复旦附中高二下学期期末数学试卷及答案
2020-2021学年上海市复旦附中高二下学期期末数学复习卷
2020-2021学年上海市复旦附中高二下学期期末数学复习卷一、单选题（本大题共4小题，共20.0分） 1.双曲线x 2a2−y 2b 2=1的左、右焦点为F 1，F 2，直线x =a2与双曲线的渐近线交于点P ，过点P 且与x轴平行的直线交双曲线右支于点M ，过点M 做x 轴的垂线，垂足为N ，若F 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3NF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则双曲线的离心率为( )A. √55B. √52C. 2√55D. √52.在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是棱BB 1、B 1C 1的中点，则异面直线AM 与DN 所成角的余弦值等于( )A. 12B. 2√55C. √55D. 3√5103.从1，2，3，4，5，6，7这七个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数，其中奇数的个数为( )A. 432B. 288C. 216D. 1084.命题“存在x ≥2，使x 2≥4”的否定是( )A. 对任意x ≥2，都有x 2<4B. 对x <2，都有x 2≥4C. 存在x ≥2，使x 2<4D. 存在x <2，使x 2≥4二、单空题（本大题共12小题，共54.0分） 5.全集U =R ，A ={x|−2≤x ≤1}，B ={x|−1≤x ≤3}，则A ∪B = ______ ，B ∪(∁U A)= ______ ．6. log 123，(13)0.2，2 13三个数中最大的数是______ ．7.某综艺节目在某一期节目中邀请了6位明星，在其中一个游戏环节，需要两位明星先后参与，已知在该轮游戏中甲、乙两位明星至多一人参与，若甲明星参与，甲必须先进行游戏，则不同的参与方案有______ 种．8. 二项式(3√x −1)6的展开式中各项系数的和是______． 9.已知直线l ，m ，n ，平面α，，则“l ⊥α”是“l ⊥m ，且l ⊥n ”的____________条件．(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”之一) 10. 经过点A(3,0)，且与直线2x +y −5=0垂直的直线是______ ．11. 已知复数z =(1+3i)(x −2i)为纯虚数，其中i 为虚数单位，则实数x 的值为 .12.已知数据a1，a2，a3，…a n的方差为9，则数据ka1+b，ka2+b，ka3+b，…，ka n+b，(kb≠0)的标准差为______ ．13.已知集合A={1,2，3，4，5}，恰含有一个奇数的子集个数为______．14.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点，过点A，P，Q的平面截正方体所得的截面为S，当CQ=1时，S的面积为______．15.连掷两次骰子得到的点数分别为m和n，若记向量a=(m,n)与向量b=(1,−2)的夹角为θ，则θ为锐角的概率是________．16.已知A n m=2C n m=272(m,n∈N∗)，则m+n=______ ．三、解答题（本大题共5小题，共76.0分）17.图1是一个正方体的表面展开图，MN和PB是两条面对角线，请在图2的正方体中将MN和PB画出来，并就这个正方体解决下列问题(1)求证：MN//平面PBD；(2)求证：AQ⊥平面PBD；(3)求二面角P−DB−M的余弦值．18.(1)求(2−√x)8展开式中不含x4项的系数的和；(2)若C 32+C 42+C 52+⋯+C n2=363，求自然数n的值．19.已知曲线C：x2−y2=1及直线l：y=kx−1．(1)若l与C左支交于两个不同的交点，求实数k的取值范围；(2)若l与C交于A、B两点，O是坐标原点，且△AOB的面积为√2，求实数k的值．20.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦距为2√2，连接其四个顶点构成的四边形的面积为2√3．(1)求椭圆C的方程；(2)设A，B是C上关于原点对称的两点，且A，B不在x轴上，则在x轴上是否存在一点M，使得直线MA与直线MB的斜率积k MA⋅k MB为定值？若存在，求出点M的坐标及定值；若不存在，请说明理由．21.在数列{a n}中，a1=2，点P(a n,a n+1)在函数y=2x+1的图象上．(1)求证：数列{a n+1}是等比数列；(2)求数列{a n}的通项公式；(3)若b n=na n，求数列{b n}的前n项和S n．【答案与解析】1.答案：D解析：解：双曲线的一条渐近线方程为bx −ay =0， x =a2时，y =b2，代入x 2a 2−y 2b 2=1，可得M 的横坐标为√52a ， ∵过点M 做x 轴的垂线，垂足为N ，若F 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3NF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴√52a +c =3(c −√52a)， ∴e =ca =√5． 故选：D ．双曲线的一条渐近线方程为bx −ay =0，求出M 的横坐标，可得N 的横坐标，利用F 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3NF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，确定a ，c 的关系，即可求出双曲线的离心率．本题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，正确找出a ，c 的关系是关键．2.答案：B解析：以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AM 与DN 所成角的余弦值．本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间角等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．解：以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中棱长为2，则A(2,0，0)，M(2,2，1)，D(0,0，0)，N(1,2，2)， AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2，1)，DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2，2)， 设异面直线AM 与DN 所成角为θ， 则cosθ=|AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=6√5×√9=2√55． ∴异面直线AM 与DN 所成角的余弦值为2√55．故选：B ．3.答案：C解析：，故选C．4.答案：A解析：本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查．直接利用特称命题的否定是全称命题，写出结果即可．解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“存在x≥2，使x2≥4”的否定是：对任意x≥2，都有x2<4．故选A．5.答案：[−2,3]；(−∞,−2)∪[−1，+∞)解析：解：∵全集U=R，A={x|−2≤x≤1}=[−2,1]，B={x|−1≤x≤3}=[−1,3]，∴C U A=(−∞,−2)∪(1,+∞)，∴A∪B=[−2,3]∴B∪(C U A)=(−∞,−2)∪[−1，+∞)，故答案为：[−2,3]，(−∞,−2)∪[−1，+∞)求出A的补集，找出B与A并集合和集合B与A补集的并集即可本题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．6.答案：2 13解析：解：log 123<0，(13)0.2∈(0,1)，2 13>1，则三个数中最大的数是2 13，故答案为：2 13．log 123<0，(13)0.2∈(0,1)，2 13>1，即可得出．本题查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7.答案：24解析：解：根据题意，分3种情况讨论，①、若只有甲参与游戏，只需在除甲乙之外的4人中任取1人，在甲之后进行活动，有C41=4种方案，②、若只有乙参与游戏，只需在除甲乙之外的4人中任取1人，在乙之前或之后进行活动，有2C41=8种方案，③、若甲乙两人都没有参加游戏，则需要在除甲乙之外的4人中任取2人，先后进行活动，有A42=12种方案，则共有4+8+12=24种不同的方案；故答案为：24．根据题意，甲、乙两位明星至多一人参与活动，可以分3种情况进行讨论：①、若只有甲参与游戏，②、若只有乙参与游戏，③、若甲乙两人都没有参加游戏，分别求出每种情况下的方案数目，由分类计数原理计算可得答案．本题考查排列、组合的运用，解题的关键是根据“甲、乙两位明星至多一人参与活动”包含的情况，进行分情况讨论．8.答案：64解析：解：令x=1，得二项式(3√x−1)6的展开式中各项系数的和是：(3−1)6=64．故答案为：64．利用赋值法，令x=1，即可求出二项式展开式的各项系数和．本题考查了二项式展开式的各项的二项式系数和的应用问题，是基础题目．9.答案：充分不必要解析：解：∵l⊥α由线面垂直的定义知：l⊥m，且l⊥n．又∵由线面垂直的判定定理知l⊥m，且l⊥n推不出l⊥α．∴“l⊥α”是“l⊥m，且l⊥n”的充分不必要条件．故答案为：充分不必要．10.答案：x−2y−3=0解析：解：设所求直线的方程为x−2y+c=0，把点(3,0)代入直线方程可得3+c=0，∴c=−3，故所求直线的方程为：x−2y−3=0，故答案为：x−2y−3=0．根据垂直关系设所求直线的方程为x−2y+c=0，把点(3,0)代入直线方程求出c的值，即可得到所求直线的方程．本题主要考查两直线垂直的性质，两直线垂直斜率之积等于−1，用待定系数法求直线的方程．11.答案：−6解析：试题分析：，因为复数z为纯虚数，所以则x=−6．考点：复数的乘除和乘方12.答案：3|k|解析：根据一组数据的方差公式，求出对应数据的方差，再求标准差即可．本题考查了方差与标准差的计算与应用问题，是基础题目．解：∵数据a1，a2，a3，…a n的方差为9，∴数据ka1+b，ka2+b，ka3+b，…，ka n+b的方差为9k2，∴它的标准差为3|k|．故答案为：3|k|．13.答案：12解析：解：集合A={1,2，3，4，5}，恰含有一个奇数的子集有：{1}，{1,2}，{1,2，4}，{1,4}，{3}，{3,2}，{3,4}，{3,2，4}，{5}，{5,2}，{5,4}，[5,2，4}，共12个．故答案为：12．利用列举法能求出集合A={1,2，3，4，5}，恰含有一个奇数的子集个数．本题考查子集的求法，考查子集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14.答案：√62解析：解：当CQ=1时，C1与Q重合，取A1D1中点E，则菱形APC1E就是过点A，P，Q的平面截正方体所得的截面，AC1=√3，PE=√2，∴过点A，P，Q的平面截正方体所得的截面为：S=12×AC1×PE=√62．故答案为：√62．当CQ=1时，C1与Q重合，取A1D1中点E，则菱形APC1E就是过点A，P，Q的平面截正方体所得的截面，由此能求出过点A，P，Q的平面截正方体所得的截面的面积．本题考查正方体的截面面积的求法，考查正方体的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．15.答案：解析：连掷两次骰子得到的点数记为(m,n)，其结果有36种情况．若向量a =(m,n)与向量b =(1,−2)的夹角θ为锐角，则满足这个条件的有6种情况．故θ为锐角的概率是16.答案：19解析：解：∵272=17×16，∵A n m =2C n m =272， ∴A n m =17×16，C n m =2722=17×162，则n =17，m =2， 故m +n =19， 故答案为：19根据组合数和排列数公式，进行求解即可．本题主要考查排列数和组合数公式的应用，比较基础．17.答案：(1)证明：在正方体ABCD −PMQN 中∵MN//BD ， ∴MN//平面PBD(2)证明：在正方体ABCD −PMQN 中， ∵BD ⊥AC ，BD ⊥CQ ，AC ∩CQ =C ∴BD ⊥平面ACQ ∴BD ⊥AQ ，同理可证：PD ⊥AQ ， ∵BD ∩PD =D ， ∴AQ ⊥平面PBD(3)解：建立空间直角坐标系如图所示，设正方体的棱长为1 则 A(1,0，0)，Q(0,1，1)，C(0,1，0) 由知平面PBD 的一个法向量是AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1，1) 平面MBD 的一个法向量是AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1，0) ∴cos <AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ >=AQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |AQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√3⋅√2=√63∴二面角P −DB −M 的余弦值为 √63．解析：(1)画出MN 和PB 如图所示，求证：MN//平面PBD ，只需证MN//BD ； (2)只需证BD ⊥AQ ，PD ⊥AQ ，通过直线与平面垂直的判定定理证明：AQ ⊥平面PBD ． (3)建立空间直角坐标系如图所示，设正方体的棱长为1，求出相关点的坐标，利用平面的法向量求出二面角的余弦函数值．综合法求二面角，往往需要作出平面角，这是几何中一大难点，而用向量法求解二面角无需作出二面角的平面角，只需求出平面的法向量，经过简单运算即可，从而体现了空间向量的巨大作用．二面角的向量求法：①若AB 、CD 分别是二面α−l −β的两个半平面内与棱l 垂直的异面直线，则二面角的大小就是向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角； ②设n 1⃗⃗⃗⃗ ，n 2⃗⃗⃗⃗ 分别是二面角α−l −β的两个面α，β的法向量，则向量n 1⃗⃗⃗⃗ ，n 2⃗⃗⃗⃗ 的夹角(或其补角)的大小就是二面角的平面角的大小．18.答案：解：(1)令x =1得(2−√x)8展开式中的各项系数和为1，而含x 4项的系数为C 8820(−1)8=1， 故(2−√x)8展开式中不含x 4项的系数的和为1−1=0．(2)∵C 32+C 42+C 52+⋯+C n 2=C 53+C 52+⋯+C n 2=C n+13=364，∴n =13．解析：(1)令x =1得(2−√x)8展开式中的各项系数和为1，再求得含x 4项的系数，可得(2−√x)8展开式中不含x 4项的系数的和．(2)由条件利用二项式系数的性质，求得自然数n 的值．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题． 19.答案：解：(1)由{x 2−y 2=1y =kx −1消去y ，得(1−k 2)x 2+2kx −2=0． ∵l 与C 左支交于两个不同的交点∴{1−k 2≠0△=4k 2+8(1−k 2)>0 且 x 1+x 2=−2k 1−k 2<0，x 1x 2=−21−k 2>0 ∴k 的取值范围为 (−√2,−1) (2)设A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)，由(1)得 x 1+x 2=−2k1−k 2，x 1x 2=−21−k 2． 又l 过点D(0,−1)， ∴S △OAB =12|x 1−x 2|=√2．∴(x 1−x 2)2=(2√2)2，即(−2k1−k 2)2+81−k 2=8． ∴k =0或k =±√62．解析：(1)将直线与双曲线联立，利用l 与C 左支交于两个不同的交点，结合韦达定理，建立不等式，从而可求实数k 的取值范围；(2)利用韦达定理，结合△AOB 的面积为√2，可建立k 的方程，从而可求实数k 的值．本题重点考查直线与双曲线的位置关系，考查韦达定理的运用，考查三角形面积的计算，综合性强．20.答案：解：(1)由题意可知c =√2，12×2a ×2b =2√3，因此a =√3，b =1，所以椭圆的C 的方程x 23+y 2=1；(2)在x 轴上存在一点M(±√3,0).使得直线MA 与直线MB 的斜率积k MA ⋅k MB 为定值． 理由如下：假设存在x 轴上是存在一点M(m,0)，使得k MA ⋅k MB 为定值， 设A(x 1,y 1)，则B(−x 1,−y 1)，则由题意可得k MA =y 1x 1−m ，k MB=−y 1−x1−m，即k MA ⋅k MB =y 12x 12−m 2，由y 12=3−x 123，所以k MA ⋅k MB =y 12x 12−m 2=−13⋅x 12−3x 12−m 2，所以当m 2=3时，k MA ⋅k MB =−13，此时M 的坐标为(±√3,0)，所以在x 轴上是存在一点M(±√3,0)，使得直线MA 与直线MB 的斜率积k MA ⋅k MB 为定值． 解析：(1)根据椭圆的性质，即可求得a 和b 的值，即可求得椭圆C 的方程； (2)根据题意，利用直线的斜率公式即可求得当m 2=3时，k MA ⋅k MB =−13．本题考查椭圆的标准方程，考查直线的斜率公式，考查点差法的应用，考查计算能力，属于基础题．21.答案：(1)证明：∵点P(a n ,a n+1)在函数y =2x +1的图象上，∴a n+1=2a n +1，∴a n+1+1=2a n +2=2(a n +1)，∴数列{a n +1}是以3为首项，2为公比的等比数列； (2)解：令C n =a n +1， ∴C 1=a 1+1=3 ∵{C n }是等比数列， ∴C n =3⋅2n−1 即a n +1=3⋅2n−1∴a n=3⋅2n−1−1；(3)解：b n=na n=3n⋅2n−1−n令d n=3n⋅2n−1令S1=3×1+6×2+9×4+⋯+3(n−1)2n−2+3n⋅2n−12S1=3×2+6×4+9×8+⋯+3(n−2)⋅2n−2+3(n−1)⋅2n−1+3n⋅2n∴S1=3n⋅2n−(3+6+12+⋯+3⋅2n−2+3⋅2n−1)=3n⋅2n−3(1−2n)1−2=3(n−1)⋅2n+3，∴S n=S1−n(n+1)2+3．=3(n−1)⋅2n−n(n+1)2解析：(1)将a n+1=2a n+1两边加1，可得a n+1+1=2(a n+1)，应用等比数列的定义，即可得证；(2)由(1)令C n=a n+1，由等比数列的通项，得到Cn的通项，从而得到an；(3)应用分组求和、错位相减法，首先将3n⋅2n−1−n分成{3n⋅2n−1}、{−n}两组求和，运用错位相减法，求出第一组的和，再由等差数列的求和公式求出第二组的和，再相加即可．本题考查数列的通项和求和，主要考查等比数列的通项公式及应用，和分组求和、错位相减法求和，属于中档题．。
2017-2018学年上海市复旦附中高二(下)期末数学试卷(解析版)
2017-2018学年上海市复旦附中高二（下）期末数学试卷一、选择题（本大题共4小题，共16.0分） 1. 在(√2x +√33)2018的展开式中，系数为有理数的系数为( )A. 336项B. 337项C. 338项D. 1009项 【答案】A【解析】解：根据题意，(√2x +√33)2018的展开式的通项为T r+1=C 2018r (√2x)2018−r (√33)r =C 2018r ×22018−r 2⋅3r3×x 2018−r ；其系数为C 2018r C 2018r ×22018−r 2⋅3r3，若系数为有理数，必有r =6n ，(n =1、2……、336) 共有336项， 故选：A ．根据题意，求出(√2x +√33)2018的展开式的通项，即可得项的系数，进而分析可得若系数为有理数，必有r =6n ，(n =1、2、……、336)，即可得答案．本题考查二项式定理的应用，关键是掌握二项式定理的形式，属于基础题．2. 如图，某几何体的三视图是三个边长为1的正方形，及每个正方形中的一条对角线，则该几何体的表面积是( ) A. 4+√2B. 9+√32C. 3+√32D. 3+√2【答案】B【解析】解：几何体的直观图如图：所以几何体的表面积为：3+3×12×1×1+√34×(√2)2=9+√32．故选：B ．画出几何体的直观图，利用三视图的数据，求解几何体的表面积即可． 本题考查三视图求解几何体的表面积，判断几何体的形状是解题的关键．3. 定义“规范01数列”{a n }如下：{a n }共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意k ≤2m ，a 1，a 2，…，a k 中0的个数不少于1的个数，若m =4，则不同的“规范01数列”共有( ) A. 18个 B. 16个 C. 14个 D. 12个 【答案】C【解析】解：由题意可知，“规范01数列”有偶数项2m 项，且所含0与1的个数相等，首项为0，末项为1，若m =4，说明数列有8项，满足条件的数列有：0，0，0，0，1，1，1，1； 0，0，0，1，0，1，1，1； 0，0，0，1，1，0，1，1； 0，0，0，1，1，1，0，1； 0，0，1，0，0，1，1，1；0，0，1，0，1，0，1，1； 0，0，1，0，1，1，0，1； 0，0，1，1，0，1，0，1； 0，0，1，1，0，0，1，1； 0，1，0，0，0，1，1，1；0，1，0，0，1，0，1，1； 0，1，0，0，1，1，0，1； 0，1，0，1，0，0，1，1； 0，1，0，1，0，1，0，1.共14个． 故选：C ． 由新定义可得，“规范01数列”有偶数项2m 项，且所含0与1的个数相等，首项为0，末项为1，当m =4时，数列中有四个0和四个1，然后一一列举得答案．本题是新定义题，考查数列的应用，关键是对题意的理解，枚举时做到不重不漏，是压轴题．4. 已知椭圆方程为x 24+y225=1，将此椭圆绕y 轴旋转一周所得的旋转体的体积为V 1，满足{y ≥−50≤x ≤2y ≤52x的平面区城绕y 轴旋转一周所得的旋转体的体积为V 2，则( )A. V 2=V 1B. V 2=32V 1C. V 2=54V 1D. V 2，V 1无明确大小关系【答案】C【解析】解：在同一平面直角坐标系中画出椭圆与旋转体如图，椭圆绕y 轴旋转一周所得的旋转体为椭球，其体积为V 1=43π×2×2×5=80π3；满足{y ≥−50≤x ≤2y ≤52x的平面区城阴影部分绕y 轴旋转一周所得的旋转体是圆柱挖去一个圆锥，其体积V 2=π×22×10−13×π×22×5=100π3．∴V 2=54V 1．故选：C ．由题意画出图形，分别求出椭圆绕y 轴旋转一周所得的旋转体的体积为V 1与满足{y ≥−50≤x ≤2y ≤52x 的平面区城绕y轴旋转一周所得的旋转体的体积为V 2，则答案可求．本题主要考查旋转体的体积的大小比较，考察学生的计算能力，是中档题．二、填空题（本大题共11小题，共44.0分）5. 已知a ，b ∈{0,1，2，3}，则不同的复数z =a +bi 的个数是______． 【答案】16【解析】解：当a=b时，复数z=a+bi的个数是4个；当a≠b时，由排列数公式可知，组成不同的复数z=a+bi的个数是A42=12个.∴不同的复数z=a+bi的个数是16个．故答案为：16．分a=b和a≠b结合排列数公式求解．本题考查排列及排列数公式，是基础题．6.一个竖直平面内的多边形，用斜二测画法得到的水平放置的直观图是一个边长为√2的正方形，该正方形有一组对边是水平的，则原多边形的面积是______．【答案】4√2【解析】解：该多边形的直观图是一个边长为√2的正方形，正方形的面积为S正方形=(√2)2=2，∴原多边形的面积是2×2√2=4√2．故答案为：4√2．根据斜二测画法中原平面图形与直观图的面积比是2√2：1，计算即可．本题考查了斜二测画法中原平面图形与直观图的面积比应用问题，是基础题．7.已知(1−2x)2018=a0+a1x+a2x2+⋯+a 2018x2018则|a0|+|a1|+|a2|+⋯+|a2018|=______．【答案】32018【解析】解：根据题意，(1−2x)2018中，其展开式的通项为T r+1=C2018r(−2x)r，又由(1−2x)2018=a0+a1x+a2x2+⋯+a 2018x2018，则a1、a3、……a2017为负值，则在(1−2x)2018中，令x=−1可得：32018=a0−a1+a2−a3+⋯…+a2017−a2018，又由a1、a3、……a2017为负值，则|a0|+|a1|+|a2|+⋯+|a2018|=a0−a1+a2−a3+⋯…+a2017−a2018=32018，故答案为：32018．根据题意，由二项式定理分析可得(1−2x)2018的展开式的通项，分析可得a1、a3、……a2017为负值，在(1−2x)2018中，令x=−1可得：32018=a0−a1+a2−a3+⋯…+a2017−a2018，分析可得答案．本题考查二项式定理的应用，注意二项式定理的形式，属于基础题．8.已知球的体积是V，则此球的内接正方体的体积为______．【答案】2√3V3π【解析】解：设球的半径为R，球内接正方体的棱长为a，则球的体积是V=43πR3，∴R=33V4π；又球的内接正方体的体对角线是球的直径，即3a2=4R2，∴a=√43R；∴正方体的体积为V正方体=(√43R)3=3√3×3V4π=2√3V3π．故答案为：2√3V3π．设球的半径为R，球内接正方体的棱长为a，根据题意知球内接正方体的体对角线是球的直径，得出a与R的关系，再计算正方体的体积．本题考查了球与其内接正方体的关系应用问题，是基础题．9.点A(1,2，1)，B(3,3，2)，C(λ+1,4，3)，若AB⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为锐角，则λ的取值范围为______．【答案】(−2,4)∪(4,+∞)【解析】解：AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1，1)，AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(λ,2，2)，∵AB⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为锐角，∴AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ =2λ+2+2>0，且不能同向共线．解得λ>−2，λ≠4．则λ的取值范围为(−2,4)∪(4,+∞)．故答案为：(−2,4)∪(4,+∞)．AB⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为锐角，可得AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ >0，且不能同向共线.解出即可得出．本题考查了向量夹角公式、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．10.若一个圆柱的侧面展开图是正方形，则这个圆柱的全面积与侧面积的比是______．【答案】1+2π2π【解析】解：可以设该侧面的正方形边长为A，则S侧面积=A2全面积S=A2+2π(A2π)2则圆柱的全面积与侧面积的比S全面积S侧面积=(1+2π2π)A2A2=1+2π2π故答案：1+2π2π由圆柱的侧面展开图是正方形，我们易得圆柱的高与底面周长相等，设侧面的正方形边长为A后，易分别计算出侧面积和全面积，代入计算后，易得结果．本题考查的是圆柱的表面积与侧面积，利用已知分别求出全面积和侧面积是解答本题的关键，另外全面积=侧面积+底面积×2，中易解为全面积=侧面积+底面积．11.正四面体ABCD的棱长为2，则所有与A，B，C，D距离相等的平面截这个四面体所得截面的面积之和为______．【答案】√3+3【解析】解：设E、F、G分别为AB、AC、AD的中点，连结EF、FG、GE，则△EFG是三棱锥A−BCD的中截面，可得平面EFG//平面BCD，点A到平面EFG的距离等于平面EFG与平面BCD之间的距离，∴A、B、C、D到平面EFG的距离相等，即平面EFG是到四面体ABCD四个顶点距离相等的一个平面；正四面体ABCD中，象△EFG这样的三角形截面共有4个．∵正四面体ABCD的棱长为2，可得EF=FG=GE=1，∴△EFG是边长为1的正三角形，可得S△EFG=12EF⋅FG⋅sin60∘=√34；取CD、BC的中点H、I，连结GH、HI、IE，∵EI、GH分别是△ABC、△ADC的中位线，∴EI−//12AC，GH−//12AC，得EI−//GH，∴四边形EGHI为平行四边形；又∵AC =BD 且AC ⊥BD ，EI−//12AC ，HI−//12BD ，∴EI =HI 且EI ⊥HI ，∴四边形EGHI 为正方形，其边长为12AB =1，由此可得正方形EGHI 的面积S EGHI =1；∵BC 的中点I 在平面EGHI 内，∴B 、C 两点到平面EGHI 的距离相等；同理可得D 、C 两点到平面EGHI 的距离相等，且A 、B 两点到平面EGHI 的距离相等； ∴A 、B 、C 、D 到平面EGHI 的距离相等，∴平面EGHI 是到四面体ABCD 四个顶点距离相等的一个平面，且正四面体ABCD 中，象四边形EGHI 这样的正方形截面共有3个， 因此，所有满足条件的正四面体的截面面积之和等于4S △EFG +3S EGHI =4×√34+3×1=√3+3．故答案为：√3+3．根据题意知到正四面体ABCD 四个顶点距离相等的截面分为两类：一类是由同一顶点出发的三条棱的中点构成的三角形截面，这样的截面有4个；另一类是与一组相对的棱平行，且经过其它棱的中点的四边形截面，这样的截面有3个； 作出示意图，求出所有满足条件的截面面积之和即可．本题考查了正四面体的性质、点到平面距离的定义、三角形面积与四边形形面积的求法等知识，是难题．12. 从集合{1,2，…，30}中取出五个不同的数组成单调递增的等差数列，则所有符合条件的不同的数列个数是______． 【答案】98【解析】解：根据题意，设满足条件的一个等差数列首项为a 1，公差为d ，必有d ∈N ∗． 则a 5=a 1+4d ，则d =a 5−a 14≤30−14=294，则d 的可能取值为1，2，3， (7)对于给定的d ，a 1=a 5−4d ≤30−4d ，当a 1分别取1，2，3，…，30−4d 时，可得递增等差数列30−4d 个(如：d =1时，a 1≤26，当a 1分别取1，2，3，…，26时，可得递增等差数列26个：1，2，3，4，5；2，3，…，6；…；26，27，…，30，其它同理)． 当d 取1，2，3，…，7时，可得符合要求的等差数列的个数为：12×(2+26)×7=98个；故答案为：98．根据题意，设满足条件的一个等差数列首项为a 1，公差为d ，d ∈N ∗.确定d 的可能取值为1，2，3，…，7，进而分析可得答案．本题考查合情推理的应用，涉及等差数列的性质，关键是确定d 的取值范围，属于偏难题．13. 在正三棱锥P −ABC 中，PA =2，AB =1，记二面角P −AB −C ，A −PC −B 的平面角依次为α，β，则3sin 2α−2cosβ=______． 【答案】2【解析】解：如图所示，作PO ⊥平面ABC ，连接CO 延长交AB 于点D ，连接PD ． 则D 为AB 的中点，CD ⊥AB ，∴AB ⊥PD ． ∴二面角P −AB −C 的平面角为∠PDO =α． ∵PD =√22−(12)2=√152，CD =√32，OD =13CD =√36， ∴OP =√PD 2−OD 2=√333． ∴sinα=OP PD =23√115．作AE ⊥PC ，垂足为E 点，连接BE ， ∵△PAC≌△PBC ， ∴BE ⊥PC ．∴∠AEB 为A −PC −B 的平面角β， ∵cos∠PCA =12+22−222×1×2=14．∴AE =AC ⋅sin∠PCA =1×√1−(14)2=√154． 在△AEB 中，cosβ=AE 2+BE 2−AB 22×AE×BE =715．∴3sin 2α−2cosβ=3×(23√115)2−2×715=2．故答案为：2．如图所示，作PO ⊥平面ABC ，连接CO 延长交AB 于点D ，连接PD.可得D 为AB 的中点，CD ⊥AB ，AB ⊥PD.于是二面角P −AB −C 的平面角为∠PDO =α.作AE ⊥PC ，垂足为E 点，连接BE ，根据△PAC≌△PBC ，可得BE ⊥PC.可得∠AEB 为A −PC −B 的平面角β，利用余弦定理等即可得出．本题考查了正三棱锥的性质、正三角形的性质、余弦定理勾股定理、二面角、三角形全等，考查了推理能力与计算能力，属于难题．14. 如图，顶点为P 的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，母线PA =4，O 是底面圆心，B 是底面圆内一点，且AB ⊥OB ，C 为PA 的中点，OD ⊥PB ，垂足为D ，当三棱锥O −PCD 的体积最大时，OB =______． 【答案】2√63【解析】解：AB ⊥OB ，可得PB ⊥AB ，即AB ⊥面POB ，所以面PAB ⊥面POB ． OD ⊥PB ，则OD ⊥面PAB ，OD ⊥DC ，OD ⊥PC ，又，PC ⊥OC ，所以PC ⊥面OCD.即PC 是三棱锥P −OCD 的高.PC =OC =2． 而△OCD 的面积在OD =DC =√2时取得最大值(斜边=2的直角三角形)． 当OD =√2时，由PO =2√2，知∠OPB =30∘，OB =POtan30∘=2√63．故答案为：2√63． 画出图形，说明PC 是三棱锥P −OCH 的高，△OCH 的面积在OD =DC =√2时取得最大值，求出OB 即可．本题考查圆锥的结构特征，棱锥的体积等知识，考查空间想象能力，是中档题．15. 已数列{a n }，令b k 为a 1，a 2，…，a k 中的最大值(k =1,2，…，n)，则称数列{b n }为“控制数列”，数列{b n }中不同数的个数称为“控制数列”{b n }的“阶数”.例如：{a n }为1，3，5，4，2，则“控制数列”{b n }为1，3，5，5，5，其“阶数”为3，若数列{a n }由1，2，3，4，5，6构成，则能构成“控制数列”{b n }的“阶数”为2的所有数列{a n }的首项和是______．【答案】1044【解析】解：依题意得，首项为1的数列有1，6，a，b，c，d，故有A44=24种，首项为2的数列有2，1，6，b，c，d，或2，6，a，b，c，d，故有A44+A33=30种，首项为3的数列有3，6，a，b，c，d，或3，1，6，b，c，d，或3，2，6，b，c，d或3，1，6，c，d或，3，2，1，6，c，d，故有A44+2A33+2A22=40种，首项为4的数列有24+18+12+6=60种，即4，6，a，b，c，d，有A44=24种，4，1，6，b，c，d，或4，2，6，b，c，d，或4，3，6，b，c，d，有3A33=18种，4，a，b，6，c，d，(其中a，b∈{1,2，3})，则有A32A22=12种，4，a，b，c，6，d，(其中a，b，c∈{1,2，3})，则有6种，首项为5的数列有24×5=120种，即5，6，a，b，c，d，有A44=24种，5，1，6，b，c，d，或5，2，6，b，c，d，或5，3，6，b，c，d，或5，4，6，b，c，d有4A33=24种，5，a，b，6，c，d，(其中a，b∈{1,2，3，4})，则有A42A22=24种，5，a，b，c，6，d，(其中a，b，c∈{1,2，3，4})，则有24种，5，a，b，c，d，6，(其中a，b，c，d∈{1,2，3，4})，则有24种，综上，所有首项的和为24×1+30×2+40×3+60×4+120×5=1044．故答案为：1044由新定义，分别利用排列组合，求出首项为1，2，3，4，5的所有数列，再求出和即可．本题考查了排列组合问题，考查了新定义问题，考查了运算能力和转化能力，属于难题三、解答题（本大题共6小题，共60.0分）16.已知(ax −√x2)9的展开式中，x3的系数为94，则常数a的值为______．【答案】4【解析】解：(ax −√x2)9的展开式中，通项公式为Tr+1=C9r⋅(√2)−r⋅(−1)r⋅a9−r⋅x3r2−9，令3r2−9=3，求得r=8，故x3的系数为C98⋅116a=94，∴a=4，故答案为：4．先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0=3，求得r的值，即可求得展开式中x3的系数，再由x3的系数为94，求得a的值．本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．17.已知空间向量a⃗与b⃗ 的夹角为arccos√66，且|a⃗|=√2，|b⃗ |=√3，令m⃗⃗⃗ =a⃗−b⃗ ，n⃗=a⃗+2b⃗ ．(1)求a⃗，b⃗ 为邻边的平行四边形的面积S；(2)求m⃗⃗⃗ ,n⃗的夹角θ．【答案】解：(1)根据条件，cos<a⃗,b⃗ >=√66；∴sin<a⃗,b⃗ >=√306；∴S=|a⃗||b⃗ |sin<a⃗,b⃗ >=√2×√3×√306=√5；(2)m⃗⃗⃗ ⋅n⃗=(a⃗−b⃗ )⋅(a⃗+2b⃗ )=a⃗2+a⃗⋅b⃗ −2b⃗ 2=2+√2×√3×√66−2×3=−3；|m⃗⃗⃗ |=√(a⃗−b⃗ )2=√a⃗2−2a⃗⋅b⃗ +b⃗ 2=√2−2+3=√3，|n⃗|=√(a⃗+2b⃗ )2=√2+4+12=3√2；∴cos<m⃗⃗⃗ ,n⃗>=m⃗⃗⃗ ⋅n⃗⃗|m⃗⃗⃗ ||n⃗⃗ |=√3×3√2=−√66；∴m⃗⃗⃗ ,n⃗的夹角θ=arccos(−√66)．