高考数学大一轮复习第八章解析几何课下层级训练45椭圆的概念及其性质含解析文新人教A版052825.doc

课下层级训练(四十五) 椭圆的概念及其性质
[A 级 基础强化训练]
1．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，离心率为3
3
，过F 2
的直线l 交C 于A 、B 两点．若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为( )
A ．x 23＋y 22＝1
B ．x 2
3＋y 2
＝1
C ．x 2
12＋y 28
＝1 D ．x 212＋y 2
4
＝1 A [由题意及椭圆的定义知4a ＝43，则a ＝3，又c a
＝c
3
＝
33
，∴c ＝1，∴b 2
＝2，∴C 的方程为x 23＋y 2
2
＝1.]
2．(2018·广东惠州调研)“m ＞n ＞0”是“方程mx 2＋ny 2
＝1表示焦点在y 轴上的椭圆”的( )
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
C [把椭圆方程化成x 21m
＋y 21n
＝1.若m ＞n ＞0，则1n ＞1
m
＞0.所以椭圆的焦点在y 轴上．反
之，若椭圆的焦点在y 轴上，则1n ＞1
m ＞0即有m ＞n ＞0.故为充要条件．]
3．设F 1，F 2分别是椭圆x 2
25＋y 2
16＝1的左、右焦点，P 为椭圆上一点，M 是F 1P 的中点，
|OM |＝3，则P 点到椭圆左焦点的距离为( )
A ．4
B ．3
C ．2
D ．5
A [由题意知|OM |＝1
2|PF 2|＝3，∴|PF 2|＝6，
∴|PF 1|＝2a －|PF 2|＝10－6＝4.]
4．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 2
3＝1的中心和左焦点，若P 为椭圆上的任意一点，则
OP →·FP →
的最大值为( )
A ．2
B ．3
C ．6
D ．8
C [由题意知，O (0,0)，F (－1,0)，设P (x ，y )，则OP →＝(x ，y )，FP →＝(x ＋1，y )，∴OP →·FP
→
＝x (x ＋1)＋y 2
＝x 2
＋y 2
＋x .又∵x 24＋y 2
3＝1，∴y 2
＝3－34
x 2，
∴OP →·FP →＝14x 2＋x ＋3＝14(x ＋2)2
＋2.∵－2≤x ≤2，
∴当x ＝2时，OP →·FP →
有最大值6.]
5．已知椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)的右顶点和上顶点分别为A ，B ，左焦点为F .以原点O 为
圆心的圆与直线BF 相切，且该圆与y 轴的正半轴交于点C ，过点C 的直线交椭圆于M ，N 两点．若四边形FAMN 是平行四边形，则该椭圆的离心率为( )
A ．35
B ．12
C ．23
D ．34
A [∵圆O 与直线BF 相切，∴圆O 的半径为bc a ，即|OC |＝bc a
，
∵四边形FAMN 是平行四边形，∴点M 的坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫a ＋c 2，bc a ，代入椭圆方程得a ＋c
2
4a 2
＋c 2b 2a 2b 2＝1，∴5e 2
＋2e －3＝0，又0<e <1，∴e ＝35
.] 6．已知椭圆x 2a 2＋y 2b
2＝1(a >b >0)的一个焦点是圆x 2＋y 2
－6x ＋8＝0的圆心，且短轴长为8，
则椭圆的左顶点为__________．
(－5,0) [∵圆的标准方程为(x －3)2
＋y 2
＝1，∴圆心坐标为(3,0)，∴c ＝3.又b ＝4，∴a ＝b 2
＋c 2
＝5.∵椭圆的焦点在x 轴上，
∴椭圆的左顶点为(－5,0)．]
7．已知P 为椭圆x 225＋y 2
16＝1上的一点，M ，N 分别为圆(x ＋3)2＋y 2＝1和圆(x －3)2＋y
2
＝4上的点，则|PM |＋|PN |的最小值为__________．
7 [由题意知椭圆的两个焦点F 1，F 2分别是两圆的圆心，且|PF 1|＋|PF 2|＝10，从而|PM |＋|PN |的最小值为|PF 1|＋|PF 2|－1－2＝7.]
8．已知椭圆的长轴长为10，两焦点F 1，F 2的坐标分别为(3,0)和(－3,0)． (1)求椭圆的标准方程；
(2)若P 为短轴的一个端点，求△F 1PF 2的面积．
解 (1)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)，
依题意得⎩⎪⎨
⎪⎧
2a ＝10，
c ＝3，
因此a ＝5，b ＝4，
所以椭圆的标准方程为x 225＋y 2
16＝1．
(2)易知|y P |＝4，又c ＝3，
所以S △F 1PF 2＝12|y P |×2c ＝1
2×4×6＝12．
9．已知椭圆x 2
＋(m ＋3)y 2
＝m (m >0)的离心率e ＝3
2
，求m 的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标．
解 椭圆方程可化为x 2m ＋y 2
m
m ＋3
＝1，m >0．
∵m －
m
m ＋3
＝m m ＋m ＋3>0，∴m >
m
m ＋3
，
∴a 2
＝m ，b 2
＝m
m ＋3
，c ＝a 2
－b 2
＝ m m ＋m ＋3
．
由e ＝
3
2，得 m ＋2m ＋3＝3
2
，∴m ＝1． ∴椭圆的标准方程为x 2
＋y 2
14＝1，∴a ＝1，b ＝12，c ＝3
2．
∴椭圆的长轴长和短轴长分别为2a ＝2和2b ＝1，焦点坐标为
F 1⎝ ⎛⎭⎪⎫－
32，0，F 2⎝ ⎛⎭
⎪⎫
32，0，四个顶点的坐标分别为A 1(－1,0)， A 2(1,0)，B 1⎝
⎛⎭
⎪⎫
