2023-2024学年北京十三中高二(上)期中数学试题和答案

2023北京十三中高二（上）期中
数 学
本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第I 卷第1页至第2页；第Ⅱ卷第2页至第4页，答题纸第1页至第3页.共150分，考试时间120分钟.请在答题纸上侧密封线内书写班级､姓名､准考证号.考试结束后，将本试卷的答题纸交回.
第I 卷（选择题共40分）
一､选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.）
1. 直线30x -+=的倾斜角为（ ）A. 30
B. 45
C. 60
D. 135
2. 已知向量()(),1,2,0,2,1a x b =-= ，则,a b
的位置关系是（ ）
A. 垂直
B. 平行
C. 异面
D. 不确定
3. 已知直线l 的一个方向向量为()3,2a =-
，则直线l 的斜率为（ ）A. 32
-
B. 23
-
C.
23
D.
32
4. 圆2
2
1:4C x y +=与圆2
2
2:(3)1C x y -+=的位置关系为（ ）A. 外离
B. 外切
C. 相交
D. 内切
5. 已知直线()1:210l ax a y +++=，22:0l x ay ++=，若12l l ⊥，则实数a 的值是（ ）A. 0
B. 2或-1
C. 0或-3
D. -3
6. 已知点P 是圆22:(3)1C x y -+=上一点，则点P 到直线:3460l x y ++=的距离的最小值为（ ）A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
7. 已知直线x y a +=与圆2
2
4x y +=交于,A B 两点，且OA OB OA OB +=-
（其中O 为坐标
原点），则实数a 的值为
A. 2
C. 2或2
-或8. 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是线段11A C 上任意一点，则AE 与平面ABCD 所成角的正弦值不可能是（ ）
D. 1
9. 已知方程223
3
1:x C y +=，对于该方程所表示的曲线给出下列结论，结论正确的是（ ）A. 曲线C 仅有两条对称轴B. 曲线C 经过5个整点
C. 曲线C
D. 曲线C 围成的封闭图形面积不超过2
10. 已知两点(1,0)M -，(1,0)N ，若直线(2)y k x =-上至少存在三个点P ，使得MNP △是直角三角形，则实数k 的取值范围是（ ）．
A. 11,00,33⎡⎫⎛⎤-⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦
B. ⎡⎫⎛⎪ ⎢⎪ ⎣⎭⎝⎦
C. 11,33⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
D. [5,5]
-第Ⅱ卷（非选择题共110分）
二､填空题（本大题共7小题，每小题5分，共35分.）
11. 已知()()1,2,3,3,2,1M N ---，则线段MN 的中点坐标是___________.12. 经过点()1,2M 且与直线280x y -+=垂直的直线方程为___________.
13. 在空间直角坐标系O xyz -中，点(1A ，2，3)关于x 轴的对称点的坐标为_________
14. 在空间直角坐标系Oxyz 中，已知点(1,0,0),(0,2,0),(0,0,2),(0,0,1)A B C D ，则直线AD 与BC 所成角的大小是___．
15. 已知()()2,0,2,0A B -，以AB 为斜边的直角PAB ，其顶点P 的轨迹方程为___________.16. 已知点()1,1A -，点P 在圆22:20C x y x ++=上，则AP 的取值范围是___________；若AP 与圆C 相切，则AP =___________.
17. 已知四棱锥P ABCD -的高为1，PAB 和PCD 的等边三角形，给出下列四个结论：
①四棱锥P ABCD -可能为正四棱锥；
②空间中一定存在到P ，A ，B ，C ，D 距离都相等的点；③可能有平面PAD ⊥平面ABCD ；
④四棱锥P ABCD -的体积的取值范围是12,33⎛⎤
⎥⎝⎦
.
其中所有正确结论的序号是__________.
三､解答题：（本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步
骤）
18. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1,2,,,AB AC AA AB AC M N P ⊥===分别为11,,AB BC A B 的中点
（1）求证：BP 平面1C MN ；（2）求二面角1C MN C --的余弦值.
