2016高考_龙泉一轮-数理-作业 (77)
四川省成都市龙泉驿区2016届高三5月模拟考试数学理试题 含解析
龙泉驿区2016届高三5月模拟数学（理）一、选择题：本大题有10小题，每小题5分,共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.复数12ii++的共轭复数对应的点位于( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案：D解析:12ii++=(1)(2)(2)(2)i ii i+-+-=35+15i,所以其共轭复数为35-15i。
故选D 。
2。
已知集合Q＝{x｜x>3｝，P＝{x｜x〈3a}且Q⊆∁R P，那么a的值可以是( ）A．1 B．2 C．3D．4答案：A 由P＝｛x｜x〈3a，得∁R P＝｛x|x≥3a}．因为Q⊆∁R P，所以3a≤3，所以a≤1，故选A.3.若向量a、b满足：向量a的模长是1，且(a＋b)⊥a，(2a＋b）⊥b,则向量b的模长是（）A．2 B。
错误!C．1D。
错误!答案：B解析：由题意得错误!⇒－2a2＋b2＝0,即－2｜a｜2＋|b｜2＝0，又｜a｜＝1，所以|b|＝ 2.故选B。
4．已知直线l1与直线l2：4x－3y－6＝0垂直且与圆：x2＋y2＋2y＝0相切，则直线l1的方程是（）A。
3x＋4y－1＝0B．3x＋4y＋1＝0或3x＋4y－9＝0C．3x＋4y＋9＝0D．3x＋4y－1＝0或3x＋4y＋9＝0答案：D解析：圆x2＋y2＋2y＝0的圆心为（0，－1)，半径为r ＝1,因为直线l1⊥l2，所以可设直线l1的方程为3x＋4y＋c＝0，由题意得错误!＝1，解得c＝－1或c＝9.所以直线l1的方程为3x＋4y－1＝0或3x＋4y＋9＝0.故选D.5．某程序框图如图所示，判断框内为“k≥n?",n为正整数，若输出的S＝26，则判断框内的n＝________.A．n＝6B．n＝5C．n＝4D．n＝3答案：C解析：依题意，执行题中的程序框图，进行第一次循环时,k＝1＋1＝2，S＝2×1＋2＝4;进行第二次循环时，k＝2＋1＝3,S＝2×4＋3＝11；进行第三次循环时，k＝3＋1＝4，S＝2×11＋4＝26，因此当输出的S＝26时，判断框内的n＝4.6。
四川省成都市龙泉一中、新都一中等九校2016-2017学年高一6月联考数学(理)试题 Word版含答案
2016～2017学年度(下期)高2016级六月联考试题数学(文科)第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设,,a b c R 且a b ，则下列选项中正确的是( ) A.ac bcB.22a bC.33a bD.11a b2.计算sin21cos9sin69sin9°°°°的结果是( )A.32B.12D.123.已知n a 为等差数列，若159a a a ，则28cos a a 的值为( )B.12C.32D.124.已知直线,m n 和平面,，则下列四个命题中正确的是( ) A.若，m，则mB.若m，n ∥，则mnC.若m ∥，n m ∥，则n ∥D.若m ∥，m ∥，则∥5.二次不等式210ax bx 的解集为112x x ，则ab 的值为( ) A.6B.2C.2D.66.已知、为锐角，3sin 5，1tan 3，则tan ( )A.139B.913C.3D.137.水平放置的ABC △，用斜二测画法作出的直观图是如图所示的'''A B C △，其中''''2O A O B ，''3O C ，则ABC △绕AB 所在直线旋转一周后形成的几何体的表面积为( )A.83B.163C.833D.163128.在ABC △中，内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，若2b ac ，30A °，则sin b Bc ( ) A.12B.22C.32D.349.在公比为2的等比数列n a 中，若142sin 5a a ，则25cos a a 的值是( ) A.75B.1725C.75D.72510.如图，正四面体D ABC 的顶点A 、B 、C 分别在两两垂直的三条射线Ox ，Oy ，Oz 上，则在下列命题中，错误的是( ) A.O ABC 是正三棱锥 B.直线OB 与平面ACD 相交C.直线CD 与平面ABC 所成的角的正弦值为32D.异面直线AB 和CD 所成角是90°11.在锐角三角形ABC 中，3BC ，4AB ，则AC 的取值范围是( ) A.5B.7,5C.5,13D.5,512.设等差数列n a 的前n 项和为n S ，113mS ，0m S ，115m S ，其中*m N 且2m ，则数列11n na a 的前n 项和的最大值为( )A.24143B.1143C.2413D.613第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知侧棱长为2的正三棱锥SABC 如图所示，其侧面是顶角为20°的等腰三角形，一只蚂蚁从点A 出发，围绕棱锥侧面爬行一周后又回到点A ，则蚂蚁爬行的最短路程为 ．14.设正数,a b 满足22a b ，则21a b的最小值为 ． 15.若数列n a 2*12L3na a a n n n N ，则12231na a a Ln ． 16.我国南宁时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中独立提出了一种求三角形面积的方法——“三斜求积术”，即ABC △的面积222222142a cb Sa c ，其中a 、b 、c 分别为ABC △内角A 、B 、C 的对边，若2b ，且3sin tan 13cos B CBABC △的面积S 的最大值为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.如图所示，在正四棱柱1111ABCD A B C D 中，1AB ，12BB ，E 是棱1CC 上的点，且114CECC . (1)求三棱锥C BED 的体积；(2)求证：平面1AAC 平面BDE .18.在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知ABC △面积为315，5b c ，1cos 4A. (1)求a 的值； (2)求cos 26A的值.19.设数列n a 的前n 项和为n S ，且1122n n S ，数列n b 为等差数列，且112a b ，2211a b b a .(1)求数列n a 和n b 的通项公式； (2)设nnnb c a ，求数列n c 的前n 项和n T . 20.在ABC △中，内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，不等式23cos 2sin 02x C x C 对一切实数x 恒成立. (1)求cos C 的取值范围；(2)当C ∠取最大值，且ABC △的周长为9时，求ABC △面积的最大值，并指出面积取最大值时ABC △的形状.21.如图1是四棱锥的直观图，其正(主)视图和侧(左)视图均为直角三角形，俯视图外框为矩形，相关数据如图2所示.(1)设AB 中点为O ，在直线PC 上找一点E ，使得OE ∥平面PAD ，并说明理由； (2)若二面角P AC D 6，求四棱锥P ABCD 的外接球的表面积.22.已知函数3log 101x f xx x 的图象上有一点列,n n nP x y *n N ，点n P 在x 轴上的射影是,0n n Q x ，且132nnx x (2n 且*nN )，12x .(1)求证：1n x 是等比数列，并求出数列n x 的通项公式； (2)对任意的正整数n ，当1,1m 时，不等式21363n t mty 恒成立，求实数t 的取值范围；(3)设四边形11n n n n P Q Q P 的表面积是n S ，求证：1211132nS S nS ….2016～2017学年度(下期)高2016级期末联考试题数学(理科)参考答案一、选择题1-5:CDDBC 6-10:ABABC 11、12：BD二、填空题13.2 14.4 15.226n n 16.3三、解答题17.解：(1)在正四棱柱1111ABCD A B C D 中， ∵112CC BB ，∴11142CE CC ， ∴13CBEDBBCDBCD V V S CE △ 11111132212. (2)证明：由正四棱柱1111ABCD A B C D 可知四边形ABCD 为正方形，∴BD AC ，∵1A A 底面ABCD ，BD 平面ABCD ，∴1A A BD ，又∵1A A ACA ，1A A 平面1A AC ，AC平面1AAC ， ∴BD平面1AAC ， 又BD 平面BDE ， ∴平面1AA C平面BDE .18.解：(1)在ABC △中，由1cos 4A ，可得，15sin 4A ， 又因为315ABCS △，所以1sin 3152bc A ，即24bc .又5b c ，解得8b ，3c . 由2222cos 85a b c bc A ，得85a.(2)因为27cos22cos 18A A ，15sin 22sin cos 8A A A ， 所以cos 2cos 2cos sin 2sin666AA A731511573828216. 19.解：(1)当1n 时，111a S ，当2n 时，112111122222nnnn nn a S S ， 此式对1n 也成立. ∴*112n n a n N ， 从而1123b a ，12122a b b a ，又∵n b 为等差数列，∴公差为2d ，∴31221nb n n .(2)由(1)可知112121212n nn n c n .所以21315272212n nT n ….① ①2得2123252212212nn n T n n ….②①②得12132222212n n nT n …，∴12123221212nn n T n ，∴1212n n T n .20.解：(1)当cos 0C 时，sin 1C ，原不等式即为3202x对一切实数x 不恒成立，当cos 0C 时，应有2cos 04sin 6cos 0C C C，∴2cos 02cos 3cos 2C C C ，解得1cos 2C 或cos 2C (舍去)，∵0C ，∴1cos 12C .(2)∵0C ，1cos 12C ，∴C ∠的最大值为3.此时22222cos3ca b ab a b ab ，∴229223a b c a b a b ababab abab ，∴9ab (当且仅当a b 时取等号). ∴193sin 234ABCS ab △(当且仅当a b 时取等号). 此时，ABC △面积的最大值为934，ABC △为等边三角形. 21.解：(1)当E 是PC 中点时，OE ∥平面PAD ， 证明如下：取PD 中点F ，连接AF 、EF 、OF ， 在PDC △中，E 、F 分别是PC 、PD 的中点， ∴EF 是PDC △的中位线， ∴EF DC ∥且12EF DC ，又O 是AB 中点，AB DC ， ∴EF AO ∥且EFAO ，∴四边形EFAO 是平行四边形， ∴OE AF ∥. 又∵AF平面ADP ，OE 平面ADP ，∴OE ∥平面ADP .(2)由三视图可得PD 平面ABCD ，在底面ABCD 中，过D 作DH AC 交AC 于点H ，连接PH ，∵PD 平面ABCD ，AC 平面ABCD ，∴PDAC ，又DHAC ，DH 平面ABCD ，PD 平面ABCD ，∵DHPD D ，∴AC 平面PD ，又PH平面PDH ，∴PHAC ，∴PHD ∠是二面角P AC D 的平面角， 在底面矩形ABCD ，8AB ，4AD ，∴45AC ，85DH，在Rt PDH △中，又6cos 6PHD ∠， ∴tan 5PD PHDDH∠，∴8PD .由直观图易知四棱锥P ABCD 的外接球的直径即为PB ， ∴222144PB PD DB .故四棱锥P ABCD 的外接球的表面积为24144R . 22.(1)解：由132nnx x (2n 且*n N )得1131n nx x (2n 且*n N )∵113x ，∴10n x ，∴1131n n x x ，(2n 且*nN )∴1n x 是首项为3，公比为3的等比数列. ∴111133nn n x x .∴31n nx ，*n N . (2)∵3log 3113113n n nn nn y f x ， ∵1113133n n n ny n n y n n，*n N ，又312111n n n n ，∴11n ny y 故数列n y 单调递减，(此处也可作差10n n y y 证明数列n y 单调递减)∴当1n 时，n y 取得最大值为13.要使对任意的正整数n ，当1,1m时，不等式21363n t mty 恒成立，则须使2max113633nt mty ，即220t mt ，对任意1,1m 恒成立，∴222020t t t t ，解得2t 或2t ，∴实数t 的取值范围为,22,.(3)11313123n n n n n Q Q ，而3n nn n P Q ， ∴四边形11n n n n P Q Q P 的面积为11112nn n n n n n S P Q P Q Q Q11141232333nn n n n n 131211111112123414414414441n nS n n n n n n n n nn12111111111113131322233411nS S nS nn n ……，∴故1211132nS S nS ….。
龙泉中学2016届高考数学(理)模拟试题(1)
正视图侧视图龙泉中学2016届高考数学（理）模拟试题（1）一．选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知全集,U R=集合{}{}3|log(1),|2xA x y xB y y==-==,则=BACU)(A．0+∞（，）B．(0,1]C．(1,)+∞D．(1,2)2．复数12,z z满足12||||1z z==，12||z z+12||z z-=A．1 B．C．2D．3．某地市高三理科学生有15000名，在三月调研测试中，数学成绩ξ服从正态分布),100(2σN，已知40.0)10080(=≤<ξP，若按成绩分层抽样的方式取100份试卷进行分析，则应从120分以上的试卷中抽取A．5份B．10份C．15份D．20份4．已知{}n a是首项为1的等比数列，n S是{}n a的前n项和，且369S S=，则数列1na⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前5项和为A．8532B．3116C．158D．8525．已知实数,x y满足24122x yx yx y+≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，则z x y=-A．最小值为-1，不存在最大值B．最小值为2，不存在最大值C．最大值为-1，不存在最小值D．最大值为2，不存在最小值6．执行下面的程序框图,如果输入的,x t均为2,则输出的S=A．4 B．5 C．6 D．77．如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的体积为A．163π+B．326π+C．6412π+D．646π+8．展开()10a b c++合并同类项后的项数是A．11 B．45 C．66 D．789．某校投篮比赛规则如下:选手若能连续命中两次，即停止投篮，晋级下一轮．假设某选手每次命中率都是0．6，且每次投篮结果相互独立，则该选手恰好投篮4次晋级下一轮的概率为A．625216B．625108C．62536D．1251810．若函数()2sin(0)f x xωω=>在(0,2)π上恰有两个极大值和一个极小值，则ω的取值范围为A．57,44⎛⎤⎥⎝⎦B．57,44⎡⎫⎪⎢⎣⎭C．79,44⎛⎤⎥⎝⎦D．79,44⎡⎫⎪⎢⎣⎭11．已知过抛物线G:22(0)y px p=>焦点F的直线l与抛物线G交于,M N两点（M点在x 轴上方），满足3MF FN=,163MN=，则以M为圆心且与抛物线准线相切的圆的标准方程为A．22116()(33x y-+=B．22116()(33x y-+=C．22(3)(16x y-+-=D．22(3)(16x y-++=12．已知函数nxxmexf x++=2)(,{}{}∅≠===0))((|)(|xffxxfx,则nm+的取值范围为A．)4,0(B．[)4,0C．[]4,0D．()+∞,4二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．若()()123f x x f x dx=+⎰，则()1f x dx⎰= ．14．点P在ABC∆的边BC所在直线上，且满足2AP mAB nAC=+（,m n R∈），则在平面直角坐标系中，动点(,)Q m n m n+-的轨迹的普通方程为．15．设ABC∆的内角,,A B C所对的边,,a b c成等比数列，则sinsinBA的取值范围为___________．16．符号1niia=∑表示数列{}n a的前n项和（即121...ni nia a a a==+++∑），已知数列{}n a满足1a=，11n n na a a+≤≤+（*n N∈），记11(1)knaknkS a-==-∑（01a<<），若2016S=，则当20161kaka=∑取最小值时，2016a=．三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）在△ABC中，3Bπ=，点D在边A B上，1BD=，且DA DC=．（Ⅰ）若△BCD CD；（Ⅱ）若AC=DCA∠．18．（本小题满分12分）从A地到B地有甲、乙两条线路，甲线路是BDCA---，乙线路是BHGFEA-----，其中CD 段、EF 段、GH 段都是易堵车路段，假设这三条路段堵车与否相互独立，这三条路段的堵车概率及平均堵车时间如表1所示．经调查发现，堵车概率x 在)1,32(上变化，y 在)21,0(上变化．在不堵车的情况下，走甲线路需汽油费500元，走乙线路需汽油费545元．而每堵车1小时，需多花汽油费20元．为了估计CD 段平均堵车时间，调查了100名走甲线路的司机，得到表2数据．表1 表2 （Ⅰ）求CD 段平均堵车时间a 的值；（Ⅱ）若只考虑所花汽油费期望值的大小，为了节约，求选择走甲线路的概率． 19．（本小题满分12分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 为等腰直角三角形，1AB AC ==，12BB =，160ABB ∠=．（Ⅰ）证明：1AB B C ⊥；（Ⅱ）若12B C =，求1AC 与平面1BCB 所成角的正弦值．20．（本小题满分12分）已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>经过点()2，12,F F 是椭圆E 的左，右焦点．（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）若点,A B 是椭圆上E 关于y 轴对称两点（,A B 不是长轴的端点），点P 是椭圆E 上异于,A B 的 一点，且直线,PA PB 分别交y 轴于点,N M ，求证：直线1MF 与直线2NF 的交点G 在定圆上， 并求出定圆的方程． 21．（本小题满分12分）已知函数()ln 1f x x kx =-+（k 为常数），函数4()ln(1)xg x xe x a=-+，（a 为常数，且0a >）．（Ⅰ）若函数()f x 有且只有1个零点，求k 的取值的集合；（Ⅱ）当（Ⅰ）中的k 取最大值时，求证：()2()2(ln ln 2)ag x f x a ->-．请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．答题时用2B 铅笔在答题卡上把所选的题号涂黑．22．(本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，⊙O 的弦AB 、CD 相交于E ，过点A 作⊙O 的切线与DC 的延长线交于点P ．6=PA ，9===EP CD AE ．（Ⅰ）求BE ；（Ⅱ）求⊙O 的半径． 23．（本小题满分10分）选修4-4 坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为 2x ty t⎧=⎪⎨=⎪⎩(t 为参数)， 在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C 的方程为ρ=． （Ⅰ）求曲线1C 、2C 的直角坐标方程；（Ⅱ）若A 、B 分别为曲线1C 、2C 上的任意点，求AB 的最小值．24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数222()|||2|3f x x a x a=-++-（Ⅰ）当1a =时，求不等式()2f x >的解集；（Ⅱ）若对于任意非零实数a 以及任意实数x ，不等式2()f x b x a >--恒成立，求实数b 的取值范围．龙泉中学2016届高考数学（理）模拟试题（1）参考答案一．选择题：1-5 BABBA 6-10 DCCDA 11-12 CB 二．填空题：13．16- 14．320x y +-= 15．⎝⎭ 16．1007三．解答题：17．解：（Ⅰ）因为BCD S △即1sin 2BC BD B ⋅⋅= 又因为3B π=,1BD =，所以4BC = ． 在△BDC 中,由余弦定理得，2222cos CD BC BD BC BD B =+-⋅⋅,即21161241132CD =+-⨯⨯⨯=，解得CD = ······························ 6分（Ⅱ）在△ACD 中，DA DC =，可设A DCA θ∠=∠=，则ADC θ=π-2∠，又AC =sin 2sin AC CDθθ=，所以CD =． 在△BDC 中, 22,23BDC BCD θθπ∠=∠=-，由正弦定理得，sin sin CD BDB BCD=∠，12cos 2sin sin(2)33θθ=ππ-，化简得2cos sin(2)3θθπ=-，于是2sin()sin(2)23θθππ-=-．因为02θπ<<，所以220,222333θθπππππ<-<-<-<， 所以2223θθππ-=-或2+2=23θθππ--π,解得==618θθππ或，故=618DCA DCA ππ∠∠=或． ····························· 12分18．解：（Ⅰ）以频率代替概率，可得： 3100242910024271003825100623100821=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=a ………………4分 （Ⅱ）设走甲线路所花汽油费为ξ元，则x ax E 6050020500)(+=+=ξ． 设走乙线路多花的汽油费为η元，因段为与段堵车与否相互独立．∴)1(43)411()1()0(y y P -=-⨯-==η， )1(41)20(y P -==ηy y P 43)411()40(=-==η， y P 41)60(==η从而54041604340)1(4120)1(430)(+=⨯+⨯+-⨯+-⨯=y y y y y E η．……8分∴走乙线路所花汽油费的数学期望为y E E 40550)(545)545(+=+=+ηη………9分 依题意，选走甲线路应满足0)60500()40550(≥+-+x y ，即0546≤--y x 又210,132<<<<y x 由几何概型的概率计算公式可得： 87213141)651(211(=⨯⨯-⨯-=选甲路）P ．…………12分 19．解：解法一：（Ⅰ）连结1AB ，在1ABB △中，111,2,60AB BB ABB ==∠=，由余弦定理得，22211112cos 3AB AB BB AB BB ABB =+-⋅⋅∠=，∴1AB =， ∴22211BB AB AB =+， ∴1AB AB ⊥．又∵ABC △为等腰直角三角形，且AB AC =，∴AC AB ⊥，又∵1AC AB A =， ∴AB ⊥平面1AB C ．又∵1B C ⊂平面1AB C ， ∴AB ⊥1B C ． ．．．．．．．．．．．5分（Ⅱ）∵111,2AB AB AC BC ====，∴22211B C AB AC =+，∴1AB AC ⊥． 如图，以A 为原点，以1,,AB AC AB 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则()(()()1000,0,100010A B B C ，，0，，，，，， ∴()()11,0,3,1,1,0BB BC =-=-．．．．．．7分设平面1BCB 的法向量(),,x y z =n ，由10,0,BB BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 得0,0,x x y ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩令1z =，得x y ==∴平面1BCB 的一个法向量为)=n ．∵()((1110,1,0AC AC CC AC BB =+=+=+-=-，∴111cos ,||||AC AC AC ⋅<>===n n n ，∴1AC 与平面1BCB 所成角的正弦值为35． ······································ 12分 解法二：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）过点A 作AH ⊥平面1BCB ，垂足为H ，连结1HC ，则1AC H ∠为1AC 与平面1BCB 所成的角．由（Ⅰ） 知，1AB AB ⊥，1AB =，1AB AC ==，12B C =，∴22211AB AC B C +=，∴1AB AC ⊥，又∵ABAC A =，∴1AB ⊥平面ABC ，∴111111332B ABC ABC V S AB AB AC AB -=⋅=⨯⨯⨯⨯=△．