【解析】(1)根据向量a⃗,b⃗ 的夹角为arccos√66即可求出sin<a⃗,b⃗ >=√306，从而根据S=|a⃗||b⃗ |sin<a⃗,b⃗ >即可求出面积S；(2)根据条件即可求出m⃗⃗⃗ ⋅n⃗，|m⃗⃗⃗ |和|n⃗|的值，根据向量夹角的余弦公式，即可求出cos<m⃗⃗⃗ ,n⃗>，进而得出θ．考查向量夹角的概念，sin2α=1−cos2α，三角形的面积公式，向量数量积的运算，向量长度的求法，向量夹角的余弦公式．18.有3名女生和5名男生，按照下列条件排队，求各有多少种不同的排队方法？(1)3名女生排在一起；(2)3名女生次序一定，但不一定相邻；(3)3名女生不站在排头和排尾，也互不相邻；(4)每两名女生之间至少有两名男生；(5)3名女生中，A，B要相邻，A，C不相邻．【答案】解：(1)根据题意，分2步分析：①，3名女生看成一个整体，考虑其顺序有A33=6种情况，②，将这个整体与5名男生全排列，有A66=720种情况，则3名女生排在一起的排法有6×720=4320种；(2)根据题意，将8人排成一排，有A88种排法，由于3名女生次序一定，则有A88A33=6720种排法；(3)根据题意，分2步分析：①，将5名男生全排列，有A55=120种情况，②，除去两端，有4个空位可选，在其中任选3个，安排3名女生，有A43=24种情况，则3名女生不站在排头和排尾，也互不相邻的排法有120×24=2880种；(4)根据题意，将3名女生排成一排，有A33=6种情况，分2种情况讨论：①，两名女生之间有3名男生，另两名女生之间有2名男生，将5名男生分成3、2的两组，分别安排在3名女生之间，有6×C52×A22×A33×A22=1440种排法；②，任意2名女生之间都有2名男生，将5名男生分成2、2、1的三组，2个2人组安排在三名女生之间，1人安排在两端，有6×C52C32C11A22×A22×A22×A22×A21=1440种排法；则每两名女生之间至少有两名男生的排法有1440+1440=2880种；(5)根据题意，分2种情况分析：①，A、B、C三人相邻，则B在中间，A、C在两边，三人有A22=2种排法，将3人看成一个整体，与5名男生全排列，有A66=720种情况，则此时有2×720=1440种排法；②，A、B、C三人不全相邻，先将5名男生全排列，有A55=720种情况，将A、B看成一个整体，和C一起安排在5名男生形成的6个空位中，有720×A62×A22=4320种，则3名女生中，A，B要相邻，A，C不相邻的排法有1440+4320=5760种排法．【解析】(1)根据题意，用捆绑法分2步分析：①，3名女生看成一个整体，②，将这个整体与5名男生全排列，由分步计数原理计算可得答案；(2)根据题意，先计算8人排成一排的排法，由倍分法分析可得答案；(3)根据题意，分2步分析：①，将5名男生全排列，②，将3名女生安排在5名男生形成的空位中，由分步计数原理计算可得答案；(4)根据题意，分2种情况讨论：①，两名女生之间有3名男生，另两名女生之间有2名男生，②，任意2名女生之间都有2名男生，分别求出每种情况下的排法数目，由加法原理计算可得答案；(5)根据题意，分2种情况讨论：①，A 、B 、C 三人相邻，则B 在中间，A 、C 在两边，②，A 、B 、C 三人不全相邻，分别求出每种情况下的排法数目，由加法原理计算可得答案．本题考查排列、组合的应用，涉及分类、分步计数原理的应用，注意常见问题的处理方法，属于中档题．19. 在正四棱锥P −BCD 中，正方形ABCD 的边长为3√2，高OP =6，E 是侧棱PD 上的点且PE =13PD ，F是侧棱PA 上的点且PF =12PA ，G 是△PBC 的重心.如图建立空间直角坐标系． (1)求平面EFG 的一个法向量n ⃗ ；(2)求直线AG 与平面EFG 所成角θ的大小； (3)求点A 到平面EFG 的距离d ．【答案】解：(1)∵在正四棱锥P −BCD 中，正方形ABCD 的边长为3√2，高OP =6，E 是侧棱PD 上的点且PE =13PD ，F 是侧棱PA 上的点且PF =12PA ，G 是△PBC 的重心.如图建立空间直角坐标系．∴D(0,−6,0)，P(0,0，6)，E(0,−2,4)，A(6,0，0)，F(3,0，3)，B(0,6，0)，C(−6,0，0)，G(−2,2，2)， EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,2，−1)，EG ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,4，−2)，设平面EFG 的一个法向量n⃗ =(x,y ，z)， 则{n ⃗ ⋅EF⃗⃗⃗⃗⃗ =3x +2y −z =0n ⃗ ⋅EG ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2x +4y −2z =0，取y =1，得：平面EFG 的一个法向量n ⃗ =(0,1，2)． (2)AG⃗⃗⃗⃗⃗ =(−8,2，2)， 则sinθ=|cos <AG ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⃗ >|=|AG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||AG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√5⋅√72=√1010， ∴直线AG 与平面EFG 所成角θ=arcsin √1010．(3)EA⃗⃗⃗⃗⃗ =(6,2，−4)， ∴点A 到平面EFG 的距离d =|EA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=√5=6√55． 【解析】(1)建立空间直角坐标系，求出EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,2，−1)，EG ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,4，−2)，设平面EFG 的一个法向量n ⃗ =(x,y ，z)，由{n ⃗ ⋅EF⃗⃗⃗⃗⃗ =3x +2y −z =0n⃗ ⋅EG ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2x +4y −2z =0，能求出平面EFG 的一个法向量n⃗ ． (2)求出AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−8,2，2)，由sinθ=|cos <AG ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⃗ >|，能求出直线AG 与平面EFG 所成角θ． (3)求出EA⃗⃗⃗⃗⃗ =(6,2，−4)，由点A 到平面EFG 的距离d =|EA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||n ⃗⃗ |，能求出结果．本题考查平面的法向量、线面角、点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．20. 如图，在多面体ABCDEF 中，平面ADE ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是边长为2的正方形，△ADE 是等腰直角三角形且∠ADE =π2，EF ⊥平面ADE 且EF =1． (1)求异面直线AE 和DF 所成角的大小； (2)求二面角B −DF −C 的平面角的大小．【答案】解：∵平面ADE ⊥平面ABCD ，且∠ADE =π2，∴DE ⊥平面ABCD ，由四边形ABCD 是边长为2的正方形，∴DA ，DC ，DE 两两互相垂直，以D 为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，又EF ⊥平面ADE 且EF =1，∴D(0,0，0)，A(2,0，0)，E(0,0，2)，C(0,2，0)，B(2,2，0)，F(0,1，2)， (1)AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,0,2)，BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,−1,2)， 则cos <AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BF⃗⃗⃗⃗⃗ >=AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BF⃗⃗⃗⃗⃗ |AE⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|BF ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√2×3=2√23， ∴异面直线AE 和DF 所成角的大小为arccos2√23； (2)DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2,0)，DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,2)，设平面BDF 的一个法向量为n⃗ =(x,y,z)， 由{n ⃗ ⋅DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2x +2y =0n ⃗ ⋅DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =y +2z =0，取z =1，得n⃗ =(2,−2,1)， 又平面DFC 的一个法向量为m ⃗⃗⃗ =(1,0,0)， ∴cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ |m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=23×1=23． 由图可知，二面角B −DF −C 为锐角， ∴二面角B −DF −C 的平面角的大小为arccos 23．【解析】由已知可得DA ，DC ，DE 两两互相垂直，以D 为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系．(1)求出AE⃗⃗⃗⃗⃗ ,BF ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，利用数量积求夹角求解异面直线AE 和DF 所成角的大小； (2)分别求出平面BDF 与平面DFC 的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角B −DF −C 的平面角的大小．本题考查空间角的求法，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题．21. 设点F 1，F 2分别是椭园C ：x 22t 2+y 2t 2=1(t >0)的左、右焦点，且椭圆C 上的点到F 2的距离的最小值为2√2−2，点M ，N 是椭圆C 上位于x 轴上方的两点，且向量F 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与向量F 2N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 平行．(1)求椭圆C 的方程； (2)当F 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅F 2N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0时，求△F 1NF 2的面积；(3)当|F 2N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |−|F 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=4√23时，求直线F 2N 的方程． 【答案】解：(1)点F 1、F 2分别是椭圆C ：x 22t +y 2t =1(t >0)的左、右焦点， ∴a =√2t ，c =t ，∵椭圆C 上的点到点F 2的距离的最小值为2√2−2， ∴a −c =√2t −t =2√2−2， 解得t =2， ∴椭圆的方程为x 28+y 24=1；(2)由(1)可得F 1(−2,0)，F 2(2,0)， 点N 是椭圆C 上位于x 轴上方的点， 可设N(2√2cosθ,2sinθ)， ∴F 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2√2cosθ+2,2sinθ)，F 2N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2√2cosθ−2,2sinθ)， ∵F 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅F 2N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，∴(2√2cosθ+2)(2√2cosθ−2)+4sin 2θ=0， 解得cosθ=0，sinθ=1， ∴N(0,2)，∴△F 1NF 2的面积S =12|F 1F 2|⋅y N =12×4×2=4； (3)∵向量F 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与向量F 2N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 平行，∴λF 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =F 2N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∵|F 2N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |−|F 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=4√23， ∴(|λ|−1)|F 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=4√23，即|λ|>1，设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，∴λ(x 1+2)=x 2−2，y 2=λy 1，∴x 2=λx 1+2(λ+1)∵x 228+y 224=1，∴x 22+2y 22=8， ∴[λx 1+2(λ+1)]2+2λ2y 12=12λ2+8λ+4+4λ(λ+1)x 1=8， ∴4λ(λ+1)x 1=(1−3λ)(λ+1)，∴x 1=1−3λλ=1λ−3，∴y 12=4−(1−3λ)22λ2，则|F 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=(x 1+2)2+y 12=(1λ−3+2)2+4−(1−3λ)22λ2=(λ+1)22λ2， ∴|F 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2λ， ∴(λ−1)√2λ=4√23， ∴3λ2−8λ−3=0，解得λ=3，或λ=−13(舍去)．∴x 1=1λ−3=−83，y 12=4−(−8)22×9=49，∴y 1=23，则M(−83,23)，∴k F 1M =23−0−83−(−2)=−1，∵向量F 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与向量F 2N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 平行，∴F 2N 所在直线当斜率为−1， ∴直线F 2N 的方程为y −0=−(x −2)，即为x +y −2=0．【解析】(1)根据椭圆的简单性质可得a −c =√2t −t =2√2−2，求解t ，即可得到椭圆C 的方程；(2)可设N(2√2cosθ,2sinθ)，根据向量的数量积求出点N 的坐标，由三角形面积公式可得△F 1NF 2的面积；(3)向量F 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与向量F 2N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 平行，不妨设λF 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =F 2N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，根据坐标之间的关系，求得M 的坐标，再根据向量的模，即可求出λ的值，根据斜率公式求出直线F 1M 的斜率，根据直线平行和点斜式即可求出直线F 2N 的方程．题考查了椭圆的标准方程及其性质、向量的运算和及其斜率计算公式等知识与基本方法，属于难题．。
2018-2019学年上海市复旦附中高二(下)期末数学试卷
2018-2019学年上海市复旦附中高二（下）期末数学试卷•填空题（本大题共 12题，满分54分，第1〜6题每题4分，第7〜12题每题5 分）（4 分）已知全集 U = { - 1 , 0, 1 , 2, 3},集合 A = {0,1, 2）, B = { - 1, 0, 1},则（？U A ）n B =./,八、” I C A /3+I ）8 （&+8i ）,（4分）化简|「 = ________ .（4+41/（4分）从集合{ - 1, 1, 2, 3}随机取一个为m ,从集合{ - 2,- 1 , 1 , 2}随机取一个为2 2n ,则方程—，——=1可以表示 __________ 个不同的双曲线. m n（4分）在（亠-肿）6的展开式中，第4项的二项式系数是（用数字作答）（4分）已知a, B 表示两个不同的平面， m 为平面a 内的一条直线，则“ a, B 构成直二 面角”是“ m 丄B 的 ____________ 条件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不 充分也不必要”）（4分）若直线 x - 2y+5 = 0与直线2x+my - 6= 0互相垂直，则实数 m = __________ . （5分）复数i 1 x 10+i 2!x 9+…+i 10!X 1的虚部是 __________ .（5分）已知经停某站的高铁列车有 100个车次，随机从中选取了 40个车次进行统计，统计结果为：10个车次的正点率为 0.97, 20个车次的正点率为 0.98, 10个车次的正点率 为0.99,则经停该站的所有高铁列车正点率的标准差的点估计值为 ____________________ （精确到0.001） 「山豐圧A（5分）设A,B 是实数集R 的两个子集，对于x€R ，定义：m =a 诋心若对任意x€R , m+n = 1，贝U A , B , R 满足的关系式为 _________ ..（5分）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱（底面为正方形，侧棱与底面垂直的棱柱）高为4,体积为16,则这个球的表面积是 ___________ .（参考公式：球的表面积S = 4uR 2） .（5分）6月12日，上海市发布了《上海市生活垃圾分类投放指南》，将人们生活中产生的大部分垃圾分为七大类.某幢楼前有四个垃圾桶，分别标有“可回收物”、“有害垃圾”、 “湿垃圾”、“干垃圾”，小明同学要将鸡骨头（湿垃圾）、贝壳（干垃圾）、指甲油（有害 垃圾）、报纸（可回收物）全部投入到这四个桶中，若每种垃圾投放到每个桶中都是等可 能的，那么随机事件“ 4种垃圾中至少有2种投入正确的桶中”的概率是 ____________________ .（5分）对于无理数 X ,用V x >表示与x 最接近的整数，如V n>= 3,<叨2>= 2,设 第1页（共18页）1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. &9. 10 11 12 %应,，我们知道，若m€N ,n€N*（m W n ）和r €N* （r < n ）,则有以下两个恒等式成立： ①？ n m = ?n n - m ；②C n+1r = ?n 「+?n rj 那么对于正整数 n 和两个无理数 m € （0, n ） , r € （1, n ）, 序号是①？ n m = ?n n -m ；② C n+1r = ?!+?「 二、选择题（本大题共 4题，每题5分，共20分）的斜率为 「:，则该双曲线的方程为（C .ABCD - A 1B 1C 1D 1 中，AB = BC = 1 , AA 匚 ：；，则异面直线 AD 1 与15. （ 5分）某校实行选科走班制度，张毅同学的选择是物理、生物、政治这三科，且物理 在A 层班级，生物在 B 层班级，该校周一上午课程安排如表所示，张毅选择三个科目的课各上一节，另外一节上自习，则他不同的选课方法有（）1B .返C .逅D •冏5 6 5)A . 13. （5分）已知双曲线 2 2—b>0）的一个焦点为F （0,- 2）, 一条渐近线以下两个等式依然成立的 14.（ 5分）在长方体 DB 1所成角的余弦值为（第节 第二节 地理B 层2班 化学A 层3班 生物A 层1班 化学B 层2班 物理A 层1班 生物A 层3班 物理B 层2班 生物B 层1班 政治1班物理A 层3班A . 8种B . 10 种 第三节 第四节 地理A 层1班 化学A 层4班 生物B 层2班 历史B 层1班 物理A 层2班 生物A 层4班 物理B 层1班 物理A 层4班 政治2班政治3班 C . 12 种 D . 14 种 n€N*，对于区间（-丄.的无理数X,定义C占〉16. （5分）已知两个复数Z1、Z2的实部和虚部都是正整数，关于代数式有以下判断：①最大值为2;②无最大值；③最小值为④无最小值，其中正确判断的序P.曰（号是（三、解答题(本大题共 5题，共76分)17. (14分)如图，在多面体 ABCDEF 中，平面 ADEF 丄平面 ABCD ，四边形 ADEF 为正方 形，四边形 ABCD 为梯形，且 AD // BC ,/ BAD = 90°, AB = AD = 1, BC = 3.(I)求证：AF 丄CD ;(H)求直线BF 与平面CDE 所成角的正弦值；(川)线段BD 上是否存在点 M ，使得直线CE //平面AFM ?若存在，求二二的值；若不BD18. (14 分)已知正整数 n >2, f (x ) = ( x+3) n = a n x n +a n -i x ° 1+ …+a i x+a o .(1 )若f (x )的展开式中，各项系数之和比二项式系数之和大992，求n 的值;(2) 若n = 2019，且a k 是a n , a n -j …a , a o 中的最大值，求k 的值. 19. (14 分)设 z€C .(1 )若z = ' _，且z 是实系数一元二次方程 x 2+bx+c = 0的一根，求b 和c 的值;1+21(2 )若一 是纯虚数，已知z = Z 0时，八取得最大值，求z 0;Z'4(3) 肖同学和谢同学同时独立地解答第( 2)小题，已知两人能正确解答该题的概率分别是0.8和0.9，求该题能被正确解答的概率.好是面积为4的正方形.(1)求椭圆E 的方程;BC 与x 轴交于点M ，若直线BC , AM 的斜率分别为k 1, k 2，试判断k 1+2k 2是否为定值, 若是，求出该定值；若不是，说明理由.第3页(共18页)21. （18 分）对于集合 A = {a 1, a 2, ........... , a n }, B = {b 1, b 2,…，b n },n€N* , m €N*，定B .①④C .②④D .②③(a >b > 0)的焦点和短轴端点为顶点的四边形恰(2)若(x , y )是椭圆 E 上的动点，求 2x+y 的取值范围; (3)直线 I : y = kx+m (km z 0)与椭圆E 交于异于椭圆顶点的 A , B 两点，O 为坐标原点，直线AO 与椭圆E的另一个交点为 C 点，直线l 和直线AO 的斜率之积为1，直线20. (16分)已知以椭圆 E :=l义A+B= {x+y|x3, y€B}.集合A中的元素个数记为|A|.规定：若集合A满足|A+A| =□ 缶+l），则称集合A具有性质T.2（1 ）已知集合A= {1 , 3, 5, 7}, B = ■{丄.—一-L. —}，写出|A+A|, |B+B| 的值；3 3 3 3（2 ）已知集合A={Z, C-）2,（2）3,…，（£）n}，其中n > 3,证明：A具有性质\3 3 [3] 3T；（3）已知n = m= 2019，且集合A, B均有性质T,求|A+B|的最小值.2018-2019学年上海市复旦附中高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析•填空题（本大题共 12题，满分54分，第1〜6题每题4分，第7〜12题每题5 分）1. (4 分)已知全集 U = { - 1 , 0, 1 , 2, 3},集合 A = {0 , 1, 2), B = { - 1, 0, 1},则(?U A ) n B ={- 1}.【分析】根据集合的基本运算即可求 u A 和结果；【解答】解：全集 U = { - 1, 0, 1 , 2 , 3}，集合 A = {0, 1 , 2) , B = { - 1 , 0 , 1}, 则?U A = { - 1 , 3}(U A )n B = { - 1}故答案为{ -1}.【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础. 2（4八、化简]粥竝严值世i ） ] [5 2. （4 分）化间 ||=—-—.【分析】直接利用乘积的模等于模的乘积求解.故答案为：H【点评】本题考查复数模的求法，考查数学转化思想方法，是基础题.3. （ 4分）从集合｛ - 1, 1, 2, 3｝随机取一个为m ,从集合｛ - 2,- 1 , 1 , 2｝随机取一个为 2 2n ,则方程 —■ ---- = 1可以表示 8 个不同的双曲线.m n【分析】方程「-——=1表示双曲线，得 mn v 0，从而求出方程=1表示双曲HL nm n线个数即可.【解答】解：•••从集合｛ - 1, 1, 2, 3｝随机取一个为 m ,从集合｛ - 2, - 1, 1, 2｝随机 取一个为n ,戈 2■——=1 ,••• mn v 0, n【解答】解:(4+41)4| (4+41)4 |•••方程 [R2 2•••方程二卜= 1表示双曲线的个数M = 3X 2+1 X 2= 8,in n故答案为：&【点评】本题考查考查双曲线的简单性质的应用，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题.4. （4分）在（二_/）6的展开式中，第4项的二项式系数是20 （用数字作答）【分析】第四项的二项式系数为C M = 20.6【解答】解：第四项的二项式系数为C- = 20.6故答案为：20【点评】本题考查了二项式定理，属基础题.5. （4分）已知a, B表示两个不同的平面，m为平面a内的一条直线，则“ a, B构成直二面角”是“ m丄B的必要不充分条件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”）【分析】根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可.【解答】解：已知a, B表示两个不同的平面，m为平面a内的一条直线，贝a, B构成直二面角”不能推出“ m丄3；若“ m丄3, m为平面a内的一条直线，则“ a丄3,能推出“ a , 3构成直二面角；由充要条件定义可知： a , 3表示两个不同的平面，m为平面a内的一条直线,则“ a , 3构成直二面角”是“ m丄3的：必要不充分条件；故答案为：必要不充分【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键.6. （4分）若直线x- 2y+5 = 0与直线2x+my- 6= 0互相垂直，则实数m= 1 .【分析】求出两条直线的斜率；利用两直线垂直斜率之积为- 1,列出方程求出m的值.【解答】解：直线x- 2y+5= 0的斜率为二22直线2x+ my - 6= 0的斜率为-二m •••两直线垂直解得m= 1故答案为：1【点评】本题考查由直线方程的一般式求直线的斜率、考查两直线垂直斜率之积为- 1.7. （5 分）复数i1x 10+i2! x 9+ …+i10! X 1 的虚部是10 .【分析】根据i4= 1知，要求复数Fx 10+i2!x 9+…+ i10!x 1的虚部，只需求出i1!x 10+i2! x 9+i3! x 8的虚部.【解答】解：••• i4= 1,故i4! x 7+i5! x 6+…+i10x 1均为实数，•••要求复数i1x 10+i2! x 9+…+ i10! x 1的虚部，只需求出i1!x 10+i2! x 9+i3x 8的虚部.••• i1! x 10+i2! x 9+i3! x 8= 10i+9i2+8i6=- 17+10i.•复数i1! x 10+i2! x 9+ …+i10! x 1 的虚部是10.故答案为：10.【点评】本题考查复数幕的运算，考查了虚数单位i的性质，属基础题.& （5分）已知经停某站的高铁列车有100个车次，随机从中选取了40个车次进行统计，统计结果为：10个车次的正点率为0.97, 20个车次的正点率为0.98, 10个车次的正点率为0.99，则经停该站的所有高铁列车正点率的标准差的点估计值为0.007 （精确到0.001）【分析】根据题意计算加权平均数和标准差即可.【解答】解：经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97,有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99,所以经停该站高铁列车所有车次的x( 10x 0.97+20 x 0.98+10 x 0.99)= 0.98;平均正点率为ILO+20HO经停该站的所有高铁列车正点率的标准差为s=｛爲％[10*（7・01）'吃0><於+10><0・0严]=^ x°.。
高二下学期期末数学试卷及答案
高二下学期期末数学试卷一、单项选择1、设，若直线与线段相交，则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．2、已知点A （2，-3），B （-3，-2），直线l 方程为kx+y-k-1=0，且与线段AB 相交，求直线l的斜率k 的取值范围为（ ）A或 B C D 3、直线与曲线有两个不同的交点，则实数的k 的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．4、已知圆，直线l ：，若圆上恰有4个点到直线l 的距离都等于1，则b 的取值范围为 A ．B ．C ．D ．5、若直线被圆截得弦长为，则） A ． B ． C6、设△ABC 的一个顶点是A （3，-1），∠B，∠C 的平分线方程分别是x=0，y=x ，则直线BC 的方程是（ ） A ．B ．C ．D ．7、已知圆：，则过点（1，2）作该圆的切线方程为（ ）A ．x+4y-4=0B ．2x+y-5=0C ．x=2D ．x+y-3=0 8、阿波罗尼斯(约公元前262-190年)证明过这样一个命题:平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆,后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点A 、B 间4k ≤-220(0,0)ax by a b -+=>>222410x y x y ++-+=494(0,1)k k k >≠的距离为,动点P、A、B不共线时，三角形PAB面积的最大值是（）ABD9、若圆上有个点到直线的距离为1，则等于（）A．2 B．1 C．4 D．310、圆的一条切线与圆相交于，两点，为坐标原点，则（）AB．C．2 D11、已知直线与圆相交，则的取值范围是（）A． B． C．D．12、古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作《圆锥曲线论》中给出了圆的另一种定义：平面内，到两个定点、距离之比是常数的点的轨迹是圆.若两定点、的距离为3，动点满足，则点的轨迹围成区域的面积为（）.A．B．C．D．13、已知直线l1：（k-3）x+（4-k）y+1=0与l2：2（k-3）x-2y+3=0平行，则k的值是（）A．1或3 B．1或5 C．3或5 D．1或214、我国古代数学巨著《九章算术》中，有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”这个问题用今天的白话叙述为：“有一位善于织布的女子，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这位女子每天分别织布多少？”根据上面的已知条件可求得该女子第4天所织布的尺数为( )A．B C D15、在等比数列中,,前项和为,若数列也是等比数列,则等于（）A．B．C．D．16、设数列满足,记数列的前项之积为，则2P22:(5)(1)4C x y-++=n4320x y+-=n 221x y+=224x y+=()11,A x y()22,B x y O1212x x y y+=2-:cos sin1()l x yααα+=∈R222:(0)C x y r r+=>r 01r<≤01r<<1r≥1r>)0(>>ba{}na21=a n n S{}1na+nS 122n+-3n2n31n-（ ） A ．B ．C ．D ．17、已知公比不为的等比数列满足，若，则（ ）A ．9B ．10C ．11D ．12 18、设等差数列的前项和为，已知，，则（ ）A ．B ．C ．D ．19、在等差数列中，若，是方程的两根，则的前11项的和为（ ）A ．22B ．-33C ．-11D ．1120、已知数列满足，数列前项和为，则( )ABCD21、已知数列满足，，是数列的前项和，则（ ）A ．B ．C ．数列是等差数列 D ．数列是等比数列22、已知等数差数列中，是它的前项和，若且,则当最大时的值为（ ）A ．9B ．10 C ．11 D ．1823、已知正项等比数列{a n }满足：a 7=a 6+2a 5，若存在两项a m 、a n ，使得a m a n =16a 12 ）1{}n a 15514620a a a a +=210m a =m ={}n a nnS ()()201920212017201720171201912000a a a -++-=()()20192021202020202020-1+201912038a a a +-=4036S =2019202020214036{}n a 2*1222...2()n n a a a n n N +++=∈n nS 12310...S S S S ⋅⋅⋅⋅={}n a n S n 180S >190S <n S nABCD ．不存在24、的内角，，所对的边分别是，，.已知，则的最小值为（ ） A ． B ．C ．D ．25、已知，，为的三个内角，，的对边，向量，，若，且，则角( )A ．B ．C ．D ．二、填空题26、点到直线的距离的最大值为________.27、已知点和圆，过点 作圆的切线有两条，则实数的取值范围是______28、已知直线l ：x+y-6=0，过直线上一点P 作圆x 2+y 2=4的切线，切点分别为A ，B ，则四边形PAOB 面积的最小值为______，此时四边形PAOB 外接圆的方程为______． 29、已知实数满足，则的取值范围为________.30、已知实数x ，y 满足6x+8y-1=0，则的最小值为______．31、等比数列的前n 项和为32、若等差数列满足，则数列的前项和取得最大值时_________ 33、已知数列满足，则数列的最大值为________.34、已知数列中，，是数列的前项和，且对任意的，都有，则=_____35、已知首项与公比相等的等比数列中，若，，满足，则()1,2P 222:20C x y kx y k ++++=P C k {}n a n S {}n a 7897100,a a a a a ++>+<{}n a n n S =n {}n a 11a =n S {}n a n *,r t N ∈n a的最小值为_____．36、在锐角三角形中，角的对边分别为，若，则的最小值是_______．37、在锐角中，角，，所对应的边分别为，，.则________；若，则的最小值为________. 38、若△ABC 的内角，则的最小值是 ． 39、已知分别是的内角的对边，，，则周长的最小值为_____。
精品解析：上海市复旦大学附属中学高二下学期期末数学试题解析版
且四棱锥的一条侧棱与底面垂直，高为 ，
四棱锥的底面是正方形，边长为2，棱锥的高为2，
几何体的体积 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了由三视图求几何体的体积，解题的关键是判断几何体的形状及数据所对应的几何量．
9.一名工人维护A、B、C三台独立的游戏机，一天内这三台游戏机需要维护的概率分别为0.9、0.8和0.85，则一天内至少有一台游戏机不需要维护的概率为________
【详解】设 ，因为 ，所以 .
