福建省莆田市2021届新高考三诊数学试题含解析

福建省莆田市2021届新高考三诊数学试题
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2550S =，则1115a a +=（ ） A ．4 B ．8
C ．16
D ．2
【答案】A 【解析】 【分析】
利用等差的求和公式和等差数列的性质即可求得. 【详解】
()
1252512511152550442
a a S a a a a +=
=⇒+=⇒+=.
故选:A . 【点睛】
本题考查等差数列的求和公式和等差数列的性质,考查基本量的计算,难度容易.
2．设双曲线22
1x y a b
+=的一条渐近线为2y x =-，且一个焦点与抛物线24x y =的焦点相同，则此双曲
线的方程为（ ） A ．
2
25514
x y -= B ．2
2
5514
y x -
= C ．
2
25514
y x -= D ．2
2
5514
x y -
= 【答案】C 【解析】 【分析】
求得抛物线的焦点坐标，可得双曲线方程22
1y x b a
-=-的渐近线方程为y =，由题意可得4b a =-，又21c =，即1b a -=，解得a ，b ，即可得到所求双曲线的方程. 【详解】
解：抛物线2
4x y =的焦点为()
0,1
可得双曲线()22
10,0x y b a a b
+=><
即为22
1y x b a
-=-的渐近线方程为y =
2=，即4b a =- 又21c =，即1b a -= 解得15a =-
，45
b =. 即双曲线的方程为2
25514
y x -=.
故选：C 【点睛】
本题主要考查了求双曲线的方程，属于中档题.
3．已知双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b -=>>的渐近线方程为34
y x =?，且其右焦点为(5,0)，则双曲线C 的
方程为（ ）
A ．22
1916
x y -=
B ．22
1169x y -
= C ．22
134x y -
= D ．22
143
x y -
= 【答案】B 【解析】
试题分析：由题意得34b a =，222
25c a b =+=，所以4a =，3b =，所求双曲线方程为221169
x y -=．
考点：双曲线方程.
4．已知平行于x 轴的直线分别交曲线2ln 21,21(0)y x y x y =+=-≥于,A B 两点，则4AB 的最小值为（ ） A ．5ln 2+ B ．5ln 2- C ．3ln 2+ D ．3ln 2-
【答案】A 【解析】 【分析】
设直线为1122(0),(,)(,)y a a A x y B x y =>，用a 表示出1x ，2x ，求出4||AB ，令2
()2ln f a a a =+-，
利用导数求出单调区间和极小值、最小值，即可求出4||AB 的最小值． 【详解】
解：设直线为1122(0),(,)(,)y a a A x y B x y =>，则1ln 21a x =+，11
(ln 1)2
x a ∴=
-， 而2x 满足2
221a x =-，221
2
a x +∴=
那么()()22211144()4ln 122ln 22a AB x x a a a ⎡⎤
+=-=--=+-⎢
⎥⎣⎦
设2
()2ln f a a a =+-，则221
()a f a a -'=，函数()f a 在0,2⎛ ⎝⎭
上单调递减，在2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，
所以min
min 42()25ln 2AB f a f ===+⎝⎭
故选：A ． 【点睛】
本题考查导数知识的运用：求单调区间和极值、最值，考查化简整理的运算能力，正确求导确定函数的最小值是关键，属于中档题．
5．已知全集U =R ，集合{}1A x x =<，{}12B x x =-≤≤，则()
U A B =I ð（ ） A ．{}
12x x <≤ B ．{}
12x x ≤≤
C ．{}
11x x -≤≤
D ．{}
1x x ≥-
【答案】B 【解析】 【分析】
直接利用集合的基本运算求解即可． 【详解】
解：全集U =R ，集合{}
1A x x =<，{}
12B x x =-≤≤，
{}U |1A x x ∴=≥ð
则(){}{}{}|1|12|12U A B x x x x x x =-=I I 厔
剟?ð， 故选：B ． 【点睛】
本题考查集合的基本运算，属于基础题．
6．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.若25a =-，416S =-，则6a =（ ） A ．5 B ．3
C ．－12
D ．－13
【答案】B 【解析】 【分析】
由题得15a d +=-，143
4162
a d ⨯+=-，解得17a =-，2d =，计算可得6a . 【详解】
25a =-Q ，416S =-，15a d ∴+=-，143
4162
a d ⨯+
=-，解得17a =-，2d =， 6153a a d ∴=+=.