取BC 中点P ，连结1PB ，∵112BB B C==，∴1PB BC ⊥．又在Rt ABC △中，1AB AC ==，∴BC =2BP =，∴12PB ===，∴1112B BC S BC B P =⨯=△．∵11A BCB B ABC V V --=，∴1136BCB S AH ⋅=△，即1326AH ⨯=，∴7AH =．∵1AB ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∴1AB BC ⊥，111三棱柱111ABC A B C -中，11//BC B C ，112B C BC ==，∴111AB B C ⊥，∴1AC ==1Rt AHC △中，11sin 35AH AC H AC ∠===， 所以1AC 与平面1BCB······························· 12分 20．解：（Ⅰ）由条件得4,a b c ===，所以椭圆C 的方程221168x y += ………4分（Ⅱ）设()()0011,,P ,B x y x y ，则()00,A x y -， 直线PA 的方程为()101110y y y y x x x x --=-+， 令0x =，得100110x y x y y x x +=+，故1001100,x y x y M x x 骣+琪琪+桫， 同理可得1001100,x y x y N x x 骣-琪琪-桫 1001100112101022,,22,x y x y x y x y F M F N x x x x 骣骣+-琪琪==-琪琪+-桫所以，222210011001100112221010108x y x y x y x y x y x y F M F N x x x x x x 骣+--琪??=-+琪+--桫222201102210818116168880x x x x x x 骣骣琪琪?-?琪琪桫桫=-+=-+=- 所以，12F M F N ^，所以直线1F M 与直线2F N 交于点G 在以12F F 为直径的圆上 该定圆的方程为228x y += ……………12分21．解：（Ⅰ）解：xkxx f -='1)(， ①0≤k 时，()0>'x f ，则()x f 在 ()+∞,0上单调递增．而()()011112222<-≤--=+--=---k k k e k ke k e f ，()011>-=k f ，故()x f 在()1,2-k e 上存在唯一零点，满足题意；②0>k 时，令()0>'x f 得k x 1<，令()0<'x f 得k x 1>，则()x f 在⎪⎭⎫ ⎝⎛k 1,0上单增；在1,k ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单减； 若01=⎪⎭⎫ ⎝⎛k f ，得1=k ，显然满足题意； 若01>⎪⎭⎫ ⎝⎛k f ，则10<<k ，而01<-=⎪⎭⎫ ⎝⎛e ke f ， 又122ln 2142ln 242+⎪⎭⎫⎝⎛-=+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛k k k k k f ，令()1ln +-=x x x h ，则()x x x h -='1，由()0>'x h ，得1<x ， 由()0<'x h ，得1>x ，故()x h 在()1,0上单增，在()+∞,1上单调递减；故()()01=≤h x h ，则0122ln2<+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛k k k h ，即122ln -<-kk ， 则01122ln 2142ln 242<-<+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛k k k k k f ．故()x f 在⎪⎭⎫ ⎝⎛k e 1,1上有唯一零点，在⎪⎭⎫⎝⎛24,1k k 上有唯一零点，不符题意．综上，k 的取值的集合为{}10=≤k k k 或． …………5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，1ln -≤x x ，当且仅当1=x 时取""=，而114>+x a ，故x a x ax a 411414ln =-+<⎪⎭⎫ ⎝⎛+，则1=k 时，()()>-+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-22ln 214ln 2x x x a a axe x f x ag x 22ln 222ln 24---=-+--x x axe x x x a a axe xx…………………7分记()22ln 2---=x x axe x F x ，则()()()2121-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+='x xaxe x x x ae x x F ，令()2-=x axe x G ，则()()01>+='xe x a x G ，故()x G 在()+∞,0上单调递增．而()020<-=G ，01222>⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛a e a G ，故存在⎪⎭⎫ ⎝⎛∈a x 2,00，使得()00=x G ，即0200=-xe ax ．则()0,0x x ∈时，()0G x <，故()0<'x F ；()+∞∈,0x x 时，()0>'x G ，故()0>'x F ． 则()x F 在()0,0x 上单调递减，在()+∞,0x 上单调递增，故()()()000000ln 22ln 220x x x x e ax x F x F x +-=---=≥()2ln 2ln 22ln2ln 200-=-=-=a ae x x ． 故()()()2ln ln 22->-a xf x ag ． ……………12分22．解：（Ⅰ）PA 2＝PC·PD ，得PC ＝3， 所以PD ＝12，又EP ＝9，所以ED ＝3，CE ＝6，又AE·EB ＝CE·ED，EB ＝2 （Ⅱ）作OM ⊥AB ，PN ⊥AB ， 设AN ＝x ， 2236(9)81x x -+-=，得AN＝2，PN=PAN △∽△AOM ，得：OA AMPA PN =，OA 6＝8 23．解：（Ⅰ）2212:20,:14x C x y C y--=+=．…………… 5分 （Ⅱ）设()2cos ,sin B θθ，则AB==当且仅当()24k k Z πθπ=-∈时min AB ==．…………… 10分 24．解： （Ⅰ）当1a =时，32,1(),1134,1x x f x x x x x -⎧⎪=-<<⎨⎪---⎩≥≤，所以不等式()2f x >的解集为4(,2)(,).3-∞-+∞… 5分 （Ⅱ）2()f x b x a >--,222222123,2()3x a x b x a x a x b a a ∴-++->--∴-++->， 又因为2222112()32()331x a x a a a -++-+--=≥≥， 所以1b <，故实数b 的取值范围(,1)-∞．…………… 10分。
2016高考_龙泉一轮-数理-作业 (90)
题组层级快练(九十)1．在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝5x ，y ′＝3y后，曲线C 变为曲线x ′2＋y ′2＝1，则曲线C 的方程为( )A ．25x 2＋9y 2＝1B ．9x 2＋25y 2＝1C ．25x ＋9y ＝1 D.x 225＋y 29＝1 答案 A2．极坐标方程ρ＝cos θ化为直角坐标方程为( ) A ．(x ＋12)2＋y 2＝14B ．x 2＋(y ＋12)2＝14C ．x 2＋(y －12)2＝14D ．(x －12)2＋y 2＝14答案 D解析 由ρ＝cos θ，得ρ2＝ρcos θ，∴x 2＋y 2＝x .选D. 3．极坐标方程ρcos θ＝2sin2θ表示的曲线为( ) A ．一条射线和一个圆 B ．两条直线 C ．一条直线和一个圆 D ．一个圆 答案 C4．设点M 的直角坐标为(－1，－3，3)，则它的柱坐标为( ) A ．(2，π3，3)B ．(2，2π3，3)C ．(2，4π3，3)D ．(2，5π3，3)答案 C5．(2015·北京西城一模)在极坐标系中，过点(2，π2)且与极轴平行的直线方程是( )A ．ρ＝0B ．θ＝π2C ．ρcos θ＝2D ．ρsin θ＝2 答案 D解析 极坐标为(2，π2)的点的直角坐标为(0,2)，过该点且与极轴平行的直线的方程为y ＝2，其极坐标方程为ρsin θ＝2，故选D.6．(2015·北京海淀期末练习)下列极坐标方程表示圆的是( ) A ．ρ＝1 B ．θ＝π2C ．ρsin θ＝1D ．ρ(sin θ＋cos θ)＝1 答案 A解析 ρ＝1化为直角坐标方程为x 2＋y 2＝1，表示圆心在原点，半径为1的圆，故A 正确；θ＝π2化为直角坐标方程为x ＝0(y ≥0)，表示射线，故B 不正确；ρsin θ＝1化为直角坐标方程为y ＝1，表示直线，故C 不正确；ρ(sin θ＋cos θ)＝1化为直角坐标方程为x ＋y ＝1，表示直线，故D 不正确．7．(2015·皖北协作区联考)在极坐标系中，直线ρ(3cos θ－sin θ)＝2与圆ρ＝4sin θ的交点的极坐标为( )A ．(2，π6)B ．(2，π3)C ．(4，π6)D ．(4，π3)答案 A解析 ρ(3cos θ－sin θ)＝2可化为直角坐标方程3x －y ＝2，即y ＝3x －2.ρ＝4sin θ可化为x 2＋y 2＝4y ，把y ＝3x －2代入x 2＋y 2＝4y ，得4x 2－83x ＋12＝0，即x 2－23x ＋3＝0，所以x ＝3，y ＝1.所以直线与圆的交点坐标为(3，1)，化为极坐标为(2，π6)，故选A.8．在极坐标系中，极坐标为(2，π6)的点到极点和极轴的距离分别为( )A ．1,1B ．1,2C ．2,1D ．2,2 答案 C解析 点(ρ，θ)到极点和极轴的距离分别为ρ，ρ|sin θ|，所以点(2，π6)到极点和极轴的距离分别为2,2sinπ6＝1.9．在以O 为极点的坐标系中，直线l 的极坐标方程是ρcos θ－2＝0，直线l 与极轴相交于点M ，以OM 为直径的圆的极坐标方程是( )A ．ρ＝2cos θB ．ρ＝2sin θC ．2ρ＝cos θD ．ρ＝2＋cos θ 答案 A解析 直线l ：ρcos θ－2＝0的直角坐标方程是x ＝2，直线l 与x 轴相交于点M (2,0)，以OM 为直径的圆的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1，即x 2－2x ＋y 2＝0，化为极坐标方程是ρ2－2ρcos θ＝0，即ρ＝2cos θ.10．在极坐标系中，与圆ρ＝4sin θ相切的一条直线的方程是( ) A ．ρsin θ＝2 B ．ρcos θ＝2 C ．ρcos θ＝4 D ．ρcos θ＝－4 答案 B解析 方法一：圆的极坐标方程ρ＝4sin θ即ρ2＝4ρsin θ，所以直角坐标方程为x 2＋y 2－4y ＝0. 选项A ，直线ρsin θ＝2的直角坐标方程为y ＝2，代入圆的方程，得x 2＝4，∴x ＝±2，不符合题意；选项B ，直线ρcos θ＝2的直角坐标方程为x ＝2，代入圆的方程，得(y －2)2＝0，∴y ＝2，符合题意．同理，以后选项都不符合题意．方法二：如图，⊙C 的极坐标方程为ρ＝4sin θ，CO ⊥Ox ，OA 为直径，|OA |＝4，直线l 和圆相切， l 交极轴于点B (2,0)，点P (ρ，θ)为l 上任意一点， 则有cos θ＝|OB ||OP |＝2ρ，得ρcos θ＝2.11．在极坐标系中，圆ρ＝2cos θ的圆心的极坐标是________，它与方程θ＝π4(ρ>0)所表示的图形的交点的极坐标是________．答案 (1,0)，(2，π4)解析 ρ＝2cos θ表示以点(1,0)为圆心，1为半径的圆，故圆心的极坐标为(1,0)． 当θ＝π4时，ρ＝2，故交点的极坐标为(2，π4)．12．(2014·陕西)在极坐标系中，点(2，π6)到直线ρsin(θ－π6)＝1的距离是________．答案 1解析 ρsin(θ－π6)＝ρ(sin θcos π6－sin π6cos θ)＝1，因为在极坐标系中，ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ， 所以直线可化为x －3y ＋2＝0. 同理点(2，π6)可化为(3，1)，所以点到直线距离d ＝|3－3＋2|3＋1＝1.13．在极坐标系中，点M (4，π3)到曲线ρcos(θ－π3)＝2上的点的距离的最小值为________．答案 2解析 点M (4，π3)的直角坐标为M (2,23)，曲线ρcos(θ－π3)＝2，即ρ(12cos θ＋32sin θ)＝2，化为普通方程为x ＋3y －4＝0. 点M (2,23)到此直线的距离 d ＝|2＋23×3－4|1＋(3)2＝2即为所求．14．在极坐标系中，已知圆ρ＝2cos θ与直线4ρcos θ＋3ρsin θ＋a ＝0相切，则a ＝________. 答案 1或－9解析 圆ρ＝2cos θ即ρ2＝2ρcos θ，即(x －1)2＋y 2＝1，直线4ρcos θ＋3ρsin θ＋a ＝0，即4x ＋3y ＋a ＝0， 已知圆ρ＝2cos θ与直线4ρcos θ＋3ρsin θ＋a ＝0相切， ∴圆心到直线的距离等于半径． 即|4＋0＋a |42＋32＝1，解得a ＝1或－9. 15．(2015·广州综合测试一)在极坐标系中，直线ρ(sin θ－cos θ)＝a 与曲线ρ＝2cos θ－4sin θ相交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则实数a 的值为________．答案 －5或－1解析 将直线ρ(sin θ－cos θ)＝a 化为普通方程，得y －x ＝a ，即x －y ＋a ＝0，将曲线ρ＝2cos θ－4sin θ的方程化为普通方程，得x 2＋y 2＝2x －4y ，即(x －1)2＋(y ＋2)2＝5，圆心坐标为(1，－2)，半径长为r ＝ 5.设圆心到直线AB 的距离为d ，由勾股定理可得d ＝r 2－(|AB |2)2＝5－(232)2＝2，而d ＝|1－(－2)＋a |12＋(－1)2＝|a ＋3|2＝2，所以|a ＋3|＝2，解得a ＝－5或a ＝－1. 16．已知极坐标方程C 1：ρ＝10，C 2：ρsin(θ－π3)＝6.(1)化C 1，C 2的极坐标方程为直角坐标方程，并分别判断曲线形状； (2)求C 1，C 2交点间的距离．答案 (1)C 1：x 2＋y 2＝100，C 2：3x －y ＋12＝0 (2)16 解析 (1)由C 1：ρ＝10，得ρ2＝100.∴x 2＋y 2＝100. 所以C 1为圆心在(0,0)，半径等于10的圆． 由C 2：ρsin(θ－π3)＝6，得ρ(12sin θ－32cos θ)＝6.∴y －3x ＝12，即3x －y ＋12＝0. 所以C 2表示直线．(2)由于圆心(0,0)到直线3x －y ＋12＝0的距离为d ＝|12|(3)2＋(－1)2＝6<10，所以直线C 2被圆截得的弦长等于2102－62＝16.17．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρcos(θ－π3)＝1，M ，N 分别为C 与x 轴，y 轴的交点． (1)写出C 的直角坐标方程，并求M ，N 的极坐标； (2)设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程． 答案 (1)x ＋3y －2＝0，M (2,0)，N (233，π2)(2)θ＝π6，ρ∈R解析 (1)由ρcos(θ－π3)＝1，得ρ(12cos θ＋32sin θ)＝1. 从而C 的直角坐标方程为12x ＋32y ＝1，即x ＋3y ＝2.当θ＝0时，ρ＝2，所以M (2,0)； 当θ＝π2时，ρ＝233，所以N (233，π2)．(2)M 点的直角坐标为(2,0)，N 点的直角坐标为(0，233)．所以P 点的直角坐标为(1，33)，则P 点的极坐标为(233，π6)．所以直线OP 的极坐标方程为θ＝π6，ρ∈(－∞，＋∞)．18．(2014·辽宁)将圆x 2＋y 2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C . (1)写出C 的参数方程；(2)设直线l ：2x ＋y －2＝0与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程．答案 (1)C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos t ，y ＝2sin t (t 为参数) (2)ρ＝34sin θ－2cos θ思路 (1)利用相关点法先求出直角坐标方程，再写出参数方程．(2)先联立方程求出P 1，P 2两点的坐标，进而求出P 1P 2的中点坐标，得到与l 垂直的直线方程，再化为极坐标方程．解析 (1)设(x 1，y 1)为圆上的点，在已知变换下变为曲线C 上点(x ，y )，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1，y ＝2y 1.由x 21＋y 21＝1，得x 2＋(y 2)2＝1，即曲线C 的方程为x 2＋y 24＝1.故C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos t ，y ＝2sin t (t 为参数)．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 24＝1，2x ＋y －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2.不妨设P 1(1,0)，P 2(0,2)，则线段P 1P 2的中点坐标为(12，1)，所求直线斜率为k ＝12.于是所求直线方程为y －1＝12(x －12)．化为极坐标方程，并整理得 2ρcos θ－4ρsin θ＝－3，即ρ＝34sin θ－2cos θ.(2015·广东肇庆一模)已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝2(ρ>0,0≤θ<2π)，曲线C 在点(2，π4)处的切线为l ，以极点为坐标原点，以极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，则l 的直角坐标方程为________．答案 x ＋y －22＝0解析 根据极坐标与直角坐标的转化公式可以得到曲线ρ＝2⇒x 2＋y 2＝4，点(2，π4)⇒(2，2)．因为点(2，2)在圆x 2＋y 2＝4上，故圆在点(2，2)处的切线方程为2x ＋2y ＝4⇒x ＋y －22＝0，故填x ＋y －22＝0.。
龙泉驿区高2016级数学(理)期末质量监测试题有答案
龙泉驿区高2016级数学（理）期末质量监测试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知数列{}n a 为等差数列，若1112016a a +=，则6a 的值为················ …………（）A ．1344B ．2016C ．1008D ．6722.对于任意实数a b >，c d >，则下列选项中正确的是…………………………（） A.c b d a ->- B.ac bd > C.11a b> D.22ac bc > 3.直线1=x 的倾斜角和斜率分别是………………………………………………（ ） A ．不存在，1B ．90︒，不存在 C ．1，1 D ．180︒，不存在4.在R 上定义运算⊗：b a b a ⋅=⊗，则不等式2)3(-<-⊗x x 的解集为………（ ） A.21<<-x B.12<<-x C.21<<x D.12-<<-x5.将直线y=3x 绕原点逆时针旋转90度，再向右平移1个单位，所得的直线方程为则……………………………………………………（ ） A.3131+-=x y B.131+-=x y C.33-=x y D.131+=x y 6.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c,若CcB b cos cos =，则△ABC 的形状是………………………………………………（ ） A.等腰或直角三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D. 等腰三角形7.已知,αβ是两个不同的平面，,m n 为两条不重合的直线，则下列命题中正确的为……（） A ．若//m α，//n β，//m n ，则//αβ B ．若m α⊥，n β⊥，m n ⊥，则αβ⊥ C ．若m α⊂，n β⊂，//m n ，则//αβD ．若αβ⊥，n αβ=，m n ⊥，则m α⊥8.《算数书》是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“困盖”的术：置如其周，令相乘也.又以高乘之，三十六成一.该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式h L V 2361≈.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么，近似公式h L V 21123≈相当于将圆锥体积公式中的π近似取为………（ ） A ．50157B ．825C ． 722D ．9289.设数列{}n a 是等比数列，满足0,1n a q >>，且3520a a +=，2664a a ⋅=，则=6S …（ ） A ．16 B ．63 C ．31 D ．6410.在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为,,a b c ，若b a A 2,120=︒=∠，则……（ ） A ． c b > B ．c b <C ．c b =D ．c b 与的大小关系不能确定11.如图，等边ABC ∆的中线AF 与中位线DE 相交于G ，已知A ED ∆'是AED ∆绕DE 旋转过程中的一个图形，下列命题中，错误．．的是…………………………………（ ）A. 恒有平面A GF '⊥平面BCEDB. 动点A '在平面ABC 上的射影在线段AF 上C. 异面直线A E '与BD 不可能垂直D. 三棱锥A EFD '-的体积有最大值12．已知函数12)8()(22-++++=a a x a x x f ，且)82()4(2-=-a f a f ，设等差数列{}n a 的前n 项和为)(*∈N n S n ，若)(n f S n =，则14--n n a a S 的最小值为……………（ ）A ．835 B ．314C ． 837D ．627第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题4小题，每小题5分，共20分，答案写在答题卡相应横线上.）13．若==αα2cos ,55sin 则. 14.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何题的表面积是____________.15.已知==-=βαβαtan ,2)tan(,31tan 则 ___________. 16.在ABC ∆中，︒=∠90C ，M 是BC 的中点.若36sin =∠BAC ，则=∠B A M s i n _______．三、解答题 （本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分10分） 已知函数f （x ）＝ax 2-2bx-3.(I)若不等式f （x ）< 0的解集为（－1,3）,求实数a ，b 的值； (II)若a 、b 为正实数且f （-1）=1，求ba 12+的最小值． 18. （本小题满分12分）(I)求过点（2，4）且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程； (II)已知直线()12:310,:20l ax y l x a y a ++=+-+=，当12//l l 时，求直线1l 与2l 之间的距离．19. （本小题满分12分）已知：在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知A cos )2(C cos c b a -=⋅. (I)求角A 的大小；(II)若BC=6，求ABC ∆的面积S 的最大值，并判断当S 最大时ABC ∆的形状．20. （本小题满分12分）如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD ＝DC ，E 是PC 的中点，作EF ⊥PB 交PB 于点F.(I)求证：PA ∥平面EDB ；(II)若AB=2，求三棱锥F-PDE 的体积. 21. （本小题满分12分）在ABC ∆中，内角A,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，已知1s i n s i n s i n =+++ba cC A B ，且9-CB CA =⋅，ABC ∆的面积为39.(Ⅰ) 已知等差数列n {a }的公差不为零，若a cosA=11，且521,a a a ，成等比数列，求⎭⎬⎫⎩⎨⎧⋅+18n n a a 的前n 项和n S ;(II) 求边b 的大小. 22. （本小题满分12分）各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足2*214691n n a a S n n N +==++∈，，.各项均为正数的等比数列{}n b ,满足1132b a b a ==，.