7多个物体动量守恒问题

多个物体动量守恒问题
考点规律分析
(1)正确选取研究对象，有时需对整体应用动量守恒定律，有时只需对部分物体应用动量守恒定律。

研究对象的选取，一是取决于系统是否满足动量守恒的条件，二是根据所研究问题的需要。

(2)正确进行过程的选取和分析，通常对全程进行分段分析，并找出联系各阶段的状态量。

列式时有时需分过程多次应用动量守恒定律；有时只需针对初、末状态建立动量守恒的关系式。

典型例题
例两只小船质量分别为m1＝500 kg、m2＝1000 kg，它们平行逆向航行，航线邻近，当它们头尾相齐时，从每一只船上各投质量m＝50 kg的麻袋到对面的船上，如图所示，结果质量较小的船停了下来，另一只船则以v＝8.5 m/s的速度沿原方向航行，若水的阻力不计，求在交换麻袋前两只船的速率。

[规范解答]以质量较小的船的速度方向为正方向，选取质量较小的船和从质量较大的船投过去的麻袋组成的系统为研究对象，如题图所示，根据动量守恒定律有
(m1－m)v1－m v2＝0
即450v1－50v2＝0①
选取质量较大的船和从质量较小的船投过去的麻袋组成的系统为研究对象，根据动量守恒定律有
m v1－(m2－m)v2＝－m2v
即50v1－950v2＝－1000×8.5②
选取两船、两个麻袋组成的系统为研究对象有
m1v1－m2v2＝－m2v
即500v1－1000v2＝－1000×8.5③
联立①②③式中的任意两式解得
v1＝1 m/s，v2＝9 m/s。

[完美答案] 1 m/s9 m/s
1．应用动量守恒定律解题的步骤
(1)找：找研究对象(系统包括哪几个物体)和研究过程；
(2)析：进行受力分析，判断系统动量是否守恒(或在某一方向是否守恒)；
(3)定：规定正方向，确定初、末状态动量的正、负号，画好分析图；
(4)列：由动量守恒定律列式；
(5)算：合理进行运算，得出最后的结果，并对结果进行讨论。

在以上五步中“找”与“析”是关键所在。

举一反三
1.(2019·云南大理下关一中期中)如图所示，质量为2 kg的平板车B上表面水平，原来静止在光滑水平面上，平板车一端静止着一块质量为2 kg的物体A，一颗质量为m＝0.01 kg的子弹以速度v0＝600 m/s水平瞬间射穿A后，速度变为v′＝100 m/s，已知A、B之间的动摩擦因数为0.05，平板车B足够长，求：
(1)子弹穿过A瞬间，A的速度大小；
(2)B最终的速度大小。

答案(1)2.5 m/s(2)1.25 m/s
解析(1)子弹与A作用过程时间极短，内力远大于外力，子弹与A组成的系统动量守恒，取v0方向为正方向，由动量守恒定律，得
m v0＝m v′＋m A v A
解得v A＝2.5 m/s。

(2)子弹射穿A后，物体A与平板车B组成的系统动量守恒，A与B作用过程中，由动量守恒定律，得
m A v A＝(m A＋m B )v B
解得v B＝1.25 m/s。

2．质量为M的小车静止在光滑的水平面上，质量为m的物块以水平方向的初速度v0从小车左侧滑上小车，经过t时间物块刚好停在小车右端，求：
(1)小车最终速度的大小v；
(2)小车对物块的摩擦力f的大小。

答案(1)
m v0
m＋M(2)
mM v0
(m＋M)t
解析(1)对物块与小车组成的系统，由动量守恒定律，则有：m v0＝(m＋M)v
解得小车最终速度大小：v＝
m v0
m＋M。

(2)对物块，根据动量定理，则有
－ft＝m v－m v0
解得小车对物块的摩擦力f的大小：
f＝
mM v0 (m＋M)t。

3．(动量守恒定律的应用)如图所示，质量均为M＝0.4 kg的两长平板小车A 和B，开始时紧靠在一起且都静止于光滑水平面上。

质量为m＝0.2 kg的小物块(可看成质点)以初速度v＝9 m/s从最左端滑上A小车的上表面，最后停在B小车的最右端时速度为v2＝2 m/s，最后A小车的速度v1为()
A．2 m/s B．1.5 m/s C．1 m/s D．0.5 m/s
答案B
解析以两长平板小车与物块组成的系统为研究对象，以物块的初速度方向为正方向，由动量守恒定律得m v＝M v1＋(m＋M)v2，代入数据解得v1＝1.5 m/s，故B正确。

