【初中数学】人教版九年级上册专题小练（6） 圆中常见辅助线归类(练习题)

人教版九年级上册专题小练（6）圆中常见辅助线归
类(380)
1.如图，PA，PB分别切⊙O于点A，B，E是⊙O上一点，且∠P=60∘，则∠E=∘.
2.如图，已知MN是⊙O的直径，直线PQ与⊙O相切于点P，NP平分∠MNQ．
(1)求证：NQ⊥PQ；
(2)若⊙O的半径R=3，NP=3√3，求NQ的长．
3.如图所示，点B,C,D都在⊙O上，过点C作AC∥BD交OB的延长线于点A，连结CD，且∠D=∠OBD=30∘，DB=6√3cm．
(1)求证：AC是⊙O的切线；
(2)求由弦CD,BD与BC⌢所围成的阴影部分的面积(结果保留π)．
4.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P，若CD=8，OP=3，则⊙O的半径为（）
A.10
B.8
C.5
D.3
5.如图，在⊙O中,弦AB=2，圆周角∠ACB=30∘，则⊙O的直径为（）
A.2
B.4
C.2.5
D.5
6.如图所示，⊙O的半径是3，P是弦AB延长线上的一点，连接OP．若OP=4，∠APO=30∘，则弦AB的长是（）
A.2√5
B.√5
C.2√13
D.√13
7.如图所示，已知AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，∠ABC=50∘，则∠CDB的度数为（）
A.50∘
B.45∘
C.40∘
D.30∘
8.如图所示，在△ABC中，BC=3，以BC为直径的⊙O交AC于点D．若D是AC的中点，∠ABC=120∘.
(1)求∠ACB的度数；
(2)求点A到直线BC的距离．
参考答案1.【答案】:60
2
(1)【答案】证明：连接OP．
∵直线PQ与⊙O相切于P点，
∴OP⊥PQ．
∵NP平分∠MNQ,
∴∠MNP=∠QNP．
又∵∠OPN=∠MNP=∠QNP,
∴OP∥NQ,
∴NQ⊥PQ．
(2)【答案】连接PM,则∠MPN=90∘.
在Rt△MNP与Rt△PNQ中，
∠MNP=∠QNP,
∴Rt△MNP∽Rt△PNQ,
∴NQ
NP =NP
MN
,
∴NQ=NP2
2R =9
2
．
3
(1)【答案】证明：连结CO，交DB于点E，
则∠O=2∠D=60∘.
∵∠OBE=30∘，
∴∠BEO=180∘−60∘−30∘=90∘.
∵AC∥BD，
∴∠ACO=∠BEO=90∘.
又∵C为⊙O上一点，
∴AC是⊙O的切线．
【解析】:证明：连结CO，交DB于点E，则∠O=2∠D=60∘.
∵∠OBE=30∘，
∴∠BEO=180∘−60∘−30∘=90∘.
∵AC∥BD，
∴∠ACO=∠BEO=90∘.
又∵C为⊙O上一点，
∴AC是⊙O的切线．
(2)【答案】∵OE⊥DB，
∴EB=1
2
DB=3√3．
在Rt△EOB中，
EB=3√3，∠OBD=30∘,
∴OB=6.
又∵∠D=∠OBD，DE=BE，∠CED=∠OEB，∴△CDE≌△OBE，
∴S△CDE=S△OBE，
∴S
阴影=S
扇形OBC
=60
360
π·62=6π(cm2)
【解析】:∵OE⊥DB，
∴EB=1
2
DB=3√3．
在Rt△EOB中，
EB=3√3，∠OBD=30∘,
∴OB=6.
又∵∠D=∠OBD，DE=BE，∠CED=∠OEB，∴△CDE≌△OBE，
∴S△CDE=S△OBE，
∴S
阴影=S
扇形OBC
=60
360
π·62=6π(cm2)
4.【答案】:C
【解析】:连接OD，
∵CD=8，由垂径定理可得PD=4，△OPD是直角三角形．
∵PD=4,OP=3，由勾股定理可得OD=√OP2+PD2=√32+42=5.
5.【答案】:B
6.【答案】:A
【解析】:作OC⊥AB于点C，连接OB．因为OP=4，∠APO=30∘，所以CO=2.因为OB=3，
根据勾股定理，得CB=√OB2−OC2=√32−22=√5，
所以AB=2CB=2√5．故选A．
7.【答案】:C
【解析】:连接AC．∵AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，
∴∠ACB=90∘.在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，∠ABC=50∘，∴∠CAB=40∘.
又∵∠CDB=∠CAB，∴∠CDB=∠CAB=40∘.
故选C．
8
(1)【答案】连接BD．
∵以BC为直径的⊙O交AC于点D，
∴∠BDC=90∘.
∵D是AC的中点，
∴直线BD是AC的垂直平分线,
∴AB=BC,
∴∠BAC=∠ACB．
∵∠ABC=120∘，
∴∠ACB=∠BAC=30∘
【解析】:连接BD．
∵以BC为直径的⊙O交AC于点D，
∴∠BDC=90∘.
∵D是AC的中点，
∴直线BD是AC的垂直平分线,
∴AB=BC,
∴∠BAC=∠ACB．
∵∠ABC=120∘，
∴∠ACB=∠BAC=30∘
(2)【答案】过点A作AE⊥BC交CB的延长线于点E．
法一：∵BC=3，∠ACB=30∘，∠BDC=90∘，∴BD=3
2
．
在Rt△BCD中，由勾股定理可得CD=√BC2−BD2=3√3
2
．∵AD=CD，∴AC=3√3．
在Rt△AEC中，∠ACE=30∘，
∴AE=1
2AC=1
2
×3√3=3√3
2
，
即点A到直线BC的距离为3√3
2
.
法二：
由(1)知∠ACB=∠BAC=30∘,
∴AB=BC=3.
∵∠ABC=120∘, ∴∠ABE=60∘.
在Rt△ABE中，sin∠ABE=AE
AB , AE=AB·sin60∘=3×√3
2
=3√3
2
,
即点A到直线BC的距离为3√3
2
．
【解析】:过点A作AE⊥BC交CB的延长线于点E．
∵BC=3，∠ACB=30∘，∠BDC=90∘，∴BD=3
2
．
在Rt△BCD中，由勾股定理可得CD=√BC2−BD2=3√3
2
．∵AD=CD，∴AC=3√3．
在Rt△AEC中，∠ACE=30∘，
∴AE=1
2AC=1
2
×3√3=3√3
2
，
即点A到直线BC的距离为3√3
2。