【小升初专项训练】8 完全平方数性质

第12讲完全平方数性质
第一关完全平方数的推断
【例1】**45,19*8,23*1,3*49是四个四位数，其中“*”代表不能辨认的数字，若其中有一个数是完成平方数，那么这个数是___________.
【答案】3*49
【例2】有一个1000位的数，它由888个1和112个0组成，这个数是否是完全平方数？
【答案】否
【例3】一个一百位数由1个1，2个2，3个3，4个4，5个5，6个6，7个7，及72个0组成．问这个百位自然数有可能是完全平方数吗？
【答案】不行能
【例4】用3个1，5个3，2个9，1个5，1个4，和若干个0组成的数可不行能是完全平方数？
【答案】可能
【例5】小泉投掷两颗骰子，他投掷一次，消灭的两个点数构成的两位数正好是一个完全平方数的概率是多少？
【答案】2 9
其次关求完全平方数
【学问点】
1．完全平方数定义：完全平方即用一个整数乘以自己例如1×1，2×2，3×3等等，依此类推．若一个数能表示成某个自然数的平方的形式，则称这个数为完全平方数．
2．性质：
性质1：完全平方数的末位数只能是0，1，4，5，6，9．
性质2：奇数的平方的个位数字为奇数，十位数字为偶数．
性质3：假如完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字肯定是6；反之，假如完全平方数的个位数字是6，则它的十位数字肯定是奇数．
性质4：偶数的平方是4的倍数；奇数的平方是4的倍数加1．
性质5：奇数的平方是8n+1型；偶数的平方为8n或8n+4型．
性质6：平方数的形式必为下列两种之一：3k，3k+1．
性质7：不能被5整除的数的平方为5k±1型，能被5整除的数的平方为5k型．
性质8：平方数的形式具有下列形式之一：16m，16m+1，16m+4，16m+9．
性质9：完全平方数的数字之和只能是0，1，4，7，9．
【例6】下面是一个算式：1+1×2+1×2×3+1×2×3×4+1×2×3×4×5+1×2×3×4×5×6，这个算式的得数能否是某个数的平方？
【答案】否
【例7】1234567654321×（1+2+3+4+5+6+7+6+5+4+3+2+l）是哪个数的平方？
【答案】7777777
【例8】一个整数a与108的乘积是一个完全平方数，这个平方数是多少？
【答案】324
【例9】360与一个三位数的乘积是完全平方数，这个三位数最小是多少？
【答案】160
【例10】一个整数a与1080的乘积是一个完全平方数．则a的最小值是多少？
【答案】30
【例11】自然数n乘以3960，所得的乘积正好是m的平方．n的最小值是多少？
【答案】110
【例12】已知14，37，75和a四个数的乘积是一个数的平方，则a最小是多少？
【答案】1554
【例13】一个大于0的整数A加上一个大于1的整数B后，是一个完全平方数，A+B2后仍是一个完全平方数，当满足条件的B最小时，A是多少？
【答案】11
【例14】已知自然数n满足：12除以n得到一个完全平方数，则n的最小值是多少？
【答案】3
【例15】自然数N是一个不超过100的完全平方数，它减去13或加上15后，得到的数都是完全平方数，求N。

【答案】49
【例16】有这样的正整数n，使得8n-7、18n-35均为完全平方数．求n。

【答案】22或2
【例17】一个非零的完全平方数的2倍是立方数，这个平方数最小是多少？其次小是多少？
【答案】4；256
【例18】有些三位数具有下面的性质：
（1）去掉百位数字后，剩下的两位数是一个完全平方数；
（2）去掉个位数字后，剩下的两位数也是一个完全平方数；
全部满足这些性质的三位数之和为多少？
【答案】1993
【例19】一个四位数，它本身是一个完全平方数，由它前两位数字及后两位数字组成的两个两位数也都是完全平方数．那么这个四位数是多少？
【答案】1681
【例20】求全部满足下列条件的三位数：在它左边写上40后所得的五位数是完全平方数。