故选：B 【点睛】
本题主要考查了等差数列的通项公式，前n 项和公式，考查了学生运算求解能力.
7．小明有3本作业本，小波有4本作业本，将这7本作业本混放在-起，小明从中任取两本.则他取到的均是自己的作业本的概率为( ) A ．
17
B ．27
C ．
13
D ．
1835
【答案】A 【解析】 【分析】 利用A
n P n
=
计算即可，其中A n 表示事件A 所包含的基本事件个数，n 为基本事件总数. 【详解】
从7本作业本中任取两本共有2
7C 种不同的结果，其中，小明取到的均是自己的作业本有2
3C 种不同结果，
由古典概型的概率计算公式，小明取到的均是自己的作业本的概率为23271
7
C C =.
故选：A. 【点睛】
本题考查古典概型的概率计算问题，考查学生的基本运算能力，是一道基础题.
8．已知奇函数()f x 是R 上的减函数，若,m n 满足不等式组()(2)0(1)0()0f m f n f m n f m +-≥⎧⎪
--≥⎨⎪≤⎩
，则2m n -的最小值
为（ ） A ．-4 B ．-2
C ．0
D ．4
【答案】B 【解析】 【分析】
根据函数的奇偶性和单调性得到可行域，画出可行域和目标函数，根据目标函数的几何意义平移得到答案. 【详解】
奇函数()f x 是R 上的减函数，则()00f =，且2100m n
m n m ≤-⎧⎪
--≤⎨⎪≥⎩
，画出可行域和目标函数，
2z m n =-，即2n m z =-，z 表示直线与y 轴截距的相反数，
根据平移得到：当直线过点()0,2，即0.2m n ==时，2z m n =-有最小值为2-. 故选：B .
【点睛】
本题考查了函数的单调性和奇偶性，线性规划问题，意在考查学生的综合应用能力，画出图像是解题的关键.
9．在区间[1,1]-上随机取一个数k ，使直线(3)y k x =+与圆2
2
1x y +=相交的概率为（ ）
A ．
12
B ．
13
C ．
24
D ．
23
【答案】C 【解析】 【分析】
根据直线与圆相交，可求出k 的取值范围，根据几何概型可求出相交的概率. 【详解】
因为圆心(0,0)，半径1r =，直线与圆相交，所以
211d k =
≤+，解得2244
k -≤≤
所以相交的概率22224
P ==
,故选C.
【点睛】
本题主要考查了直线与圆的位置关系，几何概型，属于中档题.
10．现有甲、乙、丙、丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动,则乙、丙两人恰好参加同一项活动的概率为
A ．
12
B ．
13
C ．
16
D ．
112
【答案】B 【解析】 【分析】
求得基本事件的总数为222
422226C C n A A =⨯=，其中乙丙两人恰好参加同一项活动的基本事件个数为222
2222m C C A ==,利用古典概型及其概率的计算公式，即可求解.
【详解】
由题意，现有甲乙丙丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动，
基本事件的总数为22
2
42222
6C C n A A =⨯=， 其中乙丙两人恰好参加同一项活动的基本事件个数为222
2222m C C A ==,
所以乙丙两人恰好参加同一项活动的概率为1
3
m p n ==，故选B. 【点睛】
本题主要考查了排列组合的应用，以及古典概型及其概率的计算问题，其中解答中合理应用排列、组合的知识求得基本事件的总数和所求事件所包含的基本事件的个数，利用古典概型及其概率的计算公式求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.