0，－12，B 2⎝
⎛⎭
⎪⎫
0，12
．
[B 级 能力提升训练]
10．如图，椭圆x 2a 2＋y 2
2
＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 点在椭圆上，若 |PF 1|＝4，
∠F 1PF 2＝120°，则a 的值为( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
B [b 2
＝2，c ＝a 2
－2，故|F 1F 2|＝2a 2
－2，又|PF 1|＝4，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|PF 2|＝2a －4，由余弦定理得
cos 120°＝
42
＋
a －
2
－
a 2－2
2
a －
＝－1
2
，化简得8a ＝24，
即a ＝3.]
11．(2019·山东临沂月考)过椭圆x 225＋y 2
16＝1的中心任意作一条直线交椭圆于P ，Q 两
点，F 是椭圆的一个焦点，则△PQF 周长的最小值是( )
A ．14
B ．16
C ．18
D ．20
C [如图，设F 1为椭圆的左焦点，右焦点为F 2，
根据椭圆的对称性可知|F 1Q |＝|PF 2|，|OP |＝|OQ |，所以△PQF 1的周长为|PF 1|＋|F 1Q |＋|PQ |＝|PF 1|＋|PF 2|＋2|PO |＝2a ＋2|PO |＝10＋2|PO |，易知2|OP |的最小值为椭圆的短轴长，即点P ，Q 为椭圆的上下顶点时，△PQF 1即△PQF 的周长取得最小值为10＋2×4＝18.]
12．(2019·河北石家庄质检)椭圆x 2
4＋y 2
＝1的左，右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上
一动点，若∠F 1PF 2为钝角，则点P 的横坐标的取值范围是__________．
⎝ ⎛⎭⎪⎫－263
，263 [设椭圆上一点P 的坐标为(x ，y )，
则F 1P →＝(x ＋3，y )，F 2P →
＝(x －3，y )．
∵∠F 1PF 2为钝角，∴F 1P →·F 2P →<0，即x 2－3＋y 2
<0，① ∵y 2
＝1－x 24，代入①得x 2
－3＋1－x 2
4<0，34
x 2
<2，
∴x 2<8
3.解得－263<x <263，∴x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－263
，263.]
13．过椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)的左顶点A 且斜率为k 的直线交椭圆C 于另一个点B ，
且点B 在x 轴上的射影恰好为右焦点F 2，若13<k <1
2
，则椭圆的离心率的取值范围是__________.
⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，23 [如图所示，|AF 2|＝a ＋c ，|BF 2
|＝a 2－c 2
a ，
∴k ＝tan ∠BAF 2＝|BF 2||AF 2|＝a 2－c 2
a a ＋c ＝a －c
a
＝1－e ．
又∵13<k <12，∴13<1－e <12，解得12<e <2
3
.]
14．如图，焦点在x 轴上的椭圆x 24＋y 2b 2＝1的离心率e ＝1
2
，F ，A 分别是椭圆的一个焦点
和顶点，P 是椭圆上任意一点，求PF →·PA →
的最大值和最小值．
解 设P 点坐标为(x 0，y 0)．由题意知a ＝2，
∵e ＝c a ＝12
，∴c ＝1，∴b 2＝a 2－c 2
＝3．
所求椭圆方程为x 24＋y 2
3＝1．
∴－2≤x 0≤2，－3≤y 0≤3．
又F (－1,0)，A (2,0)，PF →
＝(－1－x 0，－y 0)， PA →
＝(2－x 0，－y 0)，
∴PF →·PA →＝x 20－x 0－2＋y 20＝14x 20－x 0＋1＝14(x 0－2)2
．
当x 0＝2时，PF →·PA →
取得最小值0， 当x 0＝－2时，PF →·PA →
取得最大值4．
15．已知椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，右顶点为A ，上顶点为B ，O 为坐标原点，
M 为椭圆上任意一点．过F ，B ，A 三点的圆的圆心坐标为(p ，q )．
(1)当p ＋q ≤0时，求椭圆的离心率的取值范围；
(2)若点D (b ＋1,0)，在(1)的条件下，当椭圆的离心率最小时，(MF →＋OD →)·MO →
的最小值为7
2
，求椭圆的方程．
解 (1)设椭圆半焦距为C ．由题意AF ，AB 的中垂线方程分别为x ＝
a －c
2，y －b 2＝a
b
(x －a
2)，于是圆心坐标为(a －c 2，b 2－ac
2b )． 所以p ＋q ＝a －c 2＋b 2－ac 2b
≤0，
整理得ab －bc ＋b 2
－ac ≤0，即(a ＋b )(b －c )≤0， 所以b ≤c ，于是b 2
≤c 2
，即a 2
＝b 2
＋c 2
≤2c 2
．
所以e 2
＝c 2a 2≥12，即2
2
≤e <1．
(2)当e ＝22时，a ＝2b ＝2c ，此时椭圆的方程为x 22c 2＋y
2
c 2＝1，
设M (x ，y )，则－2c ≤x ≤2c ，
所以(MF →＋OD →)·MO →＝12x 2－x ＋c 2＝12(x －1)2＋c 2
－12．
当c ≥
22时，上式的最小值为c 2－12，即c 2
－12＝72，得c ＝2； 当0<c <
22时，上式的最小值为12
(2c )2－2c ＋c 2
， 即12(2c )2－2c ＋c 2
＝72，解得c ＝2＋304，不合题意，舍去． 综上所述，椭圆的方程为x 28＋y 2
4＝1．
精美句子
1、善思则能“从无字句处读书”。