(I)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；；(II)若()32n n c n b =-⋅，数列{}n c 的前n 项和n T .①求n T ；②若对任意*2n n N ≥∈，，均有()2563135n T m n n -≥-+恒成立，求实数m 的取值范围.龙泉驿区高2016级数学（理）期末质量监测试题（参考答案）一、选择题二、填空题 13.53 14. 3224+ 15. 7 16. 31 三、解答题17. 解：(I) ∵ 不等式f （x ）< 0的解集为（－1,3） ∴ ax 2-2bx-3< 0的解集为（－1,3）∴ 的两实根是且0323,102=--->bx ax a ……………………2分则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=⨯-=+->a a b a 3312310 或 ⎪⎩⎪⎨⎧=--=-+>03690320b a b a a∴ 1,1==b a ……………………5分(II)分的最小值是”时，取“当且仅当分10212424,2424418)44(41)12)(2(4112,42132)1( ba b a b aa b b a a b b a a b b a b a b a R b a b a b a f +∴=⎪⎩⎪⎨⎧=+==⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅+≥++=++=+∴∈=+∴=-+=-+18. 解：(I)当截距不为0时，设直线方程为a y x aya x =+=+即,1 ∵ 直线过点（2,4）∴ 6,42=+∴=+y x a 直线方程为：……………………4分 当截距为0时，设直线方程为y=kx ∵ 直线过点（2,4）∴ 4=2k,即k=2,∴ 直线方程为y=2x ……………………5分∴ 过点（2，4）且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为x+y-6=0或2x-y=0……6分（II ）当12l l ∥时，有()()230320a a a a --=⎧⎪⎨--≠⎪⎩解得3a =， ………………………9分12:3310,:30l x y l x y ++=++=，即339x y ++=，距离为d =……………………………12分 19.解：（I ） A cos )2(C cos c b a -=⋅A C ABC A cos sin cos sin 2cos sin -=∴由正弦定理可知， …………………2分AB C A AB AC C A cos sin 2)sin(cos sin 2cos sin cos sin =+=+π=++C B A A B B cos sin 2sin =∴．……………………………4分 21cos ,0sin =∴≠A B ． 3,0ππ=∴<<A A ． ……………………………………6分(II)由题可知3,6π==A abc S ABC 43=∴∆．……………………………………7分 bc A bc a c b +=+=+36cos 2222由余弦定理可知： ，……………………………9分 ”时等号成立当且仅当“c b bc bc bc c b =≤∴≥+=+∴3623622，……………11分39最大值是ABC S ∆∴ 此时三角形为等边三角形…………………………12分20.(I)证明: 如图所示，连接AC ，AC 交BD 于O ，连接EO. ∵底面ABCD 是正方形， ∴点O 是AC 的中点. 在△PAC 中，EO 是中位线，∴PA ∥EO. ………………………………3分 而EO ⊂平面EDB 且PA ⊄平面EDB ，∴PA ∥平面EDB. ……………………………………6分（II)解: ∵PD ⊥底面ABCD ，且PD ⊂面PCD ，∴面PDC ⊥面ABCD.又∵底面ABCD 是正方形，有DC ⊥BC,面PDC ∩面ABCD=CD ∴BC ⊥面PDC ，则面PBC ⊥面PDC ∵PD ＝DC ，可知△PDC 是等腰直角三角形. 而DE 是斜边PC 的中线，∴DE ⊥PC. 同理可得DE ⊥平面PBC ，而PB ⊂平面PBC ， ∴DE ⊥PB.又EF ⊥PB 且DE ∩EF ＝E ，∴PB ⊥平面EFD.则PB ⊥DF …………………………………9分因正方形ABCD 的边长为2，∴BD ＝32=PB∴31332PF 2===PB PF PB PD ，则,又因E 是PC 中点∴92222213161V 61V 31V PDC -B PDE -B PDE -F =⨯⨯⨯⨯⨯=== ……………………………12分21.(Ⅰ)由正弦定理得：b c =1a+c a+b－即：222b +c a =bc －, 所以由余弦定理得：222b +c a bc 1cosA===2bc 2bc 2－ 又因为：0<A<π，所以πA=3……………………2分 由1a cosA=1 得1a =2 又521,,a a a 成等比数列，得5122a a a ⋅=，因数列n {a } 的公差为d 且d ≠0∴d =4所以244)1(2-=⨯-+=n n a n ，有241+=+n a n………………4分则121121)12)(12(281+--=+-=+n n n n a a n n ……………………5分 所以12112151313111S +--++-+-=n n n =122121-1+=+n nn ……………………6分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知πA=3，则2123cos cos 222=-+==bc a c b A π ……………………8分因为＝－9 ∴9cos -=C ab 即：92222-=-+⋅ab c b a ab ……………9分 39sin 21S ABC ==∆A bc 又 ……………………10分 ∴⎪⎩⎪⎨⎧=-=-+=-+3618222222bc c b a bc a c b 解得：b=3 ……………………12分22.解：（Ⅰ）∵21691n n a S n +=++ ∴ ()216911n n a S n -=+-+∴ ()221692n n n a a a n +-=+≥∴()2213n n a a +=+又各项为正 则()132n n a a n +=+≥∴数列{}n a 从2a 开始成等差 又∵24a = ∴214=691a ++则11a =∴213a a -=∴{}n a 为公差为3的等差数列∴32n a n =- ……………………3分∴ 4,12311====a b a b 则4213==q b b 因{}n b 为正项等比数列，∴ 2=q∴12n n b -= ………………………………………4分（Ⅱ）()1322n n c n -=-⋅ ①()0111242322n n T n -=⋅+⋅++-⋅()1121242322n n T n =⋅+⋅++-⋅∴()()12113222322n n n T n --=++++--⋅ ()()11621322n n n T n --=+---⋅ ()5325n n T n -=-⋅-()3525n n T n =-⋅+ ………………………………………8分 ②()235263135n n m n n -⋅⋅≥-+恒成立∴()()()()2352763135273523522n n n n n n n n m n n ---+-≥==-⋅- ………………………9分 即272n n m -≥恒成立 设272n n n k -= 111252792222n n n n n n n n k k +++----=-=当4n ≤时，n n k k >+1 ，当 5n ≥时， 1n n k k +< ∴max 5533232n k k === ∴332m ≥. ………………………………………12分。
2016高考_龙泉一轮-数理-作业 (62)
题组层级快练(六十二)1．若椭圆x 216＋y 2b 2＝1过点(－2，3)，则其焦距为( )A ．25B ．2 3C ．4 5D ．4 3答案 D解析 ∵椭圆过(－2，3)，则有416＋3b 2＝1，b 2＝4，c 2＝16－4＝12，c ＝23，2c ＝4 3.故选D.2．已知焦点在x 轴上的椭圆的离心率为12，且它的长轴长等于圆C ：x 2＋y 2－2x －15＝0的半径，则椭圆的标准方程是( )A.x 24＋y 23＝1 B.x 216＋y 212＝1 C.x 24＋y 2＝1 D.x 216＋y 24＝1 答案 A解析 圆C 的方程可化为(x －1)2＋y 2＝16. 知其半径r ＝4，∴长轴长2a ＝4，∴a ＝2. 又e ＝c a ＝12，∴c ＝1，b 2＝a 2－c 2＝4－1＝3.∴椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1.3．已知曲线C 上的动点M (x ，y )，向量a ＝(x ＋2，y )和b ＝(x －2，y )满足|a |＋|b |＝6，则曲线C 的离心率是( )A.23B. 3C.33D.13答案 A解析 因为|a |＋|b |＝6表示动点M (x ，y )到两点(－2,0)和(2,0)距离的和为6，所以曲线C 是椭圆且长轴长2a ＝6，即a ＝3.又c ＝2，∴e ＝23.4．已知椭圆x 25＋y 2m ＝1的离心率e ＝105，则m 的值为( )A ．3B ．3或253C.15D.15或5153答案 B解析 若焦点在x 轴上，则有⎩⎪⎨⎪⎧5>m ，5－m 5＝105.∴m ＝3.若焦点在y 轴上，则有⎩⎪⎨⎪⎧m >5，m －5m＝105.∴m ＝253. 5．已知圆(x ＋2)2＋y 2＝36的圆心为M ，设A 为圆上任一点，N (2,0)，线段AN 的垂直平分线交MA 于点P ，则动点P 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线答案 B解析 点P 在线段AN 的垂直平分线上，故|P A |＝|PN |.又AM 是圆的半径，∴|PM |＋|PN |＝|PM |＋|P A |＝|AM |＝6>|MN |.由椭圆的定义知，P 的轨迹是椭圆．6．(2015·广东韶关调研)已知椭圆与双曲线x 24－y 212＝1的焦点相同，且椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为10，那么椭圆的离心率等于( )A.35B.45C.54D.34 答案 B解析 因为双曲线的焦点在x 轴上，所以设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，因为椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为10，所以根据椭圆的定义可得2a ＝10⇒a ＝5，则c ＝4＋12＝4，e ＝c a ＝45，故选B.7．(2015·广东广州二模)设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段PF 1的中点在y 轴上，若∠PF 1F 2＝30°，则椭圆的离心率为( )A.16 B.13 C.36D.33 答案 D解析 设PF 1的中点为M ，连接PF 2，由于O 为F 1F 2的中点，则OM 为△PF 1F 2的中位线，所以OM ∥PF 2.所以∠PF 2F 1＝∠MOF 1＝90°.由于∠PF 1F 2＝30°，所以|PF 1|＝2|PF 2|. 由勾股定理，得|F 1F 2|＝|PF 1|2－|PF 2|2 ＝3|PF 2|.由椭圆定义，得2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝3|PF 2|⇒a ＝3|PF 2|2，2c ＝|F 1F 2|＝3|PF 2|⇒c ＝3|PF 2|2. 所以椭圆的离心率为e ＝c a ＝3|PF 2|2·23|PF 2|＝33.故选D.8．(2015·河北邯郸一模)已知P 是椭圆x 225＋y 2b 2＝1(0<b <5)上除顶点外一点，F 1是椭圆的左焦点，若|OP →＋OF 1→|＝8，则点P 到该椭圆左焦点的距离为( )A ．6B ．4C ．2 D.52答案 C解析 取PF 1的中点M ，连接OM ，OP →＋OF 1→＝2OM →，∴|OM |＝4.在△F 1PF 2中，OM 是中位线，∴|PF 2|＝8.∴|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10，解得|PF 1|＝2，故选C.9．(2015·北京海淀期末练习)已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，椭圆C 上的点A 满足AF 2⊥F 1F 2，若点P 是椭圆C 上的动点，则F 1P →·F 2A →的最大值为( )A.32B.332C.94D.154 答案 B解析 由椭圆方程知c ＝4－3＝1，所以F 1(－1,0)，F 2(1,0)．因为椭圆C 上点A 满足AF 2⊥F 1F 2，则可设A (1，y 0)，代入椭圆方程可得y 20＝94，所以y 0＝±32. 设P (x 1，y 1)，则F 1P →＝(x 1＋1，y 1)，F 2A →＝(0，y 0)， 所以F 1P →·F 2A →＝y 1y 0.因为点P 是椭圆C 上的动点，所以－3≤y 1≤3，F 1P →·F 2A →的最大值为332.故B 正确．10．(2015·河北唐山二模)已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与圆C 2：x 2＋y 2＝b 2，若在椭圆C 1上存在点P ，使得由点P 所作的圆C 2的两条切线互相垂直，则椭圆C 1的离心率的取值范围是( )A ．[12，1)B ．[22，32]C ．[22，1) D ．[32，1) 答案 C解析 在椭圆长轴端点向圆引两条切线P ′A ，P ′B ，则两切线形成的角∠AP ′B 最小，若椭圆C 1上存在点P 令切线互相垂直，则只需∠AP ′B ≤90°，即α＝∠AP ′O ≤45°.∴sin α＝b a ≤sin45°＝22，解得a 2≤2c 2，∴e 2≥12.即e ≥22.而0<e <1，∴22≤e <1，即e ∈[22，1)． 11．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率为22.过F 1的直线l 交C 于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为16，那么C 的方程为________．答案 x 216＋y 28＝1解析 根据椭圆焦点在x 轴上，可设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．∵e ＝22，∴c a ＝22.根据△ABF 2的周长为16得4a ＝16，因此a ＝4，b ＝22，所以椭圆方程为x 216＋y 28＝1.12．椭圆x 225＋y 216＝1上一点P 到左焦点F 的距离为6，若点M 满足OM →＝12(OP →＋OF →)，则|OM →|＝________.答案 2解析 设右焦点为F ′，由OM →＝12(OP →＋OF →)知M 为线段PF 中点，∴|OM →|＝12|PF ′→|＝12(10－6)＝2.13．已知动点P (x ，y )在椭圆x 225＋y 216＝1上，若点A 坐标为(3,0)，|AM →|＝1，且PM →·AM →＝0，则|PM →|的最小值是________．答案3解析 ∵PM →·AM →＝0，∴AM →⊥PM →. ∴|PM →|2＝|AP →|2－|AM →|2＝|AP →|2－1. ∵椭圆右顶点到右焦点A 的距离最小， 故|AP →|min ＝2，∴|PM →|min ＝ 3.14．已知点A (4,0)和B (2,2)，M 是椭圆x 225＋y 29＝1上一动点，则|MA |＋|MB |的最大值为________．答案 10＋210解析 显然A 是椭圆的右焦点，如图所示，设椭圆的左焦点为A 1(－4,0)，连接BA 1并延长交椭圆于M 1，则M 1是使|MA |＋|MB |取得最大值的点．事实上，对于椭圆上的任意点M 有：|MA |＋|MB |＝2a －|MA 1|＋|MB |≤2a ＋|A 1B |(当M 1与M 重合时取等号)，∴|MA |＋|MB |的最大值为 2a ＋|A 1B |＝2×5＋62＋22＝10＋210.15.如右图，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，A 为椭圆的上顶点，直线AF 2交椭圆于另一点B.(1)若∠F 1AB ＝90°，求椭圆的离心率；(2)若椭圆的焦距为2，且AF 2→＝2F 2B →，求椭圆的方程． 答案 (1)22 (2)x 23＋y 22＝1解析 (1)若∠F 1AB ＝90°，则△AOF 2为等腰直角三角形．所以有|OA |＝|OF 2|，即b ＝c . 所以a ＝2c ，e ＝c a ＝22.(2)由题知A (0，b )，F 2(1,0)，设B (x ，y )， 由AF 2→＝2F 2B →，解得x ＝32，y ＝－b 2.代入x 2a 2＋y 2b 2＝1，得94a 2＋b 24b 2＝1.即94a 2＋14＝1，解得a 2＝3. 所以椭圆方程为x 23＋y 22＝1.16．(2014·新课标全国Ⅱ)设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直．直线MF 1与C 的另一个交点为N .(1)若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；(2)若直线MN 在y 轴上的截距为2，且|MN |＝5|F 1N |，求a ，b . 答案 (1)12(2)a ＝7，b ＝27思路 本题主要考查椭圆的方程与基本量，考查椭圆的几何性质与离心率的计算，考查直线与椭圆的位置关系，意在考查考生的分析转化能力与运算求解能力．(1)将M ，F 1的坐标都用椭圆的基本量a ，b ，c 表示，由斜率条件可得到a ，b ，c 的关系式，然后由b 2＝a 2－c 2消去b 2，再“两边同除以a 2”，即得到离心率e 的二次方程，由此解出离心率．若能抓住△MF 1F 2是“焦点三角形”，则可利用△MF 1F 2的三边比值快速求解，有：|F 1F 2|＝2c ，|MF 2|＝2c ×34＝32c ，则|MF 1|＝52c ，由此可得离心率e ＝|F 1F 2||MF 1|＋|MF 2|＝12.(2)利用“MF 2∥y 轴”及“截距为2”，可得y M ＝b 2a ＝4，此为一个方程；再转化条件“|MN |＝5|F 1N |”为向量形式，可得到N 的坐标，代入椭圆得到第二个方程．两方程联立可解得a ，b 的值．解析 (1)根据c ＝a 2－b 2及题设知M ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a ，b 2a 2c ＝34，2b 2＝3ac .将b 2＝a 2－c 2代入2b 2＝3ac ，解得c a ＝12，ca ＝－2(舍去)．故C 的离心率为12.(2)由题意，原点O 为F 1F 2的中点，MF 2∥y 轴，所以直线MF 1与y 轴的交点D (0,2)是线段MF 1的中点． 故b 2a＝4，即b 2＝4a .① 由|MN |＝5|F 1N |，得|DF 1|＝2|F 1N |. 设N (x 1，y 1)，由题意知y 1<0，则⎩⎪⎨⎪⎧2(－c －x 1)＝c ，－2y 1＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－32c ，y 1＝－1.代入C 的方程，得9c 24a 2＋1b2＝1.②将①及c ＝a 2－b 2代入②得9(a 2－4a )4a 2＋14a＝1.解得a ＝7，b 2＝4a ＝28. 故a ＝7，b ＝27.1．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦点分别为F 1，F 2，b ＝4，离心率为35.过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点，则△ABF 2的周长为( )A ．10B ．12C ．16D ．20答案 D解析 如图，由椭圆的定义知△ABF 2的周长为4a ，又e ＝c a ＝35，即c ＝35a ， ∴a 2－c 2＝1625a 2＝b 2＝16.∴a ＝5，△ABF 2的周长为20.2．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上任一点到两焦点的距离分别为d 1，d 2，焦距为2c .若d 1,2c ，d 2成等差数列，则椭圆的离心率为( )A.12B.22C.32D.34答案 A解析 由d 1＋d 2＝2a ＝4c ，∴e ＝c a ＝12.3．设e 是椭圆x 24＋y 2k ＝1的离心率，且e ∈(12，1)，则实数k 的取值范围是( )A ．(0,3)B ．(3，163)C ．(0,3)∪(163，＋∞)D ．(0,2)答案 C解析 当k >4时，c ＝k －4，由条件知14<k －4k <1，解得k >163；当0<k <4时，c ＝4－k ，由条件知14<4－k4<1，解得0<k <3，综上知选C.4．已知点M (3，0)，椭圆x 24＋y 2＝1与直线y ＝k (x ＋3)交于点A ，B ，则△ABM 的周长为______________．答案 8解析 直线y ＝k (x ＋3)过定点N (－3，0)，而M ，N 恰为椭圆x 24＋y 2＝1的两个焦点，由椭圆定义知△ABM 的周长为4a ＝4×2＝8.5．已知椭圆C 的中心在原点，一个焦点为F (－2,0)，且长轴长与短轴长的比是2∶ 3. (1)求椭圆C 的方程；(2)设点M (m,0)在椭圆C 的长轴上，点P 是椭圆上任意一点．当|MP →|最小时，点P 恰好落在椭圆的右顶点，求实数m 的取值范围．答案 (1)x 216＋y 212＝1 (2)1≤m ≤4解析 (1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，a b ＝23，a 2＝b 2＋4，解之得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝16，b 2＝12.∴椭圆方程为x 216＋y 212＝1.(2)设P (x 0，y 0)，且x 2016＋y 2012＝1，∴|MP →|2＝(x 0－m )2＋y 20 ＝x 20－2mx 0＋m 2＋12(1－x 2016)＝14x 20－2mx 0＋m 2＋12 ＝14(x 0－4m )2－3m 2＋12(－4≤x 0≤4)． ∴|MP →|2为关于x 0的二次函数，开口向上，对称轴为4m . 由题意知，当x 0＝4时，|MP →|2最小，∴4m ≥4，∴m ≥1. 又点M (m,0)在椭圆长轴上，∴1≤m ≤4.。
2016届高考数学一轮温习 题组层级快练88含解析
