πππ≤+≤，所以1s i n 2126x π⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭，所以()()max min 2,1f x f x ==．（2）因为()065f x =，所以0π62sin 265x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以0π3sin 265x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因为0ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以0272366x πππ≤+≤，所以04cos 265x π⎛⎫+==-⎪⎝⎭，所以00001cos2cos 22sin 266626x x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦413525⎛⎫=-+⨯=⎪⎝⎭． （3）()πsin 26f x x ωω⎛⎫=+⎪⎝⎭，令222,,262k x k k Z ππππωπ-≤+≤+∈ 得36k k x ππππωωωω-≤≤+，因为函数()f x 在π2π,33⎛⎫⎪⎝⎭上是单调递增函数， 所以存在0k Z ∈，使得002,,3336k k ππππππωωωω⎛⎫⎛⎫⊆-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以有00,33{ 2.63k k πππωωπππωω-≤+≥ 即0031,{614.k k ωω≤++≥，因为0,ω>所以01,6k >- 又因为2123322πππω-≤⋅， 所以302ω<≤, 所以05.6k ≤从而有01566k -<≤，所以00k =，所以10.4ω<≤ （另解：由2123322πππω-≤⋅，得302ω<≤.因为2,33x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以242,63636x πωππωππω⎛⎫+∈++ ⎪⎝⎭，所以4362ωπππ+≤或23362ωπππ+≥，解得104ω<≤或2ω≥.又302ω<≤，所以10.4ω<≤）点睛：对于函数()()()sin 0,0f x A x A ωϕω=+>>，如果它在区间(),a b 上单调，那么基本的处理方法是先求出()f x 单调区间的一般形式，利用(),a b 是单调区间的子集得到ω满足的不等式组，利用0ω>和不等组有解确定整数k 的取值即可． 20．已知函数()(),f x x x a bx a b R =-+∈．（1）当1b =-时，函数()f x 恰有两个不同的零点，求实数a 的值； （2）当1b =时，① 若对于任意[]1,3x ∈，恒有()f x x≤a 的取值范围；② 若0a >，求函数()f x 在区间[]0,2上的最大值()g a ． 【答案】(1) 1a =±；(2)①.0a ≤≤②. ()()262,05,1{,53, 422, 3.a a a g a a a a -<<+=≤<-≥【解析】试题分析：（1）当1b =-时，考虑()0f x =的解，化简后得到0x =或者1x a -=，它们共有两个不同的零点，所以1x a -=必有解0x =，从而1a =±．（2）()f x x≤[]1,3上恒成立等价于1{1a x a x ≤+≥-，．在[]1,3上恒成立，因此考虑1y x =+在[]1,3上的最小值和1y x =-在[]1,3上的最大值即可得到a 的取值范围．（3）()f x 可化为()()()221(,4{1(,4x x a x a f x a x a +-+≤=-->，．，则当01a <≤或3a ≥ 时， ()f x 在[]0,2上递增；当23a ≤<时， ()f x 在10,2a +⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在1,22a +⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，两类情形都可以求得函数的最大值．当12a <<时， ()y f x =在10,2a +⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在1,2a a +⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在[],2a 上单调递增，因此()()1m a x ,22a g a f f ⎧⎫+⎛⎫=⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭，比较()1,22a f f +⎛⎫ ⎪⎝⎭的大小即可得到()g a 的表达式．解析：（1）当1b =-时， ()()1f x x x a x x x a =--=--，由()0f x =解得0x =或1x a -=，由1x a -=解得1x a =+或1x a =-．因为()f x 恰有两个不同的零点且11a a +≠-，所以10a +=，或 10a -=，所以1a =±． （2）当1b =时， ()f x x x a x =-+， ①因为对于任意[]1,3x ∈，恒有()f x x≤， 即x x a xx-+≤1x a -≤，因为[]1,3x ∈时，10>，所以1111xx -≤+-， 即恒有1{1a x a x ≤+≥-，．令t 当[]1,3x ∈时，t ⎤∈⎦，21x t =-，所以())2221122121322x t t +-=+-=+-≥+-=， 所以()2211211x t t t -++=-=-≤， 所以0a ≤≤②1︒ 当01a <≤时，110,22a a a -+≤≥， 这时()y f x =在[]0,2上单调递增，此时()()262g a f a ==-； 2︒ 当12a <<时， 110222a a a -+<<<<， ()y f x =在10,2a +⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在1,2a a +⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在[],2a 上单调递增， 所以()()1max ,22a g a f f ⎧⎫+⎛⎫=⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭， ()()211,26224a a f f a ++⎛⎫==- ⎪⎝⎭， 而()()()22111023262244a a aa f f a +++-⎛⎫-=--=⎪⎝⎭()25484a +-=，当15a <<时， ()()262g a f a ==-;当52a ≤<时， ()()21124a a g a f ++⎛⎫== ⎪⎝⎭； 3︒ 当23a ≤<时，11222a a a -+<<≤， 这时()y f x =在10,2a +⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在1,22a +⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，此时()()21124a a g a f ++⎛⎫==⎪⎝⎭； 4︒ 当3a ≥时，122a +≥， ()y f x =在[]0,2上单调递增，此时()()222g a f a ==-； 综上所述， []0,2x ∈时， ()()262,05,1{,53, 422, 3.a a a g a a a a -<<+=≤<-≥点睛：（1）若()()f x g x <对任意的x D ∈恒成立，则有()()()(){f xg x f x g x <>-对任意的x D ∈恒成立．（2）对于含有绝对值符号的函数，我们可以考虑先去掉绝对值符号，把它转化分段函数且不同范围上的解析式是熟悉的形式（如二次函数等），然后依据对称轴和分段点的大小关系分类讨论即可，最后再根据单调性的变化进一步细分，从而完成问题的讨论．。