则函数 转化为 ， .
因为 在 为增函数，
所以 ，解得 或 （舍去）.
即 .
所以 .
故答案为：
【点睛】本题主要考查根据函数单调性求最值，同时考查了换元法，属于中档题.
8.一个四棱锥的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．
【答案】
【解析】
【分析】
几何体是四棱锥，再根据三视图判断四棱锥的高与底面长方形的长与宽，把数据代入棱锥的体积，表面积计算即可．
点睛：本题直接解答比较困难，采用坐标法比较简洁易懂，所以方法的选择很关键.当我们遇到直角三角形、等腰三角形、矩形、长方体等有垂直关系的几何图形时，可以尝试利用坐标法解答,看是否简洁.
12.若函数 对定义域 内的每一个 ，都存在唯一的 ，使得 成立，则称 为“自倒函数”．
给出下列命题：①单调函数一定是自倒函数；②自倒函数 可以是奇函数；
复旦大学附属中学第二学期
高二年级数学期末考试试卷
一、填空题（本大题共12题）
1.函数 的定义域为________．
【答案】
【解析】
【分析】
由对数函数的定义知，其真数大于0，求解 即可.
复旦附中高二期末(2018.06)
复旦附中高二期末数学试卷2018.06一. 填空题1. 已知,{0,1,2,3}a b ∈，则不同的复数z a bi =+的个数是2. 一个竖直平面内的多边形，用斜二侧画法得到的水平放置的直观图是一个边长为2的正方形，该正方形有一组对边是水平的，则原多边形的面积是3. 若2018220180122018(12)x a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅+，则0122018||||||||a a a a +++⋅⋅⋅+=4. 在9()2ax x -的展开式中，3x 的系数为94，则常数a = 5. 已知球的体积是V ，则此球的内接正方体的体积为6. 点(1,2,1)A 、(3,3,2)B 、(1,4,3)C λ+，若AB u u u r 、AC uuu r 的夹角为锐角，则λ的取值范围为7. 一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的全面积与侧面积的比值是8. 正四面体ABCD 的棱长为2，则所有与A 、B 、C 、D 距离相等的平面截这个四面体所得截面的面积之和为9. 从集合{1,2,,30}⋅⋅⋅中取出五个不同的数组成单调递增的等差数列，则所有符合条件的不同的数列个数是10. 在正三棱锥P -ABC 中，2PA =，1AB =，记二面角P -AB -C 、A -PC -B 的平面角依次为 α、β，则23sin 2cos αβ-=11. 如图，顶点为P 的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，母线4PA =，O 是底面圆心，B 是底面圆内一点，且AB ⊥OB ，C 为P A 的中点，OD ⊥PB ，垂足为D ，当三棱锥O -PCD 的体积最大时，OB =12. 已知数列{}n a ，令k b 为1a 、2a 、…、k a 中的最大值()k ∈*N ，则称数列{}n b 为“控制 数列”，数列{}n b 中不同数的个数称为“控制数列”{}n b 的“阶数”，例如：{}n a 为1、3、 5、4、2，则“控制数列”{}n b 为1、3、5、5、5，其“阶数”为3，若数列{}n a 为1、2、3、 4、5、6构成，则能构成“控制数列”{}n b 的“阶数”为2的所有数列{}n a 的首项和是二. 选择题13. 在20183(23)x +的展开式中，系数为有理数的项数为（ ）A. 336项B. 337项C. 338项D. 1009项14. 如图，某几何体的三视图是三个边长为1的正方形，及每个正方形中的一条对角线，则该几何体的表面积是（ ）A. 42B. 93+C. 33+D. 32 15. 定义“创新01数列”{}n a 如下：{}n a 共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意12k m ≤≤，1a 、2a 、…、k a 中0的个数不少于1的个数，若4m =，则不同的“创新01数列”{}n a 的个数为（ ）A. 12个B. 14个C. 16个D. 18个16. 已知椭圆方程为221425x y +=，将此椭圆绕y 轴旋转一周所得的旋转体的体积为1V ，满 足5022.5y x y x ≥-⎧⎪≤≤⎨⎪≤⎩的平面区域绕y 轴旋转一周所得的旋转体的体积为2V ，则（ ）A. 21V V =B. 2132V V =C. 2154V V = D. 21,V V 无明确大小关系三. 解答题 17. 已知空间向量a r 与b r 的夹角为66，且||2a =r ||3b =r ， 令m a b =-u r r r ，2n a b =+r r r .（1）求a r 、b r 为邻边的平行四边形的面积S ；（2）求m u r 与n r 的夹角θ.18. 有3名女生和5名男生，按照下列条件排队，求各有多少种不同的排队方法？（1）3名女生排在一起；（2）3名女生次序一定，但不一定相邻；（3）3名女生不站在排头和排尾，也互不相邻；（4）每两名女生间至少有两名男生；（5）3名女生中，A 、B 要相邻，A 、C 不相邻.19. 在正四棱锥P -ABCD 中，正方形ABCD 的边长为32，高6OP =，E 是侧棱PD 上的 点且3PD PE =，F 是侧棱P A 上的点且2PA PF =，G 是 PBC 的重心，如图建立空间直 角坐标系.（1）求平面EFG 的一个法向量；（2）求直线AG 与平面EFG 所成角的大小；（3）求点A 到平面EFG 的距离.20. 如图，在多面体ABCDEF 中，平面ADE ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是边长为2的正 方形， ADE 是等腰直角三角形且∠AED 为直角，EF ⊥平面ADE 且1EF =.（1）求异面直线AE 和DF 所成角的大小；（2）求二面角B -DF -C 的平面角的大小.21. 已知p 、0q >，在()m px q +()m ∈*N 的二项展开式中，若存在连续三项的二项式系数成等差数列，将m 的所有可能值从小到大排列构成数列{}n a .（1）求数列{}n a 的通项n a ()n ∈*N ；（2）若在2()a px q +的二项展开式中，当且仅当第10项的系数最大，求q p的取值范围.参考答案一. 填空题1. 162.3. 201834. 45.6. (2,4)(4,)-+∞U7.212ππ+ 8. 3+ 9. 98 10. 2 11. 12. 1044 二. 选择题13. B 14. A 15. B 16. C三. 解答题17.（1）S =（2）θπ=-. 18.（1）63634320P P =；（2）456786720⨯⨯⨯⨯=；（3）35452880P P =；（4）122323542523(22)2880P P P P P P ⨯+⨯=；（5）152256526528640P P P P P ⨯+=.19.（1）(0,1,1)；（2）；（3. 20.（1）2π；（2）3π. 21.（1）242n a n n =++，n ∈*N ；（2）(0,10).。
2020-2021学年高二数学下学期期末专项复习2.1 坐标平面上的直线解析版
专题2.1 坐标平面上的直线【章节复习专项训练】【考点1】 ：直线的方程例题1．（2020·上海师大附中高二期末）直线方程20x y m -+=的一个方向向量d 可以是（ ） A ．(2,1)- B ．(2,1) C ．(1,2)- D ．(1,2)【答案】D【分析】先根据直线方程得直线的一个法向量，再根据法向量可得直线的方向向量. 【详解】解：依题意，()2,1-为直线的一个法向量，∴方向向量为()1,2， 故选：D .【变式1】（2021·上海市奉贤中学高二期末）如图，平面上过点P (1，2)的直线与x 轴正半轴交于点A ，与y 轴正半轴交于点B .过点P 分别作直线垂直于x 轴与y 轴，垂足分别为M ，N .则满足2020PAMPBNS S-=的直线有（ ）条A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B【分析】设直线AB 为y =k (x -1)+2()0k <，分别令x =0，y =0，求得点A ，B 的坐标， 然后由2020PAMPBNSS-=求解.【详解】因为过点P (1，2)，且斜率存在， 设直线AB 为y =k (x -1)+2()0k <， 令x =0，y =2-k ； 令y =0，x =2k k- 2(,0),(0,2)k A B k k-∴-， 2,2,AM PM BN k k∴=-==-，2020PAMPBNSS-=，121()21()202022k k ∴⨯-⨯-⨯⨯-=， 即2404040k k --=，0k <，所以k 的取值只有一个， 故这样的直线有一条. 故选：B【变式2】（2021·上海高二期末）直线1123x y l -+=:的一个方向向量可以是（ ） A ．(2，3) B ．(2-，3)C ．(3，2)D ．(3-，2)【答案】A【分析】将直线方程转化为()3112y x +=-，求得斜率即可. 【详解】直线1123x y l -+=:可化为：()3112y x +=-，所以直线的斜率为32k， 所以直线的一个方向向量可以是(2,3) 故选：A【变式3】（2020·上海曹杨二中高二期末）已知直角坐标系xOy 平面上的直线1x ya b+=经过第一、第二和第四象限，则,a b 满足（ ） A ．0,0a b >> B ．0a >，0b < C ．0a <，0b < D ．0a <，0b <【答案】A【分析】求出直线与坐标轴的交点，即可得出答案. 【详解】令0x =，则y b =；令0y =，则x a = 所以(0,),(,0)b a 在直线1x ya b+=上因为直线1x ya b+=经过第一、第二和第四象限 所以0,0a b >> 故选：A【点睛】本题主要考查了由直线所过象限求参数范围，属于基础题.例题2．（2020·上海市建平中学高二期末）过点()1,2C ，且与直线20x y --=垂直的直线方程为______. 【答案】30x y +-=【分析】先由垂直关系求出所求直线的斜率，再利用点斜式可求出直线方程 【详解】解：因为所求直线与直线20x y --=垂直， 所以所求直线的斜率为1-， 因为所求直线过点()1,2C ，所以所求直线方程为2(1)y x -=--，即30x y +-=， 故答案为：30x y +-=【点睛】此题考查两直线的位置关系，考查直线方程的求法，属于基础题【变式1】（2020·上海曹杨二中高二期末）过点()3,2P -且与直线210x y ++=垂直的直线方程是______. 【答案】270x y --=【分析】根据直线的垂直关系，设出所求直线方程，将()3,2P -代入方程，即可求解. 【详解】所求直线与直线210x y ++=垂直， 设该直线方程为20x y c -+=，()3,2P -代入上式方程得7c =-，所以所求的直线方程为270x y --=. 故答案为：270x y --=.【点睛】本题考查直线的位置关系求方程，利用直线的位置关系合理设方程是解题的关键，属于容易题. 【变式2】（2020·上海市控江中学高二期末）经过点()1,0，且以()2,5d =为一个方向向量的直线l 的方程为_____.【答案】5250x y --=【分析】求出直线l 的斜率，可得出直线l 的点斜式方程，化为一般式即可. 【详解】直线l 的斜率为52k =，所以，直线l 的方程为()512y x =-，即5250x y --=. 故答案为：5250x y --=.【点睛】本题考查直线的方程，考查直线的方向向量与斜率的关系，考查计算能力，属于基础题. 【变式3】（2020·上海高二期末）已知点()1,2A ,()3,0B ,则线段AB 的垂直平分线的方程是_____． 【答案】10x y --=【分析】先求出AB 的中点M 的坐标,再求出直线AB 的斜率,根据两直线垂直时斜率乘积为1-得到垂直平分线的斜率,最后用点斜式公式即可求出直线方程. 【详解】解:设M 的坐标为(),x y ， 则1322x,2012y,所以()2,1M . 因为直线AB 的斜率为120113k , 所以线段AB 垂直平分线的斜率2111k , 则线段AB 的垂直平分线的方程为112y x 化简得10x y --=. 故答案为：10x y --=【点睛】本题考查求线段AB 的垂直平分线:即要求垂直平分线线上一点与直线的斜率，根据中点坐标公式求出AB 的中点M 的坐标利用A 与B 的坐标求出直线AB 的斜率根据两直线垂直时斜率乘积为1-得到垂直平分线的斜率根据M 的坐标和求出的斜率写出AB 的垂直平分线的方程即可.【变式4】（2020·上海高二期末）若直线l 过点3(2,)A -且平行于向量(6,5)d =，则直线l 的点方向式方程是___________. 【答案】2365x y -+= 【分析】利用直线l 的点方向式方程即可得出． 【详解】由已知可得：直线l 的点方向式方程是2365x y -+=．故答案为：2365x y -+=． 【点睛】本题考查直线的点方向式方程，考查推理能力与计算能力，属于基础题．【变式5】（2021·上海市松江二中高二期末）若关于x 、y 的二元一次方程组42mx y m x my m +=+⎧⎨+=⎩无解，则实数m =________ 【答案】2-【分析】根据方程组无解，得到直线42+=+mx y m 与直线+=x my m 平行，根据两直线平行的充要条件，即可求出结果.【详解】因为关于x 、y 的二元一次方程组42mx y m x my m +=+⎧⎨+=⎩无解，所以直线42+=+mx y m 与直线+=x my m 平行，所以24024m m m m ⎧-=⎪⎨+≠⎪⎩，解得：2m =-.故答案为：2-【点睛】本题主要考查由方程组无解求参数，熟记直线与直线平行的判定条件，灵活运用转化与化归的思想即可，属于常考题型.【变式6】（2020·上海师大附中高二期末）直线10x y -+= 上一点P 的横坐标是3，若该直线绕点P 逆时针旋转90°得直线l ，则直线l 的方程是____________． 【答案】70x y +-=【详解】(,3,4)P l 的倾斜角为4590135,tan1351k ︒-︒=︒=︒=-， 则其方程为43y x -=-+，即70x y +-=. 故答案为：70x y +-=.【变式7】（2021·上海市奉贤中学高二期末）数学家欧拉在1765年提出定理；三角形的外心､重心､垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线.已知ABC 的顶点A (4，0)，B (0，2)，AC BC =，则ABC 的欧拉线所在直线方程为___________.【答案】2x -y -3=0【分析】根据题意求出线段AB 的垂直平分线即可求解. 【详解】线段AB 的中点为(2，1)，201042AB k -==--， 线段AB 的垂直平分线为：y =2(x -2)+1，即2x -y -3=0 AC =BC ，∴三角形的外心､重心､垂心依次位于AB 的垂直平分线上，因此ABC 的欧拉线方程为2x -y -3=0. 故答案为：2x -y -3=0.【变式8】（2020·华东师范大学附属周浦中学高二期末）直线l 经过点(3,5)P -，且(1,2)n =是直线l 的一个法向量，则直线l 的一般式方程是________. 【答案】270x y ++=【分析】由直线的法向量可得直线的方向向量，进而可得直线的斜率，由直线方程的点斜式即可得出结果. 【详解】直线的法向量为(1,2)n =，则直线的方向向量为(2,1)m =-，直线的斜率为12k =- 由点斜式可得：1(5)(3)2y x --=--，即270x y ++= 故答案为：270x y ++=【变式9】（2020·上海市三林中学高二期末）过点()1,0且与直线20x y +=垂直的直线的方程______. 【答案】210x y --=【分析】方法一，利用两条直线互相垂直，斜率之积等于-1，求出垂线的斜率，再求垂线的方程； 方法二，根据两条直线互相垂直的关系，设出垂线的方程，利用垂线过某点，求出垂线的方程. 【详解】方法一，直线20x y +=的斜率是-2， 则与这条直线垂直的直线方程的斜率是12， ∴过点()1,0且与直线20x y +=垂直的直线方程为()1012y x -=-， 即210x y --=；方法二，设与直线20x y +=垂直的直线方程为20x y a -+=， 且该垂线过过点()1,0，∴11200a ⨯-⨯+=，解得1a =-，∴这条垂线的直线方程为210x y --=. 故答案为：210x y --=.【点睛】本题考查了直线方程的求法与应用问题，也考查了直线垂直的应用问题，是基础题目.例题3．（2021·上海高二期末）已知直线l 与直线250x y +-=平行，并且直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为4，求直线l 的一般式方程. 【答案】240x y ++=或240x y +-=【分析】设所求直线方程为()205x y C C ++=≠-，求出直线l 与两坐标轴的交点坐标，结合已知条件可得出关于C 的方程，进而可求得直线l 的方程.【详解】由于直线l 与直线250x y +-=平行，设直线l 的方程为()205x y C C ++=≠-， 在直线l 的方程中，令0x =，可得y C =-；令0y =，可得2Cx =-. 所以，直线l 交x 轴于点,02C ⎛⎫-⎪⎝⎭，交y 轴于点()0,C -. 由于直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为4，则214224C C C ⨯-⨯-==，解得4C =±. 因此，直线l 的方程为240x y ++=或240x y +-=.【变式1】（2020·上海高二期末）已知直线1:220l x y +-=和2:10l mx y -+=. (1)当12l l //时，求m 的值； (2)当1l 与2l 的夹角为4π时，求m 的值. 【答案】(1)2-；(2)3或13-. 【分析】（1）直接利用线线平行的充要条件的应用求出结果． （2）直接利用夹角公式的应用求出结果．【详解】（1）直线1:220l x y +-=和2:10l mx y -+=． 所以20m --=，解得：2m =-．（2）由于1:220l x y +-=的斜率12k =-，2:10l mx y -+=的斜率2=k m ．所以2112tan||141k kk kπ-==+，解得3m=或13-．【点睛】本题考查的知识要点：线线平行的充要条件的应用，夹角公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．【考点2】：直线的倾斜角和斜率例题1．（2020·上海市杨浦高级中学高二期末）直线210x y+-=的倾斜角为（）.A．arctan2B．arctan2-C．()arctan2π--D．arctan2π-【答案】D【分析】先根据所给直线的斜率-2，直线的斜率是倾斜角的正切，得到[)tan=20ααπ-∈，，，根据倾斜角的范围和正切的反三角函数的值域确定结果.【详解】因为直线210x y+-=的斜率2k=-，所以[)tan=20ααπ-∈，，，所以=arctan2απ-.所以直线210x y+-=的倾斜角为arctan2π-.故选：D【点睛】求斜率的方法：①定义法：()tan90kαα=≠；②两点法求斜率：()212121y yk x xx x-=≠-；③由直线方程求斜率；④由直线的方向向量求斜率.【变式1】（2020·上海高二期末）下图中的直线1l、2l、3l的斜率分别为1k、2k、3k,则（）A．123k k k<<B．312k k k<<C．321k k k<<D．132k k k<<【答案】D【分析】根据斜率与直线倾斜角的关系判断即可.【详解】由图可知：10k <,20k >,30k >,且直线3l 的倾斜角小于直线2l 的倾斜角,所以32k k <,综上可知：132k k k <<.故选：D ．【点睛】本题主要考查了直线斜率与倾斜角的关系,属于基础题.【变式2】（2020·上海高二期末）已知l 过定点()4,5的直线的一个方向向量是()2,3d =-，则直线l 的点方向式方程可以为（ ） A ．()()3425x y -=- B ．45=23x y --- C ．()()34250x y -+-= D ．45=32x y -- 【答案】B【分析】利用直线的点向式方程可以直接得到所求的方程． 【详解】因为直线l 的方向向量为()2,3d =-且经过点()4,5， 故直线l 的点向式方程为45=23x y ---． 故选：B ．【点睛】本题考查直线的点向式方程，注意点向式方程的标准形式，此题属于基础题．【变式3】．（2021·上海市建平中学高二期末）直线l 的倾斜角为θ，则直线l 关于直线y =x 对称的直线l '的倾斜角不可能为（ ） A ．θ B ．2θπ- C ．πθ-D ．32πθ- 【答案】C【分析】可分类讨论求出对称直线l '的倾斜角，然后判断． 【详解】当[0,]2πθ∈时，直线l '的倾斜角为2θπ-，当,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，直线l '的倾斜角为32πθ-，当4πθ=时，直线l '的倾斜角为4πθ=，因此ABD 均可能，只有C 不可能．实际上当直线l '倾斜角为πθ-时，直线l '与直线l 关于和x 轴垂直的直线对称． 故选：C ．【变式4】．（2020·上海市洋泾中学高二期末）若直线0ax by c 的一个法向量()3,1n =-，则该直线的倾斜角为（ ） A ．6πB ．3πC ．23π D ．56π 【答案】B【分析】根据直线的方程可得直线的法向量，结合题设条件可得,a b 的关系，从而可求直线的斜率进而得到直线的倾斜角.【详解】由直线的方程为0ax by c可得直线的法向量为(),m a b =，故,m n 共线，所以()1b a ⨯-=，即ab-=，设直线的倾斜角为[)()0,θθπ∈，则tan θ=3πθ=.故选：B.例题2．（2020·上海市进才中学高二期末）直线210x y -+=的倾斜角为________． 【答案】1arctan2【分析】根据直线方程求出直线的斜率，从而求出倾斜角. 【详解】直线210x y -+=的斜率12k =， 所以直线的倾斜角是1arctan 2. 故答案为：1arctan2. 【变式1】（2020·上海高二期末）直线40x my 的倾斜角为4π,则m 的值是_____． 【答案】1【分析】由直线的倾斜角求出斜率,再由斜率列式求得m 值. 【详解】解：直线40x my 的倾斜角为4π. 所以该直线的斜率为tan 14π=,所以11m=,解得：1m =. 故答案为：1.【点睛】本题考查直线的斜率与倾斜角的关系,是基础题.【变式2】（2020·上海市七宝中学）直线l 的倾斜角范围是__________； 【答案】0,【分析】由直线的倾斜角定义来确定. 【详解】由直线倾斜角的定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角.特别地，当直线与x 轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0度. 范围：倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°. 故答案为：0,【点睛】本题主要考查了直线倾斜角的定义及范围，还考查了理解辨析的能力，属于基础题. 【变式3】（2020·上海高二期末）若直线l 的倾斜角的范围为,43ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭，则l 的斜率的取值范围是__________.【答案】【分析】利用直线斜率与倾斜角的关系、三角函数的单调性即可得出． 【详解】直线l 的倾斜角,43θππ⎡⎫⎪⎢∈⎣⎭，则l 的斜率tan [1θ∈．故答案为：．【点睛】本题考查直线斜率与倾斜角的关系、三角函数的单调性，考查推理能力与计算能力，属于基础题． 【变式4】（2020·上海复旦附中高二期末）一个方向向量为(1,3d =的直线的倾斜角的大小是__________． 【答案】60︒【分析】根据直线的方向向量可得直线的斜率，然后可求直线的倾斜角.【详解】因为直线的方向向量为(1,3d =，所以直线的斜率为k = 所以直线的倾斜角的大小是60︒. 故答案为：60︒.【点睛】本题主要考查直线的倾斜角，明确直线的方向向量与直线的斜率间的关系是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.【变式5】（2020·上海市金山中学高二期末）直线l ：4y =+的倾斜角的大小为______.【答案】3π；【分析】由直线的斜率与倾斜角的关系可得tan θ=. 【详解】解：设直线的倾斜角为θ，由直线l 的方程为：4y =+可得tan θ= 又[)0,θπ∈， 所以3πθ=，故答案为：3π.【点睛】本题考查了直线的斜率与倾斜角的关系，属基础题.【变式6】（2021·上海市松江二中高二期末）若直线l 的参数方程是2,()12x t t y t =+⎧∈⎨=--⎩R ，则l 的斜率为________． 【答案】-2【分析】把参数方程消参化为斜截式方程即可求出斜率．【详解】由2,()12x t t y t =+⎧∈⎨=--⎩R ，消去参数t 可得23y x =-+， 所以直线的斜率2k =- 故答案为2-【点睛】本题考查直线的参数方程与一般方程的互化，属于基础题．【变式7】（2021·上海市奉贤中学高二期末）直线23y x =-+的倾斜角是___________(结果用反三角表示). 【答案】arctan 2π-【分析】根据斜率公式tan k α=化简即可.【详解】解：由题意得tan 2,arctan 2k ααπ==-∴=- 故答案为：arctan 2π-.【变式8】（2021·上海高二期末）直线1:10l x y +-=与直线2:20l x y -+=夹角的大小为___________. 【答案】2π 【分析】根据直线方程求得两直线的斜率，进而可求得倾斜角，即可求得答案.【详解】直线1:10l x y +-=的斜率为-1，因为倾斜角[0,)απ∈，即tan 1α=-，所以1l 的倾斜角为34π， 同理直线2:20l x y -+=的斜率为1，所以2l 的倾斜角为4π， 所以直线1l 与2l 的夹角为3442πππ-=. 故答案为：2π 【变式9】（2021·上海曹杨二中高二期末）若直线l 的倾斜角为34π，则l 的一个方向向量d 可以是______.(只需填写一个) 【答案】()1,1-【分析】利用直线倾斜角确定直线斜率，进而确定方向向量的横纵坐标之比，写出方向向量. 【详解】直线l 的倾斜角为34π，故直线的斜率3tan 14k π==-， 故方向向量的横纵坐标之比为1-， 故d 可以是()1,1-， 故答案为：()1,1-.【变式10】（2020·上海曹杨二中高二期末）设()1,2A ，()3,1B -，若直线2y kx =-与线段AB 有公共点，则实数k 的取值范围是______. 【答案】(][),14,-∞-+∞【分析】画出图象求出定点与A 、B 两点连线的斜率，即可求出实数k 的取值范围．【详解】解：直线2y kx =-恒过定点()0,2-，由题意平面内两点()1,2A ，()3,1B -，直线2y kx =-与线段AB 恒有公共点，如图求出定点与A 、B 两点连线的斜率，()122410k --==-．()212130k --==---，所以直线2y kx =-与线段AB 恒有公共点，则实数k 的取值范围是(][),14,-∞-+∞，故答案为：(][),14,-∞-+∞【点睛】本题考查直线斜率的求法，考查数形结合的思想的应用，考查计算能力．【变式11】（2020·上海高二期末）已知直线l 的一个方向向量是(1,2)，则它的斜率为______________. 【答案】2【分析】根据直线方向向量与直线斜率关系求斜率即可. 【详解】直线l 的一个方向向量是(1,2)，则直线的斜率为：2=21故答案为：2【点睛】本题考查直线方向向量以及直线斜率，考查基本分析求解能力，属基础题. 【变式12】（2020·上海高二期末）直线210x y +-=的倾斜角为________． 【答案】arctan 2π-【分析】先求直线210x y +-=的斜率,进而用反三角函数转化为倾斜角即可. 【详解】直线210x y +-=的斜率为2k =-,设倾斜角为α,所以tan 2α,则arctan 2απ-= 故答案为：arctan 2π-【点睛】本题关键是倾斜角以及反三角函数的问题,考查计算能力．【变式13】（2020·上海市控江中学高二期末）若不垂直于x 轴的直线10kx y -+=与直线20x y -=所成的角的大小为25，则实数k 的值为_____.【答案】34【分析】设直线20x y -=的倾斜角为α，记β=k 的方程，进而可求得实数k 的值.【详解】设直线20x y -=的倾斜角为α，记β=，则tan 2α=，cos 5β=，sin 5β=，1tan 2β=，由题意可得tan 21tan 1tan 122k k k k αβα--===++，解得34k =.故答案为：34. 【点睛】本题主要考查直线夹角公式的应用，涉及两角差的正切公式的应用，考查计算能力，属于基础题. 【变式14】．（2020·上海交大附中高二期末）直线223x ty t =+⎧⎨=+⎩（参数t R ∈）的倾斜角为_________.【答案】12arctan【分析】代入消参，将参数方程化为普通方程，再根据斜率求得倾斜角. 【详解】由3y t =+可得3t y =-，代入22x t =+，可得()223x y =+- 整理得：直线的一般式方程为240x y -+= 则直线的斜率为12k =，设其倾斜角为θ，[)0,θπ∈ 故12arctanθ=. 故答案为：12arctan. 【点睛】本题考查将直线的参数方程化为普通方程，以及由直线斜率求解倾斜角，属基础题.例3．（2019·上海高二期末）已经直线:1l y kx =-与两点()()1,5,4,2.A B - （1）若l 与直线AB 平行，求它们之间的距离以及l 的倾斜角；（2）若l 与线段AB 无公共点，求k 的取值范围. 【答案】（1）d =；3arctan 5θπ=-；（2）36,4⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】（1）由两点连线斜率公式可求得AB k ，即k ，从而得到直线l 方程及tan θ、直线AB 方程；根据反三角函数可求得倾斜角θ，利用平行直线间距离公式可求得所求距离d ；（2）首先确定直线恒过定点()0,1C -，可知临界状态为,AC BC ，利用两点连线斜率公式求得,AC AB k k ，可知(),AC AB k k k ∈，从而得到结果. 