题组层级快练(八十八)1．如图，已知点A，D在直线BC上的射影别离为B，C，点E为线段AD的中点，那么BE与CE的大小关系为( )A．BE>CE B．BE<CEC．BE＝CE D．无法确定答案C解析过点E作EF⊥BC于F，那么AB∥EF∥CD.因为E为AD的中点，因此F为BC的中点．因此EF是BC的中垂线，那么BE＝CE.2．如图，E是▱ABCD的边AB延长线上的一点，且DC∶BE＝3∶2，那么AD∶BF＝( )A．5∶3 B．5∶2C．3∶2 D．2∶1答案 B解析由题可得△BEF∽△CDF，∴DCBE＝DFEF＝32，∴ADBF＝DEEF＝DFEF＋1＝52.3．如下图，在▱ABCD中，BC＝24，E，F为BD的三等分点，那么BM－DN＝( )A．6 B．3C．2 D．4答案 A解析∵E，F为BD的三等分点，四边形ABCD为平行四边形，∴M为BC的中点．连CF交AD于P，那么P为AD的中点，由△BCF∽△DPF及M为BC中点知，N为DP的中点，∴BM－DN＝12－6＝6，应选A.4.如右图，DE∥BC，DF∥AC，AD＝4 cm，BD＝8 cm，DE＝5 cm，那么线段BF的长为( )A ．5 cmB ．8 cmC ．9 cmD ．10 cm答案 D解析 ∵DE ∥BC ，DF ∥AC ， ∴四边形DECF 是平行四边形． ∴FC ＝DE ＝5 cm.∵DF ∥AC ，∴BF FC ＝BDDA.即BF 5＝84，∴BF ＝10 cm. 5．在Rt △ABC 中，∠CAB ＝90°，AD ⊥BC 于D ，AB ∶AC ＝3∶2，那么CD ∶BD ＝( ) A ．3∶2 B ．2∶3 C ．9∶4 D ．4∶9答案 D解析 由△ABD ∽△CBA ，得AB 2＝BD ·BC . 由△ADC ∽△BAC ，得AC 2＝DC ·BC .∴CD ·BC BD ·BC ＝AC 2AB 2＝49，即CD ∶BD ＝4∶9. 6.(2021·梅州联考)如下图，在矩形ABCD 中，AB ＝12，AD ＝10，将此矩形折叠使点B 落在AD 边的中点E 处，那么折痕FG 的长为( )A ．13答案 C解析 过A 作AH ∥FG 交DG 于H ， 那么四边形AFGH 为平行四边形． ∴AH ＝FG .∵折叠后B 点与E 点重合，折痕为FG ， ∴B 与E 关于FG 对称． ∴BE ⊥FG ，∴BE ⊥AH .∴∠ABE ＝∠DAH ，∴Rt △ABE ∽Rt △DAH .∴BE AB ＝AH AD. ∵AB ＝12，AD ＝10，AE ＝12AD ＝5，∴BE ＝122＋52＝13. ∴FG ＝AH ＝BE ·AD AB ＝656. 7.如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，EF ∥CD ，假设BC ＝3，DE ＝2，DF ＝1，那么AB 的长为________．答案 92解析AD AB ＝DE BC ＝23，DF AD ＝CE AC ＝13.∵BC ＝3，DE ＝2，DF ＝1，解得AB ＝92. 8.如图，在Rt △ABC 中，CD 为斜边AB 上的高，CD ＝6，且AD ∶BD ＝3∶2，那么斜边AB 上的中线CE 的长为________．答案562解析 ∵CD 2＝BD ·AD ， 设BD ＝2k ，那么AD ＝3k ，∴36＝6k 2，∴k ＝6，∴AB ＝5k ＝5 6. ∴CE ＝12AB ＝562.9.(2021·广东梅州联考)如图，在△ABC 中，BC ＝4，∠BAC ＝120°，AD ⊥BC ，过B 作CA 的垂线，交CA 的延长线于E ，交DA 的延长线于F ，那么AF ＝________.答案433解析 设AE ＝x ，∵∠BAC ＝120°，∴∠EAB ＝60°.又AE BE ＝x 3x ＝13， 在Rt △AEF 与Rt △BEC 中，∠F ＝90°－∠EAF ＝90°－∠DAC ＝∠C ， ∴△AEF ∽△BEC ，∴AF BC ＝AE BE. ∴AF ＝4×13＝433.10.如图，在正方形ABCD 中，P 是BC 上的点，且BP ＝3PC ，Q 是CD 的中点，求证：△ADQ ∽△QCP .证明 在正方形ABCD 中， ∵Q 是CD 的中点，∴AD QC＝2. ∵BP PC ＝3，∴BCPC＝4. 又∵BC ＝2DQ ，∴DQPC＝2. 在△ADQ 和△QCP 中，AD QC ＝DQPC，且∠D ＝∠C ＝90°，∴△ADQ ∽△QCP .11.如下图，AD ，BE 是△ABC 的两条高，DF ⊥AB ，垂足为F ，直线FD 交BE 于点G ，交AC 的延长线于H ，求证：DF 2＝GF ·HF .证明 在△AFH 与△GFB 中， 因为∠H ＋∠BAC ＝90°， ∠GBF ＋∠BAC ＝90°， 因此∠H ＝∠GBF .因为∠AFH ＝∠GFB ＝90°，因此△AFH ∽△GFB . 因此HF BF ＝AFGF，故AF ·BF ＝GF ·HF .因为在Rt △ABD 中，FD ⊥AB ， 由射影定理，得DF 2＝AF ·BF .故DF 2＝GF ·HF .12．如图，在△ABC 中，BC >AC ，点D 在BC 上，且DC ＝AC ，∠ACB 的平分线CF 交AD 于F ，点E 是AB 的中点，连接EF .(1)求证：EF ∥BC ；(2)假设四边形BDFE 的面积为6，求△ABD 的面积． 答案 (1)略 (2)8解析 (1)证明：∵CF 平分∠ACB ，∴∠ACF ＝∠DCF . 又∵DC ＝AC ，∴CF 是△ACD 的中线． ∴点F 是AD 的中点．∵点E 是AB 的中点，∴EF ∥BD ，即EF ∥BC . (2)由(1)知，EF ∥BD ，∴△AEF ∽△ABD . ∴S △AEF S △ABD ＝(AE AB)2. 又∵AE ＝12AB ，S △AEF ＝S △ABD －S 四边形BDFE＝S △ABD －6，∴S △ABD －6S △ABD ＝(12)2，∴S △ABD ＝8. ∴△ABD 的面积为8.13．(2021·贵阳市高三适应性监测考试)如图，已知圆O 两弦AB 与CD 交于点E ，EF ∥AD ，EF 与CB 延长线交于点F ，FG 切圆O 于点G .(1)求证：△BEF ∽△CEF ； (2)求证：FG ＝EF .证明 (1)因为EF ∥AD ，因此∠FEA ＝∠DAB .又∠DAB ＝∠BCD ，因此∠FEB ＝∠FCD . 又∠BFE ＝∠BFE ，因此△BEF ∽△ECF .(2)由(1)得EF FC ＝FB FE，因此EF 2＝FC ·FB . 又因为FG 2＝FB ·FC ，因此EF 2＝FG 2. 因此FG ＝EF .14.(2021·沧州七校联考)如图，点A 为圆外一点，过点A 作圆的两条切线，切点别离为B ，C ，ADE 是圆的割线，连接CD ，BD ，BE ，CE .(1)求证：BE ·CD ＝BD ·CE ；(2)延长CD ，交AB 于点F ，假设CE ∥AB ，证明：F 为线段AB 的中点． 证明 (1)如图，由题意可得 ∠ACD ＝∠AEC ，∠CAD ＝∠EAC ，∴△ADC ∽△ACE ，∴CD CE ＝AC AE .同理△ADB ∽△ABE ，BD BE ＝AB AE.又∵AB ＝AC ， ∴CD CE ＝BDBE，∴BE ·CD ＝BD ·CE . (2)如图，由切割线定理，得FB 2＝FD ·FC . ∵CE ∥AB ，∴∠FAD ＝∠AEC .又∵AC 切圆于C ，∴∠ACD ＝∠AEC ，∴∠FAD ＝∠FCA ，又∠F ＝∠F ， ∴△AFD ∽△CFA ，∴AF CF ＝FD AF，即AF 2＝FD ·FC . ∵FB 2＝AF 2，即FB ＝FA ，∴F 为线段AB 的中点．。
2016高考_龙泉一轮-数文-作业 (6)
题组层级快练(六)1．函数y ＝x 2－6x ＋10在区间(2,4)上是( )A ．递减函数B ．递增函数C ．先减后增D ．先增后减 答案 C解析 对称轴为x ＝3，函数在(2,3]上为减函数，在[3,4)上为增函数．2．下列函数中，在区间(－∞，0)上是减函数的是( )A ．y ＝1－x 2B ．y ＝x 2＋xC ．y ＝－－xD ．y ＝x x －1 答案 D3．(2014·陕西)下列函数中，满足“f (x ＋y )＝f (x )f (y )”的单调递增函数是( )A ．f (x )＝x 12B ．f (x )＝x 3C ．f (x )＝⎝⎛⎭⎫12xD ．f (x )＝3x 答案 D解析 根据各选项知，选项C ，D 中的指数函数满足f (x ＋y )＝f (x )·f (y )．又f (x )＝3x 是增函数，所以D 正确．4．函数f (x )＝1－1x －1( ) A ．在(－1，＋∞)上单调递增B ．在(1，＋∞)上单调递增C ．在(－1，＋∞)上单调递减D ．在(1，＋∞)上单调递减答案 B解析 f (x )可由－1x沿x 轴向右平移一个单位，再向上平移一个单位得，如图所示． 5．函数f (x )＝log 0.5(x ＋1)＋log 0.5(x －3)的单调递减区间是( )A ．(3，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，1)D ．(－∞，－1) 答案 A解析 由已知易得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，x －3>0，即x >3，又0<0.5<1， ∴f (x )在(3，＋∞)上单调递减．6．若函数y ＝log a (x 2＋2x －3)，当x ＝2时，y >0，则此函数的单调递减区间是( )A ．(－∞，－3)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(－1，＋∞)答案 A 解析 当x ＝2时，y ＝log a (22＋2·2－3)＝log a 5，∴y ＝log a 5>0，∴a >1.由复合函数单调性知，单减区间需满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3>0，x <－1，解之得x <－3. 7．若f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，4)上是减函数，则实数a 的取值范围是( )A ．a <－3B ．a ≤－3C ．a >－3D ．a ≥－3答案 B解析 对称轴x ＝1－a ≥4，∴a ≤－3.8．下列函数f (x )中，满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，都有f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1<0”的是( ) A ．f (x )＝1xB ．f (x )＝(x －1)2C ．f (x )＝e xD ．f (x )＝ln(x ＋1) 答案 A解析 满足f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1<0其实就是f (x )在(0，＋∞)上为减函数，故选A. 9．设a >0且a ≠1，则“函数f (x )＝a x 在R 上是减函数”是“函数g (x )＝(2－a )x 3在R 上是增函数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 若函数f (x )＝a x 在R 上为减函数，则有0<a <1.若函数g (x )＝(2－a )x 3在R 上为增函数，则有2－a >0，即a <2，所以“函数f (x )＝a x 在R 上是减函数”是“函数g (x )＝(2－a )x 3在R 上是增函数”的充分不必要条件，选A.10．已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 在区间(0，＋∞)上有最小值，则函数g (x )＝f (x )x在区间(0，＋∞)上一定( )A ．有最小值B ．有最大值C ．是减函数D ．是增函数 答案 A解析 ∵f (x )＝x 2－2ax ＋a 在(0，＋∞)上有最小值，∴a >0.∴g (x )＝f (x )x ＝x ＋a x －2a 在(0，a )上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增．∴g (x )在(0，＋∞)上一定有最小值．11．若奇函数f (x )在(－∞，0]上单调递减，则不等式f (lg x )＋f (1)>0的解集是________．答案 (0，110) 解析 因为f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )．又因为f (x )在(－∞，0]上单调递减，所以f (x )在[0，＋∞)上也为单调递减函数，所以函数f (x )在R 上为单调递减函数．不等式f (lg x )＋f (1)>0可化为f (lg x )>－f (1)＝f (－1)，所以lg x <－1，解得0<x <110. 12．若函数y ＝－|x |在[a ，＋∞)上是减函数，则实数a 的取值范围是________．答案 a ≥0解析 y ＝－|x |在[0，＋∞)上单调递减，∴a ≥0.13．函数f (x )＝|log a x |(0<a <1)的单调递增区间是________．答案 [1，＋∞)解析 函数图像如图.14．在给出的下列4个条件中， ①⎩⎪⎨⎪⎧ 0<a <1，x ∈(－∞，0)， ②⎩⎪⎨⎪⎧ 0<a <1，x ∈(0，＋∞)， ③⎩⎪⎨⎪⎧ a >1，x ∈(－∞，0)， ④⎩⎪⎨⎪⎧a >1，x ∈(0，＋∞) 能使函数y ＝log a 1x 2为单调递减函数的是________． (把你认为正确的条件编号都填上)．答案 ①④解析 利用复合函数的性质，①④正确．15．函数f (x )＝x x ＋1的最大值为________． 答案 12解析 当x ＝0时，y ＝0.当x ≠0时，f (x )＝1x ＋1x ，∵x ＋1x ≥2，当且仅当x ＝1x，即x ＝1时成立，故0<f (x )≤12，∴0≤f (x )≤12. 16．给出下列命题①y ＝1x在定义域内为减函数； ②y ＝(x －1)2在(0，＋∞)上是增函数；③y ＝－1x在(－∞，0)上为增函数； ④y ＝kx 不是增函数就是减函数．其中错误命题的个数有________．答案 3解析 ①②④错误，其中④中若k ＝0，则命题不成立．17．试判断函数f (x )＝x 2－1x在(0，＋∞)上的单调性，并加以证明． 答案 单调递增，证明略解析 方法一：函数f (x )＝x 2－1x在(0，＋∞)上是单调增函数．设0<x 1<x 2，则 f (x 1)－f (x 2)＝x 21－x 22－(1x 1－1x 2) ＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎫x 1＋x 2＋1x 1x 2. ∵x 2>x 1>0，∴x 1－x 2<0，x 1＋x 2＋1x 1x 2>0. ∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)．故f (x )在(0，＋∞)上单调递增．方法二：f ′(x )＝2x ＋1x 2. 当x >0时，f ′(x )>0，故f (x )在(0，＋∞)上为增函数．18．已知函数f (x )＝lg(x ＋a x－2)，其中a 是大于0的常数． (1)求函数f (x )的定义域；(2)当a ∈(1,4)时，求函数f (x )在[2，＋∞)上的最小值；(3)若对任意x ∈[2，＋∞)恒有f (x )>0，试确定a 的取值范围．答案 (1)a >1时，(0，＋∞)；a ＝1时，{x |x >0且x ≠1}；0<a <1时，{x |0<x <1－1－a 或x >1＋1－a }(2)lg a 2(3)(2，＋∞) 解析 (1)由x ＋a x －2>0，得x 2－2x ＋a x>0. ①当a >1时，x 2－2x ＋a >0恒成立，定义域为(0，＋∞)；②当a ＝1时，定义域为{x |x >0且x ≠1}；③当0<a <1时，定义域为{x |0<x <1－1－a 或x >1＋1－a }．(2)设g (x )＝x ＋a x－2，当a ∈(1,4)，x ∈[2，＋∞)时，g (x )＝x ＋a x－2在[2，＋∞)上是增函数． ∴f (x )＝lg(x ＋a x －2)在[2，＋∞)上的最小值为f (2)＝lg a 2. (3)对任意x ∈[2，＋∞)恒有f (x )>0，即x ＋a x－2>1对x ∈[2，＋∞)恒成立． ∴a >3x －x 2.而h (x )＝3x －x 2＝－(x －32)2＋94在x ∈[2，＋∞)上是减函数， ∴h (x )max ＝h (2)＝2.∴a >2.1．若函数f (x )在区间(－2,3)上是增函数，则y ＝f (x ＋5)的一个单调递增区间是( )A ．(3,8)B ．(－7，－2)C ．(－3，－2)D ．(0,5) 答案 B解析 令－2<x ＋5<3，得－7<x <－2.2．若函数y ＝f (x )在R 上单调递增，且f (m 2＋1)>f (－m ＋1)，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(0，＋∞)C ．(－1,0)D ．(－∞，－1)∪(0，＋∞) 答案 D解析 由题意得m 2＋1>－m ＋1，故m 2＋m >0，故m <－1或m >0.3．函数f (x )＝log 12(3－2x )的单调递增区间是________． 答案 (－∞，32) 4．函数y ＝x ＋x ＋4的最小值是________．答案 2解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋4≥0，得x ≥0. 又函数y ＝x ＋x ＋4在[0，＋∞)上是增函数， 所以函数的最小值为0＋4＝2.5．函数f (x )＝(13)x －log 2(x ＋2)在区间[－1,1]上的最大值为________． 答案 3解析 由于y ＝(13)x 在R 上单调递减，y ＝log 2(x ＋2)在[－1,1]上单调递增，所以f (x )在[－1,1]上单调递减．故f (x )在[－1,1]上的最大值为f (－1)＝3.6．已知函数f (x )的定义域为A ，若其值域也为A ，则称区间A 为f (x )的保值区间．若g (x )＝－x ＋m ＋e x 的保值区间为[0，＋∞)，则m 的值为________．答案 －1解析 由定义知，g (x )＝－x ＋m ＋e x 保值区间[0，＋∞)，又∵g ′(x )＝－1＋e x ≥0，∴g (x )为在[0，＋∞)上的增函数．∴当x ＝0时，g (0)＝0，即m ＋1＝0，∴m ＝－1.7．写出下列函数的单调区间：(1)y ＝|x 2－3x ＋2|； (2)y ＝2－x x ＋3. 解析 (1)y ＝|x 2－3x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x ＋2 (x ≤1或x ≥2)，－(x 2－3x ＋2) (1＜x ＜2). 根据图像，可知，单调递增区间是⎣⎡⎦⎤1，32和[2，＋∞)； 单调递减区间是(－∞，1]和⎣⎡⎦⎤32，2.(2)y ＝2－x x ＋3＝－⎝⎛⎭⎫1－5x ＋3＝－1＋5x ＋3. 方法一：图像法：作出函数的图像，得函数的单调递减区间是(－∞，－3)和(－3，＋∞)．方法二：利用已知函数的单调性：f (x )的图像是由y ＝5x的图像先向左平移3个单位，再向下平移一个单位得到的，∵y ＝5x在(－∞，0)，及(0，＋∞)上是减函数， ∴f (x )＝2－x x ＋3在(－∞，－3)，及(－3，＋∞)上也是减函数． 方法三：定义法(略)8．写出下列函数的单调区间：(1)y ＝|x －32|； (2)y ＝2x ＋4x －2； (3)y ＝|x |(1－x )． 答案 (1)减区间(－∞，32)，增区间(32，＋∞) (2)减区间(－∞，2)，(2，＋∞)(3)增区间⎣⎡⎦⎤0，12，减区间(－∞，0]，⎣⎡⎭⎫12，＋∞。
四川省成都龙泉第一中学2016届高三高考化学模拟训练试
成都龙泉第一中学高2013级高考模拟试卷（一）化学（考试时间40分钟满分100分）本卷可能用到的相对原子质量：H—1 C—12 O—16 N—14 Na—23 Mg—24 Al—27 Fe—56 Cu—64 K—39 Ca—40 I—127 Ag—108 Cl—35.5第Ⅰ卷（选择题共42分）选择题（每题只有一个正确选项，每题6分，共42分）1、2015年两会期间，国务院总理李克强在回答中外记者提问时说，要打造中国经济的升级版，就包括在发展中要让人民呼吸洁净的空气，饮用安全的水，食用放心食品。
下列说法不正确的是A、如今每家每户结束液化煤气使用天然气，这一举措有利于降低氮氧化合物的排放。
B、电动汽车、甲醇燃料汽车的出现，有利于节能减排，保护环境。
C、利用天阳能等清洁能源代替化石燃料，有利于节约资源，造福后代。
D、减少烟花的燃放量，有利于减少雾霾天气的出现。
2、下列实验操作或装置符合实验目的的是()3 、阿伏加德罗常数约为6.02×1023mol-1。
下列叙述中正确的是（）A．标准状况下，2.24L CCl4中约含有2.408×1024个氯原子B．常温常压下，31g白磷P4和红磷P8的混合物中约含有6.02×1O23个磷原子C．标准状况下，4.48L水含有1.204×1O23个氧原子D．1mol H2O2在MnO2催化作用下完全反应转移的电子数约为1.204×1024个电子4、阿司匹林也叫乙酰水杨酸，是一种历史悠久的解热镇痛药，诞生于1899年3月6日。
用于治感冒、缺血性心脏病、心绞痛、心肺梗塞、脑血栓形成，也可提高植物出芽率，其结构如下，下列说法不正确的是：A、阿司匹林的分子式是：C9H8O4B、阿司匹林可以通过邻羟基苯甲酸与乙酸酯化反应制备，乙酸的用量应过量，可以提高邻羟基苯甲酸的转化率，同时也起到了溶剂的作用。
C、原子经济性反应指原料分子中的原子全部转化成所需要的产物，不产生副产物，实现零排放，则阿司匹林制备符合原子经济性。
湖北省荆门市龙泉中学2016届高三5月月考数学(理)试题 Word版含答案
龙泉中学2016届高三5月月考数学（理工类）本试卷共 2 页，共 24 题，考生必答 22 题。
满分150分，考试用时120分钟。
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
请将正确的答案填涂在答题卡上。
）1．若全集U R =，集合{}(){}2320,log 21A x x x B x x =--≥=-≤，则()U A C B =A ．{}2x x < B ．{}12x x x <-≥或 C ．{}2x x ≥ D ．{}12x x x ≤->或 2．设复数12,z z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，若112,z i i =-是虚数单位，则21z z 的虚部为 A ．45-B ．45C ．35-D ．353．阅读下列程序框图，运行相应程序，则输出的S 值为A ．18-B ．132C ．116D ．184．若61nx x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中含有常数项，则n 的最小值等于A ．3B ．4C ．5D ．65．若实数,x y 满足不等式组5,230,10,y x y x y ≤⎧⎪-+≤⎨⎪+-≥⎩则2z x y =+的最 大值是A ．15B ．14C ．11D ．106．已知点()()2,0,2,0A B -，若圆()()22230x y r r -+=>上存在点P （不同于点A,B ）使得PA PB ⊥，则实数r 的取值范围是开始n=1,S=1S=S·cos 129n π-⋅3n ≥输出S 结束n=n+1是否A ．[]3,5B ．(]1,3C ．[]1,5D ．()1,57．已知双曲线2222:1x y C a b-= (a >0，b >0)的焦距为25，抛物线21144y x =+与双曲线C的渐近线相切，则双曲线C 的方程为A ．22182x y -= B ．22128x y -= C ．2214x y -= D ．2214y x -= 8．三棱锥P ABC -中, 已知3APC BPC APB π∠=∠=∠=,点M 是ABC ∆的重心,且9PA PB PB PC PC PA ⋅+⋅+⋅=u u r u u r u u r u u u r u u u r u u r ,则||PM u u u r的最小值为A ．2B ．433C ．6D ．22 9．命题p ：“1≤+b a ”；命题q ：“对任意的R x ∈，不等式1cos sin ≤+x b x a 恒成立”，则p 是q 的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 10．一个几何体由多面体和旋转体的整体或一部分组合而成，其三视图如图所示，则该几何体的体积是 A ．31+22π B ．1π+C ．126π+D ．1+2π11．从1,2,3,4,5中挑出三个不同数字组成五位数，则其中有两个数字各用两次（例如，12332）的概率为 A ．25 B ．35C ．47D ．57 12．已知xme x g x x f =-=)(,3)(2若方程)()(x g x f =有三个不等的实根，则m 的取值范围是 A ．)6,0(3e B ．)6,3(3e - C ．)6,2(3e e - D ．)2,0(e二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）11111121侧视图正视图俯视图AB CD13．若()xxae e x f -+=为偶函数，则()ee xf 112+<-的解集为 ．14．在一项田径比赛中，甲、乙、丙三人的夺冠呼声最高．观众A 、B 、C 做了以下预测： A 说：“我认为冠军不会是甲，也不会是乙”． B 说：“我觉得冠军不会是甲，冠军会是丙”． C 说：“我认为冠军不会是丙，而是甲”．比赛结果出来后，发现A 、B 、C 三人中有一人的两个判断都对，一人的两个判断都错， 还有一人的两个判断一对一错，根据以上情况可判断冠军是 ．15．设,a b 为单位向量，若向量c 满足()c a b a b -+=-，则c 的最大值是 ． 16．对于给定的正整数n 和正数R ，若等差数列123,,,a a a 满足22121n a a R ++≤，则21222341n n n n S a a a a ++++=++++ 的最大值为__________________．三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）如图，在△ABC 中，2AB =，1cos 3B =，点D 在线段BC 上．（Ⅰ）若3π4ADC ∠=，求AD 的长； （Ⅱ）若2BD DC =，△ACD 的面积为423，求sin sin BAD CAD∠∠的值．18．（本小题满分12分）语文成绩服从正态分布2(100,17.5)N ，数学成绩的频率分布直方图如下：（Ⅰ）如果成绩大于135的为特别优秀，这500名学生中本次考试语文、数学特别优秀的大约各多少人？（假设数学成绩在频率分布直方图中各段是均匀分布的）（Ⅱ）如果语文和数学两科都特别优秀的共有6人，从（Ⅰ）中的这些同学中随机抽取3人，设三人中两科都特别优秀的有X 人，求X 的分布列和数学期望．（附参考公式） 若2(,)X N μσ ，则 ()0.68P X μσμσ-<≤+=， (22)0.96P X μσμσ-<≤+=．19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，60ABC ∠= ，侧面PBC 是边长为2的等边三角形，点E 是PC 的中点，且平面PBC ⊥平面ABCD ．（Ⅰ）求异面直线PD 与AC 所成角的余弦值；（Ⅱ）若点F 在线段PC 上移动，是否存在点F 使平面BFD 与平面APC 所成的角为90 ？若存在，指出点F 的位置，否则说明理由．20．（本小题满分12分）已知点P 是直线2y x =+与椭圆222:1(1)x y a aΓ+=>的一个公共点，12,F F 分别为该椭圆的左右焦点，设12PF PF +取得最小值时椭圆为C ． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知,A B 是椭圆C 上关于y 轴对称的两点，Q 是椭圆C 上异于,A B 的任意一点，直线,QA QB 分别与y 轴交于点(0,),(0,)M m N n ，试判断mn 是否为定值，并说明理由．21．（本小题满分12分） 已知函数()()()()21ln 10,12x fx ax x b x a g x e x =--+>=--，曲线()y f x =与()y g x =在原点处有公共切线．（Ⅰ）若0x =为函数的极大值点，求()f x 的单调区间（用a 表示）； （Ⅱ）若0x ∀≥，()()212g x f x x ≥+，求a 的取值范围．请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．答题时用2B 铅笔在答题卡上把所选的题号涂黑． 22．