惠州市2012届高三第三次调研考试数学(文科)答案与评分标准

(c,B），（d,A），（d,B）,(A,B)
………………………………10 分
设分在同组记为事件 M，分在同一组的有（a,b）,(a,c),(a,d), (b,c),(b,d),
(c,d), (A,B)共 7 个，
…………………………………11
分
7 所以 P(M ) = 15
…………………………………12 分
CF// 面 B1DE
…………10 分
∵ E, F 是 CC1、BB1 的中点，∴ EF //BC ，
又 BC //AD ，∴ EF //AD ．
∴四边形 ADEF 是平行四边形， AF // ED ，…… 12 分
AF 面 B1DE ED 面 B1DE AF// 面 B1DE …………13 分 ∵ AF CF C ，∴平面 ACF // 面 B1DE ． …………14 分
2
22
2
…………3 分
= 2 cos2 A 1 cos A 2 16 1 4 42
2
25 2 5 25
……………………6 分
（2） S 1 bc sin A,b 2,sin A 3 ,c 3 3,c 5
2
55
……………………8 分
由余弦定理 a2 b2 c2 2bc cos A 4 25 2 2 5 4 13 …………11 分 5
PA PB PA PB
PA·AB 2 × 22－12
∴ ＝ ，即 ＝ ，∴R＝
＝
＝
AC AB 2R AB
2PB
2×1
3.
三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
16．（本题满分 12 分）
解：（1） cos2 A cos 2A 1 1 (1 cos A) 2 cos2 A 1 1
y 由

k(x 1) y2 4x
，得
k
2
x2
(2k 2
4)x k 2
0. …………
8分
设 A(x1, y1), B(x2 , y2 ), 则 x1, x2 是上述方程的两个实根，
于是 x1 x2
2
4 k2
, x1x2
1 ．…………
9分
因为
l1

l2
，所以
l2
a 13
……………………………………………………………12 分
17．（本题满分 12 分）
解：（1）依题意， 80 ~ 90 间的频率为： 1-（0.01+0.015+0.025+0.035+0.005） 10=0.1
……………2 分
频数为: 40×0.1=4
文科数学答案
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…………………………………4 分
的斜率为

1 k
．设
D(
x3
,
y3
),
E(
x4
,
y4
),
则同理可得

故xAAA3|||111DDD888(((AAAAAAFxxxFFF111FFFAx(((444AAAEEE4222|||EEE(((AAA111BBB|||kkk)))FFFFFFF(((2222BkkkxxxBBB444222222(((|||)))AAAAAAkkk4111222FFF111FFFkF|||))))))1112AAADFFF,FFFxDDD(((FFFBBB1118883xxxxDDDF|||333AAA4|||E((()))444EEEFFF222AAA111(((FFFDDD1)))EEE(((222…AAA|||FFF444xxxEEE444kkk…FFFkkk222222)))…FFF111AAA)))BBBkkk…111FFF111222)))DDD1AAA0FFF111666BBB分 ………………………
2 cos x
4
10．【 解 析 】 因 为 e c 1 ， 所 以 c 2a ， 由 a2 b2 c2 ， 得 b
a2
a
3 2
.
x1

x2
=

2b a

3，
x1x2
=
c a

1 2
，
点
P( x1 ，
x2 )到 原 点 （ 0， 0） 的 距 离 为 :d=
x12 x22 =
11 分 12 分 14 分
所以 FA FB FD FE 的最小值为 16.
21．（本小题满分 14 分）
解：（1）由已知
，
………………1 分
.故曲线
文科数学答案
在 处切线的斜率为 .………………2 分
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而 f (1) 2 ，所以切点为 (1, 2) ………………3 分 y f (x) 在点 x 1 处的切线方程为 y 3x 1 ………………4 分
D
C
∵ AE 面 ACE ，∴ BD AE ， …………5 分
A
B
∴ B1D1 AE ．
…………6 分
（2）证明：连结 AF、CF、EF ．
∵ E、F 是 CC1、BB1 的中点，∴ CE B1F ，……7 分
∴四边形 B1FCE 是平行四边形，
…………8 分
∴ CF// B1E ． CF 面 B1DE B1E 面 B1DE
∴ an 1 3 3(n1) ，有 an 3n 1．
…………… 5 分
故数列an 的通项公式为 an 3n 1． …………… 6 分
（2）n an = n( 3n 1)= n · 3n －n，设数列 n 3n 的前 n 项和为 Kn ，
则 Kn =1 31 2 32 3 33 n 3n
惠州市 2012 届高三第三次调研考试
文科数学参考答案与评分标准
一.选择题（本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10
答案 D A A C B A B A B A
1．【解析】 ðU A {2, 4,5} , ðU B {1,5}；故 ðU A ðU B 5 ,所以选 D.
12．【解析】做出可行域易得 z 3x y 的最大值为 9
13．【解析】 (a
b)A(a
3b)

2 a

2aAb

2 3b

36
72
2 cos a,b 216 108
cos a,b
2
2
又 a,b [0, ]
有 an
Sn
Sn1

(
3 2
an

n)