11．函数tan 4
2y x π
π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 的部分图象如图所示，则 ()
OA OB AB +⋅=u u u r u u u r u u u r （ ）
A ．6
B ．5
C ．4
D ．3
【答案】A 【解析】 【分析】
根据正切函数的图象求出A 、B 两点的坐标，再求出向量的坐标，根据向量数量积的坐标运算求出结果． 【详解】
由图象得,令tan 4
2y x π
π⎛⎫=- ⎪⎝⎭=0,即42x ππ-=kπ，k Z ∈
k=0时解得x=2，
令tan 4
2y x π
π⎛⎫=-
⎪⎝⎭=1,即424x πππ-=，解得x=3，
∴A(2,0),B(3,1)，
∴()()()2,0,3,1,1,1OA OB AB ===u u u r u u u r u u u r
，
∴()
()()5,11,1516OA OB AB +⋅=⋅=+=u u u r u u u r u u u r
.
故选：A. 【点睛】
本题考查正切函数的图象，平面向量数量积的运算，属于综合题，但是难度不大，解题关键是利用图象与正切函数图象求出坐标，再根据向量数量积的坐标运算可得结果，属于简单题. 12．设i 为虚数单位，则复数2
1z i
=-在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【答案】A 【解析】 【分析】
利用复数的除法运算化简z ，求得z 对应的坐标，由此判断对应点所在象限. 【详解】
()()()
2121111i z i i i i +=
==+--+Q ，∴对应的点的坐标为()1,1，位于第一象限. 故选：A. 【点睛】
本小题主要考查复数除法运算，考查复数对应点所在象限，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．某商场一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示，下列说法中正确的是______.
①2至3月份的收入的变化率与11至12月份的收入的变化率相同； ②支出最高值与支出最低值的比是6:1； ③第三季度平均收入为50万元； ④利润最高的月份是2月份．
【答案】①②③ 【解析】 【分析】
通过图片信息直接观察，计算，找出答案即可． 【详解】
对于①，2至月份的收入的变化率为
806032-=-20，11至12月份的变化率为7050
2111
-=-20，故相同，正确． 对于②，支出最高值是2月份60万元，支出最低值是5月份的10万元，故支出最高值与支出最低值的比是6：1，正确．
对于③，第三季度的7，8，9月每个月的收入分别为40万元，50万元，60万元，故第三季度的平均收入为
405060
3
++=50万元，正确．
对于④，利润最高的月份是3月份和10月份都是30万元，高于2月份的利润是80﹣60＝20万元，错误． 故答案为①②③． 【点睛】
本题考查利用图象信息，分析归纳得出正确结论，属于基础题目．
14．已知数列{}n a 的前n 项和公式为2
21n S n n =-+，则数列{}n a 的通项公式为___．
【答案】2,1
43,2n n a n n =⎧=⎨
-≥⎩
【解析】 【分析】
由题意，根据数列的通项n a 与前n 项和n S 之间的关系，即可求得数列的通项公式． 【详解】
由题意，可知当1n =时，112a S ==；
当2n ≥时，()2
21221143n n n a S S n n n n n -=-=---+-=-.
又因为11a =不满足43n a n =-，所以2,1
43,2n n a n n =⎧=⎨
-≥⎩
. 【点睛】
本题主要考查了利用数列的通项n a 与前n 项和n S 之间的关系求解数列的通项公式，其中解答中熟记数列的通项n a 与前n 项和n S 之间的关系，合理准确推导是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
15．若实数,x y 满足约束条件43
y x x y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩
，设32z =x y -的最大值与最小值分别为,m n ，则m
n =_____
．
【答案】72
【解析】 【分析】
画出可行域，平移基准直线320x y -=到可行域边界位置，由此求得最大值以及最小值，进而求得m n
的比值. 【详解】
画出可行域如下图所示，由图可知，当直线32z x y =-过点()3,1时，z 取得最大值7；过点()2,2时，z 取得最小值2，所以
72
m n =.
