2019-2020学年年北京第三十五中学初三上册期中考试试卷数学试卷.doc

北京第三十五中学初三上学期数学期中试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题只有唯一正确答案．每小题3分，共30分）
#1．抛物线2(2)3y x =-+-的顶点坐标是（ ）． A ．(2,3)- B ．(2,3)- C ．(2,3) D ．(2,3)--
【答案】D
【解析】抛物线的顶点为(2,3)--，故答案为D ．
#2．如图，在ABC △中，若DE BC ∥，:1:2AD BD =，若ADE △的面积等于2，则ABC △的面积等于（ ）． A ．6 B ．8 C ．12 D ．18
【答案】D
【解析】∵DE BC ∥，∴ADE ABC ∽△，则有21
()9
ADE ABC S AD S AB ==△△． 故918ABC ADE S S ==△△．故答案为D ．
#3．如图，ABC △中，90C ∠=︒，2BC =，3AB =，则下列结论正确的是（ ）． A ．5
sin 3
A =
B ．2
cos 3A = C ．2sin 3
A =
D ．5tan 2
A =
【答案】B
【解析】在Rt ABC △中，2sin 3BC A AB =
=，25cos 1sin 3
A A =-=，sin 2
tan cos 5A A A ==，故答案为C ．
#4．若如图所示的两个四边形相似，则α∠的度数是（ ）． A ．87︒ B ．60︒ C
．
75︒
D ．120︒
【答案】A
【解析】两四边形相似，则各内角相等，且四边形内角和为360︒，所以
3606013875α∠=︒-︒-︒-︒=︒．故答案为A ．
#5．已知2sin 1α=（α为锐角），则α的度数为（ ）．
A ．30︒
B ．45︒
C ．15︒
D ．60︒
【答案】C
【解析】∵2sin 1α=，∴1sin 2α=，即π2π6k α=+或5
2ππ6
k +， ∵α为锐角，∴π
6
α=，即30︒． 故答案为A ．
#6．已知二次函数()21()y x x a =+-，其中0a >，若当2x ≤时，y 随x 增大而减小，当2x ≥时y 随
x
增大而增大，则a 的值是（ ）． A ．3 B ．5 C ．7 D ．不确定
【答案】D
【解析】()2
2
21(1)()2()22
221()2a a x ax y x x x a x a a --=-+-=--+-=-，由题意可知，对称轴为2x =，故1
22a -=，则5a =．故答案为B ．
#7．将α∠放置在正方形网格纸中，位置如图所示，则tan α的值是（ ）．
A ．2
B ．
1
2
C ．
52
D ．
25
5
【答案】A
【解析】数方格即可．4
tan 22
α==．故答案为A ．
#8．已知函数2y ax bx c +=+的图象如图所示，则函数y ax b =+的图象是（ ）．
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B
【解析】根据图中二次函数的图象可看出，0a <，02b
a
-
>，即0b >， 一次函数y ax b =+，其斜率0a <，函数单调递减，0b >，函数与y 轴的交点在x 轴上方．
故答案为B ．
#9．如图，平行四边形ABCD 中，EF AB ∥，: 1:2DE EA =，4EF =，则CD 的长为（ ）．
A ．4
3
B ．8
C ．12
D ．16
【答案】C
【解析】∵EF AB ∥，∴DEF DAB ∽△△，
∴
1
3EF DE AB DA ==， ∴312AB EF ==， 又四边形ABCD 为平行四边形， ∴12AB CD ==．
故答案为C ．
#10．如图，已知矩形ABCD 的长AB 为5，宽BC 为4．E 是BC 边上的一个动点，
AE EF ⊥，EF 交CD 于点F ．设B
E x =，FC y =，则点E 从点B 运动到点C 时，
能表示y 关于x 的函数关系的大致图象是（ ）．
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A
【解析】∵4BC =，BE x =， ∴4CE x =-． ∵AE EF ⊥，
∴90AEB CEF ∠+∠=︒， ∵90CEF CFE ∠+∠=︒， ∴AEB CFE ∠=∠． 又∵90B C ∠=∠=︒， ∴Rt Rt AEB EFC ∽△△， ∴
AB BE
CE CF
=，即
54x x y =-， 整理得：22
114(4)(2)555
y x x x =-=--+，