19. 已知圆C 过原点O 和点()1,3A ，圆心在x 轴上.（1）求圆C 的方程；
（2）直线l 经过点()1,1，且l 被圆C 截得的弦长为6，求直线l 的方程.20. 如图，四边形ABCD 为梯形，AB CD ，四边形ADEF 为平行四边形．
（1）求证：CE ∥平面ABF ；
（2）若AB ⊥平面,,1,2ADEF AF AD AF AD CD AB ⊥====，求：（ⅰ）直线AB 与平面BCF 所成角的正弦值；（ⅱ）点D 到平面BCF 的距离．
21. 如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，AD =1，12AB AA ==，H ，F 分别是棱11C D ，1BB 的中点.
（1）判断直线HF 与平面11A BCD 的位置关系，并证明你的结论；（2）求直线HF 与平面ABCD 所成角的正弦值；
（3）在线段HF 上是否存在一点Q ，使得点Q 到平面11A BCD ，若存在，求出HQ
HF
的值；若不存在，说明理由.
22. 已知圆22:(6)4,Q x y l -+=为过点()0,2P 且斜率为k 的直线.（1）若l 与圆Q 相切，求直线l 的方程；
（2）若l 与圆Q 相交于不同的两点,A B ，是否存在常数k ，使得向量OA OB + 与PQ
共线？若存
在，求k 的值：若不存在，请说明理由.
参考答案
第I 卷（选择题共40分）
一､选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.）
1. 【答案】A
【分析】求出直线的斜率，结合倾斜角的取值范围可得出结果.
【详解】设直线30x -+=的倾斜角为α，因为直线30x -+=，又因为0180α︒≤<︒，故30α= .故选：A 2. 【答案】A
【分析】计算0a b = ，可知a b ⊥
，得到答案.
【详解】因为向量()(),1,2,0,2,1a x b =-=
，
所以0211(2)0a b x =⨯+⨯+⨯-= ，所以a b ⊥ ，
故选：A.3. 【答案】B
【分析】根据直线斜率公式结合已知直线的方向向量可以直接求出直线的斜率.【详解】因为直线l 的一个方向向量为()3,2a =-
，所以直线l 的斜率为23
-.故选：B 4. 【答案】B
【分析】根据圆心距与半径的关系判断.
【详解】由题意，圆22
1:4C x y +=，则圆心()10,0C ，半径12r =，
圆22
2:(3)1C x y -+=，则圆心()23,0C ,半径21r =，
所以两圆圆心距1212||3C C r r ==+，所以两圆外切.故选：B.5. 【答案】C 【分析】
由12l l ⊥，结合两直线一般式有12120A A B B +=列方程求解即可.【详解】由12l l ⊥知：(2)0a a a ++=,解得：0a =或3a =-故选：C .6. 【答案】C
【分析】首先求出圆心到直线的距离，再减去半径，即可求解.【详解】圆2
2
:(3)1C x y -+=的圆心为()3,0，半径为1，
3，
所以点P 到直线:3460l x y ++=的距离的最小值为312-=.故选：C.7. 【答案】C
【详解】分析：利用OA ⊥OB ，OA=OB ，可得出三角形AOB 为等腰直角三角形，由圆的标准方程得到圆心坐标与半径R ，可得出AB ，求出AB 的长，圆心到直线y=﹣x+a 的距离为AB 的一半，利用点到直线的距离公式列出关于a 的方程，求出方程的解即可得到实数a 的值．详解：∵OA ⊥OB ，OA=OB ，∴△AOB 为等腰直角三角形，又圆心坐标为（0，0），半径R=2，∴
=∴圆心到直线y=﹣x+a 的距离d=1
2
，∴|a|=2，∴a=±2．故答案为C ．
点睛：这个题目考查的是直线和圆的位置关系，一般直线和圆的题很多情况下是利用数形结合来解决的，联立的时候较少；在求圆上的点到直线或者定点的距离时，一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距离，再加减半径，分别得到最大值和最小值；涉及到圆的弦长或者切线长时，经常用到垂径定理和垂径定理.8. 【答案】C
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出AE 与平面ABCD 所成角的余弦值范围，即可得出正弦值的范围.