【详解】（1）由,A B 坐标可得：523145AB k -==--- ∴直线AB 方程为：()3245y x -=--，即35220x y +-= l 与直线AB 平行 35AB k k ∴==- 3:15l y x ∴=--，即3550x y ++=设直线l 倾斜角为θ 3tan 5θ∴=- 3arctan 5θπ∴=-直线l 与直线AB之间距离34d ==（2）由题意知，直线l 恒过点()0,1C -51610AC k +∴==---，213404BC k +==- l 与线段AB 无公共点 (),AC AB k k k ∴∈，即36,4k ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭【点睛】本题是对直线部分知识的综合考查，涉及到直线斜率与倾斜角的关系、两条直线平行的位置关系的应用、平行直线间距离公式、根据直线与线段交点情况求解斜率范围的问题，属于基础题. 【考点3】 ：两条直线的位置关系例题1．（2020·上海高二期末）直线210x y ++=与直线36100x y 的位置关系是（ ） A ．相交 B ．重合C ．平行D ．垂直【答案】C【分析】根据直线的一般方程满足111222A B C A B C =≠,则两直线平行. 【详解】解: 直线210x y ++=与直线36100x y ,满足1213610, 故直线210x y ++=与直线36100x y 平行. 故选:C【点睛】本题考查直线与直线的位置关系,若两直线满足111222A B C A B C =≠,则两直线平行. 【变式1】．（2020·上海市金山中学高二期末）已知两条直线1l 与2l 不重合，则“1l 与2l 的斜率相等”是“1l 与2l 的平行”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】“1l 与2l 的平行”则有“1l 与2l 的斜率相等”或“1l 与2l 的斜率均不存在”两种情况，再判断即可得解. 【详解】解：因为两条直线1l 与2l 不重合，由“1l 与2l 的斜率相等”可得“1l 与2l 的平行”； 由“1l 与2l 的平行”则可得“1l 与2l 的斜率相等”或“1l 与2l 的斜率均不存在”， 即“1l 与2l 的斜率相等”是“1l 与2l 的平行”的充分不必要条件， 故选：A.【点睛】本题考查了两直线平行的充分必要条件，重点考查了直线的斜率，属基础题. 【变式2】．（2020·上海市嘉定区封浜高级中学高二期末）14a =是“直线(1)310a x ay +++=与直线(1)(1)30a x a y -++-=相互垂直”的（ ）.A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】对a 分类讨论，利用两条相互垂直的直线与斜率之间的关系即可得出． 【详解】解：对于：直线(1)310a x ay +++=与直线(1)(1)30a x a y -++-=， 当0a =时，分别化为：10x +=，30x y -+-=，此时两条直线不垂直，舍去；当1a =-时，分别化为：310y -+=，230x --=，此时两条直线相互垂直，因此1a =-满足条件； 当1a ≠-，0时，两条直线的斜率分别为：13a a +-，11a a -+，由于两条直线垂直，可得11131a aa a +--⨯=-+，解得14a =或1-（舍去）． 综上可得：两条直线相互垂直的充要条件为：14a =或1-． ∴14a =是“直线(1)310a x ay +++=与直线(1)(1)30a x a y -++-=相互垂直”的充分而不必要条件． 故选：A ．【点睛】本题考查了两条相互垂直的直线与斜率之间的关系，考查了分类讨论思想、推理能力与计算能力，属于中档题．例题2．（2021·上海闵行中学高二期末）过点()3,5与直线y x m =+垂直的直线方程是___________. 【答案】80x y +-=【分析】设与y x m =+垂直的直线方程为y x n =-+，利用过的点，求出n 即可. 【详解】设所求直线为y x n =-+ 过点()3,5，故8n = 直线方程为80x y +-= 故答案为：80x y +-=【变式1】．（2021·上海位育中学高二期末）已知直线1:230l ax y a ++=与直线2:3(1)70l x a y a +-+-=互相垂直，则a =________ 【答案】25【分析】利用两条直线垂直的等价条件可得()3210a a +-=，解方程即可求a 的值. 【详解】因为直线1:230l ax y a ++=与直线2:3(1)70l x a y a +-+-=互相垂直， 所以()3210a a +-=，解得：25a =， 故答案为：25.【变式2】．（2021·上海市进才中学高二期末）若直线1:210l ax y ++=与2:(1)10l x a y +++=互相垂直，则a 的值为_________. 【答案】23-【分析】根据两个直线垂直的公式代入计算. 【详解】因为12l l ⊥，所以2(1)0a a ++=，得23a =-. 故答案为：23-【变式3】．（2021·上海市复兴高级中学高二期末）已知直线220x y +-=和10x y -+=的夹角为______. 【答案】arctan 3【分析】求出两直线的斜率，利用相交两直线的夹角公式求解而得. 【详解】直线220x y +-=和10x y -+=的斜率分别为k 1=-2，k 2=1， 设直线220x y +-=和10x y -+=的夹角为(0)2πθθ<≤，而两直线不垂直，由夹角公式得：121221tan ||||311(2)1k k k k θ---===++-⋅，所以arctan 3θ=. 答案为：arctan 3【变式4】．（2020·上海闵行中学高二期末）已知直线1:10l ax y -+=，2:10l x ay --=，且12l l ⊥，则实数a =_________. 【答案】0【分析】依据两条直线垂直充要条件12120A A B B +=直接计算即可. 【详解】因为12l l ⊥，所以()()1100a a a ⨯+-⨯-=⇒= 故答案为：0【变式5】．．（2020·上海高二期末）已知直线1:42l mx y m +=+，2:l x my m +=，若12//l l ，则实数m =________．【答案】2-【分析】根据直线互相平行的判定公式得到结果. 【详解】直线1:42l mx y m +=+，2:l x my m +=， 若12//l l ，则24102m m -⨯=⇒=±，当2m =时，1l 和2l 化简为：1:22l x y +=，2:22l x y +=，此时，1l 与2l 重合，故2m =时不符合题意当2m =-时，1l 和2l 化简为：1:20l x y -=，2:220l x y -+=，此时，1l 与2l 不重合且平行，故2m =-时符合题意 故答案为：2-.【点睛】这个题目考查了已知两直线的位置关系求参数的应用，属于基础题.【变式6】．（2020·上海高二期末）直线10x y ++=与直线30x y -+=的夹角大小等于___________. 【答案】2π【分析】算出两条直线的斜率，根据它们的乘积为1-可得它们的夹角． 【详解】设两条直线的夹角为θ，直线10x y ++=的斜率为11k =-，直线30x y -+=的斜率为21k =， 因为121k k =-，所以两条直线垂直，所以2πθ=．故答案为：2π． 【点睛】本题考查直线的夹角，注意先判断它们是否垂直，如果不垂直，则利用夹角公式1212tan 1k k k k θ-=+来计算，本题属于容易题．【变式7】．（2020·上海市洋泾中学高二期末）已知直线1:220++=l x ay 与直线2:(1)310l a x y -++=平行，则实数a 的值为__________ 【答案】2-或3【分析】根据两直线平行，直接列式求解. 【详解】12//l l ，22131a a ∴=≠-，解得：2a =-或3a =. 故答案为：2-或3【变式8】．（2020·上海高二期末）直线1:210l x y -+=与直线2:210l x y ++=的夹角为______________. 【答案】90︒【分析】先利用斜率之积为1-，判定两直线垂直，即可得解.【详解】由直线1:210l x y -+=与直线2:210l x y ++=的方程可知，两直线的斜率分别为：1212,2k k ==-，∴121k k =-，∴12l l ⊥,∴两直线的夹角为90︒. 故答案为：90︒.【点睛】本题考查两直线的夹角的求法，关键根据两直线的方程求得斜率，根据斜率是否乘积为1-，从而判定两直线是否垂直是关键点.【变式9】．（2020·上海格致中学高二期末）若直线1:2310l x y +-=的方向向量是直线2:20l ax y a -+=的法向量，则实数a 的值等于__________. 【答案】32【分析】由题意结合直线方向向量、法向量的概念可得12l l ⊥，再由直线垂直的性质即可得解. 【详解】直线1l 的方向向量是直线2l 的法向量，∴12l l ⊥，∴230a -=，解得32a =. 故答案为：32. 【点睛】本题考查了直线方向向量、法向量概念的应用，考查了直线垂直的性质，属于基础题.【变式10】．（2020·上海高二期末）已知直线1l ：210ax y -+=、2l ：()130x a a y ++-=，若12l l ⊥，则实数a =_________.【答案】0或12- 【分析】若直线1l ：1110A x B y C ++=与直线2l ：2220A x B y C ++=垂直，则12120A A B B +=，代入数据计算即得. 【详解】直线1l ：210ax y -+=、2l ：()130x a a y ++-=，且12l l ⊥，()()1+210a a a ∴⨯-⨯+=,即220a a +=，解得0a =或12a =-. 故答案为：0a =或12a =-. 【点睛】本题考查直线的位置关系，属于基础题.【变式11】．（2020·上海市三林中学高二期末）已知直线1l ：()6180x t y +--=，直线2l ：()()46160t x t y +++-=，若1l 与2l 平行，则t =______.【答案】-5【分析】由平行关系可得()()()6641t t t ⨯+=+-，解方程验证排除重合可得.【详解】由题意可得()()()6641t t t ⨯+=+-，解方程可得5t =-或8t =，经验证8t =时直线重合，应舍去故当5t =-时，两直线平行.故答案为：-5.【点睛】本题考查直线的一般式方程和平行关系，属基础题.【变式12】．（2021·上海市奉贤中学高二期末）已知直线()()1:3410l k x k y -+-+=与()2:23230l k x y --+=平行，则k 的值是____．【答案】3或5【分析】由两直线平行得出()()()23243k k k --=--，解出k 的值，然后代入两直线方程进行验证. 【详解】直线()()1:3410l k x k x y -+-++=与()2:23230l k x y --+=平行，()()()23243k k k ∴--=--，整理得()()350k k --=，解得3k =或5.当3k =时，直线1:10l y +=，23:02l y -=，两直线平行； 当5k =时，直线1:210l x y -+=，23:202l x y -+=，两直线平行. 因此，3k =或5.故答案为3或5.【点睛】本题考查直线的一般方程与平行关系，在求出参数后还应代入两直线方程进行验证，考查运算求解能力，属于基础题.例题3．（2020·上海高二期末）已知二元一次方程组()()32232120k x y k x k y k ⎧--=⎪⎨++++=⎪⎩无解，求k 的值： 【答案】32k 【分析】根据题意知两直线平行,根据直线与直线平行的关系建立方程,求解验证即可.【详解】解:因为二元一次方程组()()32232120k x y k x k y k ⎧--=⎪⎨++++=⎪⎩无解, 则()322k x y k --=与()32120x k y k ++++=平行, 由3223212k k k k ---=≠++，解得：32k ． 经过验证满足题意． 32k ∴=时方程组无解． 【点睛】本题考查两直线平行,求参数,是基础题.【考点4】 ：点到直线的距离例题1．（2020·上海市七宝中学）直线l 经过点()2,1P -，且点()1,2--A 到l 的距离为1，则直线l 的方程为______．【答案】2x =-或4350x y ++=【分析】当直线l 斜率存在时，设出点斜式并利用点到直线的距离公式算出l 的方程为4350x y ++=；当直线与x 轴垂直时，l 方程为2x =-也符合题意．由此即可得到此直线l 的方程．【详解】设直线l 的方程为()12y k x -=+，即210kx y k -++=∵点()1,2--A 到l 的距离为1，1=，解之得43k =-， 得l 的方程为4350x y ++=．当直线与x 轴垂直时，方程为2x =-，点()1,2--A 到l 的距离为1，∴直线l 的方程为2x =-或4350x y ++=．故答案为：2x =-或4350x y ++=【点睛】本题主要考查求经过定点，且到定点的距离等于定长的直线l 方程，着重考查了直线的方程、点到直线的距离公式等知识，属于基础题．【变式1】．（2020·上海高二期末）若O 为坐标原点，P 是直线20x y -+=上的动点，则||OP 的最小值为______________.【分析】线段OP 的最小值，就是原点到已知直线的距离，根据点到直线的距离公式即可得出．【详解】解：原点到直线的距离d==故||OP【点睛】本题考查了点到直线的距离公式、转化方法，属于基础题．【变式2】．（2020·上海高二期末）已知点()4,1P,点Q的坐标(),x y满足212x y=,则点P与点Q距离的最小值为_____．【分析】先将212x y=转化为直线220x y--=,再求点P到直线220x y--=的距离即可.【详解】解: 点Q的坐标(),x y满足212x y=,则点Q在直线220x y--=上,则点P与点Q距离的最小值即为点P到直线220x y--=的距离:d===故点P与点Q故答案为:【点睛】本题考查二阶行列式的运算,考查点到直线的距离公式,是基础题.【变式3】．（2019·上海市进才中学高二期末）圆22240x y x y+-+=的圆心到直线3450x y+-=的距离等于________。
2018-2019学年上海市复旦大学附属中学高二下学期期末数学试题(解析版)
2018-2019学年上海市复旦大学附属中学高二下学期期末数学试题一、单选题1．已知双曲线()222210,0y x a b a b -=>>的一个焦点为()0,2F ,一条渐近线的斜率为则该双曲线的方程为（ ）A ．2213x y -=B ．2213y x -=C ．2213y x -=D ．2213x y -=【答案】C【解析】根据双曲线一个焦点()0,2F 可以求出c ,可求出,a b 的关系,最后联立222c a b =+,解方程求出,a b ,求出方程即可. 【详解】因为双曲线一个焦点的坐标为()0,2F ,所以2c =,所以有ab=而222c a b =+,所以224a b =+,因此有2241a b a a b b⎧=+⎧=⎪⎪⇒⎨⎨==⎪⎩⎪⎩. 故选：C 【点睛】本题考查了求双曲线方程,考查了双曲线的渐近线方程,考查了数学运算能力.2．在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，1AA =1AD 与1DB 所成角的余弦值为 A ．15B．6CD．2【答案】C【解析】分析：先建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用向量数量积求向量夹角，再根据向量夹角与线线角相等或互补关系求结果.详解：以D 为坐标原点，DA,DC,DD 1为x,y,z 轴建立空间直角坐标系，则11(0,0,0),(1,0,0),(1,1D A B D ,所以11(1(1,1AD DB u u u u v u u u u v=-=,因为111111cos ,5AD DB AD DB AD DB ⋅===u u u u v u u u u vu u u u v u u u u v u u u u v u u u u v ，所以异面直线1AD 与1DB 所成角，选C. 点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.3．某校实行选科走班制度，张毅同学的选择是物理、生物、政治这三科，且物理在A 层班级，生物在B 层班级，该校周一上午课程安排如下表所示，张毅选择三个科目的课各上一节，另外一节上自习，则他不同的选课方法有A ．8种B ．10种C ．12种D ．14种【答案】B【解析】根据表格进行逻辑推理即可得到结果. 【详解】张毅不同的选课方法如下：（1）生物B 层1班，政治1班，物理A 层2班； （2）生物B 层1班，政治1班，物理A 层4班； （3）生物B 层1班，政治2班，物理A 层1班； （4）生物B 层1班，政治2班，物理A 层4班； （5）生物B 层1班，政治3班，物理A 层1班； （6）生物B 层1班，政治3班，物理A 层2班；（7）生物B 层2班，政治1班，物理A 层3班； （8）生物B 层2班，政治1班，物理A 层4班； （9）生物B 层2班，政治3班，物理A 层1班； （10）生物B 层2班，政治3班，物理A 层3班； 共10种，故选B. 【点睛】本题以实际生活为背景，考查了逻辑推理能力与分类讨论思想，属于中档题. 4．已知两个复数1z ,2z 的实部和虚部都是正整数,:①最大值为2；②无最大值;；④无最小值.其中正确判断的序号是（ ） A ．①③ B ．①④C ．②④D ．②③【答案】C【解析】设两个复数1z ,2z ,12z z +在复平面内对应点,,A B C ,利用平面向量的加法的几的最值情况.【详解】设两个复数1z ,2z ,12z z +在复平面内对应点,,A B C ,因此有：====因为, 复数1z ,2z 的实部和虚部都是正整数,所以,[0,)2OA OB π<>∈u u u r u u u r,2OA OB OB OA +≥=u u u r u u u r u u u r u u u r (当且仅当OA OB =u u u r u u u r )，而cos ,OA OB <>u u u r u u u r 是正数,故,对任意正整数M ,11z i =+,2z M Mi =+,OA OB M OB OA +>u u u r u u u ru u ur u u u r ,故,因此②④说法正确.故选：C 【点睛】本题考查了复数的向量表示,考查了平面向量的数量积的计算,考查了数学运算能力.二、填空题5．已知全集{}1,0,1,2,3U =-,集合{}0,1,2A =,{}1,0,1B =-,则()U A B =I ð______. 【答案】{}1-【解析】利用集合补集和交集的定义直接求解即可. 【详解】因为全集{}1,0,1,2,3U =-,集合{}0,1,2A =,{}1,0,1B =-,所以{}(){}=1,31U UA AB -∴=-I 痧.故答案为：{}1- 【点睛】本题考查了集合的补集、交集的定义,属于基础题.6=______.【答案】564【解析】利用模的性质、复数的乘方运算法则、模的计算公式直接求解即可. 【详解】()4481080525646441i i ⋅===⨯⋅+. 故答案为：564【点睛】本题考查了复数模的性质及计算公式,考查了复数的乘方运算,考查了数学运算能力. 7．从集合{}1,1,2,3-随机取一个为m ,从集合{}2,1,1,2--随机取一个为n ,则方程221x y m n+=可以表示___个不同的双曲线. 【答案】8【解析】根据双曲线方程的特点,结合分类和分步计数原理直接求解即可. 【详解】因为方程221x y m n+=表示双曲线,所以0mn <.因此可以分成两类：第一类：从集合{}1,1,2,3-中取一个正数,从集合{}2,1,1,2--取一个负数,有326⨯=种不同的取法；第二类：从集合{}1,1,2,3-中取一个负数,从集合{}2,1,1,2--取一个正数,有122⨯=种不同的取法.所以一共有32128⨯+⨯=种不同的方法. 故答案为：8 【点睛】本题考查了双曲线方程的特点,考查了分类和分步计数原理,考查了数学运算能力.8．在621x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中,第4项的二项式系数是______（用数字作答）. 【答案】20【解析】利用二项式的通项公式即可求出. 【详解】二项式621x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的通项公式为：62361661()()(1)r r r r r r r T C x C xx --+=⋅⋅-=⋅-⋅. 令3r =, 所以第4项的二项式系数是3620C =故答案为：20 【点睛】本题考查了二项式某项的二项式系数,解决本题要注意与二项式某项的展开式系数的不同.9．已知,αβ表示两个不同的平面,m 为平面α内的一条直线,则“,αβ构成直二面角”是“m β⊥”的______条件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”“或”“既不充分也不必要”）.【答案】必要不充分【解析】根据直二面角的定义、面面垂直的判定理、充分性、必要性的定义可以直接判断. 【详解】,αβ构成直二面角,说明平面,αβ互相垂直,但是m β⊥不一定成立,比如这两个相交平面的交线显然是平面α内的一条直线,它就不垂直于平面β；当m β⊥时, m 为平面α内的一条直线,由面面垂直的判定定理可知：,αβ互相垂直,因此,αβ构成直二面角,故由m β⊥可以推出,αβ构成直二面角,故“,αβ构成直二面角”是“m β⊥”的必要不充分条件.故答案为：必要不充分 【点睛】本题考查了必要不充分条件的判断,考查了面面垂直的判定定理.10．若直线与直线250x y -+=与直线260x my +-=互相垂直，则实数m =_______ 【答案】1【解析】：121212,,,12k k k k m ==-∴⋅=-Q 直线互相垂直，即12()1,12m m⋅-=-∴=11．复数11211011091i i i ⨯+⨯++⨯L 的虚部是______. 【答案】5-【解析】利用错位相消法可以化简式子,最后求出它的虚部. 【详解】令11211011091(1)S i i i=⨯+⨯++⨯L ,1021311111091(2)i S i i i ⋅=⨯+⨯++⨯L ,(1)(2)-得, 10112131101111(1)10()i S i i i i i -⋅=⨯-+++-L ,2110910[1()]21021051i i S i i S i S i i-=--+⇒=-⇒=--. 故答案为：5- 【点睛】本题考查了错位相消法,考查了等比数列的前n 项和公式,考查了i 乘方运算的性质,考查了数学运算能力.12．已知经停某站的高铁列车有100个车次,随机从中选取了40个车次进行统计,统计结果为：10个车次的正点率为0.97,20个车次的正点率为0.98,10个车次的正点率为0.99,则经停该站的所有高铁列车正点率的标准差的点估计值为______（精确到0.001）. 【答案】0.007【解析】根据平均数的公式,求出平均数,再根据标准差公式求出标准差即可.【详解】由题意可知：所有高铁列车平均正点率为：1(100.97200.98100.99)0.98102010x =⨯⨯+⨯+⨯=++.所以经停该站的所有高铁列车正点率的标准差的点估计值为：2221210(0.01)200100.010.010.007070.00740s ⎡⎤=⨯⨯-+⨯+⨯=⨯=≈⎣⎦ 故答案为：0.007 【点睛】本题考查了平均数和标准差的运算公式,考查了应用数学知识解决实际问题的能力.13．设A ,B 是实数集R 的两个子集,对于x ∈R ,定义：0,,1,,x A m x A ∉⎧=⎨∈⎩ 0,,1,,x B n x B ∉⎧=⎨∈⎩若对任意x ∈R ,1m n +=,则A ,B ,R 满足的关系式为______. 【答案】R A C B =或R B C A =.【解析】根据新定义、1m n +=可以得到两种情况,一种0,1m n ==,另一种情况1,0==m n ,这样就可以确定A ,B ,R 满足的关系.【详解】因为对任意x ∈R ,1m n +=,所以,m n 必有一个0,一个是1.根据定义可知：当x A ∈时,则有x B ∉,当x A ∉时,则有x B ∈,根据补集定义可知：R A C B =或R B C A =.故答案为：R A C B =或R B C A =. 【点睛】本题考查了新定义题,考查了数学阅读能力,考查了集合补集定义的理解.14．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是________. 【答案】24π【解析】试题分析：正四棱柱的高是4，体积是16，则底面边长为2，底面正方形的对角线长度为，所以正四棱柱体对角线的长度为，四棱柱体对角线为外接球的直径，所以球的半径为，所以球的表面积为244624S r πππ==⋅=．【考点】正四棱柱外接球表面积．15．6月12日,上海市发布了《上海市生活垃圾分类投放指南》,将人们生活中产生的大部分垃圾分为七大类.某幢楼前有四个垃圾桶,分别标有“可回收物”、“有害垃圾”、“湿垃圾”、“干垃圾”,小明同学要将鸡骨头（湿垃圾）、贝壳（干垃圾）、指甲油（有害垃圾）、报纸（可回收物）全部投入到这四个桶中,若每种垃圾投放到每个桶中都是等可能的,那么随机事件“4种垃圾中至少有2种投入正确的桶中”的概率是______. 【答案】67256【解析】先求出基本事件的个数,再求出4种垃圾中至少有2种投入正确的桶中的事件的个数,最后利用古典概型求出概率即可. 【详解】由题意可知：基本事件的个数为4444256⨯⨯⨯=.设事件A 为4种垃圾中至少有2种投入正确的桶中,则事件A 包含的基本事件个数为：22114433167C C ⋅+⋅+=,所以67()256P A =. 故答案为：67256【点睛】本题考查了古典概型计算公式,考查了分类讨论思想,考查了数学运算能力.16．对于无理数x ,用x 表示与x 最接近的整数,如3=,2=.设n *∈N ，对于区间11,22n ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的无理数x ,定义x xm m C C =,我们知道,若m *∈N ,()n m n *∈N ≤和()r r n *∈N ≤,则有以下两个恒等式成立：①m n m n n C C -=；②11r r r m m m C C C -+=+,那么对于正整数n 和两个无理数()0,m n ∈,()1,r n ∈,以下两个等式依然成立的序号是______；①m n m n n C C -=；②11r r r n n n C C C -+=+.【答案】①，②..【解析】根据新定义,结合组合数公式,进行分类讨论即可. 【详解】当1()2m n +>时,由定义可知：m n 〈〉=,01,1m m n n m n m n n n n nn C C C C C C 〈〉-〈-〉======, 当1()2m n +<时,由定义可知：1m n 〈〉=-,11,m m n n m n m n n n n n n C C C n C C C n 〈〉--〈-〉======,故①m n mn n C C -=成立；当1()2r n +>时,由定义可知：r n 〈〉=,1111111,1r r n r r r r n n n n n n nn n n n C C C n C C C C C C n 〈〉-〈〉〈-〉-+++===++=+=+=+, 当1()2r n +<时,由定义可知：1r n 〈〉=-,11112111(1)(1)(1),222r r n r r r r n n n n n n n n n n n n n n n n n C C C C C C C C C n 〈〉--〈〉〈-〉--++++-+===+=+=+=+=故②11r r r n n n C C C -+=+成立.故答案为：①，②. 【点睛】本题考查了新定义题,考查了数学阅读能力,考查了组合数的计算公式,考查了分类讨论思想.三、解答题17．如图,在多面体ABCDEF 中,FA ⊥平面ABCD ,四边形ADEF 为正方形,四边形ABCD 为梯形,且AD BC ∥,90BAD ∠=︒,1AB AD ==,3BC =.(1)求直线BF 与平面CDE 所成角的正弦值；(2)线段BD 上是否存在点M ,使得直线CE P 平面AFM ？若存在,求BMBD的值：若不存在,请说明理由. 【答案】(1)105；(2) 23.【解析】建立适当的空间直角坐标系.(1)求出平面CDE 的法向量,利用空间向量夹角公式可以求出直线BF 与平面CDE 所成角的正弦值；(2)求出平面AFM 的法向量,结合线面平行的性质,空间向量共线的性质,如果求出BMBD的值,也就证明出存在线段BD 上是否存在点M ,使得直线CE P 平面AFM ,反之就不存在. 【详解】以A 为空间直角坐标系的原点, 向量,,AB AD AF u u u r u u u r u u u r所在的直线为,,x y z 轴.如下所示：(0,0,0),(1,0,0),(1,3,0),(0,1,0),(0,1,1),(0,0,1)A B C D E F.(1)平面CDE 的法向量为111(,,)m x y z =u r ,(1,2,0),(0,0,1),(1,0,1)DC DE BF ===-u u u r u u u r u u u r. 111200(2,1,0)00x y m DC m DC m z m DE m DE +=⎧⎧⎧⊥⋅=⇒⇒∴=-⎨⎨⎨=⊥⋅=⎩⎩⎩u u u v u u u v v v v u u uv u u u v v v . 直线BF 与平面CDE 所成角为θ,所以有210sin 552m BF m BFθ⋅-===⨯⋅u r u u u r ur u u u r ;(2)假设线段BD 上是存在点M ,使得直线CE P 平面AFM .设([0,1])BMBDλλ=∈,因此BM BDλ=u u u u r u u u r,所以M 的坐标为：(1,,0)λλ-.(1,2,1)CE =--u u u r . 设平面AFM 的法向量为222(,,)n x y z =r ,(0,0,1),(1,,0)AF AM λλ==-u u u r u u u u r,22200(,1,0)(1)00z n AF n AF n x y n AM n AM λλλλ=⎧⎧⎧⊥⋅=⇒⇒∴=--⎨⎨⎨-+=⊥⋅=⎩⎩⎩u u u v u u u v v v v u u u u v u u u u v v v , 因为直线CE P 平面AFM ,所以有22(1)03CE n λλλ⊥⇒--=⇒=u u u r r ,即23BM BD =. 【点睛】本题考查了线面角的求法以及线面平行的性质,考查了数学运算能力. 18．已知正整数2n ≥,()()1103nn n n n f x x a x a x a x a --=+=++⋅⋅⋅++1. (1)若()f x 的展开式中,各项系数之和比二项式系数之和大992,求n 的值； (2)若2019n =,且k a 是110,,,,n n a a a a -⋅⋅⋅中的最大值,求k 的值.【答案】(1) 5n =；(2)504k =或505k =.【解析】(1)令1x =求出()f x 的展开式中各项系数和,结合二项式系数和公式,可由题意列出方程,解方程即可求出n 的值(2)根据数列最大项的定义,可以列出不等式组,解这个不等式组即可求出k 的值. 