陕西省西安市长安区2024届九年级上学期期中学习评价数学试卷(含答案)

2023～2024学年度第一学期期中学习评价
九年级数学纸笔测试
第一部分（选择题共30分）
一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分，每小题只有一个选项是符合题意的）
1.若关于x 的一元二次方程2
0x x m --=的一个根是3x =，则m 的值是（）A.6
- B.3
- C.3D.6
2.用配方法解方程2
620x x --=，配方后的方程是（）A.()2
32
x -= B.()239
x -= C.()239
x += D.()2
311
x -=3.若菱形两条对角线的长度是方程2
680x x -+=的两根，则该菱形的边长为（）
B.4
C.5
D.25
4.如图，直线123l l l ，直线AC 分别交1l 、2l 、3l 于点A 、B 、C ，直线DF 分别交1l 、2l 、3l 于点D 、
E 、
F ，已知
2
3
BC AC =，若3DE =，则DF 的长是（）
A.
94
B.
92
C.9
D.6
5.阳光明媚的一天，身高为1.6m 的小颖想测量校内一棵大树的高度.如图，她沿着树影BA 由B 到A 走去，当走到C 点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得 3.2m BC =，0.8m CA =，于是计算出树的高度应为（）
A.8m
B.6.4m
C.4.8m
D.10m
6.如图，在菱形ABCD 中，84BAD ∠=︒，AB 的垂直平分线交对角线AC 于点F ，E 为垂足，连接DF ，则CDF ∠的度数是（）
A.42︒
B.48︒
C.54︒
D.60︒
7.如图，在下列方格纸中的四个三角形，是相似三角形的是（）
A.①和②
B.①和③
C.②和③
D.②和④
8.如图，在ABC △中，BD AC ⊥于点D ，E 为BC 的中点，DE DC =，81A ∠=︒，则ABC ∠的度数是（）
A.31︒
B.39︒
C.41︒
D.49︒
9.阅览室有十本名著，小红和小燕都想借阅，于是她们通过摸球游戏决定谁先看，游戏规则：在不透明的口袋中分别放入2个白色和1个黄色的乒乓球，它们除颜色外其余都相同，先由小红从中任意摸出1个乒乓球记下颜色后放回并摇匀，再由小燕从口袋中摸出1个乒乓球，记下颜色．若二人摸到乒乓球的颜色相同，则小红先看，否则小燕先看.则小燕先看的概率是（）
A.
13 B.
12
C.
49 D.5
9
10.如图，已知正方形ABCD 的边长为4，P 是对角线BD 上一点，PE BC ⊥于点E ，PF CD ⊥于点F ，
连接AP 、EF .给出下列结论：①2PD EC =
；②四边形PECF 的周长为8；③EF 的最小值为2；④
AP EF =；⑤AP EF ⊥.其中正确的结论有（）
A.5个
B.4个
C.3个
D.2个
第二部分（非选择题共90分）
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
11.如图，AB CD ，AC 与BD 相交于点E ，已知1AE
=，2CE =，3DE =，则BD 的长为________.
12.一个口袋中有若干个白球，小明想用学过的概率知识估计口袋中白球的个数，于是将4个黑球放入口袋中搅匀（黑球与口袋中的白球除颜色外其余都相同），从口袋中随机摸出一球，记下其颜色，再把它放回口袋并摇匀，不断重复上述过程，共摸了300次，其中有48次摸到黑球，估计口袋中大约有________个白球.
13.若a 、b 是一元二次方程2
290x x +-=的两个根，则2
23a a ab ++的值为________.
14.如图，在矩形纸片ABCD 中，12AB =，5BC =，点E 在AB 上，将ADE △沿DE 折叠，使点A 落在对角线BD 上的点A '处，则AE 的长为________.
15.如图，边长为12的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为1S 、2S ，则12S S +的值为________.
三、解答题（共9小题，计75分.解答应写出过程）
16.（本小题6分）
如图，在ABC △中，AB AC =，请用尺规作图法在BC 上求作一点D ，使得DAB ABC △△.
17.（本小题8分）
解方程：（1）()()2333x x x +=+（2）()()32514x x -+=-18.（本小题8分）
已知
532a b c ==.（1）求a b
c
+的值；
（2）若29a b c +-=，求2a b c -+的值.
