抛物线复习试题(带解析2015高考数学一轮)

抛物线复习试题（带解析2015高考数学一轮）
抛物线复习试题（带解析2015高考数学一轮）
A组基础演练
1．已知抛物线y＝ax2的准线方程为y＝1，则a的值为
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A．4B．－14
C．－4D.14
答案：B
2．(2013•四川)抛物线y2＝8x的焦点到直线x－3y＝0的距离是
()
A．23B．2
C.3D．1
解析：由抛物线方程知2p＝8⇒p＝4，故焦点F(2,0)，由点到直线的距离公式知，F到直线x－3y＝0的距离d＝|2－3×0|1＋3＝1.故选D.
答案：D
3．设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的斜率为－3，那么|PF|等于
()
A．43B．8
C．83D．16
解析：设Py28，y，则A(－2，y)，
由kAF＝－3，即y－0－2－2＝－3
得y＝43，
|PF|＝|PA|＝y28＋2＝8.
答案：B
4．(2013•山东)抛物线C1：y＝12px2(p＞0)的焦点与双曲线C2：x23－y2＝1的右焦点的连线交C1于第一象限的点M.若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p＝
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A.316
B.38
C.233
D.433
解析：设抛物线C1的焦点为F，则F0，p2.
设双曲线C2的右焦点为F1，则F1(2,0)．
直线FF1的方程为y＝－p4x＋p2，设Mx0，x202p，因为M在直线FF1上，∴x202p＝－p4x0＋p2.①
∵y＝12px2，∴y′＝1px，∴C1在M点处的切线斜率为1px0，又x23－y2＝1的渐近线方程为y＝±33x，故由题意得1px0＝33，②
将①、②联立得p＝433，故选D.
答案：D
5．若抛物线的焦点在直线x－2y－4＝0上，则抛物线的标准方程是________．
解析：x－2y－4＝0与两轴的交点为(0，－2)，(4,0)
方程y2＝16x，x2＝－8y.
答案：y2＝16x或x2＝－8y
6．已知抛物线y2＝4x上一点M与该抛物线的焦点F的距离|MF|＝4，则点M的横坐标x＝________.
解析：抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线为x＝－1.根据抛物线的定义，点M到准线的距离为4，则M的横坐标为3.
答案：3
7．(2013•安徽)已知直线y＝a交抛物线y＝x2于A，B两点．若该抛物线上存在点C，使得∠ACB为直角，则a的取值范围为________．
解析：法一：如图，以(0，a)为圆心，a为半径作圆，当圆与抛物线有三个或四个交点时，C存在．
联立y＝x2，x2＋(y－a)2＝a有(y－a)(y－a＋1)＝0.
即y＝a或y＝a－1.故a－1≥0，即a≥1.
法二：当C与原点重合时，∠ACB最小．故若存在C使得∠ACB为直角，则∠AOB≤π2，即OA→•OB→≥0，故a2－a≥0，又a＞0，所以a≥1.
答案：1，＋∞)
8．抛物线的顶点在原点，以x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135°的直线，被抛物线所截得的弦长为8，试求抛物线方程．
解：如图，依题意设抛物线方程为y2＝2px(p＞0)，
则直线方程为y＝－x＋12p.
设直线交抛物线于A(x1，y1)、B(x2，y2)，则由抛物线定义得|AB|＝|AF|
＋|FB|＝|AC|＋|BD|＝x1＋p2＋x2＋p2，
即x1＋p2＋x2＋p2＝8.①
又A(x1，y1)、B(x2，y2)是抛物线和直线的交点，
由y＝－x＋12p，y2＝2px，消去y得x2－3px＋p24＝0.
∴x1＋x2＝3p.
将其代入①得p＝2，∴所求抛物线方程为y2＝4x.
当抛物线方程设为y2＝－2px时，同理可求得抛物线方程为y2＝－4x. 综上，抛物线的方程为y2＝±4x.
9．(2014•河南洛阳期中考试)已知抛物线C：x2＝2py(p＞0)，O为坐标原点，F为抛物线的焦点，直线y＝x与抛物线C相交于不同的两点O、N，且|ON|＝42.
(1)求抛物线C的方程；
(2)若直线l过点F交抛物线于不同的两点A，B，交x轴于点M，且MA→＝aAF→，MB→＝bBF→，对任意的直线l，a＋b是否为定值？若是，求出a＋b的值；否则，说明理由．
解：(1)联立方程y＝xx2＝2py得x2－2px＝0，故O(0,0)，N(2p,2p)，∴|ON|＝4p2＋4p2＝22p，
由22p＝42得p＝2，∴抛物线C的方程为x2＝4y.