∴y 关于x 的函数关系式为：2
14(2)55
y x =--+（04x ≤≤），
由关系式可知，函数图象为一段抛物线，开口向下，顶点坐标为4
(2,)5
，对称轴为直线2x =．
故答案为A ．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
#11．已知
52a b b +=，则b
a =__________． 【答案】3
2
【解析】512a b a b b +=+=，故3
2
a b =．
#12．已知方程20ax bx c ++=（0a ≠）的解是15x =，23x =-，那么抛物线2y ax bx c =++（0a ≠）与x 轴的两个交点的坐标分别是__________． 【答案】(5,0)、(3,0)-
【解析】抛物线与x 轴的两个交点即为方程20ax bx c ++=的解，所以交点坐标为(5,0)和(3,0)-．
#13．将一副三角尺如图所示叠放在一起，则BE
EC
的值是__________． 【答案】
33
【解析】根据特殊三角形的性质可知，AB AC =，3CD AC =，
由于AB CD ∥，∴ABE DCE ∽
△△，
∴1
3AB BE CD EC ==． 即
3
3
BE EC =
．
#14．如图，利用标杆BE 测量建筑物的高度，标杆BE 高1.5米，测得2AB =米，
14BC =米，则楼高CD 为__________米．
【答案】12
【解析】根据相似可得：
BE AB CD AC =，即1.521
2148
CD ==+，则12CD =米．
#15．如图，这个二次函数图象的表达式可能是__________．（只写出一个） 【答案】22y x x =-
【解析】二次函数开口向上，即0a >，而该点经过原点，则0c =， 又该函数对称轴在y 轴右侧，则0b <． 可写出该二次函数的表达式可能为22y x x =-．
#16．我们把对称中心重合，四边分别平行的两个正方形之间的部分叫做“方环形”，易知方环形四周
的宽度相等．当直线l 与方环形的邻边相交时（如图），
l 分别交AD 、A D ''、
D C ''、DC 于M 、M '、N '、N ，l 与DC 的夹角为α，那么
MM N N
''的值为__________（用含α的三角比表示）．
【答案】tan α
【解析】∵EM CD '∥， ∴EM M DNN α''∠=∠=， 在Rt FNN '△中，sin FN NN
α'
='， ∴sin FN NN α
'
'=
， 在Rt EMM '△中，cos EM MM α'
='， ∴cos EM MM α
''=，
∴
sin cos MM EM N N FN α
α
''⋅=''⋅， 而EM FN ''=， ∴
tan MM N N
α'
='．
三、解答题（本大题共13小题，共72分，第17-26题，每题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
#17．计算：tan30cos60tan45sin30︒-︒⨯︒+︒． 【答案】
33
【解析】3113
tan30cos60tan 45sin3013223
︒-︒⨯︒+︒=-⨯+=
．
#18．如图，在ABC △中，D 、E 两点分别在AC 、AB 两边上，ABC ADE ∠=∠，7AB =，3AD =，
2.7AE =，求AC 的长．
【答案】3
3
．
【解析】在ABC △和ADE △中， ∵ABC ADE ∠=∠，A A ∠=∠，
∴ABC ADE ∽
△△， ∴
AB AC AD AE
=， ∴7 2.7
6.33
AB AE AC AD ⋅⨯=
==．
#19．已知：如图，ABC △中，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于D ，8AB =，3BC =． 求：sin ACD ∠的值及AD 的长
【答案】
55
8
，558． 【解析】在Rt ABC △中，22228355AC AB BC =-=-=，
∵90ACD BCD B BCD ∠+∠=∠+∠=︒， ∴B ACD ∠=∠， ∴55
sin sin 8
AC ACD B AB ∠==
=
， 5555
sin 5588
AD AC ACD =⋅∠=⋅
=．
#20．如图，二次函数21y x bx c =++的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，且点B 的坐标为(1,0)，点C 的坐标为(0,3)-，一次函数2y mx n =+的图象过点A 、C ．
@
