福建晋江市永春县2017届高三数学暑期检测试题 理

福建省晋江市永春县2017届高三数学暑期检测试题 理
本试卷分第I 卷和第II 卷两部分 第I 卷（选择题，共60分）
参考数据公式：①独立性检验临界值表
②独立性检验随机变量2
K 的值的计算公式：()()()()()
2
2
n ad bc K a b c d a c b d -=++++
一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）
1. 设集合{}
2log (1)0M x x =->，集合{}
2N x x =≥-，则=R N C M （ ）
A ．{}
2x x ≤- B ．{}22x x -<≤ C ．{}23x x -≤≤ D ．{}
22x x -≤≤
2. 复数21i
z i
=
+的共轭复数是（ ） A ．1i -
B ．1i +
C ．
i 2121+
D ．i 2
1
21- 3. 某小区有1000户，各户每月的用电量近似服从正态分布(300,100)N ，则用电量在320度以上的户数估计约为( )
【参考数据：若随机变量ξ服从正态分布2
(,)N μσ，则()68.26%P μσξμσ-<<+=，
(22)95.44%P μσξμσ-<<+=(33)99.74%P μσξμσ-<<+=】
A ．17
B ．23
C ．34
D ．46
4. 以下判断正确的是( )
A ．函数()y f x =为R 上可导函数，则0()0f x '=是0x 为函数()f x 极值点的充要条件；
B ．命题“存在2
000,10x R x x ∈+-<”的否定是“任意2,10x R x x ∈+->”； C ．命题“在锐角ABC ∆中，有sin cos A B >”为真命题；
D ．“0b =”是“函数2
()f x ax bx c =++是偶函数”的充分不必要条件．
5. 函数()2sin()(0,)22
f x x π
π
ωϕωϕ=+>-<<的部分图象如图所示，则,ωϕ的值分别是（ ） A. 2,3π- B. 2,6
π
- C. 4,6
π-
D. 4,3π
6. 两个等差数列的前n 项和之比为
510
21
n n +-，则它们的第7项之比为（ ）
A ．2
B ．3
C ．
4513 D ．7027
7. 已知实数x y ，满足52180,
20,30,x y x y x y +-≤⎧⎪
-≥⎨⎪+-≥⎩
若直线10kx y -+=
经过该可行域，则实数k 的最大值是（ ） A ．1
B ．
3
2
C ．2
D ．3
8. 阅读如右所示的程序框图,若运行相应的程序，则输出 的S 的值是（ ） A ．39 B ．21
C ． 81
D ．102
9. 某学校课题组为了研究学生的数学成绩和物理成绩之间的关系，随机抽取高二年级20名学生某次考试成绩（百分制）如下表所示：
若数学成绩90分（含90分）以上为优秀，物理成绩85（含85分）以上为优秀，有多少把握认为学生的数学成绩与物理成绩之间有关系（ ）
A ．99.5%
B ．99.9%
C ．97.5%
D ．95%
10. 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体外接球的表面积为( )
A. 8π
B. 16π
C. 32π
D. 64π
11. 设函数(1),
()ln()(1).
x a x f x x a x ⎧-<=⎨+≥⎩e 其中1a >-.若()f x 在R 上是增函数，
则实数a 的取值范围是（ ） A ．[1,)e ++∞
B ．(1,)e ++∞
C ．(1,)e -+∞
D ．[1,)e -+∞
12. 已知点M （1，0），A 、B 是椭圆 2
214
x y +=上的动点，且0MA MB ⋅=，则MA BA ⋅的取值范围是 A ．2[,1]3
B ．[1,9]
C ．2
[,9]3
D
．[
3
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

13．已知0
3s i n m x d x π
=⎰，则(23)m
a b c +-的展开式中23
m ab c -的系数
为 ； 14. 若函数2
(),(,)(2,)21
x a
f x x b b x +=
∈-∞++∞-是奇函数，则a b += ； 15. 已知双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>，以c 的一个顶点为圆心，a 为半径的圆被c 截得的
劣弧长为
23
a π
，则双曲线的离心率为 ； 16. 已知等边三角形ABC
的边长为M,N 分别为AB,AC 的中点，沿MN 将△ABC 折成直二
面角，则四棱锥A-MNCB 的外接球的表面积为 ；
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（本小题满分12分）
已知等比数列}{n a 的各项均为正数，前n 项和为n S ,314S =,1538a a a ⋅=,数列{}n b 的前n 项和为n T , 12log n n n b b a ++=. （I ）求数列}{n a 的通项公式； （II ）求2n T .
18.（本小题满分12分）
如图，等腰梯形ABCD的底角A等于60°，其外接圆圆心O在边AD上，直角梯形PDAQ垂直于圆O所在的平面，∠QAD = ∠PDA = 90°，且AD = 2AQ = 4.
（Ⅰ）证明：平面ABQ⊥平面PBD；
（Ⅱ）若二面角D-PB-C的平面角等于45°，求多面体PQABCD的体积.
19.（本小题满分12分）
2015年7月31日，国际奥委会在吉隆坡正式宣布2022年奥林匹克冬季运动会（简称冬奥会）在北京和张家口两个城市举办。