【详解】(1) 令1x =,所以()f x 的展开式中各项系数和为：4n ,二项式系数和为：2n ,由题意可知：42992(232)(231)0232n n n n n -=⇒-+=⇒=或221n =-(舍去),所以5n =；(2) 二项式()3nx +的通项公式为：2019120193r rr r T C x-+=⋅⋅. 因为k a 是110,,,,n n a a a a -⋅⋅⋅中的最大项,所以有：201920192018201812019201920192019202020201201920195043350450550533k k kk k k k k k kk k a a k C C k a a k C C ----+-----≥⎧≥⋅≥⋅⎧⎧⇒⇒⇒≤≤⎨⎨⎨≥≤⋅≥⋅⎩⎩⎩, 因此504k =或505k =. 【点睛】本题考查了二项式系数之和公式和展开式系数之和算法,考查了二项式展开式系数最大值问题,考查了数学运算能力. 19．设z C ∈. (1)若312iz i+=+,且z 是实系数一元二次方程20x bx c ++=的一根,求b 和c 的值； (2)若4zz -是纯虚数,已知0z z =时,z +取得最大值,求0z ； (3)肖同学和谢同学同时独立地解答第（2）小题,己知两人能正确解答该题的概率分别是0.8和0.9,求该题能被正确解答的概率.【答案】(1) 2,2-；(2) 03z =+；(3) 0.98. 【解析】(1)利用复数除法的运算法则化简312iz i+=+,再根据实系数一元二次方程的性质和根与系数关系可以求出b 和c 的值；(2)设出复数z 的代数形式,利用复数的除法法则和4zz -是纯虚数,可得出复数z 的实问部和虚部之间的关系,再由0z z =时,z +取得最大值,这样可以求出0z ； (3)求出该题不能被正确解答的概率,然后运用对立事件概率公式求出该题能被正确解答的概率.【详解】 (1) 3(3)(12)112(12)(12)i i i z i i i i ++⋅-===-++⋅-.因为z 是实系数一元二次方程20x bx c ++=的一根,所以1i +也是实系数一元二次方程20x bx c ++=的一根,因此由根与系数关系可知：(1)(1)2(1)(1)2i i c b i i b c +-==-⎧⎧⇒⎨⎨++-=-=⎩⎩,所以b 和c 的值分别为2,2-； (2)设(,)z x yi x y R =+∈.222()(4)(4)444(4)(4)(4)z x yi x yi x yi x x y yi z x yi x yi x yi x y ++⋅---+-===-+-+-⋅---+是纯虚数,所以有 222(4)0,0(2)4,0x x y y x y y -+=≠⇒-+=≠,它表示以(2,0)A 为圆心，2为半径的圆, z +的几何意义是圆上的点(,)P x y到点(0,B -是距离. ,,P A B 在同一条直线上且,PA PB u u u r u u u r同向时,z +取得最大值, 因为2,6PA PB ==u u u r u u u r ,所以 13PA PB =u u u r u u u r所以1(2,)(,)3x y x y --=--,因此12()331()()3x x x y y y ⎧-=-⎪=⎧⎪⎪⇒⎨⎨=⎪⎩⎪-=--⎪⎩所以03z =+(3) 该题不能被正确解答的概率为(10.9)(10.8)0.02-⨯-=,因此能被正确解答的概率为：10.020.98-=.【点睛】本题考查了实系数一元二次方程的根的性质和根与系数关系,考查了根据复数的类别求轨迹问题,考查了对立事件的计算公式.20．已知以椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的焦点和短轴端点为顶点的四边形恰好是面积为4的正方形. (1)求椭圆E 的方程：(2)若(),x y 是椭圆E 上的动点,求2x y +的取值范围；(3)直线l ：()0y kx m km =+≠与椭圆E 交于异于椭圆顶点的A ,B 两点,O 为坐标原点,直线AO 与椭圆E 的另一个交点为C 点,直线l 和直线AO 的斜率之积为1,直线BC 与x 轴交于点M .若直线BC ,AM 的斜率分别为1k ,2k 试判断122k k +,是否为定值,若是,求出该定值；若不是,说明理由.【答案】(1) 22142x y +=；(2) (2)[x y +∈-； (3)是定值,为0.【解析】(1)由题意可知：22224b ca abc =⎧⎪=⎨⎪=+⎩,解这个方程组即可； (2)把椭圆的方程化为参数方程,根据辅助角公式可以求出2x y +的取值范围； (3)直线方程与椭圆E 的标准方程联立,利用根与系数关系,可以判断出122k k +为定值. 【详解】(1)因为以椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的焦点和短轴端点为顶点的四边形恰好是面积为4的正方形.所以有22224b ca abc =⎧⎪=⎨⎪=+⎩,解得224,2a b ==,所以椭圆E 的方程为：22142x y += (2)椭圆椭圆E的参数方程为：2cos x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩(θ为参数且[0,2]θπ∈).因为(),x y 是椭圆E 上的动点,所以24cos )x y θθθϕ+==+,其中1sin 3ϕϕ==. sin()[1,1]θϕ+∈-Q.(2)[x y ∴+∈-(3)设()()()11221122,,,,0,0A x y B x y x y x y ≠≠,则()11,C x y --,11AO y k x =.直线l ：()0y kx m km =+≠与椭圆E 的方程联立为：22142x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y 得()222124240k xkmx m +++-=,由根与系数关系可得：()121121212122121421,2121222y y y kmm x x y y k x x m k k k x x k x ++=-+=++=∴==-=-+++直线BC 的方程为：()11112y y y x x x +=-+,令0y =,因为10y ≠,所以13x x =-. ()11121113,0,34y yM x k x x x ∴-==+。
2023-2024学年复旦大学附中高二数学(下)6月调研试卷附答案解析
2023-2024学年复旦大学附中高二数学（下）6月调研试卷（试卷满分：150分，考试时间：120分钟）一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，第1—6题每题4分，第7—12题每题5分．1．抛物线24x y =-的准线方程为.2．某小组成员的年龄分布茎叶图如图所示，则该小组成员年龄的第25百分位数是．3．若一个圆锥的侧面展开图是面积为的半圆面，则该圆锥的体积为.4．已知点()1,2,1A --，平面α经过原点O ，且垂直于向量()1,1,3n =-，则点A 到平面α的距离为5．某校共有400名学生参加了趣味知识竞赛（满分：150分），且每位学生的竞赛成绩均不低于90分．将这400名学生的竞赛成绩分组如下：[90,100),[100,110),[110,120),[120,130),[130,140),[140,150]，得到的频率分布直方图如图所示，则这400名学生中竞赛成绩不低于120分的人数为．6．了解某中学学生的身高情况，采用分层随机抽样的方法抽取了30名男生，20名女生．已知男生身高的平均数为170cm ，方差为16，女生身高的平均数为165cm ，方差为25，则可估计该校学生的方差为．7．设R c ∈，P 为双曲线221x y -=右支上一动点.若点P 到直线10x y -+=的距离大于c 恒成立，则c 的最大值为.8．A B C ､､三位好友进行乒乓球循环赛，A B ､先进行一局决胜负，负者下，由C 挑战A ､B 的胜者，继续进行一局决胜负，负者下，胜者下一局再接受第三人的挑战，依此进行.假设三人水平接近，任意两人的对决获胜的概率都是0.5且不受体力影响，已知三人共比赛了3局，那么这3局中三人各胜一局的概率为.9．给定数列{}2,918n n a a n n =-+-，则对所有(),,,0,n m m n m n m n S S <∈>-N 最大值为．10．设0a b >>，椭圆22221x y a b +=的离心率为1e ，双曲线2222212x yb a b-=-的离心率为2e ，若121e e <，则21e e 的取值范围是．11．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点F 是棱1CC 的中点，P 是正方体表面上的一点，若1D P AF ⊥，则线段1D P 长度的最大值为．12．空间直角坐标系中，从原点出发的两个向量a 、b 满足：2a b ×=，1= b ，且存在实数t ，使得20a a tb -+≥ 成立，则由a构成的空间几何体的体积是.二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，第13—14题每题4分，第15—16题每题5分．13．下列统计量中，不能．．度量某样本离散程度的是（）A ．方差B ．极差C ．中位数D ．标准差14．已知垂直竖在水平地面上相距20米的两根旗杆的高分别为10米和15米,地面上的动点P 到两旗杆顶点的仰角相等,则点P的轨迹是A ．椭圆B ．圆C ．双曲线D ．抛物线15．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为棱AB 和1DD 的中点，过点1B ，E ，F 的平面α交AD 于点G ，则AG =（）A ．13B ．23C ．34D ．4316．小明同学用两个全等的六边形木板和六根长度相同的木棍搭成一个直六棱柱111111ABCDEF A B C D E F -，由于木棍和木板之间没有固定好，第二天他发现这个直六棱柱变成了斜六棱柱111111ABCDEF A B C D E F -，如图所示.设直棱柱的体积和侧面积分别为1V 和1S ，斜棱柱的体积和侧面积分别为2V 和2S ，则（）.A ．1212V V S S >B ．1212V V S S <C ．1212V V S S =D ．11V S 与22V S 的大小关系无法确定三、解各题（本大题满分78分）本大愿共有5题．17．从0，1，2，3这四个数字中，不放回地取两次，每次取一个.构成数对(),x y ，x 为第一次取到的数字，y 为第二次取到的数字．设事件A =“第一次取出的数字是1”，B =“第二次取出的数字是2”．(1)写出此试验的样本空间及()(),P A P B 的值；(2)判断A 与B 是否为互斥事件，并求()P A B ．18．已知m ∈R ，设直线1l ：10x my -+=，直线2l ：440mx y m --+=.(1)若12l l ∥，求m 的值；(2)当1l 与2l 相交时，求交点I 的坐标（用m 表示），并证明点I 恒在一条定直线上.19．如图所示，已知圆锥的底面半径2m r =，经过旋转轴AO 的截面是等边三角形SAB ，点Q 为半圆弧AB 的中点，点P 为母线SA的中点．(1)求此圆锥的体积和表面积；(2)求异面直线PQ 与SO 所成角的大小；(3)若一只蚂蚁从Q 点沿着圆锥的侧表面爬至P 点，请你能否作出合情的假设，来估算该蚂蚁行程的最小值（精确到0.01m ）．20．已知椭圆Γ：22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点分别为1F ()，2F )，点P 是Γ上一点，直线l 0y -=（m ∈R ）．(1)当b l 恰经过Γ的右顶点A ，求m 的值；(2)当m =P 同时是l 上一点且12π6F PF ∠=，求a 的值；(3)设直线2PF 交l 于点Q ，对每一个给定的m ∈R ，任意满足223(1)4a m ≤+的实数a ，都有21||2QF a ≥成立．则当m 变化时，求2||QF 的最小值．21．有限数列{}n a ，若满足12131||||||m a a a a a a -≤-≤≤- ，m 是项数，则称{}n a 满足性质p .（1）判断数列3,2,5,1和4,3,2,5,1是否具有性质p ，请说明理由.（2）若11a =，公比为q 的等比数列，项数为10，具有性质p ，求q 的取值范围.（3）若n a 是1,2,...,m 的一个排列1(4),(1,2...1),{},{}k k n n m b a k m a b +≥==-都具有性质p ，求所有满足条件的{}n a .1．1y =【解析】根据抛物线的性质得结论．【详解】由抛物线方程得2p =，焦点为(0,1)-，准线方程为1y =．故答案为：1y =．2．32.5##652【分析】根据茎叶图中数据，利用百分位数的定义计算即可.【详解】因为1225%3⨯=，所以该小组成员年龄的第25百分位数是1(3233)32.52⨯+=，故答案为：32.5.3．【详解】由面积为的半圆面，可得圆的半径为2，即圆锥的母线长为2.圆锥的底面周长为.所以底面半径为1..4．61111【分析】求出AO，再利用点到平面的距离公式，求出答案.【详解】由题知()1,2,1AO =-，设点A 到平面α的距离为d ，则11AO ndn⋅===，所以点A到平面α故答案为：61111.5．220【分析】由频率分布直方图的面积和为1求出a，再计算出结果即可.【详解】由频率分布直方图可知()0.0100.0100.0250.0150.005101a+++++⨯=，解得0.035a=，这400名学生中竞赛成绩不低于120分的人数为()4000.0350.0150.00510220´++´=，故答案为：2206．25.6【分析】利用分层抽样的平均数公式、方差公式计算即得.【详解】由分层随机抽样抽取的样本中男生有30人，女生有20人，得男生所占的权重为13030.630205w===+，女生所占的权重为210.60.4w=-=，而男生身高的平均数1170cmx=，方差2116s=，女生身高的平均数2165cmx=，方差2225s=，估计该校学生身高的平均数11220.61700.4165168x w x w x=+=⨯+⨯=，方差22222111222[()][()]s w s x x w s x x=+-++-220.6[16(170168)]0.4[25(165168)]25.6=⨯+-+⨯+-=.故答案为：25.67【分析】依据题意将题目转化为平行线间距离的最值问题，利用平行线间距离公式建立方程，求解参数值即可.【详解】由双曲线方程221,x y-=可得1,1a b==，则双曲线的一条渐近线方程为y x=，因为双曲线无限接近于渐近线，且显然直线y x =与直线10x y -+=平行，则两直线之间的距离d 即为c 的最大值，此时22c d ===.8．14##0.25【分析】根据相互独立事件和概率的加法公式进行计算可得答案.【详解】设A B ､比赛A 获胜为事件M ，,A C 比赛C 获胜为事件N ，C B ､比赛B 获胜为事件Q ，且,,M N Q 相互独立，则()()()12P M P N P Q ===，设三人共比赛了3局，三人各胜一局的概率为D ，则()()()()()()()P D P M P N P Q P M P Q P N =+11111112222224=⨯⨯+⨯⨯=.故答案为：14.9．4【分析】根据题意，由数列的通项公式可得360a a ==，即可得到n m S S -的最大值是53S S -，然后代入计算，即可得到结果.【详解】由29180n a n n =-+-=可得3n =或6n =，即360a a ==，又函数()2918f x x x =-+-的图像开口向下，所以数列{}n a 的前3项为负数，当6n >时，数列中的项均为负数，在m n <的前提下，n m S S -的最大值是5345S S a a -=+，其中24449182a =-+⨯-=，25559182a =-+⨯-=所以5345224S S a a -=+=+=故答案为：410．12+⎭【分析】首先由椭圆标准方程和双曲线标准方程的定义，得出椭圆与双曲线共焦点，再分别表示出离心率，根据121e e <及2220a b ->即可求得21e e 的范围．【详解】解：由题意知椭圆的2221c a b =-，双曲线的22222222c b a b a b =+-=-，则椭圆与双曲线共焦点，设12c c c ==，则1c e a =，2c e b=，212c e e ab∴=，21e a e b =，121e e < ，2221c a b a bab ab b a-∴==-<，设0at b =>，则11t t-<，解得102t +<<，即1502a b <<，又2220a b -> ，且0a b >>，ab∴>，故21e e的取值范围是12+⎭．故答案为：152⎫⎪⎪⎭11．32##1.5【分析】建立空间直角坐标系，作出辅助线，证明出AF ⊥平面11D EHB ，故点P 在平面11D EHB 上，故当点,P H 重合时，线段1D P 长度取得最大值，求出最大值.【详解】如图，以D 为坐标原点，1,,DA DC DD 所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，取CD 的中点E ，BC 的中点H ，连接EH ，则()()()()()()110,0,1,0,0.5,0,0.5,1,0,1,1,1,0,1,0.5,1,0,0D E H B F A ，则()()()()1111,1,0.5,0,0.5,1,1,1,0,0.5,0.5,0AF D E D B EH =-=-==，112D B EH = ，故11,D B EH平行，故()()11,1,0.50,0.5,100.50.50AF D E ⋅=-⋅-=+-= ，()()111,1,0.51,1,0110AF D B ⋅=-⋅=-+=，故AF ⊥1D E ，AF ⊥11D B ，又1111D E D B D = ，111,D E D B ⊂平面11D EHB ，故AF ⊥平面11D EHB ，故点P 在平面11D EHB 上，故当点,P H 重合时，线段1D P 长度取得最大值，()()()10.5,1,00,0,10.5,1,1D H =-=-，故1D P 32=.故答案为：3212．89π##89π【分析】由不等式有解，结合数量积运算，求得a ≤ 2ab ×= 且1= b ，可得a 围成的空间几何体是以原点为顶点，高为2.【详解】由已知得224a a tb ≥+ ，所以2223840a ta b t b +⋅+≤ ，所以存在实数t ，使得不等式2241630t t a ++≤ 有解，则有()22Δ164430a =-⨯⨯≥ ，解得a 又因为2ab ×=且1= b ，所以a 在b 方向上的数量投影是2，所以a围成的空间几何体是以原点为顶点，高为2故由a构成的空间几何体的体积为218ππ239⋅⋅=.故答案为：8π9.13．C【分析】利用中位数、极差、方差、标准差的意义判断即可.【详解】在统计量中，极差、方差、标准差都是刻画某样本离散程度的量，中位数是刻画某样本集中趋势的量，所以不能度量某样本离散程度的是中位数.故选：C 14．B【详解】如图，建立直角坐标系依题意可得，10,15,20,OA BC OB APO BPC ===∠=∠则(0,0),(0,10),(20,0),(20,15)O A B C 设(,)P x y ，因为APO BPC ∠=∠，所以tan tan APO BPC ∠=∠则OA BCOPBP=，=化简可得22323200x x y ++-=，即22(16)576x y ++=所以P 点轨迹为圆，故选B 15．D【分析】通过平行得到平面与11C D 的交点H ，从而得到与面1111D C B A 的交线，再由平行得到与平面ABCD 的交线，从而确定点G 的位置，根据H 为11C D 的四等分点得到G 为AD 的三等分点，从而得到AG 的长.【详解】如图，平面1B EF 与平面11CC D D 的交线与1B E 平行，即过点F 作1B E 的平行线，交11C D 于点H ，连接1B H ，因为E ，F 分别为棱AB 和1DD 的中点，所以H 为11C D 的四等分点,过点E 作1EG B H ，交AD 于点G .从而G 为AD 的三等分点，故24233AG =⨯=.故选：D.16．A【分析】根据柱体体积、表面积的求法，分别表示出11V S 和22V S ，分析即可得答案.【详解】设底面面积为S ，底面周长为C ，则11V S AA =⋅，11S C AA =⋅，所以11V SS C=，设斜棱柱的高为h ，则2V S h =⋅，2AB BC CD DE EF FAS AB h BC h CD h DE h EF h FA h =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯()AB BC CD DE EF FA h Ch >+++++⨯=,所以2121V V Sh S S Ch C S <==.故选：A17．(1)14(2)512【分析】（1）根据题意直接写出样本空间的所有基本事件，再分析满足的基本事件求解即可；（2）判断是否能同时发生即可判断与是否为互斥事件，再结合（1）可得()P A B ；【详解】（1）样本空间：()()()()()()()()()()()(){}0,1,0,2,0,3,1,0,1,2,1,3,2,0,2,1,2,3,3,0,3,1,3,2Ω=，所以()12n Ω=.因为{(1,0),(1,2),(1,3)}A =，{(0,2),(1,2),(3,2)}B =，所以()3n A =，()3n B =.从而31()124P A ==，31()124P B ==.（2）因为{(1,2)}A B = ，故A 与B 不是互斥事件.又{(1,0),(1,2),(1,3),(0,2)(3,2)}A B = .所以()5n A B = .从而5()12P A B =.18．(1)2m =-(2)22,22m I m m -⎛⎫⎪++⎝⎭，点I 恒在定直线210x y +-=上【分析】（1）根据直线平行的条件列方程可得m ，然后验证是否重合可得；（2）联立直线方程求解可得点I 的坐标，然后消参可知点I 在定直线上.【详解】（1）因为12l l ∥，所以1(4)()m m ⨯-=-⨯，解得2m =±，当2m =时，直线1l ：210x y -+=，直线2l ：2420x y -+=即210x y -+=，显然此时两直线重合，当2m =-时，直线1l ：210x y ++=，直线2l ：2460x y --+=即230x y +-=，符合题意，故2m =-.（2）由（1）知，当1l ，2l 相交时2m ≠±，联立10440x my mx y m -+=⎧⎨--+=⎩，解得2222m x m y m -⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，∴22,22m I m m -⎛⎫⎪++⎝⎭，因为222221222m m x y m m m -⨯++=+==+++，即210x y +-=，所以点I 恒在定直线210x y +-=上.19．(1)体积383πm 3；表面积212πm(2)能；2.95m【分析】(1)利用圆锥体积公式和表面积公式求解；(2)根据空间向量的坐标运算求异面直线所成的角；(3)利用侧面展开图，根据两点之间直线最短求解.【详解】（1）因为2m r =，所以24m SB AB r ===，则SO =，所以圆锥的体积为321π3m 3V r SO =⋅=，表面积为221π2π12πm 2S r r SB =+⨯⨯=.（2）建立如图所示空间直角坐标系，则(0,0,(0,0,0),(0,2,0),(2,0,0),S O A Q P ,所以(0,0,(2,1,SO PQ =-=- ,设异面直线PQ 与SO 所成角为α，则cos cos ,SO PQ SO PQ SO PQα⋅=<>=⋅ 所以异面直线PO 与SO所成角为（3）将该圆锥的侧面夹在母线,SQ SA 的部分展开，如图，连接PQ，因为 12ππ4AQ r =⨯=， π4AQ ASQ SA ∠==，所以SPQ中，由余弦定理可得，2222cos 20PQ SP SQ SP SQ ASQ =+-⋅∠=-所以 2.95m PQ =≈.20．(1)3m =(2)3a =+【分析】（1）利用椭圆参数,,a b c 的几何意义，再由直线过右顶点，即可求出m ；（2）由椭圆焦半径三角形，结合已知两角和焦距，即可解得a ；（3）用几何意义得到2QF 的最小值，从而得到,a m 的关系，再结合已知条件去解出m 的范围，即可求解问题.【详解】（1）由b c 得：222639a b c =+=+=，所以右顶点()30A ，，0y -=得：03m =⇒=.（2）当m =时,直线l 30y --=经过焦点2F ，点P 是Γ上一点且P 同时是l 上一点，则如图可知：12π6F PF ∠=，又因为直线l2π3PF A ∠=，用三角形的外角等于不相邻的两内角和可知：12πππ366PF F =-=∠，即212=PF F F 222121221212=+2cos 36PF PF F F PF F F F F P -∠=，即1=6PF ，由椭圆的定义得：12263a PF PF a =+=+⇒=（3）由几何性质可知2QF 的最小值是点2F 到直线l 0y -=的距离，即d =由21||2QF a ≥2a ≥，即3a m ≤，因为任意满足223(1)4a m ≤+的实数a ，都有21||2QF a ≥成立，即任意满足223(1)4a m ≤+的实数a ，都有3a ≤成立，则()223(1)34m +≤，即：23110m -+≥，解得：m ≤或m ≥所以当m 变化时，31≥或31≤--即31≥或3≥而2QF ，所以2||QF .【点睛】关键点点睛：对任意满足223(1)4a m ≤+的实数a ，都有21||2QF a ≥成立的充要条件是()223(1)34m +≤，从而问题得以求解.21．（1）第一个数列具有性质p ，第二个数列不具有性质p ；理由见解析；（2）(](),20,q ∈-∞-+∞ ；（3）答案见解析.【分析】（1）结合题设中的定义可判断给定的两个数列是否具有性质p ；（2）等比数列具有性质p 等价于()11(1)120n n q q q q --⎡⎤-+-≥⎣⎦对任意的,2n N n ∈≥恒成立，就1,01,10,1q q q q ≥<<-≤<<-分类讨论后可得q 的取值范围.（3）设1=a p ，先考虑{}3,4,3,2p m m ∈--…,均不存在具有性质p 的数列，再分别考虑1,2,,1p m m =-时具有性质p 的数列，从而得到所求的数列.【详解】（1）对于第一个数列有|23|1,|53|2,|13|2-=-=-=，满足题意，该数列满足性质p 对于第二个数列有|34|1,|24|2,|54|1-=-=-=不满足题意，该数列不满足性质p .（2）由题意可得，{}111,2,3,...,9n n q q n --≥-∈两边平方得：2221212+1n n n n q q q q ---+≥-整理得：()11(1)120n n q q q q --⎡⎤-+-≥⎣⎦当1q ≥时，得1(1)20n q q -+-≥，此时关于2n ≥恒成立，所以等价于2n =时(1)20q q +-≥，所以(2)(1)0q q +-≥，所以2q ≤-或者1q ≥，所以取1q ≥.当01q <<时，得1(1)20n q q -+-≤，此时关于n 恒成立，所以等价于2n =时(1)20q q +-≤，所以(2)(1)0q q +-≤，所以21q -≤≤，所以取01q <≤.当10q -≤<时，得11(1)20n n q q q --⎡⎤+-≤⎣⎦.当n 为奇数的时候，得1(1)20n q q -+-≤，很明显成立，当n 为偶数的时候，得1(1)20n q q -+-≥，很明显不成立，故当10q -≤<时，矛盾，舍去.当1q <-时，得11(1)20n n q q q --⎡⎤+-≤⎣⎦.当n 为奇数的时候，得1(1)20n q q -+-≤，很明显成立，当n 为偶数的时候，要使1(1)20n q q -+-≥恒成立，所以等价于2n =时(1)20q q +-≥，所以()()021q q +-≥，所以2q ≤-或者1q ≥，所以取2q ≤-.综上可得，(](),20,q ∈-∞-+∞ .（3）设1=a p ，{}3,4,3,2p m m ∈--…,，因为12131||||||m a a a a a a -≤-≤≤- ，故12||1a a -=，所以2a 可以取1p -或者1p +，若1a p =，21a p =-，则31a p =+，故42a p =+或42a p =-（舍，因为3242a a a a ->-），所以52a p =-（舍，因为3252a a a a ->-）.若1a p =，21a p =+，则31a p =-，故42a p =+（舍，因为3242a a a a ->-），或42a p =-所以52a p =+（舍，因为3252a a a a ->-）.所以{}3,4,3,2p m m ∈--…,均不能同时使{}n a ，{}n b 都具有性质p .当1p =时，即有21311m a a a a a a -≤-≤≤- ，故23m a a a ≤≤≤ ，故232,3,,m a a a m === ，故有数列{}n a ：1,2,3,1,m m -…,满足题意.当2p =时，则21a =且3122m a a ≤-≤≤- ，故33,,m a a m == ，故有数列{}n a ：2,1,3,1,m m -…,满足题意.当p m =时，12131m a a a a a a -≤-≤≤- ，故23m a a a ≥≥≥ ，故231,2,,1m a m a m a =-=-= ，故有数列{}n a ：,1,321m m -…,,,满足题意.当1p m =-时，则2a m =且3111m m a m a ≤--≤≤-- ，故32,,1m a m a =-= ，故有数列{}n a ：1,,2,3,321m m m m ---…,,,满足题意.故满足题意的数列只有上面四种.【点睛】本题为新定义背景下的数列存在性问题，先确定{}3,4,3,2p m m ∈--…,时均不存在具有性质p 的数列是关键，依据定义枚举再依据定义舍弃是核心，本题属于难题.。
复旦附中高二第二学期数学期末复习(4) 二项式定理 2017.6
高二第二学期数学期末复习（4） 二项式定理 2017.6班级 姓名一、填空题1．31n x x 骣÷ç-÷ç÷ç桫的二项展开式中，有且仅有第6项的系数最小，则n = 。
2．在()932x y -的二项展开式中，二项式的系数和为 ；各项系数和为 ． 3．若?x骣ç+çç桫的二项展开式中，各项系数之和等于32，则展开式中的第3项为 ．4．在骣的二项展开式中，所有奇数项的系数和为64，则展开式中系数最大的项是 。
5．满足不等式1220003000n n n n C C C <+++<的正整数n = 。
6．已知()()()22012111n n n x x x a a x a x a x ++++++=++++，且12a a +++1n a -29n =-，则n =7．如果()1nx +的展开多中有相邻两项的系数比为2:3，则n 的最小值为 ．8．在30的二项展开式中，关于x 的有理项共有 项。
9．设()665651031x a x a x a x a -=++++，则642a a a ++= 。
10．已知()()()220121111n n n x x x a a x a x a x +++++++=++++，则用n 表示1a = 。