（1）求二次函数的解析式． 【答案】2123y x x =+-．
【解析】点B 的坐标为(1,0)，点C 的坐标为(0,3)-， 代入到二次函数解析式中21y x bx c =++，
即2013b c c ⎧=++⎨-=⎩
，解得23b c =⎧⎨=-⎩，
故二次函数的解析式为2123y x x =+-．
@（2）求二次函数的图象与x 轴的另一个交点A 的坐标． 【答案】(3,0)-．
【解析】令2230x x +-=，解得23x =-，即另一个交点A 的坐标为(3,0)-．
@（3）根据图象写出21<y y 时，x 的取值范围． 【答案】1x >或0x <．
【解析】一次函数经过点A 、C ，即0
3m n n +=⎧⎨=-⎩，
解得33m n =⎧⎨=-⎩
，∴一次函数解析式为233y x =-，
当21<y y 时，可令23323x x x -<+-， 解得1x >或0x <．
#21．如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，3
sin 5
B =，点D 在B
C 边上，
6DC AC ==，求tan BAD ∠的值． 【答案】
17
． 【解析】在Rt ABC △中，∵3sin 5B =
，∴4tan 3
BAC ∠=， 又6DC AC ==，∴tan 1CAD ∠=， ∴41
tan tan 13tan tan()41tan tan 7
113
BAC CAD BAD BAC CAD BAC CAD -∠-∠∠=∠-∠=
==+∠⋅∠+⋅．
#22．飞机着陆后滑行的距离s （单位：m ）与滑行的时间t （单位：s ）的函数关系式是260 1.5s t t =-．飞
机着陆后滑行多远才能停下来？飞机着陆后滑行多长时间能停下来？ 【答案】飞机着陆后滑行20s 后，滑出600m 才能停下来． 【解析】飞机要停下来，即s 取最大值．
22260 1.5 1.5(40) 1.5(20)600s t t t t t =-=--=--+，
∴当20t =时，max 600s =．
即飞机着陆后滑行20s 后，滑出600m 才能停下来．
#23．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点ABC △（顶点是网格线的交点）．
D
C
B
A
@（1）将ABC △向上平移3个单位得到111A B C △，请画出111A B C △．
【答案】
【解析】见答案图1．
@（2）请画一个格点222A B C △，使222A B C ABC ∽△△，且相似比不为1．
【答案】．
【解析】见答案图2．
#24．如图，矩形ABCD 中，E 为AD 中点，EF EC ⊥交AB 于点F ，连接FC （AB AE >），AEF △和
EFC △相似吗？若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由．
【答案】相似，证明见解析．
【解析】AEF EFC ∽
△△． 证明：延长FE 与CD 的延长线交于G ， ∵E 为AD 中点，AE DE =，AEF GED ∠=∠， ∴Rt AEF △≌Rt DEG △．
∴EF EG =，
∵CE CE =，90FEC CEG ∠=∠=︒， ∴Rt EFC △≌Rt EGC △， ∴AFE EGC EFC ∠=∠=∠． 又∵90A FEC ∠=∠=︒， ∴Rt AEF △≌Rt ECF △．
#25．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．其中卷第九勾股，
主要讲述了以测量问题为中心的直角三角形三边互求的关系．其中记载：“今有邑方二百步，各中开门．出东门一五步有木．问出南门几何步而见木？”译文：“今有正方形小城边长为200步，
各方中央开一城门．走出东门15步处有树，问出南门多少步能见到树？”请你结合题意画出图形，并完成求解． 【答案】
2000
3
． 【解析】根据题意作出示意图，100BD AD BF ===，15BC =，
则有EAD EFC ∽
△△， ∴
EA AD EF CF =， ∴100
100115
AE AE =+，
解得：2000
3AE =．
即出南门2000
3
步才能见到树．
#26．@（1）在平面直角坐标系中，点A 的坐标是(0,2)．在x 轴上任取一点M ，完成下列作图步骤： ①连接AM ，作线段AM 的垂直平分线1l ，过M 作x 轴的垂线2l ，记1l 、2l 的交点为P ．
②在x 轴上多次改变点M 的位置，用①的方法得到相应的点P ，把这些点用平滑的曲线连接起来． 观察画出的曲线L ，猜想它是我们学过的哪种曲线．