某中学为了普及冬奥会知识，举行了一次奥运知识竞赛，随机抽取20名学生的成绩（满分为100分）如下：
男生 93 91 90 86 83 80 76 69 67 65
女生 96 87 85 83 79 78 77 74 73 68
（Ⅰ）根据两组数据完成男、女生成绩的茎叶图，并比较男、女生成绩的平均值及分散程度；（Ⅱ）从成绩80分以上（含80分）的学生中抽取4人，要求4人中必须既有男生又有女生，用X表示所选4人中男生与女生人数的差，求X的数学期望.
20.（本小题满分12分）
已知直线l1：mx + y – 2m – 2 = 0，l2：x – my + 2m – 2 = 0，l1与y轴交于A点，l2与x轴交于B点，l1与l2交于D点，园C是△ABD的外接圆.
（Ⅰ）判断△ABD的形状并求圆C面积的最小值；
（Ⅱ）若D,E是抛物线x2=2py与圆C的公共点，问：在抛物线上是否存在点P使得△PDE是等腰三角形？若存在，求点P的个数；若不存在，请说明理由.
21.（本小题满分12分）
设函数f(x) = axlnx + be-x，曲线y = f(x)在（1，f(1)）处的切线方程为y = (1 + e-1)x – 1 – 2e-1 .
（Ⅰ）求a,b；
（Ⅱ）求证：f(x) > -1-2e-2 .
四、选做题（请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.） 22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，ABC ∆内接于直径为BC 的圆O ，过点A 作圆O 的切线交CB 的延长线于点
,P BAC ∠的平分线分别交BC 和圆O 于点,D E ，若210PA PB ==.
（1）求证：2AC AB =； （2）求AD DE ⋅的值.
23. （本题满分10分） 选修4－4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，设倾斜角为α的直线l
：2cos sin x t y t α
α=+⎧⎪⎨=⎪⎩ （t 为参数）与曲线
2cos :sin x C y ϕ
ϕ=⎧⎨
=⎩
（ϕ为参数）相交于不同的两点A B ，． （1）若3
π
α=
，若以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，求直线AB 的极坐标方程；
（2
，点(2P ,，求||||PA PB ⋅的值．
24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数()32f x a x x =--+． （1）若2a =，解不等式()3f x ≤；
（2）若存在实数x ，使得不等式()12|2|f x a x ≥-++成立，求实数a 的取值范围．
高三年暑假考试数学（理科）参考答案（2016.08）
一、选择题
二、填空题
13. 6480- 14. 1- 15．5
16. 52π
22.（1）PA 是圆O 的切线，PAB ACB ∴∠=∠，又P ∠是公共角，ABP CAP ∴∆∆
22CA AP AC AB AB BP
∴==∴=； （2）由切割线定理，得2,20PA PB PC PC =⋅∴=，又5,15PB BC ==
又AD 是BAC ∠的平分线，2AC CD AB DB
∴== 由相交弦定理，得50AD DE CD DB ⋅=⋅=.
23. 解：（1）当3π
α=时， 直线l
0y --=
∴直线l
cos sin θρθ-=
2cos()6π
ρθ+=（2）曲线2cos :sin x C y ϕϕ
=⎧⎨=⎩普通方程是：2
214x y +=，
将2cos sin x t y t αα
=+⎧⎪⎨=⎪⎩代入曲线C 的普通方程，整理得：
而直线的斜率为，则t a n α= 代入上式求得
512(1)16||||751416PA PB +⋅==+⨯．
24．【命题意图】本题主要考查绝对值不等式的解法、三角不等式的应用等基础知识，意在考
查等价转化的能力、逻辑思维能力、运算求解能力，以及分类讨论的思想与转化思想．
24. 解析不等式()3f x ≤化为2323x x --+≤，则
22323x x x ≤-⎧⎨-++≤⎩，或2232323x x x ⎧-<≤⎪⎨⎪---≤⎩，或233223
x x x ⎧>⎪⎨⎪---≤⎩，…………3分 解得3742
x -≤≤， 所以不等式()3f x ≤的解集为37{|}42x x -≤≤． ……………………5分 （2）不等式()12|2|f x a x ≥-++等价于3321a x x a --+≥-，
即3361x a x a --+≥-，
由三角不等式知336|(3)(36)||6|x a x x a x a --+≤--+=+．………………8分 若存在实数a ，使得不等式()12|2|f x a x ≥-++成立，则|6|1a a +≥-，
解得
5
2
a≥-，
所以实数a的取值范围是
5
[,)
2
-+∞．……………………10分。