读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。

读大海，读出了它气势磅礴的豪情。

读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。

2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。

幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。

幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。

幸福是“壮志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。

幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。

幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。

3、大自然的语言丰富多彩：从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；从归雁的行列中，我读出了集体的力量；从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。

4、成功与失败种子，如果害怕埋没，那它永远不能发芽。

鲜花，如果害怕凋谢，那它永远不能开放。

矿石，如果害怕焚烧（熔炉），那它永远不能成钢（炼成金子）。

蜡烛，如果害怕熄灭（燃烧），那它永远不能发光。

航船，如果害怕风浪，那它永远不能到达彼岸。

5、墙角的花，当你孤芳自赏时，天地便小了。

井底的蛙，当你自我欢唱时，视野便窄了。

笼中的鸟，当你安于供养时，自由便没了。

山中的石！当你背靠群峰时，意志就坚了。

水中的萍！当你随波逐流后，根基就没了。

空中的鸟！当你展翅蓝天中，宇宙就大了。

空中的雁！当你离开队伍时，危险就大了。

地下的煤！你燃烧自己后，贡献就大了
6、朋友是什么？
朋友是快乐日子里的一把吉它，尽情地为你弹奏生活的愉悦；朋友是忧伤日子里的一股春风，轻轻地为你拂去心中的愁云。

朋友是成功道路上的一位良师，热情的将你引向阳光的地带；朋友是失败苦闷中的一盏明灯，默默地为你驱赶心灵的阴霾。

7、一粒种子，可以无声无息地在泥土里腐烂掉，也可以长成参天的大树。

一块铀块，可以平庸无奇地在石头里沉睡下去，也可以产生惊天动地的力量。

一个人，可以碌碌无为地在世上厮混日子，也可以让生命发出耀眼的光芒。

8、青春是一首歌，她拨动着我们年轻的心弦；青春是一团火，她点燃了我们沸腾的热血；青春是一面旗帜，她召唤着我们勇敢前行；青春是一本教科书，她启迪着我们的智慧和心灵。