19.（本小题8分）
如图，在菱形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、BC 上的点，且BE BF =.求证：
（1）ADE CDF ≅△△；（2）DEF
DFE ∠=∠.
20.（本小题8分）
某校九年级1班为准备学校元旦演讲比赛，通过班级预赛共评选出两位男生和三位女生共5名推荐人选.（1）若该班随机选一名同学参加比赛，求选中男生的概率；
（2）若该班随机选出两名同学组成一组选手参加比赛，求恰好选中一男一女的概率（用列表或树状图的方法求解）.21.（本小题9分）
已知关于x 的一元二次方程()2
2
210x k x k +-+=有实数解.
（1）求实数k 的取值范围；
（2）设方程的两个实数根分别为1x 、2x ，若()()125
114
x x --=，求k 的值.22.（本小题9分）
某商品专卖店，平均每天可售出40件，每件盈利50元.为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于35元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件.
（1）若该商品降价5元，那么平均每天销售数量是多少件？
（2）若专卖店每天销售该商品盈利2400元，那么每件商品应降价多少元？23.（本小题9分）
如图，在四边形ABCD 中，AB CD ，90D ∠=︒，ABC ∠的平分线BE 交CD 于点E ，F 是AB 的中点，连接AE 、EF ，且AE BE ⊥.求证：
（1）四边形BCEF 是菱形；（2）2BE AE
AD EF ⋅=⋅.
24.（本小题10分）
如图，在Rt ABC △中，90B ∠=︒，8cm AB =，6cm BC =.点P 从A 点出发沿AC 向C 点运动，速度为每秒2cm ，同时点Q 从C 点出发沿CB 向B 点运动，速度为每秒1cm ，当点P 到达顶点C 时，P 、Q 同时停止运动，设P 点运动时间为秒.
（1）当为何值时，PQC △是以C ∠为顶角的等腰三角形？（2）当为何值时，PQC △的面积为2
5cm （3）当为何值时，PQC △与ABC △相似？
2023~2024学年度第一学期期中学习评价九年级数学纸笔测试参考答案及评分标准
一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分.每小题只有一个选项是符合题意的）
1.D
2.D
3.A
4.C
5.A
6.C
7.B
8.B
9.C 10.B
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）11.9212.2113.18-14.103
15.68三、解答题（共9小题，计75分，解答应写出过程）
16.解：作图（略）……………………………………………………………………（5分）则点D 即为所求.…………………………………………………………………………（6分）17.解：（1）原方程可化为()()23330x x x +-+=.……………………………………（1分）即()()3230x x +-=，……………………………………………………………………（2分）∴30x +=或230x -=，………………………………………………………………（3分）∴13x =-，23
2
x =
.……………………………………………………………………（4分）（2）原方程可化为2
2561514x x x +--=-，
即2
210x x --=，……………………………………………………………………（1分）这里2a =，1b =-，1c =-.
∵()()2
24142190b ac -=--⨯⨯-=>，………………………………………………（2分）
∴()113
224
x --±=
=⨯，……………………………………………………………………（3分）
∴11x =，21
2
x =-
.…………………………………………………………………………（4分）18.解：（1）∵532
a b c
==，
∴532a b c +=+，……………………………………………………………………………………（2分）∴842
a b c +==.………………………………………………………………………………（3分）
（2）∵532
a b c ==，
∴532252a b c a +-⨯=+-，…………………………………………………………………………（5分）
∴45
9a
=.……………………………………………………………………………………（6分）
∵
532a b c
==，∴25325429
a b c a ⨯-+==-+，……………………………………………………………………（7分）
∴81
24
a b c -+=.…………………………………………………………………………（8分）
19.证明：（1）∵四边形ABCD 是菱形，
∴AD CD AB BC ===，A C ∠=∠，………………………………………………（2分）∵BE BF =，
∴AE CF =.……………………………………………………………………（3分）
在ADE △与CDF △中，,
,
,AD CD A C AE CF =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
∴ADE CDF ≅△△.（2）∵ADE CDF ≅△△，∴DE DF =，∴DEF
DFE ∠=∠.