11．实数()()()()()()52345012345122222x a a x a x a x a x a x -=++++++++++，则012345a a a a a a +++++= 。
12．设()22201221n n n x x a a x a x a x ++=++++，则13521n a a a a -++++= ，()()22024213521n n a a a a a a a a -++++-++++= 。
13．化简：()1122122221n n n n n n n n C C C ----??+?-= 。
复旦附中高二第二学期数学期末复习(6) 立体几何复习
高二第二学期数学期末复习（6） 立体几何复习 2017.6班级________ 姓名________例1．如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于A ，B 的点，PO 垂直于圆O 所在的平面，且1PO OB ==．（1）若D 为线段AC 的中点，求证AC ^平面PDO ；（2）求三棱锥P ABC -体积的最大值；（3）若BC =，点E 在线段PB 上，求CE OE +的最小值．例2．如图，AD 与BC 是四面体ABCD 中互相垂直的棱，2BC =，若2AD c =，且2AB BD AC CD a +=+=，其中a 、c 为常数，则四面体ABCD 的体积的最大值是________．课后练习一、填空题1．一个圆柱的侧面展开图恰好是一个边长为4的正方形，则此圆柱的体积为________．2．将圆锥的侧面展开后得到一个半径为2的半圆，则此圆锥的体积为________．3．底面直径与母线长相等的圆锥被平行于底面的平面截成两部分，若这两部分的侧面积相等，且截得的小圆锥体积为1，则原来圆锥的体积为________。
4．一个半球体的全面积为Q ，—个圆柱与此半球等底等体积，则这个圆柱的全面积是________．5．圆柱形容器内盛有高度为的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示），则球的半径是________cm ．6．平面α、β、γ两两互相垂直，点A αÎ，点A 到β、γ的距离都是3，P 是α内的动点，P 到β的距离是到点A 距离的2倍，则点P 的轨迹上的点到γ的距离的最小值是________．7．在右图所示的斜截圆柱中．已知圆柱底面的直径为40cm ，母线长最短50cm 、最长80cm ，则斜截圆柱侧面面积S =________2cm 。
8．如图，三棱锥A BCD -中，3AB AC BD CD ====，2AD BC ==，点M ，N 分别是AD ，BC 的中点，则异面直线AB ，CM 所成的角的余弦值是________．9．三棱锥?S ABC 中，E 、F 、G 、H 分别为SA 、AC 、BC 、SB 的中点，则截面EFGH 将三棱锥S ABC -分成两部分的体积之比为________．10．上右图是底面半径为1，母线长均为2的圆锥和圆柱的组合体，则该组合体的体积为________．11．一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱．这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等．设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为1h ，2h ，h ，则12::h h h =________．12．设正四面体ABCD 的棱长为a ，P 是棱AB 上的任意一点，且P 到面ACD ，BCD 的距离分别为1d ，2d ，则12d d +=________．二、选择题 13．若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，圆柱、球的表面积分别记为1S 、2S ，则12:S S =（ ）（A ）1:1 （B ）2:1 （C ）3:2 （D ）4:114．如图，正方体1111ABCD A B C D -中，P 为底面ABCD 上的动点，1PE AC ^于E ，且PA PE =，则点P 的轨迹是（ ）A ．线段B ．圆弧C ．椭圆的一部分D ．抛物线的一部分：15．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（ ）A ．2+B ．4+C ．2+D ．5 16．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。
上海复旦大学第二附属中学 2020-2021学年高二数学文下学期期末试卷含解析
上海复旦大学第二附属中学 2020-2021学年高二数学文下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. AB为圆O的直径，C为圆O上异于A、B的一点，点P为线段OC的中点，则=（）A.2B.4C.5D.10参考答案：D略2. 某初级中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要利用抽样方法取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1，2，…，270；使用系统抽样时，将学生统一随机编号1，2，…，270，并将整个编号依次分为10段．如果抽得号码有下列四种情况：①7，34，61，88，115，142，169，196，223，250；②5，9，100，107，111，121，180，195，200，265；③11，38，65，92，119，146，173，200，227，254；④30，57，84，111，138，165，192，219，246，270；关于上述样本的下列结论中，正确的是（）A．②、③都不能为系统抽样 B．②、④都不能为分层抽样C．①、④都可能为系统抽样 D．①、③都可能为分层抽样参考答案：D【考点】收集数据的方法．【分析】观察所给的四组数据，根据四组数据的特点，把所用的抽样选出来，①，③可能是系统抽样或分层抽样，②是简单随机抽样，④一定不是系统抽样和分层抽样．【解答】解：观察所给的四组数据，①，③可能是系统抽样或分层抽样，②是简单随机抽样，④一定不是系统抽样和分层抽样，故选D．【点评】简单随机抽样是一种最简单、最基本的抽样方法．常用的简单随机抽样方法有抽签法和随机数法．简单随机抽样和系统抽样过程中，每个个体被抽取的可能性是相等的．3. 命题“?x∈R，x2﹣x+1＜0”的否定是（）A4. 已知c＜d, a＞b＞0, 下列不等式中必成立的一个是（）A ．a+c＞b+d B．a–c＞b–d C．ad＜bc D．参考答案：B略5. 有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖”，乙说：“甲、丙都未获奖”，丙说：“我获奖了”，丁说：“是乙获奖”。
复旦附中高二第二学期数学期末复习(9) 期末综合复习
高二第二学期数学期末复习（9） 期末综合复习 2017.6班级________ 姓名________一、填空题1．383321n n n n C C -++的值为________．2．若M 个数的平均数是x ，N 个数的平均数是y ，则这M N +个数的平均数是________ 3．数据1a ，2a ，，n a 的方差为2 ，则数据12a ，22a ，，2n a 的方差为________4．抛掷一枚质地均匀的骰子，记向上的点数是偶数的事件为A ，向上的点数大于2且小于或等于5的事件为B ，则事件A B 的概率()P A B =________。
5．若圆锥的侧面积为20π，且母线与底面所成的角为4arccos 5，则该圆锥的体积为________。
6．已知半径为R 的球的球面上有三个点，其中任意两点间的球面距离都等于π3R ，且经过这三个点的小圆周长为4π，则R =________．7．某类产品按工艺共分10个档次，最低档次产品每件利润为8元，每提高一个档次，每件利润增加2元。
用同样工时，可以生产最低档产品60件，每提高一个档次将少生产3件产品。
则获得利润最大时生产产品的档次是________。
8．如图，在正四面体A BCD -中，E 、F 、G 分别是三角形ADC 、ABD 、BCD 的中心，则EFG △在该正四面体各个面上的射影所有可能的序号是________。
9．如图，E ，F 分别为正方体的面11ADD A 、面11BCC B 的中心，则四边形1BFD E 在该正方体的面上的射影可能是图的________（要求：把可能的图的序号都．填上）．10．若10把钥匙中只有2把能打开某锁，则从中任取2把能将该锁打开的概率为________．11．如图，一个底面半径为R 的圆柱形量杯中装有适量的水．若放入一个半径为r 的实心铁球，水面髙度恰好升高r ，则R r=________． 12．已知盒子中有散落的棋子15粒，其中6粒是黑子，9粒是白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率是17，从中取出2粒都是白子的概率是1235，现从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是________．13．一个盒子内部有如图所示的六个小格子，现有桔子，苹果和香蕉各两个，将这六个水果随机放入这六个格子里，每个格子放一个，放好之后每行、每列的水果种类各不相同的概率是________14．某学生参加2门课程的考试，取得合格水平的概率依次为45、35，且不同课程是否取得合格水平相互独立．则该生只取得一门课程合格的概率为________二、选择题15．将单位正方体放置在水平桌面上（一面与桌面完全接触），沿其一条棱翻动一次后，使得正方体的另一面与桌面完全接触，称一次翻转．如图，正方体的顶点A ，经任意翻转三次后．点A 与其终结位置的直线距离不可能为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．416．若空间中n 个不同的点两两距离都相等，则正整数n 的取值是（ ）A ．大于5B ．等于5C ．至多等于4D ．至多等于3 17．气象意义上从春季进入夏季的标志为：“连续5天的日平均温度均不低于22（℃）”．现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据（记录数据都是正整数）：①甲地：5个数据的中位数为24，众数为22；②乙地：5个数据的中位数为27，总体均值为24；③丙地：5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.8：则肯定进入夏季的地区有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 18．对于二项式()19991x -，有下列四个命题：（1）展开式中，100099910001999T C x =-（2）展开式中非常数项的系数和是1：（3）展开式中系数最大的项是第1000项和第1001项；（4）当2000x =时，()19991x -除以2000的余数是1。
复旦附中高二第二学期数学期末复习(11) 期末复习
高二第二学期数学期末复习（11） 期末复习 2017.6.班级________ 姓名________例1．某人有五只钥匙，其中一只是房门钥匙，但他忘了开房门的是哪一只了。
于是，他逐只不重复的试开。
则：（1）恰好第3次打开房门的概率是________（2）3次内打开房门的概率是________（3）如果5只钥匙中有2只能打开房门，那么3次内打开房门的概率是________（4）若5把钥匙中只有2把能打开某锁，则从中任取2把能将该锁打开的概率是________。
例2．某产品有3只次品、7只正品，每次取1只测试，取后不放回，求（1）恰好到第5次3只次品全部被测试出的概率；（2）恰好到第k 次3只达品全部被测出的概率()f k 的最大值、最小值。
例3．袋里有35张分别写有从1到35的卡片，设卡片上的数为n ，()25153n f n n =-+，以等可能性从袋里取出卡片（1）如果任意取出张1卡片，试求）()f n n >的概率；（2）如果同时任意取出2张卡片，卡片上的数为n ，m ，试求()()f n f m =的概率。
例4．在xOy 平面上，将两个半圆弧()()22111x y x -+=?和()()22313x y x -+=?、两条直线1y =和1y =-围成的封闭图形记为D ，如图中阴影部分．记D 绕y 轴旋转一周而成的几何体为Ω，过()()0,1y y £作Ω的水平截面，所得截面面积为48π，试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出Ω的体积值为________．课后练习一、填空题1．已知点()1,2,3A --，()3,4,5B -关于点P 对称，那么点P 的坐标为________2．已知向量()2,3,1a =、()1,2,1b =-，则向量a 在向量b 上的投影为________3．若点()1,1,0A ，()1,0,1B ，()0,1,1C ，()2,3,D ω在同一平面内，则ω=________．4．在正方体1111ABCD A B C D -中，顶点A 与坐标原点O 重合，已知顶点C 和1C的坐标分别为)C x和)1C y ，其中0x <，0y <，则面11AAC C 的一个法向量为____ 5．已知点()1,2,1A ，()3,1,2B ，(),5,2C λ-，若AB 和AC 所成角为钝角，则λ的取值范围为_______ 6．在2n x ÷÷÷的二项式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于________ 7．5间房间分给5个人，每人以相等的可能性住进每一间房间，每间房间的人数没有限制，不出现空房的概率为________。
上海复旦大学第二附属中学数学高二下期末经典复习题(专题培优)
一、选择题1．函数f (x )＝3sin(2x －6π)在区间[0，2π]上的值域为( ) A ．[32-，32] B ．[32-，3] C ．[332-，332] D ．[332-，3] 2．在边长为3的等边ABC ∆中，点M 满足BM 2MA =，则CM CA ⋅=( ) A ．32B ．23C ．6D ．1523．若函数sin()(0,||)y x ωϕωϕπ=-><的部分图象如图所示，则,ωϕ的值分别是（）A ．52,125πωϕ==B ．5,126πωϕ==C ．122,55πωϕ==D ．12,56πωϕ== 4．将函数sin()cos()22y x x ϕϕ=++的图象沿x 轴向右平移8π个单位后，得到一个偶函数的图象，则ϕ的取值不可能是（ ）A ．54π-B ．4π-C ．4π D ．34π 5．ABC ∆中，M 是AC 边上的点，2AM MC =，N 是边的中点，设1AB e =，2AC e =，则MN 可以用1e ，2e 表示为（ ）A ．121126e e - B ．121126e e -+ C ．121126e e + D ．121726e e +6．已知函数()()π2cos 332f x x ϕϕ⎛⎫=++≤ ⎪⎝⎭，若ππ,612x ⎛⎫∀∈- ⎪⎝⎭，()f x 的图象恒在直线3y =的上方，则ϕ的取值范围是( )A ．ππ,122⎛⎫⎪⎝⎭B ．ππ,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．ππ,63⎛⎫- ⎪⎝⎭7．O 为平面上的定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三点，若()(2)0OB OC OB OC OA -⋅+-=，则ABC ∆是（ ）A ．以AB 为底面的等腰三角形 B ．以BC 为底面的等腰三角形 C ．以AB 为斜边的直角三角形D ．以BC 为斜边的直角三角形 8．函数()sin()A f x x ωϕ=+(0,)2πωϕ><的部分图象如图所示，则()f π=（ ）A ．4B ．3C ．2D 39．已知2sin()3,且(,0)2απ∈-，则tan(2)πα-= （ ）A 25B ．25C 5D ．510．已知向量(3,4),(sin ,cos )a b αα==，且//a b ，则tan α=（ ） A ．34B ．34-C ．43D ．43-11．若02πα<<，02πβ-<<，1cos 43πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，3cos 423πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭cos 2βα⎛⎫+ ⎪⎝⎭等于（ ）A 3B ．3C 53D ．6-12．函数()0,0,2()(||)f x Asin x A πωϕωϕ=+>><的部分图象如图所示，则函数()f x 的解析式为（ ）．A ．()2sin 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．()2sin 12f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭D ．()2sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭13．扇形OAB 的半径为1，圆心角为120°，P 是弧AB 上的动点，则AP BP ⋅的最小值为（ ） A ．12B ．0C ．12-D ．2-14．已知f (x )=A sin(ωx+θ)(ω>0),若两个不等的实数x 1,x 2∈()2A x f x ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭,且|x 1-x 2|min =π,则f (x )的最小正周期是( ) A ．3πB ．2πC ．πD ．π215．在ABC ∆中，a b c 、、分别是内角A B C 、、所对的边，若2224ABCa b c S ∆+-=（其中)ABC S ABC ∆∆表示的面积,且0,AB AC BC AB AC ⎛⎫⎪+⋅= ⎪⎝⎭则ABC ∆的形状是（ ） A ．有一个角为30的等腰三角形 B ．正三角形 C ．直角三角形D ．等腰直角三角形二、填空题16．已知平面向量,,a b c 满足21a b a ⋅==，1b c -=，则a c ⋅的最大值是____． 17．已知sin76m ︒=，则cos7︒=________.（用含m 的式子表示）18．已知向量()()()12311a b c λ===，，，，，.若2a b -与c 共线，则a 在c 方向上的投影为 ________.19．在ABC 中，已知1tan 2tan tan A B A-=，则cos(2)A B -的值为________. 20．把单位向量OA 绕起点O 逆时针旋转120︒，再把模扩大为原来的3倍，得到向量OB ，点C 在线段AB 上，若12AC CB =，则OC BA ⋅的值为__________．21．已知4tan()5αβ+=，1tan 4β=，那么tan α=____．22．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，1a =，3B π=，当ABC ∆的面积等于3时，tan C =__________．23．若动直线x a =与函数()sin f x x =和()cos g x x =的图象分别交于M ，N 两点，则||MN 的最大值为__________．24．已知已知sin π3()25α+=，α∈π(0,)2，则sin(π＋α)等于__________25．若x 2+y 2=4,则x −y 的最大值是三、解答题26．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且22222230a c b ac +-+=. （1）求cos B 的值； （2）求sin 24B π⎛⎫+⎪⎝⎭的值. 27．在已知函数()sin(),f x A x x R ωϕ=+∈（其中0,0,02A πωϕ>><<）的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为2π，且图象上一个最低点为2,23M π⎛⎫-⎪⎝⎭. (1)求()f x 的解析式； (2)当,122x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的值域． 28．已知函数()2sin 3sin cos f x x x x =+. （Ⅰ）求()f x 的最小正周期； （Ⅱ）若()f x 在区间,3m π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为32，求m 的最小值.29．2019年，河北等8省公布了高考改革综合方案将采取“3+1+2”模式，即语文、数学、英语必考，然后考生先在物理、历史中选择1门，再在思想政治、地理、化学、生物中选择2门.为了更好进行生涯规划，甲同学对高一一年来的七次考试成绩进行统计分析，其中物理、历史成绩的茎叶图如图所示.(1)若甲同学随机选择3门功课，求他选到物理、地理两门功课的概率； (2)试根据茎叶图分析甲同学应在物理和历史中选择哪一门学科？并说明理由；(3)甲同学发现，其物理考试成绩y (分)与班级平均分x (分)具有线性相关关系，统计数据如下表所示，试求当班级平均分为50分时，其物理考试成绩.参考数据: 72134840ii x ==∑，72150767ii y ==∑，7141964i i i x y ==∑，71()()314iii x x y y =--=∑.参考公式：y bx a =+，1122211()()()n niii ii i nniii i x x y y x y n x yb x x xn x====---⋅⋅==--⋅∑∑∑∑，a y b x =-⋅(计算a b ，时精确到0.01).30．已知函数()3cos 22f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （1）求函数()f x 的最小正周期； （2）求函数()f x 的单调区间.【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案**科目模拟测试一、选择题 1．B 2．D 3．C 4．C 5．A 6．C 7．B8．A9．A10．A11．C12．D13．C14．A15．D二、填空题16．2【解析】【分析】根据已知条件可设出的坐标设利用向量数量积的坐标表示即求的最大值根据可得出的轨迹方程从而求出最大值【详解】设点是以为圆心1为半径的圆的最大值是2故填：2【点睛】本题考查了向量数量积的17．【解析】【分析】通过寻找与特殊角的关系利用诱导公式及二倍角公式变形即可【详解】因为即所以所以所以又【点睛】本题主要考查诱导公式和二倍角公式的应用意在考查学生分析解决问题的能力18．【解析】【分析】利用共线向量的坐标表示求出参数再依据投影的概念求出结果即可【详解】∵∴又∵与共线∴∴∴∴在方向上的投影为【点睛】本题主要考查共线向量的坐标表示以及向量投影的概念注意投影是个数量19．0【解析】【分析】通过展开然后利用已知可得于是整理化简即可得到答案【详解】由于因此所以即所以则故答案为0【点睛】本题主要考查三角函数诱导公式的运用意在考查学生的基础知识难度中等20．【解析】【分析】由题意可得与夹角为先求得则再利用平面向量数量积的运算法则求解即可【详解】单位向量绕起点逆时针旋转再把模扩大为原来的3倍得到向量所以与夹角为因为所以所以故答案为【点睛】本题主要考查平面21．【解析】【分析】根据题干得到按照两角和与差公式得到结果【详解】已知那么故答案为【点睛】这个题目考查了给值求值的问题常见的解题方式有：用已知角表示未知角再由两角和与差的公式得到结果22．【解析】由题意即则所以由余弦定理所以所以应填答案点睛：解答本题的思路是先借助三角形的面积公式求出边进而运用余弦定理求出边然后再运用余弦定理求出进而求出最后求出23．【解析】所以的最大值为方法点睛：本题考查数形结合思想的应用根据两点间距离公式再根据辅助角公式转化为当时取得最大值 24．【解析】由题意得25．22【解析】【分析】由题意将原问题转化为三角函数的问题然后结合辅助角公式即可确定x-y 的最大值【详解】由题意可知xy 表示坐标原点为圆心2为半径的圆上的点设点的坐标为2cosθ2sinθ则x-y=2c三、解答题 26． 27． 28． 29． 30．2016-2017年度第*次考试试卷 参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题 1．B 解析：B 【解析】 【详解】 分析：由0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求出26x π-的取值范围，从而求出26sin x π⎛⎫- ⎪⎝⎭的范围，从而可得()f x 的值域.详解：[]0,,20,2x x ππ⎡⎤∈∴∈⎢⎥⎣⎦， 52,666x πππ⎡⎤∴-∈-⎢⎥⎣⎦， 12,162sin x π⎛⎫⎡⎤∴-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，()332,362f x sin x π⎛⎫⎡⎤∴=-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为3,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，故选B. 点睛：本题考查了求三角函数在闭区间上的值域问题，意在考查解题时应考虑三角函数的单调性与最值，属于简单题.2．D解析：D 【解析】 【分析】结合题意线性表示向量CM ，然后计算出结果 【详解】 依题意得：121211215)333333333232CM CA CB CA CA CB CA CA CA ⋅=+⋅=⋅+⋅=⨯⨯⨯+⨯⨯=（，故选D ．【点睛】本题考查了向量之间的线性表示，然后求向量点乘的结果，较为简单3．C解析：C 【解析】 【分析】给出三角函数图像，求相关系数，可以通过读取周期，某些特殊值来求解. 【详解】由图可以读取5=066T ππ，（，）为五点作图的第一点2512==65T ππωω⇒⇒=1222()2565k k Z k ππϕπϕπ⨯-=∈⇒=+，||ϕπ<25πϕ⇒=选择C. 【点睛】由三角函数sin()y A x ωϕ=+图像，获取相应参数的值一般遵循先定A ，然后根据周期定ω，最后通过带值定ϕ. 4．C解析：C【解析】试题分析：()1sin()cos()sin 2222y x x x ϕϕϕ=++=+将其向右平移8π个单位后得到：11sin 2sin 22824y x x ππϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，若为偶函数必有：()42k k Z ππϕπ-=+∈，解得：()34k k Z πϕπ=+∈，当0k =时，D 正确，1k =-时，B 正确，当2k =-时，A 正确，综上，C 错误. 考点：1.函数的图像变换；2.函数的奇偶性.5．A解析：A 【解析】 【分析】利用向量的线性运算求解即可. 【详解】由题, ()12111111322626MN MC CN AC AB AC AB AC e e =+=+-=-=-.故选：A 【点睛】本题主要考查了平面向量的线性运算,属于基础题型.6．C解析：C 【解析】分析：根据函数()f x 的解析式，利用x 的取值范围，结合题意求出ϕ的取值范围． 详解：函数函数()()π2cos 332f x x ϕϕ⎛⎫=++≤⎪⎝⎭，ππ,612x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，324x ππϕϕϕ+∈-++（，），又()f x 的图象恒在直线3y =的上方，2223333042cos x cos x ππϕϕϕππϕ⎧-+≥-⎪⎪∴++∴+∴⎨⎪+≤⎪⎩（）＞，（）＞，，解得04πϕ≤≤；∴ϕ的取值范围是π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦．故选C ．点睛：本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题．7．B解析：B 【解析】试题分析：根据题意，涉及了向量的加减法运算，以及数量积运算． 因此可知2()()OB OC OA OB OA OC OA AB AC +-=-+-=+OB OC CB -=，所以(2)OB OC OA +-⋅()0OB OC -=可知为故有||AB AC =，因此可知b=c ，说明了是一个以BC 为底边的等腰三角形，故选B. 考点：本试题主要考查了向量的数量积的运用．点评：解决该试题的关键是利用向量的加减法灵活的变形，得到长度b=c ，然后分析得到形状，注意多个变量，向一组基向量的变形技巧，属于中档题．8．A解析：A 【解析】试题分析：根据题意，由于函数()sin()A f x x ωϕ=+(0,)2πωϕ><，那么根据图像可知周期为2π，w=4，然后当x=6π,y=2，代入解析式中得到22sin(4)6πϕ=⨯+，6πϕ=-，则可知()f π=4，故答案为A.考点：三角函数图像点评：主要是考查了根据图像求解析式，然后得到函数值的求解，属于基础题．9．A解析：A 【解析】 【分析】由三角函数的诱导公式，求得2sin3，再由三角函数的基本关系式，求得5cos α3， 最后利用三角函数的基本关系式，即可求解tan(2)πα-的值，得到答案. 【详解】由三角函数的诱导公式，可得2sin()sin 3παα-==-，因为(,0)2απ∈-，所以cos 3α==，又由sin tan(2)tan cos 5απααα-=-=-=，故选A. 【点睛】本题主要考查了三角函数的诱导公式和三角函数的基本关系式的化简、求值问题，其中解答中熟练应用三角函数的诱导公式和三角函数的基本关系式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.10．A解析：A 【解析】 【分析】直接利用向量平行的充要条件列方程求解即可. 【详解】由//a b 可得到sin 34sin 3cos 0tan cos 4ααααα-=⇒==. 故选A 【点睛】利用向量的位置关系求参数是出题的热点，主要命题方式有两个：（1）两向量平行，利用12210x y x y -=解答；（2）两向量垂直，利用12120x x y y +=解答.11．C解析：C 【解析】 【分析】利用同角三角函数的基本关系求出sin 4πα⎛⎫+⎪⎝⎭与sin 42πβ⎛⎫-⎪⎝⎭，然后利用两角差的余弦公式求出cos cos 2442βππβαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦值． 【详解】02πα<<，3444πππα∴<+<，则sin 43πα⎛⎫+== ⎪⎝⎭，02πβ-<<，则4422ππβπ<-<，所以，sin 42πβ⎛⎫-==⎪⎝⎭， 因此，cos cos 2442βππβαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1cos cos sin sin 44244233339ππβππβαα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++-=+⋅=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 故选C ． 