【详解】以B 为原点建立空间直角坐标系如图：设棱长为1，则()()0,0,0,1,0,0B A ，设(),1,1,01E t t t -≤≤，
所以()1,1,1AE t t =-- ，平面ABCD 的法向量为()
10,0,1BB =
111cos ,BB AE BB AE BB AE ⋅==⋅
⎤∈⎥⎦
，
所以则AE 与平面ABCD 所成角的正弦值取值范围为⎤
⎥⎦
.对比各选项，C 项不可能.故选：C
9. 【答案】D
【分析】根据2
23
3
1x y +=知曲线有四条对称轴可判断A ；根据[],1,1x y ∈-判断整点在曲线上的个数可判断B ；根据曲线上的点()1,0到原点的距离可判断C ；判断曲线在第一象限位于1x y +<的
下方，同理可得在其他三个象限的情况，从而得到曲线2
2
331x y +=为边长的正方形的内部可判断D.
【详解】由2
2
331x y +=知，[],1,1x y ∈-，
对于A ，曲线C 关于x 轴对称，关于y 轴对称，关于y x =对称，关于y x =-对称，即有四条对称轴，故A 错误；对于B ， [],1,1x y ∈-，且在1
1
x y ⎧≤⎪⎨
≤⎪⎩范围内的整点有()1,1，()1,1-，()1,1-，()1,1--，
()1,0，()1,0-，()0,1，()0,1-，()0,0，
满足2233
1x y +=的有()1,0，()1,0-，()0,1，()0,1-共四个，故B 错误；
对于C ， ()1,0在曲线上，而()1,0到原点的距离为1<
C 错误；
对于D ，当(),0,1x y ∈时，23
x x >，23
y y >，∴2
2
331x y x y +=>+，即1x y +<，同理可得1x y +>-，1x y ->-，1x y -<，
即曲线C 在四条直线1x y +=，1x y +=-，1x y -=-，1x y -=所围成的封闭图形的内部，
即曲线C 的正方形的内部，
∴曲线C 围成的图形的面积2
2S <
=，故D 正确.
故选：D.10. 【答案】B
【分析】由于直线恒过点(2,0)，所以可得0k ≠，而当,MNP NMP ∠∠为直角时，这样的点P 一定存在，所以要使MPN ∠为直角，只要直线与圆221x y +=至少有一个交点，从而可求出实数k 的取值范围.
【详解】因为,,M N P 构成三角形，且直线(2)y k x =-恒过点(2,0)，所以,,M N P 三点不共线，即0k ≠，
显然，当MNP ∠或NMP ∠为直角时，在直线上一定存在点P ，
若至少存在三个点使MNP △是直角三角形，即至少存在一个点，使MPN ∠为直角，即直线与圆221x y +=至少有一个交点，
则1d =
≤，解得213k ≤，即k ≤≤且0k ≠，.
故选：B
第Ⅱ卷（非选择题共110分）
二､填空题（本大题共7小题，每小题5分，共35分.）
11. 【答案】()
2,0,2-【分析】由中点公式计算即可得出结果.【详解】因为()()1,2,3,3,2,1M N ---，所以线段MN 的中点坐标是132231,,222+---⎛⎫ ⎪⎝⎭
，即中点为()2,0,2-.故答案为：()2,0,2-12. 【答案】250
x y +-=【分析】由题可设直线方程为20x y c ++=，代入已知点坐标即得.【详解】由题可设所求直线方程为20x y c ++=，代入点()1,2M ，可得140c ++=，即5c =-，
所以经过点()1,2M 且与直线280x y -+=垂直的直线方程为250x y +-=.故答案为：250x y +-=.13. 【答案】(1，2-，3)-【分析】
利用空间直角坐标系中点的对称关系直接求解即可
【详解】空间直角坐标系中，点(1A ，2，3)关于x 轴的对称点坐标为(1A '，2-，3)-．故答案为：(1，2-，3)-．14. 【答案】60︒【分析】
利用空间向量求夹角公式直接求解.