[
3 2
an1

(n

1)]

3 2 an

3 2
an1
1
，……………
3分
即 an 3an1 2 ， ∴ an 1 3(an1 1) ，
由此表明an 1 是以 a1 + 1 = 3 为首项，3 为公比的等比数列。
需验证 n 取 1,2 时也成立.
…………… 8 分
∴ 3 Kn =1 32 2 33 3 34 (n 1) 3n n 3(n1) ，
两式相减，得
－2 Kn
=
31 32 33 34 3n n 3(n1)
= 3(1 3n ) n 3(n1) ，…………… 10 分 13
(2)
.
①当 时，由于 ，故
，
所以， 的单调递增区间为
.
②当 时，由
，得
.
………………5 分
………………6 分 ………………7 分
在区间
上，
，在区间
上
， ………………8 分
所以，函数 的单调递增区间为
，单调递减区间为
. ………9 分
（3）由已知，转化为 f (x)max g(x)max .
………………10 分

a,
b


4
14．【解析】在相应直角坐标系中， p(0,2) ，直线 l 方程： 3x 4 y 3 0 ，所以 p 到 l 的
|3 × 0－4 × －2－3|
距离：d＝
＝1.
32＋42
15.【解析】如右图，连接 AB，
∵PA 是⊙O 的切线，∴∠PAB＝∠C，
又∵∠APB＝∠CPA，∴△PAB∽△PCA，
文科数学答案
第3页共7页
19. (本小题满分 14 分)
解：（1）∵
对任意 n∈N*，有 an

2 3 (Sn
n) ，且 S1
a1 ，
∴ a1

2 3
(S1

1)

2 3
(a1

1)
，得
a1
=
2．
…………… 1 分
又由 an

2 3
(Sn

n)
，得
Sn

3 2
an

n．
当 n≥2 且 n∈N* 时，
2．【解析】 1 i2 2i .故选 A
3．【 解 析 】 原 不 等 式 等 价 于
(2
x)(x 4) x40

0
，解得
4

x

2
，故原不等式的解集为
4, 2 .选 A.
4．【解析】由直线垂直有斜率积为－1 得 a 2 选 C
5.【解析】由下标和性质知 3a2 9 ，∴ a2 3, 又 a22 a2 d .a2 3d ，得 d 2 故选 B
∴
Kn

(2n
1) 3n1 4

3
，
……………12 分
因此
Tn

Kn

n(n 1) 2
(2n 1) 3n1 2n(n 1) 3 ． 4
…………… 14 分
20. (本小题满分 14 分)
文科数学答案
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解：（1）设动点 P 的坐标为 (x, y) ，由题意为 (x 1)2 y2 | x | 1. ………… 2 分
（2）这次环保知识竞赛成绩的平均数、众数、中位数分别是：68.5、75、70 ………8 分
（3）因为 80 ~ 90 有 4 人，设为 a,b,c,d， 90～100 有 2 人，设为 A，B，从中任选 2 人，
共有如下 15 个基本事件
（a,b）,(a,c),(a,d),(a,A),(a,B),(b,c),(b,d),(b,A),(b,B),(c,d),(c,A),
6．【解析】 f (7) f (3) f (1 4) f (1) 3故选 A
7．【解析】由线面垂直的定义得 B 正确
8．【解析】 i 是计数变量，共有 10 个数相加，故选 A
2sin x 9．【解析】 f (x)
1
= 2sin x.cos x 2 sin 2x 2 ，而 sin 2 1，故选 B
(x1 x2 )2 2x1x2 = 2
二.填空题（本大题每小题 5 分，共 20 分，把答案填在题后的横线上）
11. 36 ； 12. 9 ； 13. ； 14.1； 15. 3 。
4
文科数学答案
第1页共7页
11．【解析】 22 (120 100 80 60) 36 120 100
化简得 y2 2x 2 | x |, ………… 3 分
当 x 0时, y2 4x;当x 0时, y=0.………… 4 分
所以动点 P 的轨迹 C 的方程为 , y2 4x(x 0)和y=0( x 0). ………… 5 分
（2）由题意知，直线 l1 的斜率存在且不为 0，设为 k ，则 l1 的方程为 y k(x 1) ．… 6 分
………………11 分
由(2)知，当
时，
在
上单调递增，值域为 ，故不符合题意.
(或者举出反例：存在
，故不符合题意.)
………………12 分
当
时，
在
上单调递增，在
上单调递减，
故 的极大值即为最大值，
文科数学答案
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， ………13 分
所以
，解得
.
………14 分
文科数学答案
18．(本小题满分 14 分)
D1
C1
（1）证明：连结 BD ，则 BD // B1D1 ，…………1 分 A1
∵ ABCD 是正方形，∴ AC BD ． …………2 分
B1 E
∵ CE 面 ABCD ，∴ CE BD ． …………3 分
又 AC CE C ，∴ BD 面 ACE ． …………4 分