【答案】2
11
4
y x =
+，抛物线． 【解析】如图所示， 连接AP ，过点A 作AN PM ⊥， ∵BP 是AM 的垂直平分线， ∴AP PM y ==．
∵PM x ⊥轴，
∴AN x =，(,)P x y ，2PN y =-，
∴222AN PN AP +=，即222(2)x y y +-=，即2
114
y x =
+． @（2）对于曲线L 上任意一点P ，线段PA 与PM 有什么关系？设点P 的坐标为(,)x y ，你能由PA 与PM 的关系得到x 、y 满足的关系式吗？你能由此确定曲线L 是哪种曲线吗？你得出的结论与（1）中你的猜想一样吗？
【答案】PA PM =，2
114
y x =
+，抛物线． 【解析】证明见第一问的解析．
#27．已知：抛物线22(1)2(0)y ax a x a a =--+->． @（1）求证：抛物线与x 轴有两个交点． 【答案】证明见解析．
【解析】22(1)20ax a x a --+-=， ∴2[2(1)]4(2)4a a a ∆=----=， 即0∆>．
∴抛物线与x 轴有两个交点．
@（2）设抛物线与x 轴有两个交点的横坐标分别为1x ，2x （其中12x x >）．若y 是关于a 的函数，且21y ax x =+，求这个函数的表达式．
【答案】1(0)y a a =->． 【解析】由求根公式，得2(1)2
2a x a
-±=， ∴1x =或2
1x a =-
． ∵0a >，12x x >， ∴11x =，221x a
=-
． ∴211y ax x a =+=-． 即1(0)y a a =->为所求．
@（3）在（2）的条件下，结合函数的图象回答：若使231y a ≤-+，则自变量a 的取值范围为__________． 【答案】2
03
a <≤
． 【解析】作出函数图象，即可得到．
#28．对某一种四边形给出如下定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四
边形”．
@（1）已知：如图1，四边形ABCD 是“等对角四边形”，A C ∠≠∠，70A ∠=︒，80B ∠=︒．则
C ∠=__________度，
D ∠=__________度．
【答案】130C ∠=︒，80D ∠=︒．
【解析】根据定义可知，80B D ∠=∠=︒，360280130C A ∠=︒-⋅︒-∠=︒
@（2）在探究“等对角四边形”性质时： 小红画了一个“等对角四边形ABCD ”（如图2），其中ABC ADC ∠=∠，AB AD =，此时她发现CB CD =
成立．请你证明此结论．
【答案】证明见解析． 【解析】①如图2，连接BD ， ∵AB AD =，
∴ABD ADB ∠=∠． ∵ABC ADC ∠=∠，
∴ABC ABD ADC ADB ∠-∠=∠-∠． ∴CBD CDB ∠=∠． ∴CB CD =．
@（3）已知：在“等对角四边形ABCD ”中，60DAB ∠=︒，90ABC ∠=︒，5AB =，4AD =．求对角线AC 的长．
【答案】27或213．
【解析】（Ⅰ）如图，当90ADC ABC ∠=∠=︒时，延长AD 、BC 相交于点E ， ∵90ABC ∠=︒，60DAB ∠=︒，5AB =， ∴10AE =．
∴1046DE AE AD =-=-=． ∵90EDC ∠=︒，30E ∠=︒， ∴23CD =． ∴27AC =．
（Ⅱ）如图，当60BCD DAB ∠=∠=︒时，过点D 作DM AB ⊥于点M ，DN BC ⊥于点N ， ∵DM AB ⊥，60DAB ∠=︒，4AD =， ∴2AM =，23DM =． ∴523BM AB AM =-=-=． ∵四边形BNDM 是矩形，
∴3DN BM ==，23BN DM ==． ∵60BCD ∠=︒， ∴3CN =．
∴33BC CN BN =+=． ∴213AC =． 即27AC =或213．
#29．如图1，抛物线2(0)y ax bx c a =++>的顶点为M ，直线y m =与x 轴平行，且与抛物线交于点A 、
B ，若AM B △为等腰直角三角形，我们把抛物线上A 、B 两点之间的部分与线段AB 围成的图形
称为该抛物线对应的准蝶形，线段AB 称为碟宽，顶点M 称为碟顶，点M 到线段AB 的距离称为碟高．
@（1）抛物线2
12
y x =
对应的碟宽为__________；抛物线24y x =对应的碟宽为__________；抛物线2y ax =（0a >）对应的碟宽为__________；抛物线2(2)3(0)y a x a =-+>对应的碟宽__________．