(本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC 、BD 交于点Q ，AC 平分DAB ∠，AP 为梯形ABCD 外接圆的切线，交BD 的延长线于点P ． （Ⅰ）求证：2PQ PD PB =⋅； （Ⅱ）若3AB =，2AP =，43AD =，求AQ 的长．23．(本小题满分10分）选修44-：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为1cos ,sin x y αα=+⎧⎨=⎩(α为参数)；在以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C 的极坐标方程为2cos sin ρθθ=．（Ⅰ）求曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的直角坐标方程；（Ⅱ）若射线l ：y kx =(0)x ≥与曲线1C ，2C 的交点分别为,A B （,A B 异于原点），当斜率(1,3]k ∈时，求||||OA OB ⋅的取值范围．AB CDPQ24．(本小题满分10分）选修45-：不等式选讲 设函数2()3f x x x =-．（Ⅰ）若1(,0)λμλμ+=>，求证1212()()()f x x f x f x λμλμ+≤+； （Ⅱ）若对任意12,[0,1]x x ∈，都有1212()()f x f x L x x -≤-，求L 的最小值．龙泉中学2016届高三5月月考数学（理）参考答案一．选择题： 1-5 BADCB 6-10 DCAAB 11-12 BA 二．填空题： 13．()2,0 14．甲 15．22 16．(21)102n R+三．解答题：17．解：（Ⅰ）在三角形中，1cos ,3B = 22sin .3B ∴= …………2分在ABD ∆中，由正弦定理得sin sin AB AD ADB B=∠, 又2AB =，4ADB π∠=，22sin .3B =83AD ∴=． …………5分 （Ⅱ） 2BD DC = ,2ABD ADC S S ∆∆∴=,3ABC ADC S S ∆∆=, 又423ADC S ∆=，42ABC S ∆∴=， …………7分 1sin 2ABC S AB BC ABC ∆=⋅∠ ,6BC ∴=， 1sin 2ABDS AB AD BAD ∆=⋅∠ ，1sin 2ADC S AC AD CAD ∆=⋅∠， 2ABD ADC S S ∆∆=sin 2sin BAD ACCAD AB∠∴=⋅∠， ………9分 在ABC ∆中，由余弦定理得2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-⋅⋅∠．42AC ∴=，sin 242sin BAD AC CAD AB∠∴=⋅=∠． …………12分18．解：（Ⅰ）语文成绩特别优秀的概率为()11(135)10.960.022p P X =≥=-⨯= (1)分数学成绩特别优秀的概率为230.0016200.0244p =⨯⨯= …………3分 语文成绩特别优秀人数为5000.0210⨯=人，数学成绩特别优秀人数为5000.02412⨯=人 …………5分 （Ⅱ）语文数学两科都优秀的6人，单科优秀的有10人， X 所有可能的取值为0，1，2，332110106331616327(0),(1),1456C C C P X P X C C ======1231066331616151(2),(3),5628C C C P X P X C C ======…………10分分布列略 …………11分 数学期望3271519()0123145656288E X =⨯+⨯+⨯+⨯=…………12分19．解：（Ⅰ）因为平面PBC ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，60ABC ∠= ，故2AB BC AC PC PB =====取BC 中点O ，则A OB C⊥，,PO BC PO AO ⊥⊥以O 为坐标原点，OP 为x 轴，OC 为y 轴建立平面直角坐标系，(0,0,0)O ，(0,0,3)A ,(0,1,0)B -,(0,1,0)C (3,0,0)P ,(0,2,3)D ,31(,,0)22E…………2分 （Ⅰ）(3,2,3)PD =- ，(0,1,3)AC =-，则34310PD =++= ，132AC =+= ，231PD AC ⋅=-=-设异面直线PD 与AC 所成角为θ,110cos 20210PD AC PD AC θ⋅-=== 所以异面直线PD 与AC 所成角的余弦值为1020…………6分(Ⅱ)设存在点F ，使平面BFD 与平面APC 所成的角为90 ，设(,,0)E a b ，因为,,P C F 三点共线，PF PC λ= ，(3,,0)PF a b =-，(3,1,0)PC =- 所以，(1)3,a b λλ=-=，((1)3,,0)F λλ-，设平面BFD 的一个法向量为()1111,,x y z =m ，11111103300(1)3(1)0BD y z BF x y λλ⎧⎧⋅=+=⎪⎪⇒⎨⎨⋅=-++=⎪⎪⎩⎩m m令13y =，11,3,31λλ+⎛⎫=- ⎪-⎝⎭m ．211()121λλ+=+-m (8)分设平面APC 的一个法向量为()2222,,x y z =m ，2222220330030AP x z PC x y ⎧⎧⋅=-=⎪⎪⇒⎨⎨⋅=-+=⎪⎪⎩⎩m m令21x =，()21,3,1=m ．21315=++=m ,又12113311λλλλ++⋅=+-=--m m …………10分 若平面BFD 与平面APC 所成的角为90 ，则1221211cos9015()121λλλλ+⋅-==+⨯+-m m m m ， 故101λλ+=-，即1λ=-，此时(23,1,0)E -，点F 在CP 延长线上， 所以，在PC 边上不存在点F 使平面BFD 与平面APC 所成的角为90 …………12分20．解：解法一：（Ⅰ）将2y x =+代入椭圆方程2221x y a+=，得2222(1)430a x a x a +++=，直线2y x =+与椭圆有公共点，∴422164(1)30a a a ∆=-+⨯≥，得23a ≥，3a ∴≥ ………3分又由椭圆定义知122PF PF a +=，故当3a =时，12PF PF +取得最小值，此时椭圆C 的方程为2213x y +=． ………………4分（Ⅱ）设111100(,),(,),(,)A x y B x y Q x y -，且(0,),(0,)M m N n ，QA QM k k =，01001y y y m x x x --∴=-，即001001()x y y y m x x --=-，0m y ∴=-00101()x y y x x --=011001x y x y x x --．…………6分 同理可得n =011001x y x y x x ++． (7)分222201100110011022010101x y x y x y x y x y x y mn x x x x x x -+-∴=⋅=-+-， ………………9分 又220013x y +=，221113x y +=，220013x y ∴=-，221113x y =-， 22220122010122220101(1)(1)331x x x x x x mn x x x x ----∴===-- 则mn 为定值1．……………12分解法二：（Ⅰ）由对称原理可知，作1F 关于直线2y x =+的对称点1F '， 连结12F F '交直线于点P 时，12PF PF +取得最小值，此时满足1212122PF PF PF PF F F a ''+=+==． ………………1分设点12(,0),(,0)F c F c -，可求得点1(,0)F c -关于直线的对称点1F '的坐标为()2,2c --+，∴2212(2)(2)2F F c c a '=--+-+=，即2282c a +=， ………………3分又221c a =-，解得23a =，此时椭圆C 的方程为2213x y +=．………………4分 （Ⅱ）同解法一． 21．解：22． (1) PA 为圆的切线∴PAD ABD ∠=∠，AC 平分DAB ∠BAC CAD ∴∠=∠PAD DAC BAC ABC PAQ AQP ∴∠+∠=∠+∠∴∠=∠PA PQ ∴=PA 为圆的切线 2PA PD PB ∴=⋅2PQ PD PB ∴=⋅． ………………5分(2) PAD PBA ∆∆ PBA ∆92PA PB PB AD AB ∴=∴=2PA PD PB =⋅ 89PD ∴=， 810299AQ DQ PA PD ∴==-=-=． ………………10分23．解：（Ⅰ）1C 的极坐标方程为2cos ρθ=． ………………3分2C 的直角坐标方程为2x y =． …………………5分 （Ⅱ）设射线l ：y kx =(0)x ≥的倾斜角为α，则射线的极坐标方程为θα=，且tan (1,3]k α=∈，联立2cos ,ρθθα=⎧⎨=⎩得1||2cos OA ρα==，………7分联立2cos sin ,ρθθθα⎧=⎨=⎩得22sin ||cos OB αρα==， ………………9分 所以122sin ||||2cos 2tan 2cos OA OB k αρρααα⋅=⋅=⋅==(2,23]∈，即||||OA OB ⋅的取值范围是(2,23]．………………10分 24．（Ⅰ）∵()()()1212f x x f x f x λμλμ+-+⎡⎤⎣⎦()()()()22212121122333x x x x x x x x λμλμλμ⎡⎤=+-+--+-⎣⎦()()2222112211221212x x x x x x x x λλλμμμλμλμλμ=-++-=-+- ()2120x x λμ=--≤ ∴()()()fλx μx λf x μf x ≤1212++ ………………5分（Ⅱ）∵()()221211221212333f x f x x x x x x x x x -=--+=-+-∵120,1x x ≤≤，∴1202x x ≤+≤，∴12331x x -≤+-≤-，∴1233x x +-≤，∴使()()1212f x f x L x x -≤-恒成立的L 的最小值是3． ………………10分。
湖北省荆门市龙泉中学2016届高三5月月考文数试题解析(
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知全集U R =，集合{}{}|3,|2A x x B x x =≤=<，则()U C B A =（ ）A ．{}|2x x ≤B ．{}|13x x ≤≤C ．{}|23x x <≤D ．{}|23x x ≤≤ 【答案】D考点：集合交集补集运算． 2.已知i 为虚数单位，则复数21ii=+（ ） A ．1i + B ．1i - C ．1i -+ D ．1i -- 【答案】A 【解析】试题分析：因21i i =+i i i +=-12)1(2,故应选A. 考点：复数的运算．3.已知向量()()2,1,0,1a b =-=，则2a b +=（ ）A ．B ．5C ．2D ．4 【答案】B 【解析】试题分析：因为()()2,1,0,1a b =-=,所以)1,2(2=+b a ,故5|2|=+b a ，应选B.考点：向量的模和坐标形式的运算．4.设x R ∈，且0x ≠，“112x⎛⎫> ⎪⎝⎭”是“11x <”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A考点：充分必要条件．5.执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）A ．42B ．19C ．8D ．3【解析】试题分析：当3112,1=+⨯==S i ;8232,2=+⨯==S i ;19382,3=+⨯==S i ,当4=i 时,输出19=S ，故应选B.考点：算法流程图的识读．6.已知某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积是（ ）A ．3+．3 C ．1+D ．1+【答案】B考点：三视图的识读和几何体的侧面积的计算． 7.已知sin cos 66ππαα⎛⎫⎛⎫-=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则tan α=（ ） A ．-1 B ．0 C ．12D ．1 【答案】A试题分析：由可得ααααsin 21cos 23sin 23cos 21-=-,即0cos sin =+αα,则1tan -=α,故应选A.考点：三角变换公式．8.某单位为了了解办公楼用电量y （度）与气温x （0C ）之间的关系，随机统计了四个工作日的用电量与当天平均气温，并制作了对照表：由表中数据得到回归方程ˆ2yx a =-+，当气温为04C -时，预测用电量为（ ） A ．68度 B ．52度 C ．12度 D ．28度 【答案】A考点：线性回归方程及运用．9.在矩形ABCD 中，2,1AB AD ==，点P 为矩形ABCD 内一点，则使得1AP AC ≥的概率为（ ） A ．18 B ．14 C ．34D ．78【答案】D 【解析】试题分析：建立如所示的平面直角坐标系,设)2,0(),1,2(),0,2(),0,0(),,(D C B A y x P ,则(,)AP x y =，(2,1)AC =,故y x +=⋅2,故由题设可得12≥+y x ,即点P 满足的条件是12≥+y x ,画出其图象可知点P 所在的区域的面积,即为四边形DEBC 的面积47412=-=S ,故其概率为87247==P ,应选D.考点：几何概型公式及运用．【易错点晴】本题考查的是线性约束条件与数形结合的数学思想的运用概率问题,解答时先构建平面直角坐标系,准确的画出满足题设条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤≤≤≤121020y x y x 的平面区域,然后求该平面区域所表示的图形的面积47=S ,最后再借助几何概型的计算公式求出其概率为87=P .解答本题的难点是如何处理向量的数量积,如果直接运用向量的代数形式的运算则很难获得答案.10.已知双曲线2222:1(0,0x y C a b a b-=>>的虚轴长是实轴长的2倍，则此双曲线的离心率为（ ）A ．2 C D 【答案】D考点：双曲线的基本量及运算．11.已知ABC ∆中，,,a b c 分别为内角,,A B C 所对的边长，且4,5,tan tan tan a b c A B A B =+=+，则ABC ∆的面积为（ ）A ．32 B．．2D ．52【答案】C 【解析】试题分析：由题设可得3)tan(-=+B A ,则32π=+B A ,所以3π=C .由余弦定理可得 3cos 2222πab b a c -+=,即b b b 416)5(22-+=-,解之得23=b ,所以1sin 23S ab π=13422=⨯⨯=,故应选C. 考点：三角变换公式、余弦定理及三角形的面积公式．【易错点晴】本题设置的目的是考查三角变换中两角和的正切公式,余弦定理,三角形的面积公式等基础知识和基本方法.解答时先依据题设中的B A B A tan tan 33tan tan =++求出3)tan(-=+B A ,继而求出32π=+B A 和3π=C ,再运用余弦定理求出边23=b ,最后应用三角形的面积公式求该三角形的面积为233=S . 12.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且在区间[)0,+∞上是增函数，若()()1ln ln 12f x f x f ⎛⎫- ⎪⎝⎭<，则x 的取值范围是（ ）A ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()0,eC ．1,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．(),e +∞ 【答案】C考点：函数的单调性、奇偶性的运用及对数不等式的解法．【易错点晴】本题所呈现的形式较为复杂,表面上看较难求解,其实仔细观察不难发现:x xln 1ln-=,即x x ln ,1ln 是互为相反数,因此为函数是奇函数提供了用武之地.解答时充分借助这一点将所给不等式()()1ln ln 12f x f x f ⎛⎫- ⎪⎝⎭<进行化简,然后再运用函数的单调性将函数符号f 和对数符号去掉,从将不等式进行合理的转化与化归,最后达到求解的目的.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13.已知实数,x y 满足1200x y x y ≤+≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最大值为___________． 【答案】4考点：线性规划的知识及运用．【易错点晴】线性规划是高中教材中运用数形结合的良好沃土.本题是一道典型的线性约束条件下求目标函数的最大值问题.解答这类问题的关键是精准地画出不等式组所表示的平面区域,然后平行移动目标函数所表示的动直线,结合所画图形的特征及欲求最值的特点,数形结合将符合条件的点代入求出其最值.本题解答时,移动的动直线是x y 2-=,不难发现z 是该动直线在y 轴上的截距,移动过程中经过点)0,2(P 时,截距最大,所以将点)0,2(P 的坐标直接代入2z x y =+就求出了最大值4.14. 在平面直角坐标系xOy 中，点()2,3P m -在抛物线2y mx =的准线上，则实数m =__________．【答案】41 【解析】试题分析：因2y mx =的准线为4m x -=，故由题设可得42m m -=-,解之得41=m . 考点：抛物线的知识及运用．15.函数()12,01ln ,0x x x f x x x -⎧+≤=⎨-+>⎩的零点个数为____________．【答案】2考点：函数零点的概念与图象的运用．16.如图1111ABCD A BC D -是棱长为1的正方体，S ABCD -是高为1的正四棱锥，若点S ，1111,,,A B C D 在同一球面上，则该球的表面积为___________．【答案】8116π【解析】试题分析：设球的半径为R ，因点S 到面1111D C B A 的距离是2，而经过1111D C B A 的圆面的半径为22,球心到这个圆面的距离为R -2,则222)22()2(R R =+-,解之得89=R ,故球的面积为168164814ππ=⨯=S . 考点：球的面积公式及球心距的计算公式．【易错点晴】本题是一道典型的几何体的外接球的面积计算的问题.设置的目的是考查和检测空间的距离与基本量的计算问题和分问题解决问题的能力.解答本题的关键是求出外接球的半径,如何利用题设条件建构含球的半径的方程是解答好本题的关键之所在.求解时充分借助正方体和正四棱锥都是对称图形,将球心设在四棱锥与正方体底面的中心的连线上,借助截面圆的圆心与球心连线垂直于截面圆这一事实,运用勾股定理建立了方程222)22()2(R R =+-求出了半径R ,从而使本题获解. 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）已知公差为正数的等差数列{}n a 满足11341,2,3,5a a a a =-+成等比数列． （1）求{}n a 的通项公式；（2）若()1nn n b a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 【答案】(1) 43n a n =-；(2) 2,21,n n n T n n ⎧=⎨-+⎩偶数为奇数.综上，2,21,n n n T n n ⎧=⎨-+⎩偶数为奇数．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分考点：等差数列、等比数列的有关知识及运用． 18.（本小题满分12分）某班倡议假期每位学生至少阅读一本名著，为了解学生的阅读情况，对该班所有学生进行了调查，调查 结果如下表：（1）试根据上述数据，求这个班级女生阅读名著的平均本数；（2）若从阅读5本名著的学生中任选2人交流读书心得，求选到男生和女生各1人的概率；（3）试比较该班男生阅读名著本数的方差21s 与女生阅读名著本数的方差22s 的大小（只需写出结论）．【答案】(1)3；(2)53；(3)2212s s >.（3）2212s s >．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分考点：统计中的平均数、方差和概率中的古典概型公式的运用． 19.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，点,M N 分别为线段,PB PC 上的点，MN PB ⊥．（1）求证：平面PBC ⊥平面PAB ；（2）求证：当点M 不与点,P B 重合时，//MN 平面ABCD ；（3）当3,4AB PA ==时，求点A 到直线MN 距离的最小值． 【答案】(1) 证明见解析；(2)证明见解析；(3)125.（3）解：因为//MN BC ，所以MN ⊥平面PAB ，而AM ⊂平面PAB ，所以MN AM ⊥， 所以AM 的长就是点A 到MN 的距离，而点M 在线段PB 上，所以A 到直线MN 距离的最小值就是A 到线段PB 的距离，在Rt PAB ∆中，3,4AB PA ==，所以A 到直线MN 的最小值为125． 考点：空间直线与平面的平行于垂直的判定定理及运用．【易错点晴】立体几何是高中数学的重要内容之一,也理解高考必考的题型之一.本题考查是空间的直线与平面的平行和垂直问题,解答时充分借助已知条件与判定定理进行合理分析推证,从而使本题获解.值得提出的是在证明直线与平面平行时,一定要注意判定定理中的面外的线和面内的线的表达,这是解答这类问题最容易出错的地方,许多同学都是因为少写了二者之一而被扣分.20.（本小题满分12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，经过点()0,1，离心率为2．（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线:1l x my =+与椭圆C 交于A B 、，点A 关于x 轴的对称点A '（A '与B 不重合），则直线A B '与x 轴是否交于一定点？若是，请写出定点坐标，并证明你的结论；若不是，请说明理由．【答案】(1) 2214x y +=；(2) 是，定点为()4,0. 经过()()1122,,,A x y B x y '-的直线方程为()121121y y y y x x x x ++=--，令0y =，则122112y y y x x y y +=+，又因为11221,1x my x my =+=+，所以()()2212211212121226211244424m my my y my my y y y m m x m y y y y m --+++++++====++-+，即直线A B '与x 轴交于一定点()4,0．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 考点：椭圆的有关知识及直线与椭圆的位置关系的运用． 21.（本小题满分12分）已知函数()()12ln 2f x a x ax x=-++． （1）当0a <时，讨论()f x 的单调性；（2）若对任意的()[]123,2,,1,3a x x ∈--∈恒有()()()12ln 32ln 3m a f x f x +->-成立，求实数m 的 取值范围．【答案】(1) 当2a =-时，递减区间为()0+∞，，当20a -<<时，递减区间为110,,,2a ⎛⎫⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，递增区间为11,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，当2a <-时，递减区间为110,,,2a ⎛⎫⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，递增区间为11,2a ⎛⎫-⎪⎝⎭；(2)13,3⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦.考点：导数在研究函数的单调性最值等方面的运用．【易错点晴】函数是高中数学的核心内容,也是高考必考的重要考点.运用导数这一工具研究函数的单调性和极值最值等问题是高考的基本题型.解答这类问题时,一定要先求导,再对求导后的导函数的解析式进行变形(因式分解或配方),其目的是搞清求导后所得到的导函数的值的符号,以便确定其单调性,这是解答这类问题容易忽视的.请考生在第22、23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知直线l的参数方程为2x m y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2222cos 3sin 12ρθρθ+=，且曲线C 的左焦点F 在直线l上．（1）若直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求FA FB 的值； （2）求曲线C 的内接矩形的周长的最大值． 【答案】(1)2；(2)16.考点：直线的参数方程、椭圆的参数方程及运用． 23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知x R ∃∈，使不等式12x x t ---≥成立． （1）求满足条件的实数t 的集合T ；（2）若1,1m n >>，对t T ∀∈，不等式33log log m n t ≥恒成立，求m n +的最小值． 【答案】(1) {}|1t T t t ∈=≤；(2)6. 【解析】试题分析：(1)运用分类讨论的方法分段求解；(2)借助题设条件及基本不等式求解.考点：绝对值不等式、基本不等式及运用．。
龙泉中学2016届高三周练理科数学试卷(30)
