二次函数复习课件

(1)、图象经过(0，0)， (1，-2) ， (2，3) 三点； (2)、图象的顶点(2，3)， 且经过点(3，1) ； (3)、图象经过(-2，0)， (3，0) ，且最高点
的纵坐标是3 。
例1、已知二次函数y=ax2+bx+c的最 大值是2，图象顶点在直线y=x+1上，并 且图象经过点（3，-6）。求a、b、c。
解：∵二次函数的最大值是2 ∴抛物线的顶点纵坐标为2 又∵抛物线的顶点在直线y=x+1上 ∴当y=2时，x=1 ∴顶点坐标为（ 1 ， 2） ∴设二次函数的解析式为y=a(x-1)2+2 又∵图象经过点（3，-6） ∴-6=a (3-1)2+2 ∴a=-2 ∴二次函数的解析式为y=-2(x-1)2+2
即： y=-2x2+4x
综合创新:
1.已知抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=-x2-3x+7的 形状相同,顶点在直线x=1上,且顶点到x轴的距离 为5,请写出满足此条件的抛物线的解析式.
解:抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=-x2-3x+7的形状
相同 a=1或-1 又顶点在直线x=1上,且顶点到x轴的距离为5,
(4)若y=ax2+bx+c(a 0)与轴交于点A(2,m), B(4,m),
则对称轴是___A____
A 直线x=3 B 直线x=4 C 直线x= -3 D直线x=2
求抛物线解析式的三种方法
1、已知抛物线上的三点，通常设解析式为 ______y_=_a_x_2_+_b_x_+_c_(a≠0) 2、已知抛物线顶点坐标（h, k），通常设 抛物线解析式为______y_=_a_(_x_-h__)2_+_k(a≠0) 3、已知抛物线与x 轴的两个交点(x1,0)、 (x2,0),通常设解析式为____y_=_a_(_x_-x_1_)_(x_-x2) (a≠0) 练习 根据下列条件，求二次函数的解析式。
• 二次函数的特殊形式：
– 当b＝0时， y＝ax2＋c – 当c＝0时， y＝ax2＋bx – 当b＝0，c＝0时， y＝ax2
知识运用
下列函数中，哪些是二次函数？
(1)y=3x-1
(2)y=3x2
(3)y=3x3+2x2
(4)y=2x2-2x+1
(5)y=x -2 +x
(6)y=x2-x(1+x)
6 5
4 3 2 1 -•1 0 -1 -2
1• 2• 3• 4•
基础练习
1.由y=2x2的图象向左平移两个单位,再向下平 移三个单位,得到的图象的函数解析式为 ____y_=_2_(_x_+_2_)_2-_3_=_2_x_2_+_8_x_+_5__
2.由函数y= -3(x-1)2+2的图象向右平移4个单位, 再向上平移3个单位,得到的图象的函数解析式 为_y_=__- _3_(_x_-1_-_4_)_2+_2_+_3__=_-_3_x_2+_3_0_x_-_7_0__ 3.抛物线y=ax2向左平移一个单位,再向下 平移8个单位且y=ax2过点(1,2).则平移后 的解析式为___y_=_2_(x_+__1_)2_-_8__; 4.将抛物线y=x2-6x+4如何移动才能得到y=x2.
=-9
BO
Ax
∠CAO+∠OCA=90,∠OCA+∠BCO=90
∴∠BOC=∠COA,
C
∴△ＢＯＣ∽△COＡ
∴ＯＢ／ＯＣ＝ＯＣ／ＯＡ
∴OC=2，点C（0，-2）
由题意可设y＝a（x＋１）（x－４）得：
a（０＋１）（０－４）＝－２
∴a＝０.５ ∴ y＝０.５（x＋１）（x－４）
练习、已知二次函数y=ax2-5x+c的图象如图。 (1)、当x为何值时，y随x的增大而增大; (2)、当x为何值时，y<0。 (3)、求它的解析式和顶点坐标y ；
当x b 时,最大值为4ac b2
2a
4a
归纳知识点：
抛物线y=ax2+bx+c的符号问题：
（1）a的符号：由抛物线的开口方向确定
开口向上
a>0
开口向下
a<0
（2）C的符号： 由抛物线与y轴的交点位置确定.