【点睛】
本小题主要考查利用线性规划求线性目标函数的最值.这种类型题目的主要思路是：首先根据题目所给的约束条件，画出可行域；其次是求得线性目标函数的基准函数；接着画出基准函数对应的基准直线；然后通过平移基准直线到可行域边界的位置；最后求出所求的最值.属于基础题.
16．已知函数()eln 2x f x x =，()2
2x g x x m
=-，若函数()()()h x g f x m =+有3个不同的零点x 1，x 2，x 3(x 1＜
x 2＜x 3)，则()()()1232f x f x f x ++的取值范围是_________．
【答案】()11002⎛⎫- ⎪⎝⎭U ，
， 【解析】 【分析】
先根据题意，求出()()()
h x g f x m =+的解得(),2
m
f x =
或()f x m =-，然后求出f(x)的导函数，求其单调性以及最值，在根据题意求出函数()()()
h x g f x m =+有3个不同的零点x 1，x 2，x 3(x 1＜x 2＜x 3)，分情况讨论求出()()()1232f x f x f x ++的取值范围. 【详解】
解：令t=f （x ），函数()()()
h x g f x m =+有3个不同的零点，
即()2
2t g t t m =
-+m=0有两个不同的解，解之得12,2m t t m ==- 即(),2m
f x =
或()f x m =- 因为()eln 2x
f x x
=的导函数
()()2
1ln (0)2e x f x x x
'-=
>，令()0f x '<，解得x>e ，()0f x '>，解得0<x<e ，
可得f （x ）在（0，e ）递增，在(),e +∞递减； f(x)的最大值为()1
2
f e = ，且()()0,;,0x f x x f x →→-∞→+∞→ 且f(1)=0；
要使函数()()()
h x g f x m =+有3个不同的零点，
（1）(),2
m
f x =
有两个不同的解，此时()f x m =-有一个解； （2）()f x m =-有两个不同的解，此时(),2
m
f x =有一个解
当(),2m
f x =有两个不同的解，此时()f x m =-有一个解，
此时11
,24
m m -==- ，不符合题意；
或是0,0m m -==不符合题意；
所以只能是01022m m -<⎧⎪
⎨<<⎪⎩
解得01m <<
()1f x m =-，()()23,2
m
f x f x ==
此时()()()1232f x f x f x ++=-m ， 此时10m -<-<
()f x m =-有两个不同的解，此时(),2
m
f x =
有一个解 此时
1
,122m m == ，不符合题意； 或是0,02
m
m ==不符合题意；
所以只能是021
02m
m ⎧<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩解得1
02m -<<
()12
m
f x =
，()()23f x f x m ==- 此时()()()1232f x f x f x ++=m -，
102
m <-<
综上：()()()1232f x f x f x ++的取值范围是()11002⎛⎫-⋃ ⎪⎝
⎭
，， 故答案为()11002⎛
⎫-⋃ ⎪⎝⎭
，
， 【点睛】
本题主要考查了函数与导函数的综合，考查到了函数的零点，导函数的应用，以及数形结合的思想、分类讨论的思想，属于综合性极强的题目，属于难题.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知数列{}n a ，{}n b ，数列{}n c 满足n n n a n c b n ⎧=⎨⎩，为奇数，为偶数
，n N *∈．
（1）若n a n =，2n
n b =，求数列{}n c 的前2n 项和2n T ；
（2）若数列{}n a 为等差数列，且对任意n N *∈，1n n c c +>恒成立． ①当数列{}n b 为等差数列时，求证：数列{}n a ，{}n b 的公差相等；
②数列{}n b 能否为等比数列？若能，请写出所有满足条件的数列{}n b ；若不能，请说明理由．
【答案】（1）12244
33
n n T n +=+-（2）①见解析②数列{}n b 不能为等比数列，见解析
【解析】 【分析】
（1）根据数列通项公式的特点，奇数项为等差数列，偶数项为等比数列，选用分组求和的方法进行求解；
（2）①设数列{}n a 的公差为d ，数列{}n b 的公差为1d ，当n 为奇数时，得出1d d ≥；当n 为偶数时，得出1d d ≤，从而可证数列{}n a ，{}n b 的公差相等；
②利用反证法，先假设{}n b 可以为等比数列，结合题意得出矛盾，进而得出数列{}n b 不能为等比数列． 【详解】
（1）因为n a n =，2n
