人教版高中数学必修五课时提升作业(十二)24第1课时等比数列含解析.doc

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课时提升作业（十
二）
等比数列
25分钟基础练'（25分钟60分)
一、选择题（每小题5分，共25分）
1.（2015 •广州高二检测）已知等比数列｛%｝的通项公式为a n=3n+2（ne NJ,则该数列的公比是（）
A.-
B. 9
C.-
D. 3
9 3
【解析】选D.由题意得ai=33, a2=34, 所以公比q二竺=3.
ai
2.已知等比数列｛&）｝中，
3.2015=3-2017=_1 9则&2016二（）
A.-1
B. 1
C. ±1
D.以上都不对
【解析】选C・由题意得如15, 3.2016, 82017成寺比数列,
所以a| 32017 * 32015— (_1 ) X (—1 ) — 1 ,
3. （2015 -海口高二检测）在等比数列｛a」中,
1 1
q电，a n=—,则项
数门为（）
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6 【解析】选C.由题意得gX二右，所以门二
5・
【延伸探究】本题条件改为在等比数列｛aj 中,81=1, q 二2, &尸64, 结果又如何？
【解析】由题意得1 X2
n_1
=64,所以n 二7.
4. （2015 -雅安高一检测）已知数列｛爲｝满足创二1, a nH =|a n , nEN\则 3-n~ （ ） A.（旷 B .曲
C.（旷
D. （I ）， 【解析】选A.因为a n+1=-a n , n£N\所以沁二$ nEN\ 3
an 3
9
所以数列｛aj 是首项为1,公比为彳的等比数列， n- n-1
【误区警示】解答本题容易搞错作比顺序，导致求错公比.
【解析】选A. as^X^X^X^iX^ ^2 ^4 二琥qg 二I②性32.
二、填空题（每小题5分，共15分）
6. （2015 •徐州高二检测）等比数列1, V2, 2,…的第五项是 _________
【解析】该等比数列的首项为1,公比为¥运， 所以第五项是1 X （丫②空4・ 答案：4
7. （2015 •浙江咼考）1_2知｛占訂是等差数列，公差d 不为零•若a?, g,
为成等比数列，且2a]+a 2=l,则a 】二 ______ , d 二 _____ ・
所以 a n =1 X (-
5.如果数列a 】，—,―,
数列，则as 等于（）
,竺…是首项为1,公比为-渥的等比 a
n-i
A. 32
B. 64
C.-32
D. -64
【解析】由题意可得，Q+2d)2二仙+d) Q+6d),故有3ai+2d=0,又因
2
为2ai+a2=1,即3ai+d=1,所以d二一1二一. 答案：I -1
【补偿训练】公差不为0的等差数列第2, 3, 6项构成等比数列，则公比为____________ .
【解析】设等差数列为｛aj,公差为d,首项为內，由题设知，等差数列｛a」中，磅二a? • a&,
所以(ai+2d)2- (ai+d) (ai+5d),
因为dfO,所以d=-2a1?
所以a^O.故公比q二楚处弩-・坯-3・
a^+d. —8i
答案：3
8•等比数列｛%｝中，如a2,直分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且切，出，a冲的任何两个数不在下表的同一列•则数列｛显的通项公式为__________ ・
【解析】依题意可得ai=2, a2=6, a3= 18,
所以首项为2,公比为3,
所以数列｛8»訂的通项公式为a.二2><3"二
答案：a n=2 X 3n_1
三、解答题(每小题10分，共20分)
9•等比数列的前3项依次是a, 2a+2, 3a+3,试问-13^是否为这个数列中的项？如果是，是笫儿项？
【解题指南】一个等比数列的前三项仍然构成等比数列，则可以求出a 的值，要判断T3：是否为数列中的一项，就要求出通项公式再作出判断. 【解析】因为a, 2a+2, 3a+3是等比数列的前三项，仍然构成等比数列. 所以a (3a+3)二(2a+2)2,解得a二-1 或a二-4.
当a二-1时，数列的前三项依次为T, 0, 0.
与等比数列的定义矛盾，故将a二T舍去.
当a二-4时，数列的前三项依次为-4, -6, -9•则公比为q二］・所以
■
所以n-1=3,即n二4•所以T3寸是这个数列的项，是第4项.
10. (1)若数列佃n｝为等差数列，证明：数列*引｝为等比数列.
(2)若数列佃話为等比数列,且务〉0,证明：数列｛©%｝为等差数列. 【证明】(1)若数列｛aj为等差数列，
2an+1 a n+1-a n
设公差为d,则一^二2 二2役所以｛2呵为等比数列.
(2)若数列｛令｝为等比数列，设公比为q,
则 I ga n+ -1 ga…=
所以｛Iga n ｝为等差数列.
8, 4, 2; 1, 3, 9 和 9, 3, 1 共 6 个.