【点睛】本题考查利用两角和的余弦公式求值，解决这类求值问题需要注意以下两点： ①利用同角三角平方关系求值时，要求对象角的范围，确定所求值的正负； ②利用已知角来配凑未知角，然后利用合适的公式求解．12．D解析：D 【解析】 【分析】根据最值计算A ，利用周期计算ω，当512x π=时取得最大值2，计算ϕ，得到函数解析式. 【详解】由题意可知52,4,212()6A T πππω==-==， 因为:当512x π=时取得最大值2， 所以:5222)2(1sin πϕ=⨯+， 所以:522,Z 122k k ππϕπ⨯+=+∈， 解得:2,Z 3k k πϕπ=-∈，因为:||2ϕπ<， 所以:可得3πϕ=-，可得函数()f x 的解析式:()(2)23f x sin x π=-．故选D ．【点睛】本题主要考查了正弦型函数的图象与性质，其中解答中根据函数的图象求得函数的解析式，熟记三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题13．C解析：C 【解析】 【分析】首先以OA 与OB 作为一组向量基底来表示AP 和BP ，然后可得()12AP BP OP OA OB ⋅=-⋅+，讨论OP 与OA OB +共线同向时，()OP OA OB ⋅+有最大值为1，进一步可得AP BP ⋅有最小值12-.【详解】 由题意得AP OP OA =-, BP OP OB =-， 所以()()()()2AP BP OP OA OP OB OPOA OB OP OA OB ⋅=-⋅-=+⋅-⋅+()()11122OP OA OB OP OA OB =--⋅+=-⋅+因为圆心角为120°，所以由平行四边形法则易得1OA OB +=，所以当OP 与OA OB +共线同向时，()OP OA OB ⋅+有最大值为1，此时()12AP BP OP OA OB ⋅=-⋅+有最小值12-. 故选：C. 【点睛】本题主要考查平面向量的数量积，选择合适的基底表示相关的向量是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.14．A解析：A 【解析】 【分析】 由题意可得123ππω⨯=，求得ω的值，可得()f x 的最小正周期是2πω的值 【详解】由题意可得()1sin 2x ωθ+=的解为两个不等的实数1x ，2x 且123ππω⨯=，求得23ω=故()f x 的最小正周期是23ππω=故选A 【点睛】本题主要考查了的是三角函数的周期性及其图象，解题的关键根据正弦函数的图象求出ω的值，属于基础题15．D解析：D 【解析】试题分析：在边AB ，AC 上分别取点D ，E ，使,AB AC AD AE ABAC==，以AD ，AE 为邻边作平行四边形ADFE ，则：四边形ADFE 为菱形，连接AF ，DE ，AF ⊥DE ，且ABACAF AB AC=+；∵0,AB AC BC AB AC ⎛⎫⎪+⋅= ⎪⎝⎭；∴·0AF BC =；∴AF ⊥BC ；又DE ⊥AF ；∴DE ∥BC ，且AD=AE ；∴AB=AC ，即b=c ；∴延长AF 交BC 的中点于O ，则：S△ABC ＝222124a b c +-=，b=c ； ∴22a a =∴=；∴2224c a a -=；∴22222a c b c ==+；∴∠BAC=90°，且b=c ；∴△ABC 的形状为等腰直角三角形． 考点：平面向量数量积的运算二、填空题16．2【解析】【分析】根据已知条件可设出的坐标设利用向量数量积的坐标表示即求的最大值根据可得出的轨迹方程从而求出最大值【详解】设点是以为圆心1为半径的圆的最大值是2故填：2【点睛】本题考查了向量数量积的 解析：2 【解析】 【分析】根据已知条件可设出,,a b c 的坐标，设()1,0a =，()1,b k =，(),c x y =，利用向量数量积的坐标表示a c x ⋅=，即求x 的最大值，根据1b c -=，可得出(),x y 的轨迹方程，从而求出最大值. 【详解】设()1,0a =，()1,b k =，(),c x y =()1,b c x k y -=-- ，1b c -=()()2211x y k ∴-+-=，∴点(),x y 是以()1,k 为圆心，1为半径的圆，02x ≤≤，a c x ⋅=，02x ≤≤ a c ∴⋅的最大值是2. 故填：2. 【点睛】本题考查了向量数量积的应用，以及轨迹方程的综合考查，属于中档题型，本题的关键是根据条件设出坐标，转化为轨迹问题.17．【解析】【分析】通过寻找与特殊角的关系利用诱导公式及二倍角公式变形即可【详解】因为即所以所以所以又【点睛】本题主要考查诱导公式和二倍角公式的应用意在考查学生分析解决问题的能力【解析】 【分析】通过寻找76︒，7︒与特殊角90︒的关系，利用诱导公式及二倍角公式变形即可． 【详解】因为sin76m ︒=，即()sin 9014m ︒-︒=，所以cos14m ︒=， 所以22cos 71m ︒-=，所以21cos141cos 722m+︒+︒==，又cos 7ο==【点睛】本题主要考查诱导公式和二倍角公式的应用，意在考查学生分析解决问题的能力．18．【解析】【分析】利用共线向量的坐标表示求出参数再依据投影的概念求出结果即可【详解】∵∴又∵与共线∴∴∴∴在方向上的投影为【点睛】本题主要考查共线向量的坐标表示以及向量投影的概念注意投影是个数量解析：【解析】 【分析】利用共线向量的坐标表示求出参数λ，再依据投影的概念求出结果即可． 【详解】∵()()123a b λ==，，，∴()()21222336a b λλ-=-⨯⋅-⨯=--，. 又∵2a b -与c 共线，∴36λ-=-，∴3λ=，∴()13a =，，∴a 在c 方向上的投影为22a c c⋅=.【点睛】本题主要考查共线向量的坐标表示以及向量投影的概念，注意投影是个数量．19．0【解析】【分析】通过展开然后利用已知可得于是整理化简即可得到答案【详解】由于因此所以即所以则故答案为0【点睛】本题主要考查三角函数诱导公式的运用意在考查学生的基础知识难度中等解析：0 【解析】 【分析】通过展开cos(2)A B -，然后利用已知可得2tan 12tan tan A B A -=，于是整理化简即可得到答案. 【详解】 由于1tan 2tan tan A B A-=，因此2tan 12tan tan A B A -=，所以22tan 1tan 2=1tan tan A A A B=--，即tan 2tan 1A B ⋅=-，所以sin 2sin cos2cos A B A B ⋅=-⋅,则cos(2)cos 2cos sin 2sin =0A B A B A B -=+，故答案为0. 【点睛】本题主要考查三角函数诱导公式的运用，意在考查学生的基础知识，难度中等.20．【解析】【分析】由题意可得与夹角为先求得则再利用平面向量数量积的运算法则求解即可【详解】单位向量绕起点逆时针旋转再把模扩大为原来的3倍得到向量所以与夹角为因为所以所以故答案为【点睛】本题主要考查平面 解析：116-【解析】 【分析】由题意可得3OB =，OA 与OB 夹角为120︒，先求得1(2)3OC OA AC OA OB =+=+，则1(2)()3OC BA OA OB OA OB ⋅=+⋅-，再利用平面向量数量积的运算法则求解即可. 【详解】单位向量OA 绕起点O 逆时针旋转120︒，再把模扩大为原来的3倍，得到向量OB ， 所以3OB =，OA 与OB 夹角为120︒， 因为12AC CB =，所以111()(2)333OC OA AC OA AB OA OB OA OA OB =+=+=+-=+，所以()2211(2)()233OC BA OA OB OA OB OA OB OA OB ⋅=+⋅-=--⋅ 11291332⎡⎤⎛⎫=--⨯⨯- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦116=-，故答案为116-. 【点睛】 本题主要考查平面向量几何运算法则以及平面向量数量积的运算，属于中档题. 向量的运算有两种方法：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）．21．【解析】【分析】根据题干得到按照两角和与差公式得到结果【详解】已知那么故答案为【点睛】这个题目考查了给值求值的问题常见的解题方式有：用已知角表示未知角再由两角和与差的公式得到结果 解析：1124【解析】 【分析】根据题干得到an α=()tan αββ+-，按照两角和与差公式得到结果. 【详解】 已知()4tan 5αβ+=,1tan 4β=, 那么tan α=()tan αββ+-()()tan tan 111tan tan 24αββαββ+-==++． 故答案为1124. 【点睛】这个题目考查了给值求值的问题，常见的解题方式有：用已知角表示未知角，再由两角和与差的公式得到结果.22．【解析】由题意即则所以由余弦定理所以所以应填答案点睛：解答本题的思路是先借助三角形的面积公式求出边进而运用余弦定理求出边然后再运用余弦定理求出进而求出最后求出解析：-【解析】由题意1sin 23ac π=44c c =⇒=，则b ==，所以由余弦定理cosC ==sin C ==tan (C ==-- 点睛：解答本题的思路是先借助三角形的面积公式求出边4c =，进而运用余弦定理求出边b ==，然后再运用余弦定理求出cosC ==，进而求出sin C ==tan (C ==- 23．【解析】所以的最大值为方法点睛：本题考查数形结合思想的应用根据两点间距离公式再根据辅助角公式转化为当时取得最大值【解析】sin cos )4MN a a a π=-=-≤MN .方法点睛：本题考查数形结合思想的应用，(),sin M a a ，(),cos N a a ，根据两点间距离公式sin cos MN a a ==-，再根据辅助角公式转化为sin cos )4a a a π-=-，当()42k k Z ππαπ-=+∈时，MN 取得最大值.24．【解析】由题意得解析：4-5【解析】 由题意得3π44cos ,(0,)sin ,sin(π)sin 5255ααααα=∈∴=+=-=- 25．22【解析】【分析】由题意将原问题转化为三角函数的问题然后结合辅助角公式即可确定x-y 的最大值【详解】由题意可知xy 表示坐标原点为圆心2为半径的圆上的点设点的坐标为2cosθ2sinθ则x-y=2c 解析：2√2【解析】 【分析】由题意将原问题转化为三角函数的问题，然后结合辅助角公式即可确定x −y 的最大值. 【详解】由题意可知(x,y )表示坐标原点为圆心，2为半径的圆上的点，设点的坐标为(2cosθ,2sinθ)，则x −y =2cosθ−2sinθ=−2√2sin (θ−π4)， 当sin (θ−π4)=−1时，x −y 取得最大值2√2. 【点睛】本题主要考查三角函数最值的求解，数形结合的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.三、解答题 26．（1）34-（2【解析】试题分析：（1）利用余弦定理表示出cosB ，将已知等式代入即可求出cosB 的值；（2）由cosB 可求出sin 2,cos 2B B 的值，然后利用两角和的余弦公式可得结果. 试题解析：（1）由22222230a c b ac +-+=，得22232a cb ac +-=-， 根据余弦定理得222332cos 224aca cb B ac ac -+-===-； （2）由3cos 4B =-，得sin B =∴sin22sin cos 8B B B ==-，21cos22cos 18B B =-=，∴1sin 2sin2cos cos2sin 4448B B B πππ⎫⎛⎫+=+=+=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭． 27．（1）()2sin(2)6f x x π=+ （2）[-1，2] 【解析】试题分析：根据正弦型函数图象特点，先分析出函数的振幅和周期，最低点为2,23M π⎛⎫- ⎪⎝⎭,得2A =,周期T π=，则2==2T πω，又函数图象过2,23M π⎛⎫-⎪⎝⎭，代入得42sin 23πϕ⎛⎫+=-⎪⎝⎭，故1126k k Z πϕπ=-+∈，，又0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，从而确定6πϕ=，得到()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，再求其单调增区间． (2)分析72,636x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，结合正弦函数图象，可知当262x ππ+=,即6x π=时,()f x 取得最大值2；当7266x ππ+=,即2x π=时,()f x 取得最小值1-,故()f x 的值域为[]1,2-．试题解析：（1）依题意,由最低点为2,23M π⎛⎫-⎪⎝⎭,得2A =,又周期T π=,∴2ω=． 由点2,23M π⎛⎫- ⎪⎝⎭在图象上,得42sin 23πϕ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭, ∴4232k ππϕπ+=-+，k Z ∈,1126k k Z πϕπ∴=-+∈，． ∵0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴6πϕ=,∴()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭． 由222262k x k πππππ-≤+≤+,k Z ∈，得36k x k k Z ππππ-≤≤+∈，．∴函数()f x 的单调增区间是(),36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦．(2),122x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,∴72,636x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦． 当262x ππ+=,即6x π=时,()f x 取得最大值2；当7266x ππ+=,即2x π=时,()f x 取得最小值1-,故()f x 的值域为[]1,2-． 点睛：本题考查了三角函数的图象和性质，重点对求函数解析式，单调性，最值进行考查，属于中档题．解决正弦型函数解析式的问题，一定要熟练掌握求函数周期，半周期的方法及特殊值的应用，特别是求函数的初相时，要注意特殊点的应用及初相的条件，求函数值域要结合正弦函数图象，不要只求两个端点的函数值．28．（Ⅰ）π ；（Ⅱ）π3. 【解析】 【分析】（I ）将()f x 化简整理成()sin()f x A x ωϕ=+的形式，利用公式2||T πω=可求最小正周期；（II ）根据[,]3x m π∈-，可求26x π-的范围，结合函数图象的性质，可得参数m 的取值范围. 【详解】（Ⅰ）()1cos211π1sin2sin2cos2sin 22222262x f x x x x x -⎛⎫=+=-+=-+ ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期为2ππ2T ==. （Ⅱ）由（Ⅰ）知()π1sin 262f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭. 因为π,3x m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以π5ππ2,2666x m ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦. 要使得()f x 在π,3m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为32，即πsin 26x ⎛⎫- ⎪⎝⎭在π,3m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为1. 所以ππ262m -≥，即π3m ≥. 所以m 的最小值为π3. 点睛：本题主要考查三角函数的有关知识，解题时要注意利用二倍角公式及辅助角公式将函数化简，化简时要注意特殊角三角函数值记忆的准确性，及公式中符号的正负.29．（1）14；（2）见解析；（3）见解析 【解析】 【分析】(1)列出基本事件的所有情况，然后再列出满足条件的所有情况，利用古典概率公式即可得到答案.(2)计算平均值和方差，从而比较甲同学应在物理和历史中选择哪一门学科；（3）先计算x 和y ，然后通过公式计算出线性回归方程，然后代入平均值50即可得到答案. 【详解】(1)记物理、历史分别为12,A A ，思想政治、地理、化学、生物分别为1234,,,B B B B ， 由题意可知考生选择的情形有{}112,,A B B ，{}113,,A B B ，{}114,,A B B ，{}123,,A B B ，{}124,,A B B ，{}134,,A B B ，{}212,,A B B ，{}213,,A B B ，{}214,,A B B ，{}223,,A B B ，{}224,,A B B ，{}234,,A B B ，共12种 他选到物理、地理两门功课的满情形有{}{}{}112123124,,,,,,A B B A B B A B B ，共3种∴甲同学选到物理、地理两门功课的概率为31124P == (2)物理成绩的平均分为76828285879093857x ++++++==物理历史成绩的平均分为69768082949698857x ++++++==历史由茎叶图可知物理成绩的方差2s<物理历史成绩的方差2s 物理故从平均分来看，选择物理历史学科均可以；从方差的稳定性来看，应选择物理学科；从最高分的情况来看，应选择历史学科(答对一点即可) (3)57+61+65+72+74+77+84707x ==，85y =,7172221741964770853140.5834840770540ˆ7i i i i i x y x y b x x ==-⋅⋅-⨯⨯∴===≈-⨯-⋅∑∑ 850.587044.ˆ0ˆ4ay b x =-⋅=-⨯≈ y ∴关于x 的回归方程为0.58+44.40y x =当50x =时，0.5850+44.4073y =⨯≈,当班级平均分为50分时，其物理考试成绩为73分 【点睛】本题主要考查古典概型，统计数的相关含义，线性回归方程的计算，意在考查学生的阅读理解能力，计算能力和分析能力，难度不大.30．(1) ()f x 的最小正周期为2π (2) ()f x 的单调增区间为()72,266k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦【解析】试题分析：（1）化简函数的解析式得()2sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，根据周期公式求得函数的周期；（2）由()22232k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈，求得x 的取值范围即为函数的单调增区间，由()322232k x k k Z ，πππππ+≤+≤+∈求得x 取值范围即为函数的单调减区间。
2021-2022学年上海市复旦大学附属中学高二下学期期末数学试题(解析版)
2021-2022学年上海市复旦大学附属中学高二下学期期末数学试题一、单选题1．已知,R a b ∈，则“1a >或1b >”是“2a b +>”的（ ）条件. A ．充分非必要 B ．必要非充分C ．充分必要D ．既非充分义非必要 【答案】B【分析】根据充分必要条件的定义判断．【详解】当1a >或1b >时，如2a =，3b =-，此时1a b +=2<，因此不充分， 若1a ≤且1b ≤，则2a b a b +≤+≤，因此是必要的． 即为必要不充分条件． 故选：B ．2．已知函数()y f x =（a x b <<）的导函数是()y f x ='（a x b <<），导函数()y f x ='的图象如图所示，则函数()y f x =在(),a b 内有（ ）A ．3个驻点B ．4个极值点C ．1个极小值点D ．1个极大值点【答案】C【分析】由()y f x ='图象判断区间符号和零点个数，进而判断()y f x =的驻点、极值点个数.【详解】由题图知：()y f x ='从左到右依次分为5个区间，区间符号依次为：正、负、正、正、负，且共有4个零点，即()y f x =有4个驻点， 综上，对于()y f x =中的4个驻点有2个极大值点，1个极小值点，且0x =为拐点. 所以C 正确，A 、B 、D 错误. 故选：C3．已知函数()y f x =及其导函数()y f x '=的定义域都是R .命题p ：“若函数()y f x =是奇函数，则()y f x '=是偶函数”：命题q ：“若函数()y f x '=是周期函数，则()y f x =也是周期函数”.则下列说法正确的是（ ） A ．p 是真命题，q 是假命题 B ．p 是假命题，q 是真命题 C ．p 与q 都是真命题 D ．p 与q 都是假命题【答案】A【分析】根据导数的运算性质，结合函数的性质，分析计算，即可得答案. 【详解】若()y f x =是奇函数，则()()f x f x -=-， 所以[][]()()()f x f x f x '''-=-=-， 所以()()f x f x ''--=-，即()()f x f x ''-=， 所以()y f x '=是偶函数，故命题p 是真命题；若函数()y f x '=是周期函数，不妨令()sin 1f x x '=+是周期函数， 则()cos f x x x C =-++（C 为常数）不是周期函数，故命题q 为假命题， 故选：A4．小明同学用两个全等的六边形木板和六根长度相同的木棍搭成一个直六棱柱111111ABCDEF A B C D E F -，由于木棍和木板之间没有固定好，第二天他发现这个直六棱柱变成了斜六棱柱111111ABCDEF A B C D E F -，如图所示.设直棱柱的体积和侧面积分别为1V 和1S ，斜棱柱的体积和侧面积分别为2V 和2S ，则（ ）.A ．1212V V S S > B ．1212V V S S < C ．1212V V S S = D ．11V S 与22V S 的大小关系无法确定 【答案】A【分析】根据柱体体积、表面积的求法，分别表示出11V S 和22V S ，分析即可得答案.【详解】设底面面积为S ，底面周长为C ， 则11V S AA =⋅，11S C AA =⋅，所以11V SS C=， 设斜棱柱的高为h ，则2V S h =⋅，2AB BC CD DE EF FA S AB h BC h CD h DE h EF h FA h =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯()AB BC CD DE EF FA h Ch >+++++⨯=,所以2121V V Sh S S Ch C S <==. 故选：A 二、填空题5．已知集合{}|30A x x =-<<，{}|21,Z B x x x =-<≤∈，则A B =___________. 【答案】{}1-【分析】根据交集定义计算．【详解】由已知{|20,}{1}A B x x x Z =-<<∈=-． 故答案为：{}1- 6．不等式12x≥-的解集为___________. 【答案】1(,](0,)2-∞-+∞．【分析】移项，通分，一边化为0，然后转化为整式不等式求解． 【详解】原不等式化为120x+≥，即120xx +≥，(21)0x x +≥且0x ≠， 所以12x ≤-或0x >．故答案为：1(,](0,)2-∞-+∞．7．有9张卡片，分别写有数字1，2，3，4，5，6，7，8，9.从这9张卡片中不放回地依次取2张卡片，事件A ：“第一次取到的卡片标有奇数数字”，事件B ：“第二次取到的卡片标有偶数数字”，则()|P B A =___________. 【答案】120.5【分析】利用条件概率公式计算可得；【详解】解：依题意()59P A =，()115429A A 20A 72P AB ==，所以()()()20172|529P AB P B A P A ===； 故答案为：128．在()723x y z -+的展开式中，43x y 项的系数为___________. 【答案】280-【分析】分析43x y 包含于717C (2)kkk k T x y z -+=-中的哪一项，再应用对应项展开式通项求43x y 项的系数.【详解】由题设，展开式通项可写为717C (2)k kk k T x y z -+=-，而43x y 项中z 的指数为0，故43x y 项包含于7(2)x y -，所以()()77177C 22C rrr r r r rr T x y x y --+=-=-， 则3r =有334343472C 280T x y x y =-=-.故答案为：280- 9．函数3e xxy =-的驻点为___________. 【答案】1【分析】求出导函数y '，由0y '=解确定结果． 【详解】2e e 1e ex x xx x x y --'=-= 由0y '=得1x =，1x <时，0y '<，1x >时，0y '>，因此1x =是函数的驻点． 故答案为：1．10．袋中有大小､质地完全相同8个球，其中黑球5个､红球3个，从中任取3个球，则红球个数不超过1的概率为___________. 【答案】57【分析】由题意得，所求为红球1个或没有红球的概率，根据概率公式，即可得答案. 【详解】由题意得，所求为红球1个或没有红球的概率，所以120335353388C C C C 5C C 7P =+=.故答案为：5711．已知随机变量X 服从二项分布()12,0.25B ，且()33E aX -=（R a ∈），则()3D aX -=___________.【答案】9【分析】由二项分布的期望和方差公式求出()E X ，()D X ，再根据期望的性质求出a ，最后根据方差的性质计算可得； 【详解】解：因为()12,0.25XB ，所以()120.253E X =⨯=，()()9120.2510.254D X =⨯⨯-=又()()333E aX aE X -=-=， 即333a -=，解得2a =，所以()()()293232494D aX D X D X -=-==⨯=.故答案为：912．已知实数a ､b 满足2222a b +=，则()()2211a b ++的最大值为___________.【答案】258【分析】利用基本不等式计算可得；【详解】解：因为2222a b +=，所以()()221215a b +++=，所以()()221215a b +++=≥即()()22252114a b ++≤，即()()2225118a b ++≤，当且仅当()22121a b +=+， 即2514b +=，2512a +=时取等号，故()()2211a b ++的最大值为258. 故答案为：25813．设()2sin f x x x =+，若()()20221120210f x f x ++-≥，则x 的取值范围是___________. 【答案】2x ≥-【分析】奇偶性定义判断()f x 奇偶性，利用导数研究()f x 的单调性，再应用奇偶、单调性求x 的范围.【详解】由()2sin (2sin )()f x x x x x f x -=--=-+=-且R x ∈，易知：()f x 为奇函数，所以(20221)(20211)f x f x +≥-，又()2cos 0f x x =+>'，故()f x 在R x ∈上递增， 所以2022120211x x +≥-，可得2x ≥-. 故答案为：2x ≥-14．已知0α>，将函数sin y x =,[]0,x π∈的图像绕坐标原点逆时针方向旋转角θ，得到曲线C .若对于每一个[]0,θα∈.曲线C 都是一个函数的图像，则α的最大值为___________. 【答案】π445°【分析】利用运动是相对的，函数sin y x =,[]0,x π∈的图像绕坐标原点逆时针方向旋转，可以看作直线0x =绕坐标原点顺时针方向旋转，再根据函数的定义，即可求解. 【详解】解：利用运动是相对的，函数sin y x =,[]0,x π∈的图像绕坐标原点逆时针方向旋转（左图）， 可以看作直线0x =绕坐标原点顺时针方向旋转（右图），根据函数的定义，对于定义域内的每一个自变量x ，都有唯一确定的y 与之对应， 即直线0x =绕坐标原点顺时针方向旋转过程中，只能与sin y x =的图像有且只有一个交点，故只需求函数在原点处的切线方程，0|cos 01x k y ='===，此时切线方程为y x =， 故直线0x =最多绕坐标原点顺时针方向旋转4π， 则函数sin y x =,[]0,x π∈的图像只能绕坐标原点逆时针方向旋转244πππ-=，故α的最大值为4π， 故答案为：4π15．已知,R a b ∈，()af x x b x=++，若函数()y f x =在区间()2,3上有两个不同的零点，则()1f -的取值范围是___________. 【答案】()16,9--【分析】依题意可得方程20x bx a ++=在区间()2,3上两个不相等的实根，即可得到关于a 、b 的不等式组，画出可行域，数形结合即可得解； 【详解】解：函数()af x x b x=++在区间()2,3上有两个不同的零点， 即20a x bx ax b x x++++==在区间()2,3上有两个不相等的实数根， 即方程20x bx a ++=在区间()2,3上两个不相等的实根1x ，2x ， 所以223240930420b b a b a b a ⎧<-<⎪⎪⎪->⎨⎪++>⎪++>⎪⎩，即2644930420b b a b a b a -<<-⎧⎪>⎪⎨++>⎪⎪++>⎩，由24204b a b a ++=⎧⎨=⎩解得44a b =⎧⎨=-⎩，即()4,4A -，由29304b a b a ++=⎧⎨=⎩解得69b a =-⎧⎨=⎩，即()6,9B -，可得可行域如下所示：由()11f a b -=-+-，令1z a b =-+-，则1a b z =--，平移直线1a b z =--， 可知在()4,4A -时直线的截距最小，此时()max 4419z =-+--=-， 在()6,9B -时直线的截距最大，此时()min 96116z =-+--=- 所以()116,9a b -+-∈--，()1f ∴-的取值范围为()16,9--，故答案为：()16,9--． 16．已知集合[]1,,16A s s t t ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦，其中1A ∉且16s t +<，记()11x f x x +=-，且对任意x A ∈，都有()f x A ∈，则s t +的值是___________. 