(2)显然直线l的斜率一定存在且不等于零，设其方程为y＝kx＋1，则直线l与x轴交点为M－1k，0
记点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由y＝kx＋1x2＝4y得x2－4kx－4＝0，
∴Δ＝(4k)2－(－16)＝16(k2＋1)＞0，
∴x1＋x2＝4k，x1•x2＝－4.
由MA→＝aAF→，得x1＋1k，y1＝a(－x1,1－y1)，
∴a＝y11－y1＝－kx1＋1kx1，同理可得b＝－kx2＋1kx2，
∴a＋b＝－kx1＋1kx1＋kx2＋1kx2＝－2＋x2＋x1kx1x2
＝－1，
∴对任意的直线l，a＋b为定值－1.
B组能力突破
1．已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为
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A.34B．1
C.54
D.74
解析：(如图)过A、B及线段AB中点C向抛物线的准线l作垂线，
垂足分别为A1、B1、C1，CC1交y轴于C0.
由抛物线定义可知|AA1|＋|BB1|＝|AF|＋|BF|，
∴|CC0|＝|CC1|－|C1C0|＝12(|AA1|＋|BB1|)－|C1C0|＝32－14＝54，故选C.
答案：C
2．(2013•天津)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线
与抛物线y2＝2px(p＞0)的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为3，则p＝
()
A．1B.32
C．2D．3
解析：由已知得双曲线离心率e＝ca＝2，得c2＝4a2，∴b2＝c2－a2＝3a2，即b＝3a.又双曲线的渐近线方程为y＝±bax，抛物线的准线方程为x＝－p2，
所以A－p2，bp2a，B－p2，－bp2a，于是|AB|＝bpa.由△AOB的面积为3可得12•bpa•p2＝3，所以p2＝43•ab＝43•a3a＝4，解得p＝2或p＝－2(舍去)，故选C.
答案：C
3．(2013•江西)抛物线x2＝2py(p＞0)的焦点为F，其准线与双曲线x23－y23＝1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝________. 解析：如图，在正三角形ABF中，DF＝p，BD＝33p，∴B点坐标为33p，－p2.又点B在双曲线上，故13p23－p243＝1，
解得p＝6.
答案：6
4．(2013•湖南)过抛物线E：x2＝2py(p＞0)的焦点F作斜率分别为k1，k2的两条不同直线l1，l2，且k1＋k2＝2，l1与E相交于点A，B，l2与E相交于点C，D，以AB，CD为直径的圆M，圆N(M，N为圆心)的
公共弦所在直线记为l.
(1)若k1＞0，k2＞0，证明：FM→•FN→＜2p2；
(2)若点M到直线l的距离的最小值为755，求抛物线E的方程．
解：(1)由题意，抛物线E的焦点为F0，p2，直线l1的方程为y＝k1x ＋p2.
由y＝k1x＋p2，x2＝2py得x2－2pk1x－p2＝0.
设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则x1，x2是上述方程的两个实数根．
从而x1＋x2＝2pk1，
y1＋y2＝k1(x1＋x2)＋p＝2pk21＋p.
所以点M的坐标为pk1，pk21＋p2，FM→＝(pk1，pk21)，
同理可得点N的坐标为(pk2，pk22＋p2)，FN→＝(pk2，pk22)，
于是FM→•FN→＝p2(k1k2＋k21k22)．
由题设，k1＋k2＝2，k1＞0，k2＞0，k1≠k2，
所以0＜k1k2＜k1＋k222＝1.
故FM→•FN→＜p2(1＋12)＝2p2.
(2)由抛物线的定义得|FA|＝y1＋p2，|FB|＝y2＋p2，所以|AB|＝y1＋y2＋p＝2pk21＋2p，从而圆M的半径r1＝pk21＋p.
故圆M的方程为(x－pk1)2＋y－pk21－p22＝(pk21＋p)2，
化简得x2＋y2－2pk1x－p(2k21＋1)y－34p2＝0.
同理可得圆N的方程为x2＋y2－2pk2x－p(2k22＋1)y－34p2＝0.
于是圆M，圆N的公共弦所在直线l的方程为(k2－k1)x＋(k22－k21)y ＝0.
又k2－k1≠0，k1＋k2＝2，则l的方程为x＋2y＝0.
因为p＞0，所以点M到直线l的距离
d＝|2pk21＋pk1＋p|5＝p|2k21＋k1＋1|5
＝p2k1＋142＋785.
故当k1＝－14时，d取最小值7p85.由题设，7p85＝755，解得p＝8.故所求的抛物线E的方程为x2＝16y.。