【答案】4，
12，2a ，2a
． 【解析】∵0a >， ∴2y ax =的图象大致如下：
其必过原点O ，记AB 为其碟宽，AB 与y 轴的交点为C ，连接OA 、OB ， ∵OAB △为等腰直角三角形，AB x ∥轴， ∴OC AB ⊥，
∴11
904522AOC BOC AOB ∠=∠=∠=⋅︒=︒，
∴ACO △与BCO △亦为等腰直角三角形， ∴AC OC BC ==，
∴A A x y =，B B x y =，代入2y ax =，
N
M
C
D
A
B
∴11(,)A a a -，11(,)B a a ，1(0,)C a
， ∴2AB a =，1OC a
=， 即2y ax =的碟宽为2a
． ①抛物线212y x =对应的12a =，得碟宽2a
为4； ②抛物线24y x =对应的4a =，得碟宽2a 为12
； ③抛物线2y ax =（0a >），碟宽为2a
； ④抛物线2(2)3(0)y a x a =-+>可看成2y ax =向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后得到的图形，
∵平移不改变形状、大小、放心，
∴抛物线2(2)3(0)y a x a =-+>的准蝶形≌抛物线2y ax =的准碟，
∵抛物线2y ax =（0a >），碟宽为2a
， ∴抛物线2(2)3(0)y a x a =-+>，碟宽为
2a ． @（2）若抛物线254(0)3
y ax ax a =-->对应的碟宽为6，且在x 轴上，求a 的值． 【答案】13
a =． 【解析】∵22554(2)(4)33
y ax ax a x a =--=--+， ∴同（1），其碟宽为2a
， ∵2543
y ax ax =--的碟宽为6， ∴26a
=， 解得13
a =， ∴21(2)33
y x =--． @（3）将抛物线2(0)n n n n n y a x b x c a =++>的对应准蝶形记为n F （1n =，2，3，…），定义1F ，2F ，…，n F 为相似准蝶形，相应的碟宽之比即为相似比．若n F 与1n F -的相似比为12
，且n F 的碟顶是1n F -的碟宽的中点，现在将（2）中求得的抛物线记为1y ，其对应的准蝶形记为1F ．
@@①求抛物线2y 的表达式． 【答案】27或213．
【解析】①∵1F 的碟宽：2F 的碟宽2:1=，
∴12
2
4a a =， ∵11
3a =， ∴22
3a =． ∵21
(2)33y x =--的碟宽AB 在x 轴上（A 在B 左边）， ∴(1,0)A -，(5,0)B ，
∴2F 的碟顶坐标为(2,0)， ∴2
22(2)3y x =-．
②∵n F 的准蝶形为等腰直角三角形， ∴n F 的碟宽为2n h ，
∵12:21:2n n h h -=， ∴23112311111()()()2222n n n n n h h h h h ----=====， ∵13h =，
∴13
2n n h -=．
∵1n n h h -∥，且都过1n F -的碟宽中点，
∴1h 、2h 、3h 、…、1n h -、n h 都在一条直线上， ∵1h 在直线2x =上，
∴1h 、2h 、3h 、…、1n h -、n h 都在直线2x =上， ∴n F 的碟宽右端点横坐标为13
22n -+．
令，1F ，2F ，…，n F 的碟宽右端点在一条直线上，直线为5y x =-+．
分析如下：
考虑2n F -，1n F -，n F
情形，关系如图， 2n F -，1n F -，n F 的碟宽分别为AB ，DE ，GH ；C ，F ，I 分别为其碟宽的中点，都在直线2x =上，连接右端点BE ，EH ． ∵AB x ∥轴，DE x ∥轴，GH x ∥轴， ∴AB DE GH ∥∥，
∴GH 平行相等于FE ，DE 平行相等于CB ， ∴四边形GFEH 、四边形DCBE 都为平行四边形， ∴HE GF ∥，EB DC ∥， ∵1
1
22GFI GFH DCE DCF
∠=⋅∠=⋅∠=∠，
∴GF DC ∥，
∴HE EB ∥，
∵HE 、EB 都过E 点，
∴HE 、EB 都在一条直线上， ∴2n F -，1n F -，n F 的碟宽右端点是在一条直线， ∴1F ，2F ，…，n F 的碟宽右端点是在一条直线． ∵2111
:(2)33F y x =--准蝶形右端点坐标为(5,0)， 2222:(2)3F y x =-准蝶形右端点坐标为33(2,)22+， ∴待定系数可得过两点的直线为5y x =-+， ∴1F ，2F ，…，n F 的碟宽右端点是在直线5y x =-+上．。