【答案】401和804
【例21】求满足下列条件的最小自然数：在它左边写上80后所得的数是完全平方数。

【答案】656
【例22】三个互不相同的自然数之和是83，其中任意两个数之和都是完全平方数，那么这三个数分别是多少？
【答案】2，34和47
【例23】将2010×2011×2012×2013+1表示成一个自然数的平方，结果是多少？你任意选取四个连续整数，将它们的积再加上1，并用一个自然数的平方表示所得的结果，你能从中发觉什么规律？
【答案】（20102+2010×3+1）2；n（n+1）（n+2）（n+3）=（n2+3n+1）2
【例24】有一个小于2000的四位完全平方数，且这个完全平方还能表示成13个连续自然数的和，那么这个完全平方数是多少？
【答案】1521
【例25】已知n!+3是一个完全平方数，试确定自然数n的值．（n!=1×2×3×…×n）【答案】1或3
【例26】一个完全平方数是四位数，且它的各位数字均小于7．假如把组成它的每个数字都加上3，便
得到另外一个完全平方数．求原来的四位数．
【答案】1156
【例27】有一类自然数，它们都是平方数，且最终三位数字相同，例如：452=2025，552=3025，952=9025 它们的后三位数相同都是“025”，这类自然数中最小的是多少？
【答案】100
【例28】老师把一个三位完全平方数的百位告知了甲，十位告知了乙，个位告知了丙，并且告知三人他们的数字互不相同．三人都不知道其他两人的数是多少，他们开放了如下对话：甲：我不知道这个完全平方数是多少．乙：不用你说，我也知道你肯定不知道．丙：我已经知道这个数是多少了．甲：听了丙的话，我也知道这个数是多少了．乙：听了甲的话，我也知道这个数是多少了．请问这个数是多少的平方？
【答案】17
第三关求完全平方数的个数
【例29】从1到2013的2013个自然数，乘以72后是完全平方数的数有多少个？（能表示为某个自然数的平方的数称为完全平方数）
【答案】31
【例30】从1到2008的全部自然数中，乘以72后是完全平方数的数共有多少个？
【答案】31
【例31】自然数124-1825中有多少个平方数？
【答案】31
【例32】在1~2012这2012个自然数中，是平方数但不是立方数的一共有多少个？
【答案】41
【例33】已知一个自然数的平方的十位数字是8，这个完全平方数的个位数字共有几种？
【答案】3
第四关构造完全平方数
【例34】2014不是完全平方数，但可以将它的各位数字转变挨次，使得到的新四位数是完全平方数，例如1024=322，已知用数字2、0、1、4各一个还能组成另一个四位完全平方数，那么这个新的四位完全平方数是多少？
【答案】2401
【例35】将2016的四个数字重新编排，组成一个四位完全平方数；那么这个四位完全平方数是多少？
【答案】2601
【例36】A、B代表什么数字时，AABB这个四位数是完全平方数．符合条件的四位数是多少？
【答案】7744
【例37】五位数15AB9是一个完全平方数，求A+B。

【答案】3
【例38】用从1到9这九个数字各一次，设法组成四个平方数，使它们都具有除了1以外的某些公因数，符合条件的数字都有哪些？
【答案】9，81，324，576
【例39】从0、2、4、6、8中挑出4个各不相同的数字能组成一个四位完全平方数，那么这个完全平方数是多少？
【答案】6084
第四关
【学问点】
【例40】已知自然数m、n满足12+92+92+m2=n2，求n.
【答案】82
【例41】1×1=1，2×2=4，3×3=9，4×4=16，…，式中的积1，4，9，16，…叫做完全平方数，在1至100这100个自然数中，非完全平方数的和是多少？
【答案】4665
【例42】a1 、a2、…、a10 表示10个正整数，取其中的9个数相加，得到一些不同的和：86、87、88、
89、90、91、93、94、95，求a12+a22+…+a102
第五关
【例43】小明做了一些花送给小伴侣，花的朵数比30朵多，比40朵少，分给小伴侣的人数和每人分到的朵数同样多，小明做了多少朵花？
【答案】36
【例44】一个人数多于20而少于100的方阵，士兵的人数只有3个因数．这个方阵可能有多少名士兵？
【答案】25或49
【例45】六班级同学在清明节期间，去烈士陵园接受革命传统教育，假如租35个座位的客车需要4辆，假如租42个座位的客车只需要3辆，到达烈士陵园后要求分组活动，且分得的组数跟每组的人数恰好相等，则此班级共有多少同学参与了此次教育活动？
【答案】121
【例46】A、B、C三人和他们的妻子L、M、N（不对应）去集市上买羊，买完后惊异的发觉，每个人所买羊的数量正好和价格相同（例如A买了a只羊，则每只羊的价格是a元）：若已知A、B、C分别比他们的妻子多花了63元，还知道A比M多买了23只羊，B比L多买了11只羊，那么A的妻子是谁？（填字母）
【答案】N
第六关
【例47】三角形数：1，3，6，10，15，21，28，36…，他们之中的每一个数都是从1开头的连续自然数的和，则这列数中从左数第三个平方数是多少？
【答案】1225
【例48】自然数的平方按由小到大的挨次排成：149****3649……．在这串数中第351个位置上的数字是多少？
【答案】6
【例49】把既不是平方数也不是立方数的正整数（0除外）按从小到大的挨次排列，得到2，3，5，6，7，10，…，其中第1000个数是多少？
第七关
【例50】设M是三个相邻整数的平方和，则M的个位数字可能是什么？
【答案】0，2，4，5，7，9。