高中数学第一章三角函数8函数y=Asinωx+φ的图像与性质一学案北师大版必修4

§8 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像与性质(一)
学习目标 1.理解y ＝A sin(ωx ＋φ)中ω，φ，A 对图像的影响.2.掌握y ＝sin x 与y ＝
A sin(ωx ＋φ)图像间的变换关系，并能正确地指出其变换步骤.
知识点一 φ(φ≠0)对函数y ＝sin(x ＋φ)，x ∈R 的图像的影响 思考1 如何由y ＝f (x )的图像变换得到y ＝f (x ＋a )的图像？ 答案 向左(a ＞0)或向右(a ＜0)平移|a |个单位长度.
思考2 如何由y ＝sin x 的图像变换得到y ＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π6的图像？
答案 向左平移π
6
个单位长度.
梳理 如图所示，对于函数y ＝sin(x ＋φ)(φ≠0)的图像，可以看作是把y ＝sin x 的图像上所有的点向左(当φ>0时)或向右(当φ<0时)平行移动|φ|个单位长度而得到的.
知识点二 ω(ω＞0)对函数y ＝sin(ωx ＋φ)的图像的影响
思考1 函数y ＝sin x ，y ＝sin 2x 和y ＝sin 1
2x 的周期分别是什么？
答案 2π，π，4π.
思考2 当三个函数的函数值相同时，它们x 的取值有什么关系？
答案 当三个函数的函数值相同时，y ＝sin 2x 中x 的取值是y ＝sin x 中x 取值的1
2，y ＝sin
1
2
x 中x 的取值是y ＝sin x 中x 取值的2倍. 思考3 函数y ＝sin ωx 的图像是否可以通过y ＝sin x 的图像得到？ 答案 可以，只要“伸”或“缩”y ＝sin x 的图像即可.
梳理 如图所示，函数y ＝sin(ωx ＋φ)的图像，可以看作是把y ＝sin(x ＋φ)的图像上所有点的横坐标缩短(当ω>1时)或伸长(当0<ω<1时)到原来的1
ω
(纵坐标不变)而得到.
知识点三 A (A ＞0)对y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像的影响
思考 对于同一个x ，函数y ＝2sin x ，y ＝sin x 和y ＝1
2sin x 的函数值有何关系？
答案 对于同一个x ，y ＝2sin x 的函数值是y ＝sin x 的函数值的2倍，而y ＝1
2sin x 的函
数值是y ＝sin x 的函数值的1
2
.
梳理 如图所示，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像，可以看作是把y ＝sin(ωx ＋φ)图像上所有点的纵坐标伸长(当A >1时)或缩短(当0<A <1时)到原来的A 倍(横坐标不变)而得到.
知识点四 函数y ＝sin x 的图像与y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图像关系 正弦曲线y ＝sin x 到函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像的变换过程：
y ＝sin x 的图像
――――――――――→向左(φ＞0)或向右(φ＜0)平移|φ|个单位长度
y ＝sin(x ＋φ)的图像―――――――――――――→所有点的横坐标变为原来的1
ω倍纵坐标不变y ＝sin(ωx ＋φ)的图像―――――――――――――→所有点的纵坐标变为原来的A 倍横坐标不变
y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像.
1.把函数y ＝sin 2x 的图像向左平移π4个单位长度，得到函数y ＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图
像.( × )
提示 得到y ＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π2的图像.
2.要得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ＋π3的图像，可把函数y ＝sin(－x )的图像向左平移π3个单位长度得到.( × )
提示 y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3，故要得到y ＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫－x ＋π3的图像，可把函数y ＝sin(－x )的图
像向右平移π
3
个单位长度.
3.把函数y ＝sin x 的图像上所有点的横坐标变为原来的2倍，得到y ＝sin 2x 的图像.( × )
提示 应得到y ＝sin 1
2
x 的图像.
4.函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3的图像是由函数y ＝cos x 的图像向右平移π3个单位长度得到
的.( √ )
提示 由平移的规律可知其正确.
类型一 平移变换
例1 函数y ＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x －π6的图像可以看作是由y ＝sin x 的图像经过怎样的变换而得到的？ 考点 三角函数图像变换 题点 平移变换
解 函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6的图像，可以看作是把曲线y ＝sin x 上所有的点向右平移π6个单位长度而得到的. 引申探究
1.若将本例中y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6改为y ＝cos ⎝
⎛⎭⎪⎫x －π6，其它不变，又该怎样变换？
解 y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋π2＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π3，可以看作是把y ＝sin x 上所有的点向
左平移π
3
个单位长度得到.