【答案】112或32【分析】根据两端区间和1x =的关系分三种情况讨论：1x =在[]1,,16s s t t ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦左边，在1,6s s ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦和[],1t t +之间，在[]1,,16s s t t ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦右边三种情况，根据单调性可得()f x 的值域，从而确定定义域与值域的关系，列不等式求解即可. 【详解】①当1s >时，区间[]1,,16s s t t ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦在1x =的右侧，且()211f x x =+-在区间1,,[,1]6s s t t ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦上单调递减，易得()22221,11,15116f x t t s s ⎡⎤⎢⎥⎡⎤∈++++⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎢⎥-⎣⎦，故此时2121116s t s t ⎧+≥⎪⎪⎨⎪+≤+⎪-⎩且21562111t s t s ⎧+≥⎪-⎪⎨⎪+≤+⎪-⎩，即212156t s t s ⎧≤⎪-⎪⎨+≤⎪-⎪⎩且215621t s t s ⎧+≥⎪-⎪⎨⎪≤⎪-⎩，所以212156t s t s ⎧=⎪-⎪⎨+=⎪-⎪⎩，故212516s tst ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪-⎩，故252116t t +=+-，即21216t t t +=-，2120t t --=，因为1t >，故4t =，代入可得32s =，此时112s t += ②当116s t +<<，即56s <时，1x =在1,6s s ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦和[],1t t +之间.因为()11x f x x +=-在区间1,6s s ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦上为减函数，故当1,6x s s ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦，()716,516s s f x s s ⎡⎤+⎢⎥+∈⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦，因为111s s +<-，而1t >，故此时7116,,5166s s s s s s ⎡⎤+⎢⎥+⎡⎤⊆+⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎢⎥-⎣⎦，即11167656s s s s s s +⎧≤+⎪-⎪⎪⎨+⎪≥⎪-⎪⎩，因为56s <，故22511667566s s s s s s ⎧+≥--⎪⎪⎨⎪+≤-⎪⎩即22117066117066s s s s ⎧--≤⎪⎪⎨⎪--≥⎪⎩，故261170s s --=，即()()21370s s +-=，因为56s <，故12s =-.因为此时[,1]t t +在1x =右侧.故当[,1]x t t ∈+时，()21,1t t f x t t ++⎡⎤∈⎢⎥-⎣⎦，因为21t t +>，故[]21,,11t t t t t t ++⎡⎤⊆+⎢⎥-⎣⎦，所以1112t t t t tt+⎧≤+⎪⎪-⎨+⎪≥⎪⎩ ，此时()()2210t t t ≥⎧⎨-+≤⎩，故2t =，满足1t >，此时32s t +=③当11t +<，即0t <时，1x =在[]1,,16s s t t ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦右边.此时()211f x x =+-在区间1,,[,1]6s s t t ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦上单调递减，易得()22221,11,15116f x t t s s ⎡⎤⎢⎥⎡⎤∈++++⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎢⎥-⎣⎦，故此时2121116s t s t ⎧+≥⎪⎪⎨⎪+≤+⎪-⎩且21562111t s t s ⎧+≥⎪-⎪⎨⎪+≤+⎪-⎩，即212156t s t s ⎧≤⎪-⎪⎨+≤⎪-⎪⎩且215621t s t s ⎧+≥⎪-⎪⎨⎪≤⎪-⎩，所以212156t s t s ⎧=⎪-⎪⎨+=⎪-⎪⎩，故212516s ts t ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪-⎩，故252116t t +=+-，即21216t t t +=-，2120t t --=，因为1t <，故3t =-，代入可得13s =，不满足16s t +<.综上所述，有112s t +=或32s t +=故答案为：112或32【点睛】本题主要考查了根据单调性求解值域的问题，需要根据题意，结合分式函数的图象，依据端点与特殊值之间的关系进行分类讨论，同时需要根据值域的包含关系确定参数的取值范围.求解过程中需要统一分析，注意不等式之间相似的关系整体进行求解.属于难题. 三、解答题17．如图所示，1111ABCD A B C D -是棱长为1的正方体.(1)设11BAC △的重心为O ，求证：直线OD ⊥平面11BA C ；(2)设E ､F 分别是棱AD ､11D C 上的点，且1DE D F a ==，M 为棱AB 的中点，若异面直线DM 与EF 2，求a 的值. 【答案】(1)证明见解析； 2【分析】（1）由正方体性质证明1B D ⊥平面11A BC ，1B D 与平面11A BC 的交点即为重心O ，从而证得结论成立；（2）建立空间直角坐标系，用空间向量法求异面直线所成的角，从而求得a 值． 【详解】(1)设1111AC B D N =，连接1DB ，首先1DD ⊥平面1111D C B A ，11A C ⊂平面1111D C B A ，则111DD AC ⊥， 又1111B D A C ⊥，1111DD B D D =，111,DD B D ⊂平面11BDD B ，所以11A C ⊥平面11BDD B ，而1B D ⊂平面11BDD B ，所以111AC B D ⊥， 同理11A B B D ⊥，1111A C A B A =，111,A C A B ⊂平面11A BC ，所以1B D ⊥平面11A BC ， 连接BN 交1B D 于O ，因为11DA DB DC ==，所以O 是等边11A BC 的中心也是重心， 所以DO ⊥平面11A BC ，(2)如图，以1,,DA DC DD 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则(,0,0)E a ，1(1,,0)2M ，(0,,1)F a ，1(1,,0)2DM =，(,,1)EF a a =-，由题意22122cos ,101114a aDM EF DM EF DM EFa a -+⋅<>===+⨯++，解得：24a =（负值舍去）．18．为了更好地帮助高二学生准备生物地理的等级考试，复旦附中就“住校备考”还是“回家备考”问题进行了抽样调查，调查数据如下表（单位：人）： 住校备考 回家备考 合计 男 4 8 12 女103 13 合计 14 1125(1)根据表中数据回答，能否有95%以上的把握判定是否回家备考与性别有关？ (2)从“回家备考”的11人中选出4人进行座谈，设参加座谈的男生人数为X ，求X 的分布和期望.说明：解答本题，可以参考如下资料：()2P k χ≥0.25 0.15 0.10 0.05 0.01k 1.323 2.072 2.706 3.841 6.635()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++.【答案】(1)答案见解析； (2)分布列见解析，期望为3211. 【分析】（1）由列联表，应用题设卡方公式求卡方值，并比较参照值即可得结论. （2）由题设X 可能值为{1,2,3,4}，利用古典概型的概率求法求各对应值的概率，即可得分布列，进而求期望.【详解】(1)由2225(81043) 4.812 3.84114111213χ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，所以有95%以上的把握判定回家备考与性别有关. (2)由题设，X 可能值为{1,2,3,4}，1383411C C 8(1)C 330P X ===，2283411C C 84(2)C 330P X ===，3183411C C 168(3)C 330P X ===，4083411C C 70(4)C 330P X ===，X 分布列为8841687032()123433033033033011E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 19．低碳环保，新能源汽车逐渐走进千家万户.新能源汽车采用非常规的车用燃料作为动力来源，目前比较常见的主要有两种：混合动力汽车､纯电动汽车.为了提高生产质量，有关部门在国道上对某型号纯电动汽车进行测试，国道限速80km/h .经数次测试，得到纯电动汽车每小时耗电量Q （单位：wh ）与速度x （单位：km/h ）的数据如下表所示：为了描述该纯电动汽车国道上行驶时每小时耗电量Q 与速度x 的关系，现有以下三种函数模型供选择：①()321140Q x x bx cx =++；②()2210003xQ x a ⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭；③()3300log a Q x x b =+. (1)当080x ≤≤时，请选出你认为最符合表格中所列数据的函数模型（需说明理由），并求出相应的函数表达式：(2)现有一辆同型号纯电动汽车从A 地行驶到B 地，其中，国道上行驶30km ，高速上行驶200km .假设该电动汽车在国道和高速上均做匀速运动，国道上每小时的耗电量Q 与速度x 的关系满足（1）中的函数表达式；高速路上车速v （单位：km/h ）满足[]80,120v ∈，且每小时耗电量N （单位：wh ）与速度v （单位：km/h ）的关系满足()2210200N v v v =-+（80120v ≤≤）.则当国道和高速上的车速分别为多少时，该车辆的总耗电量最少，最少总耗电量为多少？【答案】(1)符合数据的模型为①，理由见解析，()3211215040Q x x x x =-+； (2)国道和高速上的车速分别为40km/h 、80km/h 时，最少总耗电量为33800wh . 【分析】（1）根据对数函数的性质、单调性判断②③不满足要求，应用待定系数法求函数表达式；（2）由国道、高速耗电函数为()30Q v v ⋅、()200N v v⋅，结合二次函数、对勾函数性质求最小值即可.【详解】(1)由0x =时，()3300log a Q x x b =+无意义，不满足；而()2210003xQ x a ⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭为减函数，不满足要求；所以最符合表格中所列数据的函数模型为()32140Q x x bx cx =++， 323211010101325401404040440040b c b c ⎧⨯+⨯+⨯=⎪⎪⎨⎪⨯+⨯+⨯=⎪⎩，可得2150b c =-⎧⎨=⎩， 所以()321215040Q x x x x =-+. (2)由题意，国道上耗电总量为()322301303(2150)604500404Q v v v v v v v v ⋅=-+⋅=-+， 所以，当[]60400,80324v ==∈⨯km/h 时，国道上耗电总量最小为3300wh ； 高速上耗电总量为()2200200100(210200)400()2000N v v v v v v v⋅=-+⋅=+-， 由对勾函数性质知：函数在[]80,120v ∈上递增，所以，当80v =km/h 时，高速上耗电总量最小为30500wh .综上，当国道和高速上的车速分别为40km/h 、80km/h 时，该车辆的总耗电量最少，最少总耗电量为33800wh .20．记()()522f x x ax =-+，其中R a ∈，已知1x =是函数()y f x =的极值点.(1)求实数a 的值；(2)()f x 的表达式展开可以得到()21001210f x a a x a x a x =++++，求123102310a a a a ++++的值.(3)设函数()y g x =定义域为R ，且函数()1y g x =+和函数()()y f x g x =+都是偶函数，若()032g =-，求()8g 的值 【答案】(1)2a = (2)0 (3)550-【分析】（1）求出函数的导数，依题意可得()10f '=，即可得到方程，求出a ，再代入检验即可；（2）由（1）可得()()5222f x x x =-+，求出函数的导函数，再令1x =，即可得解；（3）首先判断()g x 、()f x 的对称性，令()()()h x f x g x =+，即可得到()h x 也关于1x =对称，且()h x 为偶函数，即可得到其周期，从而得解；【详解】(1)解：因为()()522f x x ax =-+，所以()()()42522f x x ax x a '=-+-，依题意()10f '=，即()()45320a a --=，解得2a =或3a =，当2a =时()()()()()44225222251122f x x x x x x ⎡⎤'=-+-=-+-⎣⎦，当1x <时()0f x '<，当1x >时()0f x '>，所以()f x 在(),1-∞上单调递减，在()1,+∞上单调递增，在1x =处取得极小值，符合题意；当3a =时，()()()()()()44425322352312f x x x x x x x '=-+-=---，当32x <时()0f x '≤，当32x >时()0f x '≥，所以()f x 在3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递减，在3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，不符合题意； 综上可得：2a =.(2)解：因为()21001210f x a a x a x a x =++++，所以()29123102310f x a a x a x a x '=++++，又()()5222f x x x =-+，则()()()4252222f x x x x '=-+-， 令1x =，则()10f '=，则()12310123100f a a a a '=++++=(3)解：因为()1y g x =+为偶函数，即()()11g x g x +=-+， 所以()g x 关于1x =对称，又()()()55222211f x x x x ⎡⎤=-+=-+⎣⎦，则()()()552211111f x x x ⎡⎤-=--+=+⎣⎦，()()()552211111f x x x ⎡⎤+=+-+=+⎣⎦，即()()11f x f x +=-，所以()f x 关于1x =对称， 令()()()h x f x g x =+，则()()()h x f x g x =+也关于1x =对称，即()()2h x h x =-又()()()h x f x g x =+为偶函数，即()()h x h x =-，所以()()2h x h x -=-，即()()2h x h x +=，所以()h x 是以2为周期的周期函数，所以()()80h h =，即()()()()8800f g f g +=+，即()()()()55580082325050g f g f =+-=--=-.21．记()2f x x px q =++（,R p q ∈），()2g x x mx n =++（,R m n ∈）.(1)若()f x x =的解集为{}0，求p 和q 的值；(2)若方程()()0f g x =和()()0g f x =都没有实数根，求证：方程()()0f f x =和()()0g g x =至少有一个没有实数根；(3)若()1118g =，对任意的,R p q ∈，都存在[]01,2x ∈-使得关于x 的不等式()()0f x g x ≥有解，求实数m 的取值范围. 【答案】(1)1p =，0q = (2)证明见解析 (3)答案见解析【分析】（1）根据二次方程解的情况直接可得参数值；（2）分别设两函数值域，可得函数()f x 在[),b +∞上以及()g x 在[),a +∞上均无实数根，分别讨论a b ≥与a b <，即可得证；（3）分情况讨论函数()0f x 的最大值情况，将不等式转化为{}()min maxminf xg x ≥（）.【详解】(1)()f x x =，即()2210x px q x x p x q ++=⇒+-+=，解集为{}0，即()2Δ1400p q q ⎧=--=⎪⎨=⎪⎩，解得10p q =⎧⎨=⎩；(2)设函数()2f x x px q =++的值域为[),a +∞，()2g x x mx n =++的最小为[),b +∞，由方程()()0f g x =和()()0g f x =都没有实数根， 故函数()f x 在[),b +∞上以及()g x 在[),a +∞上均无零点， 若a b ≥，则[)[),,a b +∞⊆+∞，从而()f x 在[),a +∞上也无零点， 即()()0f f x =无实数根，同理，若a b <，则()()0g g x =无实数根，即方程()()0f f x =和()()0g g x =至少有一个没有实数根； (3)由()1118g =，得1118m n ++=，38n m =-，所以()2222333824848m m m g x x mx m x m m ⎛⎫=++-=+--+≥--+ ⎪⎝⎭，所以不等式()()0f x g x ≥有解即为()20348m f x m ≥--+，又对任意的,R p q ∈，都存在[]01,2x ∈-使得关于x 的不等式()()0f x g x ≥有解， 则{}2348maxminm f x m ≥--+（），因为{}111292228max minf x +-==｜（）（）｜（）， 又239488m m --+≤，所以13m m ≥-≤-或，。
2022年上海复旦大学第二附属中学 高二数学文期末试题含解析
2022年上海复旦大学第二附属中学高二数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知P为△ABC所在平面α外一点，PA=PB=PC，则P点在平面α内的射影一定是△ABC 的( )A．内心B．外心C．垂心D．重心参考答案：B2. 已知复数，其中为0，1，2，…，9这10个数字中的两个不同的数，则不同的虚数的个数为（）A.36B.72C.81D.90参考答案：C3. 已知一个几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积为，则a的值为（）A. B. C. D.参考答案：A【分析】画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的体积即可．【详解】解：由三视图可知，几何体的直观图如图：是一个三棱锥和一个三棱柱的组合体，底面都是的等腰直角三角形，高为，所以体积为：，解得．故选：A．【点睛】本题考查三视图求解几何体的体积，判断几何体的形状是解题的关键，属于简单题．4. 方程mx+ny2=0与mx2+ny2=1（|m|＞|n|＞0）的曲线在同一坐标系中的示意图应是（）A．B．C．D．参考答案：A【考点】曲线与方程．【专题】作图题；分类讨论．【分析】当 m和n同号时，抛物线开口向左，方程mx2+ny2=1（|m|＞|n|＞0）表示焦点在y轴上的椭圆，当m和n异号时，抛物线 y2=﹣开口向右，方程mx2+ny2=1（|m|＞|n|＞0）表示双曲线．【解答】解：方程mx+ny2=0 即 y2=﹣，表示抛物线，方程mx2+ny2=1（|m|＞|n|＞0）表示椭圆或双曲线．当 m和n同号时，抛物线开口向左，方程mx2+ny2=1（|m|＞|n|＞0）表示焦点在y轴上的椭圆，无符合条件的选项．当m和n异号时，抛物线 y2=﹣开口向右，方程mx2+ny2=1（|m|＞|n|＞0）表示双曲线，故选 A．【点评】本题考查根据曲线的方程判断曲线的形状，体现了分类头论的数学思想，分类讨论是解题的关键．5. 若复数z=1+i,i为虚数单位,则(1+z)·z=()A.1+3iB.3+3iC.3-iD.3参考答案：A略6. 设S n是等差数列{a n}的前n项和，若a1+a3+a5=3，则S5=（）A．5 B．7 C．9 D．11参考答案：A【考点】等差数列的前n项和．【分析】由等差数列{a n}的性质，及a1+a3+a5=3，可得3a3=3，再利用等差数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：由等差数列{a n}的性质，及a1+a3+a5=3，∴3a3=3，∴a3=1，∴S5==5a3=5．故选：A．7. 在中，，则等于A．30°B．60°C．60°或120°D．30°或150参考答案：C8. 在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若角A、B、C 成等差数列，且a=3，c=1，则b的值为（）A．B．2 C．D．7参考答案：C【考点】余弦定理．【分析】由角A、B、C 成等差数列，利用等差数列的性质及内角和定理求出B的度数，确定出cosB 的值，再由a与c的值，利用余弦定理即可求出b的值．【解答】解：∵角A、B、C 成等差数列，∴2B=A+C，又A+B+C=π，∴B=，∵a=3，c=1，cosB=，∴由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2ac?cosB=9+1﹣3=7，则b=．故选C9. 在△ABC中，分别是内角A , B , C所对的边，若，则△ABC（）一定是锐角三角形. 一定是钝角三角形. 一定是直角三角形. 可能是锐角三角形, 也可能是钝角三角形参考答案：C略10. 已知，且是纯虚数，则＝()A． B． C． D．参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 用等值算法求294和84的最大公约数时，需要做次减法.参考答案：412. 已知焦点在x 轴上的椭圆+=1的离心率e=，则实数m= ．参考答案：12【考点】椭圆的简单性质．【专题】方程思想；分析法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】直接利用已知条件求出椭圆的几何量a ，b ，c ，利用离心率公式计算求解即可．【解答】解：焦点在x轴上的椭圆+=1，可知a=，b=3，c=，∵离心率是e=，∴ ==，解得m=12． 故答案为：12．【点评】本题考查椭圆的方程和性质，注意运用椭圆的基本量和离心率公式，考查运算能力，属于基础题．13. 下列结论中：①“”为真是“p 或q ”为真的充分不必要条件 ②为真是为假的必要不充分条件③若椭圆＝1的两焦点为F 1、F 2，且弦AB 过F 1点，则△ABF 2的周长为16④若p 为：x ∈R ，x 2＋2x ＋2≤0，则p 为：x ∈R ，x 2＋2x ＋2＞0正确的序号是 参考答案： ①④略14. 如图，在平行六面体ABCD ﹣A'B'C'D'中，，，，则AC'= ．参考答案：【考点】点、线、面间的距离计算． 【分析】2=（++）2，由此利用向量能求出AC′的长．【解答】解：∵在平行六面体ABCD ﹣A′B′C′D′中，AB=3，AD=4，AA′=4，∠BAD=90°， ∠BAA′=∠DAA′=60°，=（++）2=9+16+16+2×3×4×cos60°+2×4×4×cos60°=69， ∴AC′的长是． 故答案为：．15. 五位同学围成一圈依次循环报数，规定，第一位同学首次报出的数为1，第二位同学首次报出的数为2，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出数的乘积的个位数字，则第2013个被报出的数为参考答案：2 略16. 已知函数在(1,3)内不单调，则实数a 的取值范围是______．参考答案：或【分析】求得函数的导函数，对分成两类，根据函数在内不单调列不等式，解不等式求得的取值范围.【详解】函数的定义域为，，当时，，单调递增，不符合题意.当时，构造函数，函数的对称轴为，要使在内不单调，则需，即，解得或.【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调区间，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.17. 已知复数z=i（3﹣i），其中i是虚数单位，则复数z的实部是.参考答案：1利用复数代数形式的乘法运算化简得答案．解：∵z=i（3﹣i）=﹣i2+3i=1+3i，∴复数z的实部是1．故答案为：1．三、解答题：本大题共5小题，共72分。
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一. 填空题
1. 已知∈a b ,{0,1,2,3}，则不同的复数=+z a bi 的个数是
2. 一个竖直平面内的多边形，
方形，该正方形有一组对边是水平的，则原多边形的面积是
3. 若-=+++⋅⋅⋅+x a a x a x a x (12)0122018201822018，则+++⋅⋅⋅+=a a a a ||||||||0122018
4.
在x a
(9的展开式中，x 3的系数为4
9，则常数=a 5. 已知球的体积是V ，则此球的内接正方体的体积为
6. 点A (1,2,1)、B (3,3,2)、+λC (1,4,3)，若AB 、AC 的夹角为锐角，则λ的取值范围为
7. 一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的全面积与侧面积的比值是
8. 正四面体ABCD 的棱长为2，则所有与A 、B 、C 、D 距离相等的平面截这个四面体所得截面的面积之和为
9. 从集合⋅⋅⋅{1,2,,30}中取出五个不同的数组成单调递增的等差数列，则所有符合条件的不同的数列个数是
10. 在正三棱锥P -ABC 中，=PA 2，=AB 1，记二面角P -AB -C 、A -PC -B 的平面角依次为 α、β，则-=αβ3sin 2cos 2
11. 如图，顶点为P 的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，
母线=PA 4，O 是底面圆心，B 是底面圆内一点，且
AB ⊥OB ，C 为P A 的中点，OD ⊥PB ，垂足为D ，当
三棱锥O -PCD 的体积最大时，=OB
12. 已知数列a n {}，令b k 为a 1、a 2、…、a k 中的最大值N *∈k ()，则称数列b n {}为“控制 数列”，数列b n {}中不同数的个数称为“控制数列”b n {}的“阶数”，例如：a n {}为1、3、 5、4、2，则“控制数列”b n {}为1、3、5、5、5，其“阶数”为3，若数列a n {}为1、2、3、 4、5、6构成，则能构成“控制数列”b n {}的“阶数”为2的所有数列a n {}的首项和是
二. 选择题
13.
在2018的展开式中，系数为有理数的项数为（ ）
A. 336项
B. 337项
C. 338项
D. 1009项
复旦附中高二下学期期末数学试卷及答案
14. 如图，某几何体的三视图是三个边长为1的正方形，及每个正方形中的一条对角线，则该几何体的表面积是（ ）
A. 4
B.
C.
D. 3+ 15. 定义“创新01数列”{}n a 如下：{}n a 共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意12k m ≤≤，、、…、中0的个数不少于1的个数，若4m =，则不同的“创新01数列”{}n a 的个数为（ ）
A. 12个
B. 14个
C. 16个
D. 18个
16. 已知椭圆方程为22
1425
x y +=，将此椭圆绕y 轴旋转一周所得的旋转体的体积为1V ，满 足5022.5y x y x ≥-⎧⎪≤≤⎨⎪≤⎩
的平面区域绕y 轴旋转一周所得的旋转体的体积为2V ，则（ ）
A. 21V V =
B. 2132V V =
C. 2154V V =
D. 21,V V 无明确大小关系
三. 解答题
17. 已知空间向量a 与b
的夹角为6，且||2a =，||3b =， 令m a b =-，2n a b =+.
（1）求a 、b 为邻边的平行四边形的面积S ；（2）求m 与n 的夹角θ.
18. 有3名女生和5名男生，按照下列条件排队，求各有多少种不同的排队方法？
（1）3名女生排在一起；
（2）3名女生次序一定，但不一定相邻；
（3）3名女生不站在排头和排尾，也互不相邻；
（4）每两名女生间至少有两名男生；
（5）3名女生中，A 、B 要相邻，A 、C 不相邻.
19. 在正四棱锥P -ABCD 中，正方形ABCD 的边长为6OP =，E 是侧棱PD 上的 点且3PD PE =，F 是侧棱P A 上的点且2PA PF =，G 是 PBC 的重心，如图建立空间直 角坐标系.
（1）求平面EFG 的一个法向量；
（2）求直线AG 与平面EFG 所成角的大小；
（3）求点A 到平面EFG 的距离.
20. 如图，在多面体ABCDEF 中，平面ADE ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是边长为2的正 方形， ADE 是等腰直角三角形且∠AED 为直角，EF ⊥平面ADE 且1EF =.
（1）求异面直线AE 和DF 所成角的大小；
（2）求二面角B -DF -C 的平面角的大小.
21. 已知p 、0q >，在()m px q +()m ∈*N 的二项展开式中，若存在连续三项的二项式系数成等差数列，将m 的所有可能值从小到大排列构成数列{}n a .
（1）求数列{}n a 的通项n a ()n ∈*N ；
（2）若在2()a px q +的二项展开式中，当且仅当第10项的系数最大，求
q p
的取值范围.
参考答案
一. 填空题
1. 16
2.
3. 20183
4. 4
5.
6. (2,4)(4,)-+∞
7. 212ππ+ 8. 3 9. 98 10. 2 11. 3
12. 1044
二. 选择题
13. B 14. A 15. B 16. C
三. 解答题
17.（1）S =（2）θπ=-.
18.（1）63634320P P =；（2）456786720⨯⨯⨯⨯=；（3）35
452880P P =；
（4）122323542523(22)2880P P P P P P ⨯+⨯=；（5）15225
6526528640P P P P P ⨯+=.
19.（1）(0,1,1)；（2）；（3）2.
20.（1）2π
；（2）3π
.
21.（1）2
42n a n n =++，n ∈*N ；（2）(0,10).。