20.解：（1）随机选一名同学参加比赛有5种等可能结果数，而选中男生的结果有2种，
∴选中男生的概率为：2
5
P =
.………………………………………………………………（3分）（2）5名推荐人选中，两位男生分别记为A ，B ，三位女生分别记为c ，d ，e 列表为：
A B
c d e
A AB
Ac Ad Ae B
BA
Bc Bd Be
c
cA cB cd
ce
d
dA dB dc
de
e eA
eB
ec
ed
…………………………………………………………………………（6分）共有20种等可能的结果数，其中恰好选中一男一女的结果数为12种.所以恰好选中一男一女的概率为：123
205
P =
=.………………………………………………（8分）21.解：（1）∵关于x 的方程()2
2
210x k x k +-+=有实数根，
∴()2
2242141b ac k k ∆=-=--⨯⨯……………………………………………………（2分）
410k =-+≥，………………………………………………………………………………（3分）
∴1
4
k ≤.……………………………………………………………………………………（4分）
（2）∵方程()2
2
210x k x k +-+=的两个实数根分别为1x ，2x .
∴()1221x x k +=--，212x x k =.……………………………………………………（5分）
由()()125114x x --=
，∴()12125
14x x x x -++=，………………………………………………………………（6分）
∴()2
52114
k k +-+=，即24850k k +-=，…………………………………………（7分）
∴152k =-，21
2k =（舍去），…………………………………………………………（8分）
∴5
2
k =-.……………………………………………………………………（9分）
22.解：（1）若该商品降价5元，平均每天销售数量是405250+⨯=（件）.………………（3分）
（2）设每件商品应降价x 元，则每件盈利为：()50x -元，日销售量为：()402x +件，…………（5分）根据题意得：()()504022400x x -+=，……………………………………………………（7分）解这个方程得：110x =，220x =.…………………………………………………………（8分）由于每件盈利不少于35元，那么每件应降价10元.………………………………………………（9分）23.证明：（1）∵AE BE ⊥，F 是AB 的中点.∴EF
BF AF ==，
∴FEB FBE ∠=∠.……………………………………………………………………………………（1分）∵BE 是ABC ∠的平分线，
∴FBE CBE ∠=∠，
∴FEB CBE ∠=∠，……………………………………………………………………（2分）∴EF
BC ，………………………………………………………………………………（3分）
∵AB CD ，
∴四边形BCEF 是平行四边形.………………………………………………………………（4分）∵EF
BF =，
∴四边形BCEF 是菱形.……………………………………………………………………（5分）（2）∵AB CD ，
∴DEA EAB ∠=∠.……………………………………………………………………（6分）∵90D AEB ∠=∠=︒，
∴ADE BEA △△，………………………………………………………………（7分）∴
AE AB
AD BE
=
，…………………………………………………………………………（8分）∴BE AE
AD AB ⋅=⋅，
即2BE AE AD EF ⋅=⋅.………………………………………………………………（9分）
24.解：（1）∵8cm AB =，6cm BC =，
∴10cm AC =.
由题意2AP t =，102PC t =-，CQ t =，()05t <≤………………………………（1分）∵PQC △是以C ∠为顶角的等腰三角形，
∴PC CQ =，……………………………………………………………………（2分）∴102t t -=，
解得10
3
t =.……………………………………………………………………………………（3分）（2）过点P 作PD BC ⊥于点D ，∴PD PC AB AC
=，………………………………………………………………………………（4分）∴()()810285105t t AB PC PD AC --⋅=
==，…………………………………………（5分）∴()85115225
PQC t S CQ PD t -=
⋅=⋅=△，解得：125
2
t t ==
.……………………………………………………………………（6
分）（3）当11PQ C ABC △△时，
1
1CP AC CQ BC
=
，…………………………………………（7分）∴
10210
6
t t -=
，解得：30
11
t =.…………………………………………………………………………（8分）
当22P Q C BAC △△时，
22CP BC
CQ AC
=
，…………………………………………（9分）∴
1026
10
t t -=
，解得：50
13t =.
综上所述3011t =或50
13
t =时，PQC △与ABC △相似.…………………………（10分）
11。