n b =，所以22n n a a +-=，
2
4n n
b b +=且111
c a ==，224c b == 由题意可知，数列{}21n c -是以1为首项，2为公差的等差数列， 数列{}2n c 是首项和公比均为4的等比数列，
所以122(1)4(14)44
221433
n n n n n T n n +--=+⨯+=+--；
（2）①证明：设数列{}n a 的公差为d ，数列{}n b 的公差为1d ， 当n 为奇数时，1(1)n n c a a n d ==+-，1111n n c b b nd ++==+ 若1d d <，则当11
1a d b n d d
-->
-时，111()0n n c c d d n d a +-=-+-<，
即1n n c c +<，与题意不符，所以1d d ≥，
当n 为偶数时，11(1)n n c b b n d ==+-，111n n c a a nd ++==+， 若1d d >，则当111
1
b d a n d d -->
-时，11111()0n n c c d d n a d b +-=-++-<，
即1n n c c +<，与题意不符，所以1d d ≤， 综上，1d d =，原命题得证；
②假设{}n b 可以为等比数列，设公比为q ，
因为1n n c c +>，所以21n n n c c c ++>>，所以220n n a a d +-=>，
22
1n n
b q b +=>， 因为当2141log (1)
q
d
n b q >+-时，
1
2221(1)(1)4n n n n b b b q b q
q d -+-=-=⋅⋅->，
所以当n 为偶数，且11n n n a b a -+<<时，213(,)n n n b a a +++∉，
即当n 为偶数，且11n n n c c c -+<<时，123n n n c c c +++<<不成立，与题意矛盾，
所以数列{}n b 不能为等比数列． 【点睛】
本题主要考查数列的求和及数列的综合，数列求和时一般是结合通项公式的特征选取合适的求和方法，数列综合题要回归基本量，充分挖掘题目已知信息，细思细算，本题综合性较强，难度较大，侧重考查逻辑推理和数学运算的核心素养.
18．如图，在四棱锥M ABCD -中，AB AD ⊥，2AB AM AD ===，22MB MD ==.
（1）证明：AM ⊥平面ABCD ；
（2）若//CD AB ，2CD AB =，E 为线段BM 上一点，且2BE EM =，求直线EC 与平面BDM 所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析 （2）
159
53
【解析】 【分析】
（1）利用线段长度得到AM 与,AB AD 间的垂直关系，再根据线面垂直的判定定理完成证明； （2）以AD 、AM 、AB 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，利用直线的方向向量与平面的法向量夹角的余弦值的绝对值等于线面角的正弦值，计算出结果. 【详解】
（1）∵2AB AM AD ===，22MB MD == ∴222AM AD MD +=，222AM AB MB += ∴AM AD ⊥，AM AB ⊥
∵AB AD A ⋂=，AD ⊂平面ABCD ， ∴AM ⊥平面ABCD
（2）由（1）知AB AD ⊥，AM AD ⊥，AM AB ⊥
又A 为坐标原点，分别以AD 、AM 、AB 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，
则()0,0,0A ，()0,2,0M ，()2,0,0D ，()0,0,2B ，()2,0,1C ，()2,0,2BD =-u u u r ，()2,2,0DM =-u u u u r
，
∵2BE EB =u u u r u u u r ，∴420,,33E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，412,,33CE ⎛⎫=-- ⎪⎝
⎭u u u
r
设(),,n x y z =r
是平面BDM 的一个法向量
则00n BD n DM ⎧⋅=⎨⋅=⎩
u u u v v u u u u v v ，即220220x z x y -=⎡⎢-+=⎣，取1x =得()1,1,1n =r
∴41215933cos ,53||||53
33
CE CE CE n n n -+-⋅〈〉===⋅⨯
u u u r r u u u u r r u u r r
∴直线EC 与平面BDM 所成的正弦值为159
【点睛】
本题考查线面垂直的证明以及用向量法求解线面角的正弦，难度一般.用向量方法求解线面角的正弦值时，注意直线方向向量与平面法向量夹角的余弦值的绝对值等于线面角的正弦值.