龙泉中学2016届高三周练理科数学试卷(30)龙泉中学 2016 届高三周练理科数学试卷（30）一．选择题 (本大题共 12 个小题，每题 5 分，共 60 分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的 )1．若会合 A[2,3] ， B{ x | x 2 5 x 6 0}，则 A BA ． {2,3}B ．C ． 2D ． [2,3]2．若复数 z 知足 zi = 1 + i ，则 z 的共轭复数是A ． -1 - iB ． 1 + iC ． -1 + iD ．1 - i3．若 m = 6 ， n = 4 ，依据以下图的程序框图运转后，输出的结果是A ．1B ． 100100 C ． 10D ． 1 4．已知向量 a ， b 知足 ab (1, 3) ， a b (3,7) ， a bA ． -12B ． -20C ． 12D ． 205．若函数 f (x)2x 2, x 02x4, x，则 f ( f (1)) 的值为A ． -10B ． 10C ． -2D ．26．设 a,bR ，若 p : a b1 1，则 p 是 q 的， q :baA ．充足不用要条件B ．必需不充足条件C ．充要条件D ．既不充足也不用要条件7．若点 P(cos ,sin ) 在直线 y2x 上，则 cos(2) 的值等于2A ． 4B ． 4C ． 3D ． 35 5 5 58．数学活动小组由 12 名同学构成，现将 12 名同学均匀分红四组分别研究四个不一样课题，且每组只研究一个课题，并要求每组选出一名组长，则不一样的分派方案的种数为A ． C 123C 93C 634B ．C 123 C 93C 63 343 A 4A 3C 3 C 3C 333 3 33C ． 1244D ． C 12C 9C 64A 49．从某大学随机抽取的5 名女大学生的身高 x （厘米）和体重 y （公斤）数据以下表 x165160175 155 170y5852 624360依据上表可得回归直线方程为 y? 0.92 x a? ，则 a?A ． -96.8B ．96.8C ． -104.4D ． 104.410．已知某几何体的三视图以下图，则该几何体的表面积为A ．7B ．173 2C ． 1317 3 10D ．211．过双曲线 x 2y 2 1的右支上一点 P ，分别向圆 C :( x 4)2y 2 4和圆C 2: ( x 4)2y 2 1作151切线，切点分别为M,N ,则|PM |2| PN |2 的最小值为A ．10B ． 13C ． 16D ． 1912．已知定义在 R 上的奇函数 f (x) 的图象为一条连续不停的曲线，f (1 x) f (1 x) ， f (1)0 < x < 1 时， f (x) 的导函数 f ( x) 知足： f ( x) f (x) ，则 f(x) 在 [2015,2016] 上的最大A ．aB ． 0C ． -aD ． 2016二、填空题（本大题共4 小题，每题5 分，共 20 分）x y 1 013．若实数 x ， y 知足 xy 0 ，则 zx 2 y 的最大值是 __________．x14．已知三棱锥 P-ABC ，若 PA ， PB ， PC 两两垂直，且 PA = 2 ，PB = PC = 1，则三棱锥 P球半径为 __________ ．15．已知圆 ( x 1)2 y 24 与抛物线 y 2 mx(m 0) 的准线交于 A 、B 两点，且 | AB | 2 3 ，__________ ．16．已知ABC 知足 A， ( AB AC) BC 0 ，点 M 在 ABC 外，且 MB = 2MC = 2，则3范围是 __________．三、解答题：（本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分 12 分）已知数列 { a n } 知足 a 13，且 a n 13a n 1 ， b n a n 1 ．22（Ⅰ）求证：数列 {b n } 是等比数列；（Ⅱ）若不等式b n 1 m 对 nN * 恒成立，务实数 m 的取值范围．b n 1 1龙泉中学2016届高三周练理科数学试卷(30)18．（本小题满分 12 分）在某批次的某种日光灯管中，随机地抽取500 个样品，并对其寿命进行追踪检查，将结果列成频次散布直方图以下．依据寿命将灯管分红优等品、正品和次品三个等级，此中寿命大于或等于500 天的灯管是优等品，寿命小于（Ⅰ）依据这 500 个数据的频次散布直方图，求出这批日光灯管的均匀寿命； （Ⅱ）某人从这个批次的灯管中随机地购置了 4 个进履行用，若以上述频次作为概率，用X 表示此人所购置的灯管中优等品的个数，求X 的散布列和数学希望．19．（本小题满分 12 分）如图，菱形 ABCD 中，∠ ABC = 60 °， AC 与 BD 订交于点 O ， AE ⊥平面 ABCD ，CF ∥ AE ， AB =AE=2．（Ⅰ）求证： BD ⊥平面 ACFE ；（Ⅱ）当直线 FO 与平面 BED 所成角的大小为45°时，求 CF 的长度．20．（本小题满分 12 分）2 23，且点 ( 2,已知椭圆 C ：x2y 2 1(a b 0) 的离心率为2 )在C 上．ab22（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；（Ⅱ）直线 l 经过点 P(1,0) ，且与椭圆C 有两个交点 A 、B ，能否存在直线l 0： x = x 0（此中 x 0 > 2 ），d A | PA| x 0 的值；若不存在，请说明原因．使得 A 、B 到 l 0 的距离 d A 、 d B 知足恒成立？若存在，求d B|PB|已知函数 f (x) e xax 2 ，曲线 yf ( x) 在 x = 1 处的切线方程为 y bx 1 ．（Ⅰ）求 a ， b 的值；（Ⅱ）求函数 f (x) 在 [0,1] 上的最大值；（ III ）证明：当 x > 0时， e x(1 e) x xln x 10 ．请考生在第 22、 23、24 三题中任选一题做答，假如多做，则按所做的第一题记分．答题时用答题卡上把所选的题号涂黑．22．( 本小题满分 10 分）选修 4— 1：几何证明选讲如图， EF 是⊙ O 的直径， AB ∥ EF ，点 M 在 EF 上， AM 、 BM 分别交⊙ O 于点 C 、 D 。
湖北省宜昌第一中学龙泉中学2016届高三数学11月联考试题理
宜昌一中、龙泉中学2016届高三年级11月联考数学试题（理）本试卷共 2 页，共 22 题．满分150分，考试用时120分钟．★祝考试顺利★一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将正确的答案填涂在答题卡上．） 1．已知复数z 满足（3+5i ）z=34,则z=（ ）A ．-3+5iB ．-3-5iC ．3+5i 6D ．3-5i2．设A 、B 为非空集合,定义集合A*B 为如右图非阴影．．．部分表示的集合，若2{|2},A x y x x ==-{|3,0},x B y y x ==>则A*B= （ ）A ．（0，2）B ．[0,1]∪[2，+∞）C ．（1,2]D ．[0,1]∪（2，+∞）3．已知角α在第一象限且cos α＝35，则1＋2cos(2α－π4)sin(α＋π2)＝（ ）A ．52 B ．57 C ．514 D ．52-4．下列判断正确命题的个数为（ ）①“22bm am <”是“b a <”的充要条件②命题“若q 则p”与命题“若非p 则非q”互为逆否命题③ 对于命题p ：R x ∈∃，使得012<++x x ，则⌝p 为R x ∈∀，均有012≥++x x ④命题“φ⊆{1，2}或4∉{1，2}”为真命题A ．1B ．2C ．3D ．45．.若实数x ,y 满足231x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩，则21Zx y =+-的最大值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．66．某空间几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积是（ ）A ． 4B ． 5C ． 6D ． 77．设函数a xx x f -+=2log )(3在区间（1，2）内有零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()2log ,13--B ．()2log ,03C ．()1,2log 3D ．()4log ,138. 若二面角βα--l 为32π，直线α⊥m ，则β所在平面内的直线与m 所成角的取值范围是（ ） A ．（0，]2πB ．[6π，]3πC ．,3[π]2πD ．,6[π]2π6第题图2第题图9．平面内，点P 在以O 为顶点的直角内部，,A B 分别为两直角边上两点，已知2OP =，2OP OA ⋅=，1OP OB ⋅=，则当AB 最小时，tan AOP ∠=（ ）A ．2B ．22C ． 2D ．1210．如图，圆O 过正方体六条棱的中点),6,5,4,3,2,1(=i A i 此圆被正方体六条棱的中点分成六段弧，记弧1+i i A A 在圆O 中所对的圆心角为)5,4,3,2,1(=i i α，弧16A A 所对的圆心角为6α，则4sin4cos4cos4sin 642531αααααα+-+等于（ ）A ．426- B ．462- C ．426+ D ．426+-11．已知关于x 的不等式012<++c bx x a)1(>ab 的解集为空集，则1)2()1(21-++-=ab c b a ab T 的最小值为（ ） A ．3 B ．2 C ．32 D ．412．已知定义在[)1,+∞上的函数348||,122()1(),2,22x x f x x f x ⎧--≤≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩当1*[2,2]()n n x n N -∈∈时，函数()f x 的图象与x 轴围成的图形面积为S ，则S =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．）13．球O 与一圆柱的侧面和上下底面都相切，则球O 的表面积与该圆柱的表面积的比值为 ． 14．若11120,1,1a xdx b xdx c x dx ==-=-⎰⎰⎰，则将a ，b ，c 从小到大排列的结果为 ．15．已知1234212,21334,2135456,213575678,⨯=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯…依此类推， 第n 个等式为 ．16． 已知函数f (x )=32x x a +-，若曲线y =22x x -+ 上存在点00(,)x y ，使得00(())f f y y =，则a 的取值范围 ．10第题图三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分） 已知向量()()3cos ,0,0,sin a x b x ==，记函数()()23sin 2f x a b x =++.求：（1）函数()f x 的最小值及取得小值时x 的集合； （2）函数()f x 的单调递增区间. 18．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若112,.n n n n n n a S a n b a a +-=+=且 （1）求{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n b 的前n 项和． 19．（本小题满分12分）在如图所示的几何体中,四边形ABCD 为平行四边形,90ACB ∠=,EA ⊥平面ABCD ,EF AB , FG BC ，EG AC ,2AB EF =. (1)在线段AD 上是否存在点M ,使GM平面ACF ?并说明理由；(2)若2AC BC AE ==,求二面角E DG C --的余弦值.20．(本小题满分12分)有三个生活小区,分别位于,,A B C 三点处，且AB AC ==BC =今计划合建一个变电站，为同时方便三个小区，准备建在BC 的垂直平分线上的P 点处，建立坐标系如图，且27ABO π∠≈. (Ⅰ)若希望变电站P 到三个小区的距离和最小，点P (Ⅱ)若希望点P 到三个小区的最远距离为最小，点P EFGABD21．(本小题满分12分)已知函数.1)1()1ln()(+---=x k x x f（1）求函数)(x f 的极值点；（2）若0)(≤x f 恒成立，试确定实数k 的取值范围； （3）证明：)1,(6)1)(4(1ln 154ln 83ln 32ln 2>∈-+<-++++n N n n n n n .请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图所示，PA 为圆O 的切线，A 为切点，PO 交圆O 于B ，C 两点，2PA =，1PB =，BAC ∠的角平分线与BC 和圆O 分别交于点D 和E ． （Ⅰ）求证：AB PC PA AC ⋅=⋅； （Ⅱ）求AD AE ⋅的值． 23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程选讲在直角坐标系x O y 中，直线l的参数方程是22x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以原点O 为极点，以轴正半轴x 为极轴，圆C的极坐标方程为)4ρθπ=+（Ⅰ）将圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l 与圆C 交于A ，B 两点，点P 的坐标为（2，0），试求11PA PB+的值． 24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知不等式2326t t m m +---对任意t ∈R 恒成立．（Ⅰ）求实数m 的取值范围；（Ⅱ）若（Ⅰ）中实数m 的最大值为λ，且3x +4y +5z =λ，其中x ，y ，z ∈R，求x 2+y 2+z 2的最小值．宜昌一中 龙泉中学2016届高三年级十一月联考理科数学参考答案及评分标准二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．2314．a<b<c 15．)2()2)(1()12(5312n n n n n ++=-⨯⨯⨯⨯⨯ 16．[]02， 三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．解：17. 解：（Ⅰ）x x f 2sin 3)()(2++=b a212cos 2cos222x x x x =+=+ ………………………3分 =2)6π2sin(2++x ， ………………… 5分 当且仅当23ππ26π2+=+k x ,即32ππ+=k x )(Z ∈k 时，()0f x =min ，此时x 的集合是⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=Z k k x x π,32π|. ……………… 8分 （Ⅱ）由)(2ππ26π22ππ2Z ∈+≤+≤k k x k －，所以)(6ππ3ππZ ∈+≤≤k k x k －, 所以函数()f x 的单调递增区间为)](6ππ,3ππ[Z ∈+k k k -. ……… 12分18．解：(1)解：由2n n S a n =+ 得：1121n n S a n ++=++∴111221n n n n n a S S a a +++=-=-+，即121n n a a +=-∴112(1)n n a a +-=- 4分又因为1121S a =+，所以a 1 =－1，a 1－1 =－2≠0，∴{1}n a -是以－2为首项， 2为公比的等比数列．11222n n n a --=-⨯=-，即21n n a =-+ ………………… 6分 (2)解：由(1)知 21n n a =-+∴11211(12)(12)2121n n n n n n b ++-==----- 10分故223111111111[()()()]121212121212121n n n n T ++=--+-++-=--------…… 12分19．解：20．解：在Rt AOB ∆中,AB B ==,则||40OA == ……1分（Ⅰ）方法一、设PBO α∠=(207απ≤≤),点P 到,,A B C 的距离之和为2sin24040cosyααα-=-=+…22sin1cosyαα-'=,令0y'=即1sin2α=,又27απ≤≤,从而6πα=当06πα≤<时,0y'<;当267ππα<≤时, 0y'>.∴当6πα=时,2sin40cosyαα-=+取得最小值此时2063OPπ===,即点P为OA的中点.方法二、设点(0,)(040)P b b≤≤,则P到,,A B C的距离之和为()4040)f b b b=-+≤≤,求导得()1f b'=-由()0f b'=即2b解得20b=当020b≤<时,()0f b'<;当2040b<≤时, ()0f b'>∴当20b=时,()f b取得最小值,此时点P为OA的中点.（Ⅱ）设点(0,)(040)P b b≤≤,则||40PA b=-,||||PB PC==点P到,,A B C三点的最远距离为()g b①若||||PA PB≥即4005b b-≥≤≤,则()40g b b=-;②若||||PA PB<即40540b b-<⇒<≤,则()g b=∴40(05)()(540)b bg bb-≤≤⎧=<≤当05b≤≤时,()40g b b=-在[0,5]上是减函数,∴min()(5)35g b g==当540b<≤时,()g b=在(5,40]上是增函数,∴()(5)35g b g>=∴当5b=时,min()35g b=,这时点P在OA上距O点5km.21．解：1))(xf的定义域为（1，+∞），kxxf--=11)(/.当0≤k时，0)(,1/>∴>-xfx，则)(xf在（1，+∞）上是增函数。
2016高考_龙泉一轮-数理-作业 (28)
题组层级快练(二十八)1．已知△ABC ，a ＝5，b ＝15，∠A ＝30°，则c ＝( ) A ．25 B. 5 C ．25或 5 D ．均不正确答案 C解析 ∵a sin A ＝b sin B ，∴sin B ＝b sin A a ＝155·sin30°＝32.∵b >a ，∴B ＝60°或120°.若B ＝60°，C ＝90°，∴c ＝a 2＋b 2＝2 5. 若B ＝120°，C ＝30°，∴a ＝c ＝ 5.2．(2014·江西文)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若3a ＝2b ，则2sin 2B －sin 2Asin 2A 的值为( )A ．－19B.13 C ．1 D.72 答案 D解析 由正弦定理可得2sin 2B －sin 2A sin 2A ＝2(sinB sin A )2－1＝2(b a )2－1，因为3a ＝2b ，所以b a ＝32，所以2sin 2B －sin 2A sin 2A ＝2×(32)2－1＝72. 3．在△ABC 中，AC ＝7，BC ＝2，B ＝60°，则BC 边上的高等于( ) A.32 B.332 C.3＋62D.3＋394 答案 B解析 由余弦定理，得(7)2＝22＋AB 2－2×2AB cos60°，即AB 2－2AB －3＝0，得AB ＝3.故BC 边上的高是AB sin60°＝332.选B. 4．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c .若∠C ＝120°，c ＝2a ，则( ) A ．a ＞b B ．a ＜b C ．a ＝bD ．a 与b 的大小关系不能确定 答案 A解析 据题意由余弦定理可得a 2＋b 2－2ab cos120°＝c 2＝(2a )2，化简整理得a 2＝b 2＋ab ，变形得a 2－b 2＝(a ＋b )(a －b )＝ab >0，故有a －b >0，即a >b .5．(2015·上海杨浦质量调研)设锐角△ABC 的三内角A ，B ，C 所对边的边长分别为a ，b ，c ，且a ＝1，B ＝2A ，则b 的取值范围为( )A ．(2，3)B ．(1，3)C ．(2，2)D ．(0,2)答案 A解析 由a sin A ＝b sin B ＝b sin2A ，得b ＝2cos A .π2<A ＋B ＝3A <π，从而π6<A <π3.又2A <π2， 所以A <π4，所以π6<A <π4，22<cos A <32，所以2<b < 3.6．(2015·江西七校一联)在△ABC 中，若sin(A －B )＝1＋2cos(B ＋C )sin(A ＋C )，则△ABC 的形状一定是( )A ．等边三角形B ．不含60°的等腰三角形C ．钝角三角形D ．直角三角形 答案 D解析 sin(A －B )＝1＋2cos(B ＋C )sin(A ＋C )＝1－2cos A sin B ，∴sin A cos B －cos A sin B ＝1－2cos A sin B ，∴sin A cos B ＋cos A sin B ＝1，即sin(A ＋B )＝1，则有A ＋B ＝π2，故三角形为直角三角形．7．(2015·东北三校联考)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c －b c －a ＝sin Asin C ＋sin B ，则B ＝( )A.π6B.π4 C.π3 D.3π4答案 C解析 由sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R ，代入整理得c －b c －a ＝ac ＋b ⇒c 2－b 2＝ac －a 2，所以a 2＋c 2－b 2＝ac ，即cos B ＝12，所以B ＝π3，故答案为C.8．(2015·济宁一模)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且满足c sin A ＝3a cos C ，则sin A ＋sin B 的最大值是( )A ．1 B. 2 C. 3 D ．3 答案 C解析 ∵c sin A ＝3a cos C ， ∴sin C sin A ＝3sin A cos C .即sin C ＝3cos C .∴tan C ＝3，C ＝π3，A ＝2π3－B .∴sin A ＋sin B ＝sin(2π3－B )＋sin B＝3sin(B ＋π6)．∵0<B <2π3，∴π6<B ＋π6<5π6.∴当B ＋π6＝π2，即B ＝π3时，sin A ＋sin B 的最大值为 3.故选C.9．(2014·新课标全国Ⅱ理)已知钝角三角形ABC 的面积是12，AB ＝1，BC ＝2，则AC ＝( )A ．5 B. 5 C ．2 D ．1答案 B解析 由题意可得12AB ·BC ·sin B ＝12，又AB ＝1，BC ＝2，所以sin B ＝22，所以B ＝45°或B ＝135°.当B ＝45°时，由余弦定理可得AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B ＝1，此时AC ＝AB ＝1，BC ＝2，易得A ＝90°，与“钝角三角形”条件矛盾，舍去．所以B ＝135°.由余弦定理可得AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B ＝ 5.故选B.10．在△ABC 中，若AB ＝3，AC ＝1，B ＝30°，则△ABC 的面积为________． 答案34或32解析 如图所示，由正弦定理，得sin C ＝c ·sin B b ＝32.而c >b ，∴C ＝60°或C ＝120°. ∴A ＝90°或A ＝30°. ∴S △ABC ＝12bc sin A ＝32或34.11．(2014·广东理)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，已知b cos C ＋c cos B ＝2b ，则ab＝________. 答案 2解析 方法一：因为b cos C ＋c cos B ＝2b ， 所以b ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·a 2＋c 2－b 22ac ＝2b .化简可得ab＝2.方法二：因为b cos C ＋c cos B ＝2b ， 所以sin B cos C ＋sin C cos B ＝2sin B . 故sin(B ＋C )＝2sin B .故sin A ＝2sin B ，则a ＝2b ，即ab＝2.12．(2014·天津理)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知b －c ＝14a,2sin B ＝3sin C ，则cos A 的值为________．答案 －14解析 由已知及正弦定理，得2b ＝3c .因为b －c ＝14a ，不妨设b ＝3，c ＝2，所以a ＝4，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－14. 13．(2015·河北唐山一模)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边a ，b ，c 成等差数列，且A －C ＝90°，则cos B ＝________.答案 34解析 ∵a ，b ，c 成等差数列，∴2b ＝a ＋c . ∴2sin B ＝sin A ＋sin C .∵A －C ＝90°，∴2sin B ＝sin(90°＋C )＋sin C . ∴2sin B ＝cos C ＋sin C . ∴2sin B ＝2sin(C ＋45°)．①∵A ＋B ＋C ＝180°且A －C ＝90°，∴C ＝45°－B 2，代入①式中，2sin B ＝2sin(90°－B 2)．∴2sin B ＝2cos B2.∴4sin B 2cos B 2＝2cos B 2.∴sin B 2＝24.∴cos B ＝1－2sin 2B 2＝1－14＝34.14．