2018-2019学年江西省新余市高三(上)期末数学试卷(理科)(解析版)

2018-2019学年江西省新余市高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．（5分）已知全集U＝R，A＝{x|≥0}，则∁U A＝（）
A．{x|2018≤x≤2019}B．{x|2018＜x＜2019}
C．{x|2018＜x≤2019}D．{x|2018≤x＜2019}
2．（5分）已知复数z＝+1，则|z|2018＝（）
A．22018B．21009C．1D．
3．（5分）某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如表：
根据上表中的数据可以求得线性回归方程＝x+中的为6.6，据此模型预报广告费用为10万元时销售额为（）
A．66.2万元B．66.4万元C．66.8万元D．67.6万元4．（5分）已知函数f（x）＝，则f[f（）]＝（）A．1B．﹣1C．2019D．
5．（5分）在等差数列{a n}中，已知a4，a7是函数f（x）＝x2﹣4x+3的两个零点，则{a n}的前10项和等于（）
A．﹣18B．9C．18D．20
6．（5分）已知x，y满足不等式组，则z＝2x+y的最大值与最小值的比值为（）A．B．C．D．2
7．（5分）如图，网络纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某四棱锥的三视图，则该几何体的体积为（）
A．B．2C．8D．6
8．（5分）把1，2，3，…，6这六个数随机地排成一列组成一个数列，要求该数列恰先增后减，则这样的数列共有多少个？（）
A．31B．30C．28D．32
9．（5分）在如图算法框图中，若a＝（2x﹣1）dx，程序运行的结果S为二项式（2+x）5的展开式中x3的系数的9倍，那么判断框中应填入的关于k的判断条件是（）
A．k＜3B．k＞3C．k＜2D．k＞2
10．（5分）在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，已知a＝5，S△ABC＝，且b2+c2﹣a2＝ac•cos C+c2•cos A，则sin B+sin C＝（）
A．3B．C．D．3
11．（5分）l是经过双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）焦点F且与实轴垂直的直线，A，
B是双曲线C的两个顶点，若在l上存在一点P，使∠APB＝60°，则双曲线的离心率的最大值为（）
A．B．C．2D．3
12．（5分）已知函数f（x）＝，若当方程f（x）＝m有四个不等实根
x1，x2，x3，x4（x1＜x2＜x3＜x4）时，不等式kx3x4+x12+x22≥k+11恒成立，则实数k的最小值为（）
A．B．2﹣C．D．﹣
二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分.请将正确答案填在答题卷相应位置.）13．（5分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x+4）＝f（x﹣2）．若当x∈[﹣3，0]时，f（x）＝6﹣x，则f（919）＝．
14．（5分）已知向量，满足||＝2，（）＝﹣3，则向量在方向上的投影为．15．（5分）已知tanθ+＝4，则cos2（θ+）＝．
16．（5分）正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝，AA1＝2，设四棱柱的外接球的球心为O，动点P在正方形ABCD的边长，射线OP交球O的表面点M，现点P从点A出发，沿着A→B→C→D→A运动一次，则点M经过的路径长为．
三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤）
17．（12分）已知等比数列{a n}的公比q＞0，a2a3＝8a1，且a4，36，2a6成等差数列．（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）记，求数列{b n}的前n项和T n．
18．（12分）现有4名学生参加演讲比赛，有A、B两个题目可供选择．组委会决定让选手通过掷一枚质地均匀的骰子选择演讲的题目，规则如下：选手掷出能被3整除的数则选择A题目，掷出其他的数则选择B题目．
（Ⅰ）求这4个人中恰好有1个人选择B题目的概率；
（Ⅱ）用X、Y分别表示这4个人中选择A、B题目的人数，记ξ＝X•Y，求随机变量ξ的分布列与数学期望E（ξ）．
19．（12分）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC＝60°，PB＝PC＝PD．
（1）证明：P A⊥平面ABCD；
（2）若P A＝2，求二面角A﹣PD﹣B的余弦值．
20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A，B的坐标分别为（﹣2，0），（2，0）．直线AP，BP相交于点P，且它们的斜率之积是﹣．记点P的轨迹为Γ．
（Ⅰ）求Γ的方程；
（Ⅱ）已知直线AP，BP分别交直线l：x＝4于点M，N，轨迹Γ在点P处的切线与线段MN交于点Q，求的值．
21．（12分）已知函数f（x）＝，g（x）＝x（lnx﹣﹣1）．
（Ⅰ）求y＝f（x）的最大值；
（Ⅱ）当时，函数y＝g（x），（x∈（0，e]）有最小值．记g（x）的最小值为h（a），求函数h（a）的值域．
选考题：[选修4-4：坐标系与参数方程](共1个小题，共10分。

请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.)
