广东省深圳市宝安区2020-2021学年高一上学期期末考试数学试题含答案

1
宝安区2020-2021学年第一学期期末调研测试卷
高一 数学
2021.1
全卷共三道大题，满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、单项选择题：本大题共10小题，每小题5分，共计50分．每小题给出的四个选
项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1.设U 为全集，A ，B 是集合，则“存在集合C ，使得A ⊆C ，B ⊆(U
C)”是“A ∩B ＝∅”
的)（ ） A.充要条件
B.必要不充分条件
C.充分不必要条件
D.既不充分也不必要条件
2.
函数0()(3)f x x =--的定义域是（ ）
A.[2,+∞)
B.(2,+∞)
C.(2,3)∪(3,+∞)
D.[3,+∞)
3.命题:p m R ∀∈，一元二次方程210x mx ++=有实根，则（ ）
A ．:p m R ⌝∀∈，一元二次方程210x mx ++=没有实根
B ．:p m R ⌝∃∈，一元二次方程210x mx ++=没有实根
2
C ．:p m R ⌝∃∈，一元二次方程210x mx ++=有实根
D ．:p m R ⌝∀∈，一元二次方程210x mx ++=有实根
4.设当θ=x 时，函数x x y cos sin 3-=取得最大值，则θsin =（ ）
A ．10
10-
B ．
10
10
C ．10
103-
D ．
10
10
3 5.中国的5G 技术领先世界，5G 技术的数学原理之一便是著名的香农公式： 2log (1)S
C W N
=+
.它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度C 取决于信道带宽W ，信道内信号的平均功率S ，信道内部的高斯噪声功率N 的大小，其中
S
N
叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计.按照香农公式，若不改变带宽W ，而将信噪比
S
N
从1000提升至4000，则C 大约增加了（ ）附：lg20.3010≈
A ．10%
B ．20%
C ．50%
D ．100%
6.将函数sin 26y x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭的图象向左平移4π个单位，所得函数图象的一条对称轴的方
程是（ ） A ．12
x π
=
B ．6
x π
=
C ．3
x π
=
D ．12
x π
=-
7.已知1tan()42π
α+=，且02π
α-<<，则22sin sin 2cos()4
ααπα+-等于
（ ）
A
． B
． C
． D
8.已知()(
)2log 1f x x =-()2
120f x x -+-<，则x 的取值范
围为（ ）
A ．()(),01,-∞+∞
B
．⎝
⎭
3
C ．1515,01,22⎛⎫⎛⎫
-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎝
⎭⎝
⎭
D ．()()1,01,2-
9.已知a >0，b >0，若不等式31
03m a b a b
--≤+恒成立，则m 的最大值为（ ） A ．13
B ．14
C ．15
D ．16
10.函数2
(0)1
ax
y a x =>+的图象大致为（ ）
二、多项选择题：本大题共2个小题，每小题5分，共10分，在每小题给出的四个选
项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的的0分. 11.下表表示y 是x 的函数，则（ ）
x
05x <<
510x ≤<
1015x ≤<
1520x ≤≤
y
2
3
4
5
A ．函数的定义域是(]0,20
B ．函数的值域是[]2,5
4
C ．函数的值域是{2,3,4,5}
D ．函数是增函数
12.已知2,1,()2,1,x x k
f x k x x
-+⎧<⎪=⎨++≥⎪⎩,(常数k ≠0),则（ ）
A ．当0k >时,()f x 在R,上单调递减
B ．当1
2
k >-时,()f x 没有最小值
C ．当1k =-时,()f x 的值域为(0,)+∞
D ．当3k =-时,121,1x x ∀≥∃<有12()()0f x f x +=
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，第一空3分、共20分） 13.若m ，n 满足22530,530,m m n n m n +-=+-=≠且则
11
m n
+的值为 。

14.函数log (21)2(0,1)x a y a a =-+>≠的图像恒过定点的坐标为 。

15.若()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，1
()()2()2
x f x x m m =-+为常数，则
当0x <时 。