在△ABC 中，B ＝60°，AC ＝3，则AB ＋2BC 的最大值为________． 答案 27解析 由正弦定理可得AB sin C ＝BC sin A ＝3sin60°＝2，∴AB ＝2sin C ，BC ＝2sin A ，AB ＋2BC ＝2(sin C ＋2sin A )＝2[sin C ＋2sin(120°－C )]＝2(3cos C ＋2sin C )＝27sin(C ＋φ)(其中cos φ＝27，sin φ＝37)．∴当C ＋φ＝90°，即C ＝90°－φ时，AB ＋2BC ＝27sin(C ＋φ)取得最大值27.15．对于△ABC ，有如下命题：①若sin2A ＝sin2B ，则△ABC 为等腰三角形；②若sin A ＝cos B ，则△ABC 为直角三角形；③若sin 2A ＋sin 2B ＋cos 2C <1，则△ABC 为钝角三角形．其中正确命题的序号是________．(把你认为所有正确的都填上)答案 ③解析 ①sin2A ＝sin2B ，∴A ＝B ⇒△ABC 是等腰三角形，或2A ＋2B ＝π⇒A ＋B ＝π2，即△ABC 是直角三角形．故①不对．②sin A ＝cos B ，∴A －B ＝π2或A ＋B ＝π2.∴△ABC 不一定是直角三角形． ③sin 2A ＋sin 2B <1－cos 2C ＝sin 2C ， ∴a 2＋b 2<c 2.∴△ABC 为钝角三角形．16．(2014·安徽文)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，且b ＝3，c ＝1，△ABC 的面积为2，求cos A 与a 的值．答案 cos A ＝13，a ＝22或cos A ＝－13，a ＝2 3解析 由三角形面积公式，得12×3×1·sin A ＝ 2.故sin A ＝223.因为sin 2A ＋cos 2A ＝1， 所以cos A ＝±1－sin 2A ＝±1－89＝±13. ①当cos A ＝13时，由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝32＋12－2×1×3×13＝8.所以a ＝2 2.②当cos A ＝－13时，由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝32＋12－2×1×3×⎝⎛⎭⎫－13＝12.所以a ＝2 3. 17．(2015·湖北黄冈中学、黄石二中、鄂州高中三校联考)已知△ABC 的三内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，向量m ＝(sin B,1－cos B )与向量n ＝(2,0)的夹角θ的余弦值为12.(1)求角B 的大小；(2)若b ＝3，求a ＋c 的取值范围． 答案 (1)23π (2)(3，2]解析 (1)∵m ＝(sin B,1－cos B )，n ＝(2,0)， ∴m ·n ＝2sin B ，|m |＝sin 2B ＋(1－cos B )2＝2－2cos B ＝2|sin B 2|.∵0<B <π，∴0<B 2<π2.∴sin B2>0.∴|m |＝2sin B2.又∵|n |＝2，∴cos θ＝m ·n |m |·|n |＝2sin B 4sinB 2＝cos B 2＝12. ∴B 2＝π3，∴B ＝23π. (2)由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos 23π＝a 2＋c 2＋ac ＝(a ＋c )2－ac ≥(a ＋c )2－(a ＋c 2)2＝34(a ＋c )2，当且仅当a ＝c 时，取等号．∴(a ＋c )2≤4，即a ＋c ≤2.又a ＋c >b ＝3，∴a ＋c ∈(3，2]．1．在△ABC 中，B ＝30°，C ＝120°，则a ∶b ∶c ＝________. 答案 1∶1∶ 3解析 ∵a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ， ∴a ∶b ∶c ＝sin30°∶sin30°∶sin120°. ∴a ∶b ∶c ＝1∶1∶ 3.2．在△ABC 中，若a ＝32，cos C ＝13，S △ABC ＝43，则b ＝________.答案 2 3解析 由cos C ＝13，得sin C ＝223.∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×32×b ×223＝4 3.∴b ＝2 3.3．(2013·山东理)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＋c ＝6，b ＝2，cos B ＝79.(1)求a ，c 的值； (2)求sin(A －B )的值． 答案 (1)a ＝c ＝3 (2)10227解析 (1)由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 得b 2＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos B )． 又b ＝2，a ＋c ＝6，cos B ＝79，所以ac ＝9，解得a ＝3，c ＝3.(2)在△ABC 中，sin B ＝1－cos 2B ＝429，由正弦定理，得sin A ＝a sin B b ＝223.因为a ＝c ，所以A 为锐角，所以cos A ＝1－sin 2A ＝13.因此sin(A －B )＝sin A cos B －cos A sin B ＝10227.4．(2012·安徽)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，且有2sin B cos A ＝sin A cos C ＋cos A sin C . (1)求角A 的大小；(2)若b ＝2，c ＝1，D 为BC 的中点，求AD 的长． 答案 (1)π3 (2)72解析 (1)方法一：由题设知，2sin B cos A ＝sin(A ＋C )＝sin B ，因为sin B ≠0，所以cos A ＝12.由于0<A <π，故A ＝π3.方法二：由题设可知，2b ·b 2＋c 2－a 22bc ＝a ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·b 2＋c 2－a 22bc ，于是b 2＋c 2－a 2＝bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12. 由于0<A <π，故A ＝π3.(2)方法一：因为AD →2＝(AB →＋AC →2)2＝14(AB →2＋AC →2＋2AB →·AC →)＝14(1＋4＋2×1×2×cos π3)＝74，所以|AD →|＝72，从而AD ＝72.方法二：因为a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝4＋1－2×2×1×12＝3，所以a 2＋c 2＝b 2，B ＝π2.因为BD ＝32，AB ＝1，所以AD ＝1＋34＝72. 5．(2013·新课标全国Ⅰ理)如图所示，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝3，BC ＝1，P 为△ABC 内一点，∠BPC ＝90°.(1)若PB ＝12，求P A ；(2)若∠APB ＝150°，求tan ∠PBA . 答案 (1)72 (2)34解析 (1)由已知得∠PBC ＝60°，所以∠PBA ＝30°.在△PBA 中，由余弦定理，得P A 2＝3＋14－2×3×12cos30°＝74，故P A ＝72.(2)设∠PBA ＝α，由已知得PB ＝sin α.在△PBA 中，由正弦定理，得3sin150°＝sin αsin (30°－α).化简得3cos α＝4sin α，所以tan α＝34，即tan ∠PBA ＝34. 6．如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径．一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C .现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min 后，乙从A 乘缆车匀速直线运行的速度为130 m/min ，山路AC 长为1 260 m ，经测量，cos A ＝1213，cos C ＝35.(1)求索道AB 的长；(2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？ 解析 (1)在△ABC 中，因为cos A ＝1213，cos C ＝35，所以sin A ＝513，sin C ＝45.从而sin B ＝sin[π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C ) ＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝513×35＋1213×45＝6365. 由AB sin C ＝ACsin B，得 AB ＝AC sin B ×sin C ＝1 2606365×45＝1 040(m)．所以索道AB 的长为1 040 m.(2)设乙出发t 分钟后，甲、乙两游客距离为d ，此时，甲行走了(100＋50t ) m ，乙距离A 处130t m ，所以由余弦定理得d 2＝(100＋50t )2＋(130t )2－2×130t ×(100＋50t )×1213＝200(37t 2－70t ＋50)．因为0≤t ≤1 040130，即0≤t ≤8，故当t ＝3537(min)时，甲、乙两游客距离最短．。
2016届高考模拟试题_湖北省龙泉中学、襄阳五中、宜昌一中2016届高三9月联考数学(理)试题附答案
2013～2016届襄阳五中 宜昌一中 龙泉中学高三年级九月联考数学试题（理）本试卷共 2 页，共 22 题。
满分150分，考试用时120分钟。
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
请将正确的答案填涂在答题卡上。
） 1．已知集合{}{}20log 2,32,,xxA xB y y x R =<<==+∈则A B ⋂=A ．()1,4B ．()2,4C ．()1,2D ．()1,+∞ 2．下列命题中正确的是 A ．00,x ∃>使“00x x ab >”是“0a b >>”的必要不充分条件B ．命题“()0000,,ln 1x x x ∃∈+∞=-”的否定是“()0000,,ln 1x x x ∀∉+∞≠-”C ．命题“若22,x =则x x ==x x ≠≠22x ≠”D ．若p q ∨为真命题，则p q ∧为真命题3．函数()232lg 2x x f x x -+=-的定义域为A ．()1,2B ．(]1,3C ．()(]1,22,3⋃D ．()(]1,22,3-⋃4．如图曲线sin ,cos y x y x ==和直线0,2x x π==所围成的阴影部分平面区域的面积为A ．()20sin cos x x dx π-⎰B ．()402sin cos x x dx π-⎰C ．()20cos sin x x dx π-⎰D ．()402cos sin x x dx π-⎰5．已知函数2()2cos f x x x =+，若 '()f x 是 ()f x 的导函数，则函数'()f x 在原点附近的图象大致是A B C D 6．已知定义在R 上的函数()12-=-mx x f (m R ∈)为偶函数．记()()m f c f b f a 2,log ,log 52431==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=， 则c b a ,,的大小关系为A ．c b a <<B ．b a c <<C ．b c a <<D ．a b c << 7．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边在直线2y x =上，则sin 24πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为A．10- B．10 C．10- D．108．将函数()()sin 22f x x πϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭的图象向左平移6π个单位长度后，所得函数()g x的图象关于原点对称，则函数()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最小值为A ．12-B ．12 C． D9．已知函数()32f x x bx cx d =+++的图象如图所示，则函数 2122l o g 33c y x bx ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的单调减区间为 A ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．()3,+∞C ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ D ．(),2-∞-10．国家规定个人稿费纳税办法为：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4000元的按超过部分的14%纳税；超过4000元的按全稿酬的11%纳税．某人出版了一本书共纳税420元，则他的稿费为A ．3000元B ．3800元C ．3818元D ．5600元 11．已知函数()cos f x x =，,,a b c 分别为ABC ∆的内角,,A B C 所对的边，且222334a b c ab +-=，则下列不等式一定成立的是A ．()()sin cos f A fB ≤ B ．()()sin sin f A f B ≤C ．()()cos sin f A f B ≤D ．()()cos cos f A f B ≤ 12．已知函数()()()2,t f x x t t t R =--+∈设()()()()()()(),,,,a a b b a b f x f x f x a b f x f x f x f x ≥⎧⎪>=⎨<⎪⎩若函数()y f x x a b =-+-有四个零点，则b a -的取值范围是 A．(,2-∞- B ．(,2-∞ C．()2- D．()2二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知直线1y x =+与曲线()ln y x a =+相切，则a 的值为___________．14．计算2tan cos 242cos +4πααπα⎛⎫- ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭=_______________．15．若正数,a b 满足2363log 2log log ()a b a b +=+=+，则11a b+的值为_________． 16．直线:l y m =(m 为实常数)与曲线:|ln |E y x =的两个交点A 、B 的横坐标分别为1x 、2x ，且12x x <,曲线E 在点A 、B 处的切线P A 、PB 与y 轴分别交于点M 、N ．下列结论：① ||2MN =； ② 三角形P AB 可能为等腰三角形； ③ 若点P 到直线l 的距离为d ，则d 的取值范围为(0,1)；④ 当1x 是函数2()ln g x x x =+的零点时，AO (O 为坐标原点)取得最小值．其中正确结论的序号为 ．三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）设函数24()cos(2)2cos .3f x x x π=-+，（Ⅰ）求)(x f 的最大值，并写出使)(x f 取最大值时x 的集合；（Ⅱ）已知ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若3(),22f B C b c +=+=，1a =，求ABC ∆的面积的最大值． 18．（本小题满分12分） 已知函数()()()23f x x m x m =--++（其中1m <-），()22xg x =-．（Ⅰ）若命题“1)(log 2<x g ”是真命题，求x 的取值范围； （Ⅱ）设命题p ：()()()1,,00x f x g x ∀∈+∞<<或；命题q ：()()()1,0,0x f x g x ∃∈-∙<．若p q ∧是真命题，求m 的取值范围． 19．（本小题满分12分）已知函数()()2,ln f x x x g x x =-=．（Ⅰ）求函数()()y f x g x =-的极值；（Ⅱ）已知实数t R ∈，求函数()[]2,1,y f xg x x e =-∈⎡⎤⎣⎦的值域．20．（本小题满分12分） 已知函数2()2ln f x x ax =-． （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）若αβ、都属于区间[]1,4,且1βα-=，()()f f αβ= ，求实数a 的取值范围． 21．（本小题满分12分）已知函数()cos sin x f x e x x x =-，()sin x g x x =，其中e 是自然对数的底数． （Ⅰ）12ππ,0,0,22x x ⎡⎤⎡⎤∀∈-∃∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，使得不等式12()()f x m g x ≤+成立，试求实数m 的取值范围；（Ⅱ）若1x >-，求证：()()0f x g x ->．22．（本小题满分10分）已知函数()121f x m x x =---+（Ⅰ）当5m =时，求不等式()2f x >的解集；（Ⅱ）若二次函数223y x x =++与函数()y f x =的图象恒有公共点，求实数m 的取值范围．2016届襄阳五中 宜昌一中 龙泉中学高三年级九月联考理科数学参考答案及评分标准二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．2 14．1 15． 72 16．①③④ 三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．解：（Ⅰ）2444()cos(2)2cos (cos2cos sin 2sin )(1cos2)333f x x x x x x πππ=-+=+++1cos221cos(2)123x x x π=+=++ ······················· 3分所以)(x f 的最大值为2 ····································································· 4分 此时)(232,1)32cos(Z k k x x ∈=+=+πππ故x 的集合为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈-=Z k k x x ,6ππ ······················································ 6分（Ⅱ）由题意，231]3)(2cos[)(=+++=+πC B C B f ，即.21)322cos(=+-ππA化简得21)32cos(=-πA ······································································ 8分()0A π∈Q ，，)35,3(32πππ-∈-∴A ，只有332ππ=-A ，.3π=A ·········· 9分 在ABC ∆中，1,3a A π==由余弦定理，2222cos 3a b c bc π=+- ··············· 10分即221b c bc bc =+-≥，当且仅当b c =取等号，1sin 2ABC S bc A ∆==≤························································· 12分18．解：（Ⅰ）∵命题“()2log 1g x <”是真命题， 即()222log 1x-<，∴0222x<-<，解得12x <<． ∴x 的取值范围是()1,2； ················ 4分（Ⅱ）∵p ∧q 是真命题，∴p 与q 都是真命题．当1x >时，()220xg x =->，又p 是真命题，则()0f x <． ····················· 6分1m <- 23m m ∴<-- ()023f x x m x m ∴<⇒<>--或 31m ∴--≤ 解得4m ≥- ······························································ 8分当10x -<<时，()220xg x =-<．∵q 是真命题，则()1,0,x ∃∈-使得()0f x >，而()023f x m x m >⇒<<--， 1m <- 21m ∴<- 31m ∴-->- 解得2m <- ···················· 11分 综上所述：42m -≤<-． ··································································· 12分19．解：（Ⅰ）因为()()2ln y f x g x x x x =-=--,所以()()221112121x x x x y x x x x+---'=--== ··································· 2分因为0x >，所以当01x <<时，0y '<；当1x >时，0y '>．即函数()()y f x g x =-在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增， ········· 4分 故当1x =时，函数y 有极小值0，无极大值． ········································· 6分 （Ⅱ）()()()()()222ln 2ln 2ln 5ln 6y f xg x x x x x x x x x =-=---=-+⎡⎤⎣⎦令ln u x x =,当[]1,x e ∈时,ln 10u x '=+>,所以ln u x x =在[]1,e 上单调递增， 所以0u e ≤≤，2()56y h u u u ==-+， ················································ 9分 ()h u 图象的对称轴52u =．()h u 在5[0,]2上单减，在5(,]2e 上单增． m i n 51()24h u h ⎛⎫==-⎪⎝⎭，又()()206,56h h e e e ==-+，则max ()6h u =． 所以所求函数的值域为1,64⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． ························································· 12分20．解：（Ⅰ）()222()0ax f x x x-'=> ······················································· 1分 01 当0a ≤时，()0f x '>在(0,)+∞上恒成立，则()f x 在(0,)+∞上单调递增；02 当0a >时，由()0f x '>得0x<<； 由()0f x '<得x >； 则()f x 在上单调递增，在)+∞上单调递减； ·························· 4分 综上，当0a ≤时，()f x 在(0,)+∞上单调递增；当0a >时，()f x 在(0,上单调递增，在)+∞上单调递减． ········· 5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，当0a ≤时，()f x 在[1,4]上单增，不合题意，故0a >． ······· 6分由()()f f αβ= 则222ln 2ln a a ααββ-=-，即2ln 2ln ()0a αβαβ-++=即2ln 2ln(1)(21)0a ααα-+++= [1,3]α∈ ()*设()2ln 2ln(1)(21)h x x x a x =-+++ [1,3]x ∈ ···························· 8分22()201h x a x x '=-+>+在(1,3)上恒成立；所以()h x 在[1,3]上递增， ···· 9分 由()*式，函数()h x 在[1,3]有零点，则(1)02ln 230242ln ln 2(3)02ln32ln 470733h a a h a ≤-+≤⎧⎧⇒⇒≤≤⎨⎨≥-+≥⎩⎩ 故实数a 的取值范围为242[ln ,ln 2]733． ··················································· 12分21.解：（Ⅰ） 由题意，12ππ,0,0,22x x ⎡⎤⎡⎤∀∈-∃∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，使得不等式12()()f x m g x ≤+成立，等价于[]1max 2max ()()f x m g x ≤+． ······················································ 1分()(cos sin )(sin cos )()cos (1)sin x x x f x e x x x x x e x x e x '=--+=--+，当π[,0]2x ∈-时，()0f x '>，故()f x 在区间π[0,]2上单调递增，所以0x =时，()f x 取得最大值1．