交点在x轴上方
c>0
交点在x轴下方
c<0
经过坐标原点
c=0
（3）b的符号： 由对称轴的位置确定
例2、已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴正、负半轴分 别交于A、B两点，与y轴负半轴交于点C。若OA=4，OB=1， ∠ACB=90°，求抛物线解析式。
解： ∵点A在正半轴，点B在负半轴
OA=4，∴点A（4，0）
y
OB=1， ∴点B（-1，0）
∵ ∠ACB=90°ＯＣ⊥ ＡＢ
∴ ∠ CAO=∠BCO
（1）抛物线y =3x 2的开口向上,对称轴是Y轴, 顶点坐标是(0,0),图象过第 一、二 象限 ；
（2)已知y = - nx 2 (n＞0) , 则图象 (不可能)
（填“可能”或线顶y 点= 12坐x标（2+是03，的3开）口向,是上由抛,对物称线Y
2.5
O
x
问题1：
河北省赵县的赵州桥的桥拱是抛物线型，建立如图所
示的坐标系，其函数的表达式为y= - 1 x2 ， 当水位线在AB位
25
置时，水面宽 AB = 30米，这时水面离桥顶的高度h是（ D ）
A、5米
B、6米； C、8米； D、9米
解：当x=15时，
y
0
Y=-1/25 × 152
h
x
A
B
的图象如图所示，则函数 y ax c
的图象只可能是（ D）
y
1 0
x
y
y
y
y
0x
0x
0x
0x
( A)
(B)
(C )
(D)
（16）小明从右边的二次函数y＝ax2＋bx＋c的图
象观察得出下面的五条信息：① a＜ 0；② c＝0；
③ 函数的最小值为-3； ④当x＜0时，y>0； ⑤当0
C ＜x1＜x2＜2时，y1 > y2 你认为其中正确的个数有
b2
直线x b
2a
由a,b和c的符号确定
y=ax2+bx+c(a<0)
b 2a
,
4ac 4a
b2
直线x b
2a
由a,b和c的符号确定
开口方向
向上
向下
增减性 最值
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
当x b 时,最小值为4ac b2
2a
4a
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
分析: (1)由a+b+c上=0可知,原抛物线的图象经过(1,0)
(2) 新抛物∴线当x向=1右时平，移y=56个单位, 再向上∴平顶点移坐4个标为单（位1即，得6原）抛物线
答案:y=-x2+6x-5
练习1、已知抛物线y=ax2+bx-1的对称轴是x=1 ， 最高点在直线y=2x+4上。
(1) 求此抛物线的顶点坐标. （2）求抛物线解析式. （3）求抛物线与直线的交点坐标.
知识运用
当m取何值时，函数是y= (m+2)xm2-2
分别 是一次函数？ 反比例函数？ 二次函数？
驶向胜 利的彼
岸
（一）形如y = ax 2 (a≠0) 的二次函数
二次函数 开 口 方 向 对 称 轴 顶 点 坐 标
y = ax 2
a＞0 a＜0
向上 直线X=0
向下
(0,0)
（二）形如y = ax 2+k (a≠0) 的二次函数
二次函数的定义：
形如y=ax2+bx+c (a,b,c是常数， a≠0) 的函数叫做二次函数
想一想:函数的自变量x是否可以取任何值 呢?
注意:当二次函数表示某个实际问题时,还必
须根据题意确定自变量的取值范围.
• 函数y＝ax2＋bx＋c
– 其中a、b、c是常数 – 切记：a≠0 – 右边一个x的二次多项式（不能是分式或根式）
(2)抛物线y=3x2-1的_____B___________
A 开口向上,有最高点 B 开口向上,有最低点
C 开口向下,有最高点 D 开口向下,有最低点
(3)若y=ax2+bx+c(a 0)与轴交于点A(2,0), B(4,0),
则对称轴是___C____
A 直线x=2 B直线x=4 C 直线x=3 D直线x= -3
一元二次方程
ax2+bx+c=0的根
有两个相异的实数根 有两个相等的实数根
没有实数根
一元二次方程
ax2+bx+c=0根的判别式 （b2-4ac）
b2-4ac > 0 b2-4ac = 0
b2-4ac < 0
选择
c
(1) 抛物线y=x2-4x+3的对称轴是_____________.