2.若将本例改为：函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的图像可由y ＝sin 2x 的图像经过怎样变换得到？ 解 y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12，可由y ＝sin 2x 的图像向右平移π12个单位长度得到.
反思与感悟 对平移变换应先观察函数名是否相同，若函数名不同则先化为同名函数.再观察
x 前系数，当x 前系数不为1时，应提取系数确定平移的单位和方向，方向遵循左加右减，
且从ωx →ωx ＋φ的平移量为⎪⎪⎪⎪
⎪⎪φω个单位长度.
跟踪训练1 要得到y ＝cos ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π4的图像，只要将y ＝sin 2x 的图像( )
A.向左平移π
8个单位长度
B.向右平移π
8个单位长度
C.向左平移π
4个单位长度
D.向右平移π
4
个单位长度
考点 三角函数图像变换 题点 平移变换 答案 A
解析 y ＝sin 2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝
⎛⎭⎪⎫x －π8－π4.
若设f (x )＝sin 2x ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝
⎛⎭⎪⎫x －π8－π4，
则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4，所以向左平移π8个单位长度.
类型二 伸缩变换
例2 将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图像上所有的点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)而得到
的函数解析式为 . 考点 三角函数图像变换 题点 伸缩变换 答案 y ＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 反思与感悟 横向伸缩变换，只变ω，φ不发生变化.
跟踪训练2 (2017·合肥高一检测)把y ＝sin 12x 的图像上各点的横坐标缩短到原来的1
4倍
(纵坐标不变)得到的解析式是 . 考点 三角函数图像的伸缩变换 题点 三角函数图像的伸缩变换 答案 y ＝sin 2x
类型三 图像变换的综合应用
例3 把函数y ＝f (x )的图像上的各点向右平移π
6个单位长度，再把横坐标伸长到原来的2
倍，再把纵坐标缩短到原来的23倍，所得图像的解析式是y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π3，
求f (x )的解析式.
考点 三角函数图像变换 题点 图像变换的综合应用
解 y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π3――――――――――→纵坐标伸长到原来的3
2倍 y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π3――――――――――→横坐标缩短到原来的12倍 y ＝3sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π3―――――――――→向左平移π6个单位长度 y ＝3sin ⎝
⎛⎭
⎪⎫x ＋π6＋π3＝3sin ⎝
⎛⎭
⎪⎫x ＋π
2
＝3cos x . 所以f (x )＝3cos x .
反思与感悟 (1)已知变换途径及变换后的函数解析式，求变换前函数图像的解析式，宜采用逆变换的方法.
(2)已知函数f (x )图像的伸缩变换情况，求变换前后图像的解析式.要明确伸缩的方向及量，然后确定出A 或ω即可.
跟踪训练3 将函数y ＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图像向左平移m (m >0)个单位长度后，所得图像对应的
函数为偶函数，则m 的最小值为( ) A.π12 B.π6 C.π3 D.5π
6 考点 三角函数图像变换 题点 图像变换的综合应用 答案 B
解析 因为函数y ＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图像向左平移m 个单位长度，所得图像对应的函数为y ＝
2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋m ，所以π3＋m ＝k π＋π2，k ∈Z ，即m ＝k π＋π6，k ∈Z .
又m >0，所以m 的最小值为
π
6
，故选B.
1.函数y ＝cos x 图像上各点的纵坐标不变，把横坐标变为原来的2倍，得到图像的解析式为
y ＝cos ωx ，则ω的值为( )
A.2
B.12
C.4
D.14
考点 三角函数图像变换 题点 伸缩变换
答案 B
2.要得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 2＋π3的图像，只要将函数y ＝sin x 2的图像( ) A.向左平移π
3个单位长度
B.向右平移π
3个单位长度
C.向左平移2π
3个单位长度
D.向右平移2π
3
个单位长度
考点 三角函数图像变换 题点 平移变换 答案 C
3.为了得到函数y ＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图像，只需把函数y ＝sin x 的图像上所有的点( )
A.向左平行移动π
3个单位长度
B.向右平行移动π
3个单位长度
C.向上平行移动π
3个单位长度
D.向下平行移动π
3
个单位长度
考点 三角函数图像变换 题点 平移变换 答案 A
解析 由y ＝sin x 得到y ＝sin(x ±a )的图像，只需记住“左加右减”的规则即可. 4.将函数y ＝sin(－2x )的图像向左平移π
4个单位长度，所得函数图像的解析式为 .
考点 三角函数图像变换 题点 平移变换 答案 y ＝－cos 2x
解析 y ＝sin(－2x )―――――――→左移π
4个单位长度y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，
即y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x －π2＝－sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝－cos 2x .