19．在平面直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C ：
()2sin 2cos 0a a ρθθ=>.过点()2,4P --的直线l ：2
22
24x y ⎧
=-+⎪⎪
⎨
⎪=-+⎪⎩
（t 为参数）与曲线C 相交于M ，N 两点.
（1）求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；
（2）若MN PN
PM MN
=，求实数a 的值. 【答案】（1）()2
20y ax a =>，20x y --=；（2）1a =.
【解析】
【分析】
（1）将cos ,sin x y ρθρθ==代入2
sin 2cos a ρθθ=
求解，由22
42
x t y ⎧
=-+⎪⎪⎨
⎪=-+⎪⎩（t 为参数）消去t 即可. （2
）将2242
x t y ⎧
=-+⎪⎪
⎨
⎪=-+⎪⎩
（t 为参数）与2
2y ax =
联立得)()24840t a t a -+++=，设M ，N 两点对应的参数为1t ，2t
，则)124t t a +=+，()1284t t a =+，再根据
MN PN
PM MN
=，即2
MN PM PN =，利用韦达定理求解.
【详解】
（1）把cos sin x y ρθρθ
=⎧⎨=⎩代入2
sin 2cos a ρθθ=，
得()2
20y ax a =>，
由22
42
x t y t ⎧
=-+⎪⎪⎨
⎪=-+⎪⎩
（t 为参数）， 消去t 得20x y --=，
∴曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程分别是()2
20y ax a =>，20x y --=.
（2
）将24x y ⎧
=-+⎪⎪
⎨
⎪=-+⎪⎩
（t 为参数）代入2
2y ax =
得)()24840t a t a -+++=， 设M ，N 两点对应的参数为1t ，2t
，则)124t t a +=+，()1284t t a =+，
由MN PN PM MN
=得2
MN PM PN =， 所以()21212t t t t -=，即()2
12125t t t t +=， 所以()()2
84584a a +=⨯+，而0a >， 解得1a =. 【点睛】
本题主要考查参数方程、极坐标方程、直角坐标方程的转化和直线参数方程的应用，还考查了运算求解的
能力，属于中档题. 20．已知矩阵122M a ⎡⎤
=⎢
⎥⎣⎦
的一个特征值为3，求另一个特征值及其对应的一个特征向量. 【答案】另一个特征值为1，对应的一个特征向量11α⎡⎤
=⎢⎥-⎣⎦
【解析】 【分析】
根据特征多项式的一个零点为3，可得1a =，再回代到方程()0f λ=即可解出另一个特征值为21λ=-，最后利用求特征向量的一般步骤，可求出其对应的一个特征向量. 【详解】
矩阵M 的特征多项式为：
()()()1
2
142
f a a
λλλλλ--=
=-----，
13λ=Q 是方程()0f λ=的一个根，
()()31340a ∴---=，解得1a =，即1221M ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
∴方程()0f λ=即()()1140λλ---=，2230λλ--=，
可得另一个特征值为：21λ=-，
设21λ=-对应的一个特征向量为：x y α⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
则由2M λαα=，得220
220
x y x y --=⎧⎨--=⎩得x y =-，
令1x =，则1y =-，
所以矩阵M 另一个特征值为1-， 对应的一个特征向量11α⎡⎤
=⎢⎥-⎣⎦
【点睛】
本题考查了矩阵的特征值以及特征向量，需掌握特征多项式的计算形式，属于基础题. 21．已知数列{}n a ，{}n b 满足1111113,1,22,1n n n n n n n n a b a a b b a a b b ++++==-=--=-+. （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；
（2）分别求数列{}n a ，{}n b 的前n 项和n S ，n T .