【详解】(1,0,0),(0,2,0),(0,0,2),(0,0,1)A B C D Q (0,2,2),(1,0,1)
BC AD ∴=-=-u u u r u u u
r
1cos ,2AD BC AD BC AD BC ⋅∴====⋅u u u r u u u r
u u u r u u u r u u u r u u u r 又空间中两直线夹角范围为(0,90⎤⎦
o
o
，故,60AD BC =o
u u u r u u u r 所以直线AD 与BC 所成角的大小是60︒故答案为：60︒
15. 【答案】()
2
2
42x x y +=≠±【分析】设出P 点的坐标，由勾股定理得到等式，化简后除去曲线与x 轴的交点得答案.【详解】设(),P x y ，则222||||||PA PB AB +=，即
2
2
16+=，
整理得：224
x y +=∵A B P ，，三点构成三角形，∴2x ≠±.∴顶点P 的轨迹方程为()2
2
42x x y +=≠±.
故答案为：()2
2
42x x y +=≠±.
16. 【答案】
①
. 1⎤⎦ ②. 2
【分析】利用两点间距离公式计算求得AC ,进而可得AP 的取值范围；若AP 与圆C 相切，利用勾股定理计算即可求得AP 的值.
【详解】圆22:20C x y x ++=标准化为()2
2:11C x y ++=，圆心()1,0C -，半径1r =，
()1,1A -，
则
AC =
=
，所以AP
的取值范围是1⎤-⎦，
当AP 与圆C 相切时，可知2AP ===.
故答案为：1⎤-+⎦；2
17. 【答案】①②④
【分析】对①，分析当四棱锥P ABCD -为正四棱锥时是否满足条件即可；对②，设四棱锥P ABCD -的高为PO ，分析可得点O 满足；对③，假设平面PAD ⊥平面ABCD ，再推导得出矛盾即可判断；对④，设BOC θ∠=，得出四棱锥P ABCD -的体积表达式再求解即可
【详解】根据题意，设PO ABCD ⊥，则1PO =，又因为PAB 和PCD 的等边三角形，易得1OA OB OC OD ====，且2
AOB COD π
∠=∠=
对①，当AB BC CD AD ====
O 为底面中心，此时四棱锥
P ABCD -可能为正四棱锥，故①正确；
对②，1O A O B O C O D O P =====，故一定存在到P ，A ，B ，C ，D 距离都相等的点O ，故②正确；
对③，当平面PAD ⊥平面ABCD 时，因为PO ABCD ⊥，故PO ⊂平面PAD ，此时A O D π∠=，又因为2
AOB COD π
∠=∠=
，此时,B C 重合，不满足题意，③错误；
对④，设BOC θ∠=，则1
3
P ABCD ABCD V S PO -=
⋅⋅
()()111111
sin sin 1sin 322223
OA OB OC OD OB OC OA OD θπθθ⎛⎫=⋅+⋅+⋅+⋅-=+ ⎪⎝⎭，因为()0,θπ∈，故(]sin 0,1θ∈，所以()1
12
1sin ,333P ABCD V θ-⎛⎤=+∈ ⎥⎝⎦
，故④正确故答案为：①②④
三､解答题：（本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
18. 【答案】（1）证明见解析
（2【分析】（1）先证11,,,M N C A 四点共面，再证明BP 1MA ，由线线平行得到线面平行.