5.将函数f (x )＝3cos 2x 的图像纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，再向左平移π
6
个
单位长度后得到函数g (x )的图像，则g ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π3＝ . 考点 三角函数图像的综合应用 题点 三角函数图像的综合应用 答案 －2 3
解析 将函数f (x )＝3cos 2x 的图像纵坐标伸长到原来的2倍，所得图像对应的解析式为
y ＝23cos 2x ，
则g (x )＝23cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝23cos ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，
故g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝23cos ⎝
⎛⎭⎪⎫2×π3＋π3＝－2 3.
1.由y ＝sin x 的图像，通过变换可得到函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图像，其变化途径有两条：
(1)y ＝sin x ―――→相位变换y ＝sin(x ＋φ)―――→周期变换y ＝sin(ωx ＋φ)―――→振幅变换
y ＝A sin(ωx ＋φ). (2)y ＝sin x ―――→周期变换y ＝sin ωx ―――→相位变换y ＝sin ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋φω＝sin(ωx ＋φ)―――→振幅变换y ＝
A sin(ωx ＋φ).
注意：两种途径的变换顺序不同，其中变换的量也有所不同：(1)是先相位变换后周期变换，平移|φ|个单位长度.(2)是先周期变换后相位变换，平移|φ|
ω个单位长度，这是很容易出错
的地方，应特别注意.
2.类似地，y ＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图像也可由y ＝cos x 的图像变换得到.
一、选择题
1.将函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图像向右平移14个周期后，所得图像对应的函数为( ) A.y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4 B.y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 C.y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4 D.y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3
考点 三角函数图像变换 题点 平移变换 答案 D
解析 函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的周期为π，将函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图像向右平移14个周期
即π4个单位长度，所得函数为y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝
⎛⎭⎪⎫x －π4＋π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，故选D.
2.若把函数y ＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图像向右平移m (m >0)个单位长度后，得到y ＝sin x 的图像，则
m 的最小值为( )
A.π6
B.5π6
C.π3
D.2π
3
考点 三角函数图像的平移变换和伸缩变换 题点 三角函数图像的平移变换 答案 C
解析 依题意，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －m ＋π3＝sin x ，
∴m －π3＝2k π(k ∈Z )，∴m ＝π
3＋2k π(k ∈Z )，
又m >0，∴m 的最小值为π3
.
3.把函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4的图像向右平移π8个单位长度，所得图像对应的函数是( ) A.非奇非偶函数 B.既是奇函数又是偶函数 C.奇函数
D.偶函数
考点 三角函数图像变换 题点 平移变换 答案 D
解析 y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4的图像向右平移π8个单位长度得到y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π8－π4＝
sin ⎝
⎛
⎭
⎪⎫
2x －
π2＝－cos 2x 的图像，y ＝－cos 2x 是偶函数. 4.给出几种变换：
①横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变； ②横坐标缩小到原来的1
2，纵坐标不变；
③向左平移π
3个单位长度；
④向右平移π
3个单位长度；
⑤向左平移π
6个单位长度；
⑥向右平移π
6
个单位长度.
则由函数y ＝sin x 的图像得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图像，可以实施的方案是( ) A.①→③ B.②→③ C.②→④
D.②→⑤
考点 三角函数图像变换 题点 图像变换的综合应用 答案 D
解析 y ＝sin x 的图像――→②y ＝sin 2x 的图像――→⑤y ＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图像.
5.为了得到函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 3＋π6，x ∈R 的图像，只需把函数y ＝2sin x ，x ∈R 的图像上所有
的点( )
A.向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的1
3(纵坐标不变)
B.向右平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的1
3(纵坐标不变)
C.向左平移π
6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)
D.向右平移π
6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)
考点 三角函数图像变换 题点 图像变换的综合应用 答案 C
解析 先将y ＝2sin x ，x ∈R 的图像向左平移π6个单位长度，得到函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，
x ∈R
的图像，再把所得图像上各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)，得到函数y ＝
2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 3＋π6，x ∈R 的图像.
6.为了得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的图像，可以将函数y ＝cos 2x 的图像( ) A.向右平移π
6个单位长度
B.向右平移π
3个单位长度
C.向左平移π
6个单位长度
D.向左平移π
3
个单位长度
考点 三角函数图像变换 题点 平移变换 答案 B
解析 y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2π3＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝
⎛⎭⎪⎫x －π3，
故y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的图像是由y ＝cos 2x 的图像向右平移π3个单位长度得到的，故选B.
二、填空题
7.函数y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4的图像可以看作把函数y ＝1
2sin 2x 的图像向 平移 个
单位长度得到的.