即 max ()1f x = ································ 3分又当π[0,]2x ∈时，()cos x g x x '=，()sin 0x g x x ''=-< 所以()g x '在π[0,]2上单调递减，所以()()010g x g ''≤=，故()g x 在区间π[0,]2上单调递减，因此，0x =时，max ()(0)g x g ==．所以1m ≤1m ．实数m的取值范围是)1,+∞． ··················································· 5分 （Ⅱ）当1x >-时，要证()()0f x g x ->，只要证e cos sin sin 0x x x x x x -->，即证(()e cos 1sin x x x x >+，由于cos 0,10x x +>，只要证e 1x x + ··································································· 7分 下面证明1x >-时，不等式e 1xx +令()()e 11x h x x x =>-+，则()()()()22e 1e e 11x x xx x h x x x +-'==++， 当()1,0x ∈-时，()0h x '<，()h x 单调递减； 当()0,x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增．所以当且仅当0x =时，()h x 取最小值为1． ············································· 9分法一：k，则cos sin k x x =，即sin cos x k x -，即sin()x ϕ-1≤，即11k -≤≤，所以max 1k =，而()()min 01h x h ==，但当0x =时，()010k h =<=；0x ≠时，()1h x k >≥所以，max min e 1x x ⎛⎫> ⎪+⎝⎭，即e 1x x >+ 综上所述，当1x >-时，()()0f x g x ->成立． ······································· 12分法二：令()x ϕ()cos ,sin A x x与点()B 连线的斜率k ，所以直线AB的方程为：(y k x =，由于点A 在圆221x y +=上，所以直线AB 与圆221x y +=相交或相切， 当直线AB 与圆221x y +=相切且切点在第二象限时，直线AB 取得斜率k 的最大值为1．而当0x =时，()(0)010h ϕ=<=； 0x ≠时，()1h x k >≥．所以，minmax ()()h x x ϕ>，即e 1x x >+ 综上所述，当1x >-时，()()0f x g x ->成立． ······································· 12分法三：令()x ϕ()x ϕ'=，当32,()4x k k N ππ=+∈时，()x ϕ取得最大值1，而()()min 01h x h ==，但当0x =时，()()0010h ϕ=<=；0x ≠时，()1h x k >≥所以，min max ()()h x x ϕ>，即e 1xx >+ 综上所述，当1x >-时，()0f x g x ->成立． ······································· 12分22．解：（Ⅰ）当5m =时，()36,12,1143,1x x f x x x x x +<-⎧⎪=-+-≤≤⎨⎪->⎩， ······························ 3分由()2f x >易得不等式解集为4,03⎛⎫-⎪⎝⎭········································ 5分 （Ⅱ）()222312y x x x =++=++，该函数在1x =-处取得最小值2,因为()31,13,1131,1x m x f x x m x x m x ++<-⎧⎪=--+-≤≤⎨⎪-+->⎩在1x =-处取得最大值2m -, ·········· 7分所以二次函数223y x x =++与函数()y f x =的图像恒有公共点， 只需22m -≥，即4m ≥．10分。
龙泉一中届高三4月月考数学(文)
高中数学学习材料 （灿若寒星 精心整理制作）龙泉一中2016届高三4月月考数学（文）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共60分．1．设集合{}23A x x =-<<，{}||3,B y y x x A ==-∈，则AB 等于（C ）A ．{}03x x << B ．{}10x x -<< C ．{}20x x -<< D ．{}33x x -<< 2．已知复数()2321|i |biz b R i-+=∈-的实部比虚部小6，则复数z bi -在复平面上对应的点在（ C ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3．已知(2,4)a =-，(3,)b m =-．若||||0a b a b +=，则实数m =（ C ） A ．32B ．3C ．6D ．8 4.“3m >”是“曲线22(2)1mx m y --=为双曲线”的（ A ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ． 充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件5.设曲线sin y x =上任一点(,)x y 处切线斜率为()g x ，则函数2()y x g x =的部分图象可以为（ C ）6.如右图，当输入5x =-，15y =时，图中程序运行后输出的结果为（ A ） A ．3； 33 B ．33；3 C.-17；7 D ．7；-17INPUT x INPUT y IF x <0 THEN x = y +3 ELSEy = y -3 END IFPRINT x - y , y + x ENDPRINT x －y ，y+x END7．如图，已知四棱锥P ABCD -的底面为矩形，平面PAD ⊥平面A B C D ，22AD =，2PA PD AB ===，则四棱锥P ABCD -的外接球的表面积为（ D ）A ．2πB ．4πC ．8πD ．12π8．如图所示，函数()sin()(0,||)2f x x πωϕωϕ=+><离y 轴最近的零点与最大值均在抛物线231122y x x =-++上，则()f x ＝（ C ）A ．1()sin()63f x x π=+ B ．1()sin()23f x x π=+ C ．()sin()23f x x ππ=+ D ．()sin()26f x x ππ=+9．已知函数31()()xx f x e x e=-，若实数a 满足20.5(log )(log )2(1)f a f a f +≤，则实数a 的取值范围 是（ C ） A ．1(,)(2,)2-∞+∞ B ．1(,][2,)2-∞+∞ C ．1[,2]2 D ．1(,2)210．已知函数()()21xa x ax a f x e--+=在区间[0,)+∞上的最大值为a ，则实数a 的取值范围是（ D ）A ．24,5e ⎛⎤-∞-⎥+⎝⎦ B ．24,5e ⎛⎤-∞ ⎥+⎝⎦ C ．24+5e ⎡⎫-∞⎪⎢+⎣⎭， D ．24+5e ⎡⎫∞⎪⎢+⎣⎭， 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）11．函数220160()20160xx f x x x -≤⎧=⎨-->⎩，若[()]0f f m =，则m =___________．【答案】012.已知11sin(),sin()23αβαβ+=-=,那么tan tan 5log αβ的值是 ．【答案】113．如图，网格纸是边长为1的小正方形，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则该多面体的体积为（ ）A ．4B ．8C ．16D ．2014．已知变量x y ,满足约束条件112x y x y y +≤⎧⎪-≥⎨⎪≥-⎩，则2213log z x y =+的最大值为___________．【答案】1215．过x 轴上一定点M 作直线与抛物线24y x =交于,P Q 两点，若5OP OQ =，则M 点的坐标为___________． 【答案】()5,0三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16．（本题满分12分）广场舞是现代城市群众文化、娱乐发展的产物，其兼具文化性和社会性，是精神文 明建设成果的一个重要指标和象征．2015年某高校社会实践小组对某小区广场舞的开展状况进行了年龄 的调查，随机抽取了40名广场舞者进行调查，将他们年龄分成6段：[20,30），[30,40），[40,50）， [50,60），[60,70），[70,80]后得到如图的频率分布直方图．问： （1）估计在40名广场舞者中年龄分布在[40,70）的人数； （2）求40名广场舞者年龄的众数和中位数的估计值； （3）若从年龄在[20,40）中的广场舞者中任取2名，求这两名广场舞者中年龄在[30,40）恰有1人的概 率．17．（本小题满分12分）在等差数列{}n a 中，公差10,7d a ≠=，且2510,,a a a 成等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式及其前n 项和n S ； （2）若15n n n b a a +=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】（1）225,6n n a n S n n =+=+；（2）51449n nT n =+．18．（本小题满分12分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -（侧棱垂直于底面的棱柱为直棱柱）中，11,2BC CC AC ===，=90ABC ∠︒．（1）求证：平面1ABC ⊥平面11A B C ； （2）（2）求三棱锥11A ABC -的体积．【解析】（1）∵=90ABC ∠︒，∴AB BC ⊥．又由条件知1BB ⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，∴1B B A B ⊥．……………2分又∵1=BCBB B ，∴AB ⊥平面11BB C C ，∴1AB B C ⊥．19．（本小题满分12分）如图，在四边形ABCD 中，3ABC π∠=，:2:3AB BC =，7AC =．（1）求sin ACB ∠的值； （2）若34BCD π∠=，1CD =，求CD ∆A 的面积．【解析】（1）由:2:3AB BC =，可设2AB x =，3BC x =．又∵7AC =，3ABC π∠=，20．（本小题满分13分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点到直线320x y -+=的距离为5，且椭圆的一个长轴端点与一个短轴端点间的距离为10． （1）求椭圆C 的方程；（2）如图，连接椭圆短轴端点A 与椭圆上不同于A 的两点,M N ，与以椭圆短轴为直径的圆分别交于,P Q 两点，且Q P 恰好经过圆心O ，求A M N ∆面积的最大值．21．（本小题满分14分）设函数()ln 1f x x =+． （1）已知函数2131()()424F x f x x x =+-+，求函数()F x 的极值； （2）已知函数2()()(21)(0)G x f x ax a x a a =+-++>．若存在实数()2,3m ∈，使得当(]0,x m ∈时，函数()G x 的最大值为()G m ，求实数a 的取值范围．。
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题组层级快练(七十七)1．从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a ，从{1,2,3}中随机选取一个数为b ，则b >a 的概率是( ) A.45 B.35 C.25 D.15答案 D解析 基本事件的个数有5×3＝15，其中满足b >a 的有3种，所以b >a 的概率为315＝15.2．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，若每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( )A.13B.12 C.23 D.34 答案 A解析 由题意得，甲、乙两位同学参加小组的所有可能的情况共3×3＝9种．又两位同学参加同一个兴趣小组的种数为3，故概率为39＝13.3．(2014·湖北文改编)先后抛掷两枚质地均匀的骰子，设出现的点数之和是12,11,10的概率依次是P 1，P 2，P 3，则( )A ．P 1＝P 2<P 3B ．P 1<P 2<P 3C ．P 1<P 2＝P 3D ．P 3＝P 2<P 1 答案 B解析 先后抛掷两枚骰子点数之和共有36种可能，而点数之和为12,11,10的概率分别为P 1＝136，P 2＝118，P 3＝112. 4．(2015·衡水调研卷)现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次，至少击中3次的概率；先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数，指定0,1表示没有击中目标，2,3,4,5,6,7,8,9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 4698 0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281根据以上数据估计射击运动员射击4次至少击中3次的概率为( ) A ．0.852 B ．0.819 2 C ．0.8 D ．0.75 答案 D解析 因为射击4次至多击中2次对应的随机数组为7140,1417,0371,6011,7610，共5组，所以射击4次至少击中3次的概率为1－520＝0.75，故选D.5．从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于( ) A.110 B.18 C.16 D.15答案 D解析 在正六边形中，6个顶点选取4个，种数为15.选取的4点能构成矩形的，只有对边的4个顶点(例如AB 与DE )，共有3种，∴所求概率为315＝15.6．5张卡片上分别写有数字1,2,3,4,5，从这5张卡片中随机抽取2张，则取出2张卡片上数字之和为奇数的概率为( )A.35B.25 C.34 D.23答案 A解析 基本事件总数为C 25＝10,2张卡片上数字之和为奇数，需1为奇1为偶，共有C 13C 12＝6，∴所求概率为610＝35，选A.7．一个袋子中有5个大小相同的球，其中3个白球与2个黑球，现从袋中任意取出一个球，取出后不放回，然后再从袋中任意取出一个球，则第一次为白球、第二次为黑球的概率为( )A.35B.310C.12D.625答案 B解析 设3个白球分别为a 1，a 2，a 3,2个黑球分别为b 1，b 2，则先后从中取出2个球的所有可能结果为(a 1，a 2)，(a 1，a 3)，(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 2，a 3)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 3，b 1)，(a 3，b 2)，(b 1，b 2)，(a 2，a 1)，(a 3，a 1)，(b 1，a 1)，(b 2，a 1)，(a 3，a 2)，(b 1，a 2)，(b 2，a 2)，(b 1，a 3)，(b 2，a 3)，(b 2，b 1)，共20种．其中满足第一次为白球、第二次为黑球的有(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 3，b 1)，(a 3，b 2)，共6种，故所求概率为620＝310.8．一袋中装有大小相同，编号分别为1,2,3,4,5,6,7,8的八个球，从中有放回地每次取一个球，共取2次，则取得两个球的编号和不小于15的概率为( )A.132B.164C.332D.364答案 D解析 基本事件为(1,1)，(1,2)，…，(1,8)，(2,1)，(2,2)，…，(8,8)，共64种．两球编号之和不小于15的情况有三种，分别为(7,8)，(8,7)，(8,8)，∴所求概率为364.9．袋中有2个白球，2个黑球，若从中任意摸出2个，则至少摸出1个黑球的概率是( ) A.34 B.56 C.16 D.13答案 B解析 该试验中会出现(白1，白2)，(白1，黑1)，(白1，黑2)，(白2，黑1)，(白2，黑2)和(黑1，黑2)共6种等可能的结果，事件“至少摸出1个黑球”所含有的基本事件为(白1，黑1)，(白1，黑2)，(白2，黑1)，(白2，黑2)和(黑1，黑2)共5种，据古典概型概率公式，得事件“至少摸出1个黑球”的概率是56. 10．若连续抛掷两次质地均匀的骰子得到的点数分别为m ，n ，则点P (m ，n )在直线x ＋y ＝4上的概率是( )A.13B.14C.16D.112 答案 D解析 该试验会出现6×6＝36种情况，点(m ，n )在直线x ＋y ＝4上的情况有(1,3)，(2,2)，(3,1)共三种，则所求概率P ＝336＝112.11．(2014·陕西理)从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为( )A.15B.25 C.35 D.45 答案 C解析 从这5个点中任取2个，有C 25＝10种取法，满足两点间的距离不小于正方形边长的取法有C 24＝6种，因此所求概率P ＝610＝35.故选C.12．(2015·保定模拟)甲、乙二人玩猜数字游戏，先由甲任想一数字，记为a ，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜出的数字记为b ，且a ，b ∈{1,2,3}，若|a －b |≤1，则称甲、乙“心有灵犀”，现任意找两个人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为( )A.13B.59 C.23 D.79答案 D解析 甲任想一数字有3种结果，乙猜数字有3种结果，基本条件总数为3×3＝9.设“甲、乙心有灵犀”为事件A ，则A 的对立事件B 为“|a －b |>1”，即|a －b |＝2，包含2个基本事件，∴P (B )＝29.∴P (A )＝1－29＝79.13．(2015·浙江金丽衢十二校二联)若在正方体上任选3个顶点连成三角形，则所得的三角形是直角非等腰三角形的概率为( )A.17 B.27 C.37 D.47答案 C解析 因为任取3个顶点连成三角形共有C 38＝8×7×63×2＝56个，又每个顶点为直角顶点的非等腰三角形有3个，所以共有24个三角形符合条件．所以所求概率为2456＝37.14．(2015·河北邯郸二模)甲、乙、丙3位教师安排在周一至周五中的3天值班，要求每人值班1天且每天至多安排1人，则恰好甲安排在另外两位教师前面值班的概率是( )A.13B.23C.34D.35答案 A解析 第一种情况：甲安排在第一天，则有A 24＝12种；第二种情况：甲安排在第二天，则有A 23＝6种；第三种情况：甲安排在第三天，则有A 22＝2种，所以所求概率为12＋6＋2A 35＝13. 15．(2014·江西理)10件产品中有7件正品，3件次品，从中任取4件，则恰好取到1件次品的概率是________．答案 12解析 本题属于古典概型，由古典概型概率公式可得所求概率为C 13C 37C 410＝12.16．曲线C 的方程为x 2m 2＋y 2n 2＝1，其中m ，n 是将一枚骰子先后投掷两次所得的点，事件A ＝“方程x 2m 2＋y 2n2＝1表示焦点在x 轴上的椭圆”，那么P (A )＝________.答案512解析 试验中所含基本事件个数为36；若方程表示椭圆，则前后两次的骰子点数不能相同，则去掉6种可能．又椭圆焦点在x 轴上，则m >n ，又只剩下一半情况，即有15种，因此P (A )＝1536＝512.17．(2014·山东文)海关对同时从A ，B ，C 三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如下表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.(1)求这6件样品中来自A ，B ，(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率． 答案 (1)1,3,2 (2)415解析 (1)因为样本容量与总体中的个体数的比是650＋150＋100＝150，所以样本中包含三个地区的个体数量分别是50×150＝1,150×15＝3,100×150＝2.所以A ，B ，C 三个地区的商品被选取的件数分别为1,3,2.(2)设6件来自A ，B ，C 三个地区的样品分别为：A ；B 1，B 2，B 3；C 1，C 2. 则抽取的这2件商品构成的所有基本事件为：{A ，B 1}，{A ，B 2}，{A ，B 3}，{A ，C 1}，{A ，C 2}，{B 1，B 2}，{B 1，B 3}，{B 1，C 1}，{B 1，C 2}，{B 2，B 3}，{B 2，C 1}，{B 2，C 2}，{B 3，C 1}，{B 3，C 2}，{C 1，C 2}，共15个．每个样品被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的． 记事件D ：“抽取的这2件商品来自相同地区”， 则事件D 包含的基本事件有{B 1，B 2}，{B 1，B 3}，{B 2，B 3}，{C 1，C 2}，共4个． 所以P (D )＝415，即这2件商品来自相同地区的概率为415.18．如图所示是某市2015年2月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数(AQI)小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择2月1日至2月12日中的某一天到达该市，并停留3天．(1)求此人到达当日空气质量优良的概率；(2)求此人停留期间至多有1天空气重度污染的概率． 答案 (1)16 (2)23解析 (1)在2月1日至今2月12日这12天中，只有5日，8日共2天的空气质量优良，所以此人到达当时空气质量优良的概率P ＝212＝16.(2)根据题意，事件“此人在该市停留期间至多有1天空气重度污染”，即“此人到达该市停留期间0天空气重度污染或仅有1天空气重度污染”．“此人在该市停留期间0天空气重度污染”等价于“此人到达该市的日期是4日或8日或9日”，其概率为312＝14.“此人在该市停留期间仅有1天空气重度污染”等价于“此人到达该市的日期是3日或5日或6日或7日或10日”，其概率为512.所以此人停留期间至多有1天空气重度污染的概率为P ＝14＋512＝23.1．甲乙两人一起去游“2011西安世园会”，他们约定，各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是( )A.136B.19 C.536 D.16答案 D解析 甲乙两人任选4个景点共有方法A 46A 46种，而最后一小时他们在同一个景点的情况有C 16A 35A 35种，所求概率为P ＝C 16A 35A 35A 46A 46＝16，故选D.2．(2015·郑州质检)现有四所大学进行自主招生，同时向一所高中的已获省级竞赛一等奖的甲、乙、丙、丁四位学生发录取通知书，若这四名学生都愿意进入这四所大学的任意一所就读，则仅有两名学生被录取到同一所大学的概率为( )A.12B.916 C.1116 D.724答案 B解析 所求概率P ＝C 24·A 3444＝916.3．(2015·衡水调研卷)一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可从0－9中任选一个，某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字，若他记得密码的最后一位是偶数，则他不超过2次就按对的概率是( )A.45B.35C.25D.15答案 C解析 只按一次就按对的概率是15.按两次就按对的概率是4×15×4＝15，所以不超过2次就按对的概率是15＋15＝25，选C. 4．(2015·江苏南京、盐城二模)盒中有3张分别标有1,2,3的卡片，从盒中随机抽取一张记下号码后放回，再随机抽取一张记下号码，则两次抽取的卡片号码中至少有一个为偶数的概率为________．答案 59解析 对立事件为：两次抽的卡片号码中都为奇数，共有2×2＝4种抽法．而有放回的两次抽了卡片共有3×3＝9种基本事件，因此所求事件概率为1－49＝59.5．从集合{a ，b ，c ，d ，e }的所有子集中任取一个，则该子集恰是集合{a ，b ，c }的子集的概率是________． 答案 146．(2013·江苏)现有某类病毒记作X m Y n ，其中正整数m ，n (m ≤7，n ≤9)可以任意选取，则m ，n 都取到奇数的概率为________．答案2063解析 从正整数m ，n (m ≤7，n ≤9)中任取两数的所有可能结果有C 17C 19＝63个，其中m ，n 都取奇数的结果有C 14C 15＝20个，故所求概率为2063. 7．盒中装有形状、大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2个．若从中随机取出2个球，则所取出的2个球颜色不同的概率等于________．答案 35解析 从5个小球中任选两个小球的方法数为C 25＝10，其中不同色的方法数为C 13C 12＝6，所以所求概率为P ＝610＝35.。