2, …），若数列｛b 」有连续四项在集合｛-53, -23, 19, 37, 82｝中, 则 q 二
（）
A. -2
B. --
C. -
D. 2
2 2
【解析】选B ・由题意：等比数列｛缶｝有连续四项在集合｛-54, -24,
18, 36, 81｝中，由等比数列的定义知：四项是两个正数、两个负数, 故-24, 36, -54, 81符合题意，则q 二-£
2
2. （2015 •大连高一检测）一个正整数数表如下（表中下一行中的数的
个数比上一行中数的个数多两个，每行中的数成公比为2的等比数 列），则笫6行的笫5个数是（）
20分钟提升练"
（20分钟 40分)
一. 选择题（每小题5分，共10分）
1. （2015 -石家庄高二检测）从集合｛1, 2, 3, 4,…，10｝中任意选出
三个不同的数，使这三个数成等比数列,
这样的等比数列的个数为
A. 3
B. 4
C. 6
D. 8
【解析】选C.这样的等比数列可以为1, 2,
4; 2, 4, 8; 4, 2, 1;
【补偿训练】设｛翳是公比为q 的等比数列,
q | >1,令 b n =a n +l (n=l,
A. 229
B. 230
C. 231
D. 232
【解析】选A.由题意得各行数构成等比数列，
第6行的第5个数是此数列的第1 +3+5+7+9+5=30项，所以该数是229.
二、填空题（每小题5分，共10分）
3.（2015 •扬州高一检测）若3为等差数列｛a n｝的前n项和，S9=-36, S沪-104,则念与a?的等比中项为__________ ・
【解析】因为Sg二竺字色9a§二-36,
A
所以a5=-4,
因为Si _13（ai-a lg；L13a__104^
所以a7=-8,所以as与a?的等比中项为
士J （一4） X（一8）二± 4眩
答案：±4、眨
4.（2015 -德州高二检测）在数列｛為｝中,若盯1, a n+1=2a n+3（n^l）, 则数列的通项务二________ ・
【解析】设a n+1+k=2 （a n+k）,
则a n+i—2a n+k,又因为a n+i—2a n+3,
所以k二3,所以a”i+3二2 （a n+3）.
又因为ai+3二4,所以an+3#=0, 匹注=2 （心）.
所以数列｛a n + 3｝是首项为4,公比为2的等比数列， 所以 an+3二4 X 2「1
二2卄1
,所以 a n =2
n+1
-3.
答案:2
n+1
-3
三、解答题（每小题10分，共20分）
5•有四个数，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，第一个数 与
笫四个数的和为21,中间两个数的和为18,求这四个数.
【解析】方法一：设第一个数为a,则第四个数为21-a;设第二个数 为b,则第三个数为18-b,因此，这四个数为a, b, 18-b, 21-a, 由题意得
所以这四个数为3, 6, 12, 18或卫，
4
4
4
4
方法二：设前三个数分别为仝，a, aq,则第四个数为2aq-a.由题意 得传+伽-沪21,解得沖或口 g 十旳=13.
当q 二2时，a 二6,这四个数为3, 6, 12, 18.
方法三：设后三个数为a-d, a, a+d,则第一个数为迂竺•因此，四
何18 - b) = b 2
, 解浮庐= 强芒說2g _b ）
解得｛:話或
个数为, a-d, a, a+d.
所以这四个数为3, 6, 12, 18或弓，严，弓，7
4 4 4 4
【补偿训练】互不相等的三个数之积为-8,这三个数适当排列后，可成为等比数列，也可排成等羌数列，求这三个数排成的等差数列.
【解析】设三个数为色，a, aq,
q
所以a3二一8,即a二一2.
2
所以三个数为--，-2, -2q.
q
①若-2为二和-2q的等差中项.
q
则^2q二4,所以q -2q+1=0,
q
解得qh与已知矛盾；
9 1
②若-2q为--与-2的等差中项，则-+1=2q.
q q
所以2q2-q-1=0,解得q二-;或q二1 (舍去).
所以三个数为4, 1, -2;
③若丄为-2q与-2的等差中项，则q+1二.
q q
所以q?+q-2二0,所以解得qh (舍去)或q二-2.
所以三个数为-2, 1, 4.
综合①，(2),③可知，这三个数排成的等差数列为4, 1, -2或-2, 1, 4.
6.设数列｛务｝的首项a尸a* 且产吧为偶勧'
4&+扌血为奇呦.
i己b“二出叶1一n二1, 2, 3,….
4
(1)求a3.
(2)判断数列｛bj是否为等比数列，并证明你的结论.
1 1 【解析】(1) a 2=ai+-=a+-, 4 4
1 1 q ⑵ 因为 a 4-a3+---a+-, 4
2 9
证明如下:
所以数列｛bj 是首项为a--,公比为丄的等比数列.
4 2
记b n =a 2n -|,结果如何? 1 4
14 【解析】(1) a 2--ai+1=-, a3=a 2_3 X 2--—. ⑵ 6卅工二予口7 三一評2n+】供2】：+1；-售
二頁日也・6 n ； 4- （2n 4II 峙—护 2n ^2-l azn-|
3 所以数列｛b 」是以a 2~,即以-［为首项，以］为公比的等比数列.
Z 6 3
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a3=—a2=—a+—. 【延伸探究】木题条件改为3产1, 因为 b n+Fa 2n+1~^a 2~ -7（a 2n-L -扌）Wbn （nWNj , 所以 a5二丄a4二la+-2
-, 2 4 16 猜想：数列｛bj 是公比为+的等比数列.
（n 为腎数）, （n 为偶数）.。