【答案】（1）11222222n
n n n n n a b =++=--；（2）2132244n n n S n +=-++；21
32244
n n n T n +=---
【解析】 【分析】
（1）11)2(n n n n a b b a +++=+，114a b +=，可得{}n n a b +为公比为2的等比数列，111n n n n a a b b ++=--+可得{}n n a b -为公差为1的等差数列，再算出{}n n a b +，{}n n a b -的通项公式，解方程组即可； （2）利用分组求和法解决. 【详解】 （1）依题意有()111121
n n n n n n n n a b a b a b a b ++++⎧+=+⎨
-=-+⎩
又111142a b a b +=-=；.
可得数列{}n n a b +为公比为2的等比数列，{}n n a b -为公差为1的等差数列，
由()()
1
11112
(1)n n n n n a b a b a b a b n -⎧+=+⨯⎪⎨-=-+-⎪⎩，得121n n n n n a b a b n +⎧+=⎨
-=+⎩ 解得1222
1222n
n n n n a n a ⎧=++⎪⎪⎨
⎪=--
⎪⎩
故数列{}n a ，{}n b 的通项公式分别为11
222222
n
n n n n n a b =+
+=--；. （2）(
)21
212(1)32
212
4
2
44
n n n
n n n n S n
+-+=++=-++-， (
)21
212(1)32
212
4
2
44
n n n n n n n T n
+-+=
--=----. 【点睛】
本题考查利用递推公式求数列的通项公式以及分组求和法求数列的前n 项和，考查学生的计算能力，是一道中档题. 22．记函数1
()212
f x x x =++-的最小值为m . （1）求m 的值；
（2）若正数a ，b ，c 满足abc m =，证明：9
ab bc ca a b c
++≥++.
【答案】（1）1m =（2）证明见解析
【解析】
【分析】
（1）将函数()
f x转化为分段函数或利用绝对值三角不等式进行求解；（2）利用基本不等式或柯西不等式证明即可.
【详解】
解法一：（1）
11
3,
22
311 (),
222
11
3,
2
2
x x
f x x x
x x
⎧
-+≤-
⎪
⎪
⎪
=-+-<≤
⎨
⎪
⎪
->
⎪⎩
当
1
2
x≤-时，
1
()2
2
f x f
⎛⎫
≥-=
⎪
⎝⎭
，
当
11
22
x
-<≤，
1
()1
2
f x f
⎛⎫
≥=
⎪
⎝⎭
，
当
1
2
x>时，
1
()1
2
f x f
⎛⎫
>=
⎪
⎝⎭
，
所以min()1
m f x
==
解法二：（1）
11
3,
22
311
(),
222
11
3,
22
x x
f x x x
x x
⎧
-+≤-
⎪
⎪
⎪
=-+-<≤
⎨
⎪
⎪
->
⎪⎩
如图
当
1
2
x=时，
min
()1
m f x
==
解法三：（1）
111
()
222
f x x x x
=++-+-
111
222
x x x
⎛⎫⎛⎫
≥+--+-
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
1112
x =+-
≥ 当且仅当1102210
2x x x ⎧⎛⎫⎛⎫+-≤ ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭
⎨⎪-=⎪⎩
即12x =时，等号成立.
当1
2
x =
时min ()1m f x == 解法一：（2）由题意可知，111
ab bc ca c a b
++=
++， 因为0a >，0b >，0c >，所以要证明不等式9
ab bc ca a b c
++≥
++，
只需证明111()9a b c c a b ⎛⎫
++++≥
⎪⎝
⎭，
因为111()9a b c c a b ⎛⎫
++++≥=
⎪⎝⎭
成立， 所以原不等式成立.