考点 三角函数图像的平移变换和伸缩变换 题点 三角函数图像的平移变换 答案 右
π
8
8.为得到函数y ＝cos x 的图像，可以把y ＝sin x 的图像向右平移φ个单位长度得到，那么φ的最小正值是 . 考点 三角函数图像变换 题点 平移变换 答案
3π
2
解析 y ＝sin x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝cos ⎝
⎛⎭⎪⎫x －π2向右平移φ
个单位长度后得到y ＝
cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －φ－π2，
∴φ＋π
2＝2k π，k ∈Z ，
∴φ＝2k π－π
2，k ∈Z .
∴φ的最小正值是3π
2.
9.某同学给出了以下判断：
①将y ＝cos x 的图像向右平移π
2
个单位长度，得到y ＝sin x 的图像；
②将y ＝sin x 的图像向右平移2个单位长度，可得到y ＝sin(x ＋2)的图像；
③将y ＝sin(－x )的图像向左平移2个单位长度，得到y ＝sin(－x －2)的图像；
④函数y ＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图像是由y ＝sin 2x 的图像向左平移π3个单位长度而得到的. 其中正确的结论是 .(将所有正确结论的序号都填上)
考点 三角函数图像变换
题点 图像变换的综合应用
答案 ①③
10.函数y ＝sin 2x 的图像向右平移φ(φ>0)个单位长度，得到的图像关于直线x ＝π6
对称，则φ的最小值为 .
考点 三角函数图像变换
题点 图像变换的综合应用
答案 5π12
解析 平移后解析式为y ＝sin(2x －2φ)，
图像关于x ＝π6对称，∴2·π6－2φ＝k π＋π2
(k ∈Z )， ∴φ＝－k π2－π12
(k ∈Z ).又∵φ>0， ∴当k ＝－1时，φ的最小值为5π12
. 三、解答题
11.使函数y ＝f (x )的图像上的每一点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的12
倍，然后再将其图像沿x 轴向左平移π6
个单位长度得到的曲线与y ＝sin 2x 的图像相同，求f (x )的表达式.
考点 三角函数图像变换
题点 图像变换的综合应用
解 方法一 (正向变换)
y ＝f (x )――――――→横坐标缩短到原来的12倍y ＝f (2x )―――――――→沿x 轴向左平移π6个单位长度y ＝f ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6， 即y ＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2x ＋π3， ∴f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2x ＋π3＝sin 2x .
令2x ＋π3＝t ，则2x ＝t －π3
， ∴f (t )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫t －π3，即f (x )＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x －π3. 方法二 (逆向变换)
根据题意，y ＝sin 2x ―――――――→沿x 轴向右平移π6
个单位长度y ＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3――――――――――→横坐标伸长到原来的2倍纵坐标不变y ＝f (x )＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x －π3. 12.将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13
x －π9的图像经过怎样的变换能得到函数y ＝sin x 的图像？ 考点 三角函数图像变换
题点 三角函数图像变换综合
解 把函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13
x －π9的图像上所有的点的横坐标缩短到原来的13倍(纵坐标不变)，再把所得各点向左平移π9
个单位长度，就得到y ＝sin x 的图像. 四、探究与拓展
13.将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝
⎛⎭⎪⎫ω＞0，－π2≤φ＜π2的图像上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移
π6个单位长度得到y ＝sin x 的图像，则 f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π6＝ .
答案 22 解析 把函数y ＝sin x 的图像向左平移π6个单位长度得到y ＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π6的图像，再把函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋π6图像上每一点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6的图像，所以f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π6＝sin π4＝22. 14.已知函数f (x )＝2sin ωx ，其中常数ω>0.
(1)若y ＝f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4
，2π3上是增加的，求ω的取值范围； (2)令ω＝2，将函数y ＝f (x )的图像向左平移π6
个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图像，区间[a ，b ](a ，b ∈R 且a <b )满足：y ＝g (x )在[a ，b ]上至少含有30个零点，在所有满足上述条件的[a ，b ]中，求b －a 的最小值.
考点 三角函数图像变换
题点 图像变换的综合应用
解 (1)因为ω>0，根据题意有⎩⎪⎨⎪⎧ －π4ω≥－π2，2π3ω≤π2，即0<ω≤34
. 所以ω的取值范围为⎝ ⎛⎦
⎥⎤0，34. (2)f (x )＝2sin 2x ，
g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋1＝2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2x ＋π3＋1， 由g (x )＝0，得sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝－12，解得x ＝k π－π4或x ＝k π－712π，k ∈Z ， 即g (x )的零点相离间隔依次为π3和2π3
， 故若y ＝g (x )在[a ，b ]上至少含有30个零点，则b －a 的最小值为14×2π3＋15×π3＝43π3
.。