（2）建系，分别求出平面1MNC 的法向量和平面CMN 的一个法向量，代入二面角的向量公式求出即可.【小问1详解】
连接1A M ，因为,M N 分别为,AB BC 的中点，所以MN AC
在三棱柱111ABC A B C -中，AC 11A C .所以MN 1111,,,,AC M N C A 四点共面.因为AB 1111,,,A B AB A B M P =分别为11,AB A B 的中点，所以BM 11,A P BM A P =.所以四边形1BMA P 为平行四边形.
所以BP 1MA .因为BP ⊄平面11,C MN MA ⊂平面1C MN ，所以BP 平面1C MN .【小问2详解】
由题设1AA ⊥平面ABC ，所以11,AA AB AA AC ⊥⊥.因为AB AC ⊥，
所以1,,AB AC AA 两两垂直.如图建立空间直角坐标系A xyz -.
所以()()()()()()()110,0,0,2,0,0,0,2,0,1,0,0,1,1,0,2,0,2,0,2,2A B C M N B C .
()()()1110,1,0,1,1,2,2,2,0MN NC B C ==-=-
.
平面CMN 的一个法向量是()0,0,1n = ，设平面1MNC 的法向量为(),,m x y z =
，则10,0,m MN m NC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即0
20
y x y z =⎧⎨-++=⎩令2x =，则0,1y z ==.于是()2,0,1m =
，
设二面角1C MN C --的平面角为α，
则cos m n m n α⋅==⋅ ，由图可知α
为锐角，所以cos α=
19. 【答案】（1）22(5)25x y -+= （2）1x =或15870
x y --=【分析】（1）设圆C 的圆心坐标为(),0a ，由已知列出方程，求得a ，进而求得半径，即可得出结果；
（2）设出直线方程，利用垂径定理，列方程求出直线的斜率即可得出结果.【小问1详解】
设圆C 的圆心坐标为(),0a .
=5
a =从而圆C
的半径为5r ==，所以圆C 的方程为22
(5)25x y -+=.
【小问2详解】
依题意，圆C 的圆心到直线l 的距离为4显然直线1x =符合题意.
当直线l 的斜率存在时，设其方程为()11y k x -=-，即10kx y k --+=
4解得15
8
k =
，所以直线l 的方程为15870x y --=综上，直线l 的方程为1x =或15870x y --=.20. 【答案】（1）见解析； （2）（i
；（ii
【分析】（1）在射线AB 上取点P ,使AP DC =，证明四边形PCEF 为平行四边形，则
//PF CE ，则根据线面平行的判定即可得到；
（2）以A 为原点，建立合适的空间直角坐标系，写出相关向量，计算出平面BCF 的法向量为
(1,1,2)m =
，则可计算出线面角的正弦值；
（3）因为//AB CD ,根据（2）的结论则得到距离sin d CD α=⋅=【小问1详解】
如图,在射线AB 上取点P ,使AP DC =,连接PF .
由题设,得//AP DC ,所以四边形APCD 为平行四边形.所以//PC AD 且PC AD =.又四边形ADEF 为平行四边形,所以//AD EF 且AD EF =.所以//PC EF 且.PC EF =.所以四边形PCEF 为平行四边形,所以//PF CE .
因为CE ⊂平面,ABF PF ⊂平面ABF 所以//CE 平面ABF .【小问2详解】
（i ）因为AB ⊥平面ADEF ,,AD AF ⊂平面ADEF ，所以,AB AD AB AF ⊥⊥.又AD AF ⊥,所以AB ,AD ,
AF 两两相互垂直.
如图建立空间直角坐标系A xyz -,
则(0,0,0),(2,0,0),(1,1,0),(0,0,1)A B C F .所以(1,1,0),(2,0,1),(2,0,0)BC BF AB =-=-=
.