A 直线x=1 B直线x= -1 C 直线x=2 D直线x= -2
B （a≠0, a, b, c为常数）的一个解的范围是（ ）
x
6.17 6.18 6.19 6.20
y＝ax2＋bx＋c -0.03 -0.01 0.02 0.04
A．6.17＜ X ＜6.18 C．-0.01＜ X ＜0.02
B．6.18＜ X ＜6.19 D．6.19＜ X ＜6.20
3、已知二次函数 y a(x 1)2 c
对称轴在y轴左侧
a、b同号
对称轴在y轴右侧 对称轴是y轴
a、b异号 b=0
（4）b2-4ac的符号： 由抛物线与x轴的交点个数确定
与x轴有两个交点
与x轴有一个交点 与x轴无交点
b2-4ac>0 b2-4ac=0
b2-4ac<0
17.根据下列表格中二次函数y＝ax2+bx+c的自变量 与函数值的对应值，判断方程ax2+bx+c =0
逆向思考,由y=x2-6x+4 =(x-3)2-5知:先向左平移3个 单位,再向上平移5个单位.
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质
１.顶点坐标与对称轴 ２.位置与开口方向 ３.增减性与最值
根据图形填表：
抛物线 顶点坐标
对称轴 位置
y=ax2+bx+c(a>0)
b 2a
,
4ac 4a
y = 1 x 2向上 平移3 个单位得到的；
2
OB
（2）已知（如图）抛物线y = ax 2+k的图象A，
X
则a 〉0，k〈 0；若图象过A (0,-2) 和B (2,0) ，
则a = 0.5 ,k = -2 ；函数关系式是y = 0.5x 2-2 。
(四) 形如y = a (x+h) 2 +k (a ≠0) 的二次函数
顶点为(1,5)或(1,-5)
所以其解析式为:
(1) y=(x-1)2+5
(2) y=(x-1)2-5
(3) y=-(x-1)2+5
(4) y=-(x-1)2-5
2.若a+b+c=0,a0,把抛物线y=ax2+bx+c向下 平移4个单位,再解向：∵左二平次移函5数个的单对位称所轴到是x的=1新 抛物线的顶点是∴又图(∵-图象2,的象0顶的),点最求横高原坐点抛标在物为直线1线的y=2解x+析4式.
-2 -1 0 1
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点有三种情况:有两个交点, 有一个交点,没有交点.当二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴有交 点时,交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值,即一元二次方程 ax2+bx+c=0的根.
二次函数y=ax2+bx+c
的图象和x轴交点
有两个交点 有一个交点 没有交点
二次函数
开口方向
对称轴 顶点坐标
y = ax 2+k
a ＞0 a ＜0
向上 直线X=0（0，K）
向下
（三）、形如y = a (x - h) 2 ( a≠0 ) 的二次函数
二次函数
开口方向
对称轴 顶点坐标
a ＞ 0 向上 y = a（x - h) 2 a ＜ 0
直线X=h （h，0）
巩固练习1： 2
（）
y
A．2 B．3
C．4 D．5
x
0
2
-3
练一练：已知y=ax2+bx+c的图象如图所示,
a_＜__0, b__＜__0, c__＞___0, abc__＞__0 b_＞__2a, 2a-b_＜____0, 2a+b__＜_____0 b2-4ac__＞___0 a+b+c__＜___0, a-b+c_＞___0 4a-2b+c__＞___0
2、已知二次函数y=-
1 2
x2+bx-5的图象的
顶点在y轴上，则b=_0__。
观察y=x2与y=x2-6x+7的函数图象，说说y=x2-6x+7的 图象是怎样由y=x2的图象平移得到的？
y=x2-6x+7 =x2-6x+9-2 =(x-3)2-2 平移规律：
h决定左右
左正右负
K决定上下 •-4 -•3 -•2 上正下负
二次函数
开口方向 对称轴 顶点坐标
y = a（x+h) 2+k a ＞ 0 向上 直线X=-h （-h，k） a ＜ 0 向下
练习巩固2:
（1）抛物线 y = 2 (x –３ ) 2+1 的开口向 上,
对称轴 X=３ , 顶点坐标是（３，1）
（2）若抛物线y = a (x+m) 2+n开口向下，顶
点在第四象限，则a〈 0, m〈 0, n〈 0。