4．(动量守恒定律的应用)如图所示，在光滑的水平面上有两块并列放置的木块A与B，已知A的质量是500 g，B的质量是300 g，有一质量为80 g的小铜块C(可视为质点)以25 m/s的水平初速度开始在A的表面滑动。

铜块最后停在B上，B与C一起以2.5 m/s的速度共同前进。

求：
(1)木块A最后的速度大小v A′；
(2)C离开A时的速度大小v C′。

答案(1)2.1 m/s(2)4 m/s
解析(1)选A、B、C作为一个系统，小铜块C在木块A、B上面滑动的整
个过程中，系统的动量守恒，则m C v0＝m A v A′＋(m B＋m C)v BC
代入数据解得v A′＝2.1 m/s。

(2)仍选A、B、C作为一个系统，C在A上滑动时，系统动量守恒，C离开A时木块A、B的速度大小v AB＝v A′＝2.1 m/s，
则m C v0＝m C v C′＋(m A＋m B)v AB，解得v C′＝4 m/s。

5. (动量守恒定律的应用)光滑水平轨道上有三个木块A、B、C，质量分别为m A＝3m，m B＝2m C＝2m，开始时B、C均静止，A以初速度v0向右运动，A与B 相撞后分开，B又与C发生碰撞并粘在一起，此后A与B间的距离保持不变，求B与C碰撞前B的速度大小。

答案3 4v0
解析设A与B碰撞后，A的速度为v A，B与C碰撞前，B的速度为v B，B 与C碰撞后粘在一起的速度为v，由动量守恒定律得
对A、B木块：m A v0＝m A v A＋m B v B①
对B、C木块：m B v B＝(m B＋m C)v②
由A与B间的距离保持不变可知v A＝v③
联立①②③式，代入数据得v B＝3
4v0。

6．(动量守恒定律的应用)如图所示，在距水平地面高h＝0.80 m的水平桌面一端的边缘放置一个质量m＝0.80 kg的木块B，桌面的另一端有一块质量M＝1.0 kg的木块A以初速度v0＝4.0 m/s开始向着木块B滑动，经过时间t＝0.80 s 与B发生碰撞，碰后两木块都落到地面上。

木块B离开桌面后落到地面上的D 点。

设两木块均可以看做质点，它们的碰撞时间极短，且已知D点距桌面边缘的水平距离s＝0.60 m，木块A与桌面间的动摩擦因数μ＝0.25，重力加速度取g ＝10 m/s2。

求：
(1)两木块碰撞前瞬间，木块A 的速度大小；
(2)木块B 离开桌面时的速度大小；
(3)木块A 落到地面上的位置与D 点之间的距离。

答案 (1)2.0 m/s (2)1.5 m/s (3)0.28 m
解析 (1)木块A 在桌面上受到滑动摩擦力作用做匀减速运动，根据牛顿第二定律，木块A 的加速度
a ＝μMg M ＝2.5 m/s 2
设两木块碰撞前A 的速度大小为v ，根据运动学公式，得
v ＝v 0－at ＝2.0 m/s 。

(2)两木块离开桌面后均做平抛运动，设木块B 离开桌面时的速度大小为v 2，在空中飞行的时间为t ′。

根据平抛运动规律有：
h ＝12gt ′2，s ＝v 2t ′，解得：v 2＝s
g 2h ＝1.5 m/s 。

(3)设两木块碰撞后木块A 的速度大小为v 1，根据动量守恒定律有：M v ＝M v 1
＋m v 2
解得：v 1＝M v －m v 2M
＝0.80 m/s 设木块A 落到地面过程的水平位移为s ′，根据平抛运动规律，得 s ′＝v 1t ′＝v 12h g ＝0.32 m 则木块A 落到地面上的位置与D 点之间的距离
Δs ＝s －s ′＝0.28 m 。