16.幂函数2
54
()()m
m f x x m Z -+=∈为偶函数且在区间(0，+∞)上单调递减，则m
＝ ，1
()2
f = 。

三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答时写出必要的文字说明，证明过程或解
题步骤）
17.已知函数()f x
满足(1)f x +=，且(1)1f =. （1）求a 和函数()f x 的解+析式； （2）判断()f x 在其定义域的单调性.
18.已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点
34(,)55
P --.
5
（1）求sin()απ+的值； （2）若角β满足5
sin()13
αβ+=
，求cos β的值. 19.某同学用“五点法”画函数()sin()(0,)2
f x A x π
ωϕωϕ=+><在某一个周期内的
图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
（1）请将上表数据补充完整，并直接写出函数()f x 的解+析式；
（2）将()y f x =图象上所有点向左平移(0)θθ>个单位长度，得到()y g x =的图象.
若()y g x =图象的一个对称中心为5(0)12
π，，求θ的最小值. 20.已知不等式22log (1)log (72)x x +≤-. （1）求不等式的解集A ；
（2）若当x A ∈时，不等式1
114242x x
m -⎛⎫
⎛⎫
-+≥ ⎪
⎪⎝⎭
⎝⎭
总成立，求m 的取值范围. 21.已知函数()(0)x
f x a b a ax b
=≠+，为常数，且满足(2)1f =，方程()f x x =有唯一 解，
（1）求函数()f x 的解+析式；
（2）若2x <-，求函数()()g x xf x =的最大值.
22.已知定理：“若,a b 为常数，()g x 满足()()2g a x g a x b ++-=，则函数()y g x =的
图象关于点(,)a b 中心对称”．设函数22
()x a a
f x x a
+-=-，定义域为
{}A x|x a x R =≠∈，．
（1）试求()y f x =的图象对称中心，并用上述定理证明；
（2）对于给定的1x A ∈，设计构造过程：21321(),(),...()n n x f x x f x x f x +===．如
6
果(2,3,4...)i x A i ∈=，构造过程将继续下去；如果i x A ∉，构造过程将停止．若
对任意1x A ∈，构造过程可以无限进行下去，求a 的取值范围．
2020-2021学年第一学期宝安区期末调研测试
参考答案 高一 数学
2021.1
全卷共三道大题，满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、单项选择题：本大题共10小题，每小题5分，共计50分．每小题给出的四个选
项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． ACBDB AACDA
二、多项选择题：本大题共2个小题，每小题5分，共10分，在每小题给出的四个选
项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的的0分.
11. AC 12. BD
三、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，第一空3分、共20分）
7
13.
3
5
14. (1，2) 15.16. 2或3， 4
四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答时写出必要的文字说明，证明过程或解题步骤）
17.解 （1
）由(1)f x +=
，
得()f x =
，……………………………2分
(1)1f ===，
得1a =；……………………………4分
所以()f x =
……………………………5分
（2）该函数的定义域为[0,)+∞，……………………………6分
令12x x <，所以210x x ->，
所以21()()f x f x -=
=
=
，……………………………8分
因为210x x ->
0>，
所以21()()0f x f x ->，……………………………9分
所以()f x 在其定义域为单调增函数. ……………………………10分 18.解 (1)由角α的终边过点P ⎝⎛⎭⎫－3
5，－45，得sin α＝－45.(2分)
所以sin(α＋π)＝－sin α＝4
5.（5分）
(2)由角α的终边过点P ⎝⎛⎭⎫－3
5，－45，得cos α＝－35.
8
由sin(α＋β)＝513，得cos(α＋β)＝±12
13.（8分）
由β＝(α＋β)－α，得cos β＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α， 所以cos β＝－5665或cos β＝16
65.（12分）
19.解 (1)根据表中已知数据，解得A ＝5，ω＝2，φ＝－π
6
.数据补全如下表：
且函数表达式为f (x )＝5sin ⎝
⎛⎭⎫2x －π
6.（5分） (2)由(1)知，f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，得g (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2θ－π6. 因为函数y ＝sin x 的图象的对称中心为(k π，0)，k ∈Z .（7分） 令2x ＋2θ－π6＝k π，k ∈Z ，解得x ＝k π2＋π
12－θ，k ∈Z .
由于函数y ＝g (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫
5π12，0成中心对称，
令k π2＋π12－θ＝5π12，k ∈Z ，解得θ＝k π2－π
3，k ∈Z ，由θ>0可知，当k ＝1时，θ取得最小值π
6
.（12分）
20. 解 （1）由已知可得：，因此，原不等式的解集为；（5分）
（2）令，则原问题等价，（7分） 10
12172x x x x +>⎧⇒-<≤⎨
+≤-⎩
(]1,2-()1
114242x x
f x -⎛⎫
⎛⎫
=-+ ⎪
⎪⎝⎭
⎝⎭
()min f x m ≥
9
且，令，
可得，（9分）
当时，即当时，函数取得最小值，即，.
因此，实数的取值范围是.（12分） 21.解 （1）由f (x )＝x ，得x
ax ＋b
＝x ，即ax 2＋(b －1)x ＝0. ……………………………1分
因为方程f (x )＝x 有唯一解，
所以Δ＝(b －1)2＝0，即b ＝1，…………………………3分 因为f (2)＝1，所以2
2a ＋b ＝1，……………………………4分 所以a ＝1
2，…………………………5分
所以f (x )＝112
x
x +＝2x
x ＋2
；……………………………6分
（2）因为2x <-，所以()y xf x =2222122x x x x
==
++，……………………7分
而
2212111
2()48
x x x +=+-，……………………………9分 当
11
4
x =-，即4x =-时， ()1144242x x f x ⎛⎫⎛⎫=⋅-⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11,224x
t ⎛⎫⎡⎫
=∈ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭()2
21442412f x t t t ⎛⎫
=-+=-+ ⎪⎝⎭
1
2
t =
1x =()y f x =()()min 11f x f ==1m ∴≤m (],1-∞
10
21112()48x +-取得最小值1
8
-，……………………………11分 此时()()g x xf x =取得最大值. 16-……………………………12分
22. 解 （1）∵2222
()()()()4a x a a a x a a f a x f a x a x x
++--+-++-=+=-，
由已知定理得，()y f x =的图象关于点(,2)a a 成中心对称；（5分）
（2）∵22()()2x a a a
f x x a a x a x a
+-==-++--（7分）
∴当
a >时，
22
()x a a f x x a
+-=
-的值域
为
a a a ∞∞（-,2[2+2)
当0a=时，22
()x a a f x x a +-=-的值域为∞∞（-,0)(0,+)
当0a <时，22
()x a a f x x a
+-=-的值域为R （10分）
∵构造过程可以无限进行下去，
∴22
()x a a f x a x a
+-=≠-对任意x A ∈恒成立
∴220
a a a a a ⎧>-⎪
⎨<+⎪
>⎩0a =，由此得到04a ≤<．（12分）。