设平面BCF 的法向量为(,,)m x y z = ,则0,
0,
m BC m BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
即0,
20.
x y x z -+=⎧⎨
-+=⎩令1x =,则
1,2y z ==.于是(1,1,2)m =
.设直线AB 与平面BCF 所成角为α,
则
sin cos ,|m AB m AB m AB α⋅=〈〉==
∣所以直线AB 与平面BCF
（ii ）因为//AB CD ,
所以直线CD 与平面BCF
所以点D 到平面BCF
的距离为sin d CD α=⋅=
21. 【答案】（1）//HF 面11A BCD ，证明见解析； （2
； （3）不存在，理由见解析.
【分析】（1）O 为11,CD DC 的交点，连接,HO BO ，易得BFHO 为平行四边形，根据平行四边形性质、线面平行判定即可证//HF 面11A BCD .
（2）由（1）只需求BO 与面ABCD 所成角的正弦值，根据已知条件求值即可.
（3）由（1）知HF 上任意一点到面11A BCD 的距离都相等，只需求F 到面11A BCD 的距离，利用长方体的结构特征求距离即可.【小问1详解】
若O 为11,CD DC 的交点，连接,HO BO ，又H ，F 分别是棱11C D ，1BB 的中点，
由长方体的结构特征知：//HO BF 且HO BF =，故BFHO 为平行四边形，所以//HF BO ，HF ⊄面11A BCD ，BO ⊂面11A BCD ，则//HF 面11A BCD .【小问2详解】
由（1）知： HF 与面ABCD 所成角，即为BO 与面ABCD 所成角，长方体中，O 到面ABCD 的距离为
1
12
AA =
，BO ==，所以BO 与面ABCD
HF 与面ABCD
.【小问3详解】
由（1）知：//HF 面11A BCD ，即HF 上任意一点到面11A BCD 的距离都相等，所以只需求F 到面11A BCD 的距离d ，而1B 到面11A BCD
的距离为2d =，
所以F 到面11A BCD
，故HF 上不存在Q ，使得Q 到平面11A BCD
.22. 【答案】（1）:20l y -=或3480x y +-= （2）不存在，理由见解析
【分析】（1）确定圆的圆心和半径，设出直线方程，利用直线与圆相切，建立方程，即可求解；
（2）将直线方程和圆的方程联立，根据根的判别式求出k 的范围，利用韦达定理及向量OA OB +
与PQ
共线即可求解.【小问1详解】
圆2
2
:(6)4Q x y -+=，所以圆心为()6,0Q ，
过()0,2P 且斜率为k 的直线方程为2y kx =+，即20kx y -+=，
l 与圆Q 相切，则圆心Q 到直线l
的距离2d
=
=
=，
解得：0k =或3
4
k =-
，故切线方程为:20l y -=或3480x y +-=
；
【小问2详解】
设()()1122,,,A x y B x y ，
联立直线l 与圆:Q ()2
264,
2,
x y y kx ⎧-+=⎪⎨
=+⎪⎩消去y 得(
)()2
2
143360k
x
k x ++-+=，
直线与圆交于两个不同的点A ，B ，即(
)2
2
Δ16(3)41360k k =--+⋅>，
解得3
04
k -
<<，由韦达定理得()122
431k x x k
-+=-
+，
则()()1212122
4312241k y y kx kx k x x k ++=+++=++=
+，
则()()()121222
43431,,11k k OA OB x x y y k k ⎛⎫-++=++=- ⎪++⎝⎭
，而()0,2P ，()6,0Q ，()6,2PQ =-
，
若OA OB + 与PQ
共线，则Q O B P A O λ=+ ，即()()()22
43431,6,211k k k k λ⎛⎫-+-=- ⎪++⎝⎭
， 即()
()2
2
436,14312,
1k k k k λλ⎧--=⎪⎪+⎨+⎪=-⎪+⎩解得34k =-，
因为3
04
k -
<<，故没有符合题意的常数k ，使得向量OA OB + 与PQ
共线.。