22．（10分）平面直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数），以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．
（1）写出直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；
（2）已知与直线l平行的直线l'过点M（2，0），且与曲线C交于A，B两点，试求|MA|•|MB|．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）＝|2x+1|﹣|x﹣1|．
（1）解不等式f（x）＜2；
（2）若不等式|m﹣1|≥f（x）+|x﹣1|+|2x﹣3|有解，求实数m的取值范围．
2018-2019学年江西省新余市高三（上）期末数学试卷（理
科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．【解答】解：∵全集U＝R，A＝{x|≥0}＝{x|x≤2018或x＞2019}，∴∁U A＝{x|2018＜x≤2019}．
故选：C．
2．【解答】解：∵z＝+1＝+1＝＝i+1，
∴|z|＝，
则|z|2018＝21009，
故选：C．
3．【解答】解：根据表中数据，得＝×（1+2+4+5）＝3，＝×（6+14+28+32）＝20；
且回归方程y＝bx+a过样本中心点（，），
所以6.6×3+a＝20，解得a＝0.2，
所以回归方程y＝6.6x+0.2；
当x＝10时，y＝6.6×10+0.2＝66.2，
即广告费用为10万元时销售额为66.2万元．
故选：A．
4．【解答】解：∵函数f（x）＝，
∴f（）＝＝﹣1，
f[f（）]＝f（﹣1）＝2019﹣1＝．
故选：D．
5．【解答】解：a4，a7是函数f（x）＝x2﹣4x+3的两个零点，
由韦达定理可知：a4+a7＝4，
，
故选：D．
6．【解答】解：约束条件对应的平面区域如下图示：
当直线z＝2x+y过A（2，2）时，Z取得最大值6．
当直线z＝2x+y过B（1，1）时，Z取得最小值3，
故z＝2x+y的最大值与最小值的比值为：2．
故选：D．
7．【解答】解：直观图如图所示，底面为梯形，面积为＝3，四棱锥的高为2，∴几何体的体积为＝2，
故选：B．
8．【解答】解：该数列恰先增后减，则数字6一定是分界点，且前面的顺序和后面的顺序都只有一种，
当6前有1个数字时，有C51＝5种，
当6前有2个数字时，有C52＝10种，
当6前有3个数字时，有C53＝10种，
当6前有4个数字时，有C54＝5种，
根据分类计数原理，共有5+10+10+5＝30种，
故选：B．
9．【解答】解：由于a＝（2x﹣1）dx＝x2﹣x|＝6，
∵二项式（2﹣x）5展开式的通项公式是T r+1＝•25﹣r•x r，
令r＝3，
∴T3+1＝•22•x3；
∴x3的系数是•22•13＝40．
∴程序运行的结果S为360，
模拟程序的运行，可得k＝6，S＝1
不满足条件，执行循环体，S＝6，k＝5
不满足条件，执行循环体，S＝30，k＝4
不满足条件，执行循环体，S＝120，k＝3
不满足条件，执行循环体，S＝360，k＝2
由题意，此时，应该满足条件，退出循环，输出S的值为360．
则判断框中应填入的关于k的判断条件是k＜3？
故选：A．
10．【解答】解：因为：b2+c2﹣a2＝ac cos C+c2cos A，
所以：2bc cos A＝ac cos C+c2cos A，即：2b cos A＝a cos C+c cos A，
由正弦定理得：2sin B cos A＝sin A cos C+sin C cos A，即：2sin B cos A＝sin（A+C），∵sin（A+C）＝sin（π﹣B）＝sin B，
∴2sin B cos A＝sin B，即：sin B（2cos A﹣1）＝0，
∵0＜B＜π，
∴sin B≠0，
∴cos A＝，
∵0＜A＜π，
∴A＝．
∵S△ABC＝bc sin A＝bc＝，
∴bc＝25，
∵cos A＝＝＝，可得：b2+c2＝50，
∴（b+c）2＝50+2×25＝100，即b+c＝10，
∴sin B+sin C＝b•+c•＝（b+c）＝10×＝．
故选：C．
11．【解答】解：设双曲线的焦点F（c，0），直线l：x＝c，
可设点P（c，n），A（﹣a，0），B（a，0），
由两直线的夹角公式可得tan∠APB＝||
＝||＝＝＝tan60°＝，
由|n|+≥2＝2，
可得≤，
化简可得3c2≤4a2，即c≤a，
即有e＝≤．
当且仅当n＝±，即P（c，±），离心率取得最大值．故选：A．
12．【解答】解：函数f（x）＝的图象如下图所示：
当方程f（x）＝m有四个不等实根x1，x2，x3，x4（x1＜x2＜x3＜x4）时，|lnx 1|＝|lnx2|，即x1•x2＝1，x1+x2＞＝2，
|ln（4﹣x3）|＝|（4﹣x4）|，即（4﹣x3）•（4﹣x4）＝1，
且x1+x2+x3+x4＝8，
若不等式kx3x4+x12+x22≥k+11恒成立，
则k≥恒成立，
由＝＝＝[（x1+x2）﹣4
+8]≤2﹣
故k≥2﹣，
故实数k的最小值为2﹣，
故选：B．
二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分.请将正确答案填在答题卷相应位置.）13．【解答】解：由f（x+4）＝f（x﹣2）．则f（x+6）＝f（x），
∴f（x）为周期为6的周期函数，
f（919）＝f（153×6+1）＝f（1），
由f（x）是定义在R上的偶函数，则f（1）＝f（﹣1），
当x∈[﹣3，0]时，f（x）＝6﹣x，
f（﹣1）＝6﹣（﹣1）＝6，
∴f（919）＝6，
故答案为：6．
14．【解答】解：∵＝4，（）＝﹣＝﹣3，
∴＝1，
∴cos＜＞＝＝，
∴在方向上的投影为||cos＜＞＝．
故答案为：．
15．【解答】解：tanθ+＝4，
∴+＝4，
∴＝4，
∴sinθcosθ＝，
∴cos2（θ+）＝+＝﹣+＝﹣sinθcosθ+＝﹣+＝，故答案为：．
16．【解答】解：由题意，点P从点A出发，沿着A→B→C→D→A运动一次，则点M经过的路径是四段大圆上的相等的弧．
∵正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝，AA1＝2，
∴四棱柱的外接球的直径为其对角线，长度为＝2，
∴四棱柱的外接球的半径为，∴∠AOB＝，
∴AB所在大圆，所对的弧长为＝，
∴点M经过的路径长为．
故答案为：．
三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤）
17．【解答】（本题满分12分）
解：（1）由a2a3＝8a1得：a1q3＝8 即a4＝8
又因为a4，36，2a6成等差数列所以a4+2a6＝72
将a4＝8代入得：a6＝42
从而：a1＝1，q＝2
所以：a n＝2n﹣1……．（6分）
（2）b n＝＝2n•（）n﹣1
T n＝2×（）0+4×（）1+6×（）2+…+2（n﹣1）•（）n﹣2+2n•（）n﹣1……………………
①
T n＝2×（）1+4×（）2+6×（）3+…+2（n﹣1）•（）n﹣1+2n•（）n……………………
②
①﹣②得：T n＝2×（）0+2（（）1+（）2+…+（）n﹣1）﹣2n•（）n
＝2+2×﹣2n•（）n＝4﹣（n+2）•（）n﹣1
∴T n＝8﹣（n+2）•（）n﹣2…………………………………………………．（12分）18．【解答】解：由题意知，这4个人中每个人选择A题目的概率为，选择B题目的概率为，
记“这4个人中恰有i人选择A题目”为事件A i（i＝0，1，2，3，4），
∴，
（Ⅰ）这4人中恰有一人选择B题目的概率为；
（Ⅱ）ξ的所有可能取值为0，3，4，且
，
，
，
∴ξ的分布列是
所以．
19．【解答】证明：（1）连接AC，则△ABC和△ACD都是正三角形．
取BC中点E，连接AE，PE，
因为E为BC的中点，所以在△ABC中，BC⊥AE，
因为PB＝PC，所以BC⊥PE，
又因为PE∩AE＝E，所以BC⊥平面P AE，
又P A⊂平面P AE，所以BC⊥P A．
同理CD⊥P A，
又因为BC∩CD＝C，所以P A⊥平面ABCD． (6)
解：（2）如图，以A为原点，建立空间直角坐标系A﹣xyz，则B（，﹣1，0），D（0，2，0），P（0，0，2），
＝（0，2，﹣2），＝（﹣，3，0），
设平面PBD的法向量为＝（x，y，z），
则，取x＝，得＝（），取平面P AD的法向量＝（1，0，0），
则cos＜＞＝＝，
所以二面角A﹣PD﹣B的余弦值是．…（12分）
20．【解答】解：（Ⅰ）设点P坐标为（x，y），则
直线AP的斜率（x≠﹣2）；
直线BP的斜率（x≠2）．
由已知有（x≠±2），
化简得点P的轨迹Γ的方程为（x≠±2）．
（Ⅱ）设P（x1，y1）（x1≠±2），则．
直线AP的方程为，令x＝4，得点M纵坐标为；
直线BP的方程为，令x＝4，得点N纵坐标为；
设在点P处的切线方程为y﹣y1＝k（x﹣x1），
由，得．
由△＝0，得＝0，
整理得．
将代入上式并整理得：，解得
，
∴切线方程为．
令x＝4得，点Q纵坐标为＝．设，则y Q﹣y M＝λ（y N﹣y Q），
∴．
∴．
将代入上式，得，
解得λ＝1，即＝1．
21．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）＝（x＞0），
当x∈（0，e）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；
当x∈（e，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
所以当x＝e时，f（x）取得最大值f（e）＝，
∴y＝f（x）的最大值；…（4分）
（Ⅱ）g′（x）＝lnx﹣ax＝x（﹣a），由（Ⅰ）及x∈（0，e]得：
①当a＝时，﹣a≤0，g′（x）≤0，g（x）单调递减，当x＝e时，g（x）取得最
小值g（e）＝h（a）＝﹣．…（6分）
②当a∈[0，），f（1）＝0≤a，f（e）＝＞a，所以存在t∈[1，e），g′（t）＝0且lnt
＝at，
当x∈（0，t）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，当x∈（t，e]时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，
所以g（x）的最小值为g（t）＝h（a）．…（9分）
令h（a）＝G（t）＝﹣t，
因为G′（t）＝＜0，所以G（t）在[1，e）单调递减，此时G（t）∈（﹣，﹣1]．
综上，h（a）∈[﹣，﹣1]．…（12分）
选考题：[选修4-4：坐标系与参数方程](共1个小题，共10分。

请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.)
22．【解答】解：（1）把直线l的参数方程化为普通方程为y＝（x﹣1）+1．由，可得ρ2（1﹣cos2θ）＝2ρcosθ，
∴曲线C的直角坐标方程为y2＝2x．
（2）直线l的倾斜角为，
∴直线l′的倾斜角也为，又直线l′过点M（2，0），
∴直线线l′的参数方程为（t′为参数），
将其代入曲线C的直角坐标方程可得3（t′）2﹣4t′﹣16＝0，
设点A，B对应的参数分别为，．
由一元二次方程的根与系数的关系知为，＝﹣．
∴|MA|•|MB|＝．
[选修4-5：不等式选讲]
23．【解答】．解：（1）f（x）＝|2x+1|﹣|x﹣1|＝，
∴或或，．………………..（3分）
解得：﹣4＜x＜﹣或﹣≤x＜或无解，
综上，不等式的解集是（﹣4，）．………………..（5分）
（2）f（x）+|x﹣1|+|2x﹣3|＝|2x+1|+|2x﹣3|≥|2x+1﹣（2x﹣3）|＝4，
当﹣≤x≤时等号成立，．………………..（7分）
不等式|m﹣1|≥f（x）+|x﹣1|+|2x﹣3|有解，
∴|m﹣1|≥[f（x）+|x﹣1|+|2x﹣3|]min，
∴|m﹣1|≥4，∴m﹣1≤﹣4或m﹣1≥4，
即m≤﹣3或m≥5，
∴实数m的取值范围是（﹣∞，﹣3]∪[5，+∞）．………………………………（10分）。