解法二：（2）因为0a >，0b >，0c >
，所以0ab bc ca ++≥>，
0a b c ++≥>，
又因为1abc =，
所以()()9a b c ab bc ac ++++≥=，
()()9ab bc ac a b c ++++≥
所以9
ab bc ca a b c
++≥
++，原不等式得证.
补充：解法三：（2）由题意可知，111ab bc ca c a b
++=
++， 因为0a >，0b >，0c >，所以要证明不等式9
ab bc ca a b c
++≥
++，
只需证明111()9a b c a b c ⎛⎫
++++≥
⎪⎝⎭
，
由柯西不等式得：2
111()9a b c a b c ⎛⎫
++++≥= ⎪⎝⎭成立， 所以原不等式成立. 【点睛】
本题主要考查了绝对值函数的最值求解，不等式的证明，绝对值三角不等式，基本不等式及柯西不等式的应用，考查了学生的逻辑推理和运算求解能力.
23．已知椭圆 ()22
22:10x y C a b a b
+=＞＞
的焦距为12的直线与椭圆交于,A B 两点，若线段
AB 的中点为D ，且直线OD 的斜率为1
2
-.
（1）求椭圆C 的方程；
（2）若过左焦点F 斜率为k 的直线l 与椭圆交于点,M N ,P 为椭圆上一点，且满足OP MN ⊥，问：
2
11MN OP +是否为定值？若是，求出此定值，若不是，说明理由. 【答案】 (1) 2
214
x y +=.
(2)
211||||MN OP +为定值5
4
.过程见解析. 【解析】
分析：（1
）焦距说明c =
2
2
AB OD b k k a
⋅=-＝14-.这样可解得,a b ，得椭圆方程；
（2）若0k =，这种特殊情形可直接求得2
11
MN OP +，在0k ≠时，直线MN
方程为(y k x =+，设1122(,),(,)M x y N x y ，把直线方程代入椭圆方程，后可得1212,x x x x +
，然后由纺长公式计算出弦长
12MN x =-，
同时直线OP 方程为1
=-y x k
，代入椭圆方程可得P 点坐标，从而计算出OP ，最后计算2
11MN OP +即可. 详解：（1
）由题意可知c =
，设()()1122,,,A x y B x y ，代入椭圆可得：
22221122
222211x y x y a b a b
+=+=，，两式相减并整理可得， 2221221112y x y y b y x x x a -+⋅=--+，即2
2AB OD b k k a
⋅=-.
又因为12AB k =
，1
2
OD k =-，代入上式可得，224a b =. 又2
2
2
2
,3a b c c =+=，所以22
4,1a b ==，
故椭圆的方程为2
214
x y +=.
（2
）由题意可知，()
F ，当MN 为长轴时，OP 为短半轴，此时
21115=+1=||44
MN OP +； 否则，可设直线l
的方程为(y k x =+
，联立(2
214x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消y 可得，
(
)22221+41240k x x k ++-=，
则有：2121221241+4k x x x x k
-+==，
所以21124+41+4k MN x k =-= 设直线OP 方程为1y x k =-，联立2
2141x y y x k ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
，根据对称性，
不妨得P ⎛
⎫ ⎝，
所以OP ==
故2222222111+41+445=+=||4+44+44+44k k k MN OP k k k ++， 综上所述，211||MN OP +为定值54
. 点睛：设直线与椭圆22
221x y a b
+=相交于两点1122(,),(,)A x y B x y ，AB 的中点为00(,)C x y ，则有22AB OD b k k a
⋅=-，证明方法是点差法：即把点,A B 坐标代入椭圆方程得2211221x y a b +=，2222221x y